Conceptos asociados al conjunto de los números enteros

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Conceptos asociados al conjunto de los números enteros

  1. 1. CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS FACTORES O DIVISORES Y MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO En muchas ocasiones, es necesario saber si un número entero divide a otro sin necesidad de efectuar la división. Para ello, se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad. Un número entero es divisible por: 2: Si termina en 0 o en cifra par. 3: Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 4: Si sus dos últimas cifras son 00 o es múltiplo de 4. 5: Si termina en 0 o en 5. 6: Si lo es por 2 y por 3 a la vez. 8: Si sus tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8. 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10: Si termina en 0.
  2. 2. Quizás le llame la atención que no se incluya la regla de divisibilidad por 7. Esto se debe a que su complejidad es poco práctica y resulta más fácil saber si el número es o no múltiplo de 7, realizando la división por 7. NÚMEROS PRIMOS El conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}
  3. 3. Número Compuesto Descomponer los números 87, 105, 2310 en sus factores primos. Solución: ▪ Puesto que 8 7 = 15 es múltiplo de 3, 87 también lo es. Efectuando la división por 3, el otro factor es 29, que es primo. Luego, 87 = (3)(29). ▪ Como 105 termina en 5, es divisible por 5. Efectuando la división por 5, el otro factor es 21, el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7. Luego, 105 = (3)(5)(7). ▪ Como 2310 es un número más grande, lo iremos dividiendo sucesivamente por todos los números primos menores que él, por los cuales sea divisible. Luego, 2310 = (2)(3)(5)(7)(11)
  4. 4. Maximo común divisor ▪ Considerando el ejemplo anterior, el M.C.D. de los números 87, 105 y2310 es 3. ▪ En el conjunto de los números 24, 36, 48: 24 = (23)(3) 36 = (22)(32) 48 = (24)(3) M.C.D. :(22)(3) = 12 Minimo común divisor Considerando el ejemplo 2.8, el m.c.m. de los números 87, 105 y 2310 es 66990. ▪ En el conjunto de los números 2, 6, 10: 2 = 2 6 = (2)(3) 10 = (2)(5) m.c.m. : (2)(3)(5) = 30.
  5. 5. Numeros pares e impares 12 es par porque 12 = (2)(6) −5 es impar porque −5 = (2)(−3) + 1 0 es par porque 0 = (2)(0) 31 es impar porque 31 = (2)(15) + 1 −140 es par porque −140 = (2)(−70) 81 es impar porque 81 = (2)(40) + 1 P r o p i e d a d e s d e n ú m e r o s p a r e s e i m p a r e s “Si a2 es un número natural par, entonces a es natural par”. Solución: Vamos a utilizar el método de demostración por contra recíproca. La contra recíproca sería: “Si a no es un número natural par, entonces a2 no es natural par”. La cual se reescribe como: “Si a es número natural impar, entonces a2 es natural impar”. Al ser a natural impar, a = 2n + 1, siendo n un número natural, tenemos: aes impar ⇒a = 2n + 1 Definición de número impar. ⇒a2 = (2n + 1)2 Elevando al cuadrado. ⇒a2 = 4n2 + 4n + 1 Manipulación algebraica. ⇒a2 = 2(2n2 + 2n) + 1 Agrupación de términos. ⇒a2 = 2m + 1 m = 2n2 + 2n es un entero. ⇒a2 es impar Definición de número impar. Hemos demostrado que si a es un número impar, entonces a2 es impar, cuyacontra recíproca sería: “Si a2 no es un número natural impar, entonces a no es natural impar”. Es decir: “Si a2 es un número natural par, entonces a es natural par”. Lo cual verifica la demostración.

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