BERNOULLI 5 EJEMPLOS1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuáles la probabilidad de sacar la carta 9?° La pro...
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad haypara que...
EJEMPLOS DE BINOMIALEjemplo 1
EJEMPLOS DE POISSON•   Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el    3% de los alumnos de contabilidad son    muy inteligente...
•   Ejemplo2.- La producción de televisores    en Samsung trae asociada una    probabilidad de defecto del 2%, si se toma ...
•   Ejemplo4.- El 8% de los registros    contables de una empresa presentan algún    problema, si un auditor toma una mues...
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p(30 ≤ x ≤ 35)                                       Probabilidad                                       acumulada.        ...
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Ejercicio
Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta...
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.                                       El profesor ...
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,sin embargo no conocemos dire...
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:                                      S [W · w0=95] = 0=95Para e...
Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila d...
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  1. 1. BERNOULLI 5 EJEMPLOS1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuáles la probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, paraasí poder darles un premio, pero la maestra losseleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es laprobabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =0.9375
  2. 2. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad haypara que pueda salir premiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salgacruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salenen un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles:0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  3. 3. EJEMPLOS DE BINOMIALEjemplo 1
  4. 4. EJEMPLOS DE POISSON• Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes• n= 100• P=0.03• =100*0.03=3• x=5
  5. 5. • Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.• n=85• P=0.02• P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746• X=4• =1.7• Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso• n=20• P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418• X=3• =3
  6. 6. • Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?• n=40• P=0.08 P(X=5)(e^3.2) (3.2^5)/5!=0.1139793• =3.2• X=5 EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándarde 14.0 µ = 80 σ = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 μ Probabilidad acumulada. 0.7611 0.3594
  7. 7. z = z = p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. 0.3594 z p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μc) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. 0.2389 z = 0.0367 z = 55 70 80 μ p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.20222.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos enDown River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
  8. 8. $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibióuna solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z = 70000 80000 μ p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z = 65000 70000 80000 0.4013 μ z = p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013
  9. 9. z = 65000 70000 μp(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.59873.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad deNueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga quela distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva Yorktiene una distribución de probabilidad normal y la desviaciónestándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. za) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. 0.1335 z = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μb) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
  10. 10. p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 z = 0.1335 z = 30 35 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = µ = 1,200 0.1965 = 19.65% σ = 225 z Probabilidad acumulada. 5% = .0500c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. 0.5910 z = 0.1335 z = 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 yuna desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecerniveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad deque se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los nivelesde inventario?
  11. 11. 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 5% ó 0.0500 1.65 z X= 1,571.25 x = 1,571.25 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? z 95% ó 0.9500 1.64 z µ = 20,082 σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =
  12. 12. x = 27,462. X= 27,46275 DISTRIBUCIÓN GAMMALa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en laocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable quemide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribucióngamma con parámetros a= nn lambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración deelementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, esmuy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemploen una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de unahora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada delsegundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556
  13. 13. Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es0,98.Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a unacierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetrosa=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  14. 14. Ejercicio
  15. 15. Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho conesta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duraciónfue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22
  16. 16. Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig. El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertadoracaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en losque olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamosrealizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo enbase a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuacióntraducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos danen el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden quecalculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar laformulas de la probabilidad total, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
  17. 17. En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir como:P(T¯) = + =0.69 La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen mediaμ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamañon=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm esdel 99.02% Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de lossiguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.
  18. 18. 1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en elpunto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila lallegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que vandesde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguienteconsideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, perobuscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
  19. 19. Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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