L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
L’equazione di Richards
Riccardo Rigon
JayStrattonNoller,GlobalSoilScapes,Desert
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R. Rigon
Obbiettivi:
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L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
•Introdurre l’equazione di Richards
R. Rigon
Una legge di conservazione si esprime come:
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La variazione della quantità nel volume di controllo è uguale a tut...
R. Rigon
meno quella che si trasforma (in ghiaccio e vapore, per esempio)
Jv y z (Jv +
Jv
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La conservazione del...
R. Rigon
Se, per il momento, trascuriamo le transizioni di fase, la variazione di
massa d’acqua nell’unità di tempo si scr...
R. Rigon
La variazione volumetrica, a sua volta, viene normalmente scritta in
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R. Rigon
Il flusso d’acqua attraverso le superfici del volumetto elementare di lati
x y z
e la somma di tre contributi ogn...
R. Rigon
Per esempio, per i lati paralleli al piano yz, come si deduce dalla figura
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R. Rigon
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Termine diffusivo
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L’equazione di Richards!
C(⇥)
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= ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2
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R. Rigon
Termine diffusivoTermine gravitativo,
legato al gradiente
della conducibilità
idraulica verso il basso
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R. Rigon
Geometria del dominio di integrazione
Per risolvere l’equazione di Richards, la prima cosa da fare è assegnare la...
R. Rigon
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Come si risolve un’equazione ?
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R. Rigon
Unsaturated Layer
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R. Rigon
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Dove J(t) è la pioggia, se il primo s...
R. Rigon
Le condizioni al contorno in fondo al dominio di integrazione può essere
sia una condizione di flusso gravitazion...
R. Rigon
Condizioni iniziali
Per poter risolvere l’equazione differenziale è necessario assegnare anche
delle condizioni i...
R. Rigon
!25
Come si risolve un’equazione ?
(differenziale alle derivate parziali )
Risoluzione
numerica
Esiste
Soluzione ...
R. Rigon
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Risoluzione numerica
Si sceglie un metodo
numerico
Si discretizzano
le equazioni
Si scrive un
programma che l...
R. Rigon
!27
Esecuzione
Si determinano
i parametri
Condizioni
iniziali
Condizioni
al contorno
Esecuzione del
codice numeri...
R. Rigon
Ora che possiamo, idealmente, pensare di aver assegnato:
!
- la geometria del dominio
- le condizioni iniziali
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12.7 acqua neisuoli-richards

  1. 1. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo L’equazione di Richards Riccardo Rigon JayStrattonNoller,GlobalSoilScapes,Desert Detail,2007
  2. 2. R. Rigon Obbiettivi: !2 L’acqua nei suoli e nel sottosuolo •Introdurre l’equazione di Richards
  3. 3. R. Rigon Una legge di conservazione si esprime come: ! La variazione della quantità nel volume di controllo è uguale a tutto quello che entra meno quello che esce dalla superficie del volume di controllo sommato algebricamente a quella parte della quantità che si trasforma in altre cose Jv y z (Jv + Jv x x) y z !3 La conservazione della massa Equazioni ed esperimenti
  4. 4. R. Rigon meno quella che si trasforma (in ghiaccio e vapore, per esempio) Jv y z (Jv + Jv x x) y z !4 La conservazione della massa Equazioni ed esperimenti
  5. 5. R. Rigon Se, per il momento, trascuriamo le transizioni di fase, la variazione di massa d’acqua nell’unità di tempo si scrive: dMw dt = d( wVw) dt Se la densità dell’acqua si assume costante: dMw dt = w d(Vw) dt e in genere, anzichè considerare la variazione eil flusso di massa, si considera la variazione volumetrica !5 La conservazione della massa Equazioni ed esperimenti
  6. 6. R. Rigon La variazione volumetrica, a sua volta, viene normalmente scritta in termini del contenuto d’acqua adimensionale: dove si considera che il volume di suolo Vs è costante nel tempo !6 La conservazione della massa d(Vw) dt = Vs Vs d(Vw) dt = Vs d w dt Equazioni ed esperimenti
  7. 7. R. Rigon Il flusso d’acqua attraverso le superfici del volumetto elementare di lati x y z e la somma di tre contributi ognuno per ogni coppia di lati Jv y z (Jv + Jv x x) y z !7 L’equazione di continuità Equazioni ed esperimenti
  8. 8. R. Rigon Per esempio, per i lati paralleli al piano yz, come si deduce dalla figura (Jv + Jv x x) y z (Jv) y z Jv y z (Jv + Jv x x) y z !8 L’equazione di continuità Equazioni ed esperimenti
  9. 9. R. Rigon Ripetendo l’operazione per le altre due coppie di lati si ottengono, dopo aver fatto le opportune sottrazioni Jv y z (Jv + Jv x x) y z Jv x x y z + Jv y x y z + Jv z x y z ovvero, se il volumetto è infinitesimo, il teorema della divergenza. Pertanto !9 L’equazione di continuità Equazioni ed esperimenti
  10. 10. R. Rigon Jv y z (Jv + Jv x x) y z !10 L’equazione di continuità ⇤ w ⇤t = ⇥ · ⌃Jv(⇥) Equazioni ed esperimenti
  11. 11. R. Rigon V a r i a z i o n e d i contenuto d’acqua nel suolo nell’unità di tempo Divergenza del flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo Richards,1931 !11 ⇤ w ⇤t = ⇥ · ⌃Jv(⇥) L’equazione di continuità Equazioni ed esperimenti
  12. 12. R. Rigon Hydraulic capacity of the soil !12 Ignore soil hysteresis and think of the SWRC as a function that relates water content to matric pressure ⇤ (⇥) ⇤t = ⇤ (⇥) ⇤⇥ ⇤⇥ ⇤t C(⇥) ⇤⇥ ⇤t
  13. 13. R. Rigon !13 Se = [1 + ( ⇥)m )] n Se := w r ⇥s r C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥ · K( w) ⇥ (z + ⇥) ⇥ K( w) = Ks ⇧ Se ⇤ 1 (1 Se)1/m ⇥m⌅2 SWRC + Darcy-Buckingham (1907) Parametric Mualem (1976) Parametric van Genuchten (1981) C(⇥) := ⇤ w() ⇤⇥ L’equazione di Richards! L’equazione di Richards
  14. 14. R. Rigon Termine gravitativo, legato al gradiente della conducibilità idraulica verso il basso Termine avvettivo con trasporto di psi nella direzione del gradiente della conducibilità idraulica !14 L’equazione di Richards! C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ ⇤⇥ ⇤t = 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥z + 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥⇥ + K( w) C(⇥) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ L’equazione di Richards
  15. 15. R. Rigon Velocità di avvezione della pressione !15 L’equazione di Richards! C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ ⇤⇥ ⇤t + u(⇥) · ¯⇥⇥ = 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥z + K( w) C(⇥) ⇥2 ⇥ ⇧u( ) := ⇧⇥ K( ) C( ) L’equazione di Richards
  16. 16. R. Rigon Derivata Totale !16 L’equazione di Richards! C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ D⇥ Dt = 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥z + K( w) C(⇥) ⇥2 ⇥ D Dt := ⇥ ⇥t + ¯u( ) · ¯⇥ L’equazione di Richards
  17. 17. R. Rigon Termine diffusivo Diffusività idraulica !17 L’equazione di Richards! C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ D⇥ Dt = 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥z + K( w) C(⇥) ⇥2 ⇥ D( ) := K( ) C( ) L’equazione di Richards
  18. 18. R. Rigon Termine diffusivoTermine gravitativo, legato al gradiente della conducibilità idraulica verso il basso Termine avvettivo con trasporto di psi nella direzione del gradiente della conducibilità idraulica !18 L’equazione di Richards! C(⇥) ⇤⇥ ⇤t = ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ ⇤⇥ ⇤t = 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥z + 1 C(⇥) ⇥K( w) · ⇥⇥ + K( w) C(⇥) ⇥2 (z + ⇥) ⇥ L’equazione di Richards
  19. 19. R. Rigon Geometria del dominio di integrazione Per risolvere l’equazione di Richards, la prima cosa da fare è assegnare la geometria del dominio di integrazione. Che può essere assegnata, per esempio a partire dall’analisi del terreno effettuata con un GIS ModifiedfromAbbotetal.,1986 !19 L’equazione di Richards
  20. 20. R. Rigon !20 Come si risolve un’equazione ? (differenziale alle derivate parziali ) Esiste Soluzione analitica ? Si determinano le condizioni iniziali Si determinano le condizioni al contorno L’equazione di Richards
  21. 21. R. Rigon Unsaturated Layer Surface Layer Saturated Layer:! Surface boundary condition Bottom Boundary condition Condizioni al contorno ModifiedfromAbbotetal.,1986 !21 L’equazione di Richards
  22. 22. R. Rigon Le condizioni al contorno sulla superficie del suolo è: Kz ⇥ ⇥z + Kz = J(t) Dove J(t) è la pioggia, se il primo strato di suolo non è saturo, perchè altrimenti l’acqua è costretta a ruscellare superficialmente !22 Condizioni al contorno L’equazione di Richards
  23. 23. R. Rigon Le condizioni al contorno in fondo al dominio di integrazione può essere sia una condizione di flusso gravitazionale Di fondo impermeabile: ⇥ ⇥z = 0 ⇥ ⇥z = 1 O condizioni intermedie (si noti che le condizioni al contorno sono del secondo tipo o di Neumann, ovvero assegnano la derivata dell’incognita) !23 Condizioni al contorno L’equazione di Richards
  24. 24. R. Rigon Condizioni iniziali Per poter risolvere l’equazione differenziale è necessario assegnare anche delle condizioni iniziali, che corrispondono alla distribuzione della suzione all’instante t=0. ! Tale assegnazione non è in genere un problema banale perchè corrisponde ad indovinare il campo spaziale di cui si vuole valutare l’evoluzione, o ad estrapolare alcuni punti di misura su tutto lo spazio. Per esempio la condizioni in figura è una condizione “idrostatica sulla verticale” ... !24 L’equazione di Richards
  25. 25. R. Rigon !25 Come si risolve un’equazione ? (differenziale alle derivate parziali ) Risoluzione numerica Esiste Soluzione analitica ? no si Stampa il risultato L’equazione di Richards
  26. 26. R. Rigon !26 Risoluzione numerica Si sceglie un metodo numerico Si discretizzano le equazioni Si scrive un programma che le risolva Si “compera” un codice che la risolva L’equazione di Richards
  27. 27. R. Rigon !27 Esecuzione Si determinano i parametri Condizioni iniziali Condizioni al contorno Esecuzione del codice numerico Stampa il risultato L’equazione di Richards
  28. 28. R. Rigon Ora che possiamo, idealmente, pensare di aver assegnato: ! - la geometria del dominio - le condizioni iniziali - le condizioni al contorno ! In generale NON esistono soluzioni analitiche dell’equazione di Richards, se non per alcune particolarissimi casi in cui i parametri siano “linearizzati”. Per avere soluzioni, bisogna dunque: ! - fare delle semplificazioni dell’equazione ! oppure ! - risolverla numericamente !28 How to L’equazione di Richards

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