Notasi jumlah dan sigma

5.3Notasi Jumlah dan Sigma NOTASI SIGMA 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 100 2 Dan a1 + a 2 + a3 + a 4 + .... + a n Untuk menunjukan jumlah ini dalam satu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai 100 ∑i i =1 2 Dan yang kedua sebagai n ∑a i =1 i Disini ∑ (huruf besar sigma Yunani) , yang berpadanan dengan S, sama dengan menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang bditunjukan selama indeks I menjelajahi bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperliatkan dibawah tanda ∑ dan berakhir dengan bilangan yang diatas tanda tersebut. Sehingga , 5 ∑b i=2 i = b2 + b3 + b4 + b5 n 1 1 1 1 1 ∑ j = 1 + 2 + 3 + ... + n j =1 4 k 1 2 3 4 ∑k k =1 2 = 2 + 2 + 2 + 2 +1 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 Dan, untuk n ≥ m, n ∑ F (i) = F (m) + F (m + 1) + F (m + 2) + ... + F (n) i =m n Jika semua c dalam ∑c i =1 i mempunyai nilai yang sama, katakana c, maka n ∑c i =1 i = c + c + c + ... + c = nc Sebagai suatu hasil kita terima perjanjian n ∑ c = nc i =1 Khusunya, 5 100 ∑ 2 = 5(2) = 10, ∑ (−4) = −400 i =1 I =1

SIFAT-SIFAT ∑Teorema A(kelinearan ∑ ) andaikan { ai │}dan { bi } menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta.Maka : n n(i) ∑ cai = c∑ ai i =1 i =1 n n n(ii) ∑ (a i =1 i + bi ) = ∑ a i + ∑ bi ; dan akibatnya i =1 i =1 n n n(iii) ∑ (ai =1 i − bi ) = ∑ a i + ∑ bi i =1 i =1Bukti bukti-buktinya mudah ; kita tinjau (i) saja, n∑ cai =1 i = ca1 + ca 2 + ca3 + ... + ca n = c(a1 + a 2 + a3 + ... + a n ) n = c ∑ ai i =1 100 100Contoh 1 Andaikan bahwa ∑ ai = 60 dan ∑b i = 11 . Hitung i =1 i =1 n ∑ ( 2a i =1 i − 3bi + 4)Penyelesaian n 100 100 100 ∑ ( 2a i =1 i − 3bi + 4) = ∑ 2ai − ∑ 3bi + ∑ 4 i =1 i =1 i =1 100 100 100 = 2∑ ai − 3∑ bi + ∑ 4 i =1 i =1 i =1 = 2(60) − 3(11) + 100(4) = 487 n Contoh 2 ( jumlah berjatuhan ) sederhanakan ∑ (a i =1 i +1 − ai ) = a n +1 − aiPenyelesaianDisini kiita seharusnya bertahan pada kecendrungan kita untuk menerapkan kelinearandan sebagai gantinya menuliskan n∑ (ai =1 i +1 − ai ) = (a 2 − a1 ) + (a3 − a 2 ) + (a 4 − a3 ) + ... + (a a +1 − a n ) = −a1 + a 2 − a 2 + a3 − a3 + a 4 + ... − a n + a n +1

= a n +1 − a1BEBERAPA JUMLAH KHUSUSDisini kita akan membahas tentang jumlah darei n bilangan bulat positif yang pertama,seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkatnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. n n(n + 1) 1. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = i =1 2 n n(n + 1)(2n + 1) 2. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2 2 2 2 2 2 i =1 6 2 n  n(n + 1)  3. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =  3 3 3 3 3 3 i =1  2   n n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) 4. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 4 4 4 4 4 4 i =1 30 10Contoh 3 Hitung ∑i i=2 4Penyelesaian 10 10 10(11)(6000 + 900 + 10 − 1) ∑i i=2 4 = (∑ i 4 ) − 14 = i =2 30 −1 = 25.332 10Contoh 4 hitung ∑ i (i −5) 2 i=Penuelesaian10 10 10 10∑ 2i(i − 5) = ∑ 2ii =1 i =1 2 − 10i ) = 2∑ i − 10∑ i i =1 2 i =1 10(10 + 1)[2(10) + 1]  10(10 + 1)  = 2  − 10    6   2  = 2(385) − 10(55) = 220 nContoh 5 Cari suatu rumus ∑ ( j + 2)( j − 5) j −1

Penyelesaian n∑ ( j + 2)( j − 5) = ∑ ( jj −1 2 − 3 j − 10) n n n =∑ j 2 − 3∑ j − ∑10 j =1 j +1 j +1 n( n + 1)(2n + 1) n(n + 1) = −3 − 10n 6 2 n [ = 2n 2 + 3n + 1 − 9n − 9 − 60 6 ] n( n 2 − 3n − 34) = 6

Notasi jumlah dan sigma

by Siti_Aisyah on Jun 16, 2012

Accessibility

Categories

Upload Details

Usage Rights

1 Embed 1

Statistics

Notasi jumlah dan sigma Document Transcript