In this work we want apply dispersion(new metric for Social Network Analysis) in real problems to show how this metric highlights particolar vertex in a Social Network graph. Used technologies: Python, R, Weka, Snap(Stanford) library, Gephi.

1. Dispersion centrality: applicazione
della dispersione in casi di studio reali
Amedeo Leo | Alessio Petrozziello | Simone Romano
amedeo.leo92@gmail.com | alessio92p@gmail.com | s.romano1992@gmail.com
Università degli Studi di Salerno
Abstract
In questo lavoro si vogliono mostrare alcuni casi di studio reali in cui la dispersione[1](una
nuova misura per Social Network Analysis) è utilizzata per evidenziare nodi all’interno di
una rete con particolari caratteristiche. In particolare verrà mostrato come la Dispersion
centrality(nuova misura che introdurremo) insieme alla Betweenness centrality rappresentano
un metodo efficace per isolare nodi che si differenziano dal resto della rete.
1. Introduzione
L’articolo [1] mostra la dispersione, un’unità di
misura applicabile agli archi di un grafo. Lo stu-
dio proposto parte da un’analisi di tale misura
per confrontarla con alcune delle misure già pre-
senti e diffuse in letteratura(degree centrality,
closeness centrality, betweenness centrality) e
punta a cercare una relazione con queste. In
particolare scopo dello studio è utilizzare la dis-
persione in unione ad una delle altre misure
per ricavare informazioni aggiuntive inerenti la
struttura della rete analizzata. Ciò che seman-
ticamente rappresenta la dispersione è quanto
amici in comune di due nodi non sono ben
collegati. Innanzitutto quello che è stato fatto
è portare una misura applicata ad archi(quale la
dispersione) ad un singolo nodo, introducendo
la dispersion centrality definita, a partire da
un nodo, come la somma delle dispersioni da
tutti i suoi vicini. Per ricavare dei risultati val-
utabili è stata implementata una libreria scritta
in python utilizzando la libreria [2]. Tale libre-
ria consente, dato un grafo in input in formato
edge, di calcolare per tutti i nodi del grafo alcune
delle misure principali utilizzate in social net-
work analysis aggiungendo dunque la dispersion
centrality e di stampare i risultati in formato
.cvs analizzabile poi con altri tool descritti in
seguito. I paragrafi successivi formalizzeranno
in maniera più precisa il concetto di dispersione
così come proprosto in [1]; a questo punto ver-
ranno dettagliate le metodologie utilizzate, i casi
di studio e i risultati. Verranno dunque proposte
delle conclusioni.
2. Dispersione
Nella sociologia matematica, i legami interper-
sonali sono definiti come connessioni che “in-
globano” delle informazioni tra le persone. La
forza di un legame costituisce una dimensione
importante in cui si possono caratterizzare i col-
legamenti di una persona ai suoi “vicini di rete”.
Informalmente, si riferisce alla vicinanza di un
collegamento: definisce un insieme che varia da
legami forti a deboli; i primi sono spesso incor-
porati nella rete, circondati da un vasto numero
di vicini, mentre gli ultimi coinvolgono spesso
pochi vicini e sono utilizzati come “ponti” per
diverse zone della rete, fornendo accesso a im-
portanti informazioni. Il punto critico è dunque
identificare gli individui più importanti in una
rete sociale. La caratteristica fondamentale in
queste analisi è l’embeddedness (“annidamento”
o “radicamento”): è una quantità che tipica-
mente aumenta con la forza dei legami, poiché
rappresenta il numero di persone che due nodi
vicini hanno in comune. Tuttavia, è un mezzo
debole per poter identificare le relazioni di una
rete. In questo lavoro proponiamo una mis-
urazione alternativa, chiamata dispersione, che
è significativamente più efficace. Tale misura
non prende in considerazione solo il numero di
individui comuni a due persone, ma anche alla
struttura della rete determinata da questo nu-
1

2. mero; approssimativamente, una connessione tra
due persone ha un’alta dispersione quando i loro
vicini non sono connessi tra loro. La dispersione
riflette la teoria del “social foci”: molte per-
sone hanno grandi gruppi (o “cluster”) di amici
o conoscenti corrispondenti a interazioni ben
definite nella loro vita, come, nel nostro caso
di studio, individui che frequentano un dojo
e relativi istruttori oppure una rete criminale
con i corrispondenti boss. Poiché molte persone
all’interno di tali cluster si conoscono, questi ul-
timi contengono dei link con alta embeddedness,
anche se non corrispondono necessariamente a
legami particolarmente forti. Al contrario, i col-
legamenti agli amici di una persona possono
avere radicamento minore, ma coinvolgono i
vicini comuni di investimento da numerosi e
diversi foci. Quindi, invece dell’embeddedness,
ipotizziamo che i collegamenti tra un nodo u e un
suo vicino v riflettano una struttura “dispersa”:
in tal modo, i vicini comuni di u e v non sono
ben connessi l’un l’altro, e quindi u e v agiscono
congiuntamente come gli unici intermediari tra
queste diverse parti della rete.
Per poter definire la dispersione in termini
matematici, formuliamo una serie di definizioni:
per iniziare, consideriamo Gu come il sottografo
indotto su u e sui suoi vicini, e per ogni nodo v
definiamo Cuv come l’insieme dei vicini comuni
di u e v. Per esprimere l’idea che le coppie di
nodi in Cuv devono essere distanti in Gu quando
non consideriamo i path in due step attraverso u
e v stessi, definiamo la dispersione assoluta della
collegamento u-v, disp(u,v), come la somma di
tutte le distanze a coppie tra i nodi in Cuv, mis-
urata in Gu - u, v; ovvero,
disp(u, v) =
s,t∈Cuv
dv(s, t)
dove dv è la distanza tra due nodi in Cuv;
tale distanza dv (s,t) equivale a 1 se s e t non
sono direttamente connessi e non hanno nodi in
comuni in Gu, oltre a u e v stessi, e equivale a 0
altrimenti. Nei nostri casi di studio intervengono
anche altre misurazioni: la dispersione normal-
izzata, norm(u,v), definita come il rapporto tra
la dispersione e l’embeddness; da questa sono
state create altre due metriche per aumentare le
prestazioni: la prima è la dispersione parametriz-
zata, definita da:
(disp(u, v) + b)α
emb(u, v) + c
La seconda è l’applicazione della dispersione in
maniera ricorsiva: individuare i nodi v il cui
collegamento u-v raggiunge una elevata disper-
sione normalizzata sulla base di una serie di
vicini comuni Cuv, che, a loro volta, hanno alta
dispersione normalizzata nei loro legami con u.
Per realizzare questa idea, assegniamo valori ai
nodi che riflettono la dispersione nei loro legami
con u, e quindi aggiorniamo questi valori con
quelli di dispersione associati ad altri nodi. In
particolare, definiamo xv= 1 per tutti i vicini v
di u, e aggiorniamo iterativamente ogni xv:
xv =
w∈Cuv
x2
w + 2 s,t∈Cuv
dv(s, t)xsxt
emb(u, v) + c
Tuttavia, tali misurazioni, data una coppia
di nodi definita da un arco, determinano un
insieme di valori: per poter confrontare i risul-
tati ottenuti, occorrerebbero nuove funzioni che
restituiscono una sola misura. Per questo obiet-
tivo, abbiamo definito diverse nuove metriche:
centralità di dispersione, dispersione massima,
dispersione minima, dispersione media. Tali fun-
zioni non si basano su una coppia di nodi, ma
su un singolo nodo: determinano quanto questo
nodo venga coinvolto nel calcolo delle disper-
sioni dei suoi vicini. Sommando le dispersioni
di tali vicini, ne abbiamo determinato l’effettiva
misurazione, la dispersione massima, la minima
e la media. Inoltre, abbiamo effettuato i test
sui grafi anche su altre funzioni ben note: la
betweenness centrality, la degree centrality e la
closeness centrality. La prima, per un nodo v, è
determinata dall’espressione
g(v) =
s=v=t
σs,t(v)
σs,t
Dove σst è il numero totale di cammini min-
imi da s a t e σst è il numero di tali cammini
che attraversano v. La degree centrality è stata
una delle prime metriche sviluppate: è definita
come il numero di archi incidenti su un nodo,
2

3. ovvero la quantità di legami che ha un nodo.
Nei nostri casi di studio, gli archi non sono di-
rezionati, quindi useremo solo una misurazione
(e non indegree o outdegree). Il significato dato
da tale metrica è rappresentato dal fatto che
gli individui più importanti sono coloro con più
legami nella rete. La closeness centrality, invece,
misura quanti passaggi devono essere fatti, par-
tendo da un nodo v, per raggiungere il maggior
numero possibile di nodi. In tal caso, la persona
più importante può raggiungere facilmente le
altre nella rete.
3. Metodologie
Durante lo sviluppo di questo progetto ci siamo
avvalsi del supporto di diverse tecnologie per la
manipolazione e visualizzazione dei grafi tra cui:
• Python
• Xml
• Csv
• Snap
• Gephi
• Cran-R
• Weka
3.1. Python
Python è un linguaggio di programmazione di-
namico orientato agli oggetti utilizzabile per
molti tipi di sviluppo software. Offre un forte
supporto all’integrazione con altri linguaggi e
programmi, è fornito di una estesa libreria stan-
dard e può essere imparato in pochi giorni. Molti
programmatori Python possono confermare un
sostanziale aumento di produttività e ritengono
che il linguaggio incoraggi allo sviluppo di codice
di qualità e manutenibilità superiori. Python
gira su Windows, Linux/Unix, Mac OS X, OS/2,
Amiga, palmari Palm e cellulari Nokia; è stato
anche portato sulle macchine virtuali Java e
.NET.
3.2. Snap
Stanford Network Analysis Platform (SNAP) è
una libreria per network analysis e graph mining.
E’ scritta in C++ e scala facilmente con grafi
massivi con centinaia di milioni di nodi e miliardi
di archi. E’ capace di manipolare grafi molto
grandi, calcolare proprietà strutturali, gener-
are graphi random e regolari e supporta gli at-
tributi su nodi e archi. Snap.py è una interfaccia
Python per SNAP. Essa provvede le performance
di SNAP, uniti alla flessibilità di Python. Molte
delle funzioni di SNAP in C++ sono disponibili
nella libreria Snap.py
3.3. Gephi
Gephi è un tool di visualizzazione ed esplo-
razione interattiva di qualsiasi tipo di rete,
sistemi complessi, grafi dinimaci e gerarchici.
Gephi gira su Windwos, Linux e OS X. E’ open-
sorce e free
3.4. Implementazione
Varie funzioni necessarie e di supporto sono state
sviluppate tra cui:
• fromGexfToEdge: permette la trasfor-
mazione da un file di gephi ad un file di
tipo EDGE, importabile in SNAP
• commonNeighbors: permette di trovare il
vicinato comune tra due nodi
• dispersion: calcola la dispersione tra due
nodi, così come da formula
• embeddedness: corrisponde al vicinato co-
mune tra due nodi
• norm: calcola la dispersione normalizzata
dispersione
embeddedness
• performance: calcola la norma aggiun-
gendo dei parametri costanti di ottimiz-
zazione
• recDisp: calcola la dispersione ricorsiva da
un nodo a tutti gli altri come da formula
• printNodeInformations_XML: crea un file
XML con tutti le informazioni su ogni
nodo del grafo (degree centrality, between-
ness centrality, closeness centrality, disper-
sion centrality)
• dispersionCentrality: calcola la disper-
sione su ogni nodo vicino e ne effettua
la somma
3

4. • printNodesInformations_CSV: crea un file
CSV con tutte le informazioni sui nodi,
standard facilmente importabile in CRAN-
R o Weka, tool di data analisys
4. Casi di studio
Al fine di valutare quanto ipotizzato in fase di
analisi del problema sono stati studiati alcuni
casi reali. In particolare il primo caso studi-
ato è stato quello rappresentatne un club di
karate(presentato in [3]). Lo studio [3] risale
al 1977. Gli autori hanno osservato il compor-
tamento del club di karate dal 1970 al 1972,
registrando ciò che accadeva all’interno del club.
In particolare il club era formato da due istrut-
tori i quali, a seguito di litigi dovuti a disaccordi
sul prezzo delle lezioni, litigarono. La rete si di-
vise in due parti, ciascuna con a capo uno degli
istruttori e i relativi allievi. Infine, ulitmo caso
di studio è il grafo di una rete criminale. Ciò che
si vuole mostrare è che la dispersion centrality
consente di evidenziare nodi che rappresentano
nodi particolari(dal punto di vista semantico)
all’interno del grafo.
5. Risultati
Di seguito sono mostrati e commentati i risul-
tati dei test effettuati sui vari casi di studio.
Le metriche utilizzate per analizzare i risultati
della dispersion centrality sono degree centrality,
closeness centrality e betweenness centrality.
5.1. Karate
Nella figura seguente si evince che, nella rete del
Karate analizzata, esiste una netta correlazione
tra betweenness centrality e dispersion central-
ity, come si può notare nel relativo quadrante.
In particolare gli outlier rappresentano i nodi
1, 34, 33 relativi ai 3 nodi più importanti della
rete ovvero il capo istruttore e i 2 maestri.
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0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
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dispersion_centrality
5.2. Rete criminale
La figura seguente mostra i risultati ottenuti
applicando le stesse metriche ad una rete crimi-
nale. Ciò che si evince è, ancora una volta, che
gli outlier evidenziati dalla betweenness central-
ity sono gli stessi evidenziati dalla dispersion
centrality.
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0 10 20 30
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6. Conclusioni
Partendo dall’analisi della dispersione[1](unità
applicabile ad un arco di una rete) abbiamo con-
siderato, dato un nodo, la somma delle disper-
sioni tra questo nodo ed i suoi vicini(dispersion
centrality) in modo da ottenere una misura
confrontabile con degree centrality, closeness
centrality e betweenness centrality. Ciò che
è emerso dai risultati sui dataset utilizzati è
4

5. quanto segue: la dispersion centrality fornisce le
stesse informazioni della betweenness centrality.
La differenza sostanziale è che il calcolo della
dispersion centrality è parallelizzabile.
References
[1] Romantic Partnerships and the Disper-
sion of Social Ties: A Network Analy-
sis of Relationship Status on Facebook -
http://arxiv.org/pdf/1310.6753.pdf
[2] Snap http://snap.stanford.edu/
[3] Journal of Anthropological Research,
Vol. 33, No. 4 (Winter, 1977), pp.
452-473 http://www1.ind.ku.dk/
complexLearning/zachary1977.pdf
5