Noção de conjuntos, Conjuntos Numéricos   professor silvano reis
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Noção de conjuntos, Conjuntos Numéricos professor silvano reis

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Noções de Conjuntos, Conjuntos Numéricos, Operações sobre conjuntos, Lei de DMorgan, Propriedades das operações de conjuntos, Conjuntos Numéricos.

Noções de Conjuntos, Conjuntos Numéricos, Operações sobre conjuntos, Lei de DMorgan, Propriedades das operações de conjuntos, Conjuntos Numéricos.

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  • 1. Curso Pré-VestibularDefinição e Operações com Conjuntos Prof. Silvano Reis (www.matematicanaweb.com.br)
  • 2. A noção de ConjuntoUm conjunto é uma coleção qualquer de objetos.Exemplos:•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: C = {Goiás, MatoGrosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal}•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros} MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 3. A noção de ConjuntoUm conjunto é formado por elementos.Exemplos:•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste:C = {Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e DistritoFederal}•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros} MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 4. Igualdade de conjuntosDois conjuntos A e B são consideradosiguais quando tem a mesma quantidade deelementos e esses elementos são osmesmos.Em termos de símbolos, temos:Sendo A = B , temos que se x ∈ A ⇒x ∈B. MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 5. Universo de ReferênciaQuando falamos de um conjunto, é necessário especificar um universo de referência (conjunto universo - U ). Mesmo quando um conjunto é definido pelos elementos que ele contém, esses elementos não podem ser arbitrários. MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 6. Operações sobre conjuntos MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 7. Operações sobre conjuntosOperações sobre conjuntos nos permitem construir novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do mesmo modo que conectivos lógicos nos permitem construir novas fórmulas a partir de fórmulas mais simples.Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos por:  União (∪)  Interseção (∩)  Diferença (−)  Complemento (“—”)obtendo A ∪B, A ∩ B, A -B eA . MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 8. Operações sobre conjuntos União (∪) Interseção (∩) Diferença (−) Complemento (“—”) MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 9. Operações entre conjuntosUnião ( ∪ ): Sendo A e B dois conjuntos nãovazios,definimos a união de A com B daseguinte maneira: A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈B }Exemplo:Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 },então podemos dizer que: A ∪ B = { 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 } MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 10. UniãoA ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B } A∪B U A B MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 11. Intersecção ( ∩): Dados dois conjuntos A e Bnão vazios, definimos a intersecção de A comB da seguinte forma: A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈B }A intersecção é formada por elementos quepertencem simultaneamente aos doisconjuntos A e B.Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais queA = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, podemosdizer que: A ∩ B = { 2 ,3 ,4 } MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 12. InterseçãoA∩B={x|x∈A e x∈B} U A A∩B B MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 13. Diferença ( - ): São aqueles elementos que sãoexclusivos de um determinado conjunto. SendoA e B dois conjuntos não vazios, definimos adiferença entre A e B da seguinte forma: A − B = { x / x∈ A e x∉ B }Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } eB = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que:A – B = { 0, 2, 6 } e B – A = { 3, 5, 7 } MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 14. Diferença entre conjuntosA−B = { x | x ∈ A e x ∉ B } U A−B B A MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 15. Propriedades das operações:I) A ∪ A = A VIII) A − B = B − AII) A ∩ A = A qdo A = BIII) A ∪φ = A IX) A ∪ B = B ∪ AIV) A ∩φ = φ X) A ∩ B = B ∩ AV) A − A = φ Onde A e B sãoVI) A −φ =A considerados conjuntosVII) φ − A = φ quaisquer e não vazios. MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 16. ComplementoDado um conjunto A, subconjunto de um certo conjunto Universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. A = A = C = { x / x ∈ U e x ∉ A} = U − A C A U MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 17. ComplementoA = { x / x ∈ U e x ∉ A} = U − A U A A MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 18. Exercícios:1) Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o resultadode cada uma das operações a seguir.A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } eC = { -1, 0, 3, 4 }. a ) A ∩ B ∩C = b ) A ∪ B ∪C = c )A−B = d ) A ∩C = e ) A − ( B ∩C ) = MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 19. 2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos, determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a região correspondente à operação indicada: B C A A− B∪ ) ( C B A ∩( B −C ) A C MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 20. 3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x < 10 }, determine então o conjunto resultante de cada operação abaixo: a) A − B = b) B − A = c) A ∪ B = d)A∩ B = e) A − ( B ∩ A) = f )A − φ = MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 21. É correto afirmar que:• A − B = A − ( A ∩ B)•A∩ B = A∪ B•A∪ B = A∩ B (Lei de DeMorgan) MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 22. Identidades via VennMuitas vezes é mais simples entender essas identidades por meio de Diagramas de Venn-Euler. Por exemplo, a Lei de DeMorgan: A∪ B = A∩ B pode ser visualizada do seguinte modo: Prof. Silvano Reis (contato@matematicanaweb.com.br)
  • 23. DeMorgan VisualA: B: Prof. Silvano Reis (contato@matematicanaweb.com.br)
  • 24. DeMorgan VisualA: B: A∪B : MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 25. DeMorgan VisualA: B: A∪B : A∪ B : MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 26. DeMorgan VisualA: B: MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 27. DeMorgan Visual A: B:A: B: MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 28. DeMorgan Visual A: B:A: B: A∩ B : MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 29. DeMorgan Visual A∪ B = = A∩ B = MatematicanaWebwww.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 30. Conjuntos NuméricosI) Conjunto do conjuntos NaturaisN = {0, 1, 2, 3, 4...}N* = {1, 2, 3, 4...}II) Conjunto dos números InteirosZ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 31. Conjuntos NuméricosIII) Conjunto dos números Racionais p ¤ ={x / x = ; p ∈¢ e q ∈¢ *} qou seja números que podem ser escritos em forma de fração.IV) Conjunto dos números IrracionaisNúmero irracional é um número que NÃO pode ser representado em forma de fração. MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 32. Conjuntos NuméricosV) Conjunto dos números Reais¡ = ¤ ∪I MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 33. Importante: ∈= Pertence ∉= Não Pertence / = Tal que ⊂= Está Contido ⊄= Não Está Contido ⊃= Contém ⊃= Não Contém ∀ = Para Todo MatematicanaWeb www.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1
  • 34. EXERCÍCIOS EQUESTÕES DEVESTIBULARES
  • 35. MatematicanaWebwww.matematicanaweb.com.br @MatematicaWeb1