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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital CAPÍTULO I Sistemas de Numeração1.1 Introdução O decimal é o mais importante dos sistemas numéricos. Ele está fundamentadoem certas regras que são a base de formação para qualquer outro sistema. Além do sistema decimal, que apresenta 10 algarismos distintos de 0 a 9, existeo binário, o octal e o hexadecimal. O sistema binário e o hexadecimal são muitoimportantes nas áreas de técnicas digitais e informática. O sistema binário, por sua vez, apresenta somente 2 algarismos (0 e 1), com osquais é possível representar qualquer quantidade, até mesmo números fracionários. Nosistema octal existem 8 algarismos que vão de 0 a 7. Para representar o sistemahexadecimal são utilizados 10 algarismos e as 6 primeiras letras do alfabeto e, destaforma, tem-se: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Observando a formação dos infinitos números do sistema decimal é possívelaprender as regras de formação dos demais sistemas numéricos. Para conceber aformação do sistema decimal basta observar o hodômetro (marcador de quilômetro) deum automóvel. Quando a “rodinha” das unidades comuta de 9 para 0, um pino nessarodinha força a rodinha das dezenas a avançar de 1. Assim ocorre sucessivamenteformando todos os algarismos. O mesmo se observa nos demais sistemas. No binário, por exemplo, quando arodinha da unidade alcança 1 e posteriormente comuta para zero, a rodinha da dezenaavança para 1. Pode-se notar que a quantidade de dígitos necessário para representar umnúmero qualquer, no sistema binário, é muito maior quando comparado ao sistemadecimal. A tabela 1.1 mostra a formação dos algarismos dentro de cada sistema numérico. 1
  • 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Tabela 1.1 – Diferentes sistemas de numeração. Decimal Binário Octal Hexadecimal 000 00000 000 000 001 00001 001 001 002 00010 002 002 003 00011 003 003 004 00100 004 004 005 00101 005 005 006 00110 006 006 007 00111 007 007 008 01000 010 008 009 01001 011 009 010 01010 012 00A 011 01011 013 00B 012 01100 014 00C 013 01101 015 00D 014 01110 016 00E 015 01111 017 00F 016 10000 020 010 017 10001 021 011 018 10010 022 012 019 10011 023 013 020 10100 024 014 Por outro lado, o número decimal 975 pode ser representado da seguinte forma: 975 = 900 + 70 + 5 = 9 x 102 + 7 x 101 + 5 x 100 Neste exemplo, nota-se que o algarismo menos significativo (5) multiplica aunidade (1 ou 100), o segundo algarismo (7) multiplica a dezena (10 ou 101) e o maissignificativo (9) multiplica a centena (100 ou 102). A soma dos resultados irárepresentar o número. Pode-se afirmar que, de maneira geral, a regra básica de formação de um númeroconsiste no somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base (noexemplo o número 10) elevada por um índice conforme o posicionamento do algarismono número. Assim, um sistema de numeração genérico pode ser expresso da seguinte forma: N = dn x Bn + . . . + d3 x B3 + d2 x B2 + d1 x B1 + d0 x B0 2
  • 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica DigitalOnde:N é a representação do número na base B;dn é o dígito na posição n;B é a base do sistema utilizado en é o peso posicional do dígito.1.2 O Sistema de Numeração Binário Como visto anteriormente, o sistema binário utiliza dois dígitos, ou seja, possuibase 2. De acordo com a definição de um sistema de numeração genérico, o númerobinário 1101 pode ser representado da seguinte forma:11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 2011012 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 (conversão binária => decimal) Nota-se que o número 1101 na base 2 é equivalente ao número 13 na base 10, ouseja, 11012 = 1310. Esta regra possibilita a conversão do sistema binário em decimal. A vantagem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas doisdígitos, estes são facilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechadaou, um relé ativado e um relé desativado, ou, um transistor saturado e um transistorcortado; o que torna simples a implementação de sistemas digitais mecânicos,eletromecânicos ou eletrônicos. Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquantoque um conjunto de 4 bits é denominado NIBBLE. O BYTE, termo bastante utilizadoprincipalmente na área de informática, é constituído de 8 bits. 1.2.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário Para se converter um número decimal em binário, aplica-se o método dasdivisões sucessivas. Este método consiste em efetuar sucessivas divisões pela base a serconvertida até o último quociente possível. O número transformado será composto poreste último quociente (algarismo mais significativo) e, todos os restos na ordem inversaàs divisões. 3
  • 4. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Neste caso, será efetuado sucessivas divisões pelo algarismo 2, base do sistemabinário, como mostra o exemplo a seguir para o número decimal 47. 47 2 1º resto 1 23 2 2º resto 1 11 2 3º resto 1 5 2 4º resto 1 2 2 5º resto 0 1 Último quociente O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado àesquerda. Os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto: 1 0 1 1 1 1 Último 5º 4º 3º 2º 1º Quociente resto resto resto resto resto Como mostra o exemplo, 4710 = 1011112. Na prática, o bit menos significativo de um número binário recebe a notação deLSB (“Least Significant Bit) e o mais significativo de MSB (“Most Significant Bit”).1.3 O Sistema de Numeração Octal O sistema octal de numeração é um sistema de base 8. Este sistema é poucoutilizado no campo da Eletrônica Digital, tratando-se apenas de um sistema numéricointermediário dos sistemas binário e hexadecimal. Da mesma forma, seguindo a definição de um sistema de numeração genérico, onúmero octal 22 pode ser representado da seguinte forma:228 = 2 x 81 + 2 x 80228 = 16 + 2 = 1810 (conversão octal => decimal) Observa-se que o número 22 na base 8 equivale ao número 18 no sistemadecimal, ou seja, 228 = 1810. Esta regra possibilita a conversão octal em decimal. 4
  • 5. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 1.3.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal Utiliza-se, neste caso, o método das divisões sucessivas, lembrando que agora érealizada a divisão por 8, pois 8 é a base do sistema octal. Para exemplificar, será realizada a conversão do número 9210 para o sistemaoctal: 92 8 1º resto 4 11 8 2º resto 3 1 Último quociente Assim, seguindo a mesma regra de formação, 9210 = 1348. 1.3.2 Conversão do Sistema Octal para o Sistema Binário Existe uma regra prática extremamente simples, que consiste em transformarcada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando-se o númerode bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8 = base do sistema octal). Para ilustrar, será realizada a conversão do número octal 531 em binário. 5 3 1 101 011 001 Assim, pode-se afirmar que o número 5348 é equivalente a 1010110012. 1.3.3 Conversão do Sistema Binário para o Sistema Octal Para realizar esta conversão, basta aplicar o processo inverso ao utilizado naconversão de octal para binário. Para exemplificar, tem-se: 1001001101111012. Primeiramente, deve-se separar o número em agrupamentos de 3 bits (23 = 8 =base do sistema octal) e assim, pode-se realizar a conversão de cada grupo de bitsdiretamente para o sistema octal. 100 100 110 111 101 4 4 6 7 5 Desta forma, o número 1001001101111012 = 446758. 5
  • 6. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital1.4 O Sistema de Numeração Hexadecimal O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, é largamente utilizado na áreados microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais.Trata-se de um sistema numérico muito importante, aplicado em projetos de software ehardware. Os algarismos deste sistema são enumerados da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Nota-se que a letra A representa o algarismo A, que por suavez representa a quantidade dez. O mesmo ocorre para a letra B, que representa oalgarismo B e a quantidade onze, sucedendo assim até o algarismo F, que representa aquantidade quinze. A conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal pode ser realizadaaplicando a definição do sistema de numeração genérico na base 16. Assim, tem-se: N = dn x 16n + . . . + d2 x 162 + d1 x 161 + d0 x 160 Para ilustrar, observa-se o exemplo para o número hexadecimal 13.1316 = 1 x 161 + 3 x 1601316 = 16 + 3 = 1910 (conversão hexadecimal => decimal) Ou seja, 13 na base 16 é equivalente a 19 na base 10. 1316 = 1910. 1.4.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal Novamente a conversão se faz através de divisões sucessivas pela base dosistema a ser convertido, que no caso é igual a 16. Para exemplificar, o número 1101 nabase 10 será convertido para o sistema hexadecimal. 1101 16 1º resto 13 68 16 2º resto 4 4 Último quociente Sendo 1310 = D16, tem-se que 110110 = 44D16. 6
  • 7. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 1.4.2 Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário É análoga à conversão do sistema octal para binário, somente que, neste caso,necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal (24 = 16). Comoexemplo, pode-se converter o número C1316 para o sistema binário.C16 = 1210 = 11002116 = 110 = 12 - como existe a necessidade de representá-lo com 4 bits = 0001316 = 310 = 112 = 00112 Desta forma, tem-se: C1316 = 1100000100112. C 1 3 1100 0001 0011 1.4.3 Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal É análoga a conversão do sistema binário para o octal, somente que neste casosão agrupados de 4 em 4 bits da direita para a esquerda. A título de exemplo, será feita aconversão do número binário 1001101111100112 para hexadecimal. 0100 1101 1111 0011 4 D F 3 Desta forma, pode-se afirmar que 1001101111100112 = 4DF316.1.5 Números Fracionários Discutiram-se, até o momento, as diversas formas de conversão de númerosinteiros, pertencentes a um dado sistema, em outro. Neste tópico, serão mostrados osprocedimentos para converter números fracionários. 7
  • 8. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 1.5.1 Conversão de Números Binários Fracionários em Decimais O método de conversão é obtido observando-se a regra básica de formação deum número fracionário no sistema decimal. Para exemplificar, tem-se o número 10,510. 10,510 = 1 x 101 + 0 x 100 + 5 x 10-1 Desta forma, para converter o número binário fracionário 101,101 para o sistemadecimal, adota-se o mesmo procedimento.101,1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 1 1 1101,1012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x + 0x + 1x 2 4 8101,1012 = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,62510 1.5.2 Conversão de Números Decimais Fracionários em Binários O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e nafracionária. O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conformeestudado anteriormente. Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicaçõessucessivas até que se atinja zero. Para exemplificar, será convertido o número decimal 88,375 em binário. 88,375 = 8 + 0,375 • Parte inteira: 8 2 LSB 0 4 2 0 2 2 810 = 10002 0 1 MSB • Parte Fracionária:Parte fracionária 0,375 0,750 0,500Base do sistema x2 x2 x2 0 ,750 1 ,500 1 ,000 O processo para, pois a o parte fracionária é nula 1o algarismo 2o algarismo 3 algarismo 8
  • 9. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Pode-se observar que é utilizado somente a parte fracionária dos números emtodas as multiplicações. Os algarismos inteiros, resultantes das multiplicações, irãocompor o número binário. Estes números são tomados na ordem da multiplicação.Assim: 0,37510 = 0,0112 Para completar a conversão basta efetuar a composição da parte interia com afracionária: 8,37510 = 1000,0112 Observação Importante: existem casos em que o método das multiplicaçõessucessivas encontra novamente os números já multiplicados e o processo entra em um“loop” infinito. Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se: 0,810 = (0,1100 1100 1100....)21.6 Operações Aritméticas no Sistema Binário Nas áreas de Eletrônica Digital e dos Microprocessadores, o estudo dasoperações aritméticas no sistema binário é muito importante, pois estas serão utilizadasem circuitos aritméticos, que serão estudados posteriormente. 1.6.1 Adição no Sistema Binário A adição no sistema binário é efetuada de maneira idêntica ao sistema decimal.Desta forma, tem-se: 0 0 1 1 10 11 +0 +1 +0 +1 +1 +1 0 1 1 10 11 100 Observa-se, entretanto, a existência de uma pequena regra: 1+1=0 e transporta 1para a próxima coluna. 9
  • 10. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Para exemplificar serão realizadas as seguintes adições: 1 11 11 110 +10 +111 101 Transporte 1101 Transporte Nota-se, então que a adição é realizada coluna a coluna, considerando sempre otransporte proveniente da coluna anterior. Para verificar a soma basta converter os números para o sistema decimal. 112+102 = 1012 equivalente a 310+210 = 510 1102+1112 = 11012 equivalente a 610+710 = 1310 1.6.2 Subtração no Sistema Binário O método de subtração é análogo a uma subtração no sistema decimal. Assim,tem-se: 0 0 1 1 -0 -1 -0 -1 0 1 1 0 Para o caso 0-1, o resultado será igual a 1, porém haverá um transporte para acoluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e, obviamente, subtraído dominuendo. Para exemplificar, tem-se: 111 1011 1 - 100 - 101 011 0110 Transporte 1.6.3 Multiplicação no Sistema Binário Ocorre exatamente como uma multiplicação no sistema decimal. Assim sendo,tem-se:0x0=00x1=01x0=01x1=1 10
  • 11. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Para exemplificar, efetua-se a multiplicação entre os números 110102 e 1012. 11010 x 101 11010 00000+ 11010++ 100000101.7 Exercícios do capítulo I Os exercícios propostos visam treinar o estudante de Eletrônica Digital de formabastante completa. É interessante que estes exercícios sejam feitos após uma leitura docapítulo I. Será observado que todos os exercícios possuem respostas, uma vez que oobjetivo não é uma lista de exercícios valendo nota e sim, valorizar o aprendizado. Amaioria das calculadoras científicas realizam todas as operações estudadas nestecapítulo. Seria interessante o aluno aprender a manipular sua calculadora. 1.7.1 Converta para o sistema decimal a) 1001102 = b) 0111102 = c) 1110112 = d) 10100002 = e) 110001012 = f) 0110011001101012 = g) 148 = h) 678 = i) 1538 = j) 15448 = k) 20638 = l) 47916 = m) 4AB16 = 11
  • 12. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digitaln) BDE16 =o) F0CA16 =p) 2D3F16 =1.7.2 Converta para o sistema binárioa) 7810 =b) 10210 =c) 21510 =d) 40410 =e) 80810 =f) 1638310 =g) 4778 =h) 15238 =i) 47648 =j) 67408 =k) 100218 =l) 8416 =m) 7F16 =n) 3B8C16 =o) 47FD16 =p) F1CD16 =1.7.3 Converta para o sistema octala) 10710 =b) 18510 =c) 204810 =d) 409710 =e) 566610 =f) 10112 =g) 100111002 =h) 1101011102 = 12
  • 13. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital i) 10000000012 = j) 11010001012 = k) 1D216 = l) 8CF16 = 1.7.4 Converta para o sistema hexadecimal a) 100112 = b) 11100111002 = c) 100110010011 = d) 111110111100102 = e) 10000000001000102 = f) 48610 = g) 200010 = h) 409610 = i) 555510 = j) 3547910 = k) 71008 = l) 54638 = 1.7.5 Quantos bits são necessários para representar cada um dos númerosdecimais abaixo: a) 51210 = b) 1210 = c) 210 = d) 3310 = e) 1710 = f) 710 = 1.7.6 Porque o número 14875 não pode ser octal? Quais as bases elepoderia pertencer? 13
  • 14. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital1.7.7 Qual o número binário seguinte a 01101111?1.7.8 Quantos bits existem em 2 bytes?1.7.9 Transforme para decimal os seguintes números bináriosa) 11,112 =b) 1000,00012 =c) 1010,10102 =d)1100,11012 =e)10011,100112 =f)11000,0011012 =g)100001,0110012 =1.7.10 Transforme os seguintes números decimais em bináriosa) 0,12510 =b) 0,062510 =c) 0,710 =d) 0,9210 =e) 7,910 =f) 47,4710 =g) 53,38710 =1.7.11 Efetue as operaçõesa) 10002 + 10012 =b) 100012 + 111102 =c) 1012 + 1001012 =d) 11102 + 10010112 + 111012 =e) 1101012 + 10110012 + 11111102 =f) 11002 – 10102 =g) 101012 – 11102 =h) 111102 – 11112 = 14
  • 15. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital i) 10110012 – 110112 = j) 1000002 – 111002 = k) 101012 x 112 = l) 110012 x 1012 = m) 1101102 x 1112 = n) 111102 x 110112 = o) 1001102 x 10102 = Resposta dos exercícios 1.7.1 Converta para o sistema decimala)3810 b)3010 c)5910 d)8010 e)19710 f)1310910g)1210 h)5510 i)10710 j)86810 K)1075 l)114510m)119510 n)303810 o)6164210 p)1158310 1.7.2 Converta para o sistema binárioa)10011102 b)11001102 c)110101112 d)1100101002e)11001010002 f)111111111111112 g)1001111112 h)11010100112i)1001111101002 j)1101111000002 k)10000000100012 l)100001002m)11111112 n)111011100011002 o)1000111111111012p)11110001110011012 1.7.3 Converta para o sistema octala)1538 b)2718 c)40008 d)100018 e)130428 f)138g)2348 h)6568 i)10018 j)15058 k)7228 l)43178 1.7.4 Converta para o sistema hexadecimala)1316 b)39C16 c)99316 d)3EF216 e)8022 16 f)1E616g)7D016 h)100016 i)15B316 j)8A9716 k)E4016 l)B3316 15
  • 16. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 1.7.9 Transforme para decimal os seguintes números bináriosa) 3,7510 c)10,62510 e)19,5937510 g)33,3906510b) 8,062510 d)12,812510 f)24,20312510 1.7.10 Transforme os seguintes números decimais em bináriosa) 0,0012 d) 0,1111010111000012 g)110101,0110001100111001112b) 0,00012 e)111,1110011002c) 0,101100112 f)101111,01111000012 1.7.11 Efetue as operaçõesa)100012 b)1011112 c)1010102 d)11101102 e)1000011002f)102 g)1112 h)11112 i)1111102 j)1002k)1111112 l)11111012 m)1011110102 n)11001010102 o)1011111002 16