Maple 10 para matemáticas básicas
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Maple 10 para matemáticas básicas Maple 10 para matemáticas básicas Document Transcript

  • MAPLE 10 PARA MATEMÁTICAS BÁSICASAutores:Coronado Ramírez Semei LeopoldoGualajara Estrada Víctor HugoSandoval Bravo Salvador 1
  • Producción académica de los miembros del Cuerpo Académico “Crecimiento Económico yCambio Tecnológico -UDG CA 468” en coordinación con la Maestría en Economía y el Departamento de Métodos Cuantitativos 2
  • PrólogoHoy en día es muy importante contar con diversas habilidades en el uso de herramientascomputacionales que faciliten el procesamiento y el análisis de información para la tomade decisiones en cualquiera que sea la actividad productiva que desarrollemos.Maple 10 es una herramienta computacional tecnológicamente avanzada, que incorporaalgoritmos simbólicos propios reconocidos en todo el mundo. Asimismo, Maple incorporadesde su versión 6 los prestigiosos resolvedores numéricos proporcionados por su socioNumerical Algorithms Group (NAG).Además, Maple está compuesto por un ambiente ideal que cubre todos los aspectosmatemáticos necesarios para el desarrollo de actividades en áreas como ingeniería,economía, finanzas e investigación. Maple incorpora herramientas suficientementeflexibles para ajustarse a todas las necesidades de cálculo: desde la resolución desistemas de ecuaciones diferenciales, hasta el modelado de complejos problemas en elámbito económico. Maple es la herramienta que mejor se adecua a cualquierrequerimiento para cálculo técnico.El presente texto es una excelente opción para todo estudiante que quiera iniciarse en eluso de Maple 10, cada una de las secciones está claramente detallada y lleva de la manoal lector a través de los ejemplos que introducen los conceptos matemáticos y el uso de 3 View slide
  • los comandos de Maple, además, el libro incluye una serie de prácticas que permitirán laaplicación del conocimiento adquirido.Las habilidades que los alumnos puedan adquirir en el uso de herramientas quedisminuyan tiempo de procesamiento y análisis, que reduzcan costos y eleven laproductividad, harán la diferencia competitiva entre profesionales que sean capaces dealcanzar el éxito en sus actividades productivas. Dra. Maria Elena Meda Campaña Profesor e Investigador Titular A Miembro del Sistema Nacional de Investigadores 4 View slide
  • Índice temáticoIntroducción.............................................................................................. 8Necesidades del sistema......................................................................... 11Comandos más utilizados en Maple....................................................... 12Introducción al entorno de Maple........................................................... 16Laboratorio 1. Conjuntos ....................................................................... 24 Relación de pertenencia Operaciones con conjuntos Relación de inclusión Conjunto potencia PrácticaLaboratorio 2. Operaciones aritméticas y variables............................. 31 Operaciones aritméticas Sustitución de valores en expresiones algebraicas 5
  • PrácticaLaboratorio 3. Expresiones algebraicas................................................ 38 Uso del comando eval Uso del comando expand Uso de comando eval y expand Uso del comando factor Uso del comando simplify Práctica.Laboratorio 4. Gráficas........................................................................... 47 Gráficas Gráfica de puntos PrácticaLaboratorio 5. Ecuaciones....................................................................... 60 Manipulación de un sistema de igualación. Utilizando el comando fsolve para encontrar las soluciones aproximadas Solución de ecuaciones con literales Solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el comando solve. 6
  • Solución de un sistema con infinito numero de soluciones Práctica.Laboratorio 6. Matrices............................................................................ 77 Matrices Operaciones con matrices Suma y resta Multiplicación Potencia de una matriz. Transpuesta de una matriz Determinante de una matriz Inversa de una matriz Sistemas de ecuaciones PrácticaBibliografía…………………………………………………………………….. 101Índice de gráficas…………………………………………………………….. 102Índice analítico de comandos.……………………………………………… 103 7
  • IntroducciónLa necesidad de realizar cálculos algebraicos, de obtener una precisión casiinfinita, de manejar o tratar con expresiones exactas suelen ser una tarea ardua yen ocasiones fastidiosa para quienes deban realizarla. De igual forma, laoportunidad de trazar gráficas de funciones en dos y tres dimensiones, de poderobservar su imagen desde distintos puntos de vista suele ser un gran reto;igualmente que el tratar con animaciones y otras variantes gráficas. Desde hacealgunos años las calculadoras graficadoras y los sistemas algebraicos decomputación surgieron para aliviar esta enorme tarea teniendo una granaceptación en el ámbito académico, tanto en la investigación, como en ladocencia. Por lo cual actualmente, podemos hablar de la calculadorasgraficadoras HP 49G o Voyage 200 de Hewlertt Packard y Texas Instrumentsrespectivamente, de la misma forma, podemos mencionar sistemas algebraicos decomputación como el Matlab, Mathematica o Maple.Maple es un programa desarrollado desde 1980 por el grupo de Cálculo Simbólicode la Universidad de Waterloo (Ontario, Canadá). Su nombre viene de laspalabras en inglés “Mathematical Pleasure”. Maple es capaz de desarrollar unaamplia gama de problemas, mediante el uso de comandos predeterminados.También posee un lenguaje de programación para que el usuario puedadesarrollar sus propias funciones y programas. 8
  • El objetivo del presente libro es lograr llegar al usuario de éstas operacionesmatemáticas mediante un sencillo texto lo suficientemente claro como paraimpulsar y motivar la adaptación del principiante en el entorno de Maple. Se usarála mayoría de los comandos tradicionales para el álgebra y la graficación,empleando sólo los parámetros básicos en estas áreas; teniendo el conocimientoque existen más parámetros a utilizar en otras áreas. Se tiene como herramientamatemática los contenidos del curso de Matemáticas I que se imparten en elCentro Universitario de Ciencias Económico Administrativas de la Universidad deGuadalajara (U de G). Por lo cual se supondrá que el lector de este libro conocelos temas que esta asignatura contiene.Para lograrlo, se presentan en 6 secciones o tópicos desde un nivel elementalhasta cubrir algunos aspectos particulares de teoría de matrices. Cada sección espresentada con claridad apropiada a cada idea, con ejemplos claros y concretosque, mas allá de ilustrar el contenido de lo tratado, atraen la atención y curiosidaddel lector interesado en dominar el entorno de este programa, se termina cadasección con una pequeña práctica, donde se resumen en un número breve deejercicios el contenido más importante de cada sección. Asimismo, se incluyenejercicios de mayor grado de dificultad señalados con asterisco.El trabajo se estructura de la siguiente forma: Laboratorio 1, donde se exponen losconcepto elementales de la teoría de conjuntos; Laboratorio 2, que aborda las 9
  • operaciones con expresiones algebraicas; Laboratorio 3, donde se tratan temasrelacionados con expresiones algebraicas y funciones; Laboratorio 4, dedicadoespecialmente al desarrollo y construcción de gráficas en el entorno Maple;Laboratorio 5, se tratan los temas relativos a sistemas de ecuaciones y comandospara la obtención de soluciones aproximadas; y finalmente, Laboratorio 6, contienetemas básicos de teoría de matrices tratados con Maple.Esperamos que este material sirva para despertar en el alumno el interés poraprender más sobre apoyos tecnológicos que existen en el área de MétodosCuantitativos para el área económica administrativa.Los AutoresCUCEA. Departamento de Métodos Cuantitativos. UDG Diciembre de 2006 10
  • Necesidades del sistemaPara operar Maple 10 convenientemente, de manera que se puedan explotar de la maneramás eficiente todas sus características y posibilidades, se requiere que el equipo cuente conlos requerimientos necesarios, tanto de software como de hardware, mismos que se listan acontinuación.Windows®Versión CPU* Mínimo RAM Disco Duro RAM RecomendadoWindows NT 4 Intel Pentium III 650 MHz + 64 MB 512 MB 400 MB(with Service Pack 5)Windows 98 Intel Pentium III 650 MHz + 64 MB 128 MB 400 MBWindows ME Intel Pentium III 650 MHz + 64 MB 128 MB 400 MBWindows 2000 Professional Intel Pentium III 650 MHz + 128 MB 512 MB 400 MBWindows 2000 Server Intel Pentium III 650 MHz + 256 MB 512 MB 400 MBWindows XP Pro Intel Pentium III 650 MHz + 128 MB 512 MB 400 MBWindows XP Home Intel Pentium III 650 MHz + 128 MB 512 MB 400 MBWindows 2003 Server Intel Pentium III 650 MHz + 256 MB 512 MB 400 MB• CD-ROM driver (instalación para el CD).• 16-bit color a 800 por 600 (o mayor) resolución recomendada.• TCP/IP interno para conexiones habilitadas.• Disponible para Windows 98 y Windows MEAlgunas características de la interfase no están disponibles en el Classic Worksheet.La instalación del programa esta recomendado al menos que algunos requerimientos puedan limitar su funcionamiento enalgunas características del programa.Para configuraciones con mínimos requerimientos del sistema, la Interface Classic Worksheet es la más recomendada. 11
  • Comandos más utilizados en Maple.in Operador de pertenencia para conjuntos.evalb (exprb) Evalúa una expresión booleana.union (c1,c2) Operador de unión para conjuntos.intersection (c1,c2) Operador de intersección para conjuntos.minus (c1,c2) Operador de diferencia para conjuntos.subset (c1,c2) Operador de subconjuntos.powerset (c1) Calcula el conjunto potencia de un conjunto, requiere el comando with (combinat).nops (c1) Obtiene la cardinalidad de un conjunto.restart Limpia la memoria de Maple para todas las definiciones.unassign (var) Limpia una variable nombrada var=variable.unapply (expr) Retorna un operador de una expresión en forma de función.with ( ) Trae funciones adicionales que se encuentran en la biblioteca de Maple.numer ( ) Selecciona el numerador de una fracción.denom ( ) Selecciona el denominador de una fracción.ifactor (n) Da la factorización de números primos para un entero dado.lhs (eqn) Selecciona el lado izquierdo de una ecuación.rhs (eqn) Selecciona el lado derecho de una ecuación.rationalize (expr) Racionaliza el denominador de una expresión. 12
  • simplify (expr) Simplifica una expresión.expand (expr) Expande la expresión dada.eval (expr,x=v) Evalúa las expresiones en un punto donde x=v.evalf (expr) Evalúa numéricamente una expresión dando por default 10 dígitos.evalf (expr,n) Evalúa numéricamente una expresión dando el número de dígitos que se requieran.factor (expr) Factoriza una expresión.fsolve (eqn) Encuentra numéricamente (por aproximación) la solución de una ecuación, cuando se le da el valor de x.subs (x= v,expr) Sustituye el valor de una variable en la variable independiente de la expresión.solve (eqn) Encuentra la solución exacta de una ecuación incluyendo ecuaciones con letras y sistemas lineales.plot ( ) Grafica funciones definidas por expresiones algebraicas, grafica más de una expresión a la vez, grafica puntos, ecuaciones paramétricas, etc.display ( ) Combina graficas de funciones y puntos ( requiere el comando with (plots)).implicitplot ( ) Grafica funciones definidas implícitamenteMatrix ([]) Es el comando para crear una matriz.DeleteRow (M,#) Elimina una fila de una matriz, donde M es la matriz y # es el número de fila a eliminar. 13
  • DeleteColumn (M,#) Elimina una columna de una matriz, donde M es la matriz y #· es el número de columna.RowOperation (M,α,#) Multiplica una fila de una matriz por un escalar, donde M es la matriz, α, es un escalar y # es el número de la fila.RowOperation (M,[ ]) Hace el intercambio de filas en una matriz, donde M es la matriz.ColumnOperation (M,α,#) Multiplica una columna por un escalar, donde M es la matriz, α, es el escalar y # el número de columna.ColumnOperation (M,[ ]) Hace el intercambio de columnas en una matriz, donde M es la matriz.MatrixAdd ( ) Suma dos matrices.Multiply ( ) Multiplica dos matrices.ScalarMultiply ( ) Multiplica una matriz por un escalar.MatrixScalarMultiply ( ) Multiplica una matriz por un escalar.Transpose ( ) Transpone una matriz.Determinant ( ) Calcula el determinante de una matriz.MatrixInverse ( ) Calcula la matriz inversa.ReducedRowEchelonForm (<|>) Resuelve un sistema de ecuaciones por el método de Gaussiano.GenerateEquations ( ,[ ]) Convierte una matriz en un sistema de ecuaciones.GenerateMatrix ( ) Convierte un sistema de ecuaciones en un sistema matricial.LinearSolve ( ) Resuelve el sistema que está hecho en matrices. 14
  • Constantes MatemáticasPi Cuidado: No debes utilizar pi si no Pi con P mayúscula.exp (1) eI -1Otras funciones matemáticassqrt (x) xabs (x) xexp (x) exln (x) Logaritmo natural.log (x) Logaritmo natural igual que ln(x).log [n](x) Logaritmo base n.sin (x), cos (x), tan (x), cot (x), sec (x), csc (x) Funciones trigonométricas.arcsin (x), arccos (x), arctan (x) Funciones trigonométricas inversas. 15
  • Introducción al entorno de MapleVentana de MapleA continuación se presenta la ventana de Maple, describiendo brevemente suselementos. 16
  • InsertaAbre un archivo Amplia expresiones existente Imprime ventanas matemáticas no archivos abiertas ejecutables Crea una línea de Comando Separador de texto Detiene un Crea una línea de proceso textoAbre un archivo Encapsula nuevo Guarda una sección o archivos subsección Ir al hipervínculo siguiente Copiar la selección en el Remover la sección o portapapeles Aumento del subsección Ir al Zoom hipervínculo Pegar anterior 17
  • Hoja de trabajoCrear una nueva línea de comandoUtilizar: CTRL+JDar click al iconoUse el Menu: Insert / Execution Group > After CursorCrear una línea de textoUtilizar CTRL+TDar Click al iconoUsar el Menu: Insert / Text InputUso de un Semicolon vs. ColonAl finalizar una línea de comandos matemáticos, se debe utilizar (;) el cual esllamado semicolon. Si requiere utilizar más de una línea de comandosmatemáticos, debe utilizar el colon(:).¿Cómo remover las salidas de una hoja de trabajo?Use el Menu: Edit / Remove Output > From Worksheet¿Cómo expandir o colapsar una sección?Use el Menu: View / Expand All Sections (or Collapse All Sections) 18
  • Parar el proceso de output de lenguaje matemático:Para parar un proceso utilice el iconoCrear un Nuevo archive/Guardar un archivo/Abrir un archivo existente eimprimirUse el Menu: File / New , Open , Save , Save As, Print, o en su caso CTRL+ Po dar click a los iconos de abrir un archivo ya existente , un nuevo archivo ,para guardar y para imprimir .¿Cómo cortar, copiar o pegar?Use la barra de herramientas de click al icono de cortar , copiar y pegar .También puede cortar, copiar o cortar seleccionando el párrafo o la línea detrabajo matemático.Uso de la ayudaPuede dar click en la barra de herramientas a la palabra Help o en su defectoescriba la palabra que requiere buscar en comandos matemáticos y de CTRL+ F1.Por ejemplo factor luego CTRL+ F1 y se desplegará la ayuda sobre estécomando. 19
  • Auto-GuardarDe click en la barra de herramientas al comando Options y busque Autosave yseleccione el intervalo que requiera para guardar sus archivos.Ver las PaletasDar click en el menú de View y dar click en Palettes y dar click Show AllPalettes; se desplegarán todas la paletas del Maple.Insertar expresiones matemáticas no ejecutablesDe click al icono y escriba las expresiones matemáticas no ejecutables o texto.Deshacer la última expresiónDe click al icono y entonces deshaga la última operación.Rehacer la última expresiónDe click al icono y entonces rehace la última operación.Insertar secciones o subseccionesDe click en la barra de herramientas a Insert, luego de click a Section oSubsection.Aumento del Zoom 20
  • Dar click al icono para ver al 100%, click al icono para ver al 150% y darclick al icono para ver al 200%.Encapsular secciones o subseccionesRemueve la sección o subsección encapsulada con el icono , encapsula unasección o subsección con el icono .Uso de separador de texto o lenguaje matemáticoPuede utilizar el icono para ver las separaciones.Ir a los hipervínculos anteriores o posterioresPara ir a un hipervínculo anterior de click al icono , para ir a un hipervínculoposterior de click al icono .Organización de ventanasDe click al icono éste automático ampliará las ventanas abiertas.Se revisaran a continuación una serie de ejemplos ilustrados de algunos de loscomandos más usados en Maple, organizados en hojas de trabajo. Se presentanentornos de hojas de trabajo preparadas con secuencias de comandos listas paraejecutarse. 21
  • Ejecución de comandosPara ejecutar comandos en una hoja de cálculo de Maple:Capturar el comando o la operación a realizar, terminando la instrucción con “;”,para posteriormente presionar ENTER. 1+1; limit(x–7,x=3);Ejecución en grupoLa ejecución en grupo son elementos fundamentales que se realizan en la hoja decálculo del Maple. Para avanzar dentro de un grupo de un renglón a otro sin quese ejecute algún comando será mediante presionando SHIFT+ENTER, porejemplo; solve(a*x^2=4,{x});> subs(a=16,a*x^2=4);Interactuar con el procesador de cálculo en MapleCuando se introducen datos en Maple, se debe terminar la expresión con un“punto y coma” (;) o con “ dos puntos” (:);Por ejemplo, para realizar el siguiente cálculo empleando un comando aritméticocomún ifactor(77777777777); 22
  • Para suprimir la salida de cálculos muy grandes, se colocaran los dos puntos altérmino de la expresión 10000!:Referenciar cálculosEn algunas ocasiones, se requiere referenciar una expresión en Maple o utilizaralguna expresión ya escrita en el Maple en comandos anteriores existe dos formasde realizar esto:Asignando expresiones, por ejemplo; LaExpresion:=x^2+2*x–3; factor (LaExpresion);El símbolo “%” permite el rápido acceso de salidas de cálculos previos, porejemplo; x^2+2*x–3; function(%);Organización del MapleLa Librería de Maple esta dividida en dos grandes grupos: la librería principal y lospaquetes. Los paquetes contienen grupos de comandos con cálculos relacionadosa una misma área. Para acceder a las rutinas de los paquete se puede hacer de lasiguiente forma (por ejemplo, para acceder a algún comando del paqueteLinearAlgebra). 23
  • with (LinearAlgebra): 24
  • Laboratorio 1. ConjuntosEn este laboratorio aprenderá a realizar las operaciones básicas con conjuntos, asaber: unión, intersección, complemento, diferencia; además aprenderá a calificarde falso o verdadero las relaciones de pertenencia entre conjuntos.Relación de pertenenciaPara determinar si un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el comando in,de la siguiente manera,> 1 in {0,1,3};1 { 0, 1, 3 }Para evaluar como falso (false) o verdadero (true) una expresión booleanautilizamos el comando evalb(%), en el que el símbolo % considera el paso anteriorcalculado, escribimos entonces,> evalb(%);trueDe la misma forma para un caso falso, por ejemplo,> 7 in {8,9,0};7 { 0, 8, 9 }> evalb(%);false 25
  • Operaciones con conjuntosPara poder explicar el de operaciones binarias entre conjuntos, definimosprimeramente 2 conjuntos A y B, además del conjunto universo U. Para declararun conjunto utilizamos el nombre del conjunto, seguido de " := ", a continuaciónabrimos llaves, anotando los elementos de dicho conjunto y cerrando llaves, comose describe a continuación,> U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};U := { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }> A:={0,1,2,3};A := { 0, 1, 2, 3 }> B:={0,2,4,6};B := { 0, 2, 4, 6 }Para obtener la unión de A con B, utilizamos el comando union y escribimos,> A union B;{ 0, 1, 2, 3, 4, 6 }Utilizaremos en lo sucesivo, por cuestiones didácticas el comando " ", queencerrando una expresión retrasa la ejecución de un comando hasta una siguienteejecución, al mismo tiempo que se escribe en lenguaje matemático tal comando,generalmente se utiliza para hacer más descriptivo un cálculo, por ejemplo,> A union B:%=eval(%);A B { 0, 1, 2, 3, 4, 6 } 26
  • Lo anterior es claramente mucho más sencillo de leer e interpretar.Por otro lado, Si queremos calcular la intersección de A con B, utilizamos elcomando intersect, del modo siguiente,> A intersect B:%=eval(%);A B { 0, 2 }También podemos efectuar operaciones entre más de dos conjuntos, por ejemplo,> A union B union {8,9}:%=eval(%);(A B) { 8, 9 } { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 }> A intersect B intersect {2,6,7}:%=eval(%);(A B) { 2, 6, 7 } { 2 }Los elementos de los conjuntos pueden ser incluso palabras o letras individuales,por ejemplo,> C:={oaxaca, federal,chiapas,guerrero};C := { guerrero, oaxaca, federal, chiapas}> E:={sonora, nayarit, tijuana, oaxaca};E := { oaxaca, sonora, nayarit, tijuana}Si calculamos nuevamente la unión e intersección con estos dos nuevosconjuntos, entonces,> C union E:%=eval(%);C E { guerrero, oaxaca, federal, chiapas sonora, nayarit, tijuana} ,> C intersect E:%=eval(%);C E { oaxaca} 27
  • Asimismo, podemos, obtener la diferencia entre conjuntos, utilizando el comandominus, por ejemplo,A minus B:%=eval(%);A B { 1, 3 }> C minus E:%=eval(%);C E { guerrero, federal, chiapas}Note que el símbolo para la diferencia de conjuntos, Maple lo designa con unadiagonal invertida.También podemos calcular el complemento de un conjunto en relación a suuniverso, recordando que A=U-A, para obtener A y B lo hacemos de la siguientemanera,> U minus A:%=eval(%);U A { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }> U minus B:%=eval(%);U B { 1, 3, 5, 7, 8, 9 }Relación de inclusiónAdemás, podemos calificar de falso y verdadero la relación de inclusión entreconjuntos, utilizando el comando subset, por ejemplo,> {5} subset {3,5,0};{5} { 0, 3, 5 }> evalb(%); 28
  • true> {8,9} subset {1,2,3,4,5,6,7,8,0};{ 8, 9 } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }> evalb(%);falseConjunto potenciaPara generar todos los subconjuntos de un conjunto, es decir el conjunto potencia,activamos primeramente la librería combinat, que incluye el comando que generael conjunto potencia, como a continuación se describe,> with(combinat);[ Chi, bell, binomial, cartprod, character, choose, composition conjpart, decodepart, , encodepart, fibonacci, firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial nextpart, , numbcomb numbcomp numbpart, numbperm partition permute, powerset, , , , , prevpart, randcomb, randpart, randperm, setpartition stirling1 stirling2 subsets, , , , vectoint]Ahora, si podemos construir el conjunto potencia, utilizamos para tal efecto elcomando powerset, por ejemplo, si queremos obtener el conjunto potencia de{a,b,c} escribimos,> conpot:=powerset({a,b,c});conpot := { { }, { a, c, b }, { c, b }, { b }, { a, b }, { a }, { c }, { a, c } } 29
  • La cardinalidad del conjunto „conpot‟ se calcula con el comando nops, de lasiguiente manera> nops(conpot);8Si deseamos obtener el quinto elemento del conjunto potencia, escribimos lavariable que contiene el conjunto potencia y entre corchetes el número delconjunto deseado tal y como aparece en la enumeración de conpot,> conpot[5];{ a, b }Práctica 1. Defina por enumeración los siguientes conjuntos U números dígitos , A números primos menores que 10 , B números pares menores que 10 , C números impares menores que 10 . Nota: Se utilizarán los conjuntos definidos anteriormente en los ejercicios siguientes. 2. Califique de falso o verdadero los siguientes: 2 A , 7 C . 3. Determine los siguientes conjuntos: a) A B b) B C A B C c) 30
  • d) B e) B A4. Obtenga el valor de verdad de a) 2,7 A b) A B5. Calcule el conjunto potencia de A, y la cardinalidad del mismo.6. (*)Con los conjuntos definidos anteriormente verificar que se cumplen la ley distributiva (incisos a y b) y las leyes de De Morgan (incisos c y d): a) A (B C) A B A C b) A (B C) A B A C c) A B A B d) A B A B 31
  • Laboratorio 2. Operaciones aritméticas y variablesEn este laboratorio aprenderá a resolver expresiones aritméticas, nombrarvariables, sustitución de variables, uso del comando evalf, el comando unassign,entre otros.Operaciones aritméticasCálculos numéricos> 7+4; 11> 16*78963598; 1263417568> 146^78; 65996780678918288882321420951850915711065483639179945 375049806322604923950238423746220894239544965562 567065493517507948972652557288423323945356491453 91160408523340251136> 2/5+8/7-5/4; 41 140 32
  • El resultado anterior se da en una expresión de quebrado, si requiere conocer elresultado numérico, tendrá que utilizar el comando evalf(%): El símbolo %considera el paso anterior calculado.> evalf(%); 0.2928571429Puede utilizar toda la expresión para evaluarla numéricamente, en lugar delsímbolo %.> evalf(2/5+8/7-5/4); 0.2928571429A continuación nombraremos a una expresión por una variable> k:=2/5+8/7-5/4; 41 k := 140Entonces puede sustituir la variable k en el comando evalf> evalf(k); 0.2928571429Ahora para obtener la raíz cuadrada de cualquier número, se requiere utilizar elcomando sqrt()> sqrt(31); 31 33
  • El resultado que se obtiene es expresado en forma de raíz; si se requiere laexpresión numérica puede utilizar nuevamente el comando evalf(%)> evalf(%); 5.567764363Para el símbolo debe teclear Pi> 5*Pi; 5pPor lo que respecta a la expresión exponencial, ex , debemos escribirla de lasiguiente manera:> exp(x);exSi hacemos algún cálculo diferente del exponente x, por ejemplo e2 , debemosescribir:> exp(2);e2Para expresiones que involucren valor absoluto, por ejemplo, x , escriba de lasiguiente manera:> abs(x); xSi requiere hacer algún cálculo numérico en valor absoluto, 10 ; escriba :> abs(-10); 34
  • 10En lo que respecta al logaritmo natural, ln x , escríbalo de la siguiente forma:> log(x); ln xSi necesita de algún cálculo numérico, como el siguiente, evalf (log(20)) , hágalo dela siguiente manera:> evalf(log(20)); 2.995732274Para expresar un logaritmo en cualquier otra base, por ejemplo, evalf (log4 340 ,> evalf(log[4](340)); 4.204695468Si requiere descomponer un número en sus números primos, puede utilizar elcomando ifactor, de la siguiente forma:> ifactor(435432654343563425); 2 5 17417306173742537Si quiere construir una secuencia de números, se debe utilizar el comando seq.¿Cuales son los resultados de la expresión x2 2x 1 dando valores en el dominiodesde -10 hasta 10?> seq(k^2+2*k+1,k=-10...10); 35
  • 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121Otro ejemplo es : x 1 , dominio desde 1 hasta 10> seq(sqrt(k-1),k=1...10); 0, 1, 2, 3 , 2, 5, 6, 7, 2 2, 3Si requiere conocer los resultados de las raíces deberá utilizar nuevamente elcomando evalf(%)> evalf(%); 0., 1., 1.414213562 1.732050808 2., 2.236067977 , , , 2.449489743 2.645751311 2.828427124 3. , , ,Sustitución de valores en expresiones algebraicas 2x3Se tiene la siguiente expresión 2x5 3x4 x2 1, y se requiere evaluarla 3cuando x=2; a continuación el procedimiento que debe hacerse para evaluar laexpresión antes mencionada en el valor de x:Nombre a x=2;> x:=2; x :=2Nombre la expresión con alguna letra, por ejemplo z, y obtendrá el resultado finalcuando x=2 36
  • > z:=2*x^5-3*x^4+2/3*x^3+x^2+1; 79 z := 3Si requiere sustituir otro valor de x, tendrá que utilizar el comandounassign(„variable‟),> unassign(x);> x:=0; x :=0> z:=2*x^5-3*x^4+2/3*x^3+x^2+1; z :=1Para cambiar todas las variables hechas, utilice el comando, restart yautomáticamente borrará toda la memoria del programa Maple.> restart;Práctica 1. Calcule siguiente expresión numérica 3732: 2. Calcule la raíz de 6789 con 15 dígitos: 5 34 3. De el resultado numérico de la siguiente expresión 10 4. Descomponga en sus factores el siguiente número 49132748923749732047120397 37
  • 5. Evalúe la siguiente expresión cuando x 4 en x3 2x2 x 10 , posteriormente utilizando el comando unassign evalúe en x 3.6. (*)Determine cual de los siguientes números de la sucesión no es primo: 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331, 333333331. 47. (*)Demuestre que la ecuación w x4 y4 z 4 , tiene una solución cuando w 2682440 x 15365639 y 18796760 y z , , 20615673. 38
  • Laboratorio 3. Expresiones AlgebraicasEn esté laboratorio aprenderá a manejar algunos aspectos algebraicos, porejemplo, utilizará el comando eval para evaluar expresiones, el comando expandpara multiplicación de binomios, otros comandos a utilizar son el comando factor elcual factorizará expresiones algebraicas, el comando simplify el cual simplificaráexpresiones; así como también el comando rationalize el cual es útil pararacionalizar expresiones.Uso del comando evalAntes de iniciar limpie las variables de Maple con el comando restart> restart;Nombre la siguiente expresión 3x3 2x 1 por la letra h> h:=3*x^3-2*x+1; h :=3 x3 K 2 x C 1Evalúe h cuando x 2 ,> eval(h,x=2);21En su caso pudo haber sustituido directamente la expresión en el comando eval,> eval(3*x^3-2*x+1,x=2); 39
  • 21 x yEvalúe la siguiente expresión implícita z cuando x 2, y 3 2x 3 y 2> z:= (x+y)/(2*x+3*y^2); xC y z := 2 x C 3 y2Cuando se tiene una expresión, donde deben evaluarse dos variables o más, esnecesario utilizar corchetes, para los valores de las variables a evaluar> eval(z,[x=2,y=3]); 5 31El resultado obtenido es en fracción, si se requiere el valor en decimales, debeutilizar el comando evalf y el símbolo %> evalf(%);0.1612903226También puede utilizar este comando para comprobar una ecuación. Por ejemplo,x2 2x 1 0 , cuando x 2> ecuacion1:=x^2-2*x+1 = 0; ecuacion1:=x2 K 2 x C 1 = 0> eval(ecuacion1,x=2); 1=0La solución a la ecuación es cuando x 1 40
  • > eval(ecuacion1,x=1); 0=0Uso del comando expandRealice la siguiente la siguiente multiplicación, nombrándola por la letra m 3 2 2x 1 3x 1 x 1> m:=(2*x+1)*(3*x+1)^3*(x+1)^2; 3 2 m := 2 x C 1 3xC 1 xC 1> expand(m); 54 x6 C 189 x5 C 261 x4 C 182 x3 C 68 x2 C 13 x C 1 5Desarrolle el siguiente binomio x 1> d:=(x+1)^5; 5 d := x C 1> expand(d); x5 C 5 x4 C 10 x3 C 10 x2 C 5 x C 1Uso de los comandos eval y expandEn está subsección se combinarán el uso de los dos comandos. En lugar desustituir valores de x, se sustituirán expresiones 41
  • Evaluar la siguiente expresión r : x3 2x2 x 2 cuando x x 1> r:=x^3-2*x^2+x-2; r :=x3 K 2 x2 C x K 2> f:=eval(r,x=x+1); 3 2 f := x C 1 K 2 xC 1 C xK 1> expand(f); x3 C x2 K 2Uso del comando factorFactorizar la siguiente expresión x2 4x 4> q:=x^2-4*x+4; q :=x2 K 4 x C 4> factor(q); 2 xK 2O en su caso puede sustituir toda la expresión en el comando factor:> factor(x^2-4*x+4); 2 xK 2Factorizar x4 5x2 4> factor(x^4-5*x^2+4); 42
  • xK 1 xK 2 xC 2 xC 1Factorizar 108a6 180a5 45a4 45a3 18a2> s:=108*a^6-180*a^5+45*a^4+45*a^3-18*a^2; s :=108 a6 K 180 a5 C 45 a4 C 45 a3 K 18 a2> factor(s); 9 a2 a K 1 2 aC 1 2 aK 1 3 aK 2También puede factorizar expresiones racionales. Por ejemplo, factorizar3x2 2x 8 x 2> e:=(3*x^2+2*x-8)/(x+2); 3 x2 C 2 x K 8 e := xC 2> factor(e); 3xK 4Puede usar el comando factor para factorizar el numerador y denominador de una y 4 y3 y 1expresión racional. Por ejemplo, y2 1> j:=(y^4-y^3-y+1)/(y^2-1); y4 K y3 K y C 1 j := y2 K 1> factor(numer(j)); 43
  • y2 C y C 1 yK 1 2> factor(denom(j)); yK 1 yC 1Uso del comando simplify 1Simplifique la siguiente expresión: 1 1 1 1 x 1> r:=1/(1+1/(1+1/(x+1))); 1 r := 1 1C 1 1C xC 1> simplify(r); xC 2 2xC 3 z 2 z 2Simplifique: z 2 z 2 z 2 1 z 2> restart;> t:=((z+2)/(z-2)-(z-2)/(z+2))/(1+(z+2)/(z-2)); 44
  • zC 2 zK 2 K zK 2 zC 2 t := zC 2 1C zK 2> simplify(t); 4 zC 2Uso del comando rationalizeEl comando rationalize elimina los radicales del denominador en expresionesnuméricas o algebraicas, por ejemplo,> (sqrt(5)-sqrt(3))/(sqrt(5)+sqrt(3)); ( 1/2 ) ( 1/2 )5 3 ( 1/2 ) ( 1/2 )5 3> rationalize(%);1 ( 1/2 ) ( 1/2 ) 2 (5 3 )2Si utilizamos expresiones algebraicas tenemos,> (sqrt(5)-sqrt(3))/(sqrt(5)+sqrt(3)); 5K 3 5C 3> rationalize(%); 45
  • 1 2 5K 3 2Ahora, utilizando expresiones algebraicas, construimos los siguientes ejemplos,> (x-2)/(sqrt(x)-1); xK 2 x K 1> rationalize(%); xK 2 1C x xK 1> x/(-5+sqrt(2)); x $5 C 2> rationalize(%); 1 $ x 5C 2 23Práctica 2 1. Nombre la siguiente expresión 2x 3x por la letra f, y evalúe para x 2 2 3 2. Evalúe 8x 12x 5x , cuando x 2 3. Nombre la siguiente expresión 6x 3x2 por la letra v y evalúe cuando x 3u 2 de su resultado sin factorizar 46
  • 6 3x 24. Realice la siguiente operación: 3 2 25. Evalúe la siguiente expresión x y x y x y2 , cuando: x 2 y y 3 2 x 1 x 16. Realice la siguiente operación x x2 17. Multiplique la siguiente expresión 48. Factorice la siguiente expresión 81 c 3 3 2 29. Factorice la siguiente expresión a 4b 4ab a b w 3 w 3 w 3 1 110. Simplifique la siguiente expresión w 3 w 3 311. Racionalice la siguiente expresión 3 212. (*)Simplifique c c 2 cd c d3 c d c d3 x 1 c d z 12 z 1 z2 113. (*)Demostrar que 2 2 b b2 ax bx c a x c 2a 4a 47
  • Laboratorio 4. GráficasEn está sección aprenderá a graficar diferentes expresiones de una variable, asícomo también buscar puntos en el plano cartesiano, al mismo tiempo combinardiferentes estructuras para graficar.Antes de iniciar está sección debemos ejecutar el ayudante de Maple, el comandowith(plots), junto con el comando restart.Gráficas> restart;with(plots):Warning, the name changecoords has been redefinedUsando el comando plot para graficar, grafique x2 40x 80 con un dominio de 10...10> plot(x^2-40*x+80,x=-10...10); 48
  • Gráfica 1Grafica la expresión anterior ahora con un dominio de , ;> plot(x^2-40*x+80,x=-infinity...infinity);Gráfica 2Grafica la siguiente expresión x3 3x 8 con dominio de [-1...7]> plot(x^3-3*x+8,x=-1..7); 49
  • Gráfica 3La expresión anterior ahora con un dominio de [-10...10]> plot(x^3-3*x+8,x=-10..10);Gráfica 4También puede usted seleccionar el rango de su interés.> plot(x^3-3*x+8,x=0..10,y=0..10); 50
  • Gráfica 5Puede buscar puntos sobre la gráfica, dando un click sobre el gráfico, observecomo se activa en la barra de herramientas de Maple, las herramientas paragráficos. De click a cada uno de ellos y observe lo que sucede con el gráfico. x2 1Grafique la siguiente expresión racional con dominio de [1/2..4] x> plot((x^2+1)/x,x=1/2...4);Gráfica 6> restart;with(plots): 51
  • Warning, the name changecoords has been redefined> A:=(x^2+1)/x; x2 C 1 A := x> plot(A,x=-10..10);Gráfica 7> plot(A,x=-5..5,y=-5..5);Gráfica 8> plot(abs(x),x=-10..10); 52
  • Gráfica 9> plot(2^x,x=0..10);Gráfica 10> plot(2*ln(x+1),x=0..10); 53
  • Gráfica 11> plot(sqrt(x),x=0..10);Gráfica 12Ahora se graficarán dos funciones en un sólo plano: las gráficas de x 2 y de x .Para graficar las dos funciones tendrán que introducir las dos expresiones entrecorchetes.> restart;with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined 54
  • > plot([x^2,x],x=-5..5,y=-5..5);Gráfica 13Además puede cambiar el color de las gráficas a los de su preferencia de acuerdoa los colores de Maple.aquamarine black blue navy coral cyanbrown gold green gray khaki magentamaroon orange pink plum red siennatan turquoise violet wheat white yellow> plot([x^2,x],x=-5..5,y=-5..5,color=[pink,navy]); 55
  • Gráfica 14Grafique x 2 y también 4 x> plot([x+2,4-x],x=0...4,y=0..4);Gráfica 15Gráfica de puntosGrafique el punto (-5,6). Para ello tendrá que introducir el punto entre corchetes,mencionando el estilo de gráfico que requiere, el cual es de punto.> plot([[-5,6]],style=point); 56
  • Gráfica 16Grafique los siguientes puntos (-5,5),(0,4),(5,-5)> plot([[-5,-5],[0,4],[5,-5]],style=point);Gráfica 17Ahora una los puntos anteriores por líneas> plot([[-5,-5],[0,4],[5,-5]],style=line); 57
  • Gráfica 18Igualmente puede escoger el tipo de punto que requiera de acuerdo a los quemaneja el Maple( diamond, circle, cross por default)> plot([[1,3],[-8,5],[-1,0],[9,2]],style=point,color=navy,symbol=diamond);Gráfica 19Para graficar las siguientes expresiones y sus intersecciones use el comandodisplay.> figura1 := plot([-3*x+5,9-x^2],x=-3..5,color=[green,red]):> figura2 := plot([[-1,8],[4,-7]],style=point,color=blue,symbol=circle): 58
  • > display([figura1,figura2]);Gráfica 20De igual forma puede utilizar un grupo de ecuaciones a graficar sin usar elsemicolon, solo con las teclas SHIFT+ENTER.> figura1 := plot([-3*x+5,9-x^2],x=-3..5,color=[green,red]):figura2 := plot([[-1,8],[4,-7]],style=point,color=blue,symbol=circle):display([figura1,figura2]);Gráfica 21 59
  • Práctica 3 1. Grafique la siguiente expresión 1 x con dominio de [-10..10]. 2. Grafique la expresión anterior estableciendo el dominio y el rango, Rango=[-5..5]. 3 2 x 5...5 3. Grafique las siguientes expresiones 1 x , x ,2x 1 cuando , y 5...5 el color para la primera expresión: blue, para la segunda: pink y la tercera: black. 3 2 x 5...5 4. Grafique las siguientes expresiones 1 x , x ,2x 1 cuando , y 5...5 el color para la primera expresión: blue, para la segunda: pink y 0,1 0.45,0.15 la tercera: black. También grafique las intersecciones , , 0.75,0.60 , utilizando el comando display. 5. (*)Construya y grafique una función polinomial de grado 5, con 4 raíces enteras en el intervalo 5,5 60
  • Laboratorio 5. EcuacionesEn esté laboratorio aprenderá el comando solve, él cual es utilizado para encontrarlas soluciones exactas de ecuaciones, en su momento utilizar gráficos paraencontrar soluciones aproximadas, al mismo tiempo utilizando el comando fsolve,él cual da soluciones aproximadas.Antes de iniciar utilice los comandos siguientes> restart;with(plots):Warning, the name changecoords has been redefinedManipulación de un sistema de igualación.Nombre siguiente sistema de igualación por ecu1, ecu1: x x 1 2x x 1> ecu1:=x*(x+1)=2*x*(x-1); ecu1 :=x x C 1 = 2 x x K 1Obtenga la expresión del lado derecho:> rhs(ecu1); 2x xK 1Extraiga la expresión del lado izquierdo> lhs(ecu1); 61
  • x xC 1Ahora reste ambas expresiones, nombrándolas ecu2> ecu2:=lhs(ecu1)-rhs(ecu1)=0; ecu2 :=x x C 1 K 2 x x K 1 = 0Luego encuentre la solución para ecu2=0> solve(ecu2,x); 0, 3Utilizando N[1], le devolverá la solución 1, utilizando N[2], dará como resultado lasolución 2 de ecu2.> N:=solve(ecu2,x); N :=0, 3> N[1]; 0> N[2]; 3Finalmente sustituya los valores para comprobar si ecu2=0> eval(ecu2,x=N[1]); 62
  • 0=0> eval(ecu2,x=N[2]); 0=0Ahora se resolverá una ecuación, la cual no tiene una solución exactaEmpezaremos por nombrar la ecuación ecu1, ecu1: 3x3 24x2 x 4>restart;> ecu1:=3*x^3-24*x^2+x+4; ecu1 :=3 x3 K 24 x2 C x C 4Se observa que la solución tiene números imaginarios, entonces encontremos unasolución aproximada, de la siguiente manera, utilizando el comando evalf()> sol1:=solve(ecu1,x); 1 1/3 21 sol1:= 482C I 17723 C 1/3 3 482C I 17723 8 1 1/3 C ,$ 482C I 17723 K 3 6 21 8 1/3 C 2 482C I 17723 3 1 1 1/3 C I 3 482C I 17723 K 2 3 21 1/3 , 482C I 17723 1 1/3 21 $ 482C I 17723 K 1/3 6 2 482C I 17723 8 1 C K I 3 3 2 1 1/3 21 482C I 17723 K 1/3 3 482C I 17723 63
  • Finalmente se convertirá la sol1 en un vector normal para quitar los númerosimaginarios, utilizando el comando fnormal()> p:=fnormal([sol1]); 1 p := 3 2/3 1/3 482C I 17723 C 63 C 8 482C I 17723 1/3 , 482C I 17723 1 1 2/3 1/3 $ 482C I 17723 K 63 6 482C I 17723 1/3 C 16 482C I 17723 2/3 1 C I 3 482C I 17723 K 63 I 3 , 6 1 2/3 1/3 $ 482C I 17723 K 63 482C I 17723 1/3 2/3 C 16 482C I 17723 K I 3 482C I 17723 C 63 I 3A continuación se ha convertido la sol1 en un vector normal. Ahorasimplificaremos el vector. Finalmente encontremos la solución aproximada> j:=simplify(p); 1 1 8 j := 2 7 cos arctan 17723 C , 3 482 3 1 1 $ 7 cos arctan 17723 3 482 8 1 1 C K 7 sin arctan 17723 3, 3 3 482 1 1 8 $ 7 cos arctan 17723 C 3 482 3 1 1 C 7 sin arctan 17723 3 3 482 64
  • >solucion:=evalf(j); solucion:= 7.936835481 K .3795022885 0.4426668085 , ,Puede utilizar el comando fsolve() para encontrar directamente la solución demanera aproximada. Sin embargo, no es muy recomendable aplicar directamenteel comando fsolve, ya que en ocasiones la solución que se arroja es cero o da unaúnica solución, por lo cual debemos graficar para encontrar los valores donde laecuación se hace cero y buscar las aproximaciones. Es recomendable utilizar elcomando fsolve, en ecuaciones no polinómicas, exponenciales o combinación dediferentes ecuaciones.> fsolve(ecu1); K .3795022887 0.4426668082 7.936835480 , ,Podemos utilizar también el comando solve para resolver desigualdades de lamisma manera que para solucionar ecuaciones, por ejemplo,> restart;> solve(4*x+7<-3*x+9,x); 2 RealRange $N , Open 7Cuya solución en este caso es el intervalo abierto de números reales desdemenos infinito hasta 2/7Alternativamente se define la desigualdad y se resuelve,> desig1:=(5*x-2)/4>=-3*x+16; 65
  • 5x 33 desig1:=$3 x% K 4 2> solve(desig1,x); 66 RealRange ,N 17De igual manera se solucionan las desigualdades de orden superior, definamos yresolvamos la siguiente desigualdad,> desig2:=(-3*x^2-4*x+7<=-4*x^2+x+13); desig2:=$3 x2 K 4 x%$4 x2 C x C 6> solve(desig2,x); RealRange$1, 6Utilizando el comando fsolve para encontrar las soluciones aproximadas> restart;with(plots);Warning, the name changecoords has been redefined Interactive animate, animate3d animatecurve arrow, , , , changecoords complexplot complexplot3d conformal, , , , conformal3d contourplot contourplot3d coordplot , , , , coordplot3d cylinderplot densityplot display display3d , , , , , fieldplot fieldplot3d gradplot gradplot3d graphplot3d , , , , , implicitplot implicitplot3d inequal interactive , , , , interactiveparams listcontplot listcontplot3d listdensityplot , , , , listplot listplot3d loglogplot logplot, matrixplot, multiple , , , , odeplot, pareto, plotcompare pointplot pointplot3d , , , polarplot polygonplot polygonplot3d polyhedra_supported , , , , polyhedraplot replot, rootlocus semilogplot setoptions , , , , setoptions3d spacecurve sparsematrixplot sphereplot , , , , surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot 66
  • El comando fsolve, ayudará encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones. Sinembargo se observará como devuelve soluciones cero, lo cuál indica que setendrá que graficar para encontrar una solución o soluciones aproximadas.Nombra la siguiente ecuación ecu1: 3x3 24x2 x 4 (Es el último ejemplo de lasección anterior)> ecu1:=x^3-24*x^2+x+4=0; ecu1 :=x3 K 24 x2 C x C 4 = 0Ahora utilice el comando fsolve para encontrar la solución:> fsolve(ecu1,x); K .3850267687 0.4337509254 23.95127584 , ,Devuelve las mismas tres soluciones encontradas en la sección anterior.A continuación observaremos las soluciones que arroja el comando fsolve de ésteproblema:Nombra la siguiente ecuación por ecu2,> ecu2:=x^3+1-exp(x)=0; ecu2 :=x3 C 1 K e x = 0Utilice el comando fsolve, para encontrar la solución:> fsolve(ecu2,x); 0. 67
  • EL resultado que arroja es cero, lo cual es una solución real. Pero en realidad noes la solución única, luego entonces debe graficar para darse cuenta cuantasveces la gráfica corta el eje x:> plot(x^3+1-exp(x),x=-3...5,y=-5..15);Gráfica 22De acuerdo a la gráfica se hacen cuatro cortes, entonces hay cuatro soluciones,de hecho una de ellas es cero, la cual nos arrojó la solución anterior al usar elcomando fsolve. Ahora encontrará las soluciones aproximadas dando dominios alcomando fsolve; por ejemplo, la primera parte que corta al eje x está entre 1, 0.3 , aplique el comando fsolve para encontrar la solución en ese dominiorestringido.> fsolve(ecu2,x=-2..-0.3); K .8251554697Ahora encontramos ese valor, resuelva así para encontrar los otros dos valores:> fsolve(ecu2,x=1..2); 68
  • 1.545007279> fsolve(ecu2,x=4..5); 4.567036837De esta forma se tienen las cuatro soluciones de la ecuación.A continuación se resolverán dos ecuaciones, las cuales se intersectan, por lo cualse encontrará por graficación y con el comando fsolve, las intersección entre lasgraficas y el eje xNombre las dos siguientes ecuaciones por y1: 20 x2 y y2: 10 3x> y1:=-20+x^2; y1 :=$20 C x2> y2:=-10-3*x; y2 :=$10K 3 xGraficando las dos ecuaciones:> plot([y1,y2],x=-10..10);Gráfica 23 69
  • Si se da un click en la gráfica se puede observar de manera aproximada que lasintersecciones entre las graficas son (-5.04,5.50) y (1.89,-15.08); así comotambién las intersecciones con el eje x son (-4.67,0) y (4.67,0); también la rectacorta al eje x en (-3.22,0).A continuación calcule de manera exacta tales puntos de intersección con elcomando fsolve, igualando primeramente las ecuaciones:> ecuacion:=y1=y2; ecuacion:=$20 C x2 = $10 K 3 xDespués encuentre la solución con el comando fsolve:> sol1_x:=fsolve(y1=y2,x=-5.5..-4.8); sol1_x:=K 5.000000000> sol2_x:=fsolve(y1=y2,x=0..5.5); sol2_x:=2.000000000Finalmente encuentre el valor de y, con el comando eval:> sol1_y:=eval(y1,x=sol1_x); sol1_y:=5.00000000> sol2_y:=eval(y1,x=sol2_x); sol2_y:=K 16.00000000Así que las intersecciones de las gráficas son: (-5,5) y (2,-16). 70
  • Ahora se encontrará los valores cuando se hacen cero las ecuaciones:> sol3_x:=fsolve(y1=0,x); sol3_x:=K 4.472135955 4.472135955 ,> sol4_x:=fsolve(y2=0,x); sol4_x:=K 3.333333333> sol3_x[1]; K 4.472135955> sol3_x[2]; 4.472135955> sol5_y:=eval(y1,x=sol3_x[1]); sol5_y:=0.> sol6_y:=eval(y1,x=sol3_x[2]); sol6_y:=0.> sol7_y:=eval(y2,x=sol4_x); sol7_y:=K 1. 10-9Los puntos que cruzan al eje x son: (-4.47,0),(4.47,0) y (-3.33,-1.10-9).Solución de ecuaciones con literales> restart; 71
  • uDespeje u de la siguiente expresión: s au vPrimeramente nombre la expresión por alguna letra.> z:=s = u/(a*u+v); u z :=s = a uC vUtilice el comando solve para despejar u> u=solve(z,u); sv u=$ s aK 1Enseguida resuelve para a> a=solve(z,a); svK u a=$ suAhora resuelve para v> v=solve(z,v); u s aK 1 v =$ sSolución de sistemas de ecuaciones lineales, usando el comando solve> restart;with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined 72
  • A continuación se resolverá un sistema de ecuaciones lineales, los cuales son lassiguientes: x y 3, x y 1; se observa cómo las funciones estánimplícitamente, aún así se encontrará su solución, usando el comando solve:> ecu1:=x+y=3; ecu1 :=x C y = 3> ecu2:=x-y=-1; ecu2:=x K y = $1Para encontrar la solución tendrá que introducir ecu1 y ecu2 entre llaves en elcomando solve> solucion:=solve({ecu1,ecu2}); solucion:= y = 2, x = 1Enseguida despejaremos para el valor de y> y1:=solve(ecu1,y); y1 :=$x C 3> y2:=solve(ecu2,y); y2 :=x C 1A continuación se graficarán las ecuaciones anteriores, indicando el punto deintersección; utilizando el comando display> grafico1:=plot([y1,y2],x=0..5,y=0..5,color=[red,blue]):> grafico2:=plot([[1,2]],style=point,color=green,symbol=circle): 73
  • > display([grafico1,grafico2]);Gráfica 24También se puede graficar como si fueran funciones implícitas, utilizando elcomando implicitplot (en esté comando no puede utilizar la sentencia color, paraespecificar el color de los gráficos)> implicitplot({ecu1,ecu2},x=0..5,y=0..5);Gráfica 25Ahora se resolverá un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas;> restart;Nombra las tres siguientes ecuaciones 74
  • 2x y z 3 x 2 y 2z 1 . : x y 3z 6> ecu1:=2*x+y+z = 3;ecu2:=-x+2*y+2*z = 1;ecu3:=x-y-3*z = -6; ecu1 :=2 x C y C z = 3 ecu2:=$x C 2 y C 2 z = 1 ecu3:=x K y K 3 z = $6> sol:=solve({ecu1,ecu2,ecu3}); sol:= z = 3, x = 1, y = $2> eval(ecu1,sol); 3=3> eval(ecu2,sol); 1=1> eval(ecu3,sol); $6 = $6Sistemas de ecuaciones simultáneas con un número infinito de soluciones> restart;Nombra las siguientes dos ecuaciones:> ecu1:=x-3*z=-3;ecu2:=2*x-5*y-z=-2; 75
  • ecu1:=x K 3 z = $3 ecu2:=2 x K 5 y K z = $2> sol:=solve({ecu1,ecu2}); 4 3 sol := z = C y, x = $ C 3 y, y = y 5 5Nos indica que y puede tomar cualquier valor arbitrario.Práctica 1. Declare ec1 3x 5 17 , ec2 6x 25 12 , construya ec3 ec1 ec2 y resuelva ec3 2 2. Resuelva la ecuación x 9x 20 0 3. Compruebe para la segunda solución 4. Encuentre las raíces de la función 22 ec7 ex 3x3 x2 x 21 5. Grafique y encuentre las coordenadas de la intersección de las curvas eq1 x2 x 2 eq2 x 1 6. Despeje x y u de la expresión 3x2 u y z 76
  • 7. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas (y grafique implícitamente) 4x 3 y 17 2x y 18. Obtenga el intervalo de números reales que satisfagan la siguiente desigualdad 5 5x 6 7 8x 39. (*)Encuentre y grafique una función polinomial de grado 4, con 3 raíces racionales en el intervalo 0,1 .10. (*)Encuentre y grafique las coordenadas de los 4 puntos de intersección de las curvas definidas por: x2 y2 9 2 4x 25y 2 100 77
  • Laboratorio 6. MatricesPara efectuar operaciones con matrices se necesita la biblioteca de matrices, paraello se utiliza el comando with(LinearAlgebra); recuerde que puede utilizar dospuntos al final o punto y coma (;) para ver todos los comando que tiene el Maplepara operaciones con matrices.Luego entonces llamaremos la biblioteca del Maple y borraremos la memoria.> restart;with(LinearAlgebra);[ &x, Add, Adjoint BackwardSubstituteBandMatrix Basis, BezoutMatrix , , , , BidiagonalFormBilinearForm CharacteristicMatrixCharacteristicPolynomial , , , , Column, ColumnDimensionColumnOperationColumnSpace CompanionMatrix , , , , ConditionNumberConstantMatrix ConstantVector Copy, CreatePermutation , , , , CrossProduct DeleteColumn DeleteRow Determinant Diagonal DiagonalMatrix , , , , , , Dimension DimensionsDotProduct, EigenConditionNumbersEigenvalues , , , , Eigenvectors Equal, ForwardSubstituteFrobeniusForm GaussianElimination , , , , GenerateEquationsGenerateMatrix GetResultDataTypeGetResultShape , , , , GivensRotationMatrixGramSchmidt HankelMatrix HermiteForm , , , , HermitianTransposeHessenbergForm HilbertMatrix HouseholderMatrix , , , , IdentityMatrix IntersectionBasisIsDefinite IsOrthogonal IsSimilar IsUnitary , , , , , , JordanBlockMatrix JordanForm LA_Main LUDecompositionLeastSquares , , , , , LinearSolve Map, Map2, MatrixAdd MatrixExponentialMatrixFunction , , , , MatrixInverse MatrixMatrixMultiplyMatrixNorm MatrixPower , , , , MatrixScalarMultiplyMatrixVectorMultiplyMinimalPolynomialMinor, Modular, , , , 78
  • Multiply, NoUserValue Norm, Normalize NullSpace, OuterProductMatrix , , , Permanent, Pivot, PopovForm QRDecompositionRandomMatrix RandomVector , , , , Rank, RationalCanonicalFormReducedRowEchelonFormRow, RowDimension , , , RowOperation RowSpace ScalarMatrix ScalarMultiply ScalarVector, , , , , SchurForm, SingularValues SmithForm SubMatrix SubVector, SumBasis , , , , SylvesterMatrix ToeplitzMatrix Trace, Transpose TridiagonalFormUnitVector , , , , , VandermondeMatrixVectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiplyVectorNorm, , , VectorScalarMultiply ZeroMatrix ZeroVector, Zip] , ,Los comandos que fueron desplegados anteriormente son todos los comandosque pueden utilizarse en operaciones con matrices.Creación de una matrizPara crear una matriz se puede hacer de diferentes formas, por filas o columnas.Se debe nombrar la matriz para posteriormente utilizarla en operacionesalgebraicas.Creación de una matriz por filas:> a:=<<2|3|4>,<5|0|1>,<8|3|1>>; 2 3 4 a := 5 0 1 8 3 1Construcción de una matriz por columnas:> b:=<<2,5,8>|<1,6,9>|<0,6,1>>; 79
  • 2 1 0 b := 5 6 6 8 9 1También puede crear una matriz utilizando el comando Matrix> c:=Matrix([[1,9,0],[1,5,3],[2,7,0]]); 1 9 0 c := 1 5 3 2 7 0Del mismo modo se pueden utilizar las paletas del Maple para crear una matriz, elcual se encuentra en el menú de View que está en la barra de herramientas,donde puede escoger la dimensión de la matriz a trabajar: 80
  • Eliminación de filas y columnas de una matrizPara eliminar una fila de una matriz se utiliza el comando DeleteRow (M,#); dondeM= es la matriz y # la fila que se quiere eliminar> a; 2 3 4 5 0 1 8 3 1> DeleteRow(a,1); 5 0 1 8 3 1> DeleteRow(a,3); 2 3 4 5 0 1> DeleteRow(a,2); 2 3 4 8 3 1Para eliminar columnas se debe utilizar el comando DeleteColumn(M,#); donde Mes la matriz y # es el número de la columna que se quiere eliminar:> a; 81
  • 2 3 4 5 0 1 8 3 1> DeleteColumn(a,1); 3 4 0 1 3 1> DeleteColumn(a,2); 2 4 5 1 8 1> DeleteColumn(a,3); 2 3 5 0 8 3Aumento de filas y columnas de una matrizPara aumentar una fila a una matriz se hace el siguiente procedimiento:> b; 82
  • 2 1 0 5 6 6 8 9 1Establezca y nombre la fila a aumentar en la matriz b:> h:=<<1|2|3>>; h := 1 2 3Introduzca la fila dentro de la matriz b y nómbrela con otro nombre> z:=<b,h>; 2 1 0 5 6 6 z := 8 9 1 1 2 3A continuación se aumentará una columna a la matriz z; establezca y nombre lacolumna que va añadir:> n:=<1,9,0,2>; 1 9 n := 0 2Añade n a z y nómbrela con otro nombre:> q:=<z|n>; 83
  • 2 1 0 1 5 6 6 9 q := 8 9 1 0 1 2 3 2Cambio de una fila o columna por un múltiplo escalarPrimeramente crearemos una matriz> a; 2 3 4 5 0 1 8 3 1Ahora se multiplicará la fila 3 por el escalar 2; para ello se utilizará el comandoRowOperation(M,F,E), donde M, es la matriz; F, es el número de fila y E es elescalar a multiplicar.> RowOperation(a,3,2); 2 3 4 5 0 1 16 6 2> RowOperation(a,2,5); 84
  • 2 3 4 25 0 5 8 3 1> RowOperation(a,1,-3); K 6 K 9 K 12 5 0 1 8 3 1Finalmente se hará para las columnas, solo que el comando esColumnOperation(M,F,E), donde M, es la matriz; F, es el número de columna y Ees el escalar a multiplicar.> ColumnOperation(a,1,2); 4 3 4 10 0 1 16 3 1> ColumnOperation(a,2,-3); 2 K9 4 5 0 1 8 K9 1> ColumnOperation(a,3,0); 2 3 0 5 0 0 8 3 0 85
  • Intercambio de filas y columnasPara hacer un intercambio de filas o columnas se utiliza el comandoRowOperation para filas y, ColumnOperation para columnas.Primeramente cambiaremos la fila 1 por la 3 de la matriz a:> a; 2 3 4 5 0 1 8 3 1> RowOperation(a,[1,3]); 8 3 1 5 0 1 2 3 4Si observa el intercambio de filas se hace entre corchetes. Ahora se cambiara lafila 2 por la 3:> RowOperation(a,[2,3]); 2 3 4 8 3 1 5 0 1A continuación se hará el intercambio entre columnas.Se cambiara la columna 1 por la 3.> ColumnOperation(a,[1,3]); 86
  • 4 3 2 1 0 5 1 3 8Se observa que el intercambio de columnas se hace entre corchetes al igual queel de filas.> ColumnOperation(a,[2,1]); 3 2 4 0 5 1 3 8 1Extracción de un valor de la matriz o de una submatrizPara extraer un valor de una matriz se debe hacer donde hay la intersección defilas con columna y ese valor será extraído, por ejemplo,Extraer el valor cero del matriz a:> a; 2 3 4 5 0 1 8 3 1> a[2,2]; 0 87
  • Se nombra primeramente la matriz y entre corchetes la intersección ya que el ceroestá en la fila 2 columna 2.Ahora se extraerá el número 8 de la matriz a:> a[3,1]; 8Luego el número 4:> a[1,3]; 4 2 3A continuación para extraer la matriz se debe mencionar que se requiere 5 0desde la fila 1 hasta la fila 2 y desde la columna1 hasta la columna 2> a[1..2,1..2]; 2 3 5 0 2 3 4Si se requiere extraer la matriz se debe mencionar desde la fila1 hasta 5 0 1la fila 2 y desde la columna 1 hasta la columna 3> a[1..2,1..3]; 88
  • 2 3 4 5 0 1 3 4Para extraer la matriz se debe mencionar desde la fila 1 hasta la fila 2 y 0 1desde la columna 2 hasta la columna 3> a[1..2,2..3]; 3 4 0 1Operaciones con matricesAntes de iniciar con operaciones básicas de matrices, suma, resta, multiplicación ypotencia de una matriz, determinante de una matriz, matriz inversa, entre otras;debemos reiniciar el programa y llamar la biblioteca de álgebra lineal.> restart;with(LinearAlgebra):Se establecen dos matrices nombrándolas:> A:=Matrix([[ 4,5,7],[0,1,-2],[-1,3,5 ]]);B:=Matrix([[1,9,0],[3,-5,7],[1,0,-1]]); 4 5 7 A := 0 1 K2 K1 3 5 89
  • 1 9 0 B := 3 K 5 7 1 0 K1Suma y restaPara la suma de matrices simplemente se utiliza el operador de la suma (+).> A+B; 5 14 7 3 K4 5 0 3 4En otro caso puede utilizar el comando MatrixAdd de la siguiente forma:> MatrixAdd(A,B); 5 14 7 3 K4 5 0 3 4En lo que se refiere a la resta de matrices se utiliza el operador de la resta (-);> A-B; 3 K4 7 K3 6 K9 K2 3 6 90
  • MultiplicaciónEn el caso de la multiplicación de matrices el programa Maple no utiliza eloperador (*) para la multiplicación, si no el punto (.); crearemos otra matriz parahacer la multiplicación con más de dos matrices.> C:=Matrix([[1,6,-1],[2,0,-2],[-3,5,7]]); 1 6 K1 C := 2 0 K2 K3 5 7> A.B; 26 11 28 1 K5 9 13 K 24 16> A.B.C; K 36 296 148 K 36 51 72 K 83 158 147Para hacer la multiplicación por un escalar, es necesario utilizar el operador (*):> 2*A; 8 10 14 0 2 K4 K2 6 10> 2*A.B.(3*C); 91
  • K 216 1776 888 K 216 306 432 K 498 948 882También puede utilizar el comando Multiply, solo para multiplicar dos matrices:> Multiply(A,B); 26 11 28 1 K5 9 13 K 24 16> Multiply(A,C); K7 59 35 8 K 10 K 16 K 10 19 30Además de la opción de multiplicar un matriz por un escalar, se puede utilizar elcomando ScalarMultiply o MatrixScalarMultiply> ScalarMultiply(A,2); 8 10 14 0 2 K4 K2 6 10> MatrixScalarMultiply(A,2); 8 10 14 0 2 K4 K2 6 10 92
  • Potencia de una matrizPara aplicar una potencia a una matriz, simplemente eleva la matriz a la potenciaque se requiere:> A; 4 5 7 0 1 K2 K1 3 5> A^2; 9 46 53 2 K 5 K 12 K 9 13 12> A^5; K 1777 1036 K 1069 442 607 1000 K 163 K 2605 K 2940> A^3; K 17 250 236 20 K 31 K 36 K 48 4 K 29 93
  • Transpuesta de una matrizLa transpuesta de una matriz es simplemente el intercambio de filas por columnaso viceversa; para ello debe utilizar el comando Transpose.> A; 4 5 7 0 1 K2 K1 3 5>Transpose(A); 4 0 K1 5 1 3 7 K2 5Determinante de una matrizPara calcular el determinante de un matriz debe utilizar el comando Determinant> A; 4 5 7 0 1 K2 K1 3 5> Determinant(A);61> B; 94
  • 1 9 0 3 K5 7 1 0 K1> Determinant(B);95Inversa de una matrizEn cuanto al cálculo de la inversa de una matriz existen dos formas. La primeraelevando la matriz a la -1 y la segunda utilizando el comando MatrixInverse.> A; 4 5 7 0 1 K2 K1 3 5> A^(-1); 11 K4 K 17 61 61 61 2 27 8 61 61 61 1 K 17 4 61 61 61> MatrixInverse(A); 95
  • 11 K4 K 17 61 61 61 2 27 8 61 61 61 1 K 17 4 61 61 61Sistemas de EcuacionesAntes de iniciar se debe empezar con el comando restart; with(LinearAlgebra):> restart;with(LinearAlgebra):Se tiene un sistema de ecuaciones de dos por dos:> 2*x+5*y=4;8*x+3*y=7; 2xC 5y=4 8xC 3y=7Introduzcamos el sistema a una matriz:> A:=Matrix([[2,5],[8,3]]); 2 5 A := 8 3> b:=Matrix([[4],[7]]); 4 b := 7 96
  • Ahora se resolverá el sistema por el método de eliminación Gaussiana, conocidocomo sistema escalonado; para ello se debe utilizar ReducedRowEchelonForm> c:=ReducedRowEchelonForm(<A|b>); 23 1 0 34 c := 9 0 1 17El resultado para x=23/34, y=9/17.Convertiremos los resultados de la matriz aecuación, utilizando el comando GenerateEquations> GenerateEquations(c,[x,y]); 23 9 x= , y= 34 17También se puede convertir una matriz a un sistema de ecuaciones con el mismocomando anterior, por ejemplo:> q:=Matrix([[1,-5,-4],[1,0,5],[9,-2,1]]); 1 K5 K4 q := 1 0 5 9 K2 1> t:=Matrix([[0],[0],[0]]); 0 t := 0 0 97
  • Se tiene la matriz q que es la de coeficientes y la matriz t que es el de resultados,convertiremos las matrices a un sistema de ecuaciones de tres por tres.> k:=GenerateEquations(q,[x,y,z],<0,0,0>); k := x K 5 y K 4 z = 0, x C 5 z = 0, 9 x K 2 y C z = 0> var:=[x,y,z]; var := x, y, z> GenerateMatrix(k,var); 1 K5 K4 0 1 0 5 , 0 9 K2 1 0> GenerateMatrix(k,var,augmented=true); 1 K5 K4 0 1 0 5 0 9 K2 1 0Ahora se resolverá el sistema con el comando LinearSolve> LinearSolve(%); 0 0 0 98
  • Práctica 1. Construya la siguiente matriz 1 7 9 A: 0 1 3 4 3 0 a) Elimine la fila 3 de la matriz A b) Elimine la columna 3 de la matriz A h: 3 2 5 c) Aumente la siguiente matriz en la matriz A y nombra la nueva matriz por la letra z. 2 12 j: 1 d) Aumente la siguiente matriz 3 a la matriz z y nómbrela q. e) Multiplique la fila 3 de q por 2. f) Multiplique la columna 3 de q por -1/3. g) Intercambie la columna 2 por la columna 1 de q. h) Intercambie la fila 1 por la 3 de q; nómbrela w. i) Extraiga el valor -3 de w 1 7 j) Extraiga la matriz 3 2 de w. 2. Construya las siguientes matrices 7 2 1 3 2 1 15 4 10 A: 3 0 4 B: 7 10 11 C : 7 8 1 1 6 9 5 7 0 0 5 0 99
  • y efectúe las siguientes operaciones: a) a) A+B+C, b) b) AB, c) c) (AB)C, d) d) CA, e) e ) A-BC. f) Transponga la matriz C y nómbrala Ct g) Calcule el determinante de Ct h) Calcule la matriz inversa de Ct3. Construya el siguiente sistema : 8x 12 y 72 9x 12 y 214. Introduzca el sistema anterior en una matriz, resuélvalo por el método de eliminación Gaussiana y convierta el resultado en una ecuación.5. Convierta las siguientes matrices en ecuaciones y resuelva el sistema usando el comando LinearSolve; 1 1 3 5 A: 2 1 4 B: 8 1 1 1 16. (*)Sean 9 2 3 6 4 1 8 A ,B ,C 11 4 2 7 6 5 5 8 12 a) Verifique que A(BC) ( AB)C 100
  • T Tb) Calcule 2 AC T 1 Tc) Calcule 4 CB 1d) Calcule A 3 BC T 101
  • Bibliografía 1. Garvan Frank .“The maple book”, ed. Chapman & Hall/crc, Estados Unidos: 2002. 2. Heck André . Introduction to Maple. Third edition, Ed. Springer, USA 2000. 3. Rafter A. John, Abell L: Martha, Braselton P. James, “Statistics with maple”, Academic Press, USA 2003. 4. www.maplesoft.com 102
  • Índice de gráficasGráfica 1 ......................................................................................................................... 49Gráfica 2 ......................................................................................................................... 49Gráfica 3 ......................................................................................................................... 50Gráfica 4 ......................................................................................................................... 50Gráfica 5 ......................................................................................................................... 51Gráfica 6 ......................................................................................................................... 51Gráfica 7 ......................................................................................................................... 52Gráfica 8 ......................................................................................................................... 52Gráfica 9 ......................................................................................................................... 53Gráfica 10....................................................................................................................... 53Gráfica 11....................................................................................................................... 54Gráfica 12....................................................................................................................... 54Gráfica 13....................................................................................................................... 55Gráfica 14....................................................................................................................... 56Gráfica 15....................................................................................................................... 56Gráfica 16....................................................................................................................... 57Gráfica 17....................................................................................................................... 57Gráfica 18....................................................................................................................... 58Gráfica 19....................................................................................................................... 58Gráfica 20....................................................................................................................... 59Gráfica 21....................................................................................................................... 59Gráfica 22....................................................................................................................... 68Gráfica 23....................................................................................................................... 69Gráfica 24....................................................................................................................... 74Gráfica 25....................................................................................................................... 74 103
  • Índice analítico de comandos A Labs......................................................... 15, 33, 34, 51 lhs ............................................................... 12, 60, 61arccos .................................................................... 15 LinearSolve ............................................... 14, 97, 99arcsin ..................................................................... 15 ln ......................................................................15, 52arctan ..................................................................... 15 log .....................................................................15, 34 C MColumnOperation ............................... 14, 84, 85, 86 Matrix......................................... 13, 79, 88, 90, 95, 96cos.......................................................................... 15 MatrixAdd ........................................................14, 89cot........................................................................... 15 MatrixInverse ..................................................14, 94csc .......................................................................... 15 MatrixScalarMultiply ......................................14, 91 minus................................................................12, 27 Multiply ............................................................14, 91 DDeleteColumn ........................................... 14, 80, 81 NDeleteRow ....................................................... 13, 80denom .............................................................. 12, 43 nops..................................................................12, 29Determinant .............................................. 14, 93, 94 numer ...............................................................12, 42display ............................................ 57, 58, 59, 72, 73 P E Pi 15, 33eval . 6, 13, 25, 26, 27, 38, 39, 40, 41, 61, 62, 69, 70, 74 plot..... 13, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58,evalb........................................................... 24, 27, 28 67, 68, 72evalf................................ 31, 32, 33, 34, 35, 39, 62, 64 powerset ..........................................................12, 28exp......................................................... 15, 33, 66, 67expand .............................................. 6, 13, 38, 40, 41 R F rationalize ............................................ 12, 38, 44, 45 ReducedRowEchelonForm ...........................14, 96factor ................................ 6, 13, 19, 23, 38, 41, 42, 43 restart 12, 36, 38, 43, 47, 50, 53, 60, 62, 64, 65, 70, 71,fsolve .................... 6, 13, 60, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70 73, 74, 77, 88, 95 rhs............................................................... 12, 60, 61 RowOperation ..................................... 14, 83, 84, 85 GGenerateEquations .................................. 14, 96, 97 SGenerateMatrix ............................................... 14, 97 ScalarMultiply .................................................14, 91 sec ......................................................................... 15 I simplify ....................................... 6, 13, 38, 43, 44, 63 sin ......................................................... 15, 22, 45, 58ifactor......................................................... 12, 22, 34 solve .......... 6, 13, 22, 60, 61, 62, 64, 65, 71, 72, 74, 75implicitplot ...................................................... 13, 73 sqrt ............................................ 15, 32, 35, 44, 45, 53in 12, 24, 28 subs ..................................................................13, 22intersection ........................................................... 12 subset ........................................................ 12, 27, 28 104
  • union .......................................................... 12, 25, 26 Ttan..................................................................... 15, 54 WTranspose ....................................................... 14, 93 with .... 11, 12, 13, 23, 28, 47, 50, 53, 60, 65, 71, 77, 88, 95, 101 Uunapply.................................................................. 12unassign............................................... 12, 31, 36, 37 105