Tema 6 siruri seriidefunctii
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Tema 6 siruri seriidefunctii

on

  • 718 views

 

Statistics

Views

Total Views
718
Views on SlideShare
718
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
2
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Tema 6 siruri seriidefunctii Tema 6 siruri seriidefunctii Document Transcript

  • Tema 6 Şiruri şi serii de funcţii. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii Modulul 6.1 - Şiruri şi serii de funcţii. Serii de puteri Şirurile şi seriile de funcţii reale sunt o generalizare naturală a şirurilor şiseriilor de numere reale, care permit studiul riguros al modului de definire aunor funcţii elementare. Clasa seriilor de puteri, caz particular de serii de funcţii,permite o extindere naturală a noţiunii de funcţie polinomială. Definiţia 6.1 Se numeşte şir de funcţii reale definite pe A  R, orice funcţie1] fn : A R,  nN, xA  fn (x)R,  nN şi elementele şirului: fn  F(A,R),  nN, unde F(A, R) = {f | f:AR} şi se va nota (fn ) sau fn cu nN.2] Şirului (fn ) dat prin 1] îi asociem şirul de sume parţiale: n(2) Sn ( x)   f k ( x), x  A şi nN; Sn : A R, nN. Perechea de şiruri de funcţii k 0reale definite pe A:   fn nN ;  Sn nN  se numeşte serie de funcţii reale de termen general fn şi cu şirul sumelor parţiale Sn, notată prin: (3) f n 0 n ( x), x  A sau f n0 n sau f0  f1    f n  ... Exemple. sin x cos nx(1) f n ( x)  cu x  R; (2) f n ( x)  2 cu x  0, 2; n 1 2 n 1(3) f n ( x)  x n , x  0,  şi S n ( x)   x n definesc seria de funcţii n 1  3   k 0 nxk 0 n  1  x  x 2  ...  x n  ... f 0 ( x)  1, f n ( x)  x n 1  x n , n  1, x  [0,1] cu S n ( x)  1    x k 1  x k  n(4) care definesc k 1 seria de funcţii: 1    x n 1  x n , x  [0,1] . k 1 Definiţia 6.2Fie fn : AR R un şi de funcţii reale şi f : A R.1] Şirul de funcţii (fn ) converge punctual (simplu) la funcţia f pe A, dacă şinumai dacă, în fiecare x0 A avem: f n ( x0 )  f ( x0 ) , notat f n  f sau R  pc A  pcpentru fiecare x  A, f ( x)  lim f n ( x) . n2] Şirul de funcţii (fn ) converge uniform la funcţia f pe A, dacă şi numai dacă,avem: (4) >0,  nN independent de x  A a. î.  n n  | fn (x) – f (x)| < , uc xA notat f n  f sau f ( x)  lim f n ( x) uc A   xA. n 143
  • 3] Şirul de funcţii (fn ) este şir uniform Cauchy sau şir uniform fundamentalpe A, dacă şi numai dacă, avem: (5) >0,  nN independent de x  A a.î. n n şi p1  | fn+p (x) – fn (x)| < ,  xA. Observaţii.1. Din definiţia 2, cazul f n  f este caracterizat prin inegalităţi astfel: (6)  pc A xA, >0,  n(x)N a. î.  n n  | fn (x) – f (x)| < .2. Convergenţa punctuală este caracterizată prin faptul că în fiecare x0 A, avemşirul numeric fn (x0) convergent cu limita f (x0) R.3. Convergenţa uniformă, f n  f are o interpretare geometrică în desenul uc A alăturat:   >0 fixat trasăm graficele funcţiilor: f, f - , f +  şi atunci existănN a. î. graficul funcţiei fn (x) cu n n este situat între graficul lui f -  şi allui f + . y f+ fn f f- o x A Exemple. x21. f n ( x)  , x  R şi f n  f cu f(x)= 0,  x R. pc  n 1 A n2 x22. f n ( x)  2 , x  R şi f n  f cu f(x)= x2,  x R. pc  n 1 A 0, x   0,13. f n ( x)  x n , x  [0,1] şi f n  f cu f ( x)   pc   . 1, x  1 A  Definiţia 6.3 nFie fn : A R un şir, şirul de sume parţiale Sn ( x)   f k ( x), x  A şi seria de k 0 funcţii f 0 n ( x), x  A . 1] Seria de funcţii f 0 n este simplu convergentă sau punctual convergentă peA cu suma S, dacă şi numai dacă, S n  S pc A  cu S:AR; notăm pc S ( x)   f n ( x), x  A . 0 144
  • 2] Seria de funcţii f 0 n este uniform convergentă pe A cu suma S, dacă şi uc numai dacă, Sn  S ; notăm S ( x)   f n ( x), x  A . uc A  0 3] Seria de funcţii f 0 n este absolut convergentă pe A, dacă şi numai dacă, seria modulelor  0 f n ( x) este convergentă în  xA. Observaţii.1. Convergenţa punctuală şi respectiv convergenţa uniformă a unei serii defuncţii reale, revine la a studia tipul de convergenţă al şirului de sume parţiale însensul definiţiei 2.2. Din acest motiv, în studiul convergenţei unei serii de funcţii reale, se vorfolosi teoremele şi criteriile relative la convergenţa şirurilor de funcţii reale. Exemple.1. f n ( x)  x n , x  0,  cu Sn ( x)   x k = 1  x  ...  x n  n 1    3 k 0 n 1 1 x 1  1 = + şi Sn  S pc  cu Sn ( x)  , x  0,  . Seria de funcţii 1 x 1 x  1 0, 3    1 x  3  pc  10 x n  S ( x), x  0,  .  32. f 0 ( x)  1, f n ( x)  x n1  x n , n  1, x  [0,1] şi Sn ( x)  1    x n 1  x n   1  n k 1  x  x    x  x   ...   x 2 3 2 n 1 x n   1 x  x n 1 , Sn  S , 0,1 pc 1  x; x   0,1 Sn ( x)   . 1; x  1  x n x n 1 n  x k x k 1 3. f n ( x)   , cu n  1 şi x  [1,1] , avem: Sn ( x)  1      n n 1 k 1  k k 1  x 2   x 2 x3   x n x n1  x n1  x        ...      x , şi lim Sn ( x)  S ( x)  x  2  2 3  n n 1 n 1 n pc   n x x n1 x    , x   1,1 . n 1  n n 14. Dacă f : A R şi fn : A R,  nN sunt funcţii mărginite pe A, definimnorma supremum sau norma uniformă a lui f, respectiv fn cu nN prin: (7) def def f  sup | f ( x) |; n  N, f n  sup | f n ( x) | şi distanţa indusă de normă: (8) xA xAd ( f , g )  f  g  sup | f ( x)  g ( x) |, f , g  F ( A, R) care verifică axiomele de xAdefiniţie ale normei:(N1) ||f ||  0,  f F (A, R) şi || f || =0  f (x)  0,  xA;(N2) || f || =| | || f ||, pentru    R, f F (A, R); 145
  • (N3) || f + g || = || f || + || g ||;  f, g F (A, R)şi respectiv axiomele de definiţie ale distanţei:(D1) d(f, g)  0,  f, g F (A, R) şi d(f, g) = 0  f (x)  g(x),  xA;(D2) d(f, g) = d( g, f ),  f, g F (A, R);(D3) d(f, g)  d(f, h) + d( h, g ),  f, g, h F (A, R). Teorema 6.1Fie f , fn : A R,  nN. Dacă f n  f , atunci f n  f . Reciproca, în uc A  pc A general, nu este adevărată. Demonstraţia este directă din (4), definiţia 6.2, care implică (6).◄ Teorema 6.2Fie f , fn : A R,  nN, următoarele afirmaţii sunt echivalente:(i) f n  f ; (ii) lim sup f n ( x)  f ( x)   0 ; (iii) (fn) este uniform Cauchy pe A. uc  n   xA  A   def 2 Demosntraţie. (i)(ii) Ipoteza f n  f  >0,  nN a. î.  n n  | uc A fn (x) – f (x)| < ,  xA >0,  nN a. î.  n n  sup | f n ( x)  f ( x) |   xAlim sup f n ( x)  f ( x)   0 .n   xA    def 2(i)(iii) Din ipoteza f n  f  >0 fixat,  nN a. î.  n n  | fn (x) – f uc A    (x)| < , | fn+p (x) – fn (x)| | fn+p (x) – f (x)| + | f(x) – fn (x)|< < + ,  n n,  2 2 2p 1 şi  xA  (fn ) este şir uniform Cauchy pe A.(iii) (i) Dacă (fn ) este şir uniform Cauchy pe A   xA fixat, şirul numeric(fn (x)) este şir Cauchy de numere reale şi deci convergent în R, notăm f ( x)  lim f n ( x) pentru xA fixat, deci f n  f . Notăm m = n+ p şi din (5) pc A  n avem | fn (x) – fm (x)| <,  n, m n şi  xA; trecem la limită lim | fn (x) – fm m(x)|=| fn (x) – f (x)| ,  xA şi  n n  lim sup f n ( x)  f ( x)   0  f n  f n    uc  ( ii )  xA  A.◄ Observaţii.1. Echivalenţa (i)(iii) este Teorema lui Cauchy pentru şiruri de funcţii reale:“ (fn ) este uniform convergent pe A, dacă şi numai dacă, (fn ) este şir uniformCauchy pe A”.2. Din definiţia 3 – cazul (2) deducem Teorema lui Cauchy pentru serii de funcţii reale: “Seria de funcţii f0 n este uniform convergentă pe A dacă şinumai dacă, (Sn) este şir uniform Cauchy  (9)>0,  nN independent de x (5)a. î.  n n şi pN  | Sn+p (x) –Sn (x)| = | fn+1 (x) + ...+ fn+p (x)| < ,  xA.” Teorema 6.3Fie f , g, fn : A R,  nN atunci au loc următoarele afirmaţii: 146
  • (I) f n  f dacă există n  R * cu  n  R a. î. | fn (x) – f (x)| n,  xA şi uc A  + 0  nN.(II) f n  f dacă g n  0 şi | fn (x) – f (x)| |gn(x)|,  xA şi  nN. uc A  uc A  def Demonstraţie. (I) Din  n  R  >0,  nN a. î.  n n  |n |= n 0 <  şi cum | fn (x) – f (x)|  n <,  xA  f n  f . uc A  def(II) Din g n  0  >0,  nN independent de x a. î.  n n  |gn - 0 |= | uc A gn (x)| < ,  xA şi atunci | fn (x) – f (x)|  | gn (x)| <,  xA şi  n n  f n  f .◄ uc A  Observaţii.1. Condiţia (I) din teorema 3 este criteriul majorării prin şiruri numerice (n).2. Condiţia (II) din teorema 3 este criteriul majorării prin şiruri de funcţiiuniform convergente la 0 pe A. Consecinta 6.1  Dacă seria de funcţii  0 f n ( x) este uniform convergentă pe A, atunci şi f 0 n ( x)este uniform convergentă pe A.  Demonstraţia este imediată prin aplicarea afirmaţiei din (9) seriei 0 f n ( x).◄ Teorema 6.4 (Criteriul lui Weierstrass) Fie fn : A R,  nN şi seria de funcţii f 0 n ( x ) . Dacă există o serie numerică cu termeni pozitivi convergentă a 0 n astfel încât |fn (x) |  an,  xA şi  n N, atunci seria de funcţii f 0 n ( x ) este absolut şi uniform convergentă pe A. Demonstraţie. Folosind ipotezele, avem: >0,  nN (independent de x)a. î.  n n şi  p 1| fn+1 (x)+...+ fn+p (x)| | fn+1 (x)| + ...+ | fn+p (x)| an+1 + ...+ an+p < ,  xA şi după (9) şi consecinta 1, seria f 0 n ( x ) este absolut şiuniform convergentă pe A. ◄ Exemple. n  nx22 0; x  R*1. f n ( x)  e , x  R şi lim f n ( x)    f ( x)  f n  f şi cum pc  2 n  ; x  0 R cu lim sup | f n ( x)  f ( x) |   ( fn) nu este uniform nsup | f n ( x)  f ( x) |xR 2 n   xR   convergent. sin nx2. f n ( x)  , x  R cu lim f n ( x)  f ( x)  0, x  R şi cum | fn (x) – f (x)|= = n2 n  sin nx 1 1 R 2  2   n , x  R şin  N,  n  2  0  f n  f .  uc R  n n n 147
  • n3 x 4  13. f n ( x)  , x   0,1 şi lim f n ( x)  f ( x)  x 4  f n  f  x4 . Avem: | fn (x) – f pc  n 1 3 n  [0,1] 1  x4 1 1(x)|= 3  3   n , n  N,  n  3  0  fn  f . R  uc  n 1 n 1 n 1 [0,1]    cos nx cos nx 1 14.  n3 1 , x  R cu f n ( x)  n 3  3 , x  R cu  an   3 (C )  n 1 1 n  cos nx  3 uniform şi absolut convergentă pe R. 1 n sin(n  1) x sin nx 5. f n ( x)  n 1  n , cu n  1 şi x  [, ] , seria de funcţii: f 1 n ( x ) are n  sin(k  1) x sin kx  sin(n  1) xS n ( x)       sin x şi: k 1  k 1 k  n 1 lim Sn ( x)  S ( x)  sin x, x   ,   Sn  S .Avem: , pc n sin(n  1) x sin(n  1) x 1Sn ( x)  S ( x)   sin x  ( sin x)     n , x  ,  şi n 1 n 1 n 1 1n   0  Sn  S ; R  , uc n 1 n  sin(n  1) x sin nx  ucdeci      S ( x)  sin x . k 1  n 1 n  n   sin nx sin nx 1 1 16.  2 2 , x  R  f n ( x)  2 2  2 2  2 , x  R şi  2 (C )  f 1 n  x n x n x n n 1 n 1uniform şi absolut convergentă pe R. n  x n x n 1  n  x n x n 1 7. 1      cu x  0,1  Sn ( x)  1       1 x  x n 1 k 1  n n 1 k 1  n n 1 1  x; x   0,1şi lim Sn ( x )  S ( x )     S n  S  seria de funcţii este punctual 0,1 pc n  1; x  1 convergentă pe [0, 1]. Vom demonstra unele “proprietăţi de permanenţă (transfer)” de latermenii unui şir de funcţii reale la funcţia limită, ca: mărginire, trecere la limită,continuitate, derivabilitate, integrabilitate. Convergenţa uniformă a unui şir defuncţii reale este o condiţie suficientă pentru valabilitatea proprietăţilor depermanenţă (transfer). Teorema 6.5Fie fn : A R şi f : A R.(p1) Dacă f n  f şi fn sunt funcţii mărginite pe A, atunci f este mărginită pe uc A A şi avem:  sup | f ( x) | sup f n  f  sup | f ( x) |, n  N  .(11) f  n   xA n 1    xA (p2) Dacă f n  f , x0  A’  uc A R şi există şirul yn  lim f n ( x), n  1, atunci (yn) x  x0este convergent în R şi avem: 148
  • (12) lim lim f n ( x)   lim  lim f n ( x)   lim f ( x) .  n  x x  xx x  x  n  0   0 0(p3) Dacă f n  f şi fn sunt funcţii continue pe A, atunci f este continuă pe A. uc A (p4) Dacă A = I  R interval nedegenerat şi fn sunt funcţii derivabile cu f  f atunci există f : I R a. î. f n  f şi f este derivabilă pe I cu f’ = n uc A  uc A g, deci: (13) lim f n ( x)  lim f ( x)  g ( x)  f ( x), x  I . n  n  n(p5) Dacă fn : [a, b] R sunt funcţii integrabile sau chiar continue şi fn  f atunci f este integrabilă pe [a, b] şi avem: uc [ a ,b ]  b b b(14) lim  f n ( x)dx   lim f n ( x)  dx   f ( x)dx . n  a n  a   a Demonstraţie. (p1) Din f n  f  pentru  =1,  n1N a. î. | fn (x) - f(x)|  uc A 1,  x A şi n n1 f   sup | f ( x) | f  f n  f n  1  f n  M   unde: xA    1 1 1M  sup f 1  , f2  ,..., f n1  ;1  f n1   şi evident are loc (11). T .2  ( iii )(p2) Fie  > 0 fixat şi f : A R a. î. f n  f  (fn) este şir uniform Cauchy uc A pe A şi   >0, există nN a. î.  n,m n | fn (x) – fm (x)|  ,  xA  | yn– ym | = lim | fn (x) – fm (x)|  ,  n,m n  (yn) este şir numeric Cauchy (yn) x  x0convergent în R şi notăm y = lim yn. Avem: | y – f (x)|  | y - yn | + | yn - fn (x)| + | n   fn (x) - f (x)| + + = ,  n n = max{ n1(), n2()} şi  xA  y= lim 3 3 3 x  x0f(x) şi avem (12) lim lim f n ( x)   lim  lim f n ( x)   lim f ( x) .  n  x x0  x  x0 x  x0  n   (p3) Dacă x0  A  A’ atunci avem: lim fn (x) = fn (x0) (din continuitatea lui fn pe x  x0A) şi deci f(x0) = lim fn (x0) =  lim  lim f n ( x)   (12) n n     x  x0  (12)  lim  lim f n ( x)   lim f ( x) şi f este continuă în x0  A  A’. Dacă x0  A este x  x0  n   x  x0punct izolat, atunci f este continuă în x0 .(p4) Demonstraţia în bibliografie ([7], [11], [13]).(p5) Dacă fn continuu pe [a, b] şi fn  f , atunci f este continuă şi există: uc [ a ,b ] b b b ba f n ( x)dx,  f ( x)dx . Pentru a dovedi (14), fie a  a f n ( x)dx   f ( x)dx  a b b  f n ( x)  f ( x) dx  (b  a) f n  f    n n  există lim  f n ( x)dx  n  a a b b  lim f n ( x)  dx   f ( x)dx .◄ a  n  a 149
  • Teorema 6.6 n Fie fn : A R, Sn : A R cu S n ( x)   f k ( x) şi f n ( x) . k 0 n0(P1) Dacă Sn  S şi fn sunt mărginite pe A, atunci S este mărginită pe A ( fn uc A  mărginite şi f 0 n uniform convergentă). (P2) Dacă x0A’R şi există lim f n ( x)  R, n  0 iar xx 0 f 0 n este uniform convergentă cu suma S, atunci seria numerică   lim f 0   x  x0 n ( x)  este convergentă şi  are suma lim S ( x) , deci avem: x x 0    (15) lim   f n ( x)     xlim f n ( x)  = lim S ( x) .  x  x x x x 0  0    0 0 0 (P3) Dacă fn : A R sunt funcţii continue şi f 0 n este uniform convergentă pe Acu suma S: A  R, atunci S este funcţie continuă pe A.(P4) Fie I  R interval mărginit şi nedegenerat, fn : A R funcţii derivabile pe I.  Dacă  0 f n este convergentă cu suma f şi seria derivatelor f 0 n ( x ) este uniformconvergentă cu suma g pe I, atunci f este derivabilă pe I şi avem:    (16)  f n ( x)    f n ( x)  g ( x)  f ( x), x  I .  0  0(P5) Dacă fn : [a, b] R sunt integrabile sau chiar continue pe [a, b] şi seria de funcţii f 0 n este uniform convergentă cu suma S: [a, b] R atunci S esteintegrabilă şi avem:  b  b   b(17)   f n ( x)  dx     f n ( x)dx    S ( x)dx . a  0  0 a  a Demonstraţia pentru (P1) – (P5) rezultă din definiţia 3 şi proprietăţile (p1) – n(p6) din teorema 5 aplicate şirului de funcţii Sn ( x)   f k ( x), x  A sau x a, b, I k 0.◄ Exemple. sin nx    1. f n ( x)  , x   0,  , avem f n  f  0 , dar f n ( x)  cos nx, x   0,  este uc    n  2  0,   2  2şir divergent. n3 x 4  1 4n 3 x 32. f n ( x)  3 , x   0,1  f n  f  x şi f n ( x)  3 uc  4   0,1  uc n 1 [0,1] n 1 g ( x)  4x  f ( x), x 0,1 . 3 150
  •  3. f n ( x)  nxe nx , x  0,1 cu f n  f ( x)  0,  f n    e  1 şi avem: 1 1 0,1 2 pc   n n    1 1 1 ( x)dx   nxe nx dx   e nx  1  e n  cu lim  f n ( x)   1 2 1 1 1f 2 n 2 0 2 n  20 0 0 1   f ( x)dx  0 0   cos nx cos nx 1 14. 1 n  , x  R şi  > 0  f n ( x)  n    , x  R   (C ) pentru >1 n 1 n  cos nx cos nx n absolut şi uniform convergentă pe R pentru  >1. Cum f n  n1   cos nt   x x 1sunt continue       dt     cos ntdt  0 1 n  1 n 0  x 1 sin nx sin nx sin nx 1   S (t )dt . Avem fn C (R) cu f n ( x)  1 şi f n ( x)  1  1 1  1 n n 0 n n n   1cu n 1 1 (C ) pentru  >2   f n absolut şi uniform convergentă pe R cu 1   cos nx   sin nx  n    n1  S ( x), x  R şi  >2.◄ 1  1 Serii de puteri Seriile de puteri reprezintă o generalizare naturală a funcţiilor polinomialeşi în acelaşi timp, o clasă particulară de serii de funcţii. Din acest motiv seriilede puteri posedă toate proprietăţile seriilor de funcţii reale şi alte proprietăţispeciale care le leagă de funcţiile polinomiale, ca: continuitate, integrabilitate,derivabilitate şi sunt funcţii de clasă C pe mulţimea lor de uniformă convergenţă. O serie de puteri (serie întregă) este o serie de funcţii f 0 n ( x ) cutermenii fn ( x)  an xn , x  R şi  an n0  R . Şirul numeric (an) se numeşte şirul decoeficienţi ai seriei de puteri şi notăm: (1) a x0 n n  a0  a1 x  ...  an x n  ..., x  R . Observaţii 1. O serie a x 0 n n este unic determinată de şirul coeficienţilor săi  an n0  R .2. Orice serie de puteri este convergentă în x0 = 0 cu suma egală cu a0.3. Pentru x0 R fixat, se pot considera serii de puteri de forma generală:  a x  x  a x n n n 0 . Toate rezultatele teoretice pentru serii de puteri n sunt 0 0 valabile şi în cazul general a x  x  n n 0 . 04. Vom preciza structura mulţimii de convergenţă a unei serii de puteri şiproprietăţile seriilor de puteri uniform convergente. 151
  • Teorema 6.7 (Lema lui Abel sau Teorema a I-a a lui Abel). Fie seria de puteri a x 0 n n şi x0, x1 R* atunci au loc afirmaţiile: (i) Dacă seria numerică  a x , (x 0 n n 0 0  0) este convergentă, atunci seria de puterieste absolut convergentă în  xR cu proprietatea: (1) | x | < < | x0 | ( x (- |x0 |, | x0 |)). (ii) Dacă seria numerică  a x , (x 0 n n 1 1  0) este divergentă, atunci seria de puterieste divergentă în  xR cu proprietatea: (2) | x |> | x1 | ( x (- , - | x1 | ) (| x1 |, + )). (iii) Dacă seria numerică  a x , (x 0 n n 0 0  0) este convergentă, atunci pentru Rcu ) 0<  < | x0 | seria de puteri este uniform şi absolut convergentă pecompactul [-, ]  (- | x0 |, | x0 |).   lim  an x0   0   an x0  nec Demonstraţie (i) Dacă a x0 n n 0 convergentă n  n nconvergent în R   an x0n  şir mărginit în R, deci există M > 0 a. î. an x0  M de nec n Munde avem: (3) an  n , n  N şi x0  R  . Fie xR cu proprietatea (1) |x|<|x0| şi x0  considerăm seria modulelor a x 0 n n   an x n care verifică condiţiile: 0 n  x  an x  an x  an x0  x   n n  n   0  n   x T .4 xM  Mq n ;0  q   1 şi  Mq n (C )  ax n n convergentă în xR cu x0 x0 0 0 proprietatea (1)  a x 0 n n este absolut convergentă în xR cu proprietatea (1),deci pe intervalul (- | x0 |, | x0 |).(ii) Fie xR cu proprietatea (2) şi presupunem prin reducere la absurd că există x0  R*cu | x0 |> | x1 | a. î. a x0 n n 0 convergentă. După cazul (i) din | x1 | < | x0 | rezultă că seria a x0 n n 1 este absolut convergentă, ceea ce contrazice ipoteza (ii)  pentru x  R cu proprietatea (2) seria a x 0 n n este divergentă.(iii) Pentru  x [-, ]  (- | x0 |, | x0 |), avem: f n ( x)  an xn  an x  n 152
  • n    T .4.   T .4.  an  n  M    Mq1n  0  q1  < 1 şi Mq1n convergentă   an x n absolut şi  x0  x0   0 0uniform convergentă pe [-, ].◄ Observaţii.1. Analizând afirmaţiile din teorema 1 (Lema lui Abel) găsim următoarelecazuri:  I. a x 0 n n convergentă numai în x= 0 şi divergentă xR.  Exemplu.  n! x 0 n  1  1! x  2! x 2  ... în x=0 are suma S=1 şi xR* fixat  lim an x n  lim n ! x n  0 n  n  a x0 n n este divergentă.  II. a x0 n n este absolut convergentă pe R. n    xn x x2 x Exemplu.  n! 0  1    ... 1! 2! pentru a x n n  n! aplicăm criteriul 0 0 n 1 f n 1 ( x) x x  n!raportului: l  lim n  f n ( x)  lim n  (n  1)! x n  lim n  n 1  0, x  R  ax 0 n n este  xnconvergentă pe R   n ! este absolut convergentă pe R. 0 III. Există un element r[0,] a. î.  1. seria a x 0 n n este absolut convergentă pentru xR cu |x| < r ( x(-r, r));  2. seria a x0 n n este divergentă pentru xR cu |x| > r (  x (-, - r) (r, +));   3. pentru |x| = r se va preciza natura seriilor numerice  an r n şi 0  a (r ) 0 n n . Exemple.  xn  ( 1) n T .1.  x n1) n 1 , există x0 = -1 a. î.  1 n convergentă   este absolut convergentă 1 n  ( 1) nîn x cu proprietatea: |x| < |-1| = 1  x(-1,1) şi cum  1 n convergentă iar   1 xn n divergentă, avem mulţimea de convergenţă [-1, 1) pentru1 n. 1  (1) n n  ( 1) n T .1.  ( 1) n2)  n 1 x , există x0 = +1 a. î.  1 n convergentă   1 n x n este absolutconvergentă în x cu proprietatea: |x| < 1  x(-1, 1) şi cum x= -1 avem 153
  •  ( 1) n  1  ( 1) n n1 ( 1) n =  divergentă şi  1 n 1 n convergentă în x=1, atunci mulţimea de (1) n n convergenţă a seriei  n x este (-1, 1]. 1  xn  1  ( 1) n3) n 1 2 , există x0 = +1 şi  x0 = - 1 a. î.  n 2 convergentă şi 1  1 n2 T .1.  x nconvergentă   2 este absolut convergentă pe [-1, 1] (|x|  |x0| = x0 = 1). 1 n2. Teorema 6.7 (Lema lui Abel) afirmă existenţa lui r[0,] din cazul IIIanalizat mai sus.  Definiţia 6.4 Fie seria de puteri a x 0 n n cu  an n0  R . 1] Elementul r[0,] definit prin: (4) r=sup {|x| | xR şi ax 0 n n convergentă}se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri , iar intervalul (-r, r) R se numeşte intervalul (disc) de convergenţă al seriei de puteri a x0 n n .2] Mulţimea de convergenţă sau domeniul de convergenţă al seriei notat DC are  ointeriorul, notat DC dat prin mulţimea:  {0}; r  0 o(5) DC  R; r    . ( r , r );0  r   3] Funcţia f : DC R se numeşte suma seriei pe puteri, notată a x 0 n n  f ( x), x  DC . Teorema 6.8 Fie seria de puteri a x 0 n n cu raza de convergenţă r atunci au loc afirmaţiile: 1) a x 0 n n este absolut convergentă în xR cu | x |< r ( x(-r, r)) . 2) seria a x 0 n n este divergentă pentru xR cu |x| > r (  x(-, -r) (r,+)); 3) a x 0 n n este absolut şi uniform convergentă pe orice compact [-, ]  (-r, r)unde 0< <r. Demonstraţie. 1) Fie xR fixat cu | x | <r şi după (4) există  a. î. | x | < <r   şi seria  0 an  n este convergentă, deci  an x n este convergentă  0 a x 0 n n esteabsolut convergentă în xR cu | x | <r. 154
  • (2) Fie xR fixat cu | x | >r. Dacă avem | x | < <, din (4) rezultă că seria  0 an  n este divergentă (teorema 1) deci ax 0 n n este divergentă cu lim an x n  0  lim an x n  0 şin  n  a x 0 n n este divergentă în | x | >r.3) Afirmaţia coincide cu (iii) din teorema 6.7 (Lema lui Abel).◄ Consecinţa 6.2 Fie seria de puteri a x 0 n n cu raza de convergenţă r şi mulţimea de convergenţăDC, atunci avem:I. Dacă r = 0  DC ={0}; II. Dacă r =   DC =R;III. Dacă 0 < r <   (-r, r)  DC [-r, r]. Demonstratia este directă din teorema 6.7, definiţia 6.4 şi teorema 6.8.◄ Obsrevaţii.  1. Pentru x = r şi x = -r seriile numerice  an r n şi 0  a (r ) 0 n n pot să fie fieconvergente, fie divergente.   o2. Mulţimea de convergentă a seriei de puteri  a x este de forma: DC = DC = n n 0  o  o  o(-r, r); DC = DC {r} = (-r, r]; DC = DC {-r} = [-r, r); DC = DC {-r, r} =[-r, r].3. Vom indica metode de calcul pentru raza de convergenţă r. Teorema 6.9 Fie seria de puteri a x 0 n n cu raza de convergenţă r.1] Dacă există l1  lim n an , atunci avem: n   0; dacă l     1 1 1(6) r  ; dacă l1  0 (cu convenţiile  ;  0) ; 1 0   ; dacă 0 < l1    l1  an12] Dacă există l2  lim , atunci avem: n  an  0; dacă l     2(6’) r  ; dacă l2  0 . 1  ; dacă 0 < l2    l2  155
  •  Demonstraţie. Pentru  xR, seriei ax 0 n n i se poate aplica criteriulrădăcinei: lim n an x n | x | lim n an | x | l1  l sau criteriul raportului: n  n  an 1 x n 1 an 1lim | x | lim | x | l2  l şi avem:n  an x n n  an 1 1 1I. pentru l< 1  | x | sau | x | convergenţă; II. pentru l > 1  | x | sau l1 l2 l1 1 1 1| x | divergenţă, şi folosind convenţiile:  ;  0 rezultă (6) şi (6’). ◄ l2 0  Exemple.  1 şi r  1  1   a x n n  x 2 n 11)   1  n n cu an  0 2n  1 2n  1 l2 0 este absolut convergentă pe (-1,1).  1 (c). n Pentru x=1   1 2n  1  1  1  1 2 n 1 3n 1 n 1   Pentru x=-1    1   (c)  DC = [-1, 1]. n 1 2n  1 1 2n  1 1 2n  1   2n 2n 1 12)  xn cu an  şi l2  2  r     an x n este absolut  n  1  n  1 3 3 0 l2 2 0convergentă pe   ,  . 1 1   2 2   (1) n   n 1 2n  1 Pentru x =    3     (c). 1  n  1  2 1  n  1 3 2   n 1 2n  1  1  1 1Pentru x =   3    (c)  DC =  2 , 2  . 1  n  1  2  1  n  1   3 2 Modulul 6.2 - Proprietăţi ale seriilor de puteri. Serii Taylor.  Fie seria de puteri a x 0 n n cu raza de convergenţă r şi suma f: (-r,r)R cu 0 < r <  şi notăm f(x) = a x0 n n ,  x(-r, r). După lema lui Abel (teorema 6.7 –(iii)) pentru  R cu 0<< r, seria de funcţii este uniform şi absolutconvergentă pe compactul [-, ]  (-r, r); termenii seriei funcţiile f n ( x)  an x n , x  R, n  N sunt: continue, derivabile şi integrabile, atunci dupăteoremele de permanenţă (transfer) funcţia sumă f are aceleaşi proprietăţi pe [-,]. 156
  • Teorema 6.10 (Proprietăţi ale seriilor de puteri) Fie a x0 n n cu raza de convergenţă r (0 < r < ) şi suma f, atunci au locproprietăţile:(p1) (Teorema a doua a lui Abel) Funcţia f este continuă pe [-, ]  (-r, r).  Dacă seria numerică  an r n (respectiv 0  a (r ) 0 n n ) este convergentă, atunci feste continuă în x = r (respectiv x = -r). (p2) Seria derivatelor  na x 1 n n 1 are aceeaşi rază de convergenţă r şi avem: (7)     an x n     an x n    nan x n 1  f ( x ), x   ,   . 0  1 1  a(p3) Seria integralelor  n x n 1 are aceeaşi rază de convergenţă r şi avem: (8) 0 n 1     x x x a 0 0 ant n  dt   an  t n dt   n x n1   f (t )dt , [0,x] (-r, r). 0 0 0 n 1 0(p4) Funcţia f este indefinit derivabilă pe [-, ]  (-r, r) cu: (9) f ( k ) ( x)   n(n  1)...(n  k  1)an x n k , k  1 . nk 1 (n)(10) an  f (0) , n  N . n! Demonstraţie. (p1) Pentru x0 [-, ]  (-r, r) funcţia f este continuă, deoarece a x0 n n este uniform convergentă şi f n ( x)  an x n sunt funcţii continue  f continuă în x0  (-r, r), deci f continuă pe (-r,r). Dacă a r 0 n n este convergentă atunci seria de puteri a x 0 n n este uniform convergentă pe compactul [0, r] şi feste continuă pe [0, r], deci şi în x= r ( lim f ( x)  f (r ) ). x r xr (p2) Pentru  na x 1 n n 1 calculăm raza de convergenţă: 1 1 1r1     r şi relaţia (7) rezultă din faptul că o serie de lim n n an lim n n n an l1 n  n funcţii uniform convergentă se poate deriva termen cu termen şi funcţia sumăeste derivabilă pe [-, ]  (-r, r).  an(p3) Pentru  n 1 x 0 n 1 calculăm raza de convergenţă 157
  • 1 n n 1 1 1r2   lim  lim   r şi relaţia (8) rezultă din proprietatea: o n  n n  n l1 an an an lim n n  n 1serie de funcţii uniform convergentă se poate integra termen cu termen şi sumasa este funcţie integrabilă. (p4) Pentru [-, ]  (-r, r) seria de funcţii a x 0 n n este uniform convergentă pe [-, ] şi seria derivatelor  na x 1 n n 1 este uniform convergentă pe acelaşicompact, deci i se poate aplica proprietatea (p2) avem:    nan x n 1   f ( x)   n(n  1)an x n  2 , x   ,   . Prin inducţie se arată că are loc 1  2formula (9) pentru k1, kN, din care rezultă (10).◄ Observaţii.  1. Orice serie de puteri a x0 n n cu raza de convergenţă r şi mulţimea de convergenţa DC este uniform convergentă pe un compact [, ] DC; pe [, ] sunt valabile proprietăţile de continuitate, derivabilitate şi integrabilitate pentru suma sa f cu f: DC R.  2. Din (p4) rezultă că f  C  ((r , r )) ; convergenţa seriilor numerice a r 0 n n şi   a (r ) 0 n n nu implică în general derivabilitatea funcţiei f în punctele x= -r şi x= r. 3. Teorema a II a lui Abel (proprietatea (p1)) ne permite să calculăm suma unor serii numerice folosind continuitatea lui f în punctele x= -r şi x= r (există lim f ( x)  f (r ) , lim f ( x)  f (r ) ). x  r x r x  r xr  4. O serie de puteri a x0 n n cu raza de convergenţă r, va fi derivată termen cu termen (conform proprietăţii (p2)) pe (-r, r) şi coeficienţii an sunt determinaţi, după (10), prin derivatele f(0) ) ale sumei sale f. (k  5. Dacă seria a x 0 n n are raza de convergenţă r şi suma f, din (10) rezultă că   f (0) ) (n avem: (11) a x   0 n n 0 n! x n x(-r, r). Teorema 6.11 (Operaţii alegebrice cu serii de puteri).  Fie date seriile de puteri  an x n şi 0 b x 0 n n cu razele de convergenţă r1 şi r2,funcţiile sumă f şi g, atunci au loc afirmaţiile:1) Dacă r1 = r2 = r şi f(x) = g(x), x(-r, r), atunci an = bn ,  nN. 158
  •  2) Seriile de puteri  an x n şi 0   a  x (R*) au aceeaşi rază de convergenţă 0 n n  r1 şi funcţia f este suma seriei de puteri   a  x 0 n n pe (-r1, r1). 3) Seria de puteri a 0 n  bn  x n are raza de convergenţă rmin{r1,r2} şi suma f + g, pe (-r, r). 4) Seria de puteri produs după Cauchy c x 0 n n cu : (12) cn   ak bn k  a0bn  a1bn 1  ...  anb0 , n  N are raza de convergenţă r k 0min{r1,r2} şi suma f g, pe (-r, r). Demonstraţie. 1) Dacă f = g pe (-r, r) din (10) avem:n!an f(0))  n!bn  g(0)) , n  N,  an  bn , n  N . (n (n n2) Demonstratia este directă din relaţiile S n ( x )   ak x k şi k 0 nn ( x)    ak  x k  S n ( x) deoarece Sn  f şi n  f . pc (  r ,r )  pc (  r ,r )  k 0  3) Fie r0 = min{r1,r2}. Dacă | x | < r1 şi | x | < r2, deci a x 0 n n şi b x0 n n sunt absolut convergente în x cu proprietatea | x | < r0 şi a 0 n  bn  x n este, deasemenea convergentă în aceste puncte x; raza de convergenţă r a seriei de puteri a 0 n  bn  x n este r < r0 şi ( - r0, r0) (-r, r), adică r0  r ; evident sumaseriei este funcţia f + g, pe (-r, r).4) Fie r0 = min{r1,r2} şi xR fixat cu | x | < r0 atunci | x | < r1 şi | x | < r2   seriile  an x n şi b x n n sunt absolut convergente în aceste puncte x; după 0 0teorema lui Mertens pentru serii numerice (xR fixat), produsul după Cauchy c x 0 n n cu cn dată prin (12) este o serie absolut convergentă; avem ( - r0, r0) (-r,       r), deci r0  r şi vom nota:  cn x n =   an x n     bn x n  .◄ 0  0   0  Observaţii.1. Relaţia r  min{r1,r2} din 3) şi 4) poate fi strictă.   Exemplu.  nx n 0 şi   n  x 0 n cu r1 =r2= 0 are seria sumă     an  bn  x n    n  n  x n   0  x n cu r = ; în acest caz r =  > min{r1,r2} = 0. 0 0 0 159
  •  2. Dacă seriile  an x n şi 0 b x 0 n n au razele de convergenţă r1  r2 notăm cu r =min{r1,r2}. Presupunem r1 < r2 atunci pentru x R cu proprietatea r1 < | x | <r2,   seria   an  bn  x n este divergentă (  an x n este divergentă şi  bn x n este 0 0 0 convergentă). Pentru raza de convergenţă r a seriei a 0 n  bn  x n avem r  r1 şicum r1 < r2  r= r1= = min{r1,r2} (-r, r) = ( - r1, r1) ( - r2, r2).3. Se poate considera produsul după Cauchy: 2       an x n    cn x n    a0 an  a1an1  ...  an a0  x n .  0  0 0 4. Pentru seria de puteri a x 0 n n cu raza de convergenţă r şi suma f : (-r,r)R  f(0) ) (nare loc relaţia: (11) f ( x)   x n x(-r, r). 0 n! Serii Taylor f  0 (n)   Vom extinde reprezentarea (11) f ( x)   x n   an x n x(-r, r) şi 0 n! 0f  C ((r , r )) la cazul general f  C ( I ) cu IR interval nedegenerat şi 0  I ( x  =0 punct interior lui I). Definiţia 6.5Fie IR interval, 0I şi f: I R cu f  C  ( I ) . Se numeşte serie Taylor asociatăfuncţiei f în jurul punctului x=0, seria de puteri: f  0 f  0 (n) (n) f (0) (13) f (0)  x  ...  x  ...   n x n , x  I . 1! n! 0 n!Studiul seriilor Taylor asociate funcţiilor de clasă C pe un interval din R careare punct interior x=0, ridică două probleme esenţiale:I. Seria (13) este convergentă în punctele xI cu x0, adică raza de convergenţăr0 cu r(0, ] ?II. Seria (13) are ca sumă chiar funcţia generatoare f pe intervalul deconvergenţă (-r, r) ? Exemple.1) f ( x)  e x cu e x  C  (R ) şi f ( n ) ( x)  e x ,  x  R, n  N , iar f  0 ( x)  1 deci (n) x xn 11   ...  + ... cu r  lim n  a   . Deci DC = R şi seria Taylor asociată lui 1! n! n 1 anf ( x)  e x converge în xR; vom dovedi că suma acestei serii Taylor estef ( x)  e x . 160
  • e x ; x  (0,1] 1 2) f ( x)   este derivabilă pe [-1, 0] cu f ( n ) ( x)  0 , x[-1, 0] şi 0; x  (1, 0] nN. Funcţia f admite f s (0)  0 şi să dovedim că f este derivabilă în x = 0. 1 e x 0Avem f (0)  limd  lim tet  0 ; cum f s (0)  f d (0)  0 , există f (0)  0 . Pentru x 0 x t  x 0 ( t  1 0) xx(0,1], f este derivabilă ca o compunere de funcţii reale derivabile şi f estederivabilă pe [-1, 1]; în acelaşi mod se arată că f  C (1,1) şi avemf  0 ( x)  0, n  1, 2,... iar seria Taylor asociată lui f în x=0 este de forma: (n) x xn0  0  ...   0  ... cu suma S(x)=0. Funcţia f nu este suma seriei Taylor 1! n!asociată în jurul lui x=0, deoarece f nu este identic egală cu zero pe [-1, 1]. Teorema 6.12 (de reprezentare a funcţiilor de clasă C prin serii Taylor)Fie IR un interval nedegenerat, x=0 punct interior lui I şi f  C  ( I ) cu f: IR. Dacă există M >0 a. î. (14) f (n) ( x)  M , xI şi nN atunci seriaTaylor (13) este uniform convergentă pe I cu suma f, adică: f  0 f  0 (n) (n)  f (0)(15) f ( x)   x  f (0)  n x  ...  x n  ..., x  (a, a)  I . 0 n! 1! n! Demonstraţie. În ipoteza teoremei 6.12, seria (15) are şirul sumelor parţiale f  0 (n) f (0)Sn ( x)  f (0)  x  ...  x n şi după formulele MacLaurin, avem: (16) 1! n!Sn ( x)  f ( x)  Rn ( x)  f ( x)  S n ( x)  Rn ( x), x  I unde f ( n1)    n1Rn ( x)  x cu  între 0 şi x (  = x, 0<  < 1). Pentru x(-a, a)  | x | (n  1)! f ( n 1)    n 1 a n 1< a, avem: f ( x)  Sn ( x)  Rn ( x)  x M   bn 1 unde şirul bn (n  1)! (n  1)!este convergent: lim bn  0 (bn >0, nN şi bn descrescător) n lim f ( x)  Sn ( x)  0, x  I  lim f  Sn n n   0  Sn  f uc (  a ,a )  şi atunci are locegalitatea (15). Aplicaţii. I. Seria binomialăFie R şi seria de puteri:  (  1) 2 (  1)...(  n  1) n(17) 1  x  x  ...  x  ... numită seria binomială cu 1! 2! n! 1 1raza de convergenţă r    1  seria (17) este absolut convergentă pe l2 lim 1 n n n (-1, 1) şi notăm suma sa cu f: (-1, 1)R:  (  1) 2 (  1)...(  n  1) n(17)’ f ( x)  1  x  x  ...  x  ... 1! 2! n!Prin derivare din (17) avem: 161
  •  (  1) (  1)...(  n  1) n1 f ( x)   2 x  ...  nx  ... de unde prin înmulţirea cu x 1! 2! n!( x0), se obţine:  (  1) 2 (  1)...(  n  1) nxf ( x)   x  ...  x  ... 1! 1!  n  1!Adunând ultimele două egalităţi, avem: (  1)   (  1) (  1)(  2)  21  x  f ( x)        x   1!   x  ...   2   2!   (  1)...(  n) (  1)...(  n  1)  n   x  ..., x  (1,1) unde:  n!  n  1! (  1)...(  k ) (  1)...(  k  1) (  1)...(  k  1)    k     k  1  k!  k 1!  k 1!   (  1)...(  k  1) , k  N şi deci (1  x) f ( x)  f ( x), x  (1,1) . Cum f(x)0,  k  1! f ( x ) x(-1,1) şi f(x) > 0, avem:  ,x(-1,1)  f ( x) 1  ln f ( x)   ln(1  x)  ln c  f ( x)  c(1  x)  , x(-1,1) şi f(0) = 1 = c  f(x) = (1 +x), x(-1,1). Seria binomială (17) are suma f(x)=(1 + x), deci:  (  1) 2 (  1)...(  n  1) n(17)” 1  x   1  x   x  ...  x  ..., x  (1,1) şi R. 1! 2! n!Formula (17)” este o generalizare a formulei binomului lui Newton (1 + x) cuN şi din acest motiv seria (17) se numeşte serie binomială. II. Cazuri particulare ale seriei binomiale  11.  = -1  (1)  1  x  x 2  ...  (1) n x n  ...   (1) n x n , x(-1,1). 1 x 02. În seria (1). trecem x = -x pe (-1, 1) şi obţinem:  1(2)  1  x  x 2  ...  x n  ...   x n , x(-1,1). 1 x 03. Fie [0, x]  (-1, 1) şi integrăm termen cu termen seria (1), avem:  x 2 x3 xn xn(3) ln(1  x)  x    ...  (1) n 1  ...   (1) n , x(-1,1). 2 3 n 1 nLa fel pe [0, x]  (-1, 1) şi integrăm termen cu termen seria (2), avem:  x 2 x3 xn xn(4) ln(1  x)   x    ...   ...    , x(-1,1). 2 3 n 1 n4. Adunând membru cu membru seriile (3) şi (4) pe (-1,1), găsim: 1 x   (5) ln   x2 x4 x2n x2n    2 x 1    ...   ...   2 x , x(-1,1).  1 x   3 5 2n  1  1 2n  15. În seria (3) trecem x x2 pe (-1, 1) şi avem:  x4 x2n x2n(6) ln(1  x 2 )  x 2   ...  (1) n 1  ...   (1) n 1 , x(-1,1). 2 n 0 n6. În seria (1) trecem x x2 pe (-1, 1) şi avem: 162
  •  1(7)  1  x 2  x 4  x 6  ...  (1) n x 2 n  ...   (1) n x 2 n x(-1,1). 1  x2 0Pentru [0, x] (-1, 1) integrăm termen cu termen seria (7) şi obţinem: x3 x5 x 2 n 1  x 2 n 1(8) arctg x  x    ...  (1) n  ...   (1) n x(-1,1). 3 5 2n  1 0 2n  1 17. Pentru  = din (17)”, avem: 2 1 1 3 2 n 1  3  ...  (2n  1) n(9) 1  x  1  x 2 x  ...   1 x  ..., x  (1,1) 2 1! 2  2! 2n  n ! 18. Pentru  = - din (17)”, avem: 2 1 1 1 3 2 n 1  3  ...  (2 n  1) n(10)  1 x 2 x  ...   1 x  ..., x  (1,1) 1 x 2 1! 2  2! 2n  n !9. În seria (10) trecem pe x - x2 cu x(-1, 1) şi obţinem: 1 1 2 1 3 2 1  3  ...  (2n  1) n(11)  1 x  2 x  ...  x  ..., x  (1,1) 1  x2 2 1! 2  2! 2n  n !10. Pentru  [0, x] (-1, 1) integrăm termen cu termen seria (11) şi obţinem: 1 x3 1 3 x5 1  3  ...  (2n  1) x 2 n 1(12) arcsin x  x   2  ...   ... x(-1,1). 2 1! 3 2  2! 5 2n  n! 2n  1 11. Din teorema a II-a a lui Abel, avem: lim arcsin x  arcsin1   x 1 2 x 1 1 1 1 3 1 1  3  ...  (2n  1)  (2n  1)!! 1 1  2  ...   1  n  2 1! 3 2  2! 5 2  n! n 1 2  n ! 2n 1   (2n  1)!! 1 (13)   2 1   care permite să se calculeze cu o aproximaţie  1 2n  n! 2n1  precizată numărul . III. Calculul numeric al logaritmilor naturali  x 2 x3 n 1 x n n 1 x nAvem (3) ln(1  x)  x    ...  (1)  ...   (1) ,x(-1,1). Fie a un 2 3 n 1 nnumăr pozitiv necunoscut şi să calculăm ln(a+1) (cu a+1 >0), dar:ln(a  1)  ln a  ln(1  1 ) şi pentru a>1 din (3) se obţine: a  1 1 1 1 1 1 1 1(14) ln 1       ...  (1) n  ... care este o serie încet  a a 2 a 3a 2 3 n anconvergentă, mai ales dacă a este un număr mic. Vom folosi seria (5)  1 x   x2 x4 x2n   x2nln    2 x 1    ...   ...   2 x , x(-1,1) şi în acest scop  1 x   3 5 2n  1  1 2n  1 1 x 1 1notăm:  1  x  şi obţinem dezvoltarea: 1 x a 2a  1(15) ln 1    1 1 1 1 1 1 1     ...   ... care este o serie rapid 2  a  2a  1 3 (2a  1) 3 2n  1 (2a  1) 2 n 1 1 1 1 1convergentă. Pentru a=1, din (15) avem: ln 2    3  2 3 3 3 163
  • 1 1 1 1  5  ...   2 n1  ... şi folosind metodele de calcul aproximativ al sumei 5 3 2n  1 3unei serii numerice cu termeni pozitivi convergentă, se poate calcula ln 2 cu unnumar precizat de zecimale exacte. IV. Dezvoltarea în serie Taylor a unor funcţii elementare1. f ( x)  e x cu xR şi f ( n ) ( x)  e x , x  R, n  N  f  C  (R ) şi f ( n ) (0)  1, n  N .Pentru a >0, avem: f ( n) ( x)  e x  ea , x(-a, a) R şi cum raza de convergenţă   xn 1 1 1r= , are loc egalitatea e   , x  R . Pentru x = 1  e    1   ...  ... x 0 n! 1 n! 1! n!şi se poate calcula numărul e cu un număr precizat de zecimale exacte. n 2. f(x)= sin x, xR cu f ( n ) ( x)  sin  x    , x  R, n  N şi f ( x)  (n)  2   n  sin  x    1, x  R, n  N  f  C  (R) cu :  2  n (1)k ; n  2k  1f (0) )  sin (n  , deci avem: 2 0; n  2k x3 x5  x 2 n1(17) sin x  x    ...   (1) n , xR. 3! 5! 0  2n  1! n 3. f(x)= cos x, xR cu f ( n ) ( x)  cos  x    , x  R, n  N şi f ( x)  (n)  2   n  cos  x    1, x  R, n  N  f  C  (R) cu :  2  n (1) k ; n  2kf (0) )  cos (n  , deci avem: 2 0; n  2k  1  x2 x4 n x 2n(18) cos x  x    ...   (1) , xR. 2! 4! 0 2n4. f(x)= arctg x, xR . Notăm y = arctg x  x = tg y şi avem: 1 1y    cos 2 y  cos y sin  y    . Prin metoda inducţiei se arată că, 1 x 2 1  tg y 2 2avem: f (n) ( x)   n 1!cosn y sin n  y     2  n 1!cos  arctg x  sin n  arctg x  2  pentru x  R, n  N  f  C  (R ) ; are loc şi n  1relaţia f ( n) ( x)  (n  1)! sin n  arctg x    , x  R, n  N . Pentru x = 0  1  x  2 2 n n 0; n  2kf ( n ) (0)  (n  1)!sin  şi se obţine: 2 (1)k ; n  2k  1 x x3 x5 x 2 n 1(19) arctg x     ...  (1) n  R2 n 1 ( x) , xR unde: 1 3 5 2n  1 x2n2 1R2 n1 ( x)   sin (2n  2)  arctg x      2  2n  2   2 2 2n2 1  x 164
  • 2n2 2n2 x 1 xR2 n1 ( x)   sin (2n  2)  arctg x        2n  2 1  2 x 2 n1 2 2n  2 2n2 n 1 x x   bn 2 ( x) . Pentru fiecare xR, fixat, şirul bn ( x)  este 1   x  2 2 n 1 2n  2 ndescrescător şi mărginit inferior de zero  bn  0 deci Rn ( x)  0 şi avem: pc R  pc R   x 2 n 1(20) arctg x    1 , x  R cu raza r= 1  seria (20) este uniform n 0 2n  1convergentă pe [-, ]  (- r, r). 165