Serii numerice

4,143
-1

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
4,143
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
65
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Serii numerice

  1. 1. Capitolul 3Serii numerice Stim ce înseamn˘ suma unei mul¸imi de numere, oricât de mare, ¸ a tdar finit˘. Ne punem problema extinderii no¸iunii de sum˘ la o mul¸ime a t a tinfinit˘ de numere. a Pe teoria seriilor se bazeaz˘ diverse metode numerice, de exemplu aconstruirea tabelelor de logaritmi, de func¸ii trigonometrice precum ¸i t scalculul unor constante ca e ¸i π. sDefini¸ia 3.1. Fie (an )n∈N∗ este un sir de numere reale. Perechea de t ¸ ¡ ¢ Xnsiruri (an )n∈N∗ , (sn )n∈N∗ unde sn = a1 + a2 + ... + an =¸ ak se k=1nume¸te serie numeric˘ cu termenul general an . s ¡ a ¢ Dac˘ (an )n∈N∗ , (sn )n∈N∗ este o serie numeric˘ cu termenul gen- a aeral an , atunci vom nota aceast˘ pereche prin a X ∞ a1 + a2 + ... + an + ... = an . (3.1) n=1 Sirul (sn )n∈N∗ se nume¸te ¸irul sumelor par¸iale asociat ¸irului ¸ s s t s(an )n∈N∗ .Observa¸ia 3.1. Dat sirul (an )n∈N∗ avem t ¸ s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ... sn = a1 + a2 + · · · + an ... 29
  2. 2. 30 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE Se observ˘ c˘ reciproc, dându-se un sir (sn )n∈N∗ , putem forma o a a ¸ X∞serie an ale c˘ rei sume par¸iale s˘ fie termenii sirului (sn )n∈N∗ , a t a ¸ n=1luând a1 = s1 , a2 = s2 − s1 , a3 = s3 − s1 , ... an = sn − sn−1 , ... X ∞ În acest fel seria an este perfect determinat˘ de sirul sumelor a ¸ n=1 X ∞par¸iale (sn )n∈N∗ . De aceea studiul seriei t an se reduce la studiul n=1sirului (sn )n∈N∗ .¸Defini¸ia 3.2. Spunem c˘ seria (3.1) este convergent˘ dac˘ sirul t a a a ¸sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ convergent. În acest caz s = lim sn se nu- t n→∞ X∞me¸te suma seriei si se noteaz˘ s = s ¸ a an . n=1 Dac˘ sirul sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ nu are limit˘ sau are limit˘ a ¸ t a a X ∞infinit˘ spunem c˘ seria a a an este divergent˘ . a n=1Exerci¸iul 3.1. Fie an = q n−1 , n ∈ N∗ , q ∈ R, atunci seria corespun- t X∞ X ∞z˘ toare a an = q n−1 = 1 + q + q 2 + ... are o mare importan¸a t˘ n=1 n=1în practic˘ si poart˘ numele de seria geometric˘ de ra¸ie q. Se- a ¸ a a t X∞ria q n−1 este convergent˘ pentru |q| < 1 si este divergent˘ pentru a ¸ a n=1|q| ≥ 1. X n 1 − qnRezolvare. Deoarece sn = q k−1 = , rezult˘ c˘ a a k=1 1−q 1 lim sn = dac˘ |q| < 1, a n→∞ 1−qdeci spunem c˘ seria geometric˘ este convergent˘ pentru |q| < 1 ¸i a a a sdivergent˘ pentru |q| ≥ 1.¨ a
  3. 3. 3.1. OPERATII CU SERII CONVERGENTE ¸ 31 P ∞ 1Exerci¸iul 3.2. Seria t este convergent˘ si are suma egal˘ a¸ a n=1 n (n + 1)cu 1.Rezolvare. Seria are ¸irul sumelor par¸iale dat de termenul general s t P n 1 P1 P 1 n n 1 sn = = − =1− . k=1 k (k + 1) k=1 k k=1 k + 1 n+1 Deoarece lim sn = 1, rezult˘ c˘ seria dat˘ este convergent˘ ¸i a a a a s n→∞P∞ 1 = 1.¨n=1 n (n + 1) 1 P 1 ∞Exemplul 3.1. Consider˘ m sirul an = a ¸ , deci seria este , n n=1 n P1 nnumit˘ seria armonic˘ . Are sirul sumelor par¸iale sn = a a ¸ t si ¸ k=1 k 1 1 1 1deoarece s2n − sn = + + ... + > , rezult˘ c˘ (sn )n∈N∗ a a n+1 n+2 2n 2nu este sir Cauchy în R, deci nu este convergent. Ob¸inem c˘ seria ¸ t aarmonic˘ este divergent˘ .¨ a a Seriei (3.1) i se poate ata¸a o serie cu termeni pozitivi ¸i anume s sseria X ∞ |an | = |a1 | + |a2 | + ... + |an | + ... (3.2) n=1ob¸inut˘ prin înlocuirea fiec˘rui termen al seriei (3.1) prin modulul t a as˘u. Dac˘ seria (3.2) este convergent˘, atunci seria (3.1) se nume¸te a a a sabsolut convergent˘ . a3.1 Opera¸ii cu serii convergente t X ∞ X ∞Propozi¸ia 3.1. Dac˘ seriile t a an si ¸ bn sunt convergente si au ¸ n=1 n=1suma a si b, atunci: ¸ X∞ 1. Suma (an + bn ) este convergent˘ si are suma a + b, a¸ n=1 X ∞ X ∞ X ∞ (an + bn ) = an + bn . n=1 n=1 n=1
  4. 4. 32 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE X ∞ 2. Seria αan este convergent˘ , oricare ar fi α ∈ R, si are suma a ¸ n=1αa, X ∞ X ∞ αan = α an . n=1 n=1 X ∞ 3. În particular, seria (−an ) este convergent˘ si are suma −a, a¸ n=1 X ∞ X ∞ (−an ) = − an . n=1 n=13.2 Propriet˘¸i generale ale seriilor atPropozi¸ia 3.2. Dac˘ se schimb˘ ordinea unui num˘ r finit de tremeni t a a aai seriei se ob¸ine o nou˘ serie care are aceea¸i natur˘ cu seria ini¸ial˘ . t a s a t aÎn caz de convergen¸a, suma seriei ob¸inute coincide cu suma seriei t˘ tini¸iale. Dac˘ se schimb˘ ordinea unui num˘ r infinit de termeni afir- t a a ama¸ia precedent˘ nu este, în general, valabil˘ . t a aPropozi¸ia 3.3. Dac˘ ad˘ ug˘ m sau suprim˘ m un num˘ r finit de ter- t a a a a ameni ai unei serii date, atunci seria dat˘ area aceea¸i natur˘ cu seria a s aini¸ial˘ . În caz de convergen¸a, suma seriei ob¸inute coincide cu suma t a t˘ tseriei date la care se adun˘ sau se scade suma termenilor ad˘ uga¸i a a tsau suprima¸i. t X ∞Propozi¸ia 3.4. Fie t an o serie, (sn )n∈N∗ sirul sumelor par¸iale. ¸ t n=1Aranj˘ m to¸i termenii seriei în grupe, fiecare grup˘ fiind format˘ a t a adintr-un num˘ r finit de termeni consecutivi. Efectu˘ m în fiecare grup˘ a a a X∞suma termenilor. Consider˘ m seria a bn a acestor sume. Dac˘ a n=1not˘ m cu (σ n )n∈N∗ sumele par¸iale ale acestei serii, atunci sirul (σ n )n∈N∗ a t ¸este sub¸ir al sirului (sn )n∈N∗ . Deducem de aici: s ¸ X∞ X∞ 1. Dac˘ seria a an este convergent˘ , seria a bn este convergent˘ a n=1 n=1si are aceea¸i sum˘ .¸ s a
  5. 5. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 33 X ∞ 2. Dac˘ seria a an este divergent˘ dar are suma ∞ sau −∞, a n=1 X ∞atunci seria bn este divergent˘ si are, respectiv, tot suma ∞ sau a ¸ n=1−∞. X ∞ 3. Dac˘ seria a an este divergent˘ dar nu are sum˘ , s-ar putea a a n=1 X ∞ca seria bn s˘ fie convergent˘ . a a n=1 X ∞Exemplul 3.2. Fie seria an = 1 − 1 + 1 − 1 + .... S˘ consider˘ m a a n=1 X ∞seria bn = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + .... Aceast˘ serie a n=1convergent˘ si are suma 0. a¸3.3 Criterii de convergen¸a pentru serii t˘ Studiul unei serii comport˘, ca ¸i pentru ¸iruri, dou˘ probleme: a s s a 1. Studiul convergen¸ei. t 2. În cazul în care seria este converge, aflarea sumei seriei. De cele mai multe ori ne mul¸umim numai cu rezolvarea primei tprobleme, deoarece problema a doua este greu sau imposibil de rezol-vat, în majoritatea exemplelor concrete. O dat˘ stabilit faptul c˘ o a aserie este convergent˘, adunând un num˘r destul de mare de termeni a aai s˘i ob¸inem un num˘r oricât de apropiat de suma seriei, num˘r care a t a aaproximeaz˘ suma seriei cu o eroare oricât de mic˘. a a În cele ce urmeaz˘ vor fi date criterii suficiente (cu excep¸ia cri- a tteriului general al lui Cauchy, care este necesar ¸i suficient) pentru sstabilirea convergen¸ei sau divergen¸ei seriilor. t tTeorema 3.1. (Criteriul general al lui Cauchy pentru serii) X ∞Seria an este convergent˘ dac˘ si numai dac˘ pentru orice ε > 0 a a¸ a n=1exist˘ un nε ∈ N∗ astfel încît pentru orice n ≥ nε si pentru pentru a ¸
  6. 6. 34 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICEorice p ∈ N∗ are loc rela¸ia t ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ak ¯ < ε. ¯ ¯ k=n+1Demonstra¸ie. Aplic˘m ¸irului sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ criteriul t a s tgeneral al lui Cauchy de la ¸iruri, teorema 2.7. Rezult˘ c˘ ∀ε > 0 s a aexist˘ un nε ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ are loc a ∗ s n+p Xinegalitatea |sn+p − sn | < ε. G˘sim c˘ sn+p − sn = a a ak din care k=n+1rezult˘ enun¸ul de mai sus.¥ a tObserva¸ia 3.2. Pentru p = 1 rezult˘ |an+1 | < ε pentru orice n ≥ nε , t adac˘ seria este convergent˘ . Ob¸inem urm˘ torul rezultat: a a t aTeorema 3.2. O condi¸ie necesar˘ ca seria (3.1) s˘ fie convergent˘ t a a aeste ca sirul format cu termenii seriei s˘ fie convergent c˘ tre zero. ¸ a a X∞Dac˘ an nu converge la zero, seria a an este divergent˘ . a n=1 P ∞ 1Exemplul 3.3. Seria armonic˘ a este divergent˘ , de¸i sirul ter- a s ¸ n=1 n 1menilor s˘ i an = a este convergent c˘ tre zero.¨ a n P ∞ 1Exemplul 3.4. Seria este convergent˘ si sirul terme- a ¸ ¸ n=1 n (n + 1) 1nilor s˘ i an = a este convergent c˘ tre zero.¨ a n (n + 1) ½ P∞ n 1 dac˘ n este par aExemplul 3.5. Seria (−1) are an = . n=1 −1 dac˘ n este impar aObserv˘ m c˘ an 9 0, deci seria este divergent˘ . Într-adev˘ r sirul a a a a ¸sumelor par¸iale este ½t 0 dac˘ n par a sn = si acesta este un sir divergent.¨ ¸ ¸ −1 dac˘ n este impar aTeorema 3.3. Orice serie absolut convergent˘ este convergent˘ . a aDemonstra¸ie. Deoarece seria (3.1) este absolut convergent˘ rezult˘ t a ac˘ seria (3.2) este convergent˘ ¸i aplicând criteriul general de conver- a asgen¸a a lui Cauchy pentru serii, teorema 3.2, rezult˘ c˘ pentru orice t˘ a aε > 0 exist˘ un nε ∈ N∗ astfel încît are loc rela¸ia a t
  7. 7. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 35 ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ n+p X ¯ ¯ ¯ |an |¯ = |an | < ε pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ , s ¯ ¯ k=n+1 k=n+1 ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ n+p X ¯ ¯deci pentru seria (3.1) avem |sn+p − sn | = ¯ an ¯ ≤ |an | < ε ¯ ¯ k=n+1 k=n+1pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ , deci seria 3.1) este convergent˘.¥ s a Reciproca acestei teoreme nu este adev˘rat˘ în general. a a3.3.1 Criterii de convergen¸a pentru serii cu ter- t˘ meni pozitivi X ∞Defini¸ia 3.3. O serie de numere reale t an se nume¸te serie cu s n=1termeni pozitivi dac˘ exist˘ un rang începând de la care to¸i termenii a a t ∗seriei sunt strict pozitivi, adic˘ ∃n1 ∈ N astfel încât ∀n ≥ n1 : an ≥ 0. aObserva¸ia 3.3. Deoarece obiectul studiului la seriile cu termeni po- tzitivi îl constituie natura acestora si deoarece dac˘ suprim˘ m un num˘ r ¸ a a afinit de termeni ai unei serii natura ei nu se modific˘ (numai suma se amodific˘ , în caz de convergen¸a), vom considera numai serii în care a t˘to¸i termenii sunt pozitivi. tObserva¸ia 3.4. Criteriile pe care le vom enun¸a pentru serii cu ter- t tmeni pozitivi constituie criterii de absolut convergen¸a pentru serii cu t˘termeni oarecare.Teorema 3.4. (Criteriul monotoniei)O serie cu termeni pozitivieste convergent˘ dac˘ si numai dac˘ sirul sumelor par¸iale este m˘ rgi- a a¸ a¸ t anit.Demonstra¸ie. Consider˘m seria (3.1) cu an ≥ 0, deci ¸irul sumelor t a spar¸iale este cresc˘tor: sn+1 = sn + an+1 , deci sn+1 ≥ sn ¸i aplic˘m t a s ateorema de convergen¸a a ¸irurilor monotone.¥ t˘ sObserva¸ia 3.5. Dac˘ sirul sumelor par¸iale asociat unei serii cu t a ¸ ttermeni pozitivi este nem˘ rginit, atunci seria este divergent˘ . a a X ∞Teorema 3.5. (Criteriul compara¸iei) Consider˘ m seriile t a an n=1 X ∞si¸ bn cu 0 ≤ an ≤ bn ∀n ∈ N∗ . n=1
  8. 8. 36 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE X ∞ X ∞ a) Dac˘ seria a bn este convergent˘ , atunci a an este conver- n=1 n=1gent˘ . a X ∞ X ∞ b) Dac˘ seria a an este divergent˘ , atunci a bn este divergent˘ . a n=1 n=1Demonstra¸ie. a) Fie (sn ) ¸i (tn ) ¸irul sumelor par¸iale ale seriilor t s s tX∞ X ∞ an , respectiv bn . Deoarece an ≤ bn rezult˘ c˘ a an=1 n=1sn = a1 + a2 + ... + an ≤ b1 + b2 + ... + bn = tn , ∀n ∈ N∗ . X∞ def Conform ipotezei seria bn este convergent˘ → (tn )n∈N∗ conver- a n=1 X ∞gent ⇔ (tn )n∈N∗ este m˘rginit ⇒ (sn )n∈N∗ este m˘rginit ¸i cum a a s an n=1 X ∞este o serie cu termeni pozitivi, rezult˘, conform teoremei 3.4, c˘ a a an n=1este convergent˘. a X ∞ b) Dac˘ seria a bn ar fi convergent˘, conform punctului a) ar a n=1 X ∞rezulta c˘ a an este convergent˘, ceea ce este imposibil.¥ a n=1 X ∞ 1Exemplul 3.6. Seria √ este convergent˘ deoarece a n=1 2n n + 1 1 1 √ < n , ∀n ≥ 1, 2n n+1 2 X 1 ∞iar seria este convergent˘ (este seria geometric˘ cu ra¸ia q = a a t n=1 2n12 < 1 Exerci¸iul 3.1).¨ t X ∞ 1Exemplul 3.7. Seria √ este divergent˘ deoarece a n=1 n+1 1 1 <√ , ∀n ≥ 1, n n+1 X1 ∞iar seria este divergent˘ (Exemplul 3.1 ).¨ a n=1 n
  9. 9. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 37 X ∞ X ∞Teorema 3.6. Consider˘ m seriile a an si ¸ bn cu termeni pozitivi n=1 n=1 ansi presupunem c˘ exist˘ lim¸ a a = l. n→∞ bn X ∞ X ∞ 1. Dac˘ l = 0 si seria a ¸ bn este convergent˘ , atunci seria a an n=1 n=1este convergent˘ . a X ∞ X ∞ 2. Dac˘ l = ∞ si seria a ¸ bn este divergent˘ , atunci seria a an n=1 n=1este divergent˘ . a 3. Dac˘ 0 < l < ∞ atunci cele dou˘ serii au aceea¸i natur˘ . a a s a X ∞ 1Exemplul 3.8. 1. Seria sin este convergent˘ deoarece a n=1 n2 1 sin 2 X∞ 1 lim n = 1, iar seria este convergent˘ (Exer- a n→∞ 1 n(n + 1) n=1 n(n + 1)ci¸iul 3.2). t 1 X∞ √ 1 n+1 2. Seria √ este divergent˘ deoarece lim a =∞ n+1 n→∞ 1 n=1 n X1 ∞iar seria este divergent˘ . a n=1 n 1 X 1 ∞ 3. Seria este convergent˘ deoarece lim n! = 0 si seria a ¸ n! n→∞ 1 n=1 n2X 1 ∞ este convergent˘ .¨ an=1 n2 X ∞ 1Exerci¸iul 3.3. S˘ se studieze natura seriei t a √ . n=2 nnn 1 1 √Rezolvare. Fie an = √ ¸i bn = . Deoarece lim n n = 1, Ex- s n n n n n→∞ an X1 ∞erci¸iul 2.3, rezult˘ lim t a = 1. Cum seria este divergent˘, a n→∞ bn n n=2
  10. 10. 38 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE X ∞ 1rezult˘ c˘ ¸i seria a as √ este divergent˘.¨ a n=2 nnnTeorema 3.7. (Criteriul de condensare a lui Cauchy) Dac˘ aX∞ an este o serie cu termeni pozitivi pentru care sirul termenilor ¸n=1 X ∞(an )n∈N∗ este monoton descresc˘ tor, atunci seria a an are aceea¸i s n=1 X ∞natur˘ cu seria a 2n a2n . n=1Demonstra¸ie. Fie k ∈ N∗ cu proprietatea 2k−1 ≤ n < 2k . Folosim tfaptul c˘ am ales n < 2k . Deoarece (an ) este un ¸ir de numere pozitive a smonoton descresc˘tor, avem: a sn = a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + (a2 + a3 ) + ... + (a2k−1 + ... + a2k ) ≤ ≤ a1 + 2a2 + ... + 2k−1 a2k−1 ≤ a1 + σ 2k−1 , P k nunde am notat σ 2n = 2 a2k . k=1 P ∞ Dac˘ seria a 2k a2k este convergent˘ ¸irul (σ 2n ) este convergent, as k=1deci ¸i m˘rginit ¸i deoarece 0 ≤ sn ≤ a1 + σ 2k−1 rezult˘ ¸irul (sn ) ¸i s a s as s X ∞deoarece este monoton cresc˘tor rezult˘ c˘ ¸i seria a a as an este conver- n=1gent˘. a X ∞ Presupunem c˘ seria a an este convergent˘. Dar n ≥ 2k−1 , deci a n=1vom aveasn = a1 +a2 +...+an ≥ (a1 + a2 )+(a3 + a4 )+...+(a2k−2 +1 + ... + a2k−1 ) ≥ ≥ a2 + 2a4 + ... + 2k−2 a2k−1 ≥ 1 σ 2k−1 . 2 X ∞ P k ∞ Dac˘ seria a an este este convergent˘, rezult˘ c˘ seria a a a 2 a2k n=1 k=1este convergent˘.¥ a X 1 ∞Exerci¸iul 3.4. (Seria armonic˘ generalizat˘ ) Seria t a a , nu- n=1 nαmit˘ si serie Riemann sau seria armonic˘ generalizat˘ , este conver- a ¸ a agent˘ pentru α > 1 si divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1. a ¸ a
  11. 11. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 39 X 1 ∞Rezolvare. Aplic˘m criteriul condens˘rii seriei a a , α > 0. Pentru n=1 nαα > 0, termenii seriei descresc ¸i se poate aplica criteriul de condensare s X 1 ∞a lui Cauchy. Rezult˘ c˘ seria a a are aceea¸i natur˘ cu seria s a n=1 nα X∞ 1 X µ 1 ¶n ∞ X µ 1 ¶n ∞ n 2 nα = . Seria este o serie geo- n=1 2 n=1 2α−1 n=1 2α−1 1metric˘ cu ra¸ia α−1 , care este seria geometric˘ convergent˘ dac˘ ¸i a t a a as 2 1numai dac˘ α−1 < 1 ⇔ α > 1. a 2 1 Dac˘ α ≥ 1, atunci α−1 ≥ 1 ¸i seria geometric˘ este divergent˘. a s a a 2 În particular, pentru α = 1 ob¸inem o nou˘ demonstra¸ie a faptului t a t X1∞c˘ seria armonic˘ a a este divergent˘.H a n=1 n X ∞ 1Exerci¸iul 3.5. Seria t , a > 1 este convergent˘ pentru a n=2 n (loga n)αα > 1 si divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1. ¸ aRezolvare. Conform criteriului condens˘rii aceast˘ serie are aceea¸i a a s X∞ 1 X ∞ 1 1 X 1 ∞natur˘ cu seria a 2n n n )α = α = n=2 2 (loga 2 n=2 (n loga 2) (loga 2)α n=2 nαcare este convergent˘ pentru α > 1 ¸i divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1.H a s aTeorema 3.8. (forma practic˘ a criteriului raportului a lui - a X ∞D’Alembert) Fie seria an cu termeni pozitivi si presupunem c˘ ¸ a n=1 an+1exist˘ lim a = l. Atunci: n→∞ an X ∞ a) dac˘ l < 1, seria a an este convergent˘ ; a n=1 X ∞ b) dac˘ l > 1, seria a an este divergent˘ . a n=1 c) dac˘ l = 1 nu se poate preciza natura seriei. a X an ∞Exerci¸iul 3.6. S˘ se studieze natura seriei t a , a > 0. n=1 n!
  12. 12. 40 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE an bn+1 aRezolvare. Fie bn = . Deoarece lim = lim = 0 < 1, n! n→∞ bn n→∞ n + 1seria este convergent˘. aExemplul 3.9. Observ˘ m din urm˘ toarele dou˘ exemple c˘ în cazul a a a al = 1 nu se poate preciza natura seriei. 1 an+1 n X1 ∞ Dac˘ an = , a = → 1 si seria corespunz˘ toare ¸ a n an n+1 n=1 neste divergent˘ , exemplul 3.1. a X∞ 1 an+1 n În cazul seriei , = → 1 si seria este con- ¸ n=1 n(n + 1) an n+2vergent˘ , exemplul 3.2.¨ aTeorema 3.9. (Forma practic˘ a criteriului r˘ d˘ cinii) Fie seria a a aX∞ √ an , ∀n ∈ N∗ , serie cu termeni pozitivi si lim n an = l. Atunci: ¸ n→∞n=1 X ∞ a) dac˘ l < 1, seria a an este convergent˘ ; a n=1 X ∞ b) dac˘ l > 1, seria a an este divergent˘ ; a n=1 c) dac˘ l = 1 nu se poate preciza natura seriei. a X ∞ n2Exerci¸iul 3.7. S˘ se studieze natura seriei t a ¡ ¢ . 1 n n=1 3+ n √ nRezolvare. Deoarece lim n2 = 1 rezult˘ a s n→∞ √n n2 n2 1 lim n ¡ 1 ¢n = lim 1 = < 1, deci seria este convergent˘. a n→∞ 3+ n n→∞ 3 + n 3Exemplul 3.10. Observ˘ m din urm˘ toarele dou˘ exemple c˘ în cazul a a a al = 1 nu se poate preciza natura seriei. 1 p 1 X1 ∞ Dac˘ an = , a n |an | = √ → 1 si seria corespunz˘ toare ¸ a n n n n=1 neste divergent˘ , exemplul 3.1. a X∞ 1 p 1 În cazul seriei , n |an | = p → 1 si seria ¸ n=1 n(n + 1) n n(n + 1)este convergent˘ , exemplul 3.2.¨ a
  13. 13. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 41 X∞Teorema 3.10. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria an , an 6= µ ¶ n=1 an0, ∀n ∈ N∗ , serie cu termeni pozitivi si lim n ¸ − 1 = r. Atunci n→∞ an+1 a) dac˘ r > 1, seria este convergent˘ ; a a b) dac˘ r < 1, seria este divergent˘ ; a a c) dac˘ r = 1 nu se poate preciza natura seriei. a X ∞ 1 an+1 nExemplul 3.11. În cazul seriei , = → 1, n=1 n(n + 1) an n+2aplic˘ m criteriul Raabe-Duhamel: a µ ¶ µ ¶ an n+2 lim n − 1 = lim n − 1 = 2 si reg˘ sim rezultatul ¸ a n→∞ an+1 n→∞ nstiut c˘ seria este convergent˘ .¨¸ a a X 1 ∞Exemplul 3.12. Seriei nici criteriul raportului si nici criteriul ¸ n=1 n2r˘ d˘ cinii nu ne dau informa¸ii µ a a t asupra convergen¸ei seriei. Aplic˘ m ¶ t µ a¶ an (n + 1)2criteriul Raabe-Duhamel: lim n − 1 = lim n −1 = n→∞ an+1 n→∞ n22 si deci seria este convergent˘ .¨ ¸ a X ∞Exerci¸iul 3.8. Fie seria t aln n , a > 0. S˘ se studieze natura seriei. a n=1 an+1Rezolvare. Not˘m an = aln n ¸i aplic˘m criteriul raportului a s a = analn(n+1) n+1 an+1 n+1 ln n = aln(n+1)−ln n = aln n , lim = lim aln n = 1 deci nu a n→∞ an n→∞putem determina natura seriei. Aplic˘m criteriul ¶ aµ Raabe-Duhamel. an ³ n ´ n aln n+1 − 1 ln n+1 n lim n − 1 = lim n a − 1 = lim n n ln n+1 = n→∞ an+1 n→∞ n→∞ ln n+1 n aln n+1 − 1 ¡ n ¢n lim n ln n+1 = − ln an→∞ ln n+1 X∞ −1 Dac˘ ln a < 1 ⇒ a < e seria a aln n este convergent˘. a n=1 X ∞ Dac˘ ln a > 1 ⇒ a > e−1 seria a aln n este divergent˘. a n=1
  14. 14. 42 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE 1 X1 ∞ Pentru a = e−1 avem an = ¸i seria s este divergent˘. a n n=1 n

×