Upcoming SlideShare
×

# 0calcululunorsumeingimnaziu

314

Published on

Published in: Education
0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

• Be the first to like this

Views
Total Views
314
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
6
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### 0calcululunorsumeingimnaziu

1. 1. x Calculul unor sume in gimnaziuExercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnitechiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrareaunor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductiamatematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvareaunor probleme propuse pentru diferite concursuri. Calculul unor sume de numere1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 +2 +1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1) n( n +1) S= 22. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n 2 S= n 2 n −2 x n −1 n3. S=1 + x + x +…+ x + x + x x + x2 + x 3 n −1 n Sx= + ... + . x +x n +1 Sx-S = x −1 n +1 S(x-1) = x −1 n +1 S=( x -1)/( x -1) 2 2 2 24. S= 1 2 + 3 +…+ n +Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie: 2 1 =1 1
2. 2. 2 2 =1+3 2 3 =1+3+5 ……………………………. 2 k =1+3+5+…+(2k-1)…………;………………….. 2 n =1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1) Adunand membru cu membru obtinem: S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1) Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris: 2 k +k,atunci: (2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2 2 2 2 2S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2( 1 + 2 + 3 +…+ n )+(1+2+3+…+n) 23S=(n+1). n +n(n+1)/2 26S=2.(n+1). n +n.(n+1)6S=n(n+1)(2n+1) n(n +1)(2n +1)S= 6 1 1 1 15. S= + + +…+ n( n +1) 1.2 2.3 3.4 1 1 1 Se demonstreaza usor ca: n( n +1) = - ⇒ n n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 nS= - + - +…+ - = - = 1 2 2 3 n n +1 1 n +1 n +1 k 1 1Generalizare: n(n + k ) = - n n +k Aplicatii:a) Calculati suma cifrelor numarului:x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.Numarul x se mai poate scrie: 2 3 2008 2 3 2008x=10-1+10 -1+10 -1+…+10 -1=(10+10 +10 +…+10 -1= 2 3 2008 2 2007=(10+10 +10 +…+10 )-2008=10(1+10+10 +…+10 )-2008= 2008=10. 10 −1 999..99 -2008=10. -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In 9 10 − 1rezultat apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.Generalizare: Pentru a calcula: S=a+ aa + aaa +…+ aa...aa se calculeaza: 2
3. 3. a (9+99+999+…+99…9) 9 3 5 7 85b)Calculati: S= + + +…+ 1.4 4.9 9.16 1764.1849 k 1 1Se foloseste relatia: n(n + k ) = - si avem: n n +k 1 1 1 1 1 1 1 1 1848S= - + - + - +…+ - = 1 4 4 9 9 16 1764 1849 1849c)Sa se calculeze: 1 1 1 1S= 1.( k +1) + ( k +1)(2k +1) + (2k +1)(3k +1) +…+ [(n −)k +1](nk +1)Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k siobtinem: k k k kSk= 1.( k +1) + (k +1)(2k +1) + (2k +1)(3k +1) +…+ [(n −1) k +1](nk +1) = 1 1 1 1 1 1 1 1= - + - + - +…+ ( n −1) k +1 - = 1 k +1 k +1 2k +1 2k +1 3k +1 nk +1 1 1 nk +1 −1 nk n= - = = ,de unde:S= . 1 nk +1 nk +1 nk +1 nk +1d)Aratati ca numarul : 2 3 2006N=1+2+ 2 +2 2 nu este patrat perfect. +…+ 2007Calculand N obtinem: N= 2 -1 2007 2007U( 2 -1)=U(U( 2 )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8rezulta N nu este patrat perfect.e)Sa se calculeze suma: (2n − ) 2 2 2 1 2S= 1 3 5 + + +…+Se porneste de la (2n − ) =4. n -4.n+1 avem: 2 2 1 2 2 1 =4.1 -4.1+1 2 2 3 =4. 2 -4.2+1 2 2 5 =4. 3 -4.3+1 …………………….(2n − ) 2 2 1 =4. n -4n+1 Adunand membru cu membru obtinem: 2 2 2 2 S=4( 1 + 2 +3 +…+ n )-4(1+2+3+…+n)+n= n( n + 1)(2n + 1) n( n +1) 2n( n +1)(2n + 1) = 4. -4. +n= -2n(n+1)+n= 6 2 3 3
4. 4. 2n( n + 1)(2n + 1) − 6n(n + 1) + 3n= = 3 2 2 n(4 n + 2n + 4n + 2 − 6n − 6 + 3) n(4 n − 1)= = . 3 3f) Calculati: 2 2 2 2 S= 2 4 6 + + +…+ 2008 .Suma mai poate fi scrisa: 2 2 2 2 (2.1) + (2.2) + (2.3) (2.1004) = 2 .1 2 2S= +…+ + 2 2 2 22 2 2 3 +…+ . + . 2 2 2 2 2 2 2 4.1004.1005.2009+ 2 .1004 = 2 (1 + 2 + 3 +…+ 1004 )= 6 ==1004.670.2009. 2 2 2 2g) Calculati: S= 2 6 +10 + +…+ 4014 .Suma se mai scrie: 2 2 2 2 (2.1) (2.3) + (2.5) (2.2007) = 2 .1 2 2S= + +…+ + 2 2 2 2 2 2 22 3 . + …+ + 2 2007 . =4( 1 3 + +…+ 2007 )= 24.1004(4.1004 − 1) = 3 2 4.1004(2008 − 1) 4.1004.2007.2009= = =4.1004.669.2009 3 3 1 1 1h) S=1+ + +…+ = 1+2 1+ 2 +3 1 + 2 + 3 + ... + 2008 1 1 1 =1+ ( 2.3) / 2 + (3.4) / 2 +…+ ( 2008.2009) / 2 = 2 2 2 1 1 1 =1+ + +…+ =1+2( + +…+ )= 2.3 3.4 2008.2009 2. 3 3.4 2008.2009 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 4016 =1+2( - + - +…+ - )=1+2( - )=1+ = . 2 3 3 4 2008 2009 2 2009 2009 4009 1 1 1 1i) S=1+ + 2 + 3 +…+ n . Suma se mai poate scrie: x x x x n n−1 n +1 S= x x + + ... + x + 1 n = x −1 n x x ( x − 1) Aratati ca numarul: 4
5. 5. 2 2x= n 2 − 2n + 1 2 - n − 4n + 2 2 -…- 2 n − 4n + 2 10 este patrat perfect. 3 3 3 2 (n − ) 2 (n − ) 2 2Numarul poate fi scris: x= (n − ) 1 2 - 1 -…- 1 = 2 10 3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 (n − ) (n − ) 2 2= 1 ( - 2 -…- 10 )= 1 )[ - 2 (1+ + 2 +…+ 3 3 3 3 3 3 3 1 8 )]=3 9 9= (n − ) 1 2 1 ( - 2 2 . 3 −1 )= (n − ) 1 2 1 3 −1 ( − )= (n − ) . 1 2 3 3 2. 3 8 3 310 1 10 =patrat perfect.3j) Calculati :S=3+7+11+…+8035. Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu restsi constatam:3=4.0+37=4.1+311=4.2+3……………….8035=4.2008+3S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+ 4.2008.2009+2009.3= +6027=4016.2009+6027=2009.4019 2Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesareparcurgerea urmatoarelor etape: _stabilirea numarului de termeni ai sumei; _identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termeniisumei; _identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecaretermen in parte Prof. Glaje Nicolae Scoala Generla Polovragi 5
6. 6. 6