Shpargalka
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Shpargalka

on

  • 429 views

 

Statistics

Views

Total Views
429
Views on SlideShare
413
Embed Views
16

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

1 Embed 16

http://st.km.ua 16

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Shpargalka Document Transcript

  • 1. 6 7 2 а а2 4 1,2,3,4,5... 12 у 1 2 а х а 3 Городоцька гімназія 2011 N єN n
  • 2. Думай і роби, роби і думай І.А. Крилов У посібнику викладено основні формули курсу математики у 5-6-х та алгебри у основній школі. Цей посібник стане у нагоді як учням так і вчителям при вивченні математики. Підготувала: вчитель математики Городоцької гімназії Станиця С.В. Рецензент: методист районного відділу освіти Городоцької райдержадміністрації Ференс Г.Г. © Технічний редактор: Коваленко Олена 2
  • 3. Зміст I. Формули скороченого множення ……………………………..……..4 II. Комбінаторика ……………………………………………………..…..5 III.Властивості степеня ……………………………………………..……6 IV.Властивості арифметичної прогресії ……………………………..…8 V. Дії зі звичайними дробами ………………………………………...…..9 VI.Подільність чисел ………………………………………………….…..10 VII.Модуль числа ……………………………………………………….…12 VIII.Квадратні рівняння ……………………………………………….…13 IX.Кубічні рівняння ………………………………………...………….….16 X. Властивості числових нерівностей ……………………………...…..17 XI.Арифметична прогресія …………………………………...………….18 XII.Геометрична прогресія ……………………………...……….……….19 XIII. Однорідні рівняння і ті, що зводяться до однорідних …………...21 XIV. Симетричні рівняння …………………………………………..……22 XV. Тригонометричні рівняння …………………………………..……...22 XVI. Обернені тригонометричні функції ……………………….………26 XVII.Тригонометричні нерівності …………………………………..…...30 XVIII.Тригонометрія ……………………………………………..………..31 XIX.Похідні тригонометричних функцій ………………………...……...37 XX.Похідні вищих порядків……………………………………..………...38 XXI.Властивості логарифмів……………………………………...……….39 XXII.Формули для знаходження границь функцій………………...…...41 XXIII.Похідні основних елементарних функцій………………………...42 XXIV.Приклади застосування похідної…………………………………..44 XXV.Первісна та інтеграл……………..…………………………………...45 3
  • 4. Натуральні числа – числа, які використовуються при лічбі (N). Цілі числа - натуральні, протилежні до них і число 0 (Z). Прості числа – натуральні числа, які більші за 1 і мають два дільники: одиницю і самого себе (2, 3, 5, 7, 11,…). Складені числа - натуральні числа, які більші за 1 і мають більше двох дільників (4, 6, 8, 9, 10 …) Число 1 – ні просте, ні складене (має лише один дільник). m Раціональні числа – числа виду n , де m є z, n є N; ці числа можна записати у вигляді нескінченного періодичного дробу (Q). Ірраціональні числа – числа, які можна зобразити у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу. (І) Дійсні числа – це раціональні і ірраціональні разом (R). Таблиця назв великих чисел: Тисяча Квадрильйон 103 6 Мільйон Квінтильйон 10 9 Мільярд Секстильйон 10 Трильйон Септильйон 1012 1015 1018 1021 1024 І. Формули скороченого множення 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. а  в 2  а 2  2ав  в 2 а 2  в 2  а  в а  в    а  в а    а  в а 3  в 3  а  в  а 2  ав  в 2  а  в   3ава  в  а3  в3 3 2  ав  в 2 3  3ава  в  а  в 3  а 3  3а 2 в  3ав 2  в 3  а 3  в 3  3ава  в  а  в  с2  а 2  в 2  с 2  2ав  2ас  2вс  а 3  в 3  с 3  3авс  а  в  с  а 2  в 2  с 2  ав  ас  вс 4 
  • 5. 8. Трикутник Паскаля (а + в)0 = 1 (а + в)1 = а + в (а + в)2 = а2 + 2ав +в2 (а + в)3 = а3 + 3а2в + 3ав2 + в3 (а + в)4 = а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4 (а + в)5= а5+5а4в+10а3в2 +10а2в3 +5ав4+в5 9. Біном Ньютона 0 1 m n n (а  в) n  Cn a n  Cn a n1b  ...  Cn a nm b m  ...  Cn 1ab n1  Cn b n m Cn  n! m!n  m! , де , n! 1* 2 * 3 * ... * n а 2  в 2  а  в   2ав 2 10. 11. 12. 13. 14.  а4  в4  а2  в2  2    2а 2 в 2  а  в   2ав  2а 2 в 2 2 2       а 5  в 5  а  в  а 4  а 3в  а 2 в 2  ав 3  в 4  а  в  а 4  в 4  ав а 2  в 2  а 2 в 2   а6  в 6  а 2  в 2 а 4  а 2в 2  в 4   2 2 2 Якщо а  в  с  ав  ас  вс , то а  в  с ІІ. Комбінаторика 1. Перестановки – будь – яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Рn  n! 1* 2 * 3 * ... * n 2. Розміщення - будь – яка впорядкована підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, де m ≤ n, називається 5
  • 6. m Аn  nn  1n  2...n  m  1 розміщенням з n елементів по m: . 3. Комбінація – будь – яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m: n! m Сn  m!n  m! Властивості: m A  Cn Pn m n 1. m n Cn  Cn m 2. m C n 1  3. nm m Cn m 1 m m m Cn  Cn 1  Cn1 1 4. 0 1 2 m Cn  Cn  Cn  ...  Cn  2 n 5. ІІІ. Властивості степеня 1.а  ...   а n ; а а  n a 5.  b n b   a 2.а  1 3.а  а 0 1 n 6.a n a m  a nm   m an a 11.   n b b  a nm 10.n a m  a Властивості: 1. Якщо ах = ау, то х = у. 2. Якщо ах > ау, а > 1, то х > у. 3. Якщо ах > ау, то 0 < а < 1, то х < у. 4. Якщо ах = а, то х = 1. 5. Якщо ах=1, то х=0. 9. a n 1 an an 7. m  a n m n 8.ав   a n b n ; a n m n 4.а n  6
  • 7. 7 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 число степінь 1000 729 512 343 216 125 64 27 8 3 10000 6561 4096 2401 1296 625 256 81 16 4 100000 59049 32768 16807 7776 3125 1024 243 32 5 1000000 531441 262144 177649 46656 15625 4096 729 64 6 823543 279936 78125 16384 2187 128 7 10000000 4782969 2097152 Таблиця степенів 100000000 43046721 16777216 5764801 1679616 390625 65536 6561 256 8 1000000000 387420489 134217728 40353607 10077696 1953125 262144 19683 512 9 10000000000 3486784401 1073741824 282475249 60466176 9765625 1048576 59049 1024 10
  • 8. IV.Властивості арифметичного кореня: 1. а 2k  a k , a  0 n ab  n a * n b n ak  n 2. a  b 3. 4. n k 5. 6. n k n n a n b , b  0. a  nk a a  nk a k  a n n 7.  a (а ≥0, b≥0, якщо n є N,парне! ) , k>0 , k>0  a, a  0 n a n  a , n  парне n  a  n a , n  непарне; n a  n b ,0  a  b 8. 9. 10. a, a  0; a2  a    a, a  0. 11. n 12. a n  a , n  парне a 13.  a 2 x, a  0;  x   a 2 x , a  0.  ab  a * b , a, b  R 14. 15. Формули складного 8 радикала:
  • 9. a b  a a2  b  2 a  a2  b ; m  n  2 mn  2 m n; ab  ab ; a, b  0 2 16. a1  a 2  ....  a n  a1 * a 2 * .... * an n 17. V. Дії зі звичайними дробами 1. Додавання і віднімання дробів з однаковими a b ab   . c c c 2. Додавання і віднімання дробів з різними a c ad  bc   . b d bd знаменниками: знаменниками: a c ac *  . b d bd 3. Множення дробів: a 4. Перетворення мішаного дробу в неправильний: a c a d ad :  *  . b d b c bc 5. Ділення дробів: а с  , 6. Властивості: якщо b d то ab cd  ; b d a. a c  ; ab cd b. c. ab cd  ; ab cd 9 b ac  b  . c c
  • 10. VI. Подільність чисел 1. На 2 діляться всі парні (ті, які закінчуються цифрами 0, 2 , 4, 6, і 8) числа. 2. На 3 діляться, ті числа, сума цифр яких ділиться на 3. (78903:3, бо 7+8+9+0+3=27, а 27:3) 3. На 4 ділиться число, якщо на 4 ділиться число, утворене двома останніми цифрами. (9123748:4, бо 48:4). 4. На 5 діляться числа, запис яких закінчується цифрою 0 або цифрою 5. (29045:5; 71342100:5). 5. На 6 діляться числа, які діляться на 2 і на 3 одночасно, тобто парні і сума цифр якого ділиться на 3. (71292:6, бо парне і 7+1+2+9+2=21:3). 6. На 7,11 і 13 ділиться число, якщо на 7,11 і 13 ділиться число, яке є різницею між числом, записаним з останніх трьох цифр, і числом, записаним рештою його цифр (у тому ж прядку). 7. На 8 і 125 діляться числа, якщо ділиться на 8 і 125 число, утворене трьома останніми цифрами (2948794104:8, бо 104:8=13). 8. На 9 ділиться число, якщо сума цифр даного числа ділиться на 9. (1705248:9, бо27:9). 9. На 10, 100, … діляться числа, якщо їх запис закінчується відповідно одним, двома, … нулями. 10. На 15 діляться числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5 і сума цифр якого ділиться на 3 (тобто ті, які діляться на 3 і на 5). 11. На 25 ділиться число, якщо на 25 ділиться число, утворене двома останніми цифрами (794101775:25, бо 75 : 25). 12. На 11 ділиться число, коли різниця rn між сумою цифр у записі даного числа, які стоять на непарних місцях, і сумою цифр, які стоять на парних місцях, ділиться на 11 (6268141, r7=6-2+6-8+14+1=0, та як 0:11, то і число :11). 13. Ознака подільності Рачинського. Натуральне число n =10а + в ділиться на натуральне число n1 =10а1 + в1 (n > n1 ,а, в, а1, в1 є N, причому а1 і в1 взаємнопрості) тоді, коли на n1 ділиться різниця r1=ab1 –a1b. Наприклад. n=12062, n1=37, n : n1? n= 10*100+2062, n1=10*3+7, r1=100*7-3*2062=814:37, то і n:37. АБО: n= 1206*10+2, n1=10*3+7, r1= 1206*7-3*2=8436 10
  • 11. r2=843*7-3*6=5883 r3=588*7-3*3=4107 r4=410*7-3*7=2849 r5=284*7-3*9=1961 r6=196*7-3*1=1369 r7=136*7-3*9=925 r8=92*7-3*5=629 r9=62*7-3*9=407 r10=40*7-3*7=259 r11=25*7-3*9=148 r12=14*7-3*8=74 r13=7*7-3*4=37 : 37, то n:37. Властивості: 1. Якщо а : с і в : с, то (а ± в) : с; 2. Якщо ±а1, ±а2, ±а3,…, ±аn діляться на с, то і сума цих чисел ділиться на с; 3. Якщо а : с1 і в : с2, то (а * в) : (с1 * с2); 4. Якщо хоча б один з двох множників а чи в ділиться на с, то (а * в) : с; 5. Якщо а : в, то аn : вn для n є N; 6. Якщо а : в і в = в1 * в2, то а : в1 і а : в2; Основна теорема арифметики: Будь – яке складене натуральне число можна розкласти у добуток простих множників. Цей розклад єдиний. N  Р1m1 * P2m2 * ... * Pkmk , де Р1, Р2, …, Рk – різні прості множники, m1, m2, …, mk – кількість їх повторів; Найбільший спільний дільник (НСД): це найбільше натуральне число, на яке діляться дані числа. НСД (28;48) = 22 =4; бо 28 = 22 * 7, 48 = 24 * 3. Взаємно-прості числа: це числа, найбільшим спільним дільником яких є число 1. НСД (25;14) = 1; бо 25 = 52, 14 = 2 * 7. Найменше спільне кратне (НСК): це найменше натуральне число, яке націло ділиться на кожне із даних чисел. НСК (24;90) = 23 * 32 * 5; бо 24 = 23 * 3, 90 = 2 * 32 * 5. 11
  • 12. Число 1 (один) не є ні простим, ні складеним числом. Два числа, добуток яких дорівнює 1, називаються взаємно оберненими. Число 1 є оберненим до самого себе. Число 0 не має оберненого. VII. Модуль числа Модулем числа називається відстань від 0 до точки, яка позначає дане число. а, якщо.а  0; а   а, якщо.а  0. Властивості 1. x 2  x ; 3. ав  2.2 n x 2 n  x ; а * в; 4. а * в  ав ;  х  а; 6.Якщо х  а, то  а  х  а;  5. а  а ;  х  а. 2 2 а  0; 7.Якщо х  в  а, (в  а)  х  (в  а);  в  0.  х  а; 8.Якщо х  а,   х  а.  х  в  а; 9.Якщо х  в  а,   х  в  а. 10.Якщо( х 2 )  а, х  а,або( а )  х  а ; а  0.  f x , f x   0;  х  а;  12. f x    11.Якщо х 2  а, х  а ,    f x , f x   0. х   а.      f x , f x   0; 13. f x     f x , f x   0. . 14 .a ) a  в  а  в ; г) a  в  а  в ; б) a  в  а  в ; д) a  в  а  в ; е) a  в  а  в ; 15. х  0; 16.х  х ; 17.  х  х . 12 в) a  в  а  в ;
  • 13. VIII. Квадратні рівняння Рівняння виду ах2+вх+с = 0, де а ≠ 0, а, в, с – взаємнопрості числа, називається квадратним. І. Якщо в = 0 або с = 0, то рівняння називається неповним квадратним рівнянням. c c 1. в = 0, то ах2+с = 0, х2 = - a . а) якщо - a >0, то рівняння має два роз- c a c в’язки х1,2= ; б) якщо - a <0, то рівняння розв’язків немає. в 2. с = 0, то ах2+вх = 0, х(ах +в) = 0, х =0 або х = - a .   1 2 3. в = 0, с =0, то ах2 = 0, х =0. ІІ. Якщо а, в, с ≠ 0, то рівняння називається повним квадратним рівнянням. 1. D = в2 -4ас: a. b. c. D >0, то D = 0, то D<0, то х1, 2  x1.2  в D ; 2а в 2а ; рівняння немає х1  х 2   дійсних але має ві D 2а , де і2 = -1. 2 2. коренів, Якщо в – парне число, то в D1     ас; х1, 2  2 х2  с . а 3. Якщо а + в + с = 0, то х1=1, 4. с х2   . а Якщо а – в + с =0, то х1=-1, 13  в  D1 2 . а уявні
  • 14. 5. Теорема Вієта для квадратного рівняння: якщо х1, х2 – корені квадв с х1  х2   ; х1 * х2  . а а ратного рівняння ах2+вх+с=0, то 6. Обернена: якщо для деяких чисел виконується умова, що в с х1  х2   ; х1 * х2  . а а , то ці числа є коренями квадратного рівв с х 2  х   0. а а няння 7. 8. Корені квадратного тричлена та їх знаки: корені дійсні, якщо D ≥0; 9. корені уявні, якщо D < 0, тоді 10. 11. D  і  D; корені мають різні знаки, коли х1 * х2  корені мають однакові знаки, коли х1  х2   с  0; а х1 * х2  в 0 а с  0; а 12. корені додатні, якщо в х1  х2    0 а . і обидва від’ємні, якщо 13. Розв’язування квадратного рівняння способом виділення повно2 в  D  а х   0, D  в 2  4ас.   2а  4а  го квадрата ах2+вх+с = 0; 14. Розклад квадратного тричлена на множники ах2+вх+с = =а(х – х1)(х – х2), де х1, х2 – корені квадратного рівняння. ІІІ. Зведене квадратне рівняння – це рівняння виду х2+p+q = 0, p, q – деякі числа. 1. D = p2 -4q: a. D >0, то x1.2   p D ; 2 14
  • 15. b. D = 0, то c. D<0, то х1, 2  p 2 ; рівняння немає х1  х 2   дійсних коренів, але має уявні  pі D 2 , де і2 =-1. 2 p  p D1     q; х1, 2    D1 . 2 2 Якщо p – парне число, то х  q. Якщо p + q = 0, то х1=1, 2 х  q. Якщо – p + q =0, то х1=-1, 2 Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння: якщо х1, х2 – х  х2   p; х1 * х2  q. корені рівняння х2+p+q = 0, то 1 Розв’язування квадратного рівняння способом виділення пов- 2. 3. 4. 5. 6. 2 p D  2  x     0; D  p  4q. 2 4 ного квадрата: х2+p+q = 0,  IV. Нехай х1 і х2 – корені квадратного рівняння ах2+вх+с = 0, тоді : 1.x1  x 2    D ; а 2 2.x12  x2  в 2  2ac ; a2 2 3.х12  х2  в* D ; а2   в в 2  3ас D в 2  3ас  3 3 4.x  x  ; 5.x1  x2   ; а3 а3 3 1 3 2 4 6.х14  х2  в 4  4ав 2 с  2а 2 с 2 в D в 2  2ас  4 ; 7.х14  х2   а4 а4 IX. Кубічні рівняння 1. Нехай числа х1, х2, х3 є коренями многочлена ах3 + вх2 + сх + d = 0, а ≠ 0, тоді ах3 + вх2 + сх + d =а(х-х1)(х-х2)(х-х3), причому 15
  • 16. формули Вієта в   x1  x2  x3   а ;  c   x1 x2  x1 x3  x2 x3  ; d  d   x1 x2 x3   a .  (числа х1, х2, х3 – дільники числа d , в випадку коли х1, х2, х3 , а, в, с, d – цілі числа). 2. Теорема Вієта для рівнянь вищих степенів Нехай х1, х2 …хn – корені рівняння a0xn + a1xn-1 + … +an-ix + an =0, тоді a1   x1  x 2  ...  x n   a ; 0   a2  x1 x 2  x1 x3  ...  x n 1 x n  a ; 0   a3  x1 x 2 x3  x1 x 2 x 4  ...  x n  2 x n 1 x n   ; a0  і.т.д.   x x ...x   1n a n .  1 2 n a0   16
  • 17. X. Властивості числових нерівностей: 1. 2. 3. 4. а>в, якщо а-в>0; а<в, якщо а-в<0. Якщо а>в, то в<а (властивість антисиметричності). Якщо а<в і в<с, то а<с (властивість транзитивності). Якщо а<в і с- довільне число, то а±с < в±с. а в  с с ; якщо с5. Якщо 0<а<в і с- довільне додатнє число, то ас < вс і а в  с с . довільне від’ємне число, то ас>вс і 1 1  . 6. Якщо 0<а<в, то а в 7. Якщо а<в і с<d, то а+с < в+d. 8. Якщо 0<а<в і 0<с<d, то ас < вd. а в  с d . 9. Якщо а>в>0 і 0<с<d, то 10. Якщо 0<а<в, n є N, то аn<вn. n а n в 11. Якщо 0<а<в, n є N, то . ав  ав . 2 12. Якщо а≥0, в≥0, то а в   2. в а 13. Якщо а і в – дійсні числа одного знаку, то 1  а   1  an. 14. Нерівність Бернуллі: Якщо a > -1 і n є N, то 15. Нерівність Коші: Якщо a1, a2, a3, …, an - скінчена кількість невід’єма1  а 2  а3  ...  а n n  а1а 2 а3 ...а n . n них чисел і n є N , то n 16. Нерівності для середніх: Якщо задані n дійсних чисел a1, a2, a3, …, an , то число 2 2 а12  а 2  ...  а n n називається середнім квадратичним чисел 17
  • 18. n 1 1 1   ...  a1 a 2 an , ai  0 a1, a2, a3, …, an. Число називається середнім гармонічним чисел a1, a2, a3, …, an. Гармонічне, геометричне, арифметичне та квадратичне середні пов’язані n  n a1 a 2 ...a n  1 1 1   ...  a1 a 2 an нерівностями:  а1  а 2  а 3  ...  а n n  2 2 2 а1  а 2  ...  а n n , тут усі числа a1, a2, a3, …, an додатні. XI. Арифметична прогресія: (an) –арифметична прогресія, кожен член якої, починаючи з другого, одержується з попереднього додаванням одного й того самого числа d (d різниця прогресії), тобто an=an-1+d. Арифметична прогресія є монотонною послідовністю: зростаючою при d>0, спадною при d<0, сталою при d=0. 1. Формула n–го члена арифметичної прогресії: an=a1+d(n-1). 2. Будь-яка арифметична прогресія може бути задана формулою виду an= kn+b, де k і b- деякі числа, і навпаки, послідовність, яка задана формулою виду an= kn+b , де k і b - деякі числа, є арифметичною прогресією. 3. Характеристична властивість : кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному його a  a k 1 a k  k 1 2 сусідніх членів, тобто при k≥2 , або ak m  ak m 2 , тобто кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному рівновіддалених від нього членів. У скінченої арифметичної прогресії a1, a2, a3, …, an сума крайніх ak  4. 18
  • 19. членів дорівнює сумі членів, рівновіддалених від її кінців, тобто a1  an  a2  an1  ...  ak  ank 1 , k  n. 5. Формула суми n перших членів арифметичної a  an 2a  d n  1 Sn  1 * n; Sn  1 * n. 2 2 або прогресії: XII. Геометрична прогресія (bn) – геометрична прогресія, кожен член якої, починаючи з другого, одержується з попереднього множенням на одне й те саме число q, не рівне нулю (q - знаменник прогресії), тобто bn= bn-1*q. Якщо b1>0 і q>1, то геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, оскільки для будь-якого n маємо bn+1>bn ; якщо b1>0 і 0<q<1, то геометрична прогресія спадна: bn+1 = bnq<bn. Якщо b1<0, то геометрична прогресія спадна, якщо q>1, і зростаюча, якщо 0<q<1. Якщо q<0, то кожний член прогресії має знак, протилежний знаку попереднього члена, тому така послідовність не може бути монотонною. 1. 2. bn  b1 * q n1 . Формула n–го члена геометричної прогресії: Характеристична властивість: кожний член геометричної прогресії, починаючи з другого , дорівнює середньому геометричному його сусідніх членів, тобто при k≥2 bk  bk 1bk 1 , або bk  bk m bk  m 3. для усіх m<k, тобто кожний член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному рівновіддалених від нього членів. У скінченій геометричній прогресії добуток крайніх членів дорівнює добутку членів, рівновіддалених від її кінців, тобто b1 * bn  b2 * bn1  ...  bk * bnk 1  b12 q n1 , k  n. 4. Формула Sn   суми n 1  n перших b1 q  1 , q  1. q 1 19 членів геометричної прогресії:
  • 20. 5.Сума членів нескінченної геометричної прогресії. Геометрична прогресія (bn), n є N, знаменник якої задовольняє умові скінченною спадною геометричною прогресією. 6. Сумою членів нескінченної послідовності q  1, bn  називається не- S bn . 1 q q  1, Якщо то нескінченна геометрична прогресія суми не має. Приклад. Перетворити на звичайний дріб 0, (4). Розв’язання. 4 4 4 4 4 1 4 0, (4)     ...; q  100  ; S  10  . 4 1 10 100 1000 10 9 1 10 10 4 0, (4)  . 9 Отже, ВАРТО ПАМ”ЯТАТИ! Якщо в умові задачі фігурують обидві прогресії, то позначення потрібно вводити за допомогою членів геометричної прогресії. 20
  • 21. ХІІІ. Однорідні рівняння і ті, що зводяться до однорідних a f(x) + в g(x) = 0 – однорідне рівняння першого степеня відносно f i g. a f2(x) + в g(x) f(x) + c g2(x) = 0, однорідне рівняння другого степеня. a f3(x) + в g(x) f2(x) + c g2(x)f(x) +dg3(x) =0, однорідне рівняння третього степеня. Умова: перший і останній коефіцієнт ≠ 0. Розглянемо f(x)=0 або g(x) = 0 (одне з двох) і знаходимо корені цього рівняння. Перевіряємо, які з цих коренів є коренями вихідного рівняння. Розв’язуємо вихідне рівняння на множині чисел, що не містить коренів рівняння f(x)=0 ( чи g(x) = 0). Для цього: а) ділимо на f(x) (чи g(x)); б) ділимо на f2(x) (чи g2(x)); в) ділимо на f3(x) (чи g3(x)). Одержуємо f(x) . g ( x) g ( x) a)a  в  0; t  : a  вt  0 f ( x) f ( x) ; 2  g ( x)  g ( x)   0; a  вt  ct 2  0; б )a  в  c f ( x)  f ( x)    2 3  g ( x)   g ( x)  g ( x) 2 3 в)a  в  c  f ( x)   d  f ( x)   0; a  вt  ct  dt  0.    f ( x)     XIV. Симетричні рівняння (рівняння з симетричними коефіцієнтами – третього і четвертого степенів) ах3 + вх2 + вх + а =0; (ах3 + а)(вх2 + вх) =0; а(х + 1)(х2 – х +1) +вх(х + 1) =0; (х +1) (ах2 +х(в-а) + а)=0; х + 1=0, х = -1 або ах2 + х(в-а) + а=0. ах4 + вх3 + сх2 +вх + а =0, а ≠0. х =0 не є коренем даного рівняння, то поділимо дане рівняння на х2: ax 2  вx  c  в a a     2  0;  ax 2  2    вx  x x x    в   c  0; х 2 1 1 1   1   x   t , тоді x    t 2 , a x 2  2   в x    c  0; x x x x     Нехай 21
  • 22. x2  отже 1  t 2  2. x2 . Одержуємо рівняння:   a t 2  2  вt  c  0; at 2  вt  c  2a   0. XV. Тригонометричні рівняння 1) sin x = a, x = (-1)karcsin a + πk, k є z. sin x = -a, x = (-1)k+1arcsin a + πk, k є z.  х    2k , k  z. 2 sin x = -1, sin x = 0, x = πk, k є z.  х   2k , k  z. 2 sin x = 1, 2) cos x = a, х   arccos a  2n, n  z. х  (  arccos a)  2n, x   arccos( a)  2n, n  z. cos x = -a, cos x = 1, x = 2πn, n є z.  х   n, n  z. 2 cos x = 0, cos x = -1, 3) tg x = a, tg x = -a, х    2n, n  z. х  arctga  n, n  z. х  arctga  n, n  z. х  4  n, n  z. tg a = 1, tg a = 0, x = πn, n є z.  х   , n  z. 4 tg a = -1, 4) ctg x =a, х  arcctga  n, n  z. 22
  • 23. ctg x = -a, х    arctga  n  arcctg  a   n, n  z. х ctg x = 1, х ctg x = 0, х ctg x = -1,  4  2  n, n  z.  n, n  z. 3  n, n  z. 4 23
  • 24. 24  3  2 arccos a  6 0 3  3  6  4  4  6  3 0  2 a  4 1 3 3  2  3  4  6 0 arcsin a 0 1 3 2 2 2 1 2 0 a arctg a arcctg a  6 1 2 2 3    6 3 3 2 3   -1   4 3 4  5 6 5 4  3 3 2  2 2  4   Значення обернених тригонометричних функцій  3 5 6   3   -1  2
  • 25. 25 0 - tg α ctg α 3 3 1 1 1 cos α 1 2 2 3 2 0 sin α 0 2 2 45 0 1 2  4  6 0 30 0 градуси ф - ія рад. 0 135 3 3 1 1 2 0 - 0 2 2  3 1  3 2 1 2 3 1 150 5 6 -1  3 -1 1 - 2 3 2   2 3 2 120 9 0 0 3 4  2 2 3 3 1 2 60  3 1 2 - 210 7 6 - 0 3 3 1 3 -1  2 0 180  240 4 3 1 1 2  2 3 3 1 1 2 - 2 3   2 2 225 5 4 0 - 0 -1 270 3 2  3 1  3 1 2 3  2 300 5 3 Значення тригонометричних функцій довільного кута 330 11 6 -1 -1 2 2 3 1  3  3 2 1 2 - 2 2 - 315 7 4 - 0 1 0 360 2
  • 26. XVI. Обернені тригонометричні функції 1. Означення. Нехай число m за модулем не перевищує одиницю. Аркси   x   ;   2 2  , синус якого дорівнює m. нусом числа m називається кут Позначення. x=arccos m. 1  arcsin 0  0; arcsin  ; arcsin( 1)   . 2 6 Наприклад. 2. Означення. Нехай m – число, яке за модулем не перевищує одиницю. x  0;   Арккосинусом числа m називається кут , косинус якого дорівнює m. Позначення. x=arcsin m. Наприклад.  1  1 2 arccos 0  ; arccos 1  0; arccos( 1)   ; arccos  ; arccos(  )  . 2 2 3 2 3    x  ;   2 2  , тан3. Означення. Арктангенсом числа m називається кут генс якого дорівнює m. x  0;   4. Означення. Арккотангенсом числа m називається кут , котангенс якого дорівнює m. Позначення. x=arctg m; x = arcctg m.   3 arctg 0  0; arcctg 0  ; arctg (1)   ; arcctg (1)  . 2 4 4 Наприклад. 5. За означенням обернених тригонометричних функцій: 1. Для будь – якого   sin arcsin m  m,  arcsin m  . 2 2 2. Для будь – якого cosarccos m  m,0  arccos m   . m   1;1 m   1;1 tg arctgm   m, 3. Для будь – якого m маємо: 26 маємо:  2  arctgm  маємо:  2 .
  • 27. ctg arcctgm   m,0  arctgm  4. 6. Для будь – якого m маємо:    m   ;   2 2  маємо: arcsin sin m  m. Для будь – якого m  0;   arccos cos m  m. Для будь – якого маємо: 7. Для будь – якого 2 .    m   ;   2 2  маємо: arctg tgm   m. Для будь – якого 8.  5. 9. 10. Для будь – якого m  0;   m   1;1 маємо: arcctg ctgm   m. arcsin m  arccos m  маємо: Для будь – якого m  R маємо: arctgm  arcctgm   2  2 . . 6. Співвідношення між оберненими тригонометричними функціями: m   1;1 а) Для всіх : arcsin( m)   arcsin m; arccos( m)    arccos m; arctg (m)  arctgm; arcctg (m)    arcctgm. б) Для всіх m  0;1 : arcsin m  arccos 1  m 2 ; arccos m  arcsin 1  m 2 . 27
  • 28. в) Для всіх m  0;  : 1 ; m; arctgm  arcctg arcsin m  arccos m  artgm   2 arcctgm   2  2 arcctgm  arctg 2 ; 1  m2 m  arcsin m  arcctg 1  m2 m  arcctgm  arcsin  m  arccos m  arctg 1  m2 ; ; m  arctg  arccos 1 ; m 1  m2 . 7. Інші формули: 1. arcsin x  arcsin y  2 arcsin 2. arccos x  arccos y  2 arccos 1  3.tg  arctg   x, x  0; x  1  5. cos arcsin   x  7.ctg arctgx     2 1  xy  1  x 1  y  2  1  x 1  y  1  4. sin arccos   x  2 m  8. sin arccos   n  ; 2 x2 1 , x  1; x 6.ctg arccos x    ; 2 x y 2 1  xy  x2 1 , x  1; x 1 , x  0; x x y x 1 x2 , x  1; n2  m2 , n  m; n 2 9.tg arc sec m  m  1, m  1. 10. cosarcsin x   1  x , x  1; 28
  • 29. 11. sin arccos x   1  x , x  1; 2 13. sin arctgx   15. cosarctgx   17.tg arccos x   18.ctg arcsin x   x 1 x2 1 1 x 2 12.tg arcsin x   , x  R; 14. sin arcctgx   , x  R. 16. cosarcctgx   1 x2 , x   1;0  0;1. x 1 x2 , x   1;0  0;1. x 29 x 1 x2 1 1 x2 , x  1. , x  R. x 1 x2 , x  R;
  • 30. XVII. Тригонометричні нерівності Найпростішими тригонометричними нерівностями називаються нерівності виду f(x) > a (f(x)<a, f(x)≥a, f(x) ≤a), де f(x) – одна з тригонометричних функцій. Вид нерівності sin x  m, m  1. sin x  m, m  1. cos x  m, m  1. cos x  m, m  1. Множини розв’язків (n  Z ) x  arcsin m  2n;   arcsin m  2n x     arcsin m  2n; arcsin m  2n x   arccos m  2n; arccos x  2n x  arccos m  2n;2  arccos m  2n tgx  m    x   arctgm  n;  n  2   tgx  m    x     n; arcctgm  n   2  ctgx  m x  n; arg сtgm  n 30
  • 31. XVIII. Тригонометрія 1  0,01745 рад;1 рад  57 017 / 44 // . 0 1. Співвідношення між тригонометричними формулами одного аргументу 1 1. sin 2   cos 2   1 7.1  tg 2   sec2  2 cos  sin  2.tg  1 cos  8.1  ctg 2  2  cosec2 sin  cos  3.ctg   1 sin  9.ctg  4.tg * ctg   1 tg 1 10. cos * sec  1 5.  sec  cos  11. sin  * cosec  1 1 6.  cos ec sin  tg 2 1 12. sin 2   1  cos 2    ; 2 1  tg  1  ctg 2 13. cos 2   1  sin 2   14.tg 2  1 ctg 2  ; 1  tg 2 1  ctg 2 sin 2  1  cos 2  1   ; 2 2 1  sin  cos  ctg 2 15.ctg 2  1  sin 2  cos 2  1   2 . 2 2 sin  1  cos  tg  2. Формули додавання і віднімання тригонометричних функцій 1. sin (α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ 2. sin (α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ 3. cos (α + β) = cosα cos β – sinα sinβ 4. cos (α - β) = cosα cos β + sinα sinβ 31
  • 32. tg   tg  1  tg  * tg  tg   tg  6.tg      1  tg  * tg  ctg  * ctg   1 7.ctg      ctg   ctg  ctg  * ctg   1 8.ctg      ctg   ctg  5.tg      3. Формули подвійного і потрійного аргументів 1. sin2α = 2 sinα cosα 2. cos2α = cos2α – sin2α 2tg  3.tg 2  1  tg 2 ctg 2 4.ctg 2  2ctg        3 cos   4 cos  * cos60   cos60   ; 5. sin 3  3 sin   4 sin 3   4 sin  * sin 60 0   sin 60 0   ; 6. cos 3  4 cos 3 0 0 7.tg 2  2tg ; 1  tg 2 8.tg 3  tg 3  tg 2  tg * tg 60 0   tg 60 0   ; 2 1  3tg  9.ctg 2       ctg 2  1 1  сtg   tg ; 2ctg  2 10.ctg 3    ctg ctg 2  3 ; 3ctg 2  1     11. cos 2  2 sin 450   sin 450   ; 12. cos 2  1  2 sin 2   2 cos 2   1; 13. cos ec 2  ctg  ctg 2 . 32 
  • 33. 4. Формули половинного аргументу 3. sin   1  cos   1  cos  1. sin   ; 2. cos   ; 2 2 2 2  4. cos   1  tg 2 1  tg 7.tg  2  2tg 1  tg  2 ; 2  2  2; 2  5.tg 2 sin  ; 1  cos  10.1  cos   2 cos 2   2 2tg 8.tg   1  cos   1  cos  ; 6.tg  ; 1  cos  2 sin   2 ; 1  tg 2  2  9.ctg 2 ; 11.1  cos   2 sin 2  2  2  1  cos  ; sin  ;     12.1  sin   1  cos 90 0    2 sin 2  45 0    2 cos 2  450  ; 2 2         13.1  sin   1  cos 90 0    2 cos 2  450    2 sin 2  45 0  ; 2 2    14.  1  sin     tg   45 0 . cos  2  15.1  2 sin   2 sin 30 0   30 0   cos ; 2 2       16.1  2 cos   2 2 cos   cos  ; 8 2 8 2 2     3     17.3  4 sin 2   4  sin 2    2 cos 2  cos   4 sin   sin   ; 3  3 3 4     33
  • 34. 18.1  tg    2 sin     4 ; cos    2 3 sin    3 ; 19.3  3tg  3 3  tg  cos    20.1  sin   cos   2 2 cos     cos  . 2 4 2 21. sin 18 0  5. 1 5 . 4 Формули перетворення суми або різниці тригонометричних функцій у добуток:     1. sin   sin   2 sin cos ; 2 2 2. sin   sin   2 sin   3. cos   cos   2 cos 2   4. cos   cos   2 sin 5.tg  tg  cos 2 cos   2   2 ;   sin 2 ;   2 ; sin     sin     ; 6.tg  tg  ; cos  cos  cos  cos  7.ctg   ctg   sin     sin     ; 8.ctg   ctg    ; sin  sin  sin  sin  9.sin 2   sin 2   sin   sin   ; 10. cos 2   cos 2   sin   sin   ; 11. sin 2   cos 2    cos   cos   ; 12.a)a sin   b cos   a 2  b 2 sin   , 34 якщо
  • 35. а 2  b 2  0, sin   b a2  b2 a , cos   a2  b2 ; б )аsіn  b cos   a 2  b 2 cos   , а 2  b 2  0, sin   a a2  b2 13. sin   cos   2 sin b , cos     90 0   2 cos a2  b2 .   90 0   2 ;     16. cos   sin   2 cos     2 sin   ; 4  4  14.tg  ctg   cos    ; cos  sin      17. cos   sin   2 sin     2 cos   ; 4  4  18.tg  ctg   2 ; sin 2 15.tg 2  tg 2   sin    sin     ; cos 2  cos 2  19.tg 2  sin 2   tg 2 * sin 2  ; 20.ctg 2  cos 2   ctg 2 * cos 2  . 21. sin   sin 2  ...  sin k  sin 22. cos   cos 2  ...  cos k  k  1 k sin 2 2 ;  sin 2 sin k  1 k cos 2 2 .  sin 2 35
  • 36. 6. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму або різницю: 1 1. sin  sin   cos     cos    2 2. sin  cos   1 sin     sin    2 3. cos  cos   1 cos     cos    2 7. Формули пониження степеня тригонометричних функцій: 1 1  cos 2k 1. sin 2   1  cos 2 ; sin 2 k  ; 2 2 2. cos 2   1 1  cos 2 ; 2 3. sin 3   3 sin   sin 3 ; 4 4. cos 3   3 cos   cos 3 . 4 cos 2 k  1  cos 2k ; 2 sin 3 k  3 sin k  sin 3k ; 4 cos 3 k  8. Знаки тригонометричних функцій 36 3 cos k  cos 3k . 4
  • 37. 9. Формули зведення 900+α  2 2700+α 0  900-α 0 180 +α π+α 360 +α 3   2π+α 2  2 2700-α 0  180 -α π-α 3600-α 3   2π-α 2 sin x cos α -sin α -cos α sin α cos α sin α -cos α -sin α cos x -sin α -cos α sin α cos α sin α -cos α sin α cos α tg x -ctg α tg α -ctg α tg α ctg α tg α ctg α -tg α ctg x -tg α ctg α -tg α ctg α tg α -ctg α tg α -ctg α sin (-x)= -sin x; cos (-x) = cos x; Варто пам'ятати! 1. 2. 3.        tg 450    ctg 450   ;     sin 30     cos60   ; sin 150     cos30   . sin 60 0    cos 30 0   ; 0 0 5.  sin 450    cos 450   ; 0 4. tg (-x) = -tg x; ctg (-x) = -ctg x. 0 ХІХ. Похідні тригонометричних функцій 1. sin  х  cos х; 2. cos х   sin х; 3.tg x  1  sec 2 x; cos 2 x 4.ctg x   1   cos ec 2 x; sin 2 x  5.arcsin x   1 1 x2 , x  1; 37
  • 38.  6.arccos x     7.arctgx   1 1 x2 , x  1; 1 ; 1 x2  8.arcctgx    1 ; 1 x2  9.arc sec x   1 x x2 1  10.arccos ecx    , x  1; 1 x x2 1 , x  1;  11.shx  chx;  12.chx   shx;  13.thx   1 ; ch 2 x 1  14.cthx    2 ; sh x  15. Arshx   16. Archx    17. Arthx   1 1 x2 1 x2 1 ; , x  1; 1 , x  1; 1 x2  18. Arcthx    1 , x  1. x 1 2 ХХ. Похідні вищих порядків: n   1. y  sin x, y n   sin x  ; 2   38
  • 39. n   2. y  cos x, y n   cos x  ; 2   n   3. y  sin kx, y n   k n sin kx  ; 2   n   4. y  cos kx, y n   k n cos kx  ; 2   shx, n  парне, 5. y  shx, y n    chx, n  непарне; chx, n  парне, 6. y  chx, y n    shx, n  непарне. ХХІ. Властивості логарифмів 1. log a N  x, a x  N , x  0; 2.Основною логарифмічною тотожністю називається рівність 3. log a xy   log a x  log a y, x  0, y  0; 4. log a xy   log a ( x)  log a ( y), x  0, y  0; 5. log a xy   log a x  log a y ; , xy  0; 6. log a x  log a x  log a y, x  0, y  0; y 7. log a x  log a ( x)  log a ( y), x  0, y  0; y 8. log a x  log a x  log a y , xy  0; y 9. log a x P  p log a x, x  0, p  R; 10. log a x 2n1  2n  1log a x, x  0, n  N ; 39 a loga N  N , N 0;
  • 40. 11. log a x 2n  2n log a x , x  0, n  N ; 12. log a k x k  log a x, x  0, k  R, k  0; 13. log a x  log b x , x  0, b  0, a  0, a  1, b  1; log b a 14. log a b  1 , x  0, b  0, a  0, a  1, b  1; log b a 15.x loga y  y loga x , a  0, a  1, x  0, y  0; 16. log a a  1; 17. log a 1  0; 18. log a m b  1 log a b; m 19. log a m b n  n log a b; m 20. log a m b m  log a b; 21. log a n b  log a b . n Варто пам’ятати! log10 a  lg a(десятковий); log e a  ln a(натуральний). 40
  • 41. ХХІІ. Формули для знаходження границь функцій: x  1 sin x tgx 1. lim  1; 2. lim 1    e; 3. lim  1; x  x 0 x 0 x x  x  k arctgx 5. lim  1; 6. lim 1   x  x 0 x  x nx 4. lim x 0 arcsin x  1; x 1  e kn ; 7. lim 1  x  x  e; x 0 x 1  1 x  sin x 1 8. lim  1; 9. lim 1    1; 10. lim sin n 2  0; 11. lim a x  1; x  x  n  n! x  x  x 1  1 1 x  0; 13. lim  0; 14. lim a x  1; 15. lim  1; x  x n  n! x 0 sin x x  12. lim 2n  1 1  0; 17. lim n  1. n  2 n  2 n 16. lim Правила знаходження границь 1. lim  f x    x   lim f x   lim  x ; x  x0 x  x0 x  x0 2. lim  f x  *  x   lim f x  * lim  x ; x  x0 x  x0 x  x0 lim f x  f  x  x  x0  ; x  x0   x  lim  x  4. lim c *  x   c * lim  x . x x 3. lim x  x0 x  x0 41
  • 42. ХХІІІ. Похідні основних елементарних функцій 1.c  0(c  const );  2.kx  b  k k , b  const ;    nx n  Q; n 1 3. x n 4.x  1;    1 5. x  ; 2 x  1 1 6.    2 ; x  x    e ;  8.a   a ln a; 7. e x x x x  1 9.ln x   . x    a 10. a x x  11.lg x   1 ; x ln 10 ln a;  12.log a x   1 ; x ln a    x ln x  1; 13. х х x  an  а  14. n    n 1 ; x х     1 1 1 15. n x  x n ; n Правила диференціювання. Нехай и=и(х), v=v(x) – диференційовані функції. Похідні суми (різниці), добутку та частки двох диференційо42
  • 43. ваних функцій u i v дорівнюють відповідно:  u  v   u   v ;  u * v   u v  uv ;   u  u v  uv     ; v  0.    v  v2  Оскільки похідна сталої дорівнює нулю (с/=0), то сталий множник можна виносити за знак похідної: (с*и)/ =с * и/. Похідна складеної функції обчислюється так. Нехай y=f(φ(x)) – складна функція, причому функція и =φ(х) диференційована в точці х, а функція y=f(и) диференційована у відповідній точці и. тоді функція y=f(φ(x)) диференційована в точці х, y   f  x  *  x . причому Запис y=f(φ(x)) означає, що похідна обчислюється за формулою для f/(х) але замість х підставляється φ(x). Тому часто використовують скоf  x   f  ; рочений запис цієї похідної: тоді формула запишеться y   f  *  x . так: Наприклад, знайдемо похідну від функції  y  sin x 2 ; y   cos x 2 * x 2  2 x cos x 2 .   Дотична до графіка функції. Рівняння дотичної до графіка функції y  f x0   f x0 x  x0 . y=f(x) в точці х=х0 має вигляд: y  tg  f x0 . В рівнянні прямої y=kx+b де α – кут між дотичною і додатнім напрямком осі Ох. Нормаль до графіка функції. Називатимемо нормаллю до графіка функції y=f(x) у точці х=х0 пряму, перпендикулярну до дотичної, що проходить через точку дотику – M(x0; f(x0)) . Рівняння нормалі до гра1 x  x0 ; f x0   0. y  f  x0   f x0  фіка функції: 43
  • 44. ХХІV. Приклади застосування похідної Похідна в фізиці. За допомогою похідних функцій, що характеризують фізичні явища, задають й інші фізичні величини. Наприклад, швидкість матеріальної точки в момент t є похідна від шляху по часу, а похідна від швидкості по часу є прискорення. Наведемо ще декілька прикладів: 1. Потужність, за означенням, є похідною роботи A(t) за часом, тобто N(t) = A/(t). 2. Сила струму, за означенням, є похідною від заряду (кількості електрики) Q=Q(t), де t – час, тобто I(t) = Q/(t). Наближене обчислення значення функції. Одним із застосувань похідної є наближене обчислення значення функції. Значення функції y=f (x) у точці х можна наближено обчислити за значенням цієї функції та її похідної в точці х0, що лежить «поблизу» точки х і є більш зручною для y  f x0   f x0 x  x0 . обчислення: Деякі формули наближеного обчислення значення функції. Якщо х-х0=Δх для Δх≤1 можна отримати такі формули: 1 1. 1  x  1  x. 2 2.n x0  x  n x0  n x0 nx0 * x, x0  0, n x0 nx0  f x0 . 3.1  x   1  nx. n 4.x  x   x n  nx n1xn  N . n Схема дослідження функції: 1.Знайти область визначення функції. 2.Дослідити функцію на неперервність 3.Дослідити функцію на періодичність, на парність та не парність. 4.Знайти похідну і критичні точки функції. 5.З’ясувати проміжки зростання та спадання функції. 6.Обчислити екстремуми функції. 7.Побудувати графік. 44
  • 45. XXV. Первісна та інтеграл: № п/ п Функція Первісна 1 k (число) kx  c 2 х x2 c 2 3 хn x n 1 c n 1 4 x 2 x3 c 3 5 1 x ln x  c 6 ex ex+c 7 ax ax c ln a 8 9 sin x cos x - cos x +c sin x + c 10 tg x  ln cos x  c 11 ctg x ln sin x  c 12 1 sin 2 x -ctg x + c 13 1 cos 2 x tg x + c 14 15 1 arcsin x + c 1 x2 1 1 x2 arctg x + c 45
  • 46. 16 1 x2 17 1 xn   1 18 1 x 1 n  1x n1 2 x x Формула Ньютона – Лейбніца b  f x dx  F b  F a , a де f(x) – функція неперервна на відрізку a; b, aF x  довільна первісна для f(x) на a; b . Цю формулу можна b записати у вигляді  f x dx  F x  b a a Властивості інтеграла b b b a a a 1.  f x   g x dx   f x dx   g x dx. b b a a 2. kf x dx  k  f x dx, k  R. b c b a a c 3. f x dx   f x dx   f x dx, c  a; b. b kb  p 1 4. f kx  p dx  f t dt , p  R, k  R. k ka p a  46
  • 47. Інтеграли від раціональних функцій 47
  • 48. Інтеграли від ірраціональних функцій 48
  • 49. 49
  • 50. Інтеграли від трансцендентних функцій 50
  • 51. 51
  • 52. 15 11 22 10 !=1*2*…*n n 4 8 1 2 5 52