Presentación con algunos ejemplos útiles en la enseñanza de las matemáticas de bachillerato.

1. CÓNICAS

2. LA CIRCUNFERENCIA

3. LA CIRCUNFERENCIA
Lugar geométrico de todos los puntos del plano que
equidistan de un punto interior llamado centro de la
circunferencia.

4. Ecuación de la circunferencia con
centro en el origen de coordenadas

5. Como se puede apreciar directamente del gráfico:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2

6. Ecuación de la circunferencia de centro el punto
𝑃(𝑥0, 𝑦0) y radio r.
Lo expuesto se puede escribir mediante la fórmula:
𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2

7. Análisis de la circunferencia
Applet en Geogebra:

8. Ejemplos

9. Halla el centro y el radio de la circunferencia de
ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 − 8𝑦 = 0

10. Solución
La circunferencia tiene de centro el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) y
su radio r; valores estos que debemos encontrar.

11. La ecuación de la circunferencia es:
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0
Y la ecuación general de la circunferencia tiene la
forma:
𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2

12. Desarrollando e igualando:
𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 𝟐𝒙 𝟎 𝑥 − 𝟐𝒚 𝟎 𝑦 + 𝒙 𝟎
𝟐 + 𝒚 𝟎
𝟐 − 𝒓 𝟐 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
− 𝟔𝑥 − 𝟖𝑦 + 0 = 0

13. 𝑥2
+ 𝑦2
− 𝟐𝒙 𝟎 𝑥 − 𝟐𝒚 𝟎 𝑦 + 𝒙 𝟎
𝟐
+ 𝒚 𝟎
𝟐
− 𝒓 𝟐
= 0
𝑥2 + 𝑦2 − 𝟔𝑥 − 𝟖𝑦 = 0
Así:
𝟐𝒙 𝟎 = 𝟔; 𝟐𝒚 𝟎 = 𝟖; 𝒙 𝟎
𝟐 + 𝒚 𝟎
𝟐 − 𝒓 𝟐 = 0

14. Obteniéndose:
𝒙 𝟎 = 3; 𝒚 𝟎 = 𝟒 y r = 5

15. Halla el centro y el radio de la circunferencia de
ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 + 6𝑦 + 6 = 0

16. Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita en
el triángulo de vértices A(3,8), B(-5,4) y C(-3,6)

17. Solución
Situando los tres puntos del triángulo en la
circunferencia, sólo hay una circunferencia
cirncunscrita al triángulo:

18. Sabemos que la forma general de la ecuación de la
circunferencia es:
𝑥 − 𝑥0
2
+ 𝑦 − 𝑦0
2
= 𝑟2

19. 𝑥 − 𝑥0
2
+ 𝑦 − 𝑦0
2
= 𝑟2
Por pasar por A(3,8):
3 − 𝑥0
2 + 8 − 𝑦0
2 = 𝑟2
Por pasar por B(-5,4):
−5 − 𝑥0
2 + 4 − 𝑦0
2 = 𝑟2
Por pasar por C(-3,6):
−3 − 𝑥0
2 + 6 − 𝑦0
2 = 𝑟2

20. Que forman un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas.

21. Resolviendo el sistema obtenemos la solución:
𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 = 100

22. LA ELIPSE

23. LA ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales
que la suma de las distancias a otros dos interiores,
llamados focos F y F’, es constante e igual a 2𝑎.

24. E L I P S E D E C E N T R O E L O R I G E N D E
C O O R D E N A D A S Y E J E S E N L O S D E A B S C I S A S
Y O R D E N A D A S .
Ecuación reducida de la elipse

25. 𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1

26. Ecuación de la elipse
Ecuación de la elipse de centro C(x0,y0) y semiejes de
longitud : a, b.
𝑥 − 𝑥0
2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑦0
2
𝑏2
= 1

27. Elementos de la elipse

28. Excentricidad
La excentricidad es la relación:
𝑒 =
𝑐
𝑎
En el caso de la elipse es un número comprendido
entre ceo y uno.
0 < 𝑒 < 1

29. Análisis de la elipse
Applet en Geogebra:

30. Ejercicios

31. Calcula la ecuación reducida de la elipse de ejes los
ejes de coordenadas, definida por los siguientes
datos:
AA’=10; BB’=6

32. Solución
Como AA’=10 y BB’=6
 2.a=10 → a=5.
 2.b=6 → b=3.
Así la ecuación de la parábola cuyo centro está en el
origen de coordenadas es:
𝑥2
52
+
𝑦2
32
= 1

33. Ejemplo
Halla la ecuación reducida de la elipse de eje focal el
de abscisas, definida por:
2.c=12
e=3/5

34. Solución
De 2c=12 → c=6.
La excentricidad:
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
5
→
6
𝑎
=
3
5
→ 𝑎 = 10
Como:
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 = 100 − 36 = 64

35. La ecuación reducida de la elipse es:
𝑥2
100
+
𝑦2
64
= 1

36. Ejemplo 3
Halla la ecuación de la elipse definida por los
siguientes datos:
C(1,-1); F(1,2); A(1,4)

37. Solución

38. Se trata de una parábola con el eje focal de ecuación:
x=1, (recta paralela al eje de ordenadas)
De los datos que nos dan es fácil deducir:
𝑐 = 𝑑 𝐶𝐹 = 3; 𝑎 = 𝑑 𝐶𝐴 = 5
Y por lo tanto:
𝑏2
= 25 − 9 = 16

39. La ecuación de la elipse será:
𝑑2
𝑃, 𝑒. 𝑠
𝑎2
+
𝑑2
𝑃, 𝑒. 𝑓
𝑏2
= 1
𝑦 − 𝑦0
2
𝑎2
+
𝑥 − 𝑥0
2
𝑏2
= 1

40. Sustituyendo valores:
𝑦 + 1 2
25
+
𝑥 − 1 2
16
= 1

41. La hipérbola

42. Definición
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos
del plano tales que el valor absoluto de la diferencia
de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es
una cantidad constante, no nula y estrictamente
menor que la distancia entre los dos focos 2c.

43. Análisis de la hipérbola
Applet:

44. Ejercicios

45. Ejemplo
Halla la ecuación reducida de la hipérbola de eje
focal el de abscisas, determinada por los siguientes
datos:
a=3; b=4

46. Solución
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1

47. Ejemplo 2
Halla la ecuación reducida de la hipérbola de eje
focal el de abscisas, determinada por los siguientes
datos:
2.a=18; distancia focal 24.

48. Recordando algunos elementos de la hipérbola

49. Solución
De los datos vemos que: a=9 y 2.c=24
𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 144 − 81 = 63
Quedando la ecuación:
𝑥2
81
−
𝑦2
63
= 1
c
a
b

50. La parábola

51. La parábola

52. Definición
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo, llamado
foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia del foco a la directriz se llama
«parámetro» de la parábola y se denota con la letra
p.
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝑑)

53. Análisis de la parábola
Applet:
𝑦 − 𝑦0
2
= 2𝑝(𝑥 − 𝑥0)

54. Ejemplos

55. Halla la ecuación de la parábola definida por los
siguientes datos:
F(3,2); V(5,2)

56. Solución
Situamos los elementos que nos han dado:

57. Por la disposición del foco y del vértice, vemos que la
ecuación es de la forma:
𝑦 − 𝑦0
2
= −2𝑝 𝑥 − 𝑥0
𝑝
2
= 𝑑 𝐹, 𝑉 = 2 → 𝑝 = 4

58. Solución
Quedando la ecuación de la parábola:
𝑦 − 𝑦2
2 = −8 𝑥 − 5

59. La gráfica de la parábola es:
𝑦 − 2 2 = −8 𝑥 − 5

60. Ejemplo
Halla la ecuación de la parábola definida por los
siguientes datos:
Eje: paralelo al OX.
p=1/2.
Pasa por P(-6,4) y Q(9,1).

61. Solución
Por tener el eje paralelo al eje OX la forma de la
ecuación de la parábola es:
𝑦 − 𝑦0
2
= ±2𝑝(𝑥 − 𝑥0)
Como 𝑝 =
1
2
→ 𝑦 − 𝑦0
2 = ±(𝑥 − 𝑥0)

62. 𝑦 − 𝑦0
2
= ±(𝑥 − 𝑥0)
Como 𝑃 −6,4 𝑦 𝑄 9,1 ∈ 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎:
𝑃 −6,4 → 4 − 𝑦0
2 = ±(−6 − 𝑥0)
𝑄 9,1 → 1 − 𝑦0
2 = ±(9 − 𝑥0)

63. Desarrollando ambas expresiones
16 + 𝑦0
2 − 8𝑦0 = −6 − 𝑥0
1 + 𝑦0
2 − 2𝑦0 = 9 − 𝑥0
Despejando −𝑥0 de las dos ecuaciones:
𝑦0
2 − 8𝑦0 + 22 = −𝑥0
𝑦0
2 − 2𝑦0 − 8 = −𝑥0

64. Igualado las dos expresiones
𝑦0
2
− 8𝑦0 + 22 = 𝑦0
2
− 2𝑦0 − 8
Simplificando y despejando 𝑦0:
𝑦0 = 5
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las dos
ecuaciones y despejando x:
𝑥0 = −7
Con lo que podemos afirmar que el vértice de la
parábola 𝑉(5, −7)

65. Solución
Finalmente, teniendo en cuenta todo lo calculado
obtenemos la ecuación de la parábola que buscamos:
𝑦 − 5 2
= 𝑥 + 7

66. La gráfica
𝑦 − 5 2 = 𝑥 + 7