Edici´n Revisada hasta el 1 de Marzo de 2009
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           Apuntes de preparaci´n para la
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    Apuntes de Preparacion para la Prueba
              ´ n Universitaria Matematica.
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Simbolog´ Matematica
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                              Indice general

Presentaci´n
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INDICE GENERAL


     2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . ...
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                                                                                                        INDICE GENERAL

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INDICE GENERAL

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           9.2.2. Clasificaci´n de los Angulos seg´n su posici´...
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INDICE GENERAL


II   Solucionario                                           213

Soluciones a los Mini Ensayos         ...
Presentaci´n
                             o

     a Prueba de Selecci´n Universitaria parte Matem´tica, es una
           ...
Estimado lector:
Si tiene alg´n aporte o cr´
            u             ıtica sobre el contenido de este libro, le
        ...
Parte I

 Apuntes de Preparaci´n para la
                     o
Prueba de Selecci´n Universitaria
                 o
     ...
Cap´
   ıtulo 1

                                         N´ meros
                                          u

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1. Numeros


1.1.3.    Cardinalidad

   Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un co...
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1. Numeros


1.2.4.   N´ meros Racionales
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    Como te habr´s dado cuenta en los conjuntos anteriormente menc...
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                                                                      1.2. Conjuntos Numericos


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1. Numeros


         ♠ 2,56565656723214569875. . . es un n´mero cuyos decimales no tienen ninguna relaci´n
            ...
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                                                      1.3. Operatoria con los numeros Reales



          ♦             ...
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1.3.2.     M´
            ınimo Com´ n M´ ltiplo
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   El m´ ınimo com´n m´ltiplo ...
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                                                    1.3. Operatoria con los numeros Reales


1.3.4.   Reglas de Multipli...
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1. Numeros


   Adem´s si aparecen par´ntesis dentro de alg´n ejercicio nos indicar´ que debemos realizar
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1. Numeros

      9       3       9       4        3       5       36        15       36−15            21
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  1. 1. Edici´n Revisada hasta el 1 de Marzo de 2009 o Apuntes de preparaci´n para la o ´ Prueba de Seleccion Universitaria ´ MATEMATICA 2009 Pamela Paredes N unez ´˜ Manuel Ram´rez Panatt ı Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas Facultad de Ciencias, Universidad de Chile
  2. 2. ♠ ´ Apuntes de Preparacion para la Prueba ´ n Universitaria Matematica. ´ de Seleccio c Autores Pamela Paredes N´nez u˜ Manuel Ram´ırez Panatt ˜ ´ Diseno y Diagramacion Manuel Ram´ ırez Panatt ´ Primera edicion Abril de 2008 ´ Segunda edicion Marzo de 2009 Registro de Propiedad Intelectual N◦ 171.533 Santiago, Chile. Las ediciones de este documento se mantendr´n actualizadas en la web http://zeth.ciencias.uchile.cl/∼manramirez a
  3. 3. Simbolog´ Matematica ´ ıa < = es menor que es igual a > = es mayor que es distinto de ≤ ≡ es menor o igual que es equivalente a ≥ ∼ es mayor o igual que es semejante a ∼ ⊥ = es perpendicular a es congruente con ∈ // es paralelo a pertenece a ∈ ´ angulo no pertenece a ⊂ AB contenido en trazo AB ∀ ∃ para todo existe ⇒ ∪ ´ implica union entre conjuntos ⇔ ∩ ´ si y solo si (doble implicancia) interseccion entre conjuntos Y para nuestro libro. . . ♠ ♣ Ejemplos Actividades ♦ Observaciones
  4. 4. ´ Indice general Presentaci´n o VII I Apuntes de Preparaci´n para la PSU Matem´tica o a 1 1. N´ meros u 3 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Representaci´n . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Conjuntos Num´ricos . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. N´meros Naturales . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. N´meros Cardinales . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. N´meros Enteros . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4. N´meros Racionales . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5. N´meros Irracionales . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.6. N´meros Reales . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Operatoria con los n´meros Reales . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. M´ınimo Com´n M´ltiplo . . . . . . . . u u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. M´ximo Com´n Divisor . . . . . . . . . a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.7. Potenciaci´n y Radicaci´n . . . . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.8. Notaci´n Cient´ o ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Mini Ensayo I, N´meros . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Proporcionalidad 23 2.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Raz´n Aritm´tica . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Raz´n Geom´trica . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1. Proporci´n Aritm´tica . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2. Proporci´n Geom´trica . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.3. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.4. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.5. Proporcionalidad Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 i
  5. 5. ´ INDICE GENERAL 2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1. Porcentaje de una Cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ´ 3. Introducci´n al Algebra o 37 ´ 3.1. Signos del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Expresiones Algebr´icas . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1. T´rmino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.2. Clasificaci´n de las Expresiones Algebr´icas o a . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.3. T´rminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.4. Eliminaci´n de Par´ntesis . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1. Multiplicaci´n de Monomios . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.2. Multiplicaci´n de Polinomio por Monomio . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.3. Multiplicaci´n de Polinomio por Polinomio o . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ´ 3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Desarrollo Algebraico 47 4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . 47 4.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . 47 4.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . 47 4.1.3. Cubo de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . 47 4.1.4. Multiplicaci´n de binomios con un t´rmino en o e com´n u . . . . . . . . . . . 48 4.1.5. Binomio a una Potencia Natural . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . 48 4.2. Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ..... . . . . . . . . . . . 49 4.2.1. Factor Com´n . . . . . . . . . . . . . . . . . u ..... . . . . . . . . . . . 49 4.2.2. Factorizaci´n de Trinomios . . . . . . . . . . o ..... . . . . . . . . . . . 50 4.2.3. Factorizaci´n de Cubos . . . . . . . . . . . . o ..... . . . . . . . . . . . 51 4.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . 51 4.2.5. Completaci´n de Cuadrados de Binomio . . . o ..... . . . . . . . . . . . 52 4.3. Mini Ensayo IV, Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . o ..... . . . . . . . . . . . 53 5. Ecuaciones Algebraicas 57 5.1. Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 57 5.2. Ecuaci´n de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 57 5.2.1. Resoluci´n de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 58 5.2.2. Redacci´n de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 58 5.3. Ecuaci´n de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 60 5.3.1. Ecuaci´n incompleta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 60 5.3.2. Ecuaci´n incompleta binomial . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 61 5.3.3. Ecuaci´n general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 61 5.3.4. Propiedades de las raices de la ecuaci´n de segundo grado o . . . . . . . . . 62 5.4. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4.1. Resoluci´n de Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 66 5.4.2. Sistemas de Ecuaciones de 3 inc´gnitas . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 69 5.4.3. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5. Mini Ensayo V, Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 P. Paredes ´ ii Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  6. 6. ´ INDICE GENERAL 6. Ecuaciones no Algebraicas 77 6.1. Ecuaci´n Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 77 6.1.1. Resoluci´n de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 77 6.2. Ecuaci´n Logar´ o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.1. Significado de un Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.2. Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.3. Resoluci´n de Ecuaciones Logar´ o ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3. Aplicaci´n de los Logaritmos a las ecuaciones exponenciales o . . . . . . . . . . . . 81 6.4. Mini Ensayo VI, Ecuaciones no Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7. Inecuaciones 87 7.1. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.1.1. Intervalo Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.1.2. Intervalo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.1.3. Intervalo Semi-Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2.1. Desigualdad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2.2. Desigualdad Condicionada o Inecuaci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3. Resoluci´n de Inecuaciones . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.4. Mini Ensayo VII, Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8. Funciones 95 8.1. El Concepto de Funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 95 8.1.1. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.1.2. Funciones Sobreyectivas o Epiyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.1.3. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.4. Composici´n de Funciones . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.5. La Funci´n Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.6. Funciones Crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.7. Funciones Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.1.8. Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.2. El Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.2.1. Determinaci´n de un punto por sus coordenadas o . . . . . . . . . . . . . . 99 8.2.2. Representaci´n gr´fica de las funciones . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . 100 8.3. Algunas Funciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.3.1. Funci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 100 8.3.2. Funci´n Af´ y la Recta . . . . . . . . . . . . . . o ın . . . . . . . . . . . . . . 102 8.3.3. Un Poco de Geometr´ Anal´ ıa ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.3.4. Funci´n Cuadr´tica y la Par´bola . . . . . . . . o a a . . . . . . . . . . . . . . 108 8.3.5. Funci´n Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 114 8.3.6. Funci´n Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 115 8.3.7. Funci´n Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3.8. Funci´n Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 117 8.4. Mini Ensayo VIII, Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9. Geometr´ Plana ıa 123 9.1. Conceptos Primitivos de la Geometr´ . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . 123 9.1.1. Axiomas Principales de la Geometr´ Euclidiana ıa . . . . . . . . . . . . . . 123 ´ 9.2. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ´ 9.2.1. Clasificaci´n de los Angulos seg´n su medida . . o u . . . . . . . . . . . . . . 124 P. Paredes ´ iii Matematica M. Ram´ırez
  7. 7. ´ INDICE GENERAL ´ 9.2.2. Clasificaci´n de los Angulos seg´n su posici´n . . . . . . . . . . . . . . . . o u o 124 9.2.3. Clasificaci´n de los ´ngulos de acuerdo a la suma de sus medidas . . . . . o a 125 ´ 9.2.4. Angulos formados por dos paralelas cortadas por una secante o transversal 125 9.3. Pol´ ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.3.1. Pol´ıgono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.4. Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 127 9.4.1. Clasificaci´n de los Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 127 9.4.2. Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4.3. Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4.4. Simetral o Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.4.5. Transversal de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.4.6. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.4.7. Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 131 ´ 9.5. Mini Ensayo IX, Angulos y Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 131 9.6. Cuadril´teros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 135 9.6.1. Paralel´gramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 135 9.6.2. Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.6.3. Trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.7. Mini Ensayo X, Cuadril´teros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 138 9.8. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.8.1. Posiciones Relativas a dos Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.9. Partes de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.9.1. Teoremas Referentes a una Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ´ 9.9.2. Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 ´ 9.9.3. Teoremas Referentes a Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . 146 9.10. Mini Ensayo XI, Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ´ 9.11. Areas y Per´ ımetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ´ 9.11.1. Areas y Per´ ımetros de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ´ 9.11.2. Suma de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ´ 9.11.3. Diferencia de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 ´ 9.12. Mini Ensayo XII, Areas y Per´ ımetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.Geometr´ de Proporciones ıa 159 10.1. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.1.1. Congruencia de Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 159 10.1.2. Criterios de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.2. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.2.1. Semejanza de Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 161 10.2.2. Teorema fundamental para la existencia de Tri´ngulos Semejantes a . . . . 161 10.2.3. Criterios de Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.3. Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.3.1. Aplicaci´n al Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 162 10.4. Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 162 10.5. Teorema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.5.1. Teorema de Euclides referente a una Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.5.2. Teorema de Euclides referido a un Cateto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.6. Relaci´n M´trica en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . 163 10.6.1. Teorema de las Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.6.2. Teorema de las Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 P. Paredes ´ iv Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  8. 8. ´ INDICE GENERAL 10.6.3. Teorema de la Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.7. Trigonometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 164 10.7.1. Tri´ngulos Rect´ngulos Semejantes . . . . . . . . . a a . . . . . . . . . . . . . 165 10.7.2. Raz´nes Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . 165 ´ 10.7.3. Angulos Importantes y sus razones trigonom´tricas e . . . . . . . . . . . . . 166 10.7.4. Identidades Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 168 10.7.5. Ecuaciones Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 169 10.8. Mini Ensayo XIII, Geometr´ de Proporciones . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 169 11.Transformaciones Isom´tricase 177 11.1. Isometr´ . . . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.1.1. La Traslaci´n . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.1.2. La Simetr´ o Reflexi´n ıa o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.1.3. La Rotaci´n . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.2. Teselaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.2.1. Teselaci´n Regular . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.2.2. Teselaci´n Semi-regular o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.3. Mini Ensayo XIV, Isometr´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 12.Cuerpos Geom´tricos e 185 12.1. Superficie y Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.2. Cuerpos de Revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 o 13.Probabilidad y Estad´ ıstica 189 13.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.1.1. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.1.2. Evento o Suceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 13.1.3. Probabilidad a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 13.1.4. Probabilidad a Posteriori o Frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.1.5. Ley Aditiva de las Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 13.1.6. Ley Multiplicativa de las Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13.2. Estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.2.1. Algunos Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.2.2. Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.2.3. Representaci´n de los Datos Estad´ o ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.3. Mini Ensayo XV, Probabilidad y Estad´ ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 14.Permutaciones, Arreglos y Combinaciones 203 14.1. Permutaciones . . . . ................................. 203 14.2. Arreglos . . . . . . . . ................................. 204 14.3. Combinaciones . . . . ................................. 204 15.Inter´se 207 15.1. Inter´s Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 207 15.1.1. Deducci´n de la f´rmula del inter´s simple . . o o e . . . . . . . . . . . . . . . . 207 15.1.2. Resoluci´n de ejercicios con inter´s simple . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 208 15.2. Inter´s Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 209 15.2.1. Deducci´n de la f´rmula de inter´s compuesto o o e . . . . . . . . . . . . . . . . 209 15.2.2. Resoluci´n de ejercicios de inter´s compuesto o e . . . . . . . . . . . . . . . . 210 P. Paredes ´ v Matematica M. Ram´ırez
  9. 9. ´ INDICE GENERAL II Solucionario 213 Soluciones a los Mini Ensayos 215 Soluciones a los Problemas de Actividades 217 Bibliograf´ ıa 225 P. Paredes ´ vi Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  10. 10. Presentaci´n o a Prueba de Selecci´n Universitaria parte Matem´tica, es una o a L de las pruebas obligatorias aplicadas en el proceso de selecci´n o a las Universidades llamadas tradicionales. Esta prueba permite determinar el nivel de habilidad en el razonamiento matem´tico y a conocimientos que posee cada postulante a la educaci´n superior y o si ´stos son los adecuados para que prosiga en estudios superiores. e En particular, la PSU parte Matem´tica mide las capacidades a del postulante para reconocer los conceptos, principios, reglas y propiedades de la matem´tica, identificar y aplicar m´todos a e matem´ticos en la resoluci´n de problemas, analizar y evaluar in- a o formaci´n matem´tica proveniente de otras ciencias y de la vida o a cotidiana y por ultimo analizar y evaluar las soluciones de un prob- ´ lema para fundamentar su pertinencia. Para medir correctamente ´stos procesos, el equipo t´cnico de e e matem´tica del DEMRE elabora una prueba de 70 preguntas divi- a dades en 4 grandes ejes tem´ticos estudiados en la matem´tica de a a ense˜anza media. Las preguntas se subdividen aproximadamente n en 11 del primer eje tem´tico N´meros y Proporcionalidad, 29 a u ´ del segundo eje tem´tico Algebra y Funciones, 21 del tercer eje a tem´tico Geometr´ y 9 del ultimo eje tem´tico Probabilidad y a ıa ´ a Estad´ ıstica. El libro que tienes en tus manos contiene la mayor´ de los con- ıa tenidos que se evaluar´n en la prueba, las materias se estudiar´n a a en su totalidad en las clases del preuniveristario, aprovecha ´ste e documento leyendo lo que corresponda antes de cada clase para que ´sta pueda ser m´s fluida y productiva sirviendo de comple- e a mento a tus conocimientos. Los Autores vii
  11. 11. Estimado lector: Si tiene alg´n aporte o cr´ u ıtica sobre el contenido de este libro, le agradecemos comunicarlo a los correos, pparedes@zeth.ciencias.uchile.cl ´˜ Pamela Paredes Nunez manramirez@zeth.ciencias.uchile.cl Manuel Ram´ ırez Panatt
  12. 12. Parte I Apuntes de Preparaci´n para la o Prueba de Selecci´n Universitaria o Matem´tica a 1
  13. 13. Cap´ ıtulo 1 N´ meros u unto con la historia de la humanidad, la historia de las matem´ticas y la numeraci´n a evolu- a o J cionado optimiz´ndose cada vez m´s. En muchas culturas distintas se realiz´ la numeraci´n a a o o de variados modos pero todos llegaban a una misma soluci´n, definir una unidad y aumentarla o en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exist´ una cantidad inc´moda de repre- ıa o sentar se involucraba un nuevo s´ımbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a ´ste e ultimo s´ ´ ımbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base m´s usada ha sido la base de a 10, como lo hace el sitema de numeraci´n que ocupamos actualmente, aparentemente a causa o que tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera m´s primitiva de contar. a Versi´n 1.0, Junio de 2007 o 1.1. Conjuntos Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el t´rmino “conjunto”, e seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada. Bueno, en matem´ticas esta expresi´n no est´ para nada alejada de lo que tu entiendes por a o a un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que est´n a formados por nada m´s ni nada menos que n´meros. Los n´meros son elementos fundamentales a u u en el estudio de las matem´ticas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exacta- a mente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este cap´ıtulo, agruparlos. 1.1.1. Subconjuntos Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prefijo sub. que aparece delante nos infiere que existe un conjunto m´s grande del que estamos hablando. Uno en el cual nuestro a subconjunto esta contenido. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas las personas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos y coordinadores, y un subconjunto de este ser´ el grupo de todos los profesores, ya que ´stos por ıa e si solos forman un conjunto, pero ´ste est´ contenido en el primer conjunto nombrado. e a 1.1.2. Representaci´n o Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una l´ ınea que encierra a un grupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera an´loga es ordenarlos, separados de a comas y entre par´ntesis de llave ({})1 esta ultima notaci´n es la que utilizaremos frecuente- e ´ o mente. 1 Ejemplo de un conjunto A={a,b,c,d,e} 3
  14. 14. ´ 1. Numeros 1.1.3. Cardinalidad Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjunto es m´s grande o no que otro, introducimos un t´rmino que llamamos cardinalidad, la cual a e representamos por el s´ ımbolo #, ´sta solo depende del n´mero de objetos de nuestro conjunto. e u Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la figura 1.1 es 4. Figura 1.1: Conjunto de objetos 1.2. Conjuntos Num´ricos e Son todos aquellos conjuntos que est´n formados por n´meros, ´stos se dividen principal- a u e mente en: 1.2.1. N´ meros Naturales u Los n´meros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por u el s´ ımbolo N. Y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4, . . . ∞} Algunos subconjuntos de N son: • Los n´meros pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ∞}, ´stos los podemos representar como u e 2n∀ n ∈ N • Los n´meros impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . ∞}, los cuales los podemos representar u como (2n + 1) o (2n − 1)∀ n ∈ N • Los n´meros primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ∞}, son todos aquellos n´meros que u u son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a ´ste ultimo. e ´ • Los n´meros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos. u • etc. . . P. Paredes 4 ´ Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  15. 15. ´ 1.2. Conjuntos Numericos ♦ Observa que . . . † La cardinalidad de N es infinita. † Este conjunto es “cerrado” bajo la suma y la multiplicaci´n, es decir, para o todo par de n´meros en N, su suma y su multiplicaci´n tambi´n es un n´mero u o e u natural. † Este conjunto NO es “cerrado” bajo la resta y la divisi´n, ya que para todo o par de n´meros en N, su diferencia y divisi´n NO es necesariamente un n´mero u o u natural. † 2 es el unico n´mero par que es primo. ´ u 1.2.2. N´ meros Cardinales u Cuando en el conjunto de los n´meros naturales incluimos el 0, se denomina como N´meros u u Cardinales, se representa por el s´ ımbolo N0 , y sus elementos son: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . ∞} Algunos subconjuntos de N0 son: • Los n´meros Naturales y todos los subconjuntos de ´ste. u e • Los d´ ıgitos; = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 1.2.3. N´ meros Enteros u Es el conjunto formado por todos los n´meros sin cifra decimal, es decir, los numeros natu- u rales, sus inversos aditivos2 , y el neutro aditivo3 . Z = {−∞ . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . ∞} Algunos subconjuntos de Z son: • Los n´meros Naturales. u • Los n´meros Cardinales. u • etc. . . ♦ Observa que . . . A diferencia de los n´meros Naturales, este conjunto si es “cerrado” bajo la suma, u la resta y la multiplicaci´n; es decir, para todo par de n´meros enteros, su suma, o u multiplicaci´n y diferencia es siempre un n´mero entero. o u Pero como el mundo no es tan bello, ´ste conjunto no conserva a la divisi´n, ya e o que una divisi´n entre dos n´meros enteros no es necesariamente un n´mero de Z o u u 2 Se dice que un n´mero a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que, a + b = 0, tal b es tambi´n conocido u e como −a. 3 Para cualquier n´mero x existe un unico que cumple que x+(ese unico)= x, a ese n´mero lo conocemos como u ´ ´ u neutro aditivo, (tambi´n conocido como 0). e P. Paredes 5 ´ Matematica M. Ram´ırez
  16. 16. ´ 1. Numeros 1.2.4. N´ meros Racionales u Como te habr´s dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el prob- a lema de que sus elementos se pueden “escapar” facilmente de ellos, nos referimos a que basta que dos n´meros Naturales se resten (4 − 5, por ejemplo), para obtener alg´n n´mero negativo u uu y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que no sean divisibles entre si (−3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un n´mero u entero. Para resolver ´ste problema, existe el conjunto de los n´meros Racionles, representados por e u el s´ ımbolo Q y que cumple que para cada par de n´meros racionales, la suma, resta, divisi´n y u o multiplicaci´n (sin considerar al 0), es siempre un n´mero de Q, a ´ste tipo de conjuntos se les o u e conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como: p p, q ∈ Z, q = 0 Q= q Para cada elemento de ´ste cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversos multiplica- e tivos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1 (neutro multiplicati- vo). Por ejemplo: 5 · 1 = 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es 1 , o 3 · 4 = 1, por lo 5 5 43 tanto el inverso multiplicativo de 3 es 4 . 4 3 Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto. Forma Fraccionaria ´ Esta forma nos expresa “porciones” de alg´n entero. En su estructura tenemos una l´ u ınea fraccionaria, un numerador (n´mero sobre la l´ u ınea fraccionaria), y un denominador (n´mero u bajo la l´ ınea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes en que dividimos un entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar. Por ejemplo: Figura 1.2: Representaciones Fraccionarias En el primer caso dividimos un c´ ırculo en 8 partes iguales, y de ellas ocupamos 3, lo cual 3 representamos por: 8 . Y en el segundo caso dividimos un rect´ngulo en 6 partes iguales, con- a 3 siderando s´lo 3 de ellas, lo cual representamos por: 6 o Forma Mixta Hay ocasiones en que el numerador de una fracci´n es mayor que el denominador. En ´stas o e situaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de esta divisi´n consid- o eramos el cuociente como la parte entera, y el resto como numerador de la fracci´n que la o acompa˜a. n Por ejemplo: P. Paredes 6 ´ Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  17. 17. ´ 1.2. Conjuntos Numericos o8 Consideremos la fracci´n 5 , entonces al efectuar la divisi´n se tiene. o 8 ÷ 5=1 3. 8 = 13. Por lo tanto podemos escribir esta fracci´n como: o 5 5 Forma Decimal Toda fracci´n tiene su representaci´n como n´mero decimal, para obtenerlo basta dividir, o o u sin dejar resto, el numerador con el denominador. Por ejemplo, consideremos la fracci´n 5 : o4 5 ÷ 4 = 1, 25 10 20 0. Para pasar un n´mero decimal a fracci´n existen 3 posibles casos: u o 1. Con Decimales Finitos Es decir, cu´ndo las cifras decimales de un n´mero son finitas, por ejemplo 4,376 es un a u decimal finito pues tiene solo 3 d´ ıgitos despues de la coma, pero 4,333333333333. . . con infinitos 3, uno tras otro, no es un decimal finito pues tiene infinitos d´ ıgitos despues de la coma. La manera de pasar este tipo de decimales a fraccti´n es simplemente escribir una fracci´n o o cuyo n´merador sea el mismo n´mero pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000. . . u u con tantos ceros como d´ ıgitos tiene el n´mero despues de la coma, por ejemplo: u 5626 ♠ 5, 326 = 1000 3 d´ ıgitos 232 ♠ 2, 32 = 100 2 d´ ıgitos 13 ♠ 1, 3 = 10 1 d´ ıgitos Esto es dibido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc, lo unico que le sucede al ´ dividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee el divisor. 2. Decimales Peri´dicos o Los decimales peri´dicos son aquellos en que los n´meros despues de la coma se repiten o u infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo: ♠ 1,333333333333333. . . es un n´mero decimal donde el 3 se repite infinitas veces de- u spues de la coma, este n´mero lo escribiremos de la forma: 1, 3. u ♠ 4,324324324324324324. . . es un n´mero decimal donde el n´mero 324 se repite infini- u u tamente despues de la coma, este n´mero lo escribiremos de la forma: 4, 324 u P. Paredes 7 ´ Matematica M. Ram´ırez
  18. 18. ´ 1. Numeros ♠ 2,56565656723214569875. . . es un n´mero cuyos decimales no tienen ninguna relaci´n u o por lo tanto se dice que NO es un decimal peri´dico. o La fracci´n que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el n´mero escrito o u sin coma ni linea peri´dica menos la parte entera dividido por 9999. . . con tantos 9 como o decimales peri´dicos halla, por ejemplo: o 132−1 131 ♠ 1, 32 = 99 = 99 1, 586 = 1586−1 = 1585 ♠ 999 999 6, 2 = 62−6 = 56 ♠ 9 9 12, 432 = 999 = 12420 12432−12 ♠ 999 3. Decimales Semiperi´dicos o Los decimales semiperi´dicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo o una vez y las dem´s se repiten infinitamente, por ejemplo: a ♠ 1,233333333333333. . . es un n´mero decimal donde el 3 se repite infinitas veces de- u spues del 1, este n´mero lo escribiremos de la forma: 1, 23. u ♠ 3,3211111111111111111. . . es un n´mero decimal donde el n´mero 1 se repite infini- u u tamente despues del 32, este n´mero lo escribiremos de la forma: 3, 321 u ♠ 2,532323232323232323232. . . es un n´mero decimal donde el n´mero 32 se repite u u infinitamente despues del 5, este n´mero lo escribiremos de la forma: 2, 532 u La fracci´n que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el n´mero o u escrito sin coma ni linea peri´dica menos la parte no peri´dica del n´mero, dividido por o o u 9999. . . 0000. . . con tantos 9 como decimales peri´dicos halla y tantos ceros como d´ o ıgitos no per´dicos halla despues de la coma, por ejemplo: o 132−13 = 119 ♠ 1, 32 = 90 90 = 2561−256 = 2305 ♠ 2, 561 900 900 = 6123−61 = 6062 ♠ 6, 123 990 990 = 1206−120 = 1086 ♠ 12, 06 90 90 Algunos subconjuntos de Q son: n • Los n´meros Naturales, ya que todo n´mero natural n lo podemos escribir como u u 1. • Los n´meros Cardinales. u • Los n´meros Enteros ya que todo n´mero entero z lo podemos escribir como z . u u 1 • etc. . . 1.2.5. N´ meros Irracionales u Es el conjunto de todos los n´meros que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir u no se pueden escribir como fracci´n ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relaci´n. Una o o forma de enunciar sus elementos es: I = { i | i ∈ Q} √ Algunos elementos de ´ste conjunto son: π, e, 2, etc . . . e P. Paredes 8 ´ Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  19. 19. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales ♦ Observa que . . . Entre el conjunto de los n´meros racionales y el de los irracionales no existe ning´n u u elemento en com´n. u Adem´s, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse, a √ o dividirse pueden obtener un n´mero racional, como por ejemplo; √2 = 1, y 1 no es u 2 un n´mero irracional. u 1.2.6. N´ meros Reales u Es el conjunto que obtenemos entre la uni´n de todos los conjuntos que acabamos de ver, o pero como te habr´s dado cuenta, en los n´meros racionales est´n ya incluidos los naturales y a u a los enteros, entonces basta decir que: R=Q∪I En la figura 1.3 puedes observar gr´ficamente ´ste hecho. a e Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos num´ricos b´sicos e a 1.3. Operatoria con los n´ meros Reales u 1.3.1. Axiomas de Cuerpo 1. Conmutatividad: Para todo a, b ∈ R, se cumple que: a·b=b·a a+b=b+a y 2. Asociatividad: Para todo a, b y c ∈ R, se cumple que: a · (b · c) = (a · b) · c a + (b + c) = (a + b) + c y 3. Distributividad: Para todo a, b y c ∈ R, se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c P. Paredes 9 ´ Matematica M. Ram´ırez
  20. 20. ´ 1. Numeros 1.3.2. M´ ınimo Com´ n M´ ltiplo u u El m´ ınimo com´n m´ltiplo (M.C.M), entre dos o m´s n´meros reales es el n´mero m´s u u au u a peque˜o entre todos los m´ltiplos que tengan en com´n. Por ejemplo, para determinar el M.C.M n u u entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus m´ltiplos. u → M´ltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .} u → M´ltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .} u → Y la intersecci´n entre ´stos dos conjuntos es = {12, 24, 36, 48, . . .} o e Luego, como el m´ ınimo de ´ste ultimo conjunto es 12, entpnces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12. e ´ Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla: ÷2 4 6 ÷2 2 3 ÷3 1 3 1 Donde se va dividiendo a los n´meros hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. ser´ la u a multiplicaci´n entre los divisores usados. o De manera que obtenemos: 2 · 2 · 3 = 12 1.3.3. M´ximo Com´ n Divisor a u Cuando nos referimos al divisor de un n´mero real estamos hablando de un n´mero que u u divide exactamente (sin dejar resto) al n´mero en cuesti´n. El m´ximo com´n divisor (M.C.D) u o a u entre dos o m´s n´meros reales es el divisor m´s grande que tienen en com´n. Por ejemplo, au a u busquemos el m´ximo com´n divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos a u de sus respectivos divisores. → Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, 16} → Divisores de 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} → Y la intersecci´n entre ´stos dos conjuntos es = {1, 2, 4,8} o e Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8. ♦ Observa que . . . El m´ ınimo com´n m´ltiplo y el m´ximo com´n divisor entre dos o m´s n´meros u u a u au enteros siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M ser´ la multiplicaci´n a o entre ellos, y el M.C.D. ser´ el 1. a P. Paredes 10 ´ Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  21. 21. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales 1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad Para multiplicar o dividir n´meros reales debes tener en cuenta que su signo (positivo o u negativo), importa mucho al momento de operarlos. Para esto siempre considera la siguiente tabla: · + + = + − · − = + · − − + = − · − + = O si te es m´s sencillo, considera la palabra “amigo” como positivo (+), y “enemigo” como a negativo (−), y recuerda que: “El amigo de mi amigo es mi amigo” “El enemigo de mi enemigo es mi amigo” “El amigo de mi enemigo es mi enemigo” “El enemigo de mi amigo es mi enemigo” Adem´s para que te sea m´s f´cil la obtenci´n de divisores o m´ltiplos comunes es bueno a aa o u tener presente que: Todos los n´meros son divisibles por 1. u Los n´meros divisibles por 2, son todos aquellos cuyo ultimo d´ u ´ ıgito es par o 0. Los n´meros divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus d´ u ıgitos es divisible por 3. Los n´meros divisibles por 4, son todos cuyos ultimos dos d´ u ´ ıgitos forman un n´mero u divisible por 4. Los n´meros divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0. u Los n´meros divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 al mismo u tiempo. 1.3.5. Orden Operatorio Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas, multiplica- ciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente que existe una prioridad en el desarrollo de ´stas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el resultado e ´ correcto. Este orden es el siguiente: 1. Potencias. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas. P. Paredes 11 ´ Matematica M. Ram´ırez
  22. 22. ´ 1. Numeros Adem´s si aparecen par´ntesis dentro de alg´n ejercicio nos indicar´ que debemos realizar a e u a primero las operaciones que est´n dentro de ´l. a e Por ejemplo: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 Primero debemos realizar el par´ntesis (la potencia, luego la multiplicaci´n y despu´s la e o e resta). Luego la multiplicaci´n por 4 y la divisi´n 26 ÷ 2. Posteriormente terminamos con las o o sumas y restas. Entonces se ver´ algo as´ ıa ı: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 4 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 12) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (2) − 26 ÷ 2 = 6 + 8 − 26 ÷ 2 = 6 + 8 − 13 = 14 − 13 =1 Actividad 1.1. ♣ Resuelve los siguientes ejercicios combinados: −(2 + (3 · 3 + 5)) = (6 · 2 · 3 − [2 · (−45) + 112]) = 1. 5. (6 ÷ 3 − (1 + 2 · 3 − 1)) · 2 = − −[−(12 ÷ 4 + 5)] + 1 = 2. 6. −(65 − [2 − (10 ÷ 2)] + (5 · 3 ÷ 5)) = −[−3 + 4 · 3 − 4 − (−5 + 2)] = 3. 7. 5 · (10 + 3 · 3 + 48 ÷ 6 − 7) = −(−(2 + 3) − (3 · 6 + 5) + 2) = 4. 8. 1.3.6. Operaciones con Fracciones Multiplicaci´n de Fracciones o Multiplicar fracciones es muy sencillo, basta multiplicar sus numeradores y ´ste ser´ el nu- e a merador del resultado, para el denominador se realiza el mismo procedimiento. Veamos algunos ejemplos: 3 6 3·6 18 → · = = 2 7 2·7 14 5 5·2 10 → ·2= = 4 4·1 4 4 1 4·1 4 → · = = 3 5 3·5 15 Divisi´n de Fracciones o Dividir fracciones es un poco m´s complicado ya que debemos realizar lo que llamamos a una multiplicaci´n cruzada, es decir; el numerador del resultado de una divisi´n ser´ lo que o o a obtengamos de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador del divisor, de la misma forma el denominador del resultado ser´ lo que obtengamos de multiplicar el denominador a del dividendo con el numerador del divisor. Como lo anterior parece ser m´s complicado de lo que realmente es, tambi´n podemos “trans- a e formar” la divisi´n en una multiplicaci´n y realizar la operaci´n de ‘esta forma que ya conocemos, o o o recuerda que dividir no es otra cosa que multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor. Veamos algunos ejemplos: P. Paredes 12 ´ Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez
  23. 23. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales 5 2 5 3 15 → ÷ · = = 4 3 4 2 8 9 9 1 9 → ÷4= · = 5 5 4 20 6 1 6 18 → ÷ ·3= = 5 3 5 5 Adici´n y Sustracci´n de Fracciones o o Antes de continuar vamos a aclarar dos conceptos muy importantes al momento de sumar y restar fracciones, la amplificaci´n y la simplificaci´n. o o † Amplificar Significa aumentar el numerador y el denominador de una fracci´n en la misma pro- o porci´n. Por ejemplo, amplifiquemos 2 por 5. o 3 2 2 25 10 = ·1= · = 3 3 35 15 ´ Estas dos fracciones son llamadas equivalentes, es dcir, representan la misma cantidad. † Simplificar An´logamente simplificar significa disminuir el numerador y el denominador de una a fracci´n (si es que se puede), en una misma proporci´n. Por ejemplo, simplifiquemos 150 : o o 90 150 15 10 15 53 5 5 · ·1= · = ·1= = = 90 9 10 9 33 3 3 En el proceso anterior primero simplificamos por 10 y luego por 3, obteniendo una fracci´n irreducible (que no se puede simplificar). o Antes de realizar cualquier operaci´n con fracciones es recomendable simplificar lo m´s o a que se pueda. Ahora, para sumar o restar fracciones tenemos dos casos: cuando tienen igual denominador y cuando no. Para el primer caso no existe gran problema ya que consiste simplemente en operar solo los numeradores, dejando intacto al denominador. Por ejemplo: 2 7 2+7 9 4 → + = = = 15 5 5 5 5 −3 6 9 6−9 3 → − = −7 = = 7 7 7 7 En cambio para el segundo caso donde tenemos distintos denominadores debemos amplificar cada una de las fracciones en juego de forma tal que obtengamos el mismo denominador en ambas, el cual no ser´ al azar, m´s bien ser´ el m´ a a a ınimo com´n m´ltiplo entre los denominadores u u de las fracciones. Por ejemplo: 5 7 5 3 7 2 15 14 15+14 29 → · · + = + = + = = 4 6 4 3 6 2 12 12 12 12 En el ejemplo anterior primero encontramos el M.C.M entre 6 y 4, que es 12, luego buscamos los n´meros por los que deb´ u ıamos amplificar cada fracci´n para obtener este denominador en o ambas encontrando el 3 para la primera y el 2 para la segunda. Posteriormente obtuvimos una suma entre fracciones de igual denominador que ya sabemos operar. Otro ejemplo: P. Paredes 13 ´ Matematica M. Ram´ırez
  24. 24. ´ 1. Numeros 9 3 9 4 3 5 36 15 36−15 21 → − · · − = + = = = 5 4 5 4 4 5 20 20 20 20 Actividad 1.2. ♣ Suma o resta seg´n corresponda las siguientes fracciones: u −8 2 1 3 7 1. + 3= 7. 2+9+ 4 = 3 5 1 6 1 − 2. 4= 8. 11 + 1 + 1 = 4 3 2 7 4 41 31 3. + 3= 9. 36 + 72 + 1 = 2 −2 9 60 6 15 12 24 6 + 48 − 20 + 36 − 4. + 6= 10. = 4 18 1 5 2 m n m·n − n +m− n = 5. 4+4 = 11. 4 6 1 4 1 2 3 − 6. 3+3 = 12. + 2+ 2 + 3+ 3 = 1+ 1 5 2 3 4 1.3.7. Potenciaci´n y Radicaci´n o o Potencias Esencialmente una potencia nos representa una multiplicaci´n por sigo mismo de un n´mero o u que llamamos “base”, tantas veces como lo indique otro n´mero que llamamos “exponente”. u Propiedades Consideremos a, b ∈ R − {0} y m, n ∈ Z a0 = 1 • a1 = a • am · an = am+n • a−n = a1 • n am m = am • b b n −n n •a b b = a = an b m • a n = am−n a • (an )m = an·m = am·n = (am )n Actividad 1.3. ♣ Utilizando las propiedades de las potencias, realiza los siguientes ejercicios: −3 12 4 3 2 ·1 12 1 ·5·3 6 1. 6. 11. 16. 4 3 5 5 4 4 22 3 3 42 2 (2 · 6)2 · 102 2. 7. 12. 17. 3 3 5 6 −2 2 −4 2 6 5 6 31 5 · 1 1 · 0,01 · ·4 3. 8. 13. 18. 5 3 5 3 6 5 10 −(−2) 6·3 4 8 4 11 3 0,02 · 0,12 · 23 4. 9. 14. 19. 5 5 2 3 2 3 −2 23 4 83 21 5. 10. 15. 20. 10 4 4 3 P. Paredes 14 ´ Prueba de Seleccion Universitaria M. Ram´ırez

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