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Corpo reais

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  • 1. O Corpo completo dos N´meros Reais u M´rcio Nascimento da Silva a 15 de janeiro de 2009 Resumo Neste trabalho definimos uma estrutura alg´brica chamada corpo e a partir de e fatos elementares (axiomas), deduzimos certas propriedades (teoremas). Com mais algumas defini¸˜es chegaremos at´ o conceito de corpo completo e veremos que co e esse tipo de estrutura alg´brica ´ “muito parecida” com o conjunto dos n´meros e e u reais. Boa parte deste trabalho ´ praticamente uma transcri¸˜o de parte do terceiro e ca cap´ıtulo de [1], com alguns coment´rios que tentam deixar mais claro os exemplos a e conceitos ali apresentados.1 GruposSeja G um conjunto n˜o vazio e ∗ uma opera¸˜o em G que satisfaz os seguintes axiomas: a ca (G1) (Associatividade) Dados x, y, z ∈ G, tem-se x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z. (G2) Existe em G um elemento σ tal que x ∗ σ = x para qualquer x ∈ G. O elemento σ ´ chamado elemento neutro de G com rela¸˜o a opera¸ao ∗. e ca c˜ (G3) Para cada x ∈ G, existe um outro elemento, x ∈ G tal que x ∗ x = σ. O elemento x ´ chamado sim´trico de x com rela¸˜o a opera¸˜o ∗. e e ca ca Nessas condi¸oes o par (G, ∗) ´ chamado grupo. Quando, al´m disso, tem-se c˜ e e (G4) (Comutatividade) x ∗ y = y ∗ x para quaisquer x, y ∈ G Dizemos que (G, ∗) ´ um grupo comutativo ou abeliano. eExemplo 1.1 Considere o conjunto dos n´meros inteiros Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} e a uopera¸˜o de adi¸˜o. ca ca Como j´ sabemos, vale a associatividade e a comutatividade. Al´m disso, o elemento a eneutro de Z ´ σ = 0 e para cada elemento x ∈ Z o seu sim´trico ´ −x. Desta forma, Z ´ e e e eum grupo comutativo.Exemplo 1.2 Considere o conjunto as matrizes M(n, n) com entradas reais e a opera¸˜o cade multipli¸˜o de matrizes. ca A associatividade ´ v´lida, uma vez que para quaisquer matrizes M, N, P , temos e aM.(N.P ) = (M.N ).P . O elemento neutro para esta opera¸˜o ´ a matriz identidade In×n . ca eNo entanto, nem todo elemento de M(n, n) possui sim´trico, isto ´, dada uma matriz M , e epode n˜o existir uma matriz M tal que M.M = I. Sendo assim, (M(n, n), ·) n˜o ´ um a a egrupo. 1
  • 2. Exemplo 1.3 Considere o conjunto de polinˆmios de grau 1, isto ´, o e G = {f : R −→ R ; f (x) = ax + b, a, b ∈ R, a = 0}e a opera¸˜o de composi¸˜o de fun¸˜es. ca ca co 1. Dadas f, g, h ∈ G, temos [(f ◦ g) ◦ h](x) = (f ◦ g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f ((g ◦ h)(x)) = [f ◦ (g ◦ h)](x) 2. Seja e(x) = x. Ent˜o para qualquer f ∈ G, temos: a (f ◦ e)(x) = f (e(x)) = f (x) Assim, o elemento neutro de G ´ a fun¸˜o identidade e(x) = x. e ca ˜ 3. Dado um elemento f ∈ G, temos, f (x) = ax + b. Vejamos se existe f tal que ˜ f ◦f =e ˜ Seja f (x) = Ax + B. Ent˜o a ˜ (f ◦ f )(x) = f (Ax + B) = a(AX + B) + b = aAx + aB + b Queremos que aAx + aB + b = x Ent˜o aA = 1 e aB + b = 0. Desta forma, A = 1/a e B = −b/a. Assim, a ˜ 1 b f (x) = x − a a ´ o sim´trico de f (x) = ax + b. e e Temos, ent˜o, que G ´ um grupo. No entanto, G n˜o ´ comutativo, uma vez que se a e a e f (x) = ax + b e g(x) = cx + dtemos (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = a(cx + d) + b = acx + (ad + b) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = c(ax + b) + d = acx + (bc + d)portanto, em geral, f ◦ g = g ◦ f .2 CorposSeja K um conjunto n˜o vazio no qual est˜o definidas duas opera¸oes ∗ e a a c˜ (chamadasadi¸ao e multiplica¸ao) tais que: c˜ c˜ 1. (K, ∗) ´ um grupo comutativo; e 2. Valem os seguintes axiomas de multiplica¸˜o ca (M1) Se x, y, z ∈ K ent˜o (x y) z = x (y z). (Associatividade) a 2
  • 3. (M2) Existe e ∈ K tal que x e = x para qualquer x ∈ K. (Elemento Neutro) (M3) Para cada x ∈ K, x = σ, existe x ∈ K tal que x x = e. (Inverso Multipli- cativo) (M4) Para quaisquer x, y ∈ k, temos x y = y x (Comutatividade) 3. Vale o seguinte axioma de distributividade (D1) Dados x, y, z ∈ K, temos: x (y ∗ z) = x y ∗ x zNessas condi¸oes, (K, ∗, ) ´ chamado corpo, que denotaremos simplesmente por K. J´ c˜ e aque por defini¸ao, (K, ∗) ´ um grupo comutativo, chamaremos K de grupo abeliano c˜ eaditivo. Com rela¸˜o a multiplica¸˜o, vemos que σ n˜o possui inverso multiplicativo, ca ca ano entanto, qualquer outro elemento possui. Neste caso, K − {σ} ´ um grupo comutativo ecom rela¸ao a multiplica¸˜o, ou simplesmente dizemos que K −{σ} ´ um grupo abeliano c˜ ca emultiplicativo.Exemplo 2.1 (Q, +, ·) ´ um corpo. eExemplo 2.2 Considere o conjunto Z2 = {0, 1}, onde 0 = {0, ±2, ±4, ±6, . . .} 1 = {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .}isto ´, Z2 ´ uma parti¸˜o de Z. Defina em Z2 a soma da seguinte forma: e e ca 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0J´ o produto, definimos por a 0.0 = 0 0.1 = 0 1.0 = 0 1.1 = 1Nessas condi¸˜es, (Z2 , +, ·) ´ um corpo. co eExerc´ ıcios 1. Defina a diferen¸a no corpo K por x − y = x + (−y) c (a) Mostre que x − y = z ⇐⇒ x = y + z. (b) Mostre que o elemento neutro de K com rela¸ao a adi¸ao ´ unico. c˜ c˜ e ´ (c) Mostre que cada elemeto de K possui um unico sim´trico. ´ e (d) Mostre que se x + z = y + z ent˜o x = y (Lei do corte para adi¸˜o). a ca 2. Defina a divis˜o no corpo K por x/y = x.y. Considere σ o elemento neutro da a adi¸ao. c˜ (a) Mostre que se y = σ ent˜o x/y = z =⇒ x = y.z a (b) Mostre que se z = σ e x.z = y.z ent˜o x = z (Lei do corte para multi- a plica¸ao). c˜ (c) Mostre que o elemento neutro de K com rela¸ao a multiplica¸˜o ´ unico. c˜ ca e ´ (d) Mostre que cada elemeto de K diferente de σ possui um unico inverso mul- ´ tiplicativo. 3
  • 4. 3. Mostre que num corpo K, se x.y = 0 ent˜o x = 0 ou y = 0. a 4. Mostre que num corpo K, (a) (−x).y = x.(−y) = −(x.y) (b) (−x).(−y) = x.y 5. Mostre que R, Q s˜o corpos. a2.1 Corpos OrdenadosUm Corpo Ordenado ´ um corpo K, no qual est´ contido um subcojunto (pr´prio) P ⊂ K e a opara o qual valem as seguintes condi¸oes: c˜ (P1) P ´ fechado com rela¸ao a adi¸ao e a multiplica¸ao, isto ´, se x, y ∈ P ent˜o e c˜ c˜ c˜ e a x + y ∈ P e x.y ∈ P . (P2) Dado um elemento qualquer de K, ent˜o: ou x = σ ou x ∈ P ou −x ∈ P , onde σ a ´ o elemento neutro da adi¸˜o. e ca Se K ´ um corpo ordenado, ent˜o podemos definir o conjunto −P formado pelos e aelementos −x tal que x ∈ P e assim ˙ ˙ K = P ∪(−P )∪{σ}Observe ainda que o elemento neutro da opera¸˜o adi¸˜o n˜o pertence a P . ca ca aProposi¸˜o 2.1 Seja K um corpo ordenado. Se a = σ e a ∈ K ent˜o a2 ∈ P . ca aProva: De fato, sendo a = σ ent˜o a ∈ P ou −a ∈ P . Da´ a.a ∈ P ou (−a).(−a) ∈ P . a ıComo (−a).(−a) = a.a, segue que, de qualquer forma, a.a = a2 ∈ P .Proposi¸˜o 2.2 caExemplo 2.3 (Q, +, ·) ´ um corpo ordenado. e De fato, considere P = {p/q ∈ Q ; p.q ∈ N}. Se x, y s˜o elementos quaisquer em Q, atemos (P1) p r ps + rq x+y = + = q s qs Sendo (ps + rq)(qs) = pqs2 + rsq 2 e pq, rs ∈ N, segue que (ps + rq)(qs) ∈ N uma vez que s2 ∈ N. Logo, x + y ∈ Q. p r p.r x.y = . = q s q.s Como (pr).(qs) = (pq).(rs) e pq, rs ∈ N, segue que xy ∈ Q. (P2) Seja p/q ∈ Q e suponha que p/q ∈ Q. Ent˜o p.q ∈ N, isto ´, p.q ≤ 0. Desta forma / a / e p.q = 0 ou p.q < 0. Se p.q < 0 entao (−p).q > 0, ou seja, (−p).q ∈ N e portanto (−p)/q ∈ P . Mas ent˜o −(p/q) ∈ P . a Veja que nesse exemplo, o conjunto P ´ exatamente Q∗ . e + 4
  • 5. Exemplo 2.4 (Z2 , +, ·) n˜o ´ um corpo ordenado. a e Com efeito, os subconjuntos de Z2 s˜o: a ∅ {0} {1} Z2assim, a unica possibilidade para P ´: ´ e P = {1}Mas, como j´ vimos, 1 + 1 = 0 ∈ P . a /Dado um corpo ordenado K e dois elementos quaisquer x, y ∈ P , temos que −y ∈ P . /Logo x + (−y) pode n˜o pertencer a P . Quando isso ocorrer, escrevemos x − y ∈ P . a /Denotaremos essa n˜o pertinˆncia com a seguinte simbologia: a e x<y ou y>xChamaremos o s´ ımbolo < de menor que e o s´ ımbolo > de maior que. Assim, dadosx, y elementos de um corpo ordenado K, se x − y ∈ P ent˜o / a x ´ menor que y e ou y ´ maior que x e Se σ ´ o elemento neutro de K com rela¸˜o a opera¸ao de adi¸ao, ent˜o usaremos essa e ca c˜ c˜ asimbologia para dizer se um dado elemento x ∈ K pertence ou n˜o a P : a Se x ∈ P , ent˜o escreveremos x > σ a Se x ∈ P , escreveremos x < σ /Observa¸˜o 2.1 (Os corpos ordenados se manifestam no dia-a-dia!) ca Suponha que vocˆ encontra na rua o atleta Oscar (ex-jogador de basquete da sele¸˜o e cabrasileira) e o artilheiro Rom´rio. Por quˆ dizemos que o Oscar ´ maior que o Rom´rio? a e e aPrimeiro, estamos associando a cada um deles um n´mero racional chamado altura. uSuponha que a altura do Oscar seja 2, 10m e a do Rom´rio 1, 69m. Estes n´meros corres- a upondem aos racionais 21/10 e 169/100 respectivamente. Como o conjunto dos n´meros uracionais ´ um corpo ordenado, ent˜o, temos condi¸˜es de comparar dois n´meros. Neste e a co ucaso, como 169/100 − 21/10 ∈ P = Q∗ / +ent˜o podemos dizer que a 69/100 < 21/10 ou 21/10 > 69/100isto ´, podemos dizer que o Rom´rio ´ menor que o Oscar ou que o Oscar ´ maior que o e a e eRom´rio. a 5
  • 6. Doravente, chamaremos P de conjunto dos elementos positivos de K e o conjunto−P ser´ chamado de conjunto dos elementos negativos de K. Chamaremos o aelemento σ de zero e o denotaremos por 0. Se x ∈ K ´ tal que x > 0 ent˜o diremos que e ax ´ um elemento positivo. Caso x < 0, diremos que x ´ um elemento negativo. e e O elemento neutro da opera¸ao multiplica¸ao ser´ chamado um e denotado por 1. c˜ c˜ aDado x ∈ K, denotaremos o inverso multiplicativo de x por x−1 ou 1/x. As nota¸oes x > 0 e x < 0 nos dizem se o elemento x ∈ K ´ positivo ou negativo, isto c˜ e´, posiciona x dentro do conjuntoe K = (−P ) ∗ ∪{0}∪P ∗ ˙ ˙Chamaremos x > y e x < y de rela¸˜es de ordem em K. co A rela¸ao de ordem x < y em K satisfaz as seguintes propriedades: c˜ (O1) (Transitividade) Se x < y e y < z ent˜o x < z. a Prova: Se x < y e y < z ent˜o y − x, z − y ∈ P . Da´ (y − x) + (z − y) ∈ P . Como a ı, (y − x) + (z − y) = z − x, segue z − x ∈ P e portanto x < z. (O2) (Tricotomia) Dados x, y ∈ K ocorre exatamente um dos casos: x = y, x < y, y < x. Prova: Dados x, y ∈ K e sendo K ordenado, ent˜o ou x − y = 0 ou x − y ∈ P a ou −(x − y) ∈ P . Se x − y = 0 ent˜o x = y. Se x − y ∈ P ent˜o y < x e se a a −(x − y) ∈ P , ent˜o y − x ∈ P e portanto x < y. a (O3) (Monotonicidade da adi¸˜o) Se x < y ent˜o para qualquer z, vale x + z < y + z. ca a Prova: Se x < y ent˜o y −x ∈ P . Sendo 0 elemento neutro da adi¸ao e 0 = z +(−z) a c˜ temos que y + z + (−z) − x ∈ P , isto ´, y + z − (x + z) ∈ P e portanto x + z < y + z. e (O4) (Monotonicidade da multiplica¸ao) Sejam x, y ∈ K tais que x < y. Se 0 < z ent˜o c˜ a x.z < y.z. Se z < 0 ent˜o y.z < x.z. a Prova: Sendo x < y segue que y −x ∈ P . Se 0 < z ent˜o z ∈ P . Da´ (y −x).z ∈ P , a ı, ou seja, y.z − x.z ∈ P e portanto x.z < y.z. Se z < 0 ent˜o −z ∈ P e portanto (y − x).(−z) ∈ P . Isso significa que xz − yz ∈ P a e portanto y.z < x.z.Exerc´ ıciosSeja K um corpo ordenado. 1. Mostre que x < y ´ equivalente a −y < −x. e 2. Mostre que x < y e x < y implicam em x = x < y + y . 3. Mostre que 0 < x < y e 0 < x < y implicam em 0 < x.x < y.y . 4. Mostre que se 0 < x e y < 0 ent˜o x.y < 0. a 5. Mostre que o inverso multiplicativo de um n´mero positivo ´ tamb´m positivo. u e e 6. Mostre que se x < y e x, y ambos positivos, ent˜o y −1 < x−1 . aObserva¸˜o 2.2 A rela¸˜o x > y tamb´m ´ uma rela¸˜o de ordem em K e valem pro- ca ca e e capriedades an´logas `s da rela¸˜o x < y (as propriedades (O1) ` (O4)). a a ca a 6
  • 7. Uma outra rela¸˜o de ordem que existente num corpo ordenado K ´ a rela¸˜o x ≤ y. ca e caEssa nota¸˜o indica que x < y ou x = y. Isso significa, ent˜o, que: ca a x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ P ∪ {0}Diremos que P ∪ {0} ´ o conjunto dos elementos n˜o-negativos de K. O denotaremos e apor K+ . J´ o conjunto −P ∪ {0} ser´ chamado conjunto dos elementos n˜o-positivos a a ade K e ser´ denotado por K− . Observe que a K− ∪ K+ = Kno entanto, {K− , K+ } n˜o ´ uma parti¸ao de K, uma vez que K− ∩ K+ = ∅. a e c˜ Esta rela¸ao satisfaz as seguinte propriedades: c˜ 1. (Transitividade) x ≤ y, y ≤ z =⇒ x ≤ z. 2. (Reflexividade) x ≤ x para qualquer x ∈ K 3. (Anti-simetria) x ≤ y, y ≤ x =⇒ x = y 4. (Monotonicidade da adi¸ao) Se x ≤ y e z ∈ K, ent˜o x + z ≤ y + z. c˜ a 5. (Monotonicidade da multiplica¸ao) Sejam x, y ∈ K tais que x ≤ y. Se 0 ≤ z, ent˜o c˜ a x.z ≤ y.z. Se z ≤ 0, ent˜o y.z ≤ x.z. aObserva¸˜o 2.3 Num corpo ordenado K, x.0 = 0 para qualquer x ∈ K. Com efeito, ca x.0 = x.(y + (−y)) = x.y + x.(−y) = x.y + (−x.y) = 0Observa¸˜o 2.4 Num corpo ordenado K, o elemento neutro da multiplica¸˜o pertence ca caa K+ {0}, isto ´, ´ positivo. De fato, suponha por absurdo que 1 ≤ 0. Ent˜o dado x > 0, e e atemos x = 1.x ≤ 0.x = 0 =⇒ x ≤ 02.1.1 N´ meros Naturais uDado um corpo ordenado K. Por um momento, voltemos a denotar o elemento neutroda multiplica¸ao por e. J´ sabemos que 0 < e. Da´ somando e aos dois membros da c˜ a ı,desigualdade (j´ que < ´ uma rela¸ao de ordem), temos: a e c˜ e<e+eNovamente somando e aos dois membros da ultima desigualdade, teremos ´ e + e < e + e + e =⇒ e < e + e < e + e + eRepetindo esse processo, teremos e < e < e + e < e + e + e < e + e + e + e < ...Veja que dessa forma, e, (e +e), (e + e + e), (e + e +e + e), . . . s˜o todos elementos diferentes aentre si. Considere o conjunto dos n´meros naturais u N = {1, 2, 3, 4, . . .} 7
  • 8. Definindo a fun¸ao f : N −→ K por c˜ f (1) = e, f (2) = e + e, f (3) = e + e + e, f (4) = e + e + e + e, . . .temos uma bije¸ao do conjunto N sobre o subconjunto f (N) de K. Isso significa dizer que c˜dentro de um corpo ordenado existe um conjunto “muito parecido” com N. Na verdade,dado um corpo ordenado K, costuma-se dizer que K ⊃ N. Observe ainda que todos oselementos de f (N) s˜o positivos, isto ´, f (N) ⊂ P se considerarmos P como o conjunto a edos elementos positivos de K. A fun¸ao f tamb´m confirma que todo corpo ordenado ´ um conjunto infinito, uma c˜ e evez que f (N) ´ um subconjunto infinito. e2.1.2 N´ meros inteiros uUma vez que f (N) ⊂ P ⊂ K, e (K, +) ´ grupo, segue que para cada f (n) ∈ f (N) existe e−f (n) ∈ K, mas n˜o pertencente a f (N). Denotemos por −f (N) o conjunto de todos aos sim´tricos de elementos de f (N). Desta forma, o conjunto −f (N) ∪ {0} ∪ f (N) ´ um e egrupo abeliano “muito parecido” com o conjunto dos n´meros inteiros. Na verdade, se udefinirmos a fun¸ao g : Z −→ K por c˜   −f (n) se n < 0 g(n) = 0 se n = 0  f (n) se n > 0ent˜o g ´ uma bije¸ao do conjunto Z sobre o conjunto g(Z) = −f (N) ∪ {0} ∪ f (N) e a e c˜tamb´m dizemos que Z ⊂ K. e2.1.3 N´ meros Racionais uSendo K um corpo ordenado, cada elemento (diferente de zero) de g(Z) possui inversomultiplicativo. Tamb´m ´ fato que K ´ fechado para a multiplica¸ao. Assim, dados e e e c˜g(m), g(n) ∈ g(Z) ⊂ K, g(n) = 0, temos: g(m) g(m), [g(n)]−1 ∈ K =⇒ g(m).[g(n)]−1 = ∈K g(n)Podemos, desta forma, considerar a fun¸ao h : Q −→ K definida por c˜ m g(m) h = n g(n)ou seja, h ´ uma bije¸ao do conjunto Q no conjunto e c˜ h(Q) = x ∈ K ; x = g(m).[g(n)]−1 , m, n ∈ ZAnalogamente ao caso dos n´meros naturais e inteiros, costuma-se dizer que um corpo uordenado K cont´m o conjunto dos n´meros racionais Q. e uProposi¸˜o 2.3 O conjunto h(Q) ´ o menor subcorpo de um corpo ordenado K. ca eProva: Um subcorpo de um corpo K, como o pr´prio nome diz, ´ um corpo K contido o edentro de um corpo K. Desta forma, devemos mostrar inicialmente que h(Q) ´ um ecorpo. De fato, se tomarmos dois elementos em h(Q), a soma e o produto continuam 8
  • 9. em h(Q) (verifique!). Desta forma, h(Q) ´ fechado para adi¸ao e multiplica¸˜o e herda, e c˜ canaturalmente, as propriedades de K. Agora provemos que h(Q) ´ o menor subcorpo de K. Sendo K um subcorpo de K, etemos que 0, 1 ∈ K . Se 1 ∈ K ent˜o por somas sucessivas, (1 + 1 + 1...), f (N) ⊂ K . Mas apara cada elemento de f (N), seu sim´trico deve pertencer tamb´m a K , isto ´, g(Z) ⊂ K . e e eAl´m disso, K deve conter o inverso multiplicativo de cada elemento de g(Z) (exceto o de e0, que n˜o ´ definido), isto ´, h(Q) ⊂ K . Logo, h(Q) est´ contido em qualquer subcorpo a e e ade K. Como j´ vimos que h(Q) ´ um subcorpo, ent˜o h(Q) ´ o menor subcorpo de K. a e a eProposi¸˜o 2.4 (A desigualdade de Bernouilli) Seja K um corpo ordenado e n ∈ caN. Se x ≥ −1 ent˜o (1 + x)n ≥ 1 + nx. aProva: Fa¸amos indu¸ao sobre n. Se n = 1, ent˜o c c˜ a (1 + x)1 = 1 + 1.x ≥ 1 + 1.xSe n > 1 suponha que (1 + x)n ≥ 1 + n.x e mostremos que (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1).xTemos (1 + x)n+1 = (1 + x)n .(1 + x) ≥ (1 + n.x).(1 + x) = 1 + x + n.x + n.x2 = 1 + (n + 1)x + n.x2 ≥ 1 + (n + 1).x2.1.4 IntervalosDado um corpo ordenado K, alguns conjuntos recebem nota¸ao especial. Sejam a, b ∈ K c˜com a < b. 1. (Intervalo aberto) {x ∈ K ; a < x < b} = (a, b) 2. (Intervalo fechado) {x ∈ K ; a ≤ x ≤ b} = [a, b] 3. (Intervalo aberto ` direita) {x ∈ K ; a ≤ x < b} = [a, b) a 4. (Intervalo aberto ` esquerda) {x ∈ K ; a < x ≤ b} = (a, b] a 5. {x ∈ K ; x ≥ a} = [a, +∞) 6. {x ∈ K ; x ≤ b} = (+∞, b] 7. {x ∈ K ; x > a} = (a, +∞) 8. {x ∈ K ; x < b} = (+∞, b) 9. K = (−∞, +∞) 9
  • 10. Poder´ıamos considerar o caso em que a = b. Neste caso, o intervalo [a, b] = [a, a] = {a}´ chamado intervalo degenerado.e Os intervalos do tipo (1) ` (4) s˜o chamados limitados e os demais ilimitados. O a as´ ımbolo +∞ foi introduzido como uma maneira de indicar que um intervalo ´ ilimitado. eProposi¸˜o 2.5 Todo invervalo limitado n˜o degenerado possui infinitos elementos. ca aProva: Sejam x, y ∈ K tais que x < y. Sendo 1 o elemento neutro da multiplica¸ao, c˜temos: 1 1 1 x + x < y + x =⇒ .x.(1 + 1) < (y + x) =⇒ x < (y + x) (1 + 1) 1+1 1+1Analogamente 1 1 1 x < y =⇒ y + x < y + y =⇒ y+x< .y.(1 + 1) =⇒ (y + x) < y 1+1 1+1 1+1Desta forma, 1 x< (y + x) < y 1+1Isto ´, dados dois elementos quaisquer x, y ∈ K com x = y, obtemos um terceiro, digamos, e 1z, tal que x < z < y onde z = (x + y). Se repertirmos o processo para x e z, 1+1obteremos z . Se fizermos o mesmo para x e z obteremos z e assim por diante. Podemosfazer isso infinitas vezes.2.1.5 Valor AbsolutoUm outro conceito que pode ser definido num corpo ordenado K ´ o de valor absoluto. eDado x ∈ K, o valor absoluto (ou m´dulo) de x ´ denotado por |x| e definido por o e x se x ≥ 0 |x| = −x se x < 0Com essa defini¸ao |x| ∈ K+ . De fato, se x ≥ 0 ent˜o |x| = x ≥ 0. Se x < 0 ent˜o −x > 0 c˜ a ae |x| = −x > 0. Observe ainda que |x| = max{−x, x}. De fato, se x > 0 ent˜o |x| = x. aAl´m disso −x < 0 e portanto, −x < x. Se x < 0, ent˜o |x| = −x e −x > 0, isto ´, e a ex < −x. Nos dois casos, |x| ´ o m´ximo valor entre −x e x. Com isso, temos |x| ≥ x e e a|x| ≥ −x (ou equivalentemente, −|x| ≤ x). Da´ ı −|x| ≤ x ≤ |x|para qualquer x ∈ K.Teorema 2.1 Sejam a, x elementode de um corpo ordenado K. S˜o equivalentes: a (i) −a ≤ x ≤ a (ii) x ≤ a e −x ≤ a (iii) |x| ≤ a.Prova: 10
  • 11. (i) =⇒ (ii) −a ≤ x ≤ a =⇒ −a ≤ x e x ≤ a. Da´ a ≥ −x, ou seja, −x ≤ a. ı, (ii) =⇒ (iii) Sendo x ≤ a e −x ≤ a, segue que max{−x, x} ≤ a, isto ´, |x| ≤ a. e (iii) =⇒ (i) Sendo |x| = max{−x, x} segue que |x| ≥ x e |x| ≥ −x, isto ´, a ≥ x (que e equivale a x ≤ a) e a ≥ −x (que equivale a −a ≤ x). Assim, −a ≤ x ≤ a.Teorema 2.2 Seja um elemento positivo e a um elemento qualquer, ambos de um corpoordenado K. As seguintes senten¸as s˜o equivalentes: c a (i) x ∈ (a − , a + ) (ii) a − < x < a + (iii) |x − a| <Prova: (i) =⇒ (ii) Segue da pr´pria defini¸˜o de intervalo. o ca (ii) =⇒ (iii) Se a − < x < a + ent˜o somando −a em todos os membros, temos a − <x−a< e pelo teorema anterior, |x − a| < (iii) =⇒ (i) Tamb´m pelo teorema anterior, |x − a| < =⇒ − < x − a < e somando e a a todos os membros, temos a − < x < a + o que significa que x ∈ (a − , a + ).Teorema 2.3 (Propriedades do Valor Absoluto) Sejam x, y, z elementos quaisquernum corpo ordenado K. Valem as seguintes propriedades: (i) |x + y| ≤ |x| + |y| (ii) |x.y| = |x|.|y| (iii) |x| − |y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y| (iv) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|Prova: (i) J´ vimos que −|x| ≤ x ≤ |x| e −|y| ≤ y ≤ |y|. Somando membro a membro, temos: a −|x| − |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| ou seja −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|) e portanto |x + y| ≤ |x| + |y| 11
  • 12. (ii) Observe que |x| = x ou |x| = −x. Como K ´ um corpo ordenado, segue que |x|2 = x2 . e Assim |x.y|2 = (x.y)2 = (x.y).(x.y) = (x.x).(y.y) = x2 .y 2 = |x|2 .|y|2 = . . . = (|x|.|y|)2 Assim, temos duas possibilidades a princ´ ıpio: |x.y| = |x|.|y| ou |x.y| = −(|x|.|y|) Como da defini¸˜o de valor absoluto, |x.y|, |x|, |y| ∈ K+ e |x|, |y| ∈ K+ =⇒ |x|.|y| ∈ ca K+ , segue que ocorre, com certeza, |x.y| = |x|.|y|. (iii) Inicialmente, pela defini¸˜o de valor absoluto, ca |x| − |y| = max{−(|x| − |y|), |x| − |y|} ≥ |x| − |y| e temos a primeira desigualdade. Para ver a segunda desigualdade, observe que do item (i), temos |x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| =⇒ |x| − |y| ≤ |x − y| |y| = |y − x + x| ≤ |y − x| + |x| =⇒ |y| − |x| ≤ |y − x| =⇒ −(|x| − |y|) ≤ |y − x| Por outro lado, |x − y| = |(−1).(y − x)| = | − 1|.|y − x| = 1.|y − x| = |y − x| Da´ ı |x| − |y| ≤ |x − y| e − (|x| − |y|) ≤ |x − y| Pelo Teorema 2.1, segue que |x| − |y| ≤ |x − y| (iv) Usando o item (i), temos: |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z|2.1.6 ´ Infimo e SupremoUm subsconjunto X de um corpo ordenado K diz-se limitado superiormente quandoexiste b ∈ K tal que X ⊂ (−∞, b]. Se existe a ∈ K tal que X ⊂ [a, +∞), dizemos queX ´ limitado inferiormente. Se X ´ limitado inferiormente e superiormente, isto ´, e e eexistem a, b ∈ K tais que X ⊂ [a, b], dizemos que X ´ limitado. e Os elementos a, b citados acima s˜o chamados cota inferior para X e cota superior apara X, respectivamente.Observa¸˜o 2.5 Considere o corpo dos n´meros racionais Q. O conjunto dos n´meros ca u unaturais N ´ limitado inferiormente mas n˜o superiormente, uma vez que N ⊂ [1, +∞). e aObserve que qualquer a < 1 ´ uma cota inferior para N. J´ o conjunto dos n´meros e a uinteiros Z n˜o ´ limitado nem superiormente nem inferiormente. a e 12
  • 13. Observa¸˜o 2.6 Dependendo do corpo K, N pode n˜o ter um limitante superior. Veja- ca amos no exemplo a seguir.Exemplo 2.5 Considere o conjunto Q(t) = {r(t) = p(t)/q(t)} onde p(t), q(t) s˜o po- alinˆmios com coeficientes inteiros e q ´ n˜o identicamente nulo. Tal conjunto ´ um corpo o e a eordenado quando consideramos r(t) positivo se, no polinˆmio p.q, o coeficiente de mais alto ograu for positivo. Por exemplo, se r(t) = (3x2 + x)/(2x − 1), ent˜o p(t).q(t) = 6x3 − x2 − x ae o coeficiente de mais alto grau ´ 6 > 0. Portanto, r(t) ∈ P . Claro, agora falta mostrar eque realmente Q(t) ´ um corpo ordeando. e Veja que r(t) = t ∈ Q(t), pois neste caso, p(t) = t e q(t) = 1. Al´m disso, se econsiderarmos os polinˆmios da forma n(t) = n, temos n(t) ∈ Q(t). Da´ un (t) = p(t) − o ı,n(t) = t − n ∈ Q(t) e o coeficiente do termo de mais alto grau ´ sempre igual a 1. ePortanto, un (t) ∈ P , isto ´, e un (t) > 0 =⇒ t − n > 0 =⇒ t > npara todo n ∈ N. Dessa forma, em Q(t), o elemento p(t) ´ uma cota superior para N, ou eseja, N ´ limitado superiormente. eTeorema 2.4 Num corpo ordenado K, s˜o equivalentes a (i) N ⊂ K limitado superiormente; (ii) Dados a, b ∈ K, com a > 0, existe n ∈ N tal que n.a > b (iii) Dado a ∈ K, a > 0 , existe n ∈ N tal que 0 < 1/n < a Quando num corpo ordenado K vale qualquer uma das condi¸˜es do Teorema acima co(portanto valem as trˆs), dizemos que K ´ um corpo arquimediano. Desta forma, e ecomo visto nos exemplos acima, Q ´ um corpo arquimediano e Q(t) n˜o. e a Agora vamos, finalmente, definir o ´ ınfimo e o supremo de um subconjunto de um corpoordenado K. Considere X ⊂ K um subconjunto limitado superiormente. Quando existira menor cota superior para X, ela ser´ chamada supremo do conjunto X e denotamos apor sup X, isto ´ e sup X = min{a ∈ K ; a ≥ x, x ∈ X}Analogamente, se X ⊂ K ´ limitado inferiormente, definimos o ´ e ınfimo de X sendo amaior cota inferior (quando existir!) de X, isto ´, e inf X = max{b ∈ K ; b ≤ x, x ∈ X} Para sup X, decorrem da defini¸ao c˜ (i) Se x ∈ X ent˜o x ≤ sup X. a (ii) Se c ≥ x para todo x ∈ X ent˜o c ≥ sup X. a (iii) Se c < sup X ent˜o existe x ∈ X tal que c < x < sup X. aAnalogamente, para inf X, (i) Se x ∈ X ent˜o x ≥ inf X. a (ii) Se c ≤ x para todo x ∈ X, ent˜o c ≤ inf X. a (iii) Se inf X > c ent˜o existe x ∈ X tal que inf X > x > c. a 13
  • 14. Observe que sup X e inf X podem n˜o pertencer a X. De fato, considere o intervalo aX = (a, b) de um corpo ordenado K. Ent˜o inf X = a ∈ X e sup X = b ∈ X. a / / Seja X um conjunto n˜o vazio. Dizemos que a ∈ X ´ o elemento m´ a e ınimo de X sea ≤ x para qualquer x ∈ X. Analogamente, se existe b ∈ X tal que x ≤ b para qualquerx ∈ X, ent˜o b ´ o elemento m´ximo de X. a e aObserva¸˜o 2.7 Quando X possui um elemento m´ ca ınimo a, ent˜o a = inf X. Da mesma aforma, se X possui um elemento m´ximo, digamos b, ent˜o b = sup X. Reciprocamente, a ase inf X ∈ X, ent˜o inf X ´ o menor elemento de X. O mesmo vale para o sup X. a eLema 2.1 (Lema de Pit´goras) N˜o existe um n´mero racional cujo quadrado seja a a uigual a 2.Prova: Suponha, por absurdo, que existe p/q ∈ Q tal que (p/q)2 = 2. Ent˜o p2 = 2q 2 . aConsiderando a decomposi¸ao em fatores primos de p e q temos c˜ p = p1 .p2 . · · · .pn , p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ pn q = q1 .q2 . · · · .qm , q 1 ≤ q2 ≤ . . . ≤ qn (p1 .p2 . · · · .pn )2 = 2.(q1 .q2 . · · · .qm )2isto ´, e p1 .p1 .p2 .p2 . · · · .pn .pn = 2.q1 .q1 .q2 .q2 . · · · .qm .qmPortanto p2 possui um n´mero par de fatores primos iguais a 2, enquanto q 2 possui um un´mero ´ u ımpar desses fatores. Absurdo.Exemplo 2.6 Seja X ⊂ Q o conjunto das fra¸˜es do tipo 1/2n com n ∈ N. Observe que co 1 1 1 > 2 > 3 > . . . ... 2 2 2Portanto, 1/2 > x para qualquer x ∈ X e 1/2 ∈ X, isto ´, 1/2 ´ uma cota superior para e eX que pertence a X. Isso significa que 1/2 = sup X. Com mais alguns passos, podemosmostrar que 0 = inf X (vide [1], p´gina 62). aExemplo 2.7 Existem conjuntos limitados de n´meros racionais que n˜o possuem su- u a ınfimo). Considere o corpo Q e o conjunto X = {x ∈ Q ; x ≥ 0 e x2 < 2}.premo (ou ´Observe que X ⊂ [0, 2], portanto, X ´ um conjunto limitado de n´meros racionais. O √ e usupremo desse conjunto seria 2, mas este n˜o ´ racional. a e Afirma¸˜o 1: O conjunto X n˜o possui elemento m´ximo. ca a a Provaremos essa afirma¸˜o verificando que dado x ∈ X, existe um n´mero x + r ainda ca upertence a X. Isso nos diz que ainda existe um elemento um “pouco mais a frente” aindapertencente a X, ou seja, X n˜o possui elemento m´ximo. a a 2 − x2 De fato, considere um n´mero racional r < 1 tal que 0 < r < u com x ∈ X. 2x + 1 2 − x2Observe que x ≥ 0 e x2 < 2 implica em 2 − x2 > 0 e 2x + 1 ≥ 1, portanto, > 0. 2x + 1 14
  • 15. Temos: r < 1 =⇒ r2 < r 2 − x2 r< =⇒ r(2x + 1) < 2 − x2 2x + 1Portanto (x + r)2 = x2 + 2xr + r2 < x2 + 2rx + r = x2 + r(2x + 1) < x2 + (2 − x2 ) = 2isto ´, x + r ∈ X. e Afirma¸˜o 2: O conjunto Y = {y ∈ Q ; y > 0 e y 2 > 2} n˜o possui elemento ca am´nimo. ı Analogamente a Afirma¸˜o 1, provaremos esse fato verificando que dado um elemento cay ∈ Y , existe um outro um “pouco mais atr´s” ainda pertencente a Y . a y2 − 2 Se y 2 > 2 e y > 0 ent˜o y 2 − 2 > 0 e 2y > 0, isto ´, a e > 0. Logo, existe um 2y y2 − 2racional r > tal que 0 < r < . Da´ 2yr < y 2 − 2 e ı 2y (y − r)2 = y 2 − 2yr + r2 > y 2 − (y 2 − 2) + r2 = r2 + 2 > 2 y2 − 2 y 1 y 1 y 1Al´m disso, e = − , portanto y − r > y − + = + > 0. Assim 2y 2 y 2 y 2 y (y − r) > 0 e (y − r)2 > 0ou seja, y − r ∈ Y . Afirma¸˜o 3: Se x ∈ X e y ∈ Y ent˜o x < y. ca a Pela pr´pria defini¸˜o dos conjuntos X Y , temos x2 < 2 < y 2 para quaisquer x ∈ X, o cay ∈ Y . Como, al´m disso, x, y s˜o positivos, segue que x2 < y 2 =⇒ x < y. e a Afirma¸˜o 4: N˜o existe sup X nos n´meros racionais. ca a u Suponha, por absurdo, que existe a = sup X. Veja que a > 0 e n˜o poderia ser a2 < 2, apois do contr´rio, sup X ∈ X, isto ´, sup X = max X, mas X n˜o possui elemento a e am´ximo. a Suponha a2 > 2. Desta forma, a ∈ Y . Vimos na Afirma¸˜o 2, que Y n˜o possui ca aelemento m´nimo, logo, existe b ∈ Y tal que b < a. Usando a Afirma¸˜o 3, para qualquer ı cax ∈ X, ter´amos x < b < a, isto ´, ter´amos uma cota superior para X menor que ı e ıa = sup X. Contradi¸˜o. ca S´ resta dizer que a2 = 2. Isso tamb´m n˜o ocorre, uma vez que n˜o existe racional a o e a atal que a2 = 2. Logo, n˜o existe sup X. a O exemplo acima deixa claro que se um corpo ordenado K ´ tal que todo subconjunto eX limitado superiormente possui supremo, isto ´, para todo X ⊂ K existe sup X, em eparticular, K cont´m Q (ou h(Q)) que cont´m X = {x ∈ Q ; x ≥ 0 e x2 < 2}. Como X e e´ limitado superiormente e em K subconjuntos desse tipo possuem supremo, segue quee √existe a = sup X ∈ K tal que a2 = 2. Denota-se a por 2.Defini¸˜o 2.1 Um corpo ordenado diz-se completo quando todo subconjunto n˜o vazio ca alimitado superiormente possui supremo. 15
  • 16. Lema 2.2 Seja K um corpo ordenado. Se K ´ completo, ent˜o ´ arquimediano. e a eProva: Considere um corpo n˜o arquimediano qualquer K. Ent˜o em K o conjunto N a a(ou f (N)) ´ limitado superiormente. Se b ´ uma cota superior para N ent˜o n ≤ b para e e aqualquer n ∈ N, em particular, n + 1 ≤ b para qualquer n ∈ N e portanto n ≤ b − 1∀n ∈ N. Assim, se b ´ uma cota superior para N ent˜o b − 1 tamb´m o ´. Mas se b − 1 o ´, e a e e eent˜o (b − 1) − 1 tamb´m o ´ e assim sucessivamente. Portanto, n˜o se pode determinar a e e aa menor cota superior e assim n˜o existe sup N em K. Assim, K n˜o ´ completo. a a eAxioma 1 (Axioma Fundamental da An´lise Matem´tica) Existe um corpo orde- a anado completo. Ele ser´ chamado conjunto dos n´meros reais e ser´ denotado por R. a u a3 Propriedades dos n´ meros reais u √3.1 O elemento 2Vimos que num corpo ordenado completo (que cont´m Q!) existe um elemento positivo e √ 2a ∈ Q tal que a = 2 e que ser´ representado por 2. Este n´mero ´ unico. De fato, / a u e ´suponha a2 = b2 com a = b. Ent˜o a 0 = a2 − b2 = (a − b)(a + b) =⇒ a − b = 0 ou a+b=0Mas ent˜o a = b ou a = −b. Ocorre que se a = −b ent˜o um deles n˜o ´ positivo, logo, a a a ea = b.3.2 Os n´ meros irracionais uSendo R um corpo completo e Q ⊂ R, existem elementos em R que n˜o est˜o em Q. a a √Tais elementos formam o conjunto dos n´meros irracionais R − Q. Desta forma, 2 ´ u eirracional.Raiz n-´sima eDados a > 0 elemento de R e n ∈ N, existe um unico n´mero real b √ 0 tal que bn = a. O ´ u >n´mero b chama-se raiz n-´sima de a e ´ representado pelo s´ u e e ımbolo n a. Qualquer n´mero unatural que n˜o possua uma ra´ n-´sima tamb´m natural, ´ um n´mero irracional. a ız e e e u Os n´meros racionais e irracionais est˜o “espalhados” por toda parte do conjunto dos u an´meros reais. uDefini¸˜o 3.1 Um conjunto X ⊂ R chama-se denso em R quando todo intervalo aberto ca(a, b) cont´m algum ponto de X. eExemplo 3.1 Seja X = ZC . Dado um intervalo qualquer em R, digamos, (a, b), ent˜o a (a, b) ∩ Z = {[a] + 1, [a] + 2, . . . , [b]} ou (a, b) ∩ Z = ∅Como (a, b) possui infinitos elementos, segue que (a, b) ∩ ZC ´ sempre n˜o vazio. e aTeorema 3.1 Os conjuntos Q e R − Q s˜o densos em R. a 16
  • 17. Referˆncias e ´[1] LIMA, Elon Lages. CURSO DE ANALISE, vol. 1. Publica¸ao IMPA, Rio de Janeiro, c˜ 1995. ´ ¸˜ ` ´ ´[2] AVILA, Geraldo. INTRODUCAO A ANALISE MATEMATICA. 2a ed. Edgard Bl¨cher. S˜o Paulo, 1999. u a ¸ ¸˜ ` ´[3] GONCALVES, Adilson. INTRODUCAO A ALGEBRA. 4a ed. Publica¸˜o IMPA, ca Rio de Janeiro, 1999. ´[4] LEQUAIN, Yves. GARCIA, Arnaldo. ELEMENTOS DE ALGEBRA. Publica¸˜o ca IMPA, Rio de Janeiro, 2002. 17

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