●   Cualquier número será divisible por otro cuando al realizar    la división obtengamos resto cero (la división es exact...
Cálculo de los divisores de un número.Cálculo del D.C.M. de varios números.Cálculo del m.c.m. de varios números.
   … que la multiplicación de números naturales tiene la propiedad    conmutativa (el orden de los factores no altera el ...
Son reglas que nospermiten determinar si unnúmero dado es divisible ono por otro, sin tener queefectuar la división.
Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es 0 ó es unnúmero par.●   Ejemplos:                 750              ...
Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifrases múltiplo de 3.●   Ejemplos:                             ...
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son cero o formanun múltiplo de 4.●   Ejemplos:                ...
Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.●   Ejemplos:                                                ...
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 ala vez.●   Ejemplos:                                      ...
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son0 ó forman un número que es múltiplo de 8.●   Ejemplos:    ...
Un número es divisible por 8 cuando su mitad es divisible por 4.●   Ejemplos:                                             ...
Un número es divisible por 9 cuando la suma de todas sus cifrases múltiplo de 9.●   Ejemplos:                             ...
Un número es divisible por 10 cuando su última cifra es 0.●   Ejemplos:                 700                            Obs...
Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugarimpar, menos la suma de las cifras de lugar par, es múl...
Laura está haciendo flexiones. Cada 5                                               flexiones, para un momento para       ...
Definición: un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto  de veces, es decir, cuando la división entr...
Dados dos números, por ejemplo, 9 y 12: múlt. de 9 ={0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108... } múlt. de 12 = ...
Eduardo va a pegar 8 fotos en suálbum. Quiere poner en cada hojael mismo número de fotos y que nole sobre ninguna. ¿Cuánta...
Eduardo puede poner en cada hoja 1, 2, 4 u 8 fotos.    Los números 1, 2, 4 y 8 son divisores de 8, porque al     dividir ...
Un número es divisor de otro si la división entre ellos es exacta.Para calcular todos los divisores de un número, dividimo...
Veamos un ejemplo
Otra forma de calcular todos los divisores de un número, es utilizando loscriterios de divisibilidad. Al reconocer si un n...
   … que los factores podemos escribirlos individualmente o como pares de    factores:Ejemplo: los factores de 90 podemos...
Dados dos números, por ejemplo, 12 y 8:fact. de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }fact. de 8 = {1, 2, 4, 8}Los factores comunes de ...
Llamamos número primo al que solo tiene dos divisores: él mismo yel 1.En cambio, un número es compuesto si tiene más de do...
o   La “Criba de Eratóstenes” consiste en eliminar los números que no sean primos y que, por    tanto, sean múltiplos de a...
Otro método que podemos utilizar para determinar si un número es primo o no es laDIVISIÓN.Lo que debemos hacer es dividir ...
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  1. 1. ● Cualquier número será divisible por otro cuando al realizar la división obtengamos resto cero (la división es exacta) Ejemplo: 315 : 5 = 63 y resto 0. Es decir 315 es divisible por 5 25 : 2 = 12 y resto 1. Es decir, 25 no es divisible por 2.
  2. 2. Cálculo de los divisores de un número.Cálculo del D.C.M. de varios números.Cálculo del m.c.m. de varios números.
  3. 3.  … que la multiplicación de números naturales tiene la propiedad conmutativa (el orden de los factores no altera el producto) Así: si 5 x 6 = 30 será 6 x 5 = 30 … que en la división tenemos: dividendo : divisor = cociente y como la multiplicación y la división son operaciones inversas: dividendo = divisor x cociente Por ejemplo: 30 = 5 x 6 entonces: 30 : 5 = 6 y 30 : 6 = 5 En el caso que la división no sea entera (resto distinto de cero): Dividendo = divisor x cociente + resto
  4. 4. Son reglas que nospermiten determinar si unnúmero dado es divisible ono por otro, sin tener queefectuar la división.
  5. 5. Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es 0 ó es unnúmero par.● Ejemplos: 750 Observa: Todos estos números son 438 divisibles por 2 porque la 56 última cifra es 0 ó par. 4354
  6. 6. Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifrases múltiplo de 3.● Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 3 porque al sumar sus cifras se obtiene un múltiplo de 3.
  7. 7. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son cero o formanun múltiplo de 4.● Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 4 porque las dos últimas cifras son 00 ó forman un múltiplo de 4.
  8. 8. Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.● Ejemplos: Observa: 750 Todos estos números son 435 divisibles por 5 porque la última cifra es 0, en unos 255 casos, y 5, en otros. 4350
  9. 9. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 ala vez.● Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 6, porque son divisibles por 2 y por 3, al mismo tiempo.
  10. 10. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son0 ó forman un número que es múltiplo de 8.● Ejemplos: Observa: Todos estos números 86064 son divisibles por 70000 8, porque sus tres últimas cifras, o bien son 1160 000, o forman un 12096 número que es múltiplo de 8.
  11. 11. Un número es divisible por 8 cuando su mitad es divisible por 4.● Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 8, porque sus mitades son divisibles por 4.
  12. 12. Un número es divisible por 9 cuando la suma de todas sus cifrases múltiplo de 9.● Ejemplos: Observa: Todos estos números son divisibles por 9 porque al sumar sus cifras se obtiene un múltiplo de 9.
  13. 13. Un número es divisible por 10 cuando su última cifra es 0.● Ejemplos: 700 Observa: Todos estos números son 430 divisibles por 10 porque la última cifra es 0 en todos 250 los casos. 4000
  14. 14. Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugarimpar, menos la suma de las cifras de lugar par, es múltiplo de 11.● Ejemplo: determinamos si 59.697 es múltiplo de 11. 7+6+5 = 18 59 697 9+9 = 18 Luego: 18 – 18 = 0 Como la diferencia obtenida es 0 y 0 es múltiplo de 11 (así como de TODOS los números), afirmamos que 59.697 es múltiplo de 11.
  15. 15. Laura está haciendo flexiones. Cada 5 flexiones, para un momento para descansar y apunta en una tabla cuántas flexiones lleva hechas hasta el momento.Los números 5, 10, 15, 20, 25 y 30 son múltiplos de 5.Los múltiplos de 5 se pueden calcular de dos formas:●Contando de 5 en 5 a partir de 0.●Multiplicando por 5 los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5...
  16. 16. Definición: un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces, es decir, cuando la división entre el primero y el segundo es exacta. 10 es múltiplo de 2 ya que 10 : 2 = 5 y r = 0Un número tiene infinitos múltiplos. Se obtienen multiplicando sucesivamente el número por los números naturales (0, 1, 2, 3…) El cero es múltiplo de TODOS los números.
  17. 17. Dados dos números, por ejemplo, 9 y 12: múlt. de 9 ={0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108... } múlt. de 12 = {0,12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108...}Los múltiplos comunes de 9 y 12 son:36, 72, 108…, porque son los múltiplos que coincidenen ambos números exceptuando el cero.Al menor de los múltiplos comunes, en este caso 36, lodenominaremos mínimo común múltiplo de 9 y 12. Y loescribiremos así: m.c.m. (9, 12) = 36
  18. 18. Eduardo va a pegar 8 fotos en suálbum. Quiere poner en cada hojael mismo número de fotos y que nole sobre ninguna. ¿Cuántas fotospuede poner en cada hoja?Observa cómo puede repartirEduardo las fotos en partes igualesen las hojas del álbum.
  19. 19. Eduardo puede poner en cada hoja 1, 2, 4 u 8 fotos. Los números 1, 2, 4 y 8 son divisores de 8, porque al dividir 8 entre cada uno de ellos la división es exacta. Los números 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8, porque al dividir 8 entre cada uno de ellos la división no es exacta.
  20. 20. Un número es divisor de otro si la división entre ellos es exacta.Para calcular todos los divisores de un número, dividimos dicho númeroentre los números naturales, es decir, entre 1, 2, 3, ... hasta llegar a ladivisión en la que el cociente sea menor que el divisor. De cadadivisión exacta obtenemos dos divisores: el divisor y el cociente. El 1 es divisor de TODOS los números.
  21. 21. Veamos un ejemplo
  22. 22. Otra forma de calcular todos los divisores de un número, es utilizando loscriterios de divisibilidad. Al reconocer si un número es o no divisible porotro, sabremos si este es divisor o no de aquél.Por ejemplo: queremos saber cuáles son los factores o divisores de 90• Es divisible por 2, porque es número par.• Es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos (9 + 0 = 9) es un múltiplo de 3.• No es divisible por 4, porque sus dos últimas cifras no forman un múltiplo de 4.• Es divisible por 5, porque su última cifra es 0.• Es divisible por 6, porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.• No es divisible por 7, por al dividirlos el resto no es 0.• No es divisible por 8, porque su mitad (90 : 2 = 45) no es divisible por 4.• Es divisible por 9, porque la suma de sus dígitos (9 + 0 = 9) es un múltiplo de 9.• Es múltiplo de 10, porque termina en 0.• No es múltiplo de 11, porque la resta entre la cifra que ocupa el lugar impar (9) y la que ocupa el lugar par (0) no da como resultado un múltiplo de 11.Conclusión: los factores de 90 son: fact. de 90 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90}
  23. 23.  … que los factores podemos escribirlos individualmente o como pares de factores:Ejemplo: los factores de 90 podemos escribirlos individualmente: fact. de 90 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90} o como pares de factores: fact. de 90 = (1 y 90); (2 y 45); (3 y 30); (5 y 18); (6 y 15); (9 y 10) ... que los factores NO son infinitos. Cada número tiene una cierta cantidad de factores. … que los factores que a su vez son números primos se denominan “factores primos”.Ejemplo: los factores primos de 90 son: Fact. primos de 90: {2; 3; 5}
  24. 24. Dados dos números, por ejemplo, 12 y 8:fact. de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }fact. de 8 = {1, 2, 4, 8}Los factores comunes de 12 y de 8 son: 1, 2 y 4,porque son losfactores que coinciden en ambos números .Al mayor de los factores comunes, en este caso 4, lo denominaremosdivisor común mayor de 8 y 12. Y lo escribiremos así: D.C.M. (8, 12) = 4
  25. 25. Llamamos número primo al que solo tiene dos divisores: él mismo yel 1.En cambio, un número es compuesto si tiene más de dos divisores.Por ejemplo: fact. de 14 = {1, 2, 7, 14} como tiene más de dos divisores, 14 es número compuesto. fact. de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} como tiene más de dos divisores, 12 es número compuesto. fact. de 7 = {1, 7} como solo tiene dos divisores (él mismo y la unidad), 7 es número primo.El número 1 no se considera número primo, ya que solo tiene un divisor: él mismo. .
  26. 26. o La “Criba de Eratóstenes” consiste en eliminar los números que no sean primos y que, por tanto, sean múltiplos de algún número.o Si quieres obtener los números primos menores que 100, como muestra la siguiente tabla, sigue los pasos indicados:  Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto.  Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos, o sea, el 4, el 6, el 8, etc.  Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.  Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.  Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.  Los números encerrados son los números primos.  Los restantes corresponde a los números compuestos, a excepción del 1.
  27. 27. Otro método que podemos utilizar para determinar si un número es primo o no es laDIVISIÓN.Lo que debemos hacer es dividir el número por cada número primo.Por ejemplo: Quiero saber si el número 55 es primo. Lo que debo hacer es dividirlo por 2, por 3, por 5, por 7 y por 11: 55 : 2 = 27 y resto = 1; 55 : 3 = 18 y resto = 1; 55 : 5 = 11 y resto = 0No hace falta que siga porque ya encontré que 55 es divisible por uno de losnúmeros primos: el 5. Por lo tanto, 55 no es número primo. Quiero saber si el número 17 es primo. Repito el proceso anterior:17 : 2 = 8 y r = 1; 17 : 3 = 5 y r = 2; 17 : 5 = 3 y r = 2; 17 : 7 = 2 y r = 3; 17 :11 = 1 y r = 6Así vemos que 17 no es divisible por ningún número primo, entonces 17 es unnúmero primo.
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