2. Payment (Pagos periódicos)Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas iguales. Por lo que
es necesario conocer algunas fórmulas que ahorrarán bastante tiempo:
PMT PMTPMT PMT
0 1 2 3 n
ii
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
VP n
nn
j
jn
1
11
1
1
1
......
11 1
21
3. Payment (Pagos periódicos)
Despejando el PMT, tendremos:
capitaldelónrecuperacideFactor...
11
1
CRF
i
ii
n
n
En donde:
11
1
n
n
i
ii
VPPMT
4. Payment (Pagos periódicos)
También se puede relacionar el PMT con el valor futuro:
11
1
11
n
n
n
i
ii
VP
i
i
VFPMT
Este término se conoce como SFF (Factor de
amortización de capital)
5. Ejemplo
Saco de plomo tiene en mente
comprarse un automóvil
deportivo.
Si el vehículo cuesta $7.000.000
y Pepe Cortizona desea pagarlo
en 48 cuotas iguales.
¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3% mensual? ¿Cuánto
debería pagar Saco de plomo si decidiera cancelar toda su deuda al final
de la cuota 48?
6. Solución
11
1
n
n
i
ii
VPPMT
Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos ocupar la
fórmula del Payment
Reemplazando, tendremos:
045.277
103,1
03,003,1
000.000.7 48
48
PMT
Por lo tanto, Pepe Cortizona deberá pagar cuotas de $277.045
7. Solución (continuación)
Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar toda su deuda al
final de la cuota 48, podemos utilizar la fórmula del Payment o
simplemente llevar a valor futuro el valor inicial del vehículo:
824.925.28
03,0
103,1
045.277
11
48
i
i
PMTVF
n
O simplemente:
763.925.2803,1000.000.71
48
n
iVPVF
(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la
aproximación usada en el cálculo del PMT)
8. Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)
•El CAUE es otro método que se utiliza comúnmente en la
comparación de dos alternativas
•A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la comparación se
realice sobre el mínimo común múltiplo de los años cuando las
alternativas tienen diferentes vidas útiles. Sólo se necesita que las
Tasas sean iguales.
•El CAUE nos indica cuál alternativa es mejor, sin embargo, no nos
indica cuánto es una mejor a la otra.
9. Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)
El CAUE significa que todos
los ingresos y desembolsos deben
convertirse en una cantidad anual
uniforme equivalente que es la
misma cada período
La alternativa
seleccionada será
aquella que presente
el menor CAUE
10. Cálculo del CAUESabemos que el CAUE es la “transformación” de los ingresos y
desembolsos en una cantidad anual uniforme equivalente. Por ejemplo,
el siguiente flujo:
900 900900
50
0
0 1 2 3 8
8000 90
0
2955 29552955
0 1 2 3 8
2955
Si consideramos una tasa de interés del 20% anual, el CAUE
será:
11. Cálculo del CAUE
Existen varios métodos para calcular el CAUE, sin embargo, el
procedimiento general consiste en calcular el VAN y luego llevar
éste a un PAYMENT.
Analicemos el Ejemplo anterior:
900 900900
50
0
0 1 2 3 8
8000 90
0
11337
2,1
400
2,1
900
2,1
900
2,1
900
8000 8721
VAN
12. Cálculo del CAUE
2955
12,1
2,02,1
11337 8
8
CAUE
2955 29552955
0 1 2 3 8
2955
El diagrama de flujo será:
Ahora solo llevamos el VAN a un PAYMENT:
13. CAUE de gastos recurrentes
Algunos proyectos de vida indefinida poseen gastos recurrentes. Para
calcular el CAUE de ellos podemos seguir el siguiente procedimiento:
1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades anuales uniformes.
2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT empiece del
período nº1.
Muéstrenme
un ejemplo
14. CAUE de gastos recurrentes
(ejemplo)
Según el procedimiento señalado, necesitamos convertir el flujo a
cantidades anuales uniformes:
Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida indefinida),
asumiendo un interés del 10% anual.
50 21 3
500
4 6 7
500500
500
0 1 2Podemos considerar que
desde el 2 año el flujo
esta compuesto por
infinitos subflujos
de 2 años c/u
16. Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el PMT empiece
en el año nº1:
262
1,1
288
)1( 1
3
2
n
i
V
V
262
1,1
288
)1( 1
2
1
n
i
V
V
Nota que solo necesitamos
calcular el monto del año nº1,
y luego éste se repetirá
indefinidamente cada año
CAUE de gastos recurrentes
(ejemplo)
0
262 262
1 2 ...
262262 262
3 4 CAUE=262
17. CAUE de una inversión perpetua
Para estos proyectos el cálculo del CAUE se debe realizar de la
siguiente manera:
¿Cómo calculo el CAUE de un
proyecto de vida indefinida que
además de tener gastos recurrentes
tiene algunos gastos no recurrentes?
18. 1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor
presente y luego multiplicarse por la tasa de interés:
iVPCAUE *1
2) Luego calculamos el CAUE de los gastos recurrentes.CAUE2
3) CAUE=CAUE1+CAUE2
CAUE de una inversión
perpetua
19. Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo:
(Asumir interés del 10% anual)
¿Cuál será el CAUE del proyecto?
300+800
0
7000 300300
1 2 3
300
300+800
300+400
0
4 5 6
300
300+800
300
7 8 9
Primero calculamos el CAUE de los gastos no recurrentes:
CAUE de una inversión perpetua
(Ejemplo)
20. 9731,0
1,1
4000
7000 41
CAUE
CAUE de una inversión perpetua
(Ejemplo)
Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos recurrentes:
Existe un gasto
periódico anual
de 300, luego
CAUE2=300
Además cada 3
años se gastan 800
adicionales.Entonces,
debemos calcular
el CAUE3
21. CAUE de una inversión perpetua
(Ejemplo)
0 1 2
800
3 4 5
800
6 7 8
800
9
Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este flujo:
0
266 266
1 2 ...
266266 266
3 4
1539266300973 CAUE
Finalmente:
Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada 3 años:
22. Para tomar en cuenta...
El análisis anterior (CAUE)
también se puede utilizar
cuando en vez de estudiar
COSTOS se estudia flujos
positivos, en cuyo caso el
análisis suele llamarse VAE
(Valor anual equivalente),
aunque en ocasiones se sigue
utilizando el término CAUE.
Lógicamente la
alternativa seleccionada
será la de mayor VAE.
23. VAE (Ejemplo)
Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la tasa del
inversionista es del 10%, ¿Cuál será la mejor alternativa utilizando el
método del VAE (CAUE)?
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
A -1000 600 700 850
B -2000 700 800 900 950 1000
763AVAN 1243BVAN
Primero calculamos el VAN de cada proyecto:
24. Ejemplo
Ahora llevamos cada VAN al PAYMENT correspondiente:
307
11,1
1,01,1
763 3
3
AVAE
328
11,1
1,01,1
1243 5
5
BVAE
Como VAEB>VAEA, este método nos indica que se debe escoger el
proyecto B.
25. Comentarios del ejemplo Anterior
Resolvamos la pregunta de la guagua
Homero:
Nota que para el análisis del
VAE no se necesitó usar el
mismo período de tiempo
de vida de los proyectos
(M.C.M.de los períodos)
¿Cuál sería el
resultado si se
analizara por el
método del VAN?
26. ...Usando el método del VAN
150 1 2 3
-1000
600 700 850
4 5 6
-1000
600 700 850
-1000
850
El M.C.M. de los períodos de ambos proyectos es 15, luego debemos
prolongar la vida de los proyectos a 15 años:
El flujo del proyecto A será:
27. 0 3 6
763 763 763
9 12 15
763 763Proyecto A:
2334
1,1
763
1,1
763
1,1
763
1,1
763
763 12963
AVAN
Modificando los flujos...
Pero como ya calculamos el VAN individual de cada Proyecto,
podemos aprovechar esto y así modificar los flujos para ahorrar
cálculos:
28. Finalmente...
0 5 10
1243 1243 1243
15
Proyecto B:
2494
1,1
1243
1,1
1243
1243 105
BVAN
Por lo tanto la elección por el método del VAN también favorece al
Proyecto B
29. Tasa Interna de Retorno (TIR)
El TIR es la tasa que “entrega” un proyecto
suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a
esta tasa.
Se calcula buscando
la tasa que hace el
VAN igual a cero
30. TIR Modificada
Es la tasa que “entrega” un
proyecto suponiendo que todos
los flujos son reinvertidos a la tasa
costo capital, la cual generalmente
es la tasa atractiva de retorno
(TMAR)
31. Cálculo de la TIR Modificada
1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor
absoluto). I0
2) Calcular de VFn de los flujos (usando la tasa del
costo capital, generalmente TMAR)
3) Calcular la TIR Modificada, despejando t’ de la
fórmula:
n
tIVF )'1(0
32. Cálculo de la TIR Modificada
Como para calcular el VAN de un proyecto de un
proyecto se incluyen las inversiones, si queremos
calcular la TIR Modificada cuando tenemos el VAN
tendremos:
nn
tIiIVAN )'1()1(* 00
1)1(*1'
0
i
I
VAN
t n
Despejando:
Donde i es la tasa
costo capital,
generalmente
TMAR
