• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
03 Cálculo Diferencial
 

03 Cálculo Diferencial

on

  • 588 views

Cálculo Diferencial

Cálculo Diferencial
Análise Matemática 2.

Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

Statistics

Views

Total Views
588
Views on SlideShare
588
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
5
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    03 Cálculo Diferencial 03 Cálculo Diferencial Presentation Transcript

    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Campos escalares e vectoriais - Parte 2Derivadas de An´lise Matem´tica 2 a aordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferencial 2o Semestre 2011/12GradienteMatrizJacobiana Vers˜o de 16 de Maio de 2012 aDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos sandra.martins@adm.isel.pt 1/1
    • AM2 Derivadas segundo um vectorDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Defini¸˜o caordem superiorT. Schwarz Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ int(Df ) ent˜o aClasse C k (A) f (a + λv ) − f (a)Diferenciabil. fv (a) = limPlano tang. λ→0 λDiferencial representa a derivada de f segundo o vector v no ponto aGradiente (no caso do limite existir).MatrizJacobianaDerivada da Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-seComposta derivada direcional de f , segundo o vector v no ponto a.Impl´ ıcitaExtremos 2/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Interpreta¸˜es: coDerivadas deordem superior fv (a) (com v = 1) indica o declive da recta tangente aoT. SchwarzClasse C k (A) gr´fico de f no ponto a que tem a direc¸˜o do vector v . a caDiferenciabil. fv (a) (com v = 1) indica a taxa de varia¸˜o, ou seja, a caPlano tang. quantidade de varia¸˜o por unidade na direc¸˜o de v , de f ca caDiferencial no ponto a.GradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 3/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 4/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 5/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 6/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 7/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 8/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 9/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 10/1
    • AM2 Calcule: 1 f (a) para f (x, y ) = x 2 y , v = (2, 1) e a = (1, 0). v 2 a derivada direccional de f (x, y ) = x 2 sin(2y ),segundo oDerivadasdirecionais vector v = (3, −4) no ponto a = (1, π ). 2Derivadas 3 a derivada deparciais xyDerivadas de x+y se x + y = 0ordem superior f (x, y ) = x se x + y = 0T. SchwarzClasse C k (A) segundo os vectores v1 = (1, 1) e v2 = (1, −1) no pontoDiferenciabil. a = (0, 0).Plano tang. 4 a derivada direccional deDiferencial 2xy x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Gradiente f (x, y ) =Matriz 0 se (x, y ) = (0, 0)JacobianaDerivada da segundo o vector v = (1, 1) no ponto a = (0, 0).Composta 5 a derivada direccional deImpl´ ıcita y 2 se x = 0Extremos f (x, y ) = y2 x se x = 0 segundo os vectores v1 = (0, 2) e v2 = (1, 2) no ponto 11/1
    • AM2 Derivadas segundo um vector paraDerivadasdirecionais fun¸oes vectoriais c˜Derivadasparciais Defini¸˜o caDerivadas deordem superior SejaT. SchwarzClasse C k (A) f : Df ⊂ Rn −→ RmDiferenciabil. x −→ y = f (x) = (f1 (x), ..., fm (x))Plano tang.Diferencial e a ∈ int(Df ) ent˜o aGradienteMatriz fv (a) = f1 v (a), ..., fm v (a)JacobianaDerivada daComposta representa a derivada de f segundo o vector v no ponto aImpl´ ıcita (no caso dos limites existirem).Extremos Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-se derivada direccional de f , segundo o vector v no ponto a. 12/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. Schwarz CalculeClasse C k (A)Diferenciabil. 1 fv (a) paraPlano tang. f (x, y , z) = (x − z, 2y )Diferencial com v = (1, 2, 0) e a = (1, 1, 1).GradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 13/1
    • AM2 Defini¸˜o caDerivadas ` As derivadas direccionais segundo os vectores da base can´nica odirecionaisDerivadas de Rn , chamam-se derivadas parciais.parciaisDerivadas de No caso de n=2... os vectores da base can´nica s˜o (1, 0) e o aordem superior (0, 1)...T. Schwarz Chama-se derivada parcial em ordem a x aClasse C k (A)Diferenciabil. ∂f f (a + λ, b) − f (a, b)Plano tang. (a, b) = lim ∂x λ→0 λDiferencialGradiente (´ a derivada direccional segundo o vector (1,0)). eMatrizJacobiana Chama-se derivada parcial em ordem a y aDerivada daComposta ∂f f (a, b + λ) − f (a, b) (a, b) = limImpl´ ıcita ∂y λ→0 λExtremos (´ a derivada direccional segundo o vector (0,1)). e 14/1
    • AM2Derivadasdirecionais Notas:Derivadas Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, naparciais vizinhan¸a (bola) desse ponto a fun¸˜o est´ definida por: c ca aDerivadas deordem superior apenas uma express˜o: Regras de deriva¸˜o. a caT. Schwarz mais do que uma express˜o: Defini¸˜o de derivada a caClasse C k (A) parcial.Diferenciabil. Interpreta¸˜es: coPlano tang. ∂f indica o declive da recta tangente ao gr´fico de f ∂x (a, b) aDiferencialGradiente no ponto (a, b) que ´ paralela ao eixo dos xx. eMatriz ∂fJacobiana ∂x (a, b)indica a taxa de varia¸˜o, ou seja, a quantidade caDerivada da de varia¸˜o por unidade de x, de f no ponto (a, b). caCompostaImpl´ ıcitaExtremos 15/1
    • AM2 Sejam u = f (x), v = g (x), k ∈ R. k =0 (sin(u)) = cos(u)uDerivadas x =1 (cos(u)) = − sin(u)udirecionais (u + v ) = u + v (tan(u)) = sec2 (u)uDerivadasparciais (ku) = ku (cot(u)) = − csc2 (u)uDerivadas de (u.v ) = u v + uv (sec(u)) = sec(u) tan(u)uordem superior u u v − uv uT. Schwarz v = 2 (arcsin(u)) = √ v 1 − u2Classe C k (A) uDiferenciabil. (u α ) = αu α−1 u , α ∈ Q {0} (arccos(u)) = − √ 1 − u2Plano tang. √ u uDiferencial u = √ (arctan(u)) = 2 u 1 + u2Gradiente u uMatriz (ln(u)) = (arccot(u)) = −Jacobiana u 1 + u2 |u| uDerivada da (e u ) = e u u (|u|) = u = uComposta u |u|Impl´ ıcita (au ) = au ln(a)u , a ∈ R {1} (cosh(u)) = sinh(u)uExtremos (u v ) = u v ln(u)v + vu v −1 u (sinh(u)) = cosh(u)u 16/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadas Calculeparciais ∂f ∂fDerivadas de ∂x (1, 2) e ∂y (1, 2) onde f (x, y ) = x 2 y + 2e xy .ordem superior as derivadas parciais de f (x, y , z) = e x z + x sin(zy ) + zx.T. Schwarz ∂f ∂f ∂f ∂fClasse C k (A) ∂x (1, 1), ∂y (1, 1), ∂x (0, 0) e ∂y (0, 0) ondeDiferenciabil. x 3 +y 3Plano tang. x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Diferencial f (x, y ) = 0 se (x, y ) = (0, 0)GradienteMatrizJacobiana as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:Derivada da 4Composta x 2 +y 2 se x 2 + y 2 > 4 f (x, y ) = y −2Impl´ ıcita e se x 2 + y 2 ≤ 4Extremos 17/1
    • AM2 Derivadas de ordem superior ` aDerivadasdirecionais primeiraDerivadasparciais Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...Derivadas deordem superior Derivadas quadradas:T. SchwarzClasse C k (A) ∂2f ∂ ∂fDiferenciabil. 2 = ∂x ∂x ∂xPlano tang.Diferencial ∂2f ∂ ∂f 2 =Gradiente ∂y ∂y ∂yMatrizJacobiana Derivadas cruzadas:Derivada daComposta ∂2f ∂ ∂f =Impl´ ıcita ∂x∂y ∂y ∂xExtremos ∂2f ∂ ∂f = ∂y ∂x ∂x ∂y 18/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadas 1 Calcule as derivadas at´ ` 3a ordem das fun¸˜es: ea coparciaisDerivadas de 1 f (x, y ) = 5xy 3 + 2x 2 y 2ordem superior 2 f (x, y ) = sin(x)y 5T. Schwarz 2 Estude se para f (x, y ) = 16 − x 2 − y 2 eClasse C k (A)Diferenciabil. g (x, y ) = x ln(x) + ye x se tem quePlano tang. 2 ∂f ∂2g ∂gDiferencial (1, 1) − (1, 14) + (1, 1) = 0.Gradiente ∂x ∂x∂y ∂xMatriz xJacobiana 3 Verifique que para g (x, y ) = xye y se tem queDerivada daComposta ∂3g ∂3gImpl´ ıcita x +y =0Extremos ∂x 3 ∂y ∂x 2 19/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Teorema de Schwarz:Derivadas de Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal queordem superior ∂f ∂f ∂2fT. Schwarz ∂x , ∂y e ∂x∂y existem numa vizinhan¸a (bola) de (a, b); c kClasse C (A) ∂2f ∂x∂y ´ cont´ e ınua em (a, b).Diferenciabil.Plano tang. Ent˜o a ∂2f ∂2fDiferencial (a, b) = (a, b).Gradiente ∂y ∂x ∂x∂yMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 20/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais 1 Confirme que o teorema se verifica no exerc´ anterior. ıcioDerivadasparciais 2 SejaDerivadas deordem superior xy (x 2 −y 2 ) x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)T. Schwarz f (x, y ) = 0 se (x, y ) = (0, 0)Classe C k (A)Diferenciabil. ∂f ∂fPlano tang. 1 Calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ). 2Diferencial ∂ f ∂2f 2 Calcule ∂x∂y (0, 0) e ∂y ∂x (0, 0).GradienteMatriz 3 SejaJacobiana xy 2 x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Derivada da f (x, y ) =Composta 0 se (x, y ) = (0, 0)Impl´ ıcita ∂f ∂fExtremos 1 Calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ). 2 ∂ f ∂2f 2 Calcule ∂x∂y (0, 0) e ∂y ∂x (0, 0). 21/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Defini¸˜o caordem superiorT. Schwarz Seja A um conjunto aberto contido no dom´ de f . ınioClasse C (A)k Uma fun¸˜o f diz-se de classe C k (k ∈ N0 )em A se e s´ se f ca oDiferenciabil. admite derivadas at´ ` ordem k (inclusive)em A cont´ ea ınuas ePlano tang. escreve-seDiferencial f ∈ C k (A)GradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 22/1
    • AM2 Fun¸˜o (definida em R2 ) caDerivadasdirecionais diferenci´vel aDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. Schwarz Defini¸˜o (diferenci´vel) ca aClasse C k (A)Diferenciabil. Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .Plano tang. Diz-se que f ´ diferenci´vel em (a, b) se existem as suas e aDiferencial derivadas parciais (em x e em y ) neste ponto e seGradiente ∂f ∂fMatriz f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂x (a, b)h − ∂y (a, b)kJacobiana lim √ =0Derivada da (h,k)→(0,0) h2 + k 2CompostaImpl´ ıcitaExtremos 23/1
    • AM2Derivadasdirecionais Proposi¸˜o: caDerivadas Se f e g s˜o fun¸˜es diferenci´veis ent˜o f + g , f − g , f × g , a co a aparciais f g , (g (x) = 0, ∀x) e f ◦ g s˜o diferenci´veis. a aDerivadas deordem superiorT. Schwarz Exemplos de fun¸˜es coClasse C k (A) ´ DIFERENCIAVEIS no seu dom. ˜ NAO DIFERENCIAVEIS´Diferenciabil. • polin´mios o • m´dulo (em 0) oPlano tang. • fun¸. alg´bricas c e • mantissa (n˜o ´ cont´ a e ınua)Diferencial • fun¸. trigonom´tricas c e • por vezes as “uni˜es” nas oGradiente • fun¸. trigonom´tricas inversas c e fun¸˜es def. por ramos coMatrizJacobiana • fun¸. logar´ c ıtmicas e exponenc. ...Derivada da ...CompostaImpl´ ıcitaExtremos 24/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadas Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es nos pontos coparciais indicados:Derivadas deordem superior 1 f (x, y ) = x 2 + y 2 no ponto (1, 2).T. Schwarz 2 SejaClasse C k (A) √ xy se xy > 0Diferenciabil. f (x, y ) =Plano tang. 0 se xy ≤ 0Diferencial no ponto (0, 0).GradienteMatriz 3 SejaJacobiana x3 x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Derivada da f (x, y ) =Composta 0 se (x, y ) = (0, 0)Impl´ ıcitaExtremos no ponto (0, 0). 25/1
    • AM2 Fun¸˜o escalar diferenci´vel ca aDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior Defini¸˜o (diferenci´vel) ca aT. SchwarzClasse C k (A) Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf .Diferenciabil. Diz-se que f ´ diferenci´vel em a se existem as suas derivadas e aPlano tang. parciais neste ponto e seDiferencial ∂f ∂fGradiente f (a + h) − f (a) − ∂x1 (a)h1 − ... − ∂xn (a)hn lim =0Matriz (h1 ,...,hn )→(0,...,0) 2 2Jacobiana h1 + ... + hnDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 26/1
    • AM2 Propriedades das fun¸˜es coDerivadasdirecionais diferenci´veis aDerivadas Seja f : D ⊂ Rn −→ R, a ∈ intDfparciaisDerivadas de f diferenci´vel em a ⇒ f cont´ a ınua em a.ordem superior f tem n − 1 der. parc. cont. em a ⇒ f dif. em a.T. Schwarz existem todas as der. parc. na B aClasse C k (A) f ∈ C 1 (a) ⇒ f ´ diferenci´vel em a. e aDiferenciabil.Plano tang. f ´ diferenci´vel em a ⇒ f admite derivada segundo e aDiferencial qualquer direc¸˜o em a. caGradiente ou seja,MatrizJacobiana f n˜o ´ cont´ a e ınua em a ⇒ f n ´ diferenci´vel em a. e aDerivada da f tem n − 1 der. parc. cont. em aComposta ⇒ f dif. em a. existem todas as der. parc. em aImpl´ ıcitaExtremos f ∈ C 1 (a) ⇒ f ´ diferenci´vel em a. e a f n˜o admite derivada segundo alguma direc¸˜o em a ca a ⇒ f n˜o ´ diferenci´vel em a. a e a 27/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadas Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es nos pontos codirecionais indicados:Derivadasparciais 1 SejaDerivadas de 2x−3yordem superior x+y se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) =T. Schwarz 0 se (x, y ) = (0, 0)Classe C k (A) no ponto (0, 0).Diferenciabil.Plano tang. 2 Seja x4Diferencial x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) =Gradiente 0 se (x, y ) = (0, 0)MatrizJacobiana no ponto (0, 0).Derivada daComposta 3 Seja y3Impl´ ıcita x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) =Extremos 0 se (x, y ) = (0, 0) no ponto (0, 0). 28/1
    • AM2 Plano tangenteDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 29/1
    • AM2 Vamos procurar determinar o plano tangente ao gr´fico de a f :R 2 −→ R no ponto (a, b).Derivadasdirecionais Equa¸˜o do plano que passa no ponto (a, b, c): caDerivadasparciais A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0Derivadas deordem superiorT. Schwarz Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ouClasse C (A)k seja,Diferenciabil. A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0Plano tang.Diferencial A BGradiente z − f (a, b) = − (x − a) − (y − b) C CMatrizJacobiana A B chamando λ1 = − C e λ2 = − C temosDerivada daCompostaImpl´ ıcita z − f (a, b) = λ1 (x − a) + λ2 (y − b)Extremos 30/1
    • AM2 Quando “cortamos” em y = b obtemosDerivadasdirecionais z − f (a, b) = λ1 (x − a)Derivadasparciais que ´ a recta tangente ao gr´fico de f que ´ paralela ao eixo e a eDerivadas de ∂fordem superior dos xx’s, portanto o seu declive ´ ∂x (a, b) = λ1 . eT. Schwarz Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemosClasse C k (A)Diferenciabil. z − f (a, b) = λ2 (y − b)Plano tang.Diferencial que ´ a recta tangente ao gr´fico de f que ´ paralela ao eixo e a e ∂fGradiente dos yy’s, portanto o seu declive ´ ∂y (a, b) = λ2 . Assim, a eMatrizJacobiana equa¸˜o ´ ca eDerivada daComposta ∂f ∂f z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)Impl´ ıcita ∂x ∂yExtremos 31/1
    • AM2Derivadas Resumindo:direcionais A equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f no ponto ca aDerivadasparciais (a, b, f (a, b)) ´: eDerivadas deordem superior ∂f ∂fT. Schwarz z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) ∂x ∂yClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang. Exerc´ ıcio: Determine o plano tangente:Diferencial 1 ao gr´fico da fun¸˜o f (x, y ) = 2x 2 + y 2 em P=(1,1,3). a caGradienteMatriz 2 ` superf´ de equa¸˜o z − 2x 2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18). a ıcie caJacobianaDerivada da 3 ` superf´ de equa¸˜o z = 1 − x 2 em P=(0,0,1). (ver a ıcie caComposta fig.)Impl´ ıcitaExtremos 32/1
    • AM2 Nota: Repare que se f ´ diferenci´vel no ponto (a, b) e a ∂f ∂fDerivadas f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂x (a, b)h − ∂y (a, b)kdirecionais lim √ =0Derivadas (h,k)→(0,0) h2 + k 2parciais √Derivadas de como lim(h,k)→(0,0) h2 + k 2 = 0 tem-se que (ainda comordem superior “mais for¸a”) cT. SchwarzClasse C k (A) ∂f ∂fDiferenciabil. lim f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b)h − (a, b)k = 0Plano tang. (h,k)→(0,0) ∂x ∂yDiferencial donde, para h e k pequenosGradienteMatrizJacobiana ∂f ∂f f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b)h − (a, b)k ≈ 0Derivada da ∂x ∂yCompostaImpl´ ıcita ou seja:Extremos ∂f ∂f f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + (a, b)h + (a, b)k ∂x ∂y 33/1
    • AM2Derivadasdirecionais ∂f ∂f f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + (a, b)h + (a, b)kDerivadasparciais ∂x ∂yDerivadas de fazendo x = a + h e y = b + kordem superior tem-se, para (x, y ) pr´ximos de (a, b), que oT. SchwarzClasse C k (A) ∂f ∂fDiferenciabil. f (x, y ) ≈ f (a, b) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) ∂x ∂yPlano tang.Diferencial Ou seja, f (x, y ) ´ aproximadamente igual ao plano tangente eGradiente para (x, y ) pr´ximos de (a, b). oMatrizJacobiana Portanto podemos usar o plano tangente como umaDerivada da aproxima¸˜o (por um polin´mio de grau 1) ao gr´fico de f ca o aComposta numa vizinhan¸a (bola) do ponto. cImpl´ ıcitaExtremos 34/1
    • AM2 DiferencialDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior Se f ´ diferenci´vel em (a, b) e aT. SchwarzClasse C k (A) ∂f ∂fDiferenciabil. f (x, y ) − f (a, b) ≈ (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)Plano tang. ∂x ∂yDiferencial ∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)GradienteMatriz para x “pr´ximo” de a oJacobiana e y “pr´ximo” de b. oDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 35/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 36/1
    • AM2Derivadasdirecionais Exerc´ ıciosDerivadasparciais 1 Calcule um valor aproximado de e 1.1×0.9 .Derivadas deordem superior 2 Calcule um valor aproximado de 9 × (1.95)2 + (8.01)2 .T. Schwarz 3 Seja g ∈ C 1 (R2 ) tal queClasse C k (A)Diferenciabil. x=2.00 x=2.01Plano tang. y=3.00 7.56 7.42Diferencial y=3.02 7.61Gradiente Calcule o valor em falta. (Sugest˜o: use estimativas para aMatriz ∂gJacobiana ∂x (2, 3))Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 37/1
    • AM2 O gradienteDerivadasdirecionaisDerivadasparciais Defini¸˜o caDerivadas deordem superior Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente deT. Schwarz f no ponto a por:Classe C k (A)Diferenciabil. ∂f ∂f f (a) = (a), · · · , (a)Plano tang. ∂x1 ∂xnDiferencialGradienteMatrizJacobiana Exerc´ ıcio: Calcule f (1, 2) onde f (x, y ) = y ln(x) + xy 2 .Derivada daCompostaImpl´ ıcita http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.htmlExtremos 38/1
    • AM2 Aplica¸˜o do gradiente: derivada caDerivadasdirecionais segundo a dire¸˜o de v caDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A) Proposi¸˜o caDiferenciabil. Se f : Df ⊂ Rn −→ R ´ diferenci´vel em a ∈ int(D) e v ´ um e a ePlano tang. vector de Rn ent˜o a derivada de f segundo a dire¸˜o de v a caDiferencial ´ dada por eGradiente fv (a) = f (a)|vMatrizJacobiana onde | significa produto interno.Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 39/1
    • AM2 Exerc´ ıcios:DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Calcule:Derivadas de 1 A derivada de f (x, y ) = x 2 e −2y no ponto A = (2, 0),ordem superior segundo o vector v = (1, 2).T. SchwarzClasse C k (A) 2 A derivada direccional de f (x, y ) = x 3 + xy segundo oDiferenciabil. vector v = (1, 3) no ponto (1, 2).Plano tang. 3 A derivada de f (x, y ) = 3x 2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),Diferencial na direc¸˜o de P = − 3 , 0 para Q = (0, 1). ca 4Gradiente 4 Determine a taxa de varia¸˜o de caMatrizJacobianaDerivada da f (x, y ) = 2x 2 + 3xy − 2y 2CompostaImpl´ ıcita no ponto (1, −2) na direc¸˜o do ponto dado ` origem. ca aExtremos 40/1
    • AM2 Nota: Se o vector v ´ unit´rio (tem norma 1), a derivada e a direccional de f no ponto a segundo a direc¸˜o do vector v : caDerivadasdirecionais fv (a) = f (a)|v = f (a) v cos(α) = f (a) cos(α)Derivadasparciais onde α ´ o menor ˆngulo formado pelos vectores f (a) e v . e aDerivadas de Ent˜o: aordem superior fv (a) ´ nula quando v e f (a) s˜o perpendiculares, ou e aT. SchwarzClasse C k (A) seja, o vector gradiente ´ perpendicular `s linhas de e aDiferenciabil. n´ıvel.Plano tang. fv (a) ´ m´xima quando α = 0, ou seja, quando f (a) e e aDiferencial v s˜o dois vectores com a mesma direc¸˜o e sentido, e o a caGradiente seu valor ´ e f (a) . Assim a direc¸˜o de crescimento caMatrizJacobiana m´ximo de f ´ dada por f (a). a eDerivada da fv (a) ´ m´ e ınima quando α = π, ou seja, quando f (a) eComposta v s˜o dois vectores com a mesma direc¸˜o e sentidos a caImpl´ ıcitaExtremos contr´rios, e o seu valor ´ − a e f (a) . Assim a direc¸˜o ca de crescimento m´ ınimo (m´ximo negativo) de f ´ a e dada por − f (a). 41/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 42/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 43/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 44/1
    • AM2 Exerc´ ıcios IDerivadasdirecionaisDerivadas 1 Seja f (x, y ) = 2x 2 y + e xy uma fun¸˜o diferenci´vel no seu ca aparciais dom´ınio.Derivadas deordem superior 1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-oT. Schwarz graficamente.Classe C k (A) 2 Calcule f(1,1) (1, 0).Diferenciabil. 3 Determinar um vector unit´rio u de modo que aPlano tang. fu (−1, 0) = 1 . 2Diferencial 4 Qual o valor m´ximo da derivada direccional de f no ponto aGradiente (1, 1)?Matriz 2 +yJacobiana 2 Considere o campo escalar f (x, y ) = e x − 2xy .Derivada daComposta 1 Calcule as fun¸˜es derivadas parciais de primeira ordem de coImpl´ ıcita f e justifique que f ∈ C 1 (R2 ).Extremos 2 Determine os vectores segundo o qual a taxa de varia¸˜o ca de f no ponto (1,-1) ´ nula. e 45/1
    • AM2 Exerc´ ıcios IIDerivadasdirecionais 3 Numa placa semi-circular x 2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 aDerivadas temperatura ´ dada pela lei eparciaisDerivadas de T (x, y ) = 3yx 2 − x 3 + 60ordem superiorT. Schwarz Determine um vector no ponto P = (1, 1) tangente ` aClasse C k (A)Diferenciabil. isot´rmica que passa nesse ponto. ePlano tang. 4 Considere o campo escalar definido em R2 porDiferencialGradiente f (x, y ) = x 2 e −2yMatrizJacobiana e o ponto P = (−2, 0). DetermineDerivada daComposta 1 A dire¸˜o segundo a qual a fun¸˜o cresce mais ca caImpl´ ıcita rapidamente em P.Extremos 2 O valor m´ximo da derivada direcional no ponto P. a 3 A dire¸˜o segundo a qual fv (2, 0) = 0 ca 46/1
    • AM2 Derivada segundo a dire¸˜o de v caDerivadasdirecionais para fun¸oes vectoriais c˜Derivadas Seja f : Df ⊂ Rn −→ Rm e a ∈ intDf ondeparciais f (x1 , ...xn ) = (f1 (x1 , ...xn ), ..., fm (x1 , ...xn ))Derivadas deordem superiorT. Schwarz Para fun¸˜es vectoriais temos que coClasse C k (A) fv (a) = f1 v (a), ..., fm v (a)Diferenciabil.Plano tang. ou seja, se cada uma das fun¸˜es componentes for diferenci´vel co aDiferencial fv (a) =Gradiente ∂f1 ∂f1 ∂fm ∂fm ∂x1 (a).v1 + ... + ∂xn (a).vn , . . . , ∂x1 (a).v1 + ... + ∂xn (a).vnMatrizJacobianaDerivada daComposta Matricialmente:Impl´ ıcita  ∂f1 ∂f1 Extremos ∂x1 (a) ... ∂xn (a) v1 . . .  .  fv (a) =  . . .  .   . . . . ∂fm ∂fm vn ∂x1 (a) . . . ∂xn (a) 47/1
    • AM2 Jacobiana e JacobianoDerivadasdirecionaisDerivadasparciais Defini¸˜o caDerivadas deordem superior Chama-se matriz Jacobiana de f em a aT. Schwarz  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) . . . ∂xn (a)Classe C k (A)Diferenciabil. Jf (a) =   . . . . . . Plano tang. . . .  ∂fm ∂fmDiferencial ∂x1 (a) . . . ∂xn (a)GradienteMatrizJacobianaDerivada daComposta Se m = n, o determinante da matriz Jacobiana pode serImpl´ ıcita calculado e chama-se o Jacobiano.Extremos 48/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais √Derivadasparciais 1 Seja f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 , y − x calcule a matrizDerivadas de Jacobiana de f no ponto (0, 1) e verifique que o Jacobianoordem superior nesse ponto ´ − 1 . e 3T. SchwarzClasse C k (A) 2 Considere a fun¸˜o vectorial f : Df ⊂ R2 −→ R2 cujas caDiferenciabil. fun¸˜es componentes s˜o co aPlano tang. 2xDiferencial f1 (x, y ) =Gradiente y −2MatrizJacobiana eDerivada da f2 (x, y ) = ln(y − x + 2)CompostaImpl´ ıcita calcule a derivada parcial de f segundo o vector (0, 1) noExtremos ponto (1, 1). 49/1
    • AM2 Revis˜o (em R) aDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior [sen(x 2 )] = cos(x 2 ).2xT. SchwarzClasse C k (A) poisDiferenciabil. [f (g (x))] = f (g (x)).g (x)Plano tang.Diferencial ou seja, num ponto aGradienteMatriz [f (g (x))] (a) = f (g (a)).g (a)JacobianaDerivada da desde que f seja diferenci´vel em g (a) e g em a. aCompostaImpl´ ıcitaExtremos 50/1
    • AM2 Regra da Cadeia- vers˜o 1 aDerivadasdirecionaisDerivadasparciais SejamDerivadas de g : Dg ⊂ Rn −→ Rpordem superiorT. Schwarz eClasse C (A)k f : Df ⊂ Rp −→ RmDiferenciabil. duas fun¸˜es vectoriais. coPlano tang. Se g ´ diferenci´vel em a ∈ intDg e e aDiferencialGradiente e f ´ diferenci´vel em g (a) ∈ intDf e aMatriz ent˜o aJacobiana h = f ◦ g : Dh ⊂ Rn −→ Rm ´ diferenci´vel em a e tem-se: e aDerivada daCompostaImpl´ ıcita Jh (a) = Jf (g (a)) × Jg (a)Extremos 51/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais 1 SejamDerivadasparciais f (x, y , z) = (xy , yz)Derivadas deordem superior eT. Schwarz g (u, v ) = (2u + v 2 , 3u 2 − v ). kClasse C (A)Diferenciabil. Sendo h = g ◦ f calcule Jh (0, 1, 0).Plano tang.Diferencial 2 SejamGradiente f (x, y , z) = (x 2 + y 2 , y 2 + z 2 )MatrizJacobiana eDerivada daCompostaImpl´ ıcita g (u, v , w , s) = (2uw + (sv )2 , 3su 2 − vw , uvws).Extremos Sendo h = f ◦ g calcule Jh (0, 1, 1, 0). 52/1
    • AM2 Regra da cadeia- vers˜o 2 aDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Suponhamos que f (x, y ) ´ uma fun¸˜o diferenci´vel e que e ca aordem superior x = x(u, v ) e y = y (u, v ) s˜o duas fun¸˜es diferenci´veis, a co aT. Schwarz ent˜o g (u, v ) = f (x(u, v ), y (u, v )) ´ uma fun¸˜o diferenci´vel a e ca aClasse C k (A) de u e v , tendo-seDiferenciabil.Plano tang. ∂g ∂f ∂x ∂f ∂yDiferencial = (x(u, v ), y (u, v )). (u, v )+ (x(u, v ), y (u, v )). (u, v ∂u ∂x ∂u ∂y ∂uGradienteMatriz ∂g ∂f ∂x ∂f ∂yJacobiana = (x(u, v ), y (u, v )). (u, v )+ (x(u, v ), y (u, v )). (u, vDerivada da ∂v ∂x ∂v ∂y ∂vCompostaImpl´ ıcitaExtremos 53/1
    • AM2 Exerc´ ıcios: IDerivadasdirecionaisDerivadasparciais 1 Sejam f (u, v ) = u 3 + uvDerivadas deordem superior com u(x, y ) = xy 2 e v (x, y ) = x sin(y ), ∂f ∂fT. Schwarz calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ) (pelos dois m´todos). eClasse C k (A)Diferenciabil. 2 u(x, y , z) = x + 2y + 3z comPlano tang. 1 x(t) = t 2 − 2t, y (t) = cos(1 − t) e z(t) = t2 .DiferencialGradiente Calcule ∂u para t = 1. ∂tMatrizJacobiana 3 Sejam f (u, v ) = u 2 v 3Derivada daComposta com u(x, y ) = x + y e v (x, y ) = x 2 − y 2 , ∂f ∂fImpl´ ıcita calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ).Extremos 54/1
    • AM2 Exerc´ ıcios: IIDerivadas 4 Verifique que a fun¸˜o cadirecionaisDerivadasparciais x z = xy + xϕDerivadas de yordem superiorT. Schwarz satisfaz a equa¸˜o caClasse C k (A)Diferenciabil. ∂z ∂z x +y = xy + zPlano tang. ∂x ∂yDiferencialGradiente 5 Seja f uma fun¸˜o diferenci´vel. Prove que ca aMatrizJacobiana z = xy + f (x 2 + y 2 )Derivada daCompostaImpl´ ıcita satisfaz a equa¸˜o caExtremos ∂z ∂z y −x = y2 − x2 ∂x ∂y 55/1
    • AM2 Exerc´ ıcios: IIIDerivadas 6 Seja h : IR 2 −→ R uma fun¸˜o de classe C 1 (R2 ) e cadirecionaisDerivadas g (s, t) = h(s 2 − t 2 , t 2 − s 2 ).parciaisDerivadas deordem superiorT. Schwarz 1 Mostre que k ∂g ∂gClasse C (A) t +s =0Diferenciabil. ∂s ∂tPlano tang. 2 Supondo que Jh (3, −3) = [2 5] calcule Jg (2, 1).Diferencial 7 Seja f uma fun¸˜o real de vari´vel real continuamente ca aGradiente diferenci´vel at´ pelo menos ` 2a ordem e seja a e aMatrizJacobianaDerivada da u = xy + f (z)Composta yImpl´ ıcita com z = x2 e x = 0. Mostre queExtremos ∂2u 1 ∂2f = 4 2. ∂y 2 x ∂z 56/1
    • AM2 Exerc´ ıcios: IVDerivadas 8 Sabendo quedirecionaisDerivadasparciais y2 1 ϕ(x, y ) = +θ + ln(y )Derivadas de 2 xordem superiorT. Schwarz onde ϕ e θ s˜o fun¸˜es de classe C 2 , no respectivo a coClasse C k (A) dom´ınio, mostrar que:Diferenciabil.Plano tang. 1 ∂2ϕ 1 ∂2ϕ 2 ∂ϕDiferencial 2 ∂y ∂x + 2 + =0 x y ∂x xy ∂xGradienteMatrizJacobiana 9 Seja F : IR 2 −→ R3 uma fun¸˜o diferenci´vel tal que ca   aDerivada da 1 0Composta F (0, 1) = (1, 1, 0), JF (0, 1) =  0 1  eImpl´ ıcita 1 0Extremos G (u, v , w ) = ue vw + uvw . Calcule (G ◦ F ) (0, 1) 57/1
    • AM2 Exerc´ ıcios: VDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior 10 Considere f : IR 2 −→ R uma fun¸˜o diferenci´vel tal que ca aT. Schwarz f (u, 0) = 0 e f (0, v ) = v , ∀u, v ∈ R eClasse C k (A)Diferenciabil. g (x, y ) = (x 2 − x − y , y 2 − x − y )Plano tang.DiferencialGradiente 1 Mostre que h = f ◦ g ´ diferenci´vel em R2 e aMatriz 2 Calcule Jh (2, 2).JacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 58/1
    • AM2Derivadasdirecionais Teorema da Fun¸˜o Impl´ ca ıcita (TFI)Derivadas Consideremos x ∈ Rn , u ∈ R, a equa¸˜o F (x, u) = 0 e A um caparciais conjunto aberto que cont´m (x0 , u0 ). Se eDerivadas deordem superior F (x0 , u0 ) = 0T. Schwarz F ∈ C 1 (A)[as der. parciais de F s˜o cont´ a ınuas em A]Classe C k (A) ∂FDiferenciabil. ∂u (x0 , u0 ) =0Plano tang. Ent˜o, numa vizinhan¸a V de x0 , u = u(x), u ∈ C 1 (V ) tal que a cDiferencial u0 = u(x0 ) e F (x, u(x)) = 0.Gradiente Al´m disso, e ∂F ∂u ∂x (x0 , u0 )MatrizJacobiana (x0 ) = − ∂FiDerivada da ∂xi ∂u (x0 , u0 )CompostaImpl´ ıcitaExtremos 59/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadasparciais 1 Mostre que a equa¸˜o x 2 z + 3xz 2 = 4xy define caDerivadas de x = φ(y , z) numa vizinhan¸a do ponto (0, 1, 0). Calcule c ∂xordem superior ∂y (1, 0).T. Schwarz 2 Determine para que valores de k a equa¸˜o caClasse C k (A) x 2 + yz + z 2 + xz = 7 define z = φ(x, y ) numa vizinhan¸a cDiferenciabil. ∂zPlano tang. do ponto (2, 0, k). Calcule ∂y (2, 0).Diferencial 3 Mostre que a equa¸˜o x 2 + y 2 e xy = 1 define caGradiente implicitamente y como fun¸˜o de x, y = φ(x), na caMatrizJacobiana vizinhan¸a do ponto (0, 1). cDerivada da 4 Seja h(x, y ) = xy + cos(x). Mostre que a equa¸˜o caComposta h(x, y ) = π define localmente y = φ(x) numa vizinhan¸a 2 cImpl´ ıcita π ∂y πExtremos do ponto 2 , 1 . Determine ∂x 2 . 60/1
    • AM2 Vimos atr´s que para uma fun¸˜o z = f (x, y ) diferenci´vel em a ca a (a, b) existe um plano tangente definido pela equa¸˜o caDerivadasdirecionais ∂f ∂fDerivadas z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)parciais ∂x ∂yDerivadas deordem superior Consideremos que se tem uma equa¸˜o caT. SchwarzClasse C k (A) F (x, y , z) = 0Diferenciabil.Plano tang. que define implicitamente z como fun¸˜o de x e y na caDiferencial vizinhan¸a de um ponto (a, b, c) ent˜o, c aGradiente ∂F ∂f ∂x (a, b, c)MatrizJacobiana (a, b) = − ∂FDerivada da ∂x ∂z (a, b, c)CompostaImpl´ ıcita e ∂FExtremos ∂f ∂y (a, b, c) (a, b) = − ∂F . ∂y ∂z (a, b, c) 61/1
    • AM2 Substituindo na equa¸˜o do plano tangente: ca ∂F ∂FDerivadas ∂x (a, b, c) ∂y (a, b, c)direcionais z − f (a, b) = − ∂F (x − a) − ∂F (y − b) ∂z (a, b, c) ∂z (a, b, c)Derivadasparciais ∂F ∂F ∂x (a, b, c) ∂y (a, b, c)Derivadas deordem superior ∂F (x − a) + ∂F (y − b) + z − c = 0 ∂z (a, b, c) ∂z (a, b, c)T. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil. ∂F ∂F ∂FPlano tang. (a, b, c)(x − a) + (a, b, c)(y − b) + (a, b, c)(z − c) = 0Diferencial ∂x ∂y ∂zGradienteMatrizJacobiana ∂F ∂F ∂FDerivada da (a, b, c), (a, b, c), (a, b, c) |(x −a, y −b, z −c) = 0Composta ∂x ∂y ∂zImpl´ ıcitaExtremos F (a, b, c)|(P − P0 ) = 0, com P = (x, y , z) e P0 = (a, b, c). 62/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Portanto o plano tangente ´ o conjunto dos pontos eordem superior P = (x, y , z) que definem com P0 = (a, b, c) vectores P − P0T. Schwarz perpendiculares ao vector gradiente.Classe C k (A)Diferenciabil.Plano tang. Nota: O vector gradiente ´ perpendicular ao plano tangente ao eDiferencial gr´fico. aGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 63/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadas A recta normal ` superf´ de equa¸˜o F (x, y , x) = 0 no a ıcie caparciais ponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a direc¸˜o do vector caDerivadas deordem superior gradiente , pelo que ´ definida pelas seguintes equa¸˜es: e coT. Schwarz  ∂FClasse C k (A)  x-a=λ ∂x (a, b, c)   Diferenciabil. Plano tang. y-b=λ ∂F (a, b, c), ∂y λ∈R  Diferencial   z-c=λ ∂F (a, b, c) Gradiente ∂zMatrizJacobiana (equa¸˜o param´trica da recta normal ` superf´ ca e a ıcie)Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 64/1
    • AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais 1 Considere a superf´ de equa¸˜o x 2 + y 2 − z 2 = 6 e o ıcie caDerivadas ponto P = (3, −1, 2).parciaisDerivadas de 1 Determine a equa¸˜o do plano tangente ` superf´ em P. ca a ıcieordem superior 2 Determine a equa¸˜o da recta normal ` superf´ em P. ca a ıcieT. Schwarz 2 Considere a equa¸˜o caClasse C k (A)Diferenciabil. π xyz sin(xyz) − = 0.Plano tang. 2DiferencialGradiente 1 Verifique que a equa¸˜o dada define implicitamente uma caMatriz fun¸˜o z = φ(x, y ) numa vizinhan¸a de P = (1, 1, π ). ca c 2Jacobiana 2 Determine a equa¸˜o do plano tangente ` superf´ ca a ıcie noDerivada daComposta ponto P.Impl´ ıcita 3 Determine a equa¸˜o da recta normal ` superf´ ca a ıcie noExtremos ponto P. 4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9) considerando π ≈ 1.57. 2 65/1
    • AM2 ExtremosDerivadasdirecionais Defini¸˜o: caDerivadasparciais Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a ∈ DfDerivadas de f (a) ´ um m´ximo relativo ou local de f se existe uma e aordem superior vizinhan¸a V (a) tal que cT. SchwarzClasse C k (A) f (a) ≥ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).Diferenciabil.Plano tang. f (a) ´ um m´ e ınimo relativo ou local de f se existe umaDiferencial vizinhan¸a V (a) tal que cGradienteMatriz f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).JacobianaDerivada daComposta O maior dos m´ximos relativos ´ o m´ximo absoluto. a e aImpl´ ıcita O menor dos m´ınimos relativos ´ o m´ e ınimo absoluto.Extremos Chamam-se extremos aos m´ximos e aos m´ a ınimos de f . A a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f . 66/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadas Chamam-se pontos cr´ ıticos ou pontos de estacionaridadeparciais aos pontos que verificam o sistema:Derivadas deordem superior  ∂fT. Schwarz  ∂x1 = 0 Classe C k (A) . .Diferenciabil.  ∂f . ∂xn = 0 Plano tang.DiferencialGradiente Os extremos encontram-se entre os pontos cr´ıticos.MatrizJacobiana Os pontos cr´ ıticos que n˜o s˜o extremos s˜o pontos de sela. a a aDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 67/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 68/1
    • AM2Derivadasdirecionais A matriz Hesseana de f ´: eDerivadasparciais ∂2f ∂2f ∂x 2 ∂x∂yDerivadas deordem superior Hf = ∂2f ∂2f ∂y ∂x ∂y 2T. SchwarzClasse C k (A) ∂2fDiferenciabil. Sejam ∆1 = ∂x 2 , ∆2 = det(Hf ) , ent˜o: aPlano tang. ∆2 > 0, ∆1 > 0, → M´ ınimo local.Diferencial ∆2 > 0, ∆1 < 0, → M´ximo local. aGradiente ∆2 < 0 → Ponto de sela.MatrizJacobiana ∆2 = 0 → Nada se conclui.Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 69/1
    • AM2 Exerc´ ıcios IDerivadasdirecionaisDerivadas Calcule e classifique os extremos deparciais 1 f (x, y ) = y 2 − x 2 .Derivadas de 2 +4y 2ordem superior 2 f (x, y ) = e −x .T. SchwarzClasse C k (A) 3 f (x, y ) = (x − y )2 − x 4 − y 4 .Diferenciabil. 4 f (x, y ) = y + x sin y (dif).Plano tang. 5 f (x, y ) = 3x 2 − y 2 .Diferencial y3 x3 7Gradiente 6 f (x, y ) = 3 + 12y − 4x + 3 − 2 y 2 + 4.Matriz 7 f (x, y ) = x2 + y 2 + x 2 y + 4.JacobianaDerivada da 8 f (x, y ) = 4xy − 2x 2 − y 4 .CompostaImpl´ ıcita 9 f (x, y ) = xy 2 + x 2 + y 2 .Extremos 10 f (x, y ) = x 3 + 3x 2 − 9x + y 3 + 3y 2 . 70/1
    • AM2 Exerc´ ıcios IIDerivadasdirecionais 1 Uma empresa produz dois produtos que s˜o vendidos em aDerivadasparciais dois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidasDerivadas de pelos consumidores e os pre¸os de cada produto est˜o c aordem superior relacionados. O lucro total da produ¸˜o ´ dado por ca eT. Schwarz 2 2 L = −10 + 5q1 − q1 + 20q2 − 2q2 − 3q1 q2 . Determine aClasse C k (A) quantidade a produzir de cada produto de modo aDiferenciabil. maximizar o lucro.Plano tang.Diferencial 2 Um m´ tem um controlo remoto que ´ sens´ ` ıssil e ıvel aGradiente temperatura e ` humidade. O alcance sobre o qual o aMatriz m´ pode ser controlado ´ dado, em km, por: ıssil eJacobianaDerivada daComposta A(h, t) = 27800 − 5t 2 − 6ht − 3h2 + 400t + 300hImpl´ ıcitaExtremos Quais s˜o as condi¸˜es atmosf´ricas optimais para a co e controlar o m´ ıssil? 71/1
    • AM2 Exerc´ ıcios IIIDerivadasdirecionais 3 Suponha que pretende transportar 2m3 de parafusos emDerivadasparciais caixas como a da figura, com largura l, comprimento c eDerivadas de altura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam aordem superior 10e/m2 e o fundo a 20e/m2 . O custo de transportarT. Schwarz uma caixa ´ de 3. Qual a largura e o comprimento das eClasse C k (A) caixas a comprar de modo a minimizar os custos?Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daComposta Determine apenas o sistema que teria que utilizar paraImpl´ ıcitaExtremos resolver o problema. (Como o sistema n˜o ´ linear n˜o ´ a e a e f´cil encontrar a solu¸˜o.) a ca 72/1
    • AM2 Exerc´ ıcios IVDerivadasdirecionaisDerivadas 4 Determine os valores extremos da fun¸˜o caparciais f (x, y , x) = x − 2y + 2z 2 sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.Derivadas deordem superior 5 Dado um paralelep´ ıpedo de lados x,y e z, determine o queT. Schwarz tem maior volume entre os que x+y+z=10.Classe C k (A) 6 Qual o rectˆngulo de maior ´rea inscrito na elipse a aDiferenciabil. 2x 2 + 3y 2 = 1.Plano tang.Diferencial 7 Determine a distˆncia m´xima e m´ a a ınima do ponto (1, 1) ` aGradiente par´bola y = x 2 + 1. aMatrizJacobiana 8 Determine a distˆncia m´xima e m´ a a ınima da origem ` curva aDerivada da 5x 2 + 6xy + 5y 2 = 8.Composta 9 Determine a distˆncia m´xima e m´ a a ınima da origem ` curva aImpl´ ıcita 2x 2 + 3y 2 = 1.Extremos 73/1
    • AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferencial Autora:Gradiente Sandra Gaspar MartinsMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcita Com base no trabalho de:Extremos Nuno David Lopes e Cristina Janu´rio a 74/1