´ Electromagn´tisme et transmission            e            des ondes                          GEL-2900/GEL-3002          ...
NOTES :   • Les unit´s utilis´es sont toutes en SI ou en SI-d´riv´e (longueur : m, masse : kg,             e        e     ...
Table des mati`res              e1 Notions de base                                                                        ...
vi                                                                                `                                       ...
`TABLE DES MATIERES                                                                                                       ...
viii                                                                                    `                                 ...
`TABLE DES MATIERES                                                                                                ix   9....
0-0                                                                                                     `                 ...
Chapitre 1Notions de base1.1       Les champsUn champ est une entit´ physique difficile ` concevoir mais qui existe bel et b...
1-2                                                                                    Notions de base      temporelle de ...
1.2 Phaseur                                                                                           1-31.2         Phase...
1-4                                                                                Notions de base      (soustraction) de ...
1.3 Int´grales de ligne et de surface       e                                                                             ...
1-6                                                                                                               Notions ...
1.3 Int´grales de ligne et de surface       e                                                                             ...
1-8                                                                                     Notions de base                   ...
1.3 Int´grales de ligne et de surface       e                                                                             ...
1-10                                                                                                 Notions de base      ...
1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green      e e                                                                              ...
1-12                                                                                         Notions de base              ...
1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green      e e                                                                              ...
1-14                                                                                        Notions de base       Exercice...
Chapitre 2Les champs et les mat´riaux                     e2.1      IntroductionAvant d’entreprendre une ´tude de l’´lectr...
2-16                                                                         Les champs et les mat´riaux                  ...
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Electromagnetique grenier
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Electromagnetique grenier

1,335
-1

Published on

Published in: Technology
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
1,335
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
57
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Electromagnetique grenier

  1. 1. ´ Electromagn´tisme et transmission e des ondes GEL-2900/GEL-3002 Dominic Grenier D´partement de g´nie ´lectrique et de g´nie informatique e e e e Universit´ Laval e Qu´bec (QC), G1V 0A6 e Automne 2012c DG-2000,2001,2004
  2. 2. NOTES : • Les unit´s utilis´es sont toutes en SI ou en SI-d´riv´e (longueur : m, masse : kg, e e e e temps : s, courant : A, puissance : W, tension : V, charge : C, fr´quence : Hz . . . ). e • – Les vecteurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras (e.g. E). e e – Les composantes d’un vecteur sont sp´cifi´es par l’entremise de leur coordonn´e e e e mise en indice inf´rieur (e.g. Ex ou Eθ ). e – Les phaseurs et les quantit´s complexes qui en d´coulent, avec un module et e e une phase, sont plutˆt repr´sent´s par leur identificateur surmont´ d’une barre o e e e ¯ ¯ ¯ (e.g. E, Eθ ou Zi ). – Ainsi, les vecteurs-phaseurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras e e ¯ surmont´ d’une barre (e.g. E). e – Finalement, les modules d’un phaseur (en valeur crˆte) ou d’une quantit´ com- e e plexe, ainsi que les scalaires, sont identifi´s par leur identificateur r´gulier (e.g. e e E ou Eθ ou Zi ou h). • Ce document a ´t´ produit par L TEX. ee A Tout au long de l’ouvrage, vous pourrez appr´cier la qualit´ des figures. C’est pourquoi e eje d´sire exprimer ma reconnaissance ` M. Fr´d´ric Jean qui est l’auteur de la majorit´ e a e e ed’entre elles ; il a su composer avec mes exigences parfois capricieuses.
  3. 3. Table des mati`res e1 Notions de base 1-1 1.1 Les champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1 1.2 Phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3 1.3 Int´grales de ligne et de surface . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4 1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-112 Les champs et les mat´riaux e 2-15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-15 2.2 Champ ´lectrique statique . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-15 2.3 Champ d’induction magn´tique statique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-20 2.4 Conducteur et conductivit´ . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-26 2.5 Di´lectrique et champ de d´placement . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-27 2.6 Mat´riau magn´tique et champ magn´tique . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-293 Les lois de Maxwell 3-37 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-37 3.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-37 3.3 Loi d’Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-41 3.4 ´ Equation de continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-44 3.5 ´ Equations de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-45 3.5.1 Charges magn´tiques . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-46 3.5.2 Charges ´lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-47 3.6 Formes diff´rentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-50 3.7 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-51 3.7.1 Composante tangentielle du champ ´lectrique . e . . . . . . . . . . . 3-52 3.7.2 Composante tangentielle du champ magn´tique e . . . . . . . . . . . 3-52 3.7.3 Composante normale du champ d’induction . . . . . . . . . . . . . 3-53 3.7.4 Composante normale du champ de d´placement e . . . . . . . . . . . 3-54 3.7.5 R´sum´ des conditions aux limites . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 3-54 3.7.6 Propri´t´s suppl´mentaires . . . . . . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . 3-554 Statique et Quasi-statique 4-65 4.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-65 4.2 Applications directes aux champs statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-66
  4. 4. vi ` TABLE DES MATIERES 4.3 Voltage et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-71 ´ 4.3.1 Equipotentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-73 4.4 Th´orie des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-75 4.5 ´ Equation de Laplace, m´thode des diff´rences finies e e . . . . . . . . . . . . . 4-78 4.5.1 Interface entre di´lectriques . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-82 4.6 De l’´lectromagn´tisme aux circuits . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-84 4.6.1 Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-85 4.6.2 Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-86 4.6.3 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-88 4.6.3.1 Inductance externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-88 4.6.3.2 Inductance interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-91 4.6.3.3 R´luctance . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-92 4.7 ´ Energie emmagasin´e . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-95 ´ 4.7.1 Energie ´lectrique emmagasin´e . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-95 ´ 4.7.2 Energie magn´tique emmagasin´e . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-98 4.8 Analyse de comportement en quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-101 4.8.1 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-101 4.8.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-105 5 Onde plane uniforme 5-113 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-113 ´ 5.2 Equation d’onde dans un mat´riau sans perte . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-113 5.2.1 D´veloppement de l’´quation d’onde . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 5-114 5.2.2 Solution ` l’´quation d’onde temporelle . . . a e . . . . . . . . . . . . . 5-115 5.2.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-115 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-116 5.4 Puissance et vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-122 5.5 Caract´ristiques de l’onde plane . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-127 5.6 Param`tres de propagation des mat´riaux . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 5-129 5.6.1 Di´lectrique parfait . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-130 5.6.2 Di´lectrique a faibles pertes . . . . . . . . . e ` . . . . . . . . . . . . . 5-131 5.6.3 Bon conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-133 5.6.3.1 Effet de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-135 5.6.4 Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-136 5.7 Propagation dans une direction arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-136 5.7.1 Vecteur de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-138 5.7.2 Vitesses de l’´nergie, de phase et de groupe . e . . . . . . . . . . . . . 5-142 5.8 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-145 5.8.1 Polarisation lin´aire . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-145 5.8.2 Polarisations circulaire et elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-146
  5. 5. `TABLE DES MATIERES vii6 R´flexion et transmission e 6-159 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-159 6.2 Incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-159 6.3 Lois de r´flexion et de r´fraction . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . 6-163 6.4 Incidence oblique avec mat´riaux sans perte . . e . . . . . . . . . . . . . . . 6-165 6.4.1 Polarisation perpendiculaire/horizontale . . . . . . . . . . . . . . . 6-165 6.4.2 Polarisation parall`le/verticale . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 6-169 6.4.3 Analyse et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-171 6.4.3.1 Angle critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-171 6.4.3.2 Angle de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-172 6.4.3.3 Comportement des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 6-174 6.5 Incidence sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-176 6.6 Incidence oblique sur un mat´riau ` pertes . . . e a . . . . . . . . . . . . . . . 6-1777 Ligne de transmission 7-183 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-183 7.2 Mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-184 7.3 Mod`le distribu´ d’une ligne . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-185 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-188 ´ 7.4.1 Equivalences rapides C-G-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-189 7.4.2 Puissance transport´e . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-191 7.5 Effet d’une ligne sans perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-194 7.6 Effet d’une ligne quelconque ` pertes . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-196 7.7 Param`tres distribu´s vs facteur de forme . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-200 7.8 D´termination des param`tres de ligne . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-201 7.8.1 Technique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-202 7.8.2 Technique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-205 7.8.3 Techniques num´riques . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-205 7.9 Mode quasi-TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-210 7.9.1 Constante di´lectrique effective . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-211 7.9.2 Modification aux calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2138 R´gime transitoire sur ligne e 8-221 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2 Rappels des notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2.1 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2.2 Principes de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-222 ´ 8.2.3 Equivalent circuit des interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-223 8.3 Effet de la ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-225 8.4 Transitoire d’un syst`me simple . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-226 8.4.1 Condition ` la source . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-227 8.4.2 Condition ` la charge . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-228 8.4.3 D´veloppement du transitoire . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-228
  6. 6. viii ` TABLE DES MATIERES 8.4.4 Approche raisonn´e . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-230 8.4.5 Signaux en r´gime permanent . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-233 8.5 Diagramme en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-235 8.5.1 Lecture du diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-236 8.6 Distribution de l’´nergie . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-240 8.7 Plusieurs sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-241 8.8 Endroit du changement et conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . 8-244 8.9 Point de jonction sur ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-248 8.9.1 R´sistance parall`le . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-249 8.9.2 R´sistance s´rie . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-250 8.9.3 Jonction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-251 8.9.4 Diagramme en Z avec point de jonction . . . . . . . . . . . . . . . . 8-252 8.10 Imp´dance r´active . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-255 8.10.1 Conditions initiales nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-257 8.10.2 Conditions initiales non-nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-261 8.11 Param`tres S . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-263 8.11.1 Ports sans adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-264 9 R´gime sinuso¨ e ıdal permanent sur ligne 9-275 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-275 9.2 Tension et courant sur la ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-275 9.3 Court-circuit et circuit-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-277 9.3.1 Puissance instantan´e et moyenne . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-282 9.4 Param`tres du r´gime sinuso¨ e e ıdal permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-283 9.4.1 Coefficient de r´flexion g´n´ralis´ . . . . . . . . . e e e e . . . . . . . . . . 9-283 9.4.2 Diagramme d’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-284 9.4.3 Rapport d’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-289 9.4.4 Particularit´s sur les imp´dances vues . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 9-290 9.5 Abaque de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1 Construction de l’abaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1.1 r et x versus u et v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1.2 Superposition des lieux r =cte et x =cte . . . . . . . . . . 9-296 9.5.1.3 Finalisation de l’abaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-297 9.5.2 Param`tres mesurables sur l’abaque . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-297 9.6 Estimation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-304 9.6.1 Principes th´oriques de calcul de charge . . . . . e . . . . . . . . . . 9-304 9.6.2 Estimation exp´rimentale de charge . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-305 9.7 Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-308 9.7.1 Transformateur quart-d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-310 9.7.2 Stub simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-312 9.7.3 Double stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-318 9.7.4 Largeur de bande d’adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-325 9.8 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-326
  7. 7. `TABLE DES MATIERES ix 9.9 Lignes ` pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-331 a10 Guide d’ondes 10-343 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-343 10.2 Modes sup´rieurs dans un guide ` plaques parall`les . . . . e a e . . . . . . . . . 10-345 10.2.1 Fr´quence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-347 10.2.2 Longueur d’onde guid´e . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-349 10.2.3 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-350 10.2.4 Imp´dance intrins`que en mode sup´rieur . . . . . . e e e . . . . . . . . . 10-351 10.2.5 Correspondance avec lignes en mode TEM . . . . . . . . . . . . . . 10-352 10.3 Guide d’ondes rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-354 10.3.1 Analyse math´matique . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-355 10.3.1.1 D´veloppement des ´quations de Maxwell e e . . . . . . . . . 10-356 10.3.1.2 Choix du mode de transmission . . . . . . . . . . . . . . . 10-357 ¯ 10.3.1.3 Expression des champs selon Hz . . . . . . . . . . . . . . . 10-358 ´ ¯ 10.3.1.4 Equation d’onde en Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-358 10.3.1.5 R´solution de l’´quation d’onde . . . . . . e e . . . . . . . . . 10-358 10.3.1.6 Respect des conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . 10-360 10.3.1.7 Expressions finales des autres composantes . . . . . . . . . 10-361 10.3.2 Quelques modes T Emn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-361 10.3.2.1 Mode fondamental T E10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-361 10.3.2.2 Mode T E20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-363 10.3.2.3 Mode T E11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-364 10.3.3 Principaux param`tres . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-365 10.3.3.1 Fr´quence de coupure . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-366 10.3.4 Longueur d’onde guid´e . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-367 10.3.5 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-368 10.3.6 Imp´dance intrins`que en mode sup´rieur . . . . . . e e e . . . . . . . . . 10-369 10.3.7 Mode Transverse Magn´tique . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-369 10.3.8 Conclusion sur les guides rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 10-370 10.4 Guide d’ondes circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-371 10.4.1 Expressions des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-371 10.4.2 Param`tres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-374 10.5 Puissance et ´nergie (T E10 rectangulaire) . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-377 10.5.1 Puissance transport´e . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-377 ´ 10.5.2 Energie emmagasin´e par unit´ de longueur . . . . e e . . . . . . . . . 10-378 10.5.3 Vitesse de l’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-378 10.6 Pertes dans le guide d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-378 10.6.1 Pertes dans le conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-379 10.6.2 Pertes dans le di´lectrique . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-381 10.7 Cavit´s r´sonnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 10-382 10.7.1 Expressions des champs T Emnp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-382 10.7.2 Param`tres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-383
  8. 8. 0-0 ` TABLE DES MATIERES 11 Antennes - introduction 11-391 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-391 11.2 Imp´dance . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-392 11.2.1 R´sistance de rayonnement e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-393 11.2.2 Circuit avec antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-394 11.2.3 Efficacit´ de rayonnement e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-395 11.3 Intensit´ de rayonnement . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-395 11.4 Diagramme de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-397 11.5 Angle solide du faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-399 11.6 Directivit´ et gain . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-400 11.7 Ouverture ou longueur effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-403 11.8 Ouverture vs directivit´ . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-404 11.9 Valeurs pour antennes filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-406 A Syst`me de coordonn´es e e A-409 A.1 Transformations scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-409 A.2 Transformations d’´l´ments diff´rentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e . . A-409 A.3 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-410 B Lettres grecques B-412 C Constantes physiques fondamentales C-413 C.1 Valeurs recommand´es . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-413 C.2 Unit´s SI . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-413 C.3 Unit´s SI suppl´mentaires . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 C.4 Unit´s utilis´es avec SI . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 C.5 Pr´fixes SI . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 D Table des symboles D-415 ´ E Equations de base en EM E-419 ´ E.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 ´ E.2 Equation de continuit´ . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 E.3 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 ´ E.4 Equation du courant de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 E.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419
  9. 9. Chapitre 1Notions de base1.1 Les champsUn champ est une entit´ physique difficile ` concevoir mais qui existe bel et bien et n’a e arien d’un concept th´orique utile pour faciliter l’interpr´tation de ph´nom`nes existants. e e e eLe champ est reli´ ` une r´gion de l’espace ; son existence est d´termin´e par la pr´sence ea e e e ed’un ph´nom`ne physique ` l’int´rieur de cette r´gion. Il est souvent responsable de l’ap- e e a e eplication de forces sur des objets. Tout le monde connaˆ bien le champ gravitationnel de ıtla Terre qui cr´e une force attirant les objets vers son centre. Les champs ´lectriques et e emagn´tiques sont aussi des champs de force reli´s aux forces de r´pulsion ou d’attraction e e e 1´lectriques et magn´tiques . Dans un contexte plus large, on dira qu’un champ est unee equantit´ physique qui varie selon la position dans la r´gion de l’espace. e e Quoique l’invisibilit´ de la gravitation n’empˆche pas celle-ci d’ˆtre facilement comprise e e eet interpr´t´e, il n’en va pas ainsi pour tous les champs. Il faut dire que la gravitation eeest le plus simple des champs. En effet, il existe diff´rents type de champs comme on le ed´taille ci-dessous. e • Le champ peut ˆtre identique partout dans la r´gion de l’espace dans lequel cas on e e le dit uniforme ; • Le champ peut varier en fonction du temps. Il sera donc statique ou variant (dans le temps – “time-varying”) selon qu’il soit ind´pendant ou non du temps ; e • Plus encore, le champ peut ˆtre vectoriel ou scalaire lorsque la quantit´ qu’il repr´sente e e e a une direction dans l’espace ou non respectivement.Ainsi le champ gravitationnel est relativement uniforme, statique et vectoriel contraire-ment au champ ´lectromagn´tique souvent non-uniforme, variant et toujours vectoriel. e eOn peut ouvrir ici une premi`re parenth`se : s’il n’y a pas d’´volution dans le temps, e e ele champ ´lectrique et le champ magn´tique sont dissociables ; par contre une variation e e 1 Il existe quatre types de force dans la nature soit la force gravitationnelle, la force ´lectromagn´tique, e eles forces nucl´aires faible et forte ; on verra que les forces ´lectrique et magn´tique sont en fait une mˆme e e e eforce dite ´lectromagn´tique. e e
  10. 10. 1-2 Notions de base temporelle de l’un ou l’autre rend ces deux champs indissociables d’o` le nom combin´ u e ´lectromagn´tisme. e e La temp´rature et la pression atmosph´rique sont des exemples de champs scalaires ; e e par contre leur gradient sont des quantit´s vectorielles. Soit le cas de la temp´rature dans e e un syst`me de coordonn´es cart´siennes pour bien se fixer les id´es. Si la temp´rature d’une e e e e e pi`ce est assum´e identique partout et fixe dans le temps alors T = cte ; par contre si elle e e est non-uniforme mais toujours constante alors T = T (x, y, z). On comprend ais´ment e que pour tenir compte de l’´volution de la temp´rature dans le temps – dˆ e aux pertes, e e u au syst`me de chauffage ou de climatisation – on a maintenant le cas g´n´ral : e e e T = T (x, y, z, t) . (1.1) y (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0) Fx (x0 , y0 ) x Figure 1.1 – Lignes de champ vectoriel dans un espace cart´sien ` deux dimensions. e a Pour un champ vectoriel, il existe autant de composantes que la dimension de l’espace soit 3 pour un espace physique. Le champ vectoriel F s’´crit : e F (x, y, z, t) = Fx (x, y, z, t)ax + Fy (x, y, z, t)ay + Fz (x, y, z, t)az . (1.2) La figure 1.1 montre un exemple de champ vectoriel dans un plan cart´sien (espace a e ` 2 dimensions). Les fl`ches indiquent la direction et leur longueur est proportionnelle a e ` l’amplitude. Des expression similaires existent pour les autres syst`mes de coordonn´es. En cylin- e e drique ou en sph´rique, on obtient : e F (r, φ, z, t) = Fr (r, φ, z, t)ar + Fφ (r, φ, z, t)aφ + Fz (r, φ, z, t)az (1.3) F (r, θ, φ, t) = Fr (r, θ, φ, t)ar + Fθ (r, θ, φ, t)aθ + Fφ (r, θ, φ, t)aφ . (1.4) Comme on peut le remarquer par ces exemples, une quantit´ vectorielle est identifi´e e e par un caract`re gras normalement majuscule sauf pour les vecteurs unitaires not´es ak . e e 2 Ces derniers sont des vecteurs dont le module (ou longueur) vaut l’unit´. e 2 Pour obtenir la grandeur d’un vecteur, il suffit de prendre la racine carr´e de la somme des compo- e 2 2 2 santes au carr´ de la base e.g. F = |F | = Fx + Fy + Fz en cart´sien. Si un vecteur F poss`de une e e e direction aF = mx ax + my ay + mz az (avec m2 + m2 + m2 = 1 car module unitaire), alors Fx = F · mx , x y z Fy = F · my , Fz = F · mz .
  11. 11. 1.2 Phaseur 1-31.2 PhaseurLes phaseurs sont des outils math´matiques utilis´s lorsque les signaux varient sinuso¨ e e ıdale-ment dans le temps aussi appel´s variations harmoniques. Ce sont des nombres complexes equi, ramen´s sous la forme polaire, ont un module et un argument3 e • Le module repr´sente l’amplitude crˆte du signal. e e • L’argument correspond au d´phasage du signal sinuso¨ e ıdal ` l’origine. aOn d´montre que la r´ponse en r´gime permanent d’un syst`me lin´aire a un excitation e e e e e `sinuso¨ ıdale reste sinuso¨ıdale et avec la mˆme fr´quence d’oscillations. Seuls le module et e ela phase changent. De plus, ce r´gime sinuso¨ e ıdal permanent est pratique car il permetd’obtenir plus facilement la r´ponse d’un syst`me lin´aire. Comme toute forme de signal e e epeut se d´composer en une somme de composantes sinuso¨ e ıdales4 , l’id´e est de d´terminer e ela r´ponse du syst`me pour chacune des composantes ind´pendamment des autres et de e e esommer ces r´ponses dans le plan complexe. e Soit la fonction harmonique F (t) = A cos(ωt+φ). Dans cette expression, A est l’ampli-tude de la variation sinuso¨ ` ıdale et (ωt+φ) est la phase. A l’origine i.e. ` t = 0, le d´phasage a eest simplement φ. Cette fonction peut aussi s’´crire ` partir des identit´s d’Euler comme e a esuit : F (t) = Re{Aejφ ejωt } (1.5) ¯ F u ¯o` F est le phaseur repr´sentant la fonction. On peut alors travailler uniquement avec le ephaseur sachant que la variation temporelle est du type ejωt . Lorsqu’on utilise les pha-seurs, tous les param`tres qui en d´coulent sont souvent complexes, comme les phaseurs e ed’ailleurs. On surmonte d’une barre (¯) le param`tre en question pour bien montrer que eson emploi est limit´ au r´gime sinuso¨ e e ıdal permanent. Im b ¯ F A φ a Re Figure 1.2 – Repr´sentation d’un phaseur dans le plan complexe. e Le phaseur et, par extension, tous les param`tres complexes peuvent ˆtre repr´sent´s e e e esous la forme rectangulaire autant que sur la forme polaire comme sur la figure 1.2. Laconversion entre les deux formes est simple et bien connu. On doit ajouter qu’une addition 3 Le mot phase convient aussi. 4 C’est la transform´e de Fourier qui permet de trouver les diverses composantes sinuso¨ e ıdales.
  12. 12. 1-4 Notions de base (soustraction) de deux phaseurs se r´alise ais´ment en rectangulaire alors que la multi- e e plication (division) est plus simple en polaire. Dans l’exemple de la fonction harmonique F (t), on a : ¯ F = A ejφ (1.6) = A cos(φ) + j A sin(φ) (1.7) a b avec √ A = a2 + b2 (1.8) φ = arctan(b/a) . (1.9) La solution d’une ´quation diff´rentielle d’un syst`me lin´aire avec la technique des e e e e phaseurs consiste ` remplacer toutes les d´riv´es simples par jω. En effet, la d´riv´e a e e e e premi`re de la fonction harmonique F (t) est e dF (t) = − ωA sin(ωt + φ) = ωA cos(ωt + φ + π/2) (1.10) dt ¯ = Re{ω Aejφ ejπ/2 ejωt } = Re{jω F ejωt } (1.11) ¯ F j u e ¯ o` on remarque que le phaseur r´sultant est jω F soit le produit du phaseur initial par jω. On peut aussi voir que la d´riv´e produit une avance de phase de π/2 correspondant e e a ` +j dans le plan complexe. 1.3 Int´grales de ligne et de surface e F2 F1 Fn α2 αn α1 ∆l2 ∆ln ∆l1 C Figure 1.3 – Mod´lisation de l’int´grale de ligne. e e L’int´grale de ligne d’un champ vectoriel F le long d’un parcours quelconque C est e simplement d´finie comme : e F · dl . C
  13. 13. 1.3 Int´grales de ligne et de surface e 1-5Pour comprendre l’int´grale de ligne, on d´compose le parcours en segments infinit´simaux e e e∆l1 , ∆l2 , . . . , ∆ln . Elle est alors ´quivalente ` la somme des n produits scalaires de F k e a(la valeur du champ ´valu´ ` la position du segment k) par le segment ∆lk , donc : e ea n F · dl ≈ Fk ∆lk cos αk (1.12) C k=1o` αk est l’angle entre F k et ∆lk comme il apparaˆ sur la figure 1.3. Il faut bien voir u ıtque le champ est une fonction de l’espace donc de la position ` laquelle on l’´value. On a epourrait ´crire F (l). e Dans le syst`me de coordonn´es cart´sien, l’approximation de l’int´grale de ligne de- e e e evient : n F · dl ≈ ( Fx ∆xk + Fy ∆yk + Fz ∆zk ) (1.13) C k=1en prenant dl = dxax + dyay + dzaz . (1.14)Il y a cependant un danger ` ´crire l’´quation de cette mani`re car on pourrait croire a e e eque l’int´grale de ligne se r´sume ` trois int´grales de la mˆme fonction sur chacune des e e a e ecoordonn´es. Il n’en est rien car les ´l´ments diff´rentiels dx, dy et dz, de l’´quation ne e ee e esont pas ind´pendants puisqu’ils d´pendent tous du parcours suivi. Il faut donc les relier e ea e` l’´quation du parcours entre les deux points.Exemple 1.1 Soit la fonction F = 5yax + x2 az . ◮ Faites l’int´grale de ligne du point (0, 0, 0) au point (1, 2, 3) le long du parcours e 2x = y, 9x = z 2 . z 3 P (1, 2, 3) C 2 y x Figure 1.4 – Parcours de l’int´grale de ligne. e On commence par d´river les ´quations du parcours d’o` : e e u 2dx = dy, 9dx = 2zdz .
  14. 14. 1-6 Notions de base L’´l´ment diff´rentiel s’´crit donc en fonction de dx par exemple, comme : ee e e 9dx dl = dxax + 2dxay + az 2z On a maintenant : (1,2,3) (1,2,3) 9x2 dx F · dl = 5ydx + . C(0,0,0) C(0,0,0) 2z Puis, en rempla¸ant les variables y et z par leur relation avec x suivant c l’´quation du parcours, on obtient : e (1,2,3) 1 9x2 dx F · dl = 5(2x)dx + √ C(0,0,0) 0 2(3 x) 1 = (10x + 1.5x3/2 )dx 0 1 = 5x2 + 0.6x5/2 0 = 5.6 . On peut aussi proc´der de cette mani`re : e e (1,2,3) 1 3 F · dl = 5ydx + x2 dz C(0,0,0) 0 0 1 3 = 5(2x)dx + (z 2 /9)2 dz 0 0 5 3 1 z = 5x2 0 + = 5.6 . 405 0 F c1 a b c2 Figure 1.5 – Int´grale de ligne sur un parcours ferm´ ou la circulation du champ. e e Si le parcours est ferm´, on ´crit l’int´grale de cette mani`re F · dl pour bien le e e e e montrer. Cette int´grale est connue sous le nom de circulation. On v´rifie que si la circu- e e lation d’un champ est nulle sur un parcours passant par deux points distincts a et b, c’est que l’int´grale de ligne est ind´pendante du parcours utilis´ pour se rendre du point a au e e e
  15. 15. 1.3 Int´grales de ligne et de surface e 1-7point b. En effet, sur la figure 1.5 on d´compose le parcours ferm´ en deux parcours : l’un e epassant par c1 et l’autre par c2 . Ainsi : F · dl = F · dl + F · dl = 0 (1.15) ac1 bc2 a ac1 b bc2 adonc F · dl = − F · dl (1.16) ac1 b bc2 a = + F · dl . (1.17) ac2 b On appelle champ irrotationnel ou conservatif, un champ pour lequel la circulation estnulle pour tout parcours. Dans un tel champ, aucune ´nergie n’est perdue ou gagn´e en e ed´pla¸ant un corps pour enfin revenir au point de d´part. Dans le cas contraire le champ est e c enon-conservatif et l’int´grale de ligne d´pendra non seulement des points de d´part et d’ar- e e eriv´e mais aussi du parcours emprunt´. Le champ gravitationnel terrestre est un exemple e ede champ conservatif puisque la variation d’´nergie potentielle d’une masse passant d’un epoint a ` un point b ne d´pend pas du parcours mais uniquement de la diff´rence de hau- a e eteur des deux points. Le champ ´lectrique statique en est un autre exemple car l’int´grale e ede ligne d’un point a vers b sur un parcours quelconque, donne la diff´rence de potentiel eentre les deux points Vab . Cependant, si le champ ´lectrique varie temporellement alors il edevient non-conservatif. Une int´grale de ligne nulle sur un parcours ferm´ ne peut garantir que le champ est e econservatif. Il faudrait v´rifier pour une infinit´ de parcours. En fait, si le champ d´coule e e e ´d’un gradient i.e. F = ∇G, alors il est conservatif. Evidemment, une seule int´grale de eligne non-nulle sur un parcours ferm´ suffit pour dire que le champ est non-conservatif. e L’int´grale de surface du champ F sur une surface S est elle d´finie comme : e e F · dS . SElle indique la quantit´ de flux traversant la surface d’o` son autre nom int´grale de flux. e u e Pour comprendre l’int´grale de surface, on d´compose la surface en surfaces infi- e enit´simales ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn . Ces surfaces ´tant petites, on assume que le champ e epassant au travers chacune est uniforme quoiqu’il peut ˆtre non-uniforme sur une plus egrande ´chelle. Si la surface est perpendiculaire aux champs (la normale a la surface est e `parall`le), alors le flux sera maximal comme sur la figure 1.6(a). Au contraire, lorsque la esurface est parall`le aux lignes de champ, le flux sera nul (figure 1.6(b)). L’angle α entre ela normale ` la surface et la direction du champ est donc important d’o` la n´cessit´ de a u e ed´finir l’unit´ infinit´simale de surface vectorielle. Celle-ci poss`de deux caract´ristiques e e e e eessentielles a savoir son aire et son orientation dans l’espace : ` dS = dSan (1.18)o` an est un vecteur unitaire normal ` la surface dS. u a
  16. 16. 1-8 Notions de base F an ∆s F ∆s an (a) (b) Figure 1.6 – Diff´rents cas de l’int´grale de surface ou de flux. e e Fk an k αk ∆Sk Figure 1.7 – Division d’une surface en surfaces ´l´mentaires pour une int´grale de flux. ee e Ainsi, on obtient : n F · dS ≈ Fk ∆Sk cos αk (1.19) S k=1 o` αk est l’angle entre F k et la normale ` la surface ∆Sk comme il apparaˆ sur la figure u a ıt 1.7 . Exprimer l’´l´ment diff´rentiel de surface est la principale difficult´ de l’int´grale de ee e e e flux. Une fa¸on de proc´der qui fonctionne ` tout coup, consiste a param´triser la surface c e a ` e selon deux coordonn´es u et v : e F · dSan = F (r(u, v)) · N (u, v) dudv (1.20) S R avec R le nouveau domaine d’int´gration dans le plan uv, et : e r(u, v) = x(u, v)ax + y(u, v)ay + z(u, v)az (1.21) ∂r ∂r dS = × dudv . (1.22) ∂u ∂v N
  17. 17. 1.3 Int´grales de ligne et de surface e 1-9 On peut aussi choisir deux longueurs infinit´simales orthogonales dl1 et dl2 situ´es e edans la surface d’int´gration et ´crire : e e dS = dl1 × dl2 . (1.23)Attention cependant aux inter-relations entres toutes les coordonn´es si la surface n’est eparall`le ` aucun axe de coordonn´es. Dans le cas contraire, on a avantage a prendre e a e `l’une des deux longueurs infinit´simales suivant l’axe parall`le (e.g. dzaz pour une surface e everticale).Exemple 1.2 Soit la fonction F = 5xax + y 2 az . ◮ Faites l’int´grale de flux au travers la portion du plan x = 1 − 2y comprise e entre z = 0 et z = 3 dans le premier octant x, y, z > 0. z 3 1 y 1 x Figure 1.8 – Surface d’int´gration pour le calcul du flux. e On commence par trouver l’expression de l’´l´ment de surface. Pour ce faire, ee il suffit de multiplier vectoriellement deux vecteurs dl1 et dl2 se trouvant dans le plan. Ici, on pose : u = y v = z donc, on a selon (1.21) et (1.22) : r(u, v) = (1 − 2u)ax + uay + vaz N = (−2ax + ay ) × az dS = (2ay + ax )dudv .
  18. 18. 1-10 Notions de base L’int´gration de flux devient fonction uniquement des variables param´triques e e u et v : 3 0.5 F · dS = 5(1 − 2u)ax + u2 az · (2ay + ax ) dudv R 0 0 3 0.5 = 5(1 − 2u) dudv 0 0 0.5 u2 = 5(3) 2 −u = 15(0.25) = 3.75 . 2 0 On peut sauter l’´tape de param´trisation pour obtenir directement selon e e (1.23) : dl1 = dzaz dl2 = dxax + dyay = −2dyax + dyay a ` cause de la relation entre x et y telle que dx = −2dy. Donc : dS = dl1 × dl2 = dzaz × (dxax + dyay ) = −dxdzay + dydzax . Les bornes d’int´gration peuvent ˆtre en x (0 ≤ x ≤ 1) et en z ; ou en y e e (0 ≤ y ≤ 0.5) et en z. Le r´sultat sera le mˆme. Ainsi, on a : e e F · dS = 5xax + y 2 az · (−dxdzay + dydzax ) S S 3 0.5 = 5(1 − 2y)dydz 0 0 0.5 = 5(3) y − y 2 0 dz = 3.75 . Si la surface est ferm´e i.e. si elle d´limite un volume, l’int´grale de surface ferm´e e e e e donne le bilan du flux ´manant du volume. Les normales aux surfaces sont choisies en e pointant hors du volume pour que le flux quittant le volume soit positif tandis que celui entrant, n´gatif. Un bilan positif indique la pr´sence d’une source de flux a l’int´rieur e e ` e du volume. Par exemple, l’int´grale de surface du champ d’induction magn´tique B est e e appel´e flux magn´tique Ψ. Celui-ci peut ˆtre non-nul. Cependant, l’int´grale de surface e e e e ferm´e du champ d’induction magn´tique est toujours nulle car il n’existe pas de charge e e 5 magn´tique isol´e . e e 5 Une source magn´tique comprend toujours les deux pˆles, on ne peut s´parer le pˆle “positif” du e o e o “n´gatif”. e
  19. 19. 1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e e 1-111.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e ePar le th´or`me de Stokes, on peut faire le lien entre la circulation, l’int´grale de surface e e eet le rotationnel d’un champ comme suit : F · dl = ∇ × F · dS (1.24) C So` S est une surface quelconque d´limit´e par le contour C. On ouvre ici une parenth`se u e e epour annoncer que le th´or`me de Stokes sera particuli`rement utile pour convertir les e e edeux premi`res ´quations de Maxwell – les ´quations de Maxwell sont les ´quations fon- e e e edamentales de l’´lectromagn´tisme – et celle dite de continuit´ de la forme int´grale a la e e e e `forme diff´rentielle. e 111 000 dSk 111 000 an an k 111 000 111 000 S 111 000 111 000 C C Figure 1.9 – R`gle de la main droite pour le th´or`me de Stokes. e e e Il existe malheureusement une ambigu¨ e sur le sens de la normale ` la surface tout ıt´ acomme sur le sens de l’int´gration sur le parcours ferm´. Pour lever l’ambigu¨ e, on se sert e e ıt´de la r`gle bien connue de la main droite. Le sens d’int´gration d´termine par cette r`gle e e e ele sens de la normale comme montr´ sur la figure 1.9 . e De mˆme, le th´or`me de Green6 unit l’int´grale de surface ferm´e, l’int´grale de e e e e e evolume et la divergence : F · dS = ∇ · F dV (1.25) S Vo` V est le volume d´limit´ par la surface ferm´e S. Encore une fois, tout comme le u e e eth´or`me de Stokes, le th´or`me de Green permettra de convertir les deux autres ´quations e e e e ede Maxwell restantes de la forme int´grale ` la forme diff´rentielle. e a e Pour utiliser les th´or`mes de Stokes ou de Green afin de passer de la forme int´grale e e ea` diff´rentielle, le plus simple est de prendre un contour ferm´ formant une surface carr´e e e edans le th´or`me de Stokes, ou une surface ferm´e formant un volume cube dans celui de e e eGreen ; puis de faire tendre ce contour ou cette surface vers quelque chose d’infinit´simal. e Soit l’´galit´ suivante : e e F · dl = G · dS (1.26) C S 6 Le th´or`me de Green est aussi connu sous les noms de th´or`me de la divergence ou th´or`me de e e e e e eGauss
  20. 20. 1-12 Notions de base d (x, y, z + ∆z) c e (x, y, z) z a b (x, y + ∆y, z) f g (x + ∆x, y, z) y x Figure 1.10 – Parcours rectangulaires et orthogonaux infinit´simaux pour faire le passage de e la forme int´grale ` la forme diff´rentielle. e a e avec les parcours ferm´s pr´sent´s sur la figure 1.10 i.e. abcda, adef a et af gba. On obtient e e e avec la partie gauche de l’´quation sur les 3 parcours : e F · dl = [Fy ](x,z) ∆y + [Fz ](x,y+∆y) ∆z − [Fy ](x,z+∆z)∆y − [Fz ](x,y) ∆z (1.27) abcda F · dl = [Fz ](x,y) ∆z + [Fx ](y,z+∆z) ∆x − [Fz ](x+∆x,y) ∆z − [Fx ](y,z) ∆x (1.28) adef a F · dl = [Fx ](y,z) ∆x + [Fy ](x+∆x,z)∆y − [Fx ](y+∆y,z) ∆x − [Fy ](x,z) ∆y (1.29) af gba D’autre part, on a respectivement avec la partie droite : G · dS = [Gx ](x,y,z) ∆y∆z (1.30) S[abcd] G · dS = [Gy ](x,y,z) ∆z∆x (1.31) S[adef ] G · dS = [Gz ](x,y,z) ∆x∆y (1.32) S[af gb] En r´unissant les ´quations qui vont ensemble (par exemple (1.27) avec (1.30) et ainsi de e e suite), on trouve que : ∆[Fz ](x,y) ∆[Fy ](x,z) − = [Gx ](x,y,z) (1.33) ∆y ∆z ∆[Fx ](y,z) ∆[Fz ](x,y) − = [Gy ](x,y,z) (1.34) ∆z ∆x ∆[Fy ](x,z) ∆[Fx ](y,z) − = [Gz ](x,y,z) (1.35) ∆x ∆y Avec des parcours infinit´simaux, il est facile de voir que les trois expressions ci-dessus e correspondent ` : a ∇×F = G (1.36)
  21. 21. 1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e e 1-13 d c e h z a b f g y xFigure 1.11 – Boite rectangulaire infinit´simale pour le passage de la forme int´grale ` e e a diff´rentielle. ed´montrant ainsi que (1.26) et (1.36) sont ´quivalentes d’o` le th´or`me de Stokes. e e u e e Le passage avec Green est plus simple. Soit l’´galit´ suivante : e e F · dS = gdv (1.37) S Vavec le volume V d´limit´ par les six surfaces du cubes de la figure 1.4. Les flux ´manant e e ede chacune des surface sont, en respectant le sens des parcours qui procure une normalesortant du volume (` ne pas oublier) : a F · dS = −[Fx ](x) ∆y∆z (1.38) [adcb] F · dS = [Fx ](x+∆x) ∆y∆z (1.39) [hef g] F · dS = −[Fy ](y) ∆z∆x (1.40) [af ed] F · dS = [Fy ](y+∆y) ∆z∆x (1.41) [hgbc] F · dS = −[Fz ](z) ∆x∆y (1.42) [abgf ] F · dS = [Fz ](z+∆z) ∆x∆y . (1.43) [hcde]Le cˆt´ droit de (1.37) donne simplement g∆x∆y∆z d’o` : oe u ∆Fx ∆Fy ∆Fz + + = g. (1.44) ∆x ∆y ∆zAvec un volume infinit´simal, le terme de gauche de l’´quation ci-dessus est la divergence e ede F donc : ∇·F = g (1.45) Cette derni`re expression est ce qui ressort du th´or`me de Green. En effet, en com- e e eparant (1.25) et (1.37), on s’aper¸oit tr`s vite que (1.45) d´coule naturellement. c e e
  22. 22. 1-14 Notions de base Exercices Question 1 En utilisant les phaseurs, exprimez la fonction suivante comme une seule fonction du temps cosinuso¨ıdale : 5 sin(ωt + 60◦ ) − 5 cos(ωt + 30◦ ) − 3 sin(ωt) . Question 2 ¯ Soit la fonction p´riodique A(t) = 5 cos(105 t − 30◦ ). Soit maintenant le phaseur B tel e ¯ ¯ ´ que le rapport avec A/B = 2∠15◦ . Ecrivez : a) le phaseur correspondant ` A(t) ; a b) l’expression de la fonction B(t). Question 3 √ Calculez l’int´grale curviligne sur le parcours x = y = e z entre le centre de coor- donn´es et le point (1, 1, 1) de la fonction : e F = 5zax + xyay + x2 zaz . Question 4 Calculez le flux ψ passant par la surface plane x + y + z = 1 limit´e par le premier e octant de la fonction : F = x2 ay + 3y 2az . R´ponses : e 1. 2 cos(ωt − 90◦ ). ¯ 2. a) A = 5∠ − 30◦ ; b) B(t) = 2.5 cos(105 t − 45◦ ). 1 3. 0 (5x2 + x2 + 2x5 )dx = 7/3. 1 1−v 4. N = ax + ay + az , ψ = 0 0 (u2 + 3v 2 )dudv = 1/3.
  23. 23. Chapitre 2Les champs et les mat´riaux e2.1 IntroductionAvant d’entreprendre une ´tude de l’´lectromagn´tisme, il convient de connaˆ les diff´- e e e ıtre erents champs en pr´sence et leurs origines. Pour ce faire, il est plus pratique de com- emencer avec les champs statiques. C’est aussi la mani`re historique de leur d´couverte. e eDu mˆme coup, il est opportun d’introduire les diff´rents mat´riaux et faire ressortir les e e ecaract´ristiques int´ressantes face ` l’´lectromagn´tisme. e e a e e Au d´part, donc, on avait l’impression que l’´lectricit´ et le magn´tisme ´taient deux e e e e enotions distinctes. Dans les faits, le cas statique (on peut aussi inclure le cas quasi-statique)d´couple les deux effets de sorte que leurs affinit´s n’apparaissent pas. Il aura fallu des e eexp´riences plus avanc´es pour apercevoir les inter-relations et d´crire plus g´n´ralement e e e e ele comportement de ce qui sera appel´ l’´lectromagn´tisme. e e e Les premiers pionniers de l’´lectricit´ et du magn´tisme croyaient vraiment en deux e e eforces : Benjamin Franklin (1706-1790) qui ´tablit la loi de conservation de la charge, eCharles A. de Coulomb (1736-1806) qui mesura les forces ´lectriques et magn´tiques, e eKarl F. Gauss (1777-1855) qui ´non¸a le th´or`me de la divergence, Hans E. Oersted e c e e(1777-1851) qui d´couvrit que l’´lectricit´ pouvait produire du magn´tisme et, a l’inverse, e e e e `Michael Faraday (1791-1867) trouva que le magn´tisme pouvait g´n´rer de l’´lectricit´, e e e e eAndr´ M. Amp`re qui r´alisa un sol´no¨ e e e e ıde. Il a fallu attendre James C. Maxwell (1831-1879) pour comprendre que les deux notions n’en formaient qu’une. Heinrich Hertz (1857-1894) qui fut le p`re de la radiodiffusion, et Guglielmo Marconi (1874-1937) ont d’ailleurs eappliqu´ les principes pour rayonner une onde ´lectromagn´tique. e e e On peut donc voir l’´lectricit´ et le magn´tisme comme un cas particulier de l’´lectro- e e e emagn´tisme dans laquelle la fr´quence du signal est tr`s faible pour ne pas dire nulle. e e e2.2 Champ ´lectrique statique eLes concepts de base en ´lectricit´ reposent sur les observations faites des exp´riences e e ede Coulomb et d’Amp`re. Coulomb remarqua qu’il existait des charges de deux signes eoppos´s car il y avait, dans certains cas, attraction et dans d’autres cas, r´pulsion. Ces e e
  24. 24. 2-16 Les champs et les mat´riaux e charges sont si petites qu’on peut les assimiler ` des “points de charge”1 appel´es charges a e ponctuelles. F2 a12 R Q2 a21 F1 Q1 Figure 2.1 – Force ´lectrique qui s’exerce entre deux charges ´lectriques. e e Soient deux charges #1 et #2 telles que montr´es sur la figure 2.1, la force d’attraction e ou de r´pulsion produite par #2 qui agit sur #1 d´pend de l’importance des charges Q1 e e et Q2 , de la distance les s´parant R et du milieu selon : e Q1 Q2 F1 = a21 (2.1) 4πǫR2 o` u • Q1 et Q2 montrent l’importance des charges en terme de Coulombs ; la plus petite charge est celle d’un ´lectron soit −1.6022 × 10−19 C ; e • ǫ est la constante de proportionnalit´ qui tient compte du milieu, elle est appel´e e e permittivit´ et s’exprime en Farads/m`tre ; la permittivit´ du vide est not´e ǫo et a e e e e une valeur de : ǫo ≈ 8.854 × 10−12 F/m (2.2) soit approximativement 10−9 /36π ; • a21 est un vecteur unitaire orient´ suivant l’axe du segment partant de #2 vers #1. e D’une mani`re similaire ` celle du champ gravitationnel par rapport a la force gravi- e a ` tationnelle mais en utilisant la charge au lieu de la masse – le champ gravitationnel est la force produite par la masse #1 sur la masse #2 par unit´ de masse #2 –, on d´finit le e e champ ´lectrique E ` partir d’une charge de test q sur laquelle agit une force ´lectrique e a e F comme suit : F dF E = lim = (2.3) q→0 q dq La charge de test q doit ˆtre petite pour ne pas affecter le champ ´lectrique dans lequel elle e e est plac´e. Une charge ponctuelle Q produit donc un champ ´lectrique dont l’expression e e est : Qq d 4πǫR2 aR Q E = = aR . (2.4) dq 4πǫR2 1 Les charges sont localis´es ` un point pr´cis de l’espace et n’occupent aucun volume. e a e

×