46769481 guia-de-investigacion-de-operaciones-i[1]

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Guía de Investigación de Operaciones I

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46769481 guia-de-investigacion-de-operaciones-i[1]

  1. 1. Instituto Tecnológico Superior de MisantlaInvestigación de Operaciones I Ingeniería IndustrialAlumno(a): _______________________________________________________ Gregorio Fernández Lambert Noviembre, 2009.
  2. 2. ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LA REALIDAD? Conocer todos los hechos y relaciones a la problemática “el saber todo sobre el todo” <lo cual resulta claramente imposible> Identificar todas las alternativas posibles de solución a un problema <en muchos de los casos esto es posible> Estar bien informado Conocer todas las alternativas SOLUCIÓN DE Ser un optimizador económico, esto es PROBLEMAS “maximizar los beneficios económicos y minimizar los cosos económicos” Ser objetivo
  3. 3. ¿Cómo se toman las decisiones? Recomendación Corazonada Presión Preferencia TemorInfluencia Experimentación Conveniencia Base Científica
  4. 4. LA DECISIONES TOMADAS PUEDEN SER BAJO: Elementos de un problema de decisión RIESGO CERTEZA INCERTIDUMBRETOMA DE DECISIONES : - POR MEDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, - MEDIANTE MÉTODOS ESTADÍSTICO, - ENFOQUE BASADO EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL
  5. 5. MODELO DE “SIMON” PARA TOMA DE DECISIONES Defínase el problema Muchas Soluciones (elévense los criterios) Establézcanse los Búsquense las criterios de solución soluciones Pocas Soluciones (disminúyanse los criterios) SOLUCIÓN SATISFACTORIA “Una Solución Satisfactoria, No es siempre es una solución óptima”
  6. 6. EL PAPEL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS DE DECISÓN Guía en la Toma de decisiones; Ayuda en la Toma de Decisiones; Automatizar la Toma de Decisiones.
  7. 7. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIÓN Sentido Racional Sentido Lógico Juicio; Experiencia; Técnica y/o herramientas Intuición; Habilidad;para la solución de problemas Destreza; Conocimiento. Solución de satisfactoria Problemas económico TOMA DE DECISIÓN
  8. 8. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS MODELO: Representación de algún aspecto de la realidad. “Intento de representar o explicar algo que forma parte del mundo real usando menos que esa realidad”
  9. 9. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS VENTAJAS DE UN MODELO: Explican y/o predicen el comportamiento de sistemas: • Menos Recursos; Financieros; Materiales; Humanos; Espacios. DESVENTAJAS DE UN MODELO: Por su naturaleza misma de ser modelos, son menos que la realidad.
  10. 10. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOSSELECCIÓN DEL MODELO: Este dependerá tanto del SISTEMA real bajo estudio como del propósito del estudio, su validez, confiablidad y simplicidad. “Conjunto organizado de actividades o partes relacionadas que se persiguen o con un fin común”
  11. 11. Selección del Modelo: Un modelo es válido si lleva a los mismos resultados que se obtendrían en el mundo real. El principio de economicidad y simplicidad está presente en la selección del modelo. La complejidad debe aceptarse sólo cuando sea necesario
  12. 12. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOSKennet Boulding sugiere un esquema de clasificación para los sistemas basado en su complejidad:Estáticos.- Poseen una estructura pero no movimiento.Dinámicos.- Poseen estructura y movimiento (siguiendo patrones determinados).
  13. 13. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS ENFOQUE DE SISTEMAS medio ambienteABIERTO.- Gobiernos comunidad Habitantes Bienes yInteractúa con su medio ambiente. Materiales EMPRESA Servicios Información Dinero clientes CERRADO.- medio ambiente excluido GobiernosSe construye como un Habitantes Bienes y Materiales EMPRESA sistema abierto y se Servicios Información limita a factores Dinero relevantes
  14. 14. Clasificación de los modelos:Normativos:Llamados también prescriptivos (con frecuencia se usan como guía).Descriptivos:Solo describen una realidad potencial del experimento.Concretos:Poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.Abstractos:No poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.
  15. 15. Modelos de Toma de Decisión CATEGORIAS CONSECUENCIAS Certidumbre Determinista Riesgo Probabilística Incertidumbre Desconocidas Conflicto Influenciadas (tendenciosas)
  16. 16. Uso de Datos para la Toma de Decisión “Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”, y cuando se ignoran, la posibilidad de tomar una decisión adecuada o de alta calidad, es decreciente. “Sólo en DIOS confío. Los demás traiganme datos”
  17. 17. Uso de Datos para la Toma de DecisiónDatos: Hechos o conceptos conocidos o supuestos. Representan una base parcial sobre la que se toman decisiones, dado que nos ayudan a describir los sistemas del mundo real (generalmente se expresan en forma numérica). Continuos Discretos
  18. 18. ¿Qué es la Investigación de Operaciones? “ENFOQUE PARA RESOLVER PROBLEMAS ADMINISTRATIVOS COMPLEJOS MEDIANTE EL USO DE LAS MATEMÁTICAS Y LA COMPUTACIÓN”ADMINISTRATIVOSDesde el punto de vista del manejo de recursos.MATEMÁTICASPara desarrollar un modelo que permita resolver el problema.COMPUTACIÓNPara desplegar el modelo y agilizar el resultado del problema.
  19. 19. Metodología de la Investigación de Operaciones Todas las técnicas de solución de problemas tienen algo en común, esto es, que manejan el mismo enfoque, la misma metodología La aplicación del METODO CIENTÍFICO.
  20. 20. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización)Función Objetivo: Define la efectividad del modelo como función de la variable de decisión.Variables de Decisión: Son las cantidades que deben deteerminarse en la solución del modelo. Restricciones: Son aquellas condicionantes que imposibilitarían o restringirían el logro y objetivos del problema.
  21. 21. Metodología de la Investigación de Operaciones METODO CIENTÍFICO.Definición del problema; que represente el problema oFormular un modelo matemático; situación a resolver. EstosDerivar una solución para el modelo; pueden ser lineales oValidar la solución del modelo; No lineales.Implementar resultados.
  22. 22. DEFINICIÓN DE MODELO Sistema Sistema Variables Relaciones Real Modelo Real Asumido Relevantes Relevantes Método de Solución Solución al Juicio y Experiencia Solución Decisiones Interpretación problema del del tomador al sistema real de decisiones Modelo La solución al problema se dá por la implementaciónn de la solución en el sistema real
  23. 23. Las partes de un MODELO MATEMÁTICO en IO , son:Variables de Decisión: ¿Qué es lo que se va a decidir? Función Objetivo: ¿Qué es lo que se quiere lograr? Restricciones: ¿Qué es lo que nos limita para lograr el objetivo? Recursos Objetivos
  24. 24. Estructura de un problema de Programación Lineal Requerimientos: • Demandas;¿Qué se puede • Especificaciones; cuantificar? • Tiempos de entrega; .... • Etcétera... Utilidades: MAXIMIZAR¿Qué se puede optimizar? Desperdicios: MINIMIZAR
  25. 25. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXnsujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn x , x , ... , xn > 0 1 2
  26. 26. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización)Función Objetivo Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn sujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn x , x , ... , xn > 0 1 2
  27. 27. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Coeficiente de la FO Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXnsujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn x , x , ... , xn > 0 1 2
  28. 28. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn sujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bnRestricciones x , x , ... , xn > 0 1 2
  29. 29. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn sujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bnCoeficiente de restricción x , x , ... , xn > 0 1 2
  30. 30. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn sujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn x , x , ... , xn > 0 1 2Condición del recurso o requerimiento
  31. 31. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Recursos o Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn Requerimientossujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn x , x , ... , xn > 0 1 2
  32. 32. Modelo general de Programación Lineal (Maximización o Minimización) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn sujeto a: ax ax 11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1 ax ax 21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2 a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn x , x , ... , xn > 0 1 2Restrición de No - Negatividad
  33. 33. Metodología de la Investigación de Operaciones Construir el Problema Observación Cuidadosa Formular el Definición Identificar el Problema Desarrollar el del problema Sistema Modelo a resolver Proponer la Hipótesis Validación de la Hipótesis No Es válida la Derivar una Implementar solución Solución Resultados Sí Modificar el Modelo
  34. 34. Requerimientos para resolver unModelo por PL Plantearse una F.O. En términos de variables de decisión, es decir, X1, X2, ..., Xn Las variables del problema deben estar interrelacionadas para generar el “resultado total” Plantear las restricciones. Las restricciones deberán estar relacionadas con la disponibilidad o usos de los recursos, la satisfacción de los requerimientos o el surtimiento de la demanda (deben ser en forma lineal). Valores de la variables . Estos pueden ser fracionarios, pero deben ser mayores o iguales que cero.
  35. 35. Tipos de soluciones No-Básica Factible Básica No-Óptima Básica Solución Básica Óptima Degenerada No-Factible
  36. 36. El arte de plantear problemas La habilidad para transformar un problema del mundo real en un modelo de PL debidamente planteado es un ARTE Recomendación El arte de plantear problemas se mejora con: • paciencia, • práctica, • una estructura apropiada para aprobarlos.
  37. 37. Planteamiento de ProblemasSe tiene un proceso en el cual pueden fabricarse tresproductos distintos. El único recurso limitado para laoperación es la mano de obra, de la cual se disponen 400horas hombre por semana.Se sabe que el producto 1 requiere 8 horas de mano de obrapor unidad fabricada; el producto 2 requiere 4 horas porunidad y el producto 3 requiere 2 horas por unidad.El margen de contribución a las utilidades del producto 1 esde $12.00 por unidad; el producto 2 contribuye con $10.00 yel producto 3 contribuye con $8.00.Desarrolle un modelo que MAXIMICE las ganancias a travésde la contribución total a utilidades.
  38. 38. Planteamiento de Problemas Paso 1.- Definir las variables: Sea: x 1 ≈ unidades del producto 1 x 2 ≈ unidades del producto 2 x 3 ≈ unidades del producto 3 Paso 2.- Definir la Función Objetivo: Max. Z= 12 x1 + 10 + 8 x2 x3
  39. 39. Planteamiento de Problemas Paso 3.- Descripción de las restricciones: Modelo de requerimientos totales: 8x1 + 4x2 + 2x3 Relación Funcional: 8x1 + 4x2 + 2x3 < 400
  40. 40. Planteamiento de Problemas Max. Z= 12 x1 + 10 x2 + 8 x3 s.a. 4 x2 < 400 8 x1 + + 2 x3 x1 , x2 > 0
  41. 41. METODO GRÁFICO • Método de solución de un problema de PL que se restringe a dos variables. • Proporciona una mejor comprensión del problema y facilita la interpretación de algunos pasos y resultados obtenidos en el método de solución algebraico.ferlam
  42. 42. METODO GRAFICO La representación gráfica queda definida en el primer plano del eje cartesiano. Esto no implica que no pueda ser utilizado otro plano cartesiano, sin embargo, en lo general este puede ser presentado en cualquier otro si así lo exigen las restricciones. Las restricciones obtenidas en cada modelación de PL, definen un área que contienen un número infinito de puntos, la cual NO excede la desigualdad de restricción.
  43. 43. METODO GRAFICO Ilustración de la graficación de tres restricciones: A, B, C. x2 x2 x2R1 R2 R3 A) B) C) x1 x1 x1 R3 x2 R2 R1 x1
  44. 44. METODO GRAFICO La graficación de las restricciones proporciona la Región Factible (zona factible) y Solución Óptima. Obtención de la región factible. La región factible queda definida por aquellos puntos que satisfacen todas las restricciones simultáneamente. x2 x1
  45. 45. METODO GRAFICO / procedimiento 1 En una gráfica bidimensional ubicar las restricciones de No Negatividad usando las variables de decisión X1 , X2 como los ejes de coordenadas. x2 x1 Las restricciones de No Negatividad (X1 , X2 > 0) limitan a utilizar la parte positiva de los ejes (cuadrante I). 2 Graficar cada una de las restricciones, tomando en cuenta el tipo de restricción de que se trate ( > , = , <) . La graficación de las restricciones sobre el cuadrante delimitarán el área factible (espacio de solución al problema).
  46. 46. METODO GRAFICO / procedimiento Ejemplo para la graficación: Max Xo = 3X1 + 5X2 s.a 2X1 + X2 < 230 X1 + 2X2 < 250 X2 < 120 X1, X2 > 0 PROCEDIMIENTO: À Remplazar el signo de desigualdad con un signo de igualdad. Á Para cada restricción: asignar arbitrariamente a cada variable el valor de cero y deducir el valor de la otra variable. Â Trazar la línea resultante con los valores obtenidos de X1 , X2 sobre el cuadrante. Ã Identificar el lado factible (dirección) de la línea. Ä Como resultado del trazado de cada restricción, definir la región factible.
  47. 47. METODO GRAFICO Obtención de la Solución Óptima. Una vez graficadas las restricciones y definida la Región o Zona de Factibilidad, se grafica la Función Objetivo igualando a ésta a un valor arbitrario. El valor de la FO puede ser uno aproximado al resultado esperado o bien puede obtenerse el par ordenado de la Región Factible. Definido el par ordenado (X1 , X2 ), se traza x2 una recta la cual representa a la FO, la cual se desplaza paralelamente en la dirección requerida (Maximización o Minimización) hasta encontrar el valor (solución única) o los valores (solución múltiple) de las variables de decisión X1 , X2 que hagan que la función x1 objetivo sea óptima.
  48. 48. METODO GRAFICO Solución Óptima. La solución óptima queda definida por los valores de X1 , X2 que hacen x2 de la FO la mejor. Valores de las Función Objetivo Para Maximización sería el punto más lejano que toque la pendiente de la FO dentro de la región factible. x1
  49. 49. ¡ RECUERDA !En la resolución de problemas de PL se pueden observar las siguientes propiedadesgeométricas con la consecuente interpretación real:+ Óptima.- Es decir, que tiene una solución con el valor de las variables que que hace de la FO la mejor.+ Infactible.- Es decir, que no existen valores de las variables que satisfagan todas las restricciones simultáneamente.+ Ilimitadas.- Es decir, que existen valores factibles de las variables que hacen la función objetivo tan grande o tan pequeña como se desee.+ Óptimas múltiples.- Es decir, que existe más de una sola solución óptima.
  50. 50. METODO GRAFICO CONCLUSIONES: • Cada solución factible básica de un problema de PL corresponde a un punto extremo del espacio de soluciones factibles. • Existe un punto extremo del espacio de soluciones factibles, que puede ser no único, para el cual la función objetivo alcanza su valor óptimo.
  51. 51. Identificación de los tipos de solución en el método gráfico • Solución Óptima Finita Única. • Solución Óptima Finita Alternativa o Múltiple. • Solución Óptima No Acotada. • Región factible Vacía.
  52. 52. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA• Sólo ocurre en un punto extremo. Acotada No - Acotada Función Objetivo Función Objetivo Óptimo Óptimo Único Único Región Factible Región No - Acotada Factible Acotada
  53. 53. SOLUCIÓN ÓPTIMA FINITA, ALTERNATIVA O MÚLTIPLE Acotada No - AcotadaFunción Objetivo Función Objetivo Rayo Óptimo Óptimo Alternativos Región Factible Región No - Acotada Factible Acotada
  54. 54. SOLUCIÓN ÓPTIMA NO - ACOTADA Función Objetivo Óptimo = + α para Maximización Región Factible Óptimo = - α para Minimización. No - Acotada
  55. 55. REGIÓN FACTIBLE VACÍATambién se conoce como:• Problema No factible.• Problema Infactible.• Problema Inconsistente.• Problema con región factible vacía. Ejemplo: Min Xo = - 2X1 + 3X2 s.a : - X1 + 2X2 < 2 2X1 + X2 < 3 X2 > 4 X1 , X2 > 0
  56. 56. REGIÓN FACTIBLE VACÍA No se logra limitar un área
  57. 57. Método SimplexConsidere el siguiente modelo en PL, yresuélvalo por el Método Simplex:Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000 X1, X2 > 0
  58. 58. Método Simplex 1er. Paso: Transforme el modelo a su forma estándar:Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0 0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000 X 1 , X2 , S1 , S2 , S3 > 0
  59. 59. Método Simplex El sistema nos muestra tres ecuaciones con cinco variables, es decir: n = 5, m = 5, por lo tanto se tiene una sistema con solución múltiple. Cuando n=m, entonces sólo tiene un solución óptima.El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneuna solución única dado que n>m. En general, el Número desoluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donden>m, es: n! 5! mC n = = = 10 soluciones básicas. m! (n-m)! 3! (5-2)!
  60. 60. Método Simplex 1er. Paso: Entran al Tableu, las variables que son unitarias (que sus vectores son unitarios).Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0 0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000 X 1 , X2 , S1 , S2 , S3 > 0
  61. 61. Método Simplex2do. Paso:Construir el Tableu:Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0 S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100 S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800 S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000Esta tabla se le conoce también como Tabla de Solución Básica Inicial, en donde:S1 = 1100S2 = 1800 En términos de resultado, diríamos que como Z = 0, no se estaríaS3 = 2000 fabricando nada; los recursos materiales se conservan. Z=0
  62. 62. Método Simplex3er. Paso:Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad. Criterio de OptimalidadCaso de Maximización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos del renglón Z son positivos o ceros.Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,la variable con el valor más negativo en el renglón Z.
  63. 63. Método Simplex3er. Paso:Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad. Criterio de OptimalidadCaso de Minimización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos del renglón Z son negativos o ceros.Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,la variable con el valor más positivo en el renglón Z.
  64. 64. Método Simplex3er. Paso:Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad. Criterio de FactibilidadLa variable que se selecciona para salir de la Base es aquella con elmenor cociente de los elementos del vector solución entre loselementos del vector de la variable que entra a la Base, y que seanmayores que cero.
  65. 65. Método Simplex En este vector sólo aparecen lasvariables que dan solución al problema. Vector Base Variables Básicas Solución Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución Renglón Z Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0 S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100 S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800 S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000 Variables que dan Vectores “unitarios” que como consecuencia dan solución solución al problema al problema. Razón la que las variables de estos vectores se encuentran en la Base (Vector Base)
  66. 66. Método SimplexDado que la Función es de Maximización, con base al criterio deOptimalidad, X2 es la variable que entra a la Base por ser la variable másnegativa en el renglón Z. Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0 S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100 1100/0.05 = 22,000 S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800 1800/0.10= 18,000 S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000 2000/0.05= 40,000De acuerdo al Criterio de Factibilidad, S2 es la variable que se seleccionapara salir de la Base, ya que ella es la que tiene el menor cociente de loselementos del vector solución entre los elementos del vector de la variableque entra a la Base, y que son mayores que cero.
  67. 67. Método Simplex4to. Paso:Calcular la Nueva Solución.Para que la variable que entra a la Base forme parte de la solución, el vectorcorrespondiente de la variable en la Tableu -dentro de las variables básicas-debe hacerse unitario, para lo cual se efectuarán operaciones de “renglón” de lasiguiente forma:1. Dividir todos los elementos del renglón de la variable que sale de Base entre el elemento pivote, el cual se encuentra en la intersección de dicho renglón con la columna de la variable que se introduce a la Base. Esto hace que el elemento pivote se haga 1 (unitario). Para el caso de este ejercicio, sería 0.10.2. Transformar mediante operaciones de renglón los renglones diferentes al de la variables que sale de la Base, de manera que los elementos en la columna de la variable que se introduce a la Base se hagan cero.
  68. 68. Método Simplex 4to. Paso: Calcular la Nueva Solución.(1) Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución Renglón de X2 0 0.5 0.1 0 1 0 1800 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución Renglón de X2 0 0.5 1 0 10 0 18,000( 2 ) Ahora, transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros.
  69. 69. Método Simplex 4to. Paso: Calcular la Nueva Solución.(2)Dado que al transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros se afecta a unelemento de un renglón, todos los elementos del renglón también debe ser afectados por laoperación de renglón. Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0 R2 S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100 R3 X2 0 0.5 1 0 10 0 18,000 R4 S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000Operación del Renglón 1 (R1) para hacer cero al elemento: R3*(20) + R1X2) 1*(20) + (-20) = 0 ; X1) 0.5*(20) + (-18.5) = - 8.5 ; S1) 0*(20) + 0 = 0;S1) 10*(20) + 0 = 200; S3) 0*(20) + 0 = 0; Solución) 18,000 (20) + 0 = 360,000.
  70. 70. Método Simplex 4to. Paso: Calcular la Nueva Solución. Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000 R2 S1 0.05 0.05 1 0 0 1100 R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000 R4 S3 0.10 0.05 0 0 1 2000Operación del Renglón 2 (R2) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R2X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0;S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(20) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.
  71. 71. Método Simplex 4to. Paso: Calcular la Nueva Solución. Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000 R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200 R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000 R4 S3 0.10 0.05 0 0 1 2000Operación del Renglón 2 (R2) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R2X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0;S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(-0.05) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.
  72. 72. Método Simplex 4to. Paso: Calcular la Nueva Solución. Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000 R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200 R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000 R4 S3 0.10 0.05 0 0 1 2000Operación del Renglón 4 (R4) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R4X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.1) = 0.075; S1) 10*(-0.05) + 0 = -0.5;S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S3) 0*(-0.05) + 1 = 1 ; Solución) 18000*(-0.05) + 2000 = 110.
  73. 73. Método Simplex4to. Paso:Calcular la Nueva Solución. Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000 R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200 R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000 R4 S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100 Nueva Solución: S1 = 200 X2 = 18,000 S3 = 1100 Z = 360,000
  74. 74. Método Simplex4to. Paso:Calcular la Nueva Solución. Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000 R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200 R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000 R4 S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100 Nueva Solución: S1 = 200 X2 = 18,000 S3 = 1100 Z = 360,000
  75. 75. Método Simplex4to. Paso:Calcular la Nueva Solución. Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución R1 Z 0 0 340 30 0 428,000 R2 X1 1 0 40 - 20 0 8,000 R3 X2 0 1 0 20 0 14,000 R4 S3 0 0 -3 1 1 500 Solución óptima: X1 = 8,000 X2 = 14,000 S3 = 500 Z = 428,000
  76. 76. Solución por Gauss-Jordan Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2 s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000 X1, X2 > 0El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneuna solución única dado que n>m. En general, el Número desoluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donden>m, es: n! 5! m Cn= = = 10 soluciones básicas. m! (n-m)! 3! (5-2)!Dado que n-m = 2; para la construcción de la matriz, debemosasignar le 0 (cero) en cada interacción a dos variables.
  77. 77. Solución por Gauss-JordanCreación de la Tabla: por cada solución básica se asignan ceros a dos variables. Solución Básica X1 X2 S1 S2 S3 F.O. 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 10 0 0
  78. 78. Solución por Gauss-Jordan Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0 0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000 X1, X2, S1, S2, S3 > 0Solución Básica Inicial: S1 S2 S3 Solución 1 0 0 1100 0 1 0 1800 0 0 1 2000
  79. 79. Solución por Gauss-JordanSolución Básica Inicial: Solución Básica X1 X2 S1 S2 S3 F.O. 1 0 0 1100 1800 2000 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 10 0 0
  80. 80. Solución por Gauss-Jordan X2 S2 S3 Solución Solución 2: 0.05 0 0 1100 0.10 1 0 1800 0.05 0 1 2000 R1 X2 S2 S3 Solución 0.05 0.05 0 0 1100 0.10 1 0 1800 0.05 0 1 2000 X2 S2 S3 Solución 1 0 0 22000 0.10 1 0 1800R1*(-0.10) + R2 0.05 0 1 2000R1*(-0.05) + R3 X2 S2 S3 Solución 1 0 0 22000 0 1 0 - 400 0 0 1 900
  81. 81. Solución por Gauss-JordanSolución Básica X1 X2 S1 S2 S3 F.O. 1 0 0 1100 1800 2000 0 2 0 22000 0 - 400 900 440,000 Solución No factible 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 10 0 0
  82. 82. Solución por Gauss-JordanSolución Básica X1 X2 S1 S2 S3 F.O. 1 0 0 1100 1800 2000 0 2 0 22000 0 - 400 900 440,000 Solución No factible 3 0 18000 200 0 1100 360,000 4 0 40000 -900 - 2200 0 800,000 Solución No factible 5 22000 0 0 700 -200 407,000 Solución No factible 6 36000 0 -700 0 -1600 666,000 Solución No factible 7 20000 0 100 800 0 370,000 8 8000 14000 0 0 500 428,000 9 18000 4000 0 500 0 413,000 10 14676.6 10666.6 - 166.6 0 0 Solución No factible Z = 428,000; 5 Soluciones Básicas No Factibles; X1 = 8,0001; 1 Solución Básica Factible Óptima; X2 = 14,000; 4 Soluciones Básicas Factibles No Óptimas; S3 = 500. 0 Soluciones Básica Degeneradas.
  83. 83. Método Gráfico Importante: Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000 X1, X2 > 0
  84. 84. Método Gráfico Importante: Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión. Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2 s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100 0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800 0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000 X1, X2 > 0Obtención de pares ordenados a partir de cada restricción:0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100Haciendo X1 = 0 Haciendo X2 = 0Sí , X1 = 0, X2 = 22000 Sí , X2 = 0, X1 = 22000Punto 1: (0, 22000) Punto 2: (22000, 0)
  85. 85. Método GráficoGraficar en el Primer Plano: Punto 1: (0, 22000) Punto 2: (22000, 0) X2 Restricción: 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100 (0, 22000) (22000, 0) 0 X1
  86. 86. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES” Ejemplo: Hallar la solución óptima del siguiente problema: Máx X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3 s.a. 2X1 + X2 + X3 < 2 3X1 + 4X2 + 2X3 > 8 2X1 + 3X2 + X3 = 6 Xj > 0
  87. 87. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 1:Escribir el problema en forma estándar e incorporar la función objetivo a lasrestricciones: X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 0 2X1 + X2 + X3 + S1 = 2 3X1 + 4X2 + 2X3 - S2 = 8 2X1 + 3X2 + X3 = 6
  88. 88. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 2:Como existen tres restricciones, deben existir tres vectores unitarios. Observamosen el caso que sólo existe uno (S1), ya que S2 es negativo, debemos insertarvariables artificiales.Al incorporar las variables artificiales, recordar que debemos penalizar la funciónobjetivo con “un valor muy superior a cero” al que definiremos como “M”. Para elloprimero, insertemos las variables artificiales en las restricciones que sea necesario,y ello es en donde no se tenga un vector unitario: X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 0 2X1 + X2 + X3 + S1 = 2 3X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 8 2X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6
  89. 89. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 2:Una vez colocadas las variables artificiales en las restricciones, ahora penalizar lafunción objetivo con una valor “Muy Grande” a través de “M”:Max X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3 -MA1 -MA2 = 0 entonces: X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 + MA1 + MA2 = 0 2X1 + X2 + X3 + S1 = 2 3X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 8 2X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6
  90. 90. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 3:Incorporar el sistema al Tableu:Como A1 y A2 alteran las ecuaciones, en la primera oportunidad deben salir delsistema. Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 SoluciónR1 X0 1 -3 -2 -3 0 0 M M 0 -3M-3 -4M-2 -2M-3 0 M 0 M -8M X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14MR2 S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2R3 A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8R4 A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6 R3(-M)+R1 R4(-M)+R1
  91. 91. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad. Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución Cociente X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2 2/1= 2 A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8 8/4= 2 A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6 6/3= 2 ¿cuál sale?
  92. 92. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad. Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución Cociente X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2 2/1= 2 A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8 8/4= 2 A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6 6/3= 2 Como los tres cocientes son iguales, es recomendable utilizar algún método de “desempate”, de tal forma que no se cicle el proceso de solución. Para ello estudiaremos dos métodos: • PERTURBACIÓN. • LEXICOGRÁFICO.
  93. 93. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Desempate” PERTURBACIÓN:Este método modifica los recursos (bi). bi = bi + âi1 ε1 + ai2 ε2 + ai1 ε3 + ... + âin εnen donde ε adopta valores cercanos a cero : ε → 0Supongamos que ε = 0.01Ѣ1 = 2 + 2(0.01)1 + 1(0.01)2 + 1(0.01)3 + 1(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 0(0.01)7 = 2.02Ѣ2 = 8 + 3(0.01)1 + 4(0.01)2 + 2(0.01)3 + 0(0.01)4 - 1(0.01)5 + 1(0.01)6 + 0(0.01)7 = 8.03Ѣ3 = 6 + 2(0.01)1 + 3(0.01)2 + 1(0.01)3 + 0(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 1(0.01)7 = 6.01
  94. 94. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Desempate” PERTURBACIÓN:Una vez obtenidos los valores br afectados, recalcular los cocientes con losnuevos valores br : S1 = 2.02/1 = 2.02 A1 = 8.03/4 = 2.0075 A2 = 6.02/3 = 2.006 Sale de la Base
  95. 95. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Desempate” LEXICOGRÁFICO:Considera los elementos de los vectores unitarios para obtener cocientesbásicos. Si el producto cociente no logra ser desempatado, se proseguirácon el siguiente vector.En nuestro caso tenemos tres vectores. El vector primario es S1 , elsecundario A1 , y el terciario A2. Ellos se aprecian en la Base del Tableu, enel orden de aparición de sus restricciones respectivas.A cuerdo a nuestro caso, el primer desempate se da como sigue:Ѳ1 = 1er vector básico/yrk ,si existe empate, se prosigue con elsegundo vector Ѳ2 , hasta su agotamiento.
  96. 96. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Desempate” LEXICOGRÁFICO: Variable en la Ѳ1 Ѳ2 Ѳ3 Base S1 2/1 = 2 1/1 = 1 A1 8/4 = 2 0/4 = 0 ¼ = 0.25 A2 6/3 = 2 0/3 = 0 0/3 = 0 Menor cociente
  97. 97. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad. Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución Cociente X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2 2/1= 2 A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8 8/4= 2 A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6 6/3= 2 ¿cuál sale?
  98. 98. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad. Base X1 X2 X3 S1 S2 A1 Solución -2/3 M– X0 -1/3 M – 5/3 0 7/3 0 M 0 4 S1 4/3 0 2/3 1 0 0 0 A1 1/3 0 2/3 0 -1 1 0 X2 2/3 1 1/3 0 0 0 2
  99. 99. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad. Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución X0 -1/2 0 0 0 -7/2 M 4 S1 1 0 0 1 1 0 X3 1/2 0 1 0 - 3/2 0 X2 1/2 1 0 0 1/2 2
  100. 100. VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX “Método de Penalización o Método de las EMES”PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad. Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución X0 3 0 0 7/2 0 4 S2 1 0 0 1 1 0 X3 2 0 1 3/2 0 0 X2 0 1 0 - 1/2 0 2 X0 = 4; Solución Factible Óptima Degenerada: S2=0; X3=0; X2=2.
  101. 101. MÉTODO DOBLE FASE Este método surge como alternativa a la resolución con el método de la “M”, y como su nombre lo indica, se resuelve, en dos fases.Este método atiende casos en los que puede encontrarse restriccionesno sólo del tipo <, sino también del tipo >, o en su forma estándar ( = ).
  102. 102. MÉTODO DOBLE FASEEn la fase I, se intenta determinar una solución básicafactible a partir de la minimización de la función objetivoartificial, obtenida ésta como suma de todas las variablesartificiales consideradas (o maximización con signonegativo de las variables artificiales).Si el valor de este objetivo artificial es cero, tendremosuna solución inicial para el problema original, y entoncesse pasa a la fase II. En otro caso, el problema esinfactible.
  103. 103. MÉTODO DOBLE FASEEn la fase II, se aplica el método simplex al problemaoriginal (si no se tienen variables artificiales en la base alfinal de la fase I), utilizando la solución básica obtenida enla primera fase, como solución de partida.Si al final de la fase I existen en la base variablesartificiales (con valor a cero), la función objetivo que seconsidera es la original del problema más esas variablesartificiales, a las que se les asigna un coeficiente cj nulo.Cuidar que al principio de la fase II se prescinda de lascolumnas correspondiente a las variables artificiales queestuviesen en la base al final de la fase I.
  104. 104. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución Paso 0. Poner el modelo en la forma estándar. Modelo Forma EstándarMin X0 = 4 X1 + X2 X0 - 4X1 - X2 – A1 + 0S1 – A2 + 0S2 = 0 3 X1 + X2 + A1 =3s.a. 3 X1 + X2 = 3 4 X1 + 3 X2 - S1 + A2 =6 4 X1 + 3 X2 > 6 X1 + 2 X2 < 4 X1 + 2 X2 + S2 = 4 X1, X2 > 0
  105. 105. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Paso 1.Modificar el objetivo considerando la maximización dela función objetivo artificial Zº, la cual se construyecambiando los coeficientes de la función objetivo delPaso 0 colocándoles -1 a las variables artificiales, y 0 alresto. X0 - 4X1 - X2 – 1 A1 + 0S1 – 1A2 + 0S2 = 0
  106. 106. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Paso 2.• Construir el Tableu.• Colocar la función objetivo artificial Zº (penalizada) como una fila (renglón) dentro del Tableu.• Sumar los elementos de filas (renglones) de las variables artificiales que se encuentren en la base a cada elemento de cada vector a la función objetivo original, y crear una nueva función objetivo Z*.
  107. 107. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I. Paso 2. Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución Zº 0 0 0 0 -1 -1 0 Z* 7 4 -1 0 0 0 9 A1 3 1 0 0 1 0 3 A2 4 3 -1 0 0 1 6 S2 1 2 0 1 0 0 4X1 = 4 + 3 + 0 = 7; S1 = -1 + 0 + 0 = -1; A1 = 0 + 1 - 1 = 0
  108. 108. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Paso 2: Iniciar el proceso. Recordar que para eliminar del problema a las variables artificiales, la FO se reemplaza Temporalmente por la Minimización de la suma de dichas variables” Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución Z* 7 4 -1 0 0 0 9 A1 3 1 0 0 1 0 3 A2 4 3 -1 0 0 1 6 S2 1 2 0 1 0 0 4
  109. 109. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Paso 2: Iteración Nº 1. La solución no es óptima. Observe que como A1 salió de la base, ésta ya no aparece en el Tableu actual. Base X1 X2 S1 S2 A2 Solución Z* 0 5/3 -1 0 0 2 X1 1 1/3 0 0 0 3 A2 0 5/3 -1 0 1 6 S2 0 5/3 0 1 0 4
  110. 110. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Paso 2: Iteración Nº 2. Solución óptima de la Fase I. Base X1 X2 S1 S2 Solución Z* 0 0 0 0 0 X1 1 0 1/5 0 3/5 X2 0 1 -3/5 0 6/5 S2 0 0 1 1 1
  111. 111. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Conclusión:Dado que se tiene una solución óptima en la fase I, y lasvariables artificiales A1, y A2 han sido eliminadas,entonces el problema original sí tiene una soluciónfactible, y para determinar ésta, se continua con la fase II.
  112. 112. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE I.Conclusión:Si se llegase a presentar una solución óptima y lasvariables artificiales no lograran ser eliminadas, puedeocurrir que no exista una solución factible para elproblema, y puedan darse contradicciones, por ejemploque X1 < 5, y X1 > 20, lo cual No puede ser; o bien que elproblema inicial no esté adecuadamente planteado.
  113. 113. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE II.El proceso inicia con la incorporación de la funciónobjetivo original al Tableu óptimo de la fase I, y seprocede a efectuar los ajustes necesarios para que lasvariables que deciden al problema continúen siendounitarias.Una ves arreglado el Tableu, se continua con laaplicación de los criterios de Optimalidad yFactibilidad según la FO original, hasta llegar a lasolución óptima final.
  114. 114. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE II. Paso 3: Incorporación de Z0 original al Tableu. Base X1 X2 S1 S2 SoluciónIncorporación de Z0 original. Z0 -4 -1 0 0 0Renglón Z0 ajustado. Z0 0 0 1/5 0 18/5 El ajuste se realiza X1 1 0 1/5 0 3/5 mediante operación de renglón. X2 0 1 -3/5 0 6/5 S2 0 0 1 1 1
  115. 115. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE II.Paso 4: Continuar aplicando los criterios deOptimalidad y Factibilidad.. Base X1 X2 S1 S2 Solución Z0 0 0 1/5 0 18/5 X1 1 0 1/5 0 3/5 X2 0 1 -3/5 0 6/5 S2 0 0 1 1 1
  116. 116. MÉTODO DOBLE FASE Algoritmo de solución FASE II.Base X1 X2 S1 S2 Solución Solución óptima Z0 0 0 0 -1/5 17/5 Z0 = 17/5 X1 1 0 0 -1/5 2/5 X1 = 2/5 X2 = 9/5 X2 0 1 0 3/5 9/5 S1 0 0 1 1 1
  117. 117. DUALIDADAntecedentes: • La programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. • Las variables de decisión, en cada caso la solución óptima, explica cómo podrían ser asignados los recursos para obtener un objetivo establecido.
  118. 118. DUALIDAD Todo problema de PL tiene asociado a él otro problema cuya formulación se deriva del primero. Un problema es llamado “primo” (primero) y el otro dual.Ahora veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de programación dual.
  119. 119. DUALIDADLa “solución óptima” del problema de programación dual, proporcionainformación respecto del problema de programación original, tal como: 1. los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original. 2. la solución óptima del problema original y viceversa. Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programación primal.
  120. 120. DUALIDAD Problema Dual cuando el primo está en la forma canónica:Primo: Max X0 = ∑ Cj Xj Dual: Min X0 = ∑ bi YI n ns.a. ∑ j=1 aij Xj < bi ; i = 1, 2, …, m. ∑ aijj=1 i X > Cj n Xj > 0 n Yi > 0 j=1 j=1en donde Yi , es la variable dual asociada a la i-ésima restricción primal. “A PARTIR DEL DUAL PODEMOS TOMAR DECISIONES”
  121. 121. DUALIDADEl problema DUAL se obtiene del problema primo de la siguiente manera, y viceversa:1. Cada restricción en un problema corresponda a una variable en el otro.2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en el problema son iguales a los coeficientes respectivos de la F.O. en el otro.3. Un problema busca Maximizar y el otro Minimizar.4. El problema de Maximizar tiene problemas de “ < “ y el de Minimizar, tiene “ > “.5. Las variables en ambos problemas son No-Negativas. PRIMO: DUAL: Max X0 = C1 X1 + C2 X2 Min X0 = b1 Y1 + b2 Y2 s.a. a11 X1 + a12 X2 < b1 s.a. a11 y1 + a12 y2 > C1 a21 X1 + a22 X2 < b2 a21 Y1 + a22 Y2 > C2 X1 , X2 > 0 Y1 , Y2 > 0
  122. 122. DUALIDAD Correspondencia Primal-Dual del primo al Dual del Dual al PrimoMax MinRestricción < Variables >Restricciones = Variables irrestrictasRestricciones > Variables < 0Variables > 0 Restricciones >Variables irrestrictas Restricciones =Variables negativas (0 < ) Restricciones <
  123. 123. DUALIDADDurante una solución PRIMO, encontraremos que los valores de lasiteraciones en el Primo SERÁN MAYORES que los valores de laiteraciones del DUAL, sin embargo al final (la última iteración) se llega almismo resultado. Tipos de soluciones PRIMO DUAL Óptimo Óptimo No Factible o No Acotado No Factible No Factible No Acotado o No Factible
  124. 124. DUALIDAD “Precio Sombra”Se define como la proporción con que mejora el valor de la funciónobjetivo a partir de la i - ésima restricción, dependiendo si se tratade maximización tiende a aumentar, y a disminuir cuando es deminimización.
  125. 125. DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL MODELO DUAL”Una compañía produce dos tipos de artículos: la unidad del Tipo I quese vende a $106 pesos, y la del Tipo II a $144 pesos.Para el presente mes la empresa cuenta con 2000 minutos de mano deobra en el departamento de ensamble, 1800 minutos en eldepartamento de revisión, y con 1000 minutos en el departamento deempaque.El número de minutos requeridos en cada departamento para lafabricación de una unidad de cada uno de los artículos se proporcionaen la siguiente Tabla. Tiempo disponible (min) en los departamentos Artículo Ensamble Revisión Empaque Tipo I 3 2 1 Tipo II 2 3 2
  126. 126. DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL MODELO DUAL”Otros datos: Pago por cada minuto de trabajo en departamentos Ensamble Revisión Empaque $10 $8 $20El administrador de la empresa desea determinar el programa deproducción que maximice la utilidad total del mes de la compañía.
  127. 127. DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL MODELO DUAL”Tabla de costos, y determinación de la utilidad neta por artículo: Artículo Concepto Tipo I Tipo II Precio de Venta 106 144 Costo de producción 66 84 Costo de ensamble 30 20 Costo de revisión 16 24 Costo de empaque 20 40 Utilidad unitaria neta 66 84
  128. 128. DUALIDAD Construcción del modeloDefinición de la variable:Sea Xi, el número de artículos del Tipo i (i= 1, 2) que deben producirsemensualmente, a fin de maximizar la utilidad de la compañía. Máx X0 = 40X1 + 80X2 s.a. 3X1 + 2X2 < 2000 min (depto. ensamble) 2X1 + 3X2 < 1800 min (depto. revisión) X1 + 2X2 < 1000 min (depto. empaque) Xi > 0; Vi
  129. 129. DUALIDADWin QSB
  130. 130. DUALIDADSolución mediante Win QSB Incremento en $ por cada minuto que se incremente en los departamentos.

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