1. RUBEN BLANCAS RIVERA
LA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO DE VISTA
ANÁLITICO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMÁTICAS
BUAP
FECHA: 30 DE NOVIEMBRE 2012
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2. Índice
1. Definición………………………………………………………………………..3
2. Ecuación canoníca …………………………………………………………….4
3. Ecuación general……………………………………………………………….6
4. Trasformación de la forma general a la forma canoníca…………………...6
5. La circunferencia como cónica………………………………………………..8
6. Algunas aplicaciones de la circunferencia………………………………….9
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3. INTRODUCCIÓN
Después de la recta, la línea más familiar es la circunferencia, ya que desde los
inicios conocemos sus propiedades, pero es hasta el nivel bachillerato cuando el
alumno la ve desde un punto de vista analítico. El objetivo de este ensayo es
mostrar el punto de vista analítico que tiene la circunferencia. Este ensayo
comenzaremos por darle la definición apropiada a la circunferencia, después
obtenemos una de las formas más simples de representar analíticamente a la
circunferencia, para seguir con su ecuación cartesiana o general de este lugar
geométrico, luego veremos algunas observaciones sobre la circunferencia, así
concluiremos algunas aplicaciones y un ejercicio.
Este ensayo queda dirigido específicamente a los estudiantes de bachillerato, que
llevan su curso de geometría analítica.
DEFINICIÓN
Veamos las siguientes definiciones:
Wooton, W. Beckenbach E. & Fleming, L. (1985) “define a la circunferencia
como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano”
Lehman C. (1980) “la definen como el lugar geométrico (conjunto) de todos los
puntos del plano que están a una distancia dada (radio) de un punto dado (centro).
Al segmento cuyos extremos son el centro der círculo y aun punto de la
circunferencia se llama segmento radial”
Así citando estas definiciones podemos crear una en base a estas y es la
siguiente:
La circunferencia es el lugar geométrico, de todos los puntos del plano donde la
distancia con respecto a un solo punto llamado centro es siempre constante.
ECUACIÓN CANONICA
El tipo más simple de ecuación ordinaria de una curva se denomina
frecuentemente, forma canónica, donde la ecuación ordinaria de una curva es la
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4. forma que nos permite obtener más rápida y fácilmente sus características
importantes.
A continuación vamos a mostrar cómo se obtiene la ecuación canónica de la
circunferencia, esta ecuación se obtiene en base a la definición de este lugar
geométrico ya dado. Mediante algunos pasos sencillos de algebra elemental y
conociendo la definición de distancia entre dos puntos del plano podemos llegar al
objetivo de sección.
FIGURA 1.1
Sea cualquier punto de la circunferencia, o un punto genérico de ese lugar geométrico, y
Denotaremos a la distancia de P a C como
Luego, pongamos , o bien si tenemos
(Definición de distancia)
Así como ambos lados de la ecuación son positivos, podemos obtener el cuadrado de la ecuación
anterior y asi obtener lo siguiente:
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5. A esta ecuación se le llama, ecuación canoníca de la circunferencia.
Luego si el centro de la circunferencia es el origen, o sea , la ecuación
canoníca se reduce al siguiente término:
EJEMPLO 1.1
Halla la ecuación canónica de la circunferencia con centro y radio .
Solución: Note usted que un punto (x,y) del plano se encuentra en la circunferencia dada, si y
sólo si :
(1)
Así usando la definición de distancia entre dos puntos del plano obtenemos la siguiente ecuación:
(2)
(3)
(4)
Así de la ecuación 1, tenemos que:
(5)
Note que ambos miembros de la ecuación son únicos así al tomar el cuadrado de ambos se
obtiene:
(6)
Así la ecuación (6) representa la ecuación canónica de la circunferencia de centro y radio
.
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6. ECUACIÓN GENERAL
Desarrollaremos la ecuación canoníca de la circunferencia.
(1)
Luego, desarrollaremos los cuadrados, de la ecuación (1) para obtener la siguiente
ecuación:
(2)
Así, usaremos la asociatividad de los reales para tener,
(3)
Luego definamos de la ecuación (3) a
Así obtenemos la siguiente ecuación, sustituyendo.
Esta ecuación representa la forma general en la que podemos expresar a una
circunferencia. Donde se le denomina comúnmente ecuación general, o ecuación
cartesiana de la circunferencia.
TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A LA FORMA
CANONICA DE LA CIRCUFERENCIA
Recordemos la forma de la ecuación general o cartesiana de la circunferencia.
(1)
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7. Luego, usaremos un poco de algebra, lo cual es primero despejar y completar
cuadrados.
(2)
Después, la ecuación (2) se reducirá a lo siguiente, ya que al completar cuadrados
obtuvimos un binomio cuadrado perfecto.
(3)
Analizando la parte derecha de la ecuación (3), observe los siguientes casos:
1.- Si la ecuación (3) representa una circunferencia de radio:
Y centro: .
2.- Si la ecuación (3) representa un punto o
circunferencia de radio cero.
3.- Si entonces no hay lugar geométrico.
TANGENCIA DE LA CIRCUFERENCIA
FIGURA 1.3
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8. Se busca dada una recta tangente en un punto a la circunferencia , se tiene que
encontrar una ecuación de dicha recta.
Sea C una circunferencia de radio r y T (y´, x´) punto de tangencia, observe la
figura 1.3. Encontrar la ecuación de la recta tangente LT.
Sea , Note que LT es tangente a la circunferencia si y solo si
es perpendicular a .
Sea , punto genérico, note que , v es un vector de dirección de
LT.
Así si y sólo si v es perpendicular a r, o bien
Así
O bien si tenemos:
, la ecuación de la recta tangente en punto de C.
LA CIRCUFERENCIA COMO CONICA
Se le llama cónica a las figuras geométricas obtenidas interceptando un doble
cono circular recto con un plano.
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9. FIGURA 1.3
Se le llama cónica a las figuras geométricas obtenidas interceptando un doble
cono circular recto con un plano.
Si el plano corta completamente a lo largo de uno de los dos conos, y este plano
es perpendicular al eje del cono como se muestra en la FIGURA 1.1, la curva de la
sección obtenida se denomina circunferencia
ALGUNAS APLICACIONES DE LA CIRCUFERENCIA EN LA VIDA
COTIDIANA
La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que
están normalmente en la vida, aunque no lo parezca y desde los tiempos antiguos
que es usada. En la prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio a toda la
tecnología de hoy en día, todo gracias a este invento, la rueda, y aunque sea
indirectamente, y en este caso tenemos aplicaciones de la circunferencia. Está en
todas partes.
Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas hoy en día, por ejemplo
los CD's que aunque parezcan piezas ordinarias en la música actual requieren de
mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación
se utilizan las técnicas del radio y del diámetro.
La Circunferencia es un elemento geométrico de mucha importancia. Esta muy a
diario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas técnicas de gran
precisión con productos como los Cds, los relojes, etc.
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10. También podemos decir que gracias a esto, tenemos mucha más seguridad a la
hora de comprar cosas como una bicicleta ya que sabemos que en ella han
trabajado Ingenieros que conocen muy bien a la Circunferencia y aprovechan al
máximo todo lo que esta les puede entregar.
Para finalizar, tenemos el siguiente problema que nos ayudara a usar los
conceptos obtenidos de la circunferencia.
PROBLEMA: Un servicio sismológico de Baja California detectó un sismo con
origen en la ciudad de Mexicali a 5 km este y a 3km sur del centro de la ciudad,
con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del
área afectada? Utilizando esta ecuación, indica si afecto a la Ciudad de Mexicali.
SOLUCIÓN: Note que el epicentro se encuentra en (5,-3) , un punto del plano
donde el eje x delimitado con dirección hacia x positiva el este, hacia x negativa el
oeste ,y el eje y , hacia el norte las y positiva y al sur las y negativa, así por
hipótesis este punto tiene sentido en el plano de acuerdo a como se dio las
direcciones. Así obtenemos de acuerdo a la hipótesis una circunferencia de radio
r=4 con centro en (5,-3). Usando la ecuación canoníca de la circunferencia:
Así la ecuación de la circunferencia pedida es
Observemos que la ciudad de Mexicali se encuentra en el punto (0,0), veamos qué
(0,0) satisface la ecuación de la circunferencia así sabremos si afecta a la ciudad
el sismo o no.
Al sustituir vemos que no satisface la ecuación, por lo tanto, el sismo no afecto la
Ciudad de Mexicali.
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11. CONCLUSIÓN
Con esta teoría sobre las representaciones analíticas que tiene la circunferencia
podemos tener una noción más de este lugar geométrico, se vio que no es
complejo entender todo esto, se necesitan nociones muy básicas de algebra y
geometría analítica. Cuando se inició todo esto se buscaba dar una breve pero
entendible explicación sobre la circunferencia en la geometría analítica.
Se espera que para el estudiante, este ensayo haya sido de lo más fructífero,
además de constituís un aprendizaje paralelo al del salón de clases.
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12. REFERENCIAS:
Wooton ,W. (1979) Geometría Analítica México: McGraw hill
Lehmann ,C. (1990).Geometría Analítica. México: Limusa
Kindle ,J. (1988). Geometría Analítica. México: McGraw hill
Kletenik, D. (1998). Geometría Analítica. México: McGraw hill
Grossman, S. (2008). Algebra Lineal. México: McGraw hill
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