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  1. 1. Automatizaci´n de Procesos Industriales o (REPASO TEORIA DE CONTROL) Ingeniero de Organizaci´n. Curso 1o o Jose Mari Gonz´lez de Durana a Dpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU Vitoria-Gasteiz Marzo 2002
  2. 2. 2
  3. 3. Indice1. Modelos de procesos continuos 5 1.1. Procesos de tiempo cont´ ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. La realimentaci´n en los sistemas de control . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Elementos b´sicos un sistema de control . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Dise˜o de los sistemas de control . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1. Nociones de estabilidad, rapidez y precisi´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Clasificaci´n de los sistemas de Control . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6. Modelo de funci´n de transferencia . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. Modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8. Linealizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.9. Transformaciones entre modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Respuesta temporal 21 2.1. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Grafos de flujo de se˜al . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. C´lculo de la respuesta temporal a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6. Respuesta del modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.1. An´lisis Modal . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423. Respuesta de frecuencia 45 3.1. Respuesta de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3. Diagramas de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5. Trazado por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.7. M´rgenes de fase y de ganancia . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594. Lugar de las ra´ ıces 63 4.1. Fundamento del m´todo . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2. Reglas b´sicas del trazado del lugar de las ra´ a ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Trazado del lugar de las ra´ıces por computador . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3
  4. 4. 4 INDICE5. Funcionamiento de los sistemas de control 71 5.1. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2. An´lisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3. Sensibilidad a las variaciones de los par´metros a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4. Sensibilidad a las variables perturbadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5. Indicies de comportamiento de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.6. Estabilidad de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.7. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876. Sistemas de Tiempo Discreto 95 6.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Sistemas de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2.1. Sistemas intr´ ınsecamente discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2.2. Sistemas controlados por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.3. Sistemas de tiempo continuo muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.4. Reconstrucci´n de la se˜al muestreada . . . . . . . . . . o n . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4.1. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4.2. Teorema de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.4.3. El elemento de retenci´n de orden cero (ZOH) . o . . . . . . . . . . . . . . 100 6.4.4. La transformada estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5. La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5.1. Propiedades y teoremas de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.5.2. Transformadas de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . 102 6.5.3. Transformada z de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6. Ecuaciones diferencia y funciones de transferencia en z . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7. Obtenci´n de la transformada z inversa . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.1. M´todo de integraci´n compleja . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.2. M´todo de la divisi´n directa . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.3. M´todo de expansi´n en fracciones simples . . . e o . . . . . . . . . . . . . . 106 6.8. M´todo de resoluci´n num´rica de la ecuaci´n diferencia e o e o . . . . . . . . . . . . . . 106 6.9. Modelos matem´ticos de los sistemas de tiempo discreto a . . . . . . . . . . . . . . 107 6.9.1. Filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.9.2. Sistemas continuos muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.9.3. Modelo de estado de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097. Sistemas controlados por computador 113 7.1. Estabilidad en el plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2. Dise˜o del controlador digital . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.1. Equivalencia al muestreo y retenci´n.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.2. Invariancia al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.3. Invariancia al escal´n . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2.4. Integraci´n num´rica . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.5. Coincidencia de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.6. Transformaci´n bilineal . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2.7. M´todos modernos de dise˜o. . . . . . e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
  5. 5. Cap´ ıtulo 1Modelos de procesos continuos Los procesos continuos o, mejor dicho, de tiempo continuo, son los que admiten modelos mate-m´ticos relativamente simples, basados en ecuaciones diferenciales. Estos modelos muchas veces ason lineales, o admiten ser linealizados, por lo que se obtienen con relativa facilidad y son exactos(siempre y cuando las hip´tesis supuestas sean ciertas). Suelen representar el comportamiento ode sistemas f´ısicos que siguen leyes f´ ısicas elementales. Los procesos continuos pueden controlarse utilizando controladores anal´gicos o digitales odando lugar, respectivamente, a sistemas de control anal´gicos a sistemas controlados por com- oputador.1.1. Procesos de tiempo cont´ ınuo Tiempo continuo significa que la variable independiente de las ecuaciones del modelo ma-tem´tico es el tiemp t del proceso y que ´ste var´ de forma continua en un intervalo de R. Las a e ıaecuaciones diferenciales del modelo son, en general, ecuaciones en derivadas parciales (EDP)pero muchas veces se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) e incluso aveces a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y con coeficientes constantes. Esto da lugara la siguiente clasificaci´n de los sistemas de tiempo cont´ o ınuo: Sistemas de par´metros distribuidos (EDP) a Sistemas de par´metros concentrados (EDO) a Sistemas lineales (EDO lineales) Sistemas lineales de par´metros constantes (EDO lineales con coeficientes constantes) a De todos ellos los ultimos son los m´s simples y para ellos se ha desarrollado una teor´ ´ a ıamatem´tica muy potente basada en el Algebra Lineal. Esto es importante para el ingeniero ya aque puede calcular con facilidad la soluci´n de muchos problemas que aparecen en algunas ramas ot´cnicas como por ejemplo e Circuitos el´ctricos e Sistemas mec´nicos a Sistemas t´rmicos e Sistemas de fl´idos u 5
  6. 6. 6 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Amplificadores electr´nicos o Sistemas de control Rob´tica o Sistemas din´micos lineales en general a Los paquetes inform´ticos denominados Computer Aided Control System Design (CACSD) ason de gran ayuda para estos menesteres. Algunos de ellos son Matlab y Scilab.Par´metros y variables a En los modelos matem´ticos las magnitudes que evolucionan en el tiempo se llaman variables adel sistema o, a veces, se˜ales. Estas variables son funciones de la variable independiente t, que nrepresenta el tiempo. Las magnitudes que no evolucionan (o cuya evoluci´n no se tiene en cuenta) se llaman opar´metros del sistema. a En cada uno de los sistemas f´ ısicos que vamos a estudiar (mec´nicos, el´ctricos, t´rmicos, de a e efluidos, t´rmicos y mixtos) existe un conjunto de variables y par´metros que lo caracterizan. En e alos sistemas el´ctricos, por ejemplo, las variables son el voltaje, la carga, la intensidad, el flujo emagn´tico, etc. mientras que los par´metros son la resistencia, el coeficiente de autoinducci´n, la e a ocapacidad, etc. En los sistemas mec´nicos de translaci´n las principales variables que intervienen a oson la fuerza f , el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleraci´n a siendo sus par´metros o asignificativos la masa m, el componente de rozamiento b y el componente de elasticidad k. Enlos sistemas mec´nicos de rotaci´n estas variables son el momento T , el desplazamiento angular a oθ, la velocidad angular ω y la aceleraci´n α siendo sus par´metros significativos el momento de o ainercia J, el componente de rozamiento B y el componente de elasticidad K. En los sistemas t´rmicos las variables son el flujo calor´ e ıfico q y la temperatura θ , y lasvariables la resistencia t´rmica Rt y la capacitancia t´rmica Ct . Y, por ultimo, en los sistemas e e ´de fluidos las variables son el caudal f y la presi´n p y sus par´metros la resistencia del fluido o aRf , la inductancia del fluido Lf y la capacitancia del fluido Cf [?, sec. 2.2]. Clase de Sistema Variables Par´metros a Sistemas Mec´nicos (tras.) a f, x, v, a m, k, b Sistemas Mec´nicos (rot.) a T, θ, ω, α m, k, b Sistemas El´ctricos e v, i, φ R, L, C Sistemas T´rmicos e θ, q Rt , Ct Sistemas de Fluidos p, f Rf , CfA pesar de las diferencias que existen entre las variables que caracterizan a las distintas clases desistemas f´ ısicos, existen ciertas semejanzas fundamentales que pueden y deben ser aprovechadasde manera que la modelizaci´n resulte sencilla y a ser posible unificada para todos los sistemas. o1.2. La realimentaci´n en los sistemas de control o Un sistema de control sirve para controlar el valor de ciertas variables de salida por mediode otras variables de entrada. Hay dos procedimientos para ello denominados control en lazo abierto y control en lazocerrado. Veamos c´mo funcionan en el caso monovariable. o
  7. 7. ´1.3. ELEMENTOS BASICOS UN SISTEMA DE CONTROL 7 En el control en lazo abierto (figura 1.1) la entrada u(t) act´a directamente sobre el dispo- usitivo de control (controlador) C del sistema para producir el efecto deseado en la variables desalida, aunque sin comprobar el valor que toma dicha variable. w(t) u(t) y(t) - m- ? - C P - Figura 1.1: Control en lazo abierto Un sistema de control en lazo cerrado tiene una entrada u(t), llamada de referencia o deconsigna, que sirve para introducir en el sistema el valor deseado para la salida y(t). Esta salidase mide con un de captador M y dicha medida ym (t) se compara con el valor u(t) de la entradade referencia. La diferencia (t) = u(t) − ym (t) entre ambos valores incide sobre el dispositivocontrolador C y la salida de ´ste, vc (t), sobre el elemento actuador A el cual a su vez ejerce la edebida acci´n sobre planta P en el sentido de corregir la diferencia (t). En la figura 1.2 se ha orepresentado un sistema de control en lazo cerrado. Con un razonamiento intuitivo podemos llegar a la conclusi´n de que el sistema en lazo ocerrado responde mejor ante la presencia de la entrada perturbadora w(t). Y as´ es en muchos ıcasos. Sin embargo, hay que ser muy cautos ante este tipo de razonamientos ya muchas vecesque pueden fallar. No es posible predecir el comportamiento del sistema con feedback sin conocerpreviamente su modelo matem´tico. a w(t) u(t) m (t) -+ - C vc (t) v(t) ? -+m r y(t) - A - P - − 6 ym (t) M Figura 1.2: Sistema de control en lazo cerrado El procedimiento de medir la se˜al de salida y restarla de la de entrada se llama realimenta- nci´n negativa. El lazo que se forma al realizar la realimentaci´n suele denominarse lazo o bucle o ode regulaci´n. o1.3. Elementos b´sicos un sistema de control a Los sistemas de control se pueden realizar con diversas tecnolog´ (mec´nica, neum´tica, ıas a aelectr´nica, etc.) pero sus elementos esenciales, indicados a continuaci´n, son siempre los mismos. o oAdvertimos, no obstante, que la terminolog´ puede ser algo enga˜osa en ciertos contextos, ıa nquiz´s por utilizaci´n inadecuada, por traducci´n defectuosa del Ingl´s o por uso generalizado a o o ede algunos t´rminos. As´ en nuestra ´rea de conocimiento el t´rmino controlar se usa en el e ı, a esentido de gobernar o conducir, mientras que en el lenguaje coloquial se dice a veces “controlar”con otro significado.
  8. 8. 8 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOSEntradas: son los terminales que tiene el sistema de control por los que puede recibir est´ ımulos que influyen en su evoluci´n. Pueden ser o Entradas de mando o de control: sirven para introducir ´rdenes. o Entradas de referencias o consigna: son entradas de mando que imponen los valores deseados a sus correspondientes salidas. Entradas perturbadoras: son entradas que reciben est´ ımulos indeseados.Salidas: son los terminales que tiene el sistema de control para emitir la respuesta, es decir, para que la respuesta pueda ser observada por el hombre o medida por una m´quina. aPlanta: es el objeto que se desea controlar. Es un conjunto de componentes y piezas ensambla- dos entre s´ y que cumplen una determinada funci´n. ı oProceso: es una serie de operaciones que se realizan sobre uno o varios objetos con un fin determinado.Perturbaciones: Son alteraciones que se pueden producir en los componentes de una planta o proceso.Controlador Es un dispositivo que procesa la se˜al (t), es decir la diferencia entre la entrada n de referencia u(t) y la medida de la salida ym (t), y produce una se˜al de salida v(t) n adecuada para controlar la planta.Actuador Es el dispositivo que convierte la se˜al de salida del controlador vc (t) en otra se˜al n n v(t), posiblemente de distinta naturaleza y generalmente de mayor potencia, y la aplica a la planta o proceso.Captador Es el dispositivo de medida. Convierte la se˜al de salida y(t) en otra magnitud n (generalmente el´ctrica) ym (t), apta para ser restada del valor de la entrada u(t). eEjercicio 1.3.1 Describir el funcionamiento de los siguientes sistemas de control e identificartodos los elementos b´sicos de cada uno de ellos. a 1. Sistema de control de la temperatura de una habitaci´n utilizando una estufa el´ctrica con o e termostato. 2. Sistema de control del nivel de un dep´sito de agua utilizando un flotador y una v´lvula. o a 3. Control de la trayectoria que sigue de un ser humano al desplazarse. 4. Control de posici´n de un ca˜on. o n´ 5. Control del nivel de un dep´sito. o 6. Regulaci´n de la velocidad de un motor. o 7. Control de la posici´n angular de un motor con reductor. o 8. Regulaci´n de la velocidad de la m´quina de vapor. o a
  9. 9. ˜1.4. DISENO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 91.4. Dise˜ o de los sistemas de control n Como hemos visto, la fase de an´lisis de un sistema tiene por objeto la obtenci´n de un a omodelo matem´tico a partir de observaciones y experiencias obtenidas a partir de un sistema areal. El problema inverso consiste en la s´ ıntesis o dise˜o y construcci´n, si procede, de un deter- n ominado sistema a partir de un supuesto modelo. Este problema se denomina realizaci´n. o La realizaci´n tiene en general una mayor dificultad que el an´lisis, precisando de la utiliza- o aci´n de conceptos matem´ticos de cierta complejidad. La realizaci´n tiene adem´s la dificultad o a o aa˜adida del montaje y puesta a punto ya que resulta pr´cticamente imposible construir un sis- n atema cuyo funcionamiento sea exactamente igual al previsto en el modelo. Por ello suele sernecesario un proceso de aproximaciones sucesivas con repetidas fases de an´lisis-s´ a ıntesis.1.4.1. Nociones de estabilidad, rapidez y precisi´n o Tanto en la fase de an´lisis como en la de s´ a ıntesis resulta de gran utilidad disponer dem´todos de medida que permitan cuantificar el comportamiento din´mico de los sistemas. Estas e amedidas se efect´an en t´rminos de las denominadas especificaciones de funcionamiento de los u esistemas din´micos de las cuales las m´s relevantes son estabilidad, precisi´n y rapidez [Ogata 82, a a osec. 10.1]. Estas especificaciones tratan de dar una medida del mayor o menor grado de buenfuncionamiento del sistema. La estabilidad es la especificaci´n m´s importante ya que es exclusiva, es decir, es una o acondici´n necesaria para el funcionamiento del sistema. Todo el mundo tiene una noci´n intuitiva o ode estabilidad. Cuando hablamos de la estabilidad (o inestabilidad) de un barco, de un avi´n, ode un autom´vil o de cualquier otro objeto din´mico, sabemos m´s o menos a qu´ nos estamos o a a erefiriendo. La inestabilidad puede provocar una r´pida parada o, en ocasiones, puede conducir aal deterioro e incluso a la destrucci´n del sistema. o La rapidez y la precisi´n son virtudes, esencialmente contrapuestas, exigibles en mayor o omenor medida a los sistemas de control. Parece l´gico, por ejemplo, que una m´quina herramienta o arealice sus operaciones de forma r´pida y precisa; sin embargo se puede ver intuitivamente que aciertas operaciones de gran precisi´n no pueden ser adem´s muy r´pidas. o a a1.5. Clasificaci´n de los sistemas de Control o Causalidad Los sistemas de control se pueden clasificar atendiendo a diferentes propieda- des. Se dice que un sistema es causal si existe una relaci´n de causalidad entre entradas y o salidas. Los sistemas f´ ısicos existentes en la Naturaleza son siempre causales. Atendiendo a esta propiedad tenemos • Sistemas causales • Sistemas no causales N´mero de variables Un sistema se denomina monovariable cuando tiene una unica variable u ´ de entrada y una unica variable de salida. En los dem´s casos se llama multivariable. ´ a Tenemos asi, • Sistemas monovariables
  10. 10. 10 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS • Sistemas multivariables Linealidad Seg´n que las ecuaciones diferenciales sean lineales o no lo sean: u • Sistemas lineales • Sistemas no lineales Evoluci´n en el tiempo o • Sistemas de tiempo continuo • Sistemas de tiempo discreto • Sistemas de eventos discretos Los sistemas de tiempo continuo son aquellos en que las magnitudes se representan por funciones continuas de la variable real tiempo. En los sistemas de tiempo discreto las magnitudes s´lo pueden tomar un n´mero finito de o u valores y son funciones de la variable discreta tiempo. Los sistemas de eventos discretos, hoy d´ llamados sistemas comandados por eventos ıa (event-driven systemas) o sistemas reactivos, son los que est´n comandados esencialmente a por se˜ales eventuales. Esto es, no existe un per´ n ıodo que marque las transiciones de las variables sino que ´stas evolucionan unicamente cuando en el sistema suceden ciertos e ´ sucesos o eventos con ellas relacionados. Invariancia de los par´mtros. a • Sistemas estacionarios • Sistemas no estacionarios Un sistema invariante en el tiempo o sistema estacionario es aquel cuyos par´metros no a var´ con el tiempo. La respuesta de un sistema estacionario es independiente del instante ıan de tiempo en el que se aplique la entrada y los coeficientes de la ecuaci´n diferencial que o rige el funcionamiento del sistema son constantes. Un sistema no estacionario es el que tiene uno o m´s par´metros que var´ con el tiempo. a a ıan El instante de tiempo en que se aplica la entrada al sistema debe conocerse y los coeficientes de su ecuaci´n diferencial dependen del tiempo. o Determinismo Seg´n que la evoluci´n del sistema pueda o no ser determinada con antela- u o ci´n: o • Sistemas estoc´sticos a • Sistemas deterministas Cuando se conocen exactamente las magnitudes que se aplican a las entradas y leyes que rigen la evoluci´n del sistema, su comportamiento futuro es predecible. Un sistema se o denomina determinista cuando, dentro de ciertos l´ ımites, su comportamiento futuro es predecible y repetible. De otro modo el sistema se denomina estoc´stico, por contener variables aleatorias. a Localizaci´n de los par´metros: o a
  11. 11. ´1.6. MODELO DE FUNCION DE TRANSFERENCIA 11 • Sistemas de par´metros concentrados a • Sistemas de par´metros distribuidos a En los primeros los par´metros se suponen concentrados en puntos concretos del sistema a mientras que en los segundos est´n distribuidos espacialmente. aEjercicio 1.5.1 En los siguientes sistemas de control identificar las entradas y salidas e indicarc´mo se controlan y como obtiene la respuesta. o Fuerza actuando sobre una masa Bicicleta Climatizador de un autom´vil o M´quina tragaperras a M´quina herramienta funcionando con un aut´mata. a oEjercicio 1.5.2 Poner ejemplos de otros sistemas de control y repetir con ellos el ejercicioanterior.1.6. Modelo de funci´n de transferencia o El modelo matem´tico de funci´n de transferencia se obtiene aplicando la transformaci´n de a o oLaplace a las ecuaciones diferenciales que modelizan un sistema lineal de par´metros constantes. a Si el sistema es monovariable la ecuaci´n diferencial que lo describe es de la forma (??): o (n) an y (t) + . . . + a2 y (t) + a1 y(t) + a0 y(t) ¨ ˙ (m) = bm u (t) + . . . + b2 u(t) + b1 u(t) + b0 u(t) ¨ ˙Apliquemos la transformaci´n de Laplace a las variables u(t) e y(t): o L[u(t)] = U (s) (1.1) L[y(t)] = Y (s)Para hallar la transformada de Laplace de la ecuaci´n diferencial (1.1) es necesario conocer los ovalores de las condiciones iniciales, es decir, los valores de la funci´n y de sus derivadas desde oprimer orden hasta orden n − 1 en el instante t = 0. Sean estos valores los siguientes: (n−1) y0 , y 0 , y0 , ˙ ¨ y0 (1.2)Aplicando la transformaci´n de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´n (1.1) obtenemos: o o (n−1) an [sn Y (s) − sn−1 y0 − . . . − y0 ] + . . . +a2 [s2 Y (s) − sy0 − y0 ] + a1 [sY (s) − y0 ] + a0 Y (s) ˙ (1.3) = U (s)[bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ]Pasando los t´rminos correspondientes a las condiciones iniciales al segundo miembro queda e Y (s)(an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 ) = U (s)(bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ) (n−2) (n−1) (1.4) +sn−1 an y0 + . . . + s[an y0 + . . . + a2 y0 ] + an y0 + . . . + a2 y0 + a1 y0 ˙
  12. 12. 12 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOSy haciendo cn−1 = an y0 ... (n−2) (1.5) c1 = an y0 + . . . + a2 y0 (n−1) c0 = an y0 + . . . + a2 y0 + a1 y0 ˙la ecuaci´n puede escribirse de la forma o bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 Y (s) = U (s) (1.6) an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 cn−1 sn−1 + . . . + c2 s2 + c1 s + c0 + (1.7) an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0Se define la funci´n de transferencia como el cociente entre las transformadas de Laplace de la osalida Y (s) y de la entrada U (s) del sistema cuando todas las condiciones iniciales son nulas. Esdecir bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 b(s) G(s) = n + . . . + a s2 + a s + a = (1.8) an s 2 1 0 a(s)Entonces la expresi´n de la transformada de Laplace de la salida del sistema puede escribirse o c(s) Y (s) = G(s)U (s) + (1.9) a(s)El polinomio denominador a(s) de la funci´n de transferencia se denomina polinomio carac- oter´ ıstico del sistema. La ecuaci´n o an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 = 0 (1.10)que resulta de igualar a cero el polinomio caracter´ ıstico se denomina ecuaci´n caracter´ o ıstica delsistema.Sistemas multivariables La generalizaci´n del concepto de funci´n de transferencia a sistemas multivariables se realiza o opor medio de la matriz de funciones de transferencia. La matriz de funciones de transferenciade un sistema con q entradas y p salidas es una matriz   g11 (s) . . . g1j (s) . . . g1q (s)  . .. . .   . . . .   . . .  G(s) =  gi1 (s) . . . gij (s) . . . giq (s)    (1.11)  . . .. .   . . . . . .  . gp1 (s) . . . gpj (s) . . . gpq (s)cuyos elementos son funciones racionales. El elemento gij de esta matriz denota la funci´n de otransferencia existente entre la salida yi y la entrada uj del sistema: Yi (s) gij (s) = (1.12) Uj (s)
  13. 13. 1.7. MODELO DE ESTADO 13 Los sistemas de ecuaciones diferenciales admiten una representaci´n m´s general que las o adadas por los modelos de funci´n de transferencia o de estado. Aplicando la transformaci´n de o oLaplace al sistema (??) obtenemos P (s)X(s) = Q(s)U (s) Y (s) = R(s)X(s) + W (s)U (s) (1.13)que se denomina descripci´n polin´mica del sistema o o1.7. Modelo de estado El modelo matem´tico de un sistema lineal monovariable de par´metros constantes es una a aecuaci´n diferencial ordinaria lineal o (n) an (t) x (t) + . . . + a2 (t)¨(t) + a1 (t)x(t) + a0 (t)x(t) = u(t) x ˙ (1.14)junto con otra ecuaci´n algebraica o (m) y(t) = bm (t) x (t) + . . . + b2 (t)¨(t) + b1 (t)x(t) + b0 (t)x(t), x ˙ (1.15)o bien un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Entonces es siempre posible despejar laderivada de orden m´ximo y obtener una expresi´n de la forma a o ˙ x = f (t, x), (1.16)que suele llamarse forma normal. Haciendo los cambios x1 := x, x2 := x, x3 := x, . . ., el sistema ˙ ¨se pueden escribir en la forma ˙ x = Ax + Bu A ∈ Rn×n B ∈ Rn×q (1.17) y = Cx + Du C ∈ Rp×n D ∈ Rp×qen donde       x1 u1 y1  x2  u2   y2  xi , uj , yk ∈ R x= .  u= .  y= .  (1.18)        .  . . . .. i = 1 . . . n, j = 1 . . . q, k = 1 . . . p. xn uq xp La primera ecuaci´n de (1.17) se llama ecuaci´n de estado y la segunda, ecuaci´n de salida. o o o1.8. Linealizaci´n o La teor´ de los sistemas lineales es aplicable a cualquier clase sistema din´mico cuyo com- ıa aportamiento pueda expresarse en la forma ˙ x = Ax + Bu y = Cx + DuLos sistemas f´ ısicos son en general no lineales. La mayor dificultad que surge en el estudio deestos sistemas es que no existen clases de sistemas no lineales, mediante las cuales su estudio
  14. 14. 14 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOSpodr´ asemejarse al de los sistemas lineales, sino que han de ser estudiados de forma individual ıay utilizando m´todos particulares en cada caso. Por ello los resultados que se obtienen no son egenerales sino que est´n circunscritos al ´mbito del sistema objeto de estudio. a a En muchos casos el unico m´todo existente para el estudio de un sistema no lineal dado, ´ eaparte de la experimentaci´n en el propio sistema, es la simulaci´n. Los actuales paquetes de o oCACSD (dise˜o asistido por computador de sistemas de control) permiten simular con facilidad nuna gran variedad de sistemas no lineales. Un m´todo muy importante para el estudio de los sistemas no lineales es el de Linealizaci´n. e oEste m´todo permite que algunos sistemas no lineales puedan ser considerados como lineales edentro de un entorno alrededor de cierto punto, o trayectoria, de funcionamiento. La importanciade este m´todo radica en que al convertir un sistema no lineal dado en otro lineal, pueden eaplicarse al mismo todos los resultados de la teor´ de Sistemas Lineales con lo que su estudio ıaresulta sistem´tico y los resultados obtenidos son generales en el ´mbito de los sistemas lineales. a a Sea un sistema din´mico no lineal definido por el sistema de ecuaciones no lineales de primer agrado ˙ x = f (x, t), x(t0 ) = x0 (1.19)donde f est´ definida en alg´n subconjunto abierto Ω × I ∈ Rn × R. Se dice que el sistema a udescrito por (1.19) tiene un punto de equilibrio aislado xe ∈ Rn si se cumple 1. f (xe , t) = 0, ∀t ∈ I 2. f (x, t) = 0, ∀t ∈ I ∀x = xe en alg´n entorno de x uComo xe es independiente de t, podemos escribir d ˙ x = (x − xe ) dt = f ((x − xe ) + xe , t) = g(x − xe , t)para alguna funci´n g. De aqu´ que o ı ˙ x = g(¯ ), x x = x − xe ¯ (1.20) ¯Entonces x = O es un punto de equilibrio de (1.20). Por tanto, podemos considerar siempre elorigen como un punto de equilibrio, sin m´s que realizar un simple cambio de coordenadas. a Si un sistema evoluciona con peque˜as desviaciones alrededor de un punto de funcionamiento no estado de equilibrio (x0 , u0 ), puede admitir ser linealizado en ese punto. De forma m´s general, ael sistema puede admitir ser linealizado a lo largo de una trayectoria (x0 (.), u0 (.)) en el espaciode estado. Vamos a suponer que el sistema est´ expresado en forma de un sistema de ecuaciones dife- arenciales de primer grado, en general no lineales, denominadas ecuaciones de estado: ˙ x = f (x(t), u(t), t), x ∈ Rn , u ∈ R q (1.21)y que {x0 (.), u0 (.)} es una soluci´n nominal del sistema, que representa una trayectoria en el oespacio de estado. Consideremos primeramente el caso monovariable x = f (x(t), u(t), t), ˙ x ∈ R, u ∈ R
  15. 15. ´1.8. LINEALIZACION 15Supongamos que perturbamos la soluci´n de forma que o x(t) = x0 (t) + δx(t), u(t) = u0 (t) + δu(t) (1.22)y que las potencias (δx)i , (δu)i , i 1, son muy peque˜as comparadas con δx, δu. Es decir n (δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i 1Derivando (1.22) tenemos ˙ ˙ ˙ x(t) = x0 (t) + δx(t)de donde ˙ δx(t) = x(t) − x0 (t) ˙ ˙Supongamos ahora que f (.) es lo suficientemente lisa (sin cambios bruscos) para admitir eldesarrollo en serie de Taylor f [x(t), u(t), t] = f [x0 (t), u0 (t), t] + fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu) x(t) − x0 (t) = fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu) ˙ ˙ (1.23) ˙ δx(t) = fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu)en donde ∂f ∂f fx (t) = , fu (t) = ∂x x0 ,u0 ∂u x0 ,u0En el caso multivariable f (.), x(.), u(.) son vectores. Entonces fx (.) y fu (.) son los jacobianosJx0 , Ju0 de f (.) respecto de x y de u, respectivamente, que dependen de x0 (.), u0 (.).     ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1 . . . ∂xn . . . ∂un ∂f  ∂x1 ∂f  ∂u1 Jx0 = = ... ... ... , Ju0 = = ... ... ... (1.24)   ∂x x0 ,u0 ∂fn ∂fn ∂u x0 ,uo ∂fn ∂fn ∂x1 . . . ∂xn x0 ,u0 ∂u1 . . . ∂un x0 ,u0De esta manera se obtiene la ecuaci´n linealizada o ˙ δx = fx δx + fu δu (1.25)que se puede escribir en la forma habitual ˙ ¯ ¯ x(t) = A¯ (t) + B u(t) x ¯ ¯siendo x(t) = δx(t), u(t) = δu(t), A(t) = fx (t), B(t) = fu (t). Es importante destacar que lasmatrices A y B (jacobianos) son funciones de tiempo si la soluci´n de la ecuaci´n diferencial no o oes constante.Ejemplo 1.8.1 El dep´sito de la figura ?? tiene secci´n constante de ´rea A1 y est´ lleno de o o a aagua hasta una altura h(t) variable. El caudal q(t) de salida de agua se controla mediante unav´lvula que abre o cierra el orificio de salida de ´rea a(t). a a Vamos a obtener el primero modelo no lineal, y despu´s, el modelo lineal por linealizaci´n. e o La energ´ potencial de una masa m de agua situada en la superficie, es decir a una altura ıah(t) es Ep = mgh(t). La misma masa de agua cuando sale por el tubo tendr´ una energ´ cin´tica a ıa e 1 2 . Por el principio de conservaci´n de la energ´ ambas energ´ han de ser iguales,Ec = 2 mv(t) o ıa, ıas 1 Ep = mgh(t) = mv(t)2 = Ec , 2
  16. 16. 16 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS h( t ) q( t ) a( t ) Figura 1.3: Dep´sito opor lo que la velocidad de salida del agua es v(t) = 2gh(t).Como el caudal de salida se obtiene multiplicando el ´rea a(t) de salida por la velocidad v(t) adel agua, tenemos q(t) = a(t)v(t) = a(t) 2gh(t)Por otro lado, el caudal q(t) ha de ser igual a la variaci´n del volumen A1 h(t) de agua en el odep´sito, es decir o d dh q(t) = A1 h(t) = A1 dt dtIgualando las dos ultimas expresiones obtenemos la ecuaci´n diferencial, no lineal, que es el ´ omodelo matem´tico. a dh 1 = a(t) 2gh(t) dt A1 Vamos a hacer la linealizaci´n del sistema. Para ello, lo primero es escoger un punto de ofuncionamiento (o estado de equilibrio). Vamos a escoger a0 y h0 como valores de equilibriopara a(t) y h(t). Esto, en la pr´ctica, significar´ que la altura h(t) se va a mantener con un a avalor pr´ximo a h0 y que el valor del caudal q(t) va a ser cercano a a0 . Esto mismo se puede oexpresar definiendo dos nuevas variables x(t) := h(t) − h0 y u(t) := a(t) − a0 que representanlos “peque˜os” incrementos que toman las variables h(t) y a(t) respecto del punto de equilibrio. n La funci´n f de la ecuaci´n 1.20 es ahora o o 1 f (h, a) = a(t) 2gh(t), A1en donde h(t) y a(t) hacen el papel de x(t) y u(t), respectivamente. Las derivadas parciales def , respecto de h y respecto de u, en el punto ho , a0 , nos dan los par´metros de la linealizaci´n. a oDerivando f respecto de h, tenemos ∂f 1 2ga ga = √ = √0 := A, ∂h ho ,a0 A1 2 2gh ho ,a0 A1 2gh0
  17. 17. 1.9. TRANSFORMACIONES ENTRE MODELOS 17y, derivando f respecto de a, ∂f 1 = 2gh0 := B. ∂a ho ,a0 A1Con esto, ya tenemos el modelo linealizado en h0 , a0 respecto de las variables x(t) y a(t): x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t)Obs´rvese que para obtener el modelo hemos supuesto (impl´ e ıcitamente) que no hay p´rdidas de eenerg´ por rozamiento. ıa1.9. Transformaciones entre modelos En las anteriores secciones hemos visto las expresiones habituales de los modelos matem´ticos ade los sistemas de tiempo continuo. El modelo m´s general, v´lido para sistemas lineales y no a alineales, es el modelo de ecuaci´n diferencial. Los sistemas lineales admiten el modelo de estado oy, si son de coeficientes constantes, el modelo de funci´n de transferencia o, m´s general, el o amodelo denominado representaci´n polinomial. o La preguntas que surgen inmediatamente son que, dada la representaci´n de un sistema en ouno de los modelos, ¿es posible obtener su representaci´n en otros modelos? Si la respuesta a oesta pregunta es afirmativa, ¿c´mo se pasa de unos a otros modelos? oEcuaci´n diferencial → funci´n de transferencia o o La obtenci´n del modelo de funci´n de transferencia a partir del modelo de ecuaci´n dife- o o orencial lineal y de coeficientes constantes se realiza de modo inmediato, como hemos visto en lasecci´n (1.6), aplicando la transformaci´n de Laplace a la ecuaci´n diferencial (1.1), suponiendo o o ocondiciones iniciales nulas: (n) an y (t) + . . . + a2 y (t) + a1 y(t) + a0 y(t) ¨ ˙ (m) = bm u (t) + . . . + b2 u(t) + b1 u(t) + b0 u(t) ¨ ˙con lo que se obtiene la funci´n de transferencia (1.8) o bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 b(s) G(s) = n + . . . + a s2 + a s + a = an s 2 1 0 a(s)Como puede verse, si exceptuamos las condiciones iniciales, la funci´n de transferencia contiene oexactamente la misma informaci´n que la ecuaci´n diferencial. Los coeficientes de constantes o oai , bj , i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m de la ecuaci´n diferencial son los coeficientes de los polinomios odenominador a(s) y numerador b(s) de la funci´n de transferencia G(s). o La transformaci´n inversa, de funci´n de transferencia a ecuaci´n diferencial, se obtiene o o oaplicando la transformaci´n inversa L o −1 de Laplace a la expresi´no X(s)(bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ) = Y (s)(an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 )En el supuesto de unicidad de la transformaci´n inversa L−1 de Laplace, el resultado vuelve a oser la ecuaci´n diferencial (1.1) o
  18. 18. 18 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOSEcuaci´n diferencial → ecuaciones de estado o Este paso, como ya se ha indicado en la secci´n (1.14) consiste en obtener el sistema en forma onormal equivalente a la ecuaci´n diferencial dada. oFunci´n de transferencia → ecuaciones de estado o El paso del modelo de estado al de funci´n de transferencia se realiza aplicando la transfor- omaci´n de Laplace a las ecuaciones de estado del sistema. El paso inverso, del modelo de funci´n o ode transferencia al de estado se denomina realizaci´n. oObtenci´n de la matriz de transferencia a partir del modelo de estado o Sea un sistema din´mico cuyo modelo de estado viene dado por las ecuaciones a ˙ x = Ax + Bu (1.26) y = Cx + Duen donde x ∈ Rn , u ∈ Rq , y ∈ Rp , A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×q , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×q . Apliquemos latransformaci´n de Laplace a la ecuaci´n de estado o o sIn X(s) = AX(s) + BU(s) sIn X(s) − AX(s) = BU(s) (sIn − A)X(s) = BU(s)La matriz sIn − A es un haz regular de matrices, o matriz polin´mica de grado uno. Es decir, oes una matriz cuyos elementos son polinomios cuyo grado m´ximo es uno. Esta matriz se llama a ıstica del sistema. Su determinante |sI − A| se llama polinomio caracter´matriz caracter´ ıstico delsistema y es siempre distinto de cero por lo que esta matriz es siempre invertible. Por tantopodemos poner X(s) = (sIn − A)−1 BU(s) (1.27)Apliquemos ahora la transformada de Laplace a la ecuaci´n de salida, segunda ecuaci´n de(1.26) o o Y(s) = CX(s) + DUSustituyendo (1.27) en esta ecuaci´n queda o Y(s) = C(sIn − A)−1 BU(s) + DUcon lo que la matriz de transferencia es Y(s) G(s) = = C(sIn − A)−1 B + D U(s)Realizaci´n o La obtenci´n del modelo de estado a partir del modelo de matriz de transferencia se llama orealizaci´n. Esta denominaci´n se debe a que la informaci´n suministrada por el modelo de o o oestado, que contiene datos sobre la estructura interna del sistema, se encuentra m´s pr´xima a oa la realidad que la dada por el modelo de funci´n de transferencia que s´lo se refiere a la o orelaci´n entre la entrada y la salida del sistema. Como veremos m´s adelante, a partir de las o amatrices A, B, C, B, que definen un modelo de estado dado, puede obtenerse inmediatamente
  19. 19. 1.9. TRANSFORMACIONES ENTRE MODELOS 19el denominado diagrama de simulaci´n. Este diagrama contiene toda la informaci´n necesaria o opara construir un sistema f´ ısico (anal´gico o digital) que responde al modelo de estado dado. oPor ello, por conveniencia, se suele llamar realizaci´n a la cuaterna de matrices A, B, C, D. o Dada la realizaci´n A, B, C, D de un sistema cuyo modelo de estado o ˙ x = Ax + Bu (1.28) y = Cx + Ducorresponde a la matriz de transferencia G(s), es decir que G(s) = C(sIn −A)−1 B +D, podemosescribir otra realizaci´n haciendo el cambio de base o ¯ x = P x, |P | = 0 (1.29) ¯en el espacio de estado. Sustituyendo en (1.28) x por P x obtenemos como modelo de estadotransformado: ¯˙ ¯ ¯x ¯ x = P −1 AP x + P −1 Bu = A¯ + Bu ¯ x + Du (1.30) y = CP x + Du = C ¯ ¯Obs´rvese c´mo al hacer un cambio de base en el espacio de estado hemos obtenido una nueva e o o ¯ ¯ ¯ ¯realizaci´n definida por las matrices A, B, C, D. Parece l´gico pensar que un cambio de base no odeber´ de afectar al comportamiento din´mico entrada-salida del sistema y, en efecto, as´ ocurre. ıa a ıEs f´cil ver que las matrices de transferencia y los polinomios caracter´ a ısticos de las realizaciones ¯ ¯ ¯ ¯A, B, C, D y A, B, C, D son id´nticos. e Existen, por tanto, infinidad de realizaciones de una matriz de transferencia G(s), ya quepodemos definir infinitas matrices P de transformaci´n. La transformaci´n del vector de estado o odefinida en (1.29) se llama transformaci´n de semejanza ya que la matriz de planta A del modelo ode estado original y P −1 AP del transformado son semejantes. De las infinitas posibles realizaciones de una determinada matriz de transferencia G(s),definidas cada una de ellas por sus matrices A, B, C, D, hay algunas, denominadas can´nicas, oque tienen una forma especial y que corresponden a ciertas configuraciones con nombre propio delsistema f´ ısico a ellas asociado. Son las formas can´nicas denominadas controlador, observador, ocontrolabilidad, observabilidad y diagonal. Veamos c´mo son las formas can´nicas correspondientes a una funci´n de transferencia dada o o oG(s) (caso monovariable). Supongamos que el polinomio caracter´ ıstico de G(s) es m´nico, es odecir, el coeficiente del t´rmino de grado n-simo es 1, y que G(s) es estrictamente propia. eEntonces la funci´n de transferencia se puede escribir de la forma o b1 sn−1 + b2 sn−2 + . . . + bn−1 s + bn G(s) = (1.31) sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + . . . + an−1 s + anObs´rvese que los coeficientes ai , bj de los polinomios numerador y denominador aparecen en eorden inverso al habitual. Las matrices que definen la forma can´nica controlador de G(s) son o     −a1 −a2 . . . −an−1 −an 1  1 0 ... 0 0  0      0 1 ... 0 0  Bcr = 0 Acr =      . . .. . .  .  . . . . . . . .  . . . (1.32) 0 0 ... 1 0 0 Ccr = b1 b2 . . . bn−1 bn Dcr = 0
  20. 20. 20 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Las matrices que definen la forma can´nica observador de G(s) son o     −a1 1 0 . . . 0 b1  −a2 0 1 . . . 0  b2       . . . .. Aor =  . . . Bor =  .    .   . . . . 0  .  (1.33)  −an−1 0 0 . . . 1 bn−1  −an 0 0 . . . 0 bn Cor = 1 0 0 . . . 0 Dor = 0 Las matrices que definen la forma can´nica controlabilidad de G(s) son o     0 0 . . . 0 −an 1 1 0 . . . 0 −an−1  0     Acd = 0 1 . . . 0 −an−2  Bcd = 0     . . .. . . . . . . . .  . (1.34)  . . . . . 0 0 . . . 1 −a1 0 Ccd = β1 β2 . . . βn−1 βn Dcd = 0 Las matrices que definen la forma can´nica observabilidad de G(s) son o     0 1 0 ... 0 β1  0 0 1 ... 0   β2      Aod =  . . .  . . . ..  .   Bod =  .    . . . . 0   .   0 0 0 ... 1  βn−1  (1.35) −an −an−1 . . . −a2 −a1 βn Cod = 1 0 0 . . . 0 Dod = 0 Los n´meros β1 , β2 , . . . , βn que aparecen en las dos ultimas formas can´nicas, controlabilidad u ´ oy observabilidad, son los denominados par´metros de Markov, cuyo valor viene dado por a     1 0 ... 0 0   β1  a1 1 . . . 0 0  b1  β2   . .   b2      ... .. . .. . .  . . .  . . .   ...  =    ..      βn−1   . 1 0 bn−1  an−2 an−3 βn bn   .. an−1 an−2 . a1 1Por ultimo, las matrices de la forma can´nica diagonal correspondiente a una realizaci´n definida ´ o opor sus matrices A, B, C, D, est´ definida por la transformaci´n P que pasa la matriz de planta a oa su forma diagonal. Si los valores propios de A son todos distintos, la transformaci´n P es una omatriz cuadrada cuyas columnas son los vectores propios de A. Las nuevas matrices, por (1.30)son: ˆ A = P −1 AP = diag[λ1 , λ2 , . . . , λn ] ˆ ˆ ˆ (1.36) B = P −1 B, C = CP, D = DSi la matriz A tiene valores propios repetidos, la matriz P es la que transforma A en su formacan´nica de Jordan. o
  21. 21. Cap´ ıtulo 2Respuesta temporal2.1. Diagramas de bloques Un diagrama de bloques es un conjunto de rect´ngulos o bloques, cada uno de los cuales arepresenta un componente del sistema, enlazados entre s´ a trav´s de flechas que representan a ı evariables del sistema. U(s) Y(s) G(s) H(s) Figura 2.1: Diagrama de bloques de un sistema de regulaci´n o Los diagramas de bloques utilizan cuatro elementos b´sicos en sus esquemas: a 1. Flecha: Representa a una variable del sistema. Sobre la misma se indica la correspondiente variable. En la figura 2.1, U (s) e Y (s) son dos variables. 2. Bloque: Representa a un componente del sistema. Es un rect´ngulo dentro del cual se a indica la correspondiente funci´n de transferencia. Tiene una variable de entrada y otra o de salida, representadas por dos flechas, de forma que la variable de salida es el producto de la variable de entrada por la funci´n de transferencia. El bloque G(s) de la figura 2.1 o representa a un componente del sistema identificado matem´ticamente por su funci´n de a o transferencia G(s). La variable de entrada es E(s) y la de salida Y (s) , de manera que, Y (s) = E(s)G(s) 3. Punto de suma: Representa la operaci´n de suma o resta entre varias variables. Se o representa por un c´ırculo con varias variables de entrada y una de salida, siendo esta ultima ´ igual a la suma algebraica de todas las variables de entrada. Los signos de esta suma deben 21
  22. 22. 22 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL indicarse en cada variable si son negativos. En la figura 2.1 se suman algebraicamente las variables U (s) e R(s) siendo E(s) el resultado, es decir, E(s) = U (s) − H(s)Y (s) 4. Punto de bifurcaci´n: Una flecha, que representa a una variable, se puede bifurcar o en varias, cada una de las cuales representa a la misma variable. Se representa por un punto grueso. En la figura 2.1 la variable de salida Y (s) se bifurca en dos, en el punto de bifurcaci´n indicado. o El diagrama de bloques permite representar un sistema de regulaci´n incluyendo todos sus ocomponentes y especificando la funci´n de transferencia de cada uno de ellos. Cuando el n´me- o uro de componentes es elevado puede resultar conveniente realizar agrupamientos entre variosbloques para simplificar el esquema. Por otro lado suele ser necesario obtener funciones detransferencia globales de un conjunto de bloques, o incluso de todo el diagrama, para efectuarposteriores procesos de c´lculo. Existen una serie de reglas, derivadas de los teoremas del ´lgebra a aelemental, que sirven para simplificar los diagramas de bloque, obteniendo un bloque unico y su ´correspondiente funci´n de transferencia, a partir de otros varios. o El bloque es un elemento multiplicativo: la variable de salida de un bloque es igual a lavariable de entrada al mismo multiplicada por su funci´n de transferencia. Por otro lado, las ovariables se suman algebricamente en los puntos de suma. Por tanto, podemos aplicar a losdiagramas de bloques las propiedades alg´bricas de la suma y el producto, tales como: e Propiedad conmutativa del producto y de la suma. Propiedad asociativa del producto y de la suma. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Elementos neutros de la suma y del producto. Elementos sim´tricos de la suma y del producto. e En las tablas 2.1 y 2.2 se muestran algunas de estas reglas que, sin ser las unicas, pueden ´resultar de utilidad para simplificar los diagramas de bloques. En cada fila de la tabla se harepresentado el diagrama de bloques original, en la primera columna, y el diagrama equivalenteo simplificado en la segunda.Diagrama de bloques del modelo de estado Sabemos que el modelo de estado de un sistema din´mico es a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t)en donde x ∈ Cn , u ∈ Cq , y ∈ Cp . Aplicando la transformada de Laplace, supuestas nulas lascondiciones iniciales, obtenemos sX(s) = AX(s) + BU (s) Y (s) = CX(s) + DU (s) (2.1)
  23. 23. 2.1. DIAGRAMAS DE BLOQUES 23 Diagrama de bloques Diagrama equivalente Z X U V X V Y Z Y U X Y U Y G1 G2 G 1G 2 U Y U Y G1 G1+G 2 G2 U Y U Y G G Y Y G U Y U Y G G U U 1/G Cuadro 2.1: Simplificaci´n de diagramas de bloque o
  24. 24. 24 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Diagrama de bloques Diagrama equivalente U Y U Y G G V V G U Y U Y G G V V 1/G U Y U Y G 1/H G H H U Y U G Y G 1+GH H U Y U G Y G 1+G H Cuadro 2.2: Simplificaci´n de diagramas de bloque o
  25. 25. ˜2.2. GRAFOS DE FLUJO DE SENAL 25que es el modelo transformado. Este modelo de estado transformado puede representarse me-diante un diagrama de bloques en el cual U(s) es la entrada, Y(s) la salida y X(s) el estado,las tres transformadas por Laplace. Por ser estas variables son multidimensionales, se acos-tumbra a representarlas mediante flechas m´s gruesas que las que se utilizan para los bloques amonovariables [Ogata 82, sec. 14.2]. En la figura 2.2 se ha representado el diagrama de bloquescorrespondiente a 2.1. D U(s) sX(s) 1 X(s) Y(s) B C s A Figura 2.2: Diagrama de bloques del modelo de estado2.2. Grafos de flujo de se˜ al n Cuando los sistemas son de cierta complejidad, el m´todo de representaci´n por diagramas de e obloques puede resultar laborioso en su construcci´n y m´s a´n en la tarea de simplificaci´n para o a u oobtener las funciones de transferencia, puesto que las reglas de simplificaci´n de los diagramas ode bloque no son sistem´ticas. El m´todo de los grafos de flujo de se˜al resulta entonces m´s a e n aadecuado, por su mayor simplicidad y por disponer de una formula para la obtenci´n de las ofunciones de transferencia [Ogata 82, sec. 4.7]. U(s) Y(s) T(s) U(s) T(s) Y(s) Figura 2.3: Rama entre dos nodos Los grafos de flujo de se˜al tienen unicamente dos elementos, que se indican a continuaci´n: n ´ o
  26. 26. 26 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL 1. Arista: Es un segmento de l´ ınea orientado que discurre entre dos nodos. Corresponde a un componente del sistema definido por su funci´n de transferencia o transmitancia. o Es equivalente al elemento bloque de los diagramas de bloque. En la figura 2.3, se ha representado una rama, con transmitancia T (s), entre los nodos correspondientes a las variables U (s) y Y (s), y su diagrama de bloques equivalente. Se cumple que Y (s) = U (s)T (s) 2. Nodo: Es un peque˜o c´ n ırculo y corresponde a una variable del sistema. El valor de la variable de un nodo es igual a la suma de los productos transmitancias de todas las ramas que entran al nodo, multiplicadas por las variables correspondientes a los nodos de los que parten. El nodo sustituye a la flecha de variable, al punto de suma y al punto de bifurcaci´n o de los diagramas de bloque. As´ en la figura 2.4, el valor de la variable y es ı, Y = U1 T1 + U2 T2 + U3 T3 U1(s) T1(s) T2(s) U2(s) Y(s) T3(s) U3(s) Figura 2.4: Nodo con tres ramas de entrada En los grafos de flujo de se˜al la suma algebraica de variables se realiza mediante transmi- ntancias unitarias con signo positivo o negativo. Por ejemplo, en la figura 2.5, X = U1 − U2 + U3El punto de bifurcaci´n de los diagramas de bloque se realiza tambi´n mediante una transmi- o etancia unitaria, como puede apreciarse en la figura 2.6, en la que la variable U se bifurca a otrostres nodos.Formula de la ganancia de Mason El diagrama de bloques y el grafo de flujo de se˜al contienen la misma informaci´n: ambos n odescriben conjunto de ecuaciones lineales entre las variables del sistema. Las funciones de trans-ferencia determinan las relaciones existentes entre cada salida y cada una de las entradas. Laformula de la ganancia de Mason viene a ser un caso particular de resoluci´n de sistemas de oecuaciones por aplicaci´n de la regla de Crammer. Para aplicar la formula de Mason es preciso orealizar las definiciones siguientes:
  27. 27. ˜2.2. GRAFOS DE FLUJO DE SENAL 27 U1(s) 1 -1 U2(s) Y(s) 1 U3(s) Figura 2.5: Suma algebraica de variables Y(s) 1 T(s) 1 U(s) Y(s) 1 Y(s) Figura 2.6: Realizaci´n de un punto de bifurcaci´n o o 1. Trayectoria: Es cualquier camino, recorrido en el sentido indicado por las flechas de las ramas, entre un nodo de entrada y otro de salida, que pase s´lo una vez por cada nodo. o Se denomina ganancia de trayectoria al producto de las transmitancias de todas las ramas de la trayectoria. 2. Ciclo: Es cualquier camino cerrado, recorrido en el sentido indicado por las flechas de las ramas, que pase s´lo una vez por cada nodo. Se denomina ganancia de lazo al producto o de las transmitancias de todas las ramas del lazo. Sean P1 , P2 , . . . , Pn las ganancias de todas las trayectorias existentes entre un nodo de entrada P y otro de salida Q, y sean L1 , L2 , . . . , Ln las ganancias de todos los lazos del grafo. La funci´n de transferencia TQP = YQ /UP dada por la f´rmula de Mason es: o o P1 ∆1 + P2 ∆2 + . . . + Pn ∆n TQP = ∆siendo ∆ el determinante del grafo de flujo de se˜al (con m´s propiedad de la matriz asociada n aal grafo) y ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n los cofactores correspondientes a cada una de las trayectorias. El determinante ∆ del gr´fo se obtiene mediante la expresi´n siguiente (f´rmula de Mason): a o o ∆=1− Li + Li Lj − Li Lj Lk + . . . (2.2)en la que Li es la suma de las ganancias de todos los ciclos, Li Lj es la suma de los productosde las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos ciclos disjuntos, Li Lj Lk es la sumade los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres ciclos disjuntos,etc.

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