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Matemática 6 9 apresent
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Matemática 6 9 apresent

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  • 1. MATEMÁTICA
    • 6º AO 9º ANO
    E. M. PROFª IRACEMA DE SOUZA MENDONÇA SALA DE INFORMÁTICA - MATUTINO
  • 2. ESCOLA M PROFª IRACEMA DE S. MENDONÇA ALUNO(A): ALUNO(A): ANO: DATA: PROFESSORA: MARIA LUCIA PCTE: ROSENY LEIA COM MUITA ATENÇÃO CADA INFORMAÇÃO CONTIDA EM CADA SLIDE, PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS COM MUITA SEGURANÇA. Dara Alessandra Elis Regina 9ano A 27/05/2011
  • 3. Equações do 2º Grau ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
  • 4. Definição:
    •   Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x , toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
    • Observe que:
    • a  representa o coeficiente de  x²; b  representa o coeficiente de x; c  representa o termo independente.
    • Exemplos:
    • x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1,  b = -5 e  c = 6.
    •  7x 2 - x = 0 , onde a = 7,  b = -1 e  c = 0.
    • x 2 - 36 = 0 , onde a = 1,  b = 0 e  c = -36.
  • 5. Equações Completas do 2º Grau
    • Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.
    • Exemplos:
    • x² - 9x + 20 = 0 , onde a = 1,  b = -9 e  c = 20.
    • -x² + 10x - 16 = 0 , onde a = -1,  b = 10 e  c = -16.
  • 6. Equações Incompletas do 2º Grau
    • Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.
    • Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
    •  x² - 3x = 0 , onde a = 1,  b = -3.
    •  -2x² + 4x = 0 , onde a = -2,  b = 4.
    • Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
    • 3x² - 2 = 0 , onde a = 3,  c = -2.
    • x² + 5 = 0 , onde a = 1,  c = 5.
  • 7. ATIVIDADE-1
    • 1. Obtenha os coeficientes das equações do 2° grau:
    • a) 5x²-7x-3=0 a:5 b:-7 c:-3
    • b) x²-4x +2=0 a:1 b:-4 c:2
    • c) x²-x-1=0 a:1 b:-1 c:-1
    • d) 2x²+7x+8=0 a:2 b:7 c:8
    • e) x²-7x=0 a:1 b:-7 c:0
    • f) x²-25=0 a:1 b:0 c:-25
  • 8. 2. Forme as equações do 2° grau em x:
    • a=1; b=-6 ; c= 5
    • x²-6x+5=0
    • b) a=3; b=7 ; c= 8
    • 3x²+7x+8=0
    • c) a=8; b=0 ; c=0
    • 8x²=0
    • d) a=1; b=-3 ; c= 4
    • x²-3x+4=0
    • e) a=7; b=1 ; c= -15
    • 7x²+1x-15=0
  • 9. Raízes de uma Equação do 2º Grau
    • Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes .
    • Raiz é o número real que, ao substituir a
    • incógnita de uma equação, transforma-a
    • numa sentença verdadeira.
    • O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução .
  • 10.
    • Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade . Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais :
    • 1ª Propriedade: Se x є IR , y є IR e x.y = 0 x = 0 ou y = 0
    • 2ª Propriedade: Se x є IR , y є IR e x² = y x = √ y ou x = - √y
    • 1º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
    • 2º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
    Resolução de Equações Incompletas
  • 11. Resolução de Equações Incompletas
    • Equações da forma:
    • ax² +bx = 0, (c = 0)
    • De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:
    • x = 0
    • e
    • x = - b
    • a
    • Equações da forma:
    • ax² +c = 0, (b = 0)
    • De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:
    •  possui duas raízes reais se:
    • - c for um nº positivo
    • a
    • não possui raiz real se:
    • - c for um nº negativo
    • a
  • 12. ATIVIDADE-2
    • 1.Determine o conjunto verdade das equações:
    • x²-7x = 0 Δ=b²-4.a.c x=7+7=14/2=7
    • Δ=7²-4.1.0 x=7-7=0/2=0
    • Δ=49
    • b) 3x²-6x = 0
    • Δ=b²-4.a.c x=6+6=12/6=2
    • Δ=-6²-4.3.0 x=6-6=0/2=0
    • Δ=36
    • c) x² +5x = 0
    • Δ=b²-4.a.c x=-5+5=0/2=0
    • Δ=5²-4.1.0 x=-5-5=-10/2=-5
    • Δ=25
  • 13. 2.Determine o conjunto verdade das equações:
    • X² - 49 = 0 a=1 Δ=0²-4.1.49 x=14/2=7
    • Δ=196
    • 2x² -32 = 0 Δ=0²-4.2.32 x=16/4 =4
    • Δ= 0+256
    • Δ=256
    • 5x² - 20 = 0 Δ=0²-4.5.-20
    • Δ=400 x=
    0+20=20/10=5
  • 14. Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara
    • Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara .
    • A partir da equação ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula de Bhaskara .
    • 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
    • (4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a)
    • 4a²x² + 4abx + 4ac = 0
    • 2º passo: passar 4ac para o 2º membro.
    • 4a²x² + 4abx = - 4ac
  • 15. Fórmula de Bhaskara
    • 3º passo: adicionar b² aos dois membros .
    • 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
    • 4º passo: fatorar o 1º elemento .
    • (2ax + b) ² = b² - 4ac
    • 5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros .
    • √ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac
    • 2ax + b = ± √ b² - 4ac
    • 6º passo: passar b para o 2º membro .
    • 2ax = - b ± √ b² - 4ac
    Trinômio Quadrado Perfeito
  • 16. Fórmula de Bhaskara
    • 7º passo: dividir os dois membros por 2a.
    • 2ax = - b ± √ b² - 4ac
    • 2a 2a
    • Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
    • x = - b ± √ b² - 4ac
    • 2a
    • Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
    • x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac
    • 2a 2a
  • 17. Discriminante
    • Denominamos discriminante o radical b 2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta).
    • Δ = b 2 - 4ac
    • Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara:
    • x = - b ± √ Δ
    • 2a
    • De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
    • 1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O)
    • 2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O)
    • 3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)
  • 18. Discriminante Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √ Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de √ Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de √ Δ não existe em IR , não existindo, portanto, raízes reais. x’ = - b + √ Δ 2a x” = - b - √ Δ 2a x’ = x” = -b 2a As raízes da equação são número complexos .
  • 19. Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau
    • Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule.
    • Vejamos, através do exemplo a seguir, como se resolvem as equações fracionárias.
    •  x + 1 = 5 (x ≠ 3)
    • x - 3
    • - O m.m.c. é x – 3: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3)
    • x – 3 x – 3 x – 3
    • - Eliminando os denominadores: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3)
    • x² – 3x + 1 = 5x – 15
  • 20. Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau
    • - Transpondo e reduzindo: x² – 3x – 5x + 1 + 15 = 0
    • x² – 8x + 16 = 0
    • - Temos: Δ = b 2 - 4ac
    • a = 1 Δ = (-8)² - 4 . 1 . 16
    • b = -8 Δ = 64 - 64
    • c = 16 Δ = 0
    • - Substituindo na fórmula: x = - b ± √ Δ
    • 2a
    •   x = - (-8) ± 0 = 8 ± 0 x’ = x” = 4 2 . 1 2
    Logo, V = {4}
  • 21.
    • x² -7x + 6 = 0
    • Temos: Δ = b 2 – 4.a.c
    • a =1 Δ =b²-4.a.c
    • b = -7 Δ =7²-4.1.6
    • c = 6 Δ = 49-24=25
    • Substituindo na fórmula: x = - b ± √ Δ
    • 2a
    • X=7+5=12/2=6
    • x=7-5=2/2=1
    • ATIVIDADE- 3
    • Resolva as equações do 2º grau.
  • 22.
    • b) -x² +12x - 20 = 0
    • Temos: Δ = b² – 4.a.c
    • a = -1 Δ =12²-4.-1.-20
    • b = 12 Δ = 144-80
    • c =-20 Δ = 81
    • Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ
    • 2.a
    • x=-12+9=3/2
    • x=-12-9=11/2
    2. Resolva as equações do 2º grau.
  • 23. Relações entre os Coeficientes e as Raízes
    • 1ª Relação: Soma das Raízes ( S )
    • x’+x” = - b + √ Δ + - b - √ Δ = - b + √ Δ - b - √ Δ = -2b = -b
    • 2a 2a 2a 2a a
    • 2ª Relação: Produto das Raízes ( P )
    • x’.x” = -b+√ Δ . -b-√ Δ = ( -b+√ Δ) . (-b-√ Δ) = (-b)²-( √ Δ)² = b ² -Δ
    • 2a 2a 4a ² 4a ² 4a ²
    • Como ∆ = b² - 4ac , temos:
    • x’.x” = b ² - (b ² - 4.a.c) = b ² - b ² + 4.a.c = 4.a.c = c
    • 4a ² 4a ² 4.a.a a
  • 24. Relações entre os Coeficientes e as Raízes
    • Soma das Raízes:
    • É representada pela letra S.
    • S = x’+ x” = -b
    • a
    • Produto das Raízes:
    • É representado pela letra P.
    • P = x’. x” = c
    • a
  • 25. Composição de uma Equação do 2º Grau, Conhecidas as Raízes
    • Considere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0.
    • Dividindo todos os termos por a , a ≠ 0, obtemos:
    • ax 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0
    • a a a a a
    • Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c
    • a a
    • Podemos escrever a equação desta maneira:
    • x 2 - Sx + P = 0
  • 26. Exercício sobre Composição
    • Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
    •  
    • Solução:
    •  
    • A soma das raízes corresponde a:
    •  
    • S = x 1 + x 2 = -2 + 7 = 5
    •  
    • O produto das raízes corresponde a:
    •  
    • P = x 1 . x 2 = ( -2) . 7 = -14
    •  
    • A equação é dada por x 2 - Sx + P = 0 , onde S = 5 e P = -14.
    •  
    • Logo, x 2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
  • 27.
    • Componha a equação do 2º grau cujas raízes são:
    • 5 e 2
    • -2 e -3 x²-sx+p=0
    • x²+5x-6=0
    • 4 e -5 x²-sx+p=0
    • x²+1x+20=0
    • -5 e 5 x²-sx+p=0 x²-25=0
    ATIVIDADE – 4 x²-sx+p=0 x²-7x+10=0

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