Matemática 6 9 apresent

MATEMÁTICA
6º AO 9º ANO
E. M. PROFª IRACEMA DE SOUZA MENDONÇA SALA DE INFORMÁTICA - MATUTINO

ESCOLA M PROFª IRACEMA DE S. MENDONÇA ALUNO(A): ALUNO(A): ANO: DATA: PROFESSORA: MARIA LUCIA PCTE: ROSENY LEIA COM MUITA ATENÇÃO CADA INFORMAÇÃO CONTIDA EM CADA SLIDE, PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS COM MUITA SEGURANÇA. Dara Alessandra Elis Regina 9ano A 27/05/2011

Equações do 2º Grau ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Definição:
Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x , toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Observe que:
a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente.
Exemplos:
x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1, b = -5 e c = 6.
 7x 2 - x = 0 , onde a = 7, b = -1 e c = 0.
x 2 - 36 = 0 , onde a = 1, b = 0 e c = -36.

Equações Completas do 2º Grau
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 , onde a = 1, b = -9 e c = 20.
-x² + 10x - 16 = 0 , onde a = -1, b = 10 e c = -16.

Equações Incompletas do 2º Grau
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.
Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
 x² - 3x = 0 , onde a = 1, b = -3.
 -2x² + 4x = 0 , onde a = -2, b = 4.
Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
3x² - 2 = 0 , onde a = 3, c = -2.
x² + 5 = 0 , onde a = 1, c = 5.

ATIVIDADE-1
1. Obtenha os coeficientes das equações do 2° grau:
a) 5x²-7x-3=0 a:5 b:-7 c:-3
b) x²-4x +2=0 a:1 b:-4 c:2
c) x²-x-1=0 a:1 b:-1 c:-1
d) 2x²+7x+8=0 a:2 b:7 c:8
e) x²-7x=0 a:1 b:-7 c:0
f) x²-25=0 a:1 b:0 c:-25

2. Forme as equações do 2° grau em x:
a=1; b=-6 ; c= 5
x²-6x+5=0
b) a=3; b=7 ; c= 8
3x²+7x+8=0
c) a=8; b=0 ; c=0
8x²=0
d) a=1; b=-3 ; c= 4
x²-3x+4=0
e) a=7; b=1 ; c= -15
7x²+1x-15=0

Raízes de uma Equação do 2º Grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes .
Raiz é o número real que, ao substituir a
incógnita de uma equação, transforma-a
numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução .

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade . Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais :
1ª Propriedade: Se x є IR , y є IR e x.y = 0 x = 0 ou y = 0
2ª Propriedade: Se x є IR , y є IR e x² = y x = √ y ou x = - √y
1º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
2º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
Resolução de Equações Incompletas

Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
ax² +bx = 0, (c = 0)
De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:
x = 0
e
x = - b
a
Equações da forma:
ax² +c = 0, (b = 0)
De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:
 possui duas raízes reais se:
- c for um nº positivo
a
não possui raiz real se:
- c for um nº negativo
a

ATIVIDADE-2
1.Determine o conjunto verdade das equações:
x²-7x = 0 Δ=b²-4.a.c x=7+7=14/2=7
Δ=7²-4.1.0 x=7-7=0/2=0
Δ=49
b) 3x²-6x = 0
Δ=b²-4.a.c x=6+6=12/6=2
Δ=-6²-4.3.0 x=6-6=0/2=0
Δ=36
c) x² +5x = 0
Δ=b²-4.a.c x=-5+5=0/2=0
Δ=5²-4.1.0 x=-5-5=-10/2=-5
Δ=25

2.Determine o conjunto verdade das equações:
X² - 49 = 0 a=1 Δ=0²-4.1.49 x=14/2=7
Δ=196
2x² -32 = 0 Δ=0²-4.2.32 x=16/4 =4
Δ= 0+256
Δ=256
5x² - 20 = 0 Δ=0²-4.5.-20
Δ=400 x=
0+20=20/10=5

Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara .
A partir da equação ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula de Bhaskara .
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
(4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a)
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
2º passo: passar 4ac para o 2º membro.
4a²x² + 4abx = - 4ac

Fórmula de Bhaskara
3º passo: adicionar b² aos dois membros .
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
4º passo: fatorar o 1º elemento .
(2ax + b) ² = b² - 4ac
5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros .
√ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac
2ax + b = ± √ b² - 4ac
6º passo: passar b para o 2º membro .
2ax = - b ± √ b² - 4ac
Trinômio Quadrado Perfeito

Fórmula de Bhaskara
7º passo: dividir os dois membros por 2a.
2ax = - b ± √ b² - 4ac
2a 2a
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
x = - b ± √ b² - 4ac
2a
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac
2a 2a

Discriminante
Denominamos discriminante o radical b 2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta).
Δ = b 2 - 4ac
Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara:
x = - b ± √ Δ
2a
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O)
2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O)
3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)

Discriminante Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √ Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de √ Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de √ Δ não existe em IR , não existindo, portanto, raízes reais. x’ = - b + √ Δ 2a x” = - b - √ Δ 2a x’ = x” = -b 2a As raízes da equação são número complexos .

Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau
Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule.
Vejamos, através do exemplo a seguir, como se resolvem as equações fracionárias.
 x + 1 = 5 (x ≠ 3)
x - 3
- O m.m.c. é x – 3: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3)
x – 3 x – 3 x – 3
- Eliminando os denominadores: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3)
x² – 3x + 1 = 5x – 15

Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau
- Transpondo e reduzindo: x² – 3x – 5x + 1 + 15 = 0
x² – 8x + 16 = 0
- Temos: Δ = b 2 - 4ac
a = 1 Δ = (-8)² - 4 . 1 . 16
b = -8 Δ = 64 - 64
c = 16 Δ = 0
- Substituindo na fórmula: x = - b ± √ Δ
2a
x = - (-8) ± 0 = 8 ± 0 x’ = x” = 4 2 . 1 2
Logo, V = {4}

x² -7x + 6 = 0
Temos: Δ = b 2 – 4.a.c
a =1 Δ =b²-4.a.c
b = -7 Δ =7²-4.1.6
c = 6 Δ = 49-24=25
Substituindo na fórmula: x = - b ± √ Δ
2a
X=7+5=12/2=6
x=7-5=2/2=1
ATIVIDADE- 3
Resolva as equações do 2º grau.

b) -x² +12x - 20 = 0
Temos: Δ = b² – 4.a.c
a = -1 Δ =12²-4.-1.-20
b = 12 Δ = 144-80
c =-20 Δ = 81
Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ
2.a
x=-12+9=3/2
x=-12-9=11/2
2. Resolva as equações do 2º grau.

Relações entre os Coeficientes e as Raízes
1ª Relação: Soma das Raízes ( S )
x’+x” = - b + √ Δ + - b - √ Δ = - b + √ Δ - b - √ Δ = -2b = -b
2a 2a 2a 2a a
2ª Relação: Produto das Raízes ( P )
x’.x” = -b+√ Δ . -b-√ Δ = ( -b+√ Δ) . (-b-√ Δ) = (-b)²-( √ Δ)² = b ² -Δ
2a 2a 4a ² 4a ² 4a ²
Como ∆ = b² - 4ac , temos:
x’.x” = b ² - (b ² - 4.a.c) = b ² - b ² + 4.a.c = 4.a.c = c
4a ² 4a ² 4.a.a a

Relações entre os Coeficientes e as Raízes
Soma das Raízes:
É representada pela letra S.
S = x’+ x” = -b
a
Produto das Raízes:
É representado pela letra P.
P = x’. x” = c
a

Composição de uma Equação do 2º Grau, Conhecidas as Raízes
Considere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0.
Dividindo todos os termos por a , a ≠ 0, obtemos:
ax 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0
a a a a a
Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c
a a
Podemos escrever a equação desta maneira:
x 2 - Sx + P = 0

Exercício sobre Composição
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução:

A soma das raízes corresponde a:

S = x 1 + x 2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P = x 1 . x 2 = ( -2) . 7 = -14

A equação é dada por x 2 - Sx + P = 0 , onde S = 5 e P = -14.

Logo, x 2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são:
5 e 2
-2 e -3 x²-sx+p=0
x²+5x-6=0
4 e -5 x²-sx+p=0
x²+1x+20=0
-5 e 5 x²-sx+p=0 x²-25=0
ATIVIDADE – 4 x²-sx+p=0 x²-7x+10=0

Matemática 6 9 apresent

by Roseny90 on Jun 21, 2011

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