Conceitos primitivos
Geometria de Posição
Professora Rosana Quirino
Entes Primitivos: não podem ser definidos.
A
Ponto:
r
Reta: Plano:
sem
dimensão 1 dimensão 2
dimensões
Postulado: propriedade que não possui
demonstração.
Teorema: propriedade que possui
demonstração.
Conceitos primitivos
 A partir do mundo real, matemáticos da
antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.)
estabeleceram ent...
O Ponto
 Olhando-se a noite para um céu estrelado
vêem-se as estrelas, que, intuitivamente,
podem ser consideradas pontos...
A Reta
 Suponha agora que fosse possível esticar,
indefinidamente e nos dois sentidos, um fio
de elástico. Em nossa imagi...
O Plano
 Considere o tampo liso de uma mesa, sem
nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse
tampo possibilitaria a visualiz...
 Representando os conceitos de modo
geométrico, temos, então:
A
ponto r
reta
α
plano
 A proposição usada por Hilbert (1862 –
1943), e normalmente adotada por nós, é a
seguinte:
• Os pontos são indicados por...
Posições primitivas, postulados ou axiomas.
Postulados da existência
P1 – Existem infinitos pontos
P2 – Em uma reta e fora...
Postulados da determinação
P4 – Dois pontos distintos determinam uma
única reta r
A
B
P5 – Três pontos não-colineares dete...
Postulado da inclusão
P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem
a um plano, a reta está contida (está inclusa) n...
Postulados da separação
P7 – Postulado da separação da reta : todo
ponto de uma reta, separa-a em duas partes às
quais ela...
P8 – Postulado da separação : toda reta de um
plano separa-o em duas partes na quais ela está
contida; qualquer segmento d...
P9 – Postulado da separação :Todo plano separa
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contido; qualquer segmento de re...
Posições relativas entre duas retas
Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser:
se todos os pontos de uma s...
• Paralelas:
se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e
não têm ponto comum.
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Indicamos: r//s
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• Concorrentes:
Se tem um único ponto em comum.
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Indicamos: r x s
r x s ↔ r s = {P}∩
• Reversas (ou não coplanares):
Se não existe plano que as contenha simultaneamente.
α
A
B
r
OBS: No espaço, o fato de dua...
Observação:
1. Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicamos:
...
Determinação de planos
Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado:
• Por três pontos não-colineares (po...
• Por um ponto P e uma reta r, de modo que P r:
α
P B
C De fato, se considerarmos os
pontos distintos B e C de r,
teremos ...
• Por duas retas concorrentes:
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De fato, se considerarmos os
pontos distintos A e B de modo que
A P, A r, B P, B s, t...
• Por duas retas paralelas:
α
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sA
B
C De fato, se considerarmos os
pontos distintos A, B e C de modo
que A r, B r e C s, ...
Posições relativas entre uma reta
e um plano
Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos:
Todos os pontos...
• 2º Caso: r paralela a α
r e α não têm ponto em comum
α
r // α ↔ r ∩ α =
r
É válido o seguinte teorema:
Uma reta r e um p...
• 3º Caso: r concorrente com α
r e α têm um único ponto em comum .
Indicamos: r x α α
P
r x α ↔ r ∩ α = {P}
Se r for perpe...
Para o 3º caso é válido o seguinte teorema:
Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se,
e somente s...
Geometria de posicao
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Geometria de posicao

  1. 1. Conceitos primitivos Geometria de Posição Professora Rosana Quirino
  2. 2. Entes Primitivos: não podem ser definidos. A Ponto: r Reta: Plano: sem dimensão 1 dimensão 2 dimensões
  3. 3. Postulado: propriedade que não possui demonstração. Teorema: propriedade que possui demonstração.
  4. 4. Conceitos primitivos  A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.
  5. 5. O Ponto  Olhando-se a noite para um céu estrelado vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos. Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.
  6. 6. A Reta  Suponha agora que fosse possível esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de reta. Em geometria, o conceito de reta – concebido intuitivamente – também é uma noção primitiva.
  7. 7. O Plano  Considere o tampo liso de uma mesa, sem nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um plano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.
  8. 8.  Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então: A ponto r reta α plano
  9. 9.  A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte: • Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.). • As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.). • Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.).
  10. 10. Posições primitivas, postulados ou axiomas. Postulados da existência P1 – Existem infinitos pontos P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos A C E DB F P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos α A B C E F D r
  11. 11. Postulados da determinação P4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta r A B P5 – Três pontos não-colineares determinam um único plano α A B C
  12. 12. Postulado da inclusão P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano α r A B A α B α A r A r r α ∩
  13. 13. Postulados da separação P7 – Postulado da separação da reta : todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence. A BO r OA e OB são semi-retas opostas de origem O.
  14. 14. P8 – Postulado da separação : toda reta de um plano separa-o em duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto. α1 α2 r OA B α α1 e α 2 são semi - planos opostos de α.
  15. 15. P9 – Postulado da separação :Todo plano separa o espaço em duas partes nas quais ele está contido; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhum nesse plano de separação intercepta-o em um único ponto. α E1 E2 A B O E1 e E2 são semi- espaços opostos de origem α AB
  16. 16. Posições relativas entre duas retas Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser: se todos os pontos de uma são pontos da outra. • Coincidentes: r s Indicamos: r = s
  17. 17. • Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum. α r s Indicamos: r//s r//s ↔ r α s α r ∩ s = ø ∩∩
  18. 18. • Concorrentes: Se tem um único ponto em comum. r s Indicamos: r x s r x s ↔ r s = {P}∩
  19. 19. • Reversas (ou não coplanares): Se não existe plano que as contenha simultaneamente. α A B r OBS: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes.
  20. 20. Observação: 1. Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são perpendiculares. Indicamos: r s r s 2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são ortogonais. α A B r s Indicamos: r s
  21. 21. Determinação de planos Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado: • Por três pontos não-colineares (postulado 5): α A B C
  22. 22. • Por um ponto P e uma reta r, de modo que P r: α P B C De fato, se considerarmos os pontos distintos B e C de r, teremos três pontos B, C e P não- colineares e, pelo P5 eles determinam um plano.
  23. 23. • Por duas retas concorrentes: α s r De fato, se considerarmos os pontos distintos A e B de modo que A P, A r, B P, B s, temos que, pelo P5, os pontos A, B e P determinam um plano A B
  24. 24. • Por duas retas paralelas: α r sA B C De fato, se considerarmos os pontos distintos A, B e C de modo que A r, B r e C s, temos que, pelo P5, esses três pontos determinam um plano.
  25. 25. Posições relativas entre uma reta e um plano Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos: Todos os pontos de r são pontos de α . • 1º Caso: r contida em α α r r α r ∩ α = r ∩
  26. 26. • 2º Caso: r paralela a α r e α não têm ponto em comum α r // α ↔ r ∩ α = r É válido o seguinte teorema: Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α, de modo que r e s sejam paralelas. α r s
  27. 27. • 3º Caso: r concorrente com α r e α têm um único ponto em comum . Indicamos: r x α α P r x α ↔ r ∩ α = {P} Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P, então dizemos que r é perpendicular a α Indicamos: r s α r P
  28. 28. Para o 3º caso é válido o seguinte teorema: Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se, e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α, e passando por P, de modo que r seja perpendicular a ambas. α r P s
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