1) O documento define e explica conceitos básicos sobre matrizes, incluindo sua notação, tipos de matrizes (linha, coluna, quadrada, diagonal, identidade), operações (soma, subtração, multiplicação) e propriedades. 2) São apresentadas definições de matriz transposta, simétrica, anti-simétrica e igualdade entre matrizes. 3) A multiplicação de matrizes e o produto de uma matriz por um escalar são explicados.

1. MMatrizesatrizes
ProfessoraProfessora
Rosana QuirinoRosana Quirino

2. Definição e Notação
Chamamos de Matriz a todo conjunto de “valores”,
dispostos em linhas e colunas. Representamos
matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.


















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
21
22221
11211

3. Determine a matriz A = (aij)3x3 tal
que aij = i – j.
A=

4. Matriz Linha
[ ]0124−=A
É toda matriz que possui apenas uma linha.

5. Matriz Coluna










−
=
10
4
5
B
É toda matriz que possui apenas uma coluna.

6. Matriz Quadrada
É toda matriz onde o número de linhas é igual
ao número de colunas.










−
−
−
=
205
625
021
C

7. Matriz Diagonal
É toda matriz quadrada onde os termos que não
estão na diagonal principal são nulos.










=
100
040
005
D

8. É a soma dos elementos da diagonal
principal.
Traço: 5 + 4 + 1 = 10
Traço da Matriz

9. Matriz Identidade
É toda matriz quadrada onde os termos que estão na
diagonal principal são iguais a 1 e os outros são
nulos.










=
100
010
001
D

10. Matriz Transposta
É toda matriz onde os termos que estão na posição
de linha são transpostos para a posição de coluna.










−
−
=
632
420
531
A










−
−=
645
323
201
T
A

11. Matriz Simétrica:
T
AA =
1 2 0
2 7 4
0 4 3
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica:
T
AA −=
0 5 2
5 0 1
2 1 0
− 
 ÷
− ÷
 ÷− 
Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.

12. Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são iguais quando todos os elementos
correspondentes são iguais.

13. Matrizes
BABA +




 −
=




 −
= então,
050
214
e
170
512





 −
=





+++
+−+−+
=




 −
+




 −
1120
726
015700
25)1(142
050
214
170
512
Para realizarmos estas operações entre matrizes,
precisamos ter matrizes de mesma ordem e realizar
as respectivas operações com os elementos
correspondentes.

14. Número





−
=




 −
=




−





−
=
100
42
5.20.2
2.2)1.(2
50
21
.2
.2,
50
21
ArealizeAmatrizaSeja
Para realizarmos o produto de uma constante por
uma matriz, basta multiplicarmos todos os elementos
pela constante dada.

15. Multiplicação de Matrizes
mxpnxpmxn CBA =.










=





=
9
8
7
654
321
BeA
1212
13
32
121
50
9.68.57.4
9.38.27.1
9
8
7
.
654
321
xx
x
x






=





++
++
=
















Para realizarmos o produto A.B, o número de linhas
de B tem que ser igual ao número de colunas de A.

16. Propriedades de Matrizes
( ) ( )
0'4
3
2
1
=+−
=+−
+=+−
++=++−
AA
AMA
ABBA
CBACBA

17. Propriedades de Matrizes
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )BAkBkABAk
BCACBACCBA
CBACBA
......3
....2
...1
==−
+=+=+−
=−

18. Propriedades de Matrizes
( )
( )
( )
( ) ttt
tt
ttt
tt
ABBA
AkAk
BABA
AA
..4
..3
2
1
=−
=−
+=+−
=−

19. Inversão de Matrizes
nIAA =−1
.
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz
inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.
Calcule a inversa da matriz A =
Resolvendo os sistemas temos a matriz inversa de A.