es muy interesante

1. El Currículo de Matemáticas en la
enseñanza no universitaria
José Luis Álvarez
IES Nº5 de Avilés (Asturias)

2. Antecedentes I
► Ley de Instrucción Pública (Ley Moyano). 1857
 Vigente, con modificaciones, hasta 1970.
 Introduce la escolarización obligatoria.
 Enseñanza Primaria y Enseñanza Secundaria.
 Varios planes de estudios:
► 1857 (Moyano).
► 1901 (Romanones).
► 1926 (Primo de Rivera).
► 1934 (República).
► 1945 – 1953 – 1957 – 1965 – 1967 (Franquismo).
 Matemáticas en Primaria y en Secundaria.

3. 1. Para la enseñanza elemental: Principios de Aritmética con
el sistema legal de pesas y monedas .
2. Para la enseñanza superior: Principios de Geometría, de
Dibujo Lineal y de Agrimensura.
Primaria
1857 Matemáticas
Secundaria
1. En los dos primeros años: Aritmética.
2. En cuarto año: Aritmética y Álgebra.
3. En quinto año: Geometría y principios de
Trigonometría y de Geometría matemática .

4. 1. Incluyen Aritmética, Geometría y Medida y se hace
énfasis en la resolución de problemas.
2. En los programas de 1964 se hace la distinción entre
Ejercicios y Adquisiciones .
Primaria
1967 Matemáticas
Secundaria
1. Matemática moderna desde el primer curso de
Bachillerato.
2. Geometría Analítica (plano afín en 5º y plano euclídeo en
6º).
3. Horario: 6+6+6+6 (elemental); 6+3 (superior).

5. El Florido Pensil
► Dos caminantes se dirigen el uno al otro. La distancia que
los separa es de 300 km. El uno va a 8 km/h y el otro a 7
km/h. ¿Cuántas horas tardan en encontrarse?
 Sopeña al maestro: Si es que faltan datos! No dice cuanto tiempo
paran para comer, ni para dormir, ni para evacuar…
► Un andarín gana 614,50 por cada kilómetro que recorre,
¿cuánto vendrá a ganar por cada hectómetro, decímetro y
metro recorridos?
 El padre: ¿Le pagan por andar? ¿Y por qué no va en bici?
► En un cesto hay 36584 huevos, ¿cuántos pares de huevos
contiene?
 Sopeña al maestro: Es imposible señor. Por los huevos de abajo.
Además, no hay cesto para tantos huevos. Y si lo hubiera los de
abajo reventarían…

6. Antecedentes II
► Ley General de Educación. 1970
 EGB: escolarización obligatoria hasta los 14 años.
 Influencia Piagetiana en la organización de la etapa:
ciclo inicial, medio y superior de EGB.
 BUP – FP: doble vía en la Educación Secundaria, en
función de la titulación obtenida.
 Organización de la enseñanza por objetivos operativos.
 Se realza el papel formativo de las Matemáticas, que
tienen la consideración de materia de expresión.

7. 1. Énfasis en la Teoría de Conjuntos y el dominio de los aspectos
numéricos y formales, frente a los geométricos e intuitivos.
2. Contenidos: Conjuntos: Relaciones y Aplicaciones; Operaciones
con números naturales, números decimales e introducción a las
fracciones; Magnitudes y su medida. Geometría elemental del
plano, con algunos ejemplos de Topología.
EGB
1970 Matemáticas
BUP
1. Se mantiene la influencia de la matemática moderna.
2. Análisis matemático y Geometría analítica a partir de segundo
curso.
3. Se crea una nueva asignatura en COU: Matemáticas II
4. Horario: 5+4+4 (BUP)

8. Antecedentes III
► Ley de Ordenación General del Sistema Educativo
(LOGSE). 1990
 Escolarización obligatoria hasta los 16 años.
 Tres etapas: Educación Infantil, Primaria y Secundaria.
 Educación Secundaria: ESO y Bachillerato. FP.
 Currículo abierto con 3 niveles de concreción.
 Competencias autonómicas en materia educativa.
 Elementos del currículo: objetivos, contenidos, criterios de
evaluación. Orientaciones metodológicas.
 Matemáticas: presentes en todos los cursos de la etapa obligatoria.
Menor carga horaria.
 Desaparece la matemática moderna y se intenta evitar que en la
etapa obligatoria el peso recaiga en los aspectos formales.
Integración de calculadora y uso de las NNTT. Énfasis en la
resolución de problemas.

9. 1. Fines: formativo e instrumental.
2. Contenidos organizados en 4 bloques: Números y operaciones; La Medida;
Formas geométricas y situación en el espacio; Organización de la información.
3. Calculadoras y cálculo mental. Estimación. Resolución de problemas
1. Fines: formativo, funcional e instrumental.
Primaria 2. Contenidos organizados en 5 bloques:
Números y operaciones: significados,
Matemáticas ESO
estrategias y simbolización; Medida,
estimación y cálculo de magnitudes;
1990 Representación y organización en el
espacio; Interpretación, representación y
Bachillerato tratamiento de la información; Tratamiento
del azar.
3. Dos opciones en cuarto curso.
1. Fines: formativo, instrumental y fundamentación teórica.
2. Matemáticas I y II: Aritmética y Álgebra, Geometría, Funciones, Estadística
y Probabilidad y Resolución de Problemas, en 1º curso; Álgebra Lineal,
Análisis y Geometría, en 2º curso.
3. Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I y II: Aritmética y Álgebra,
Funciones, Estadística y Probabilidad y Resolución de Problemas, en 1º
curso; Álgebra, Análisis y Estadística y Probabilidad, en 2º curso.

10. Antecedentes IV
► Ley Orgánica de
Calidad de la Educación
(LOCE). 2002.
► Currículos autonómicos:
una oportunidad que
aprovechan las
comunidades
autónomas para
establecer diferencias.

11. Ley Orgánica de Educación (LOE). 2006.
► La enseñanza básica comprende diez años de escolaridad y se
desarrolla, de forma regular, entre los seis y los dieciséis años de
edad. Incluye la educación primaria y la educación secundaria
obligatoria y es obligatoria y gratuita para todas las personas.
► Se garantizará una educación común para los alumnos y se adoptará
la atención a la diversidad como principio fundamental.
► Tiempo para la lectura en la etapas obligatorias.
► Dos opciones de Matemáticas en el último curso de la ESO.
► El Bachillerato comprende dos cursos con tres modalidades
diferentes: Artes, Ciencias y Tecnología, y Humanidades y Ciencias
Sociales. Se organiza en materias comunes, de modalidad y optativas.
► Integración de las TIC en los currículos de las materias.

13. Los elementos del currículo
► Las competencias básicas :
directiva de la Unión Europea a
sus estados miembros
► Objetivos, contenidos,
criterios de evaluación
(65/55%)
► Orientaciones
metodológicas : son
competencia de las
comunidades autónomas.

14. Competencias básicas
► Son aquellas competencias que
debe haber desarrollado un joven
o una joven al finalizar la
enseñanza obligatoria para poder
lograr su realización personal,
ejercer la ciudadanía activa,
incorporarse a la vida adulta de
manera satisfactoria y ser capaz
de desarrollar un aprendizaje
permanente a lo largo de la vida
(LOE, 2006).
► Triple finalidad:
 Integrar los aprendizajes, tanto
formales como no formales.
 Utilizarlos de manera efectiva
en diferentes situaciones y
contextos.

15. Las competencias: algo más que una moda y
mucho menos que un remedio.
► Situar en primer lugar a la transferencia de
► Situar en primer lugar a la transferencia de
lo aprendido: se refiere a la movilización de
lo aprendido: se refiere a la movilización de
los conocimientos y a su uso en situaciones
los conocimientos y a su uso en situaciones
problemáticas.
problemáticas.
► Integración de distintos tipos de contenidos.
► Integración de distintos tipos de contenidos.
► Importancia del contexto ..
► Importancia del contexto
C.Coll, 2007

16. Evolución de definición de currículo en la legislación española

17. - Evolución de la relevancia en el curriculum de los componentes de
una competencia
CONTENIDOS: CAPACIDADES: CONTEXTOS:
Epistemología: Psicología: Sociología:
Antes de 1970 Entre 1970 y 2006 A partir de 2006
Contenidos Contenidos + Contenidos +
Capacidades Capacidades +
Contextos

18. Cuando creíamos que “
teníamos todas las
respuestas, de pronto,
cambiaron todas las
”preguntas

19. COMPETENCIA MATEMÁTICA
es LA HABILIDAD
LA HABILIDAD
de
UTILIZAR Y PRODUCIR E DISTINTOS TIPOS
RELACIONAR INTERPRETAR DE INFORMACIÓN
NÚMEROS Y SUS
OPERACIONES ASPECTOS
AMPLIAR EL CUANTITATIVOS
sobre
para CONOCIMIENTO Y ESPACIALES DE
LA REALIDAD
SÍMBOLOS Y
FORMAS DE
EXPRESIÓN
LA VIDA
COTIDIANA
RAZONAMIENTO relacionados
RESOLVER con
MATEMÁTICO PROBLEMAS
EL MUNDO
LABORAL

21. Matemáticas en Educación Primaria
► Preponderancia de la componente intuitiva
frente a la abstracción y formalización.
► Utilización de estrategias personales frente a
las “más académicas”
► Preponderancia del razonamiento inductivo
► Utilización de distintos ámbitos de
experiencias del alumnado como fuente de
actividades matemáticas.
► Utilización de materiales manipulables e
instrumentos de medida.

22.  Uso racional de la calculadora y el ordenador.
 Importancia del trabajo en grupo como base del
aprendizaje.
 Desarrollo de todos los contenidos desde el primer
curso, incidiendo especialmente en la Resolución de
Problemas y los contenidos geométricos en consonancia
con el desarrollo de los sentidos.
 Fomentar el gusto y la necesidad de un lenguaje claro y
adecuado para comunicar sus ideas, razonamientos,
argumentos, etc.

23. ESTRUCTURA DE CICLOS
CONTENIDOS
- Números y operaciones
- La Medida: estimación y
cálculo de magnitudes CRITERIOS DE
- Geometría EVALUACIÓN
- Tratamiento de la información,
azar y probabilidad
Los Bloques de Contenidos no son compartimentos estancos: en todos
los bloques se utilizan técnicas numéricas, se aplica el método de resolución de
problemas y, en cualquiera de ellos, puede ser útil confeccionar una tabla,
generar una gráfica, utilizar la calculadora y medios informáticos, ajustar el
lenguaje matemático...
A diferencia del currículo LOGSE no hay una clasificación según la tipología
de contenidos (conceptuales, procedimentales y actitudinales), aunque es
evidentemente que están presentes.

24. Números y operaciones
► Alfabetización numérica y operacional: comprensión de los
procesos y significados de números y operaciones
básicas.
► Sentido numérico: desarrollo de estrategias de cálculo
mental, de estimación y de cálculo aproximado.
► Dominio funcional de los números y su utilización en
diferentes contextos
► Habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos
► Decisión en cada caso sobre el procedimiento más
adecuado de resolución (incluida la calculadora), y su
expresión matemática.

25. La medida: estimación y cálculo de
magnitudes
- Utilización de instrumentos de medida
- Medición en situaciones reales (objetivo prioritario a
conseguir)
- Utilización en cada ciclo de las medidas más comunes de
uso cotidiano
- Estrategias de aproximación y estimación de medidas

26. Geometría
• Orientación y representación espacial: sistemas de referencia y
modelos de representación.
• Localización, la descripción y el conocimiento de objetos en el
espacio
• El entorno cotidiano como fuente de estudio de diversas
situaciones físicas reales, trabajando los elementos,
propiedades, ... de las formas planas y tridimensionales
• Relevancia de la manipulación, el uso de materiales, modelos
reales y programas informáticos.

27. Tratamiento de la información, azar y
probabilidad
- Conexión con actividades que implican a otras áreas de
conocimiento y con informaciones que aparecen en la vida
cotidiana: datos estadísticos de poblaciones, encuestas,
superficies de países, ...
- Recogida y tratamiento matemático de información,
haciendo especial hincapié en su representación gráfica
- Un primer acercamiento a los fenómenos aleatorios. Uso
de distintos juegos de azar.
- Contenidos muy adecuados para potenciar el trabajo en
equipo y el desarrollo del sentido crítico.

28. ESO: contenidos
► Bloque de contenidos comunes: Resolución de
problemas , utilización de herramientas
tecnológicas . Tiene carácter transversal.
► El resto de contenidos está organizado en cinco
bloques: Números, Álgebra, Geometría,
Funciones y gráficas y Estadística y
probabilidad .
► Los bloques de contenidos no son compartimentos
estancos : en todos se utilizan técnicas numéricas y
algebraicas, puede ser útil confeccionar una tabla,
generar una gráfica o suscitar una situación de
incertidumbre probabilística.

29. Resolución de problemas
► Tratamiento transversal, en
cada curso y a lo largo de
toda la etapa .
► Centro sobre el que ha de
gravitar la actividad matemática
en el aula.
► Contribución a la adquisición de
competencias básicas.

30. Números
► Desarrollo del sentido numérico a lo
largo de toda la etapa .
► Énfasis en la verdadera comprensión
de las operaciones que permita un uso
razonable de las mismas, más que en las
destrezas de cálculo o en los algoritmos
de lápiz y papel.
► Desarrollo de estrategias personales que
permitan la utilización de la forma de
cálculo (mental, escrito o con
calculadora) y la estrategia para
contar o estimar cantidades más
apropiadas a la precisión exigida en
el resultado y la naturaleza de los
datos .
► Resolución de problemas en múltiples
contextos de la vida diaria .

31. Álgebra
► Está presente en los cuatro cursos
de la etapa.
► Partir de la representación y
transformación de cantidades :
trabajo con patrones y relaciones
(secuencias numéricas,
geométricas, …), traducciones del
lenguaje natural al algebraico y
viceversa.
► Las destrezas algebraicas se
desarrollan a lo largo de toda
la etapa , a través de un aumento
progresivo en el uso de símbolos y
expresiones.

32. Geometría
► Se trata sobre todo de describir y
analizar propiedades y
relaciones y clasificar y
razonar sobre formas y
estructuras geométricas .
► Marco propicio para establecer
relaciones con otros ámbitos ,
como la naturaleza o el mundo del
arte.
► Utilización de recursos
manipulativos como catalizador
del pensamiento del alumno.
► Programas de geometría
dinámica para analizar
propiedades, explorar relaciones,
formular conjeturas y validarlas.

33. Funciones
► Las distintas formas de
representar una situación
(verbal, numérica, geométrica
o algebraica) y las distintas
formas de traducir una
expresión de uno a otro
lenguaje.
► Resolución de problemas:
modelizar situaciones
reales
► Uso de las herramientas
tecnológicas para el estudio
de las funciones.

34. Estadística y probabilidad
► Formular preguntas que puedan
abordarse con datos y recoger,
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas,
seleccionando y utilizando los métodos
estadísticos apropiados para analizar
dichos datos.
► Desarrollar y evaluar inferencias y
predicciones basadas en datos.
► Comprender y aplicar conceptos
básicos de probabilidad.
► Capacitar a los alumnos para analizar
de forma crítica las presentaciones
falaces, interpretaciones sesgadas y
abusos que a veces contiene la
información de naturaleza estadística.
► Utilización de la hoja de cálculo para
organizar la información.

35. Las matemáticas en el bachillerato
► Matemáticas aplicadas a las CCSS I y
II
► Matemáticas I y II
► Hay pocos cambios con respecto al
currículo anterior.
► Dos aspectos a destacar:
 Integración de las nuevas tecnologías.
 El papel de la resolución de problemas.

36. Bachillerato de CCSS
► Análisis de la realidad social desde una
perspectiva matemática.
► Resolución de problemas.
► Rigor, abstracción, demostraciones, fórmulas.
► Uso de herramientas tecnológicas.
► Valor formativo de las matemáticas.
► No circunscrita exclusivamente al ámbito de la
economía o la sociología.

37. Los contenidos del BCS
PRIMER CURSO:
 Aritmética y Álgebra
 Análisis
 Probabilidad y Estadística

38. Aritmética y Álgebra
1. Aproximación decimal de un número real. Estimación,
redondeo y errores.
2. Resolución de problemas de matemática financiera en los
que intervienen el Interés simple y compuesto y se utilizan
tasas, amortizaciones, capitalizaciones y números índice.
Parámetros económicos y sociales.
3. Resolución de problemas del ámbito de las ciencias
sociales mediante la utilización de ecuaciones o sistemas
de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

39. Análisis
1. Expresión de una función en forma algebraica, por medio de
tablas o de gráficas. Aspectos globales de una función.
Utilización de las funciones como herramienta para la
resolución de problemas y la interpretación de fenómenos
sociales y económicos.
2. Interpolación y extrapolación lineal. Aplicación a problemas
reales.
3. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las
funciones polinómicas, exponencial y logarítmica, valor
absoluto, parte entera y racionales sencillas a partir de sus
características. Las funciones definidas a trozos.
4. Tasa de variación. Tendencias.

40. Probabilidad y Estadística
1. Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables.
Métodos estadísticos. Tablas y gráficos. Parámetros
estadísticos de localización, de dispersión y de posición.
2. Distribuciones bidimensionales. Interpretación de fenómenos
sociales y económicos en los que intervienen dos variables a
partir de la representación gráfica de una nube de puntos.
Grado de relación entre dos variables estadísticas.
Regresión lineal. Extrapolación de resultados.
3. Asignación de probabilidades a sucesos. Distribuciones de
probabilidad binomial y normal.

41. SEGUNDO CURSO
 Álgebra
 Análisis
 Probabilidad y Estadística

42. Álgebra
1. Las matrices como expresión de tablas y grafos. Suma y
producto de matrices. Interpretación del significado de las
operaciones con matrices en la resolución de problemas
extraídos de las ciencias sociales.
2. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas
de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la
resolución de problemas sociales, económicos y
demográficos. Interpretación de las soluciones.

43. Análisis
1. Aproximación al concepto de límite a partir de la
interpretación de la tendencia de una función. Concepto de
continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de
discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el
tratamiento de la información.
2. Derivada de una función en un punto. Aproximación al
concepto e interpretación geométrica.
3. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades
locales de funciones habituales y a la resolución de
problemas de optimización relacionados con las ciencias
sociales y la economía.
4. Estudio y representación gráfica de una función polinómica
o racional sencilla a partir de sus propiedades globales.

44. Probabilidad y Estadística
1. Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a
posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total.
Teorema de Bayes.
2. Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del Límite, de
aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes
Números.
3. Problemas relacionados con la elección de las muestras.
Condiciones de representatividad. Parámetros de una población.
4. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones
muestrales.
5. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución
binomial y para la media de una distribución normal de
desviación típica conocida.
6. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución
binomial y para la media o diferencias de medias de
distribuciones normales con desviación típica conocida.

45. Matemáticas I y II
► “Saber hacer matemáticas”.
► Dos ejes fundamentales: Geometría y Análisis.
► Los instrumentos: Aritmética, Álgebra y las
estrategias propias de la Resolución de
Problemas.
► Fórmulas e identidades: no memorización.
► Uso de herramientas tecnológicas.
► El formalismo: equilibrado y gradual.
► Carácter transversal de la resolución de
problemas

46. Los contenidos
PRIMER CURSO:
- Aritmética y Álgebra.
- Geometría.
- Análisis.
- Estadística y Probabilidad

47. Aritmética y Álgebra
1. Números reales. Valor absoluto.
Desigualdades. Distancias en la recta real.
Intervalos y entornos.
2. Resolución e interpretación gráfica de
ecuaciones e inecuaciones.
3. Utilización de las herramientas algebraicas en
la resolución de problemas

48. Geometría
1. Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas
de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones
trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas
geométricos diversos.
2. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar.
Módulo de un vector.
3. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas.
Distancias y ángulos. Resolución de problemas.
4. Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.

49. Análisis
1. Funciones reales de variable real: clasificación y características
básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas,
valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas.
2. Dominio, recorrido y extremos de una función.
3. Operaciones y composición de funciones.
4. Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y
continuidad.
5. Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en
un intervalo.
6. Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de
manera analítica o gráfica, que describen situaciones reales.

50. Estadística y Probabilidad
1. Distribuciones bidimensionales. Relaciones
entre dos variables estadísticas. Regresión
lineal.
2. Estudio de la probabilidad compuesta,
condicionada, total y a posteriori.
3. Distribuciones binomial y normal como
herramienta para asignar probabilidades a
sucesos.

51. SEGUNDO CURSO
► Álgebra lineal.
► Geometría.
► Análisis.

52. Álgebra Lineal
1. Estudio de las matrices como herramienta para manejar y
operar con datos estructurados en tablas y grafos.
2. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y
de sus propiedades en la resolución de problemas
extraídos de contextos reales.
3. Determinantes. Propiedades elementales de los
determinantes. Rango de una matriz.
4. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

53. Geometría
1. Vectores en el espacio tridimensional. Producto
escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico.
2. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio.
Resolución de problemas de posiciones relativas.
Resolución de problemas métricos relacionados
con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y
volúmenes.

54. Análisis
1. Concepto de límite de una función. Cálculo de límites.
2. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
3. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada
de una función en un punto.
4. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la
suma, el producto y el cociente de funciones y de la función
compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las
propiedades locales de una función. Problemas de
optimización.
5. Introducción al concepto de integral definida a partir del
cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas
elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al
cálculo de áreas de regiones planas.

56. Posibilidad y límites.
¿Legitimar las diferencias?
Las matemáticas son una materia tan importante
Las matemáticas son una materia tan importante
que todo alumno la cursa al menos una hora al día
que todo alumno la cursa al menos una hora al día
… pero son muchos los que llegan al final de la
… pero son muchos los que llegan al final de la
secundaria sin haber alcanzado el nivel apropiado
secundaria sin haber alcanzado el nivel apropiado
para el final de la educación primaria …
para el final de la educación primaria …
Esta materia justifica de una manera sutil y
Esta materia justifica de una manera sutil y
legitima la diferenciación entre el alumnado que
legitima la diferenciación entre el alumnado que
alcanza el nivel y el resto…
alcanza el nivel y el resto…
J. Eggleston. Sociología del currículum escolar..
J. Eggleston. Sociología del currículum escolar

57. En este mundo cambiante, aquellos que entiendan y puedan
utilizar matemáticas, tendrán oportunidades y opciones
significativamente mejores para enfrentar su futuro. Las
competencias matemáticas abren puertas hacia futuros
productivos. La falta de competencias matemáticas, mantiene
esas puertas cerradas ( . ) todos necesitan matemáticas y los
estudiantes deben tener la oportunidad y la ayuda necesarias
para aprender contenidos matemáticos que sean relevantes
con profundidad y comprensión.
NCTM, 2000

58. Si queremos cambiar la
forma de aprender de
nuestro alumnado,
debemos modificar
también la forma en la
que les enseñamos.
J. I. Pozo

61. ¿ES LÓGICO QUE UN ALUMNO/A…
… dedique la mayor parte del tiempo matemático a hacer sumas, restas…y luego no
sepa cuando utilizarlas?
… haga operaciones con fracciones y no sepa explicar qué significa 3: 1/2? ¡Ni por
qué da 6!
… haga operaciones con % y no sepa interpretar lo que calcula?
… tenga un dominio tan pobre de las estrategias de cálculo mental, estimación, … ?
… crea que hay una única manera “válida” de multiplicar en el mundo?
… crea que lo importante de los problema es dar una solución? (aunque sea
absurda)?
… siga mirando a los ojos del profesor después de decir “¿dividir”?
… crea que hay una única manera “válida” de resolver un problema?
…no pueda utilizar la calculadora para resolver problemas?
… apenas dedique tiempo en la escuela a pensar y discutir cómo resolver los
problemas?
… apruebe con nota las operaciones de primaria y sea en la práctica un analfabeto
funcional?

62. Fracciones
Utilizar los números racionales, sus operaciones y propiedades,
para recoger, transformar e intercambiar información y resolver
problemas relacionados con la vida diaria (3º ESO).

63. ¿Fracciones y decimales en entornos cotidianos?

65. El tesoro del rombo
En un desierto, un legendario
aventurero cansado y al
borde de la muerte ha
enterrado un tesoro. En el
plano que ha dejado,
solamente está señalada una
roca y un gran árbol. También
ha anotado que la roca, el
árbol y el punto donde está
enterrado el tesoro son 3
vértices de un rombo. Del
cuarto vértice solamente
sabemos que está sobre la
pista rectilínea cercana.
¿Dónde habría que cavar
para encontrar el tesoro?

66. Plegando un triángulo
Supón que hemos recortado un triángulo
de cartulina. Ahora vamos doblándolo
hasta hacer coincidir uno de los vértices
sobre el punto medio del lado opuesto.
Cuando completamos el doblado, es decir,
cuando el vértice coincide con el punto
medio del lado opuesto, según como sea
el triángulo de partida, la figura que nos
queda puede ser un triángulo, un
cuadrilátero o un pentágono.
¿De qué depende que la figura final sea
un triángulo, un cuadrilátero o un
pentágono? ¿Qué relación tiene el
polígono obtenido con la forma del
triángulo del que partimos?

67. Ajedrez
El caballo situado en g1
puede alcanzar la
posición del caballo
situado en g8 en sólo
cinco saltos. Suponiendo
que el tablero está vacío
de otras piezas, ¿cuántas
formas distintas hay de
lograrlo? Ojo, hay más de
las que parece.

69. L,TRTNPEHVZ,.ZN
Matrices y criptografía
► Vamos a utilizar un sistema de cifrado en dos pasos,
empleando matrices: asignación numérica de caracteres y
tratamiento matricial del mensaje obtenido, empleando
como clave una matriz de codificación.
► Para la asignación numérica utilizamos la siguiente tabla:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C D E F G H I J
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
K L M N Ñ O P Q R S
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
T U V W X Y Z esp . ,

70. La clave para la codificación será la  0 1 1
matriz C: C =  3 7 8
 
 4 2 3
 
Vamos a codificar la palabra MATEMÁTICAS:
► Asignamos a cada letra el valor numérico que le
corresponde: 13 1 21 5 13 1 21 9 3 1 20
►1
Organizamos matricialmente estos números: 9formamos
2 3 4 5 6 7 8 10
A
una Bmatriz de 3Dfilas, Eescribiendo ordenadamente los
C F G H I J
números por columnas, completando con el código del
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
espacio en blanco (28) si fuera necesario. Se obtiene
K L M N Ñ O P Q R S
así la matriz:
21 22 23 24
13 26 21 1  28
25
5
 1 13 927 20 
M =X
29 30
T U V W Y Z  esp . ,
 21 1 3 28 
 

71. Hacemos ahora el producto de C por M:
 0 1 1 13 5 21 1   22 14 12 48 
C ·M =  3 7 8· 1 13 9 20  =  214 114 150 367 
    
 4 2 3  21 1 3 28  117 49 111 128 
    
Si alguno de los elementos de la matriz resultante es mayor de 30, como
ocurre en este caso, lo sustituimos por el resto de su división entre 30
(trabajaremos con restos módulo 30):
 22 14 12 48   22 14 12 18
mod(  214 114 150 367  ,30) =  4 24 0 7 
   
117 49 111 128 
   27 19 21 8 
 
Ahora nos queda el proceso inverso: los elementos de esta matriz, por
columnas, los escribimos en una sola línea, sustituyéndolos por los
caracteres correspondientes: UDZNWRL,TQGH

72. ¿Qué hacer para descifrar el mensaje?
► El receptor del mensaje necesita conocer la clave asignada a cada letra
(equivalencias de la tabla) y la matriz de codificación.
► Lo primero que debe hacer es escribir matricialmente el mensaje recibido,
siguiendo las mismas pautas que quien lo escribió:
 22 14 12 18
M ' =  4 24 0 7 
 
 27 19 21 8 
 
► Ahora tendrá que multiplicar la inversa de la matriz de codificación por la
matriz M’:
 133 65 81 91 
C ·M = M ' ⇒ M = C −1 ·M ' =  571 283 339
 410 
 −549 −269 −327 −392 
 

73. ► Algunos elementos de la matriz obtenida son mayores que 30,
por lo que habrá que buscar la matriz mod(M,30):
 133 65 81 91  13 5 21 1 
mod(  571 283 339
 410  ,30) =  1 13 9 20 
  
 −549 −269 −327 −392 
   21 1 3 28 
 
► Solamente queda escribir nuevamente en una sola línea los
elementos de la matriz, por columnas, y buscar en la tabla el
significado de cada uno de los números.
► ¿Qué significa el mensaje siguiente?
L,TRTNPEHVZ,.ZN

75. Grandes matemáticos
► En Julio de 2002 Aznar declaraba: "Primero, Bush coloca los
pies encima de la mesa, se vuelve hacia mí y me dice: yo corro 4
Km en 6 minutos y 45 segundos. Entonces, yo levanto mis pies,
los pongo también encima de la mesa, me giro y le contesto:
pues yo hago 10 Km en 5 minutos y 20 segundos ".
► Evidentemente se trataba de una fanfarronada, tanto política
como aritmética.
► Una rápida cuenta nos permite calcular que la velocidad de Bush
debía ser por tanto de 35,5 Km/h, esto es más o menos lo mismo
que correr 100 metros en 10 segundos, ¡¡pero manteniendo esa
velocidad los 4 Km!!. La velocidad y potencia de Bush nos dejan
impresionados, pero cuando calculamos la velocidad de la
carrera de Aznar, obtenemos 112,5 Km/h, ¡increíble! corre a la
velocidad límite de un guepardo, el animal terrestre más veloz
del mundo.

76. De una caja de bombones
Santi ha comido un tercio;
si quedan 12 bombones,
¿cuántos había en la caja?
(¿Sabes más que un niño de
primaria? Antena 3)
Ramón Jáuregui contestó que 36. Los
diputados del PP contestaron a la gallega;
Martínez Pujalte con un “¿se ha comido un
tercio sólo un niño?” y Soraya Saénz de
Santamaría con “¿los que había al principio
eran 12?”. Emilio Olabarría escapó a la
pregunta con un “yo soy de letras puras;
ahí si que tenemos un problema muy
serio”.
(El Intermedio, Wyoming)

77. LA CLASE DE
MATEMÁTICAS
► Los diseños para la clase de matemáticas, como en
pintura o poesía, han de ser bellos, las ideas como los
colores o las palabras, deben relacionarse de manera
armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay
lugar en el mundo para una clase de Matemáticas feas.
G.H. Hardy