Geometria
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  • 1. El Currículo de Matemáticas en la enseñanza no universitaria José Luis Álvarez IES Nº5 de Avilés (Asturias)
  • 2. Antecedentes I► Ley de Instrucción Pública (Ley Moyano). 1857  Vigente, con modificaciones, hasta 1970.  Introduce la escolarización obligatoria.  Enseñanza Primaria y Enseñanza Secundaria.  Varios planes de estudios: ► 1857 (Moyano). ► 1901 (Romanones). ► 1926 (Primo de Rivera). ► 1934 (República). ► 1945 – 1953 – 1957 – 1965 – 1967 (Franquismo).  Matemáticas en Primaria y en Secundaria.
  • 3. 1. Para la enseñanza elemental: Principios de Aritmética con el sistema legal de pesas y monedas . 2. Para la enseñanza superior: Principios de Geometría, de Dibujo Lineal y de Agrimensura. Primaria1857 Matemáticas Secundaria 1. En los dos primeros años: Aritmética. 2. En cuarto año: Aritmética y Álgebra. 3. En quinto año: Geometría y principios de Trigonometría y de Geometría matemática .
  • 4. 1. Incluyen Aritmética, Geometría y Medida y se hace énfasis en la resolución de problemas. 2. En los programas de 1964 se hace la distinción entre Ejercicios y Adquisiciones . Primaria1967 Matemáticas Secundaria 1. Matemática moderna desde el primer curso de Bachillerato. 2. Geometría Analítica (plano afín en 5º y plano euclídeo en 6º). 3. Horario: 6+6+6+6 (elemental); 6+3 (superior).
  • 5. El Florido Pensil► Dos caminantes se dirigen el uno al otro. La distancia que los separa es de 300 km. El uno va a 8 km/h y el otro a 7 km/h. ¿Cuántas horas tardan en encontrarse?  Sopeña al maestro: Si es que faltan datos! No dice cuanto tiempo paran para comer, ni para dormir, ni para evacuar…► Un andarín gana 614,50 por cada kilómetro que recorre, ¿cuánto vendrá a ganar por cada hectómetro, decímetro y metro recorridos?  El padre: ¿Le pagan por andar? ¿Y por qué no va en bici?► En un cesto hay 36584 huevos, ¿cuántos pares de huevos contiene?  Sopeña al maestro: Es imposible señor. Por los huevos de abajo. Además, no hay cesto para tantos huevos. Y si lo hubiera los de abajo reventarían…
  • 6. Antecedentes II► Ley General de Educación. 1970  EGB: escolarización obligatoria hasta los 14 años.  Influencia Piagetiana en la organización de la etapa: ciclo inicial, medio y superior de EGB.  BUP – FP: doble vía en la Educación Secundaria, en función de la titulación obtenida.  Organización de la enseñanza por objetivos operativos.  Se realza el papel formativo de las Matemáticas, que tienen la consideración de materia de expresión.
  • 7. 1. Énfasis en la Teoría de Conjuntos y el dominio de los aspectos numéricos y formales, frente a los geométricos e intuitivos. 2. Contenidos: Conjuntos: Relaciones y Aplicaciones; Operaciones con números naturales, números decimales e introducción a las fracciones; Magnitudes y su medida. Geometría elemental del plano, con algunos ejemplos de Topología. EGB1970 Matemáticas BUP 1. Se mantiene la influencia de la matemática moderna. 2. Análisis matemático y Geometría analítica a partir de segundo curso. 3. Se crea una nueva asignatura en COU: Matemáticas II 4. Horario: 5+4+4 (BUP)
  • 8. Antecedentes III► Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE). 1990  Escolarización obligatoria hasta los 16 años.  Tres etapas: Educación Infantil, Primaria y Secundaria.  Educación Secundaria: ESO y Bachillerato. FP.  Currículo abierto con 3 niveles de concreción.  Competencias autonómicas en materia educativa.  Elementos del currículo: objetivos, contenidos, criterios de evaluación. Orientaciones metodológicas.  Matemáticas: presentes en todos los cursos de la etapa obligatoria. Menor carga horaria.  Desaparece la matemática moderna y se intenta evitar que en la etapa obligatoria el peso recaiga en los aspectos formales. Integración de calculadora y uso de las NNTT. Énfasis en la resolución de problemas.
  • 9. 1. Fines: formativo e instrumental. 2. Contenidos organizados en 4 bloques: Números y operaciones; La Medida; Formas geométricas y situación en el espacio; Organización de la información. 3. Calculadoras y cálculo mental. Estimación. Resolución de problemas 1. Fines: formativo, funcional e instrumental. Primaria 2. Contenidos organizados en 5 bloques: Números y operaciones: significados,Matemáticas ESO estrategias y simbolización; Medida, estimación y cálculo de magnitudes; 1990 Representación y organización en el espacio; Interpretación, representación y Bachillerato tratamiento de la información; Tratamiento del azar. 3. Dos opciones en cuarto curso. 1. Fines: formativo, instrumental y fundamentación teórica. 2. Matemáticas I y II: Aritmética y Álgebra, Geometría, Funciones, Estadística y Probabilidad y Resolución de Problemas, en 1º curso; Álgebra Lineal, Análisis y Geometría, en 2º curso. 3. Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I y II: Aritmética y Álgebra, Funciones, Estadística y Probabilidad y Resolución de Problemas, en 1º curso; Álgebra, Análisis y Estadística y Probabilidad, en 2º curso.
  • 10. Antecedentes IV► Ley Orgánica de Calidad de la Educación (LOCE). 2002.► Currículos autonómicos: una oportunidad que aprovechan las comunidades autónomas para establecer diferencias.
  • 11. Ley Orgánica de Educación (LOE). 2006.► La enseñanza básica comprende diez años de escolaridad y se desarrolla, de forma regular, entre los seis y los dieciséis años de edad. Incluye la educación primaria y la educación secundaria obligatoria y es obligatoria y gratuita para todas las personas.► Se garantizará una educación común para los alumnos y se adoptará la atención a la diversidad como principio fundamental.► Tiempo para la lectura en la etapas obligatorias.► Dos opciones de Matemáticas en el último curso de la ESO.► El Bachillerato comprende dos cursos con tres modalidades diferentes: Artes, Ciencias y Tecnología, y Humanidades y Ciencias Sociales. Se organiza en materias comunes, de modalidad y optativas.► Integración de las TIC en los currículos de las materias.
  • 12. Los elementos del currículo► Las competencias básicas : directiva de la Unión Europea a sus estados miembros► Objetivos, contenidos, criterios de evaluación (65/55%)► Orientaciones metodológicas : son competencia de las comunidades autónomas.
  • 13. Competencias básicas► Son aquellas competencias que debe haber desarrollado un joven o una joven al finalizar la enseñanza obligatoria para poder lograr su realización personal, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse a la vida adulta de manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar un aprendizaje permanente a lo largo de la vida (LOE, 2006).► Triple finalidad:  Integrar los aprendizajes, tanto formales como no formales.  Utilizarlos de manera efectiva en diferentes situaciones y contextos.
  • 14. Las competencias: algo más que una moda ymucho menos que un remedio.► Situar en primer lugar a la transferencia de► Situar en primer lugar a la transferencia de lo aprendido: se refiere a la movilización de lo aprendido: se refiere a la movilización de los conocimientos y a su uso en situaciones los conocimientos y a su uso en situaciones problemáticas. problemáticas.► Integración de distintos tipos de contenidos.► Integración de distintos tipos de contenidos.► Importancia del contexto ..► Importancia del contexto C.Coll, 2007
  • 15. Evolución de definición de currículo en la legislación española
  • 16. - Evolución de la relevancia en el curriculum de los componentes deuna competencia CONTENIDOS: CAPACIDADES: CONTEXTOS: Epistemología: Psicología: Sociología: Antes de 1970 Entre 1970 y 2006 A partir de 2006 Contenidos Contenidos + Contenidos + Capacidades Capacidades + Contextos
  • 17. Cuando creíamos que “ teníamos todas lasrespuestas, de pronto, cambiaron todas las ”preguntas
  • 18. COMPETENCIA MATEMÁTICA es LA HABILIDAD LA HABILIDAD de UTILIZAR Y PRODUCIR E DISTINTOS TIPOSRELACIONAR INTERPRETAR DE INFORMACIÓN NÚMEROS Y SUS OPERACIONES ASPECTOS AMPLIAR EL CUANTITATIVOS sobre para CONOCIMIENTO Y ESPACIALES DE LA REALIDAD SÍMBOLOS Y FORMAS DE EXPRESIÓN LA VIDA COTIDIANA RAZONAMIENTO relacionados RESOLVER con MATEMÁTICO PROBLEMAS EL MUNDO LABORAL
  • 19. Matemáticas en Educación Primaria► Preponderancia de la componente intuitiva frente a la abstracción y formalización.► Utilización de estrategias personales frente a las “más académicas”► Preponderancia del razonamiento inductivo► Utilización de distintos ámbitos de experiencias del alumnado como fuente de actividades matemáticas.► Utilización de materiales manipulables e instrumentos de medida.
  • 20.  Uso racional de la calculadora y el ordenador. Importancia del trabajo en grupo como base delaprendizaje. Desarrollo de todos los contenidos desde el primercurso, incidiendo especialmente en la Resolución deProblemas y los contenidos geométricos en consonanciacon el desarrollo de los sentidos. Fomentar el gusto y la necesidad de un lenguaje claro yadecuado para comunicar sus ideas, razonamientos,argumentos, etc.
  • 21. ESTRUCTURA DE CICLOS CONTENIDOS- Números y operaciones- La Medida: estimación ycálculo de magnitudes CRITERIOS DE- Geometría EVALUACIÓN- Tratamiento de la información,azar y probabilidad Los Bloques de Contenidos no son compartimentos estancos: en todos los bloques se utilizan técnicas numéricas, se aplica el método de resolución de problemas y, en cualquiera de ellos, puede ser útil confeccionar una tabla, generar una gráfica, utilizar la calculadora y medios informáticos, ajustar el lenguaje matemático... A diferencia del currículo LOGSE no hay una clasificación según la tipología de contenidos (conceptuales, procedimentales y actitudinales), aunque es evidentemente que están presentes.
  • 22. Números y operaciones► Alfabetización numérica y operacional: comprensión de los procesos y significados de números y operaciones básicas.► Sentido numérico: desarrollo de estrategias de cálculo mental, de estimación y de cálculo aproximado.► Dominio funcional de los números y su utilización en diferentes contextos► Habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos► Decisión en cada caso sobre el procedimiento más adecuado de resolución (incluida la calculadora), y su expresión matemática.  
  • 23. La medida: estimación y cálculo de magnitudes- Utilización de instrumentos de medida- Medición en situaciones reales (objetivo prioritario a conseguir)- Utilización en cada ciclo de las medidas más comunes de uso cotidiano- Estrategias de aproximación y estimación de medidas
  • 24. Geometría• Orientación y representación espacial: sistemas de referencia y modelos de representación.• Localización, la descripción y el conocimiento de objetos en el espacio• El entorno cotidiano como fuente de estudio de diversas situaciones físicas reales, trabajando los elementos, propiedades, ... de las formas planas y tridimensionales• Relevancia de la manipulación, el uso de materiales, modelos reales y programas informáticos.
  • 25. Tratamiento de la información, azar y probabilidad- Conexión con actividades que implican a otras áreas de conocimiento y con informaciones que aparecen en la vida cotidiana: datos estadísticos de poblaciones, encuestas, superficies de países, ...- Recogida y tratamiento matemático de información, haciendo especial hincapié en su representación gráfica- Un primer acercamiento a los fenómenos aleatorios. Uso de distintos juegos de azar.- Contenidos muy adecuados para potenciar el trabajo en equipo y el desarrollo del sentido crítico.
  • 26. ESO: contenidos► Bloque de contenidos comunes: Resolución de problemas , utilización de herramientas tecnológicas . Tiene carácter transversal.► El resto de contenidos está organizado en cinco bloques: Números, Álgebra, Geometría, Funciones y gráficas y Estadística y probabilidad .► Los bloques de contenidos no son compartimentos estancos : en todos se utilizan técnicas numéricas y algebraicas, puede ser útil confeccionar una tabla, generar una gráfica o suscitar una situación de incertidumbre probabilística.
  • 27. Resolución de problemas► Tratamiento transversal, en cada curso y a lo largo de toda la etapa .► Centro sobre el que ha de gravitar la actividad matemática en el aula.► Contribución a la adquisición de competencias básicas.
  • 28. Números► Desarrollo del sentido numérico a lo largo de toda la etapa .► Énfasis en la verdadera comprensión de las operaciones que permita un uso razonable de las mismas, más que en las destrezas de cálculo o en los algoritmos de lápiz y papel.► Desarrollo de estrategias personales que permitan la utilización de la forma de cálculo (mental, escrito o con calculadora) y la estrategia para contar o estimar cantidades más apropiadas a la precisión exigida en el resultado y la naturaleza de los datos .► Resolución de problemas en múltiples contextos de la vida diaria .
  • 29. Álgebra► Está presente en los cuatro cursos de la etapa.► Partir de la representación y transformación de cantidades : trabajo con patrones y relaciones (secuencias numéricas, geométricas, …), traducciones del lenguaje natural al algebraico y viceversa.► Las destrezas algebraicas se desarrollan a lo largo de toda la etapa , a través de un aumento progresivo en el uso de símbolos y expresiones.
  • 30. Geometría► Se trata sobre todo de describir y analizar propiedades y relaciones y clasificar y razonar sobre formas y estructuras geométricas .► Marco propicio para establecer relaciones con otros ámbitos , como la naturaleza o el mundo del arte.► Utilización de recursos manipulativos como catalizador del pensamiento del alumno.► Programas de geometría dinámica para analizar propiedades, explorar relaciones, formular conjeturas y validarlas.
  • 31. Funciones► Las distintas formas de representar una situación (verbal, numérica, geométrica o algebraica) y las distintas formas de traducir una expresión de uno a otro lenguaje.► Resolución de problemas: modelizar situaciones reales► Uso de las herramientas tecnológicas para el estudio de las funciones.
  • 32. Estadística y probabilidad► Formular preguntas que puedan abordarse con datos y recoger, organizar y presentar datos relevantes para responderlas, seleccionando y utilizando los métodos estadísticos apropiados para analizar dichos datos.► Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos.► Comprender y aplicar conceptos básicos de probabilidad.► Capacitar a los alumnos para analizar de forma crítica las presentaciones falaces, interpretaciones sesgadas y abusos que a veces contiene la información de naturaleza estadística.► Utilización de la hoja de cálculo para organizar la información.
  • 33. Las matemáticas en el bachillerato► Matemáticas aplicadas a las CCSS I y II► Matemáticas I y II► Hay pocos cambios con respecto al currículo anterior.► Dos aspectos a destacar:  Integración de las nuevas tecnologías.  El papel de la resolución de problemas.
  • 34. Bachillerato de CCSS► Análisis de la realidad social desde una perspectiva matemática.► Resolución de problemas.► Rigor, abstracción, demostraciones, fórmulas.► Uso de herramientas tecnológicas.► Valor formativo de las matemáticas.► No circunscrita exclusivamente al ámbito de la economía o la sociología.
  • 35. Los contenidos del BCS PRIMER CURSO: Aritmética y Álgebra Análisis Probabilidad y Estadística
  • 36. Aritmética y Álgebra1. Aproximación decimal de un número real. Estimación, redondeo y errores.2. Resolución de problemas de matemática financiera en los que intervienen el Interés simple y compuesto y se utilizan tasas, amortizaciones, capitalizaciones y números índice. Parámetros económicos y sociales.3. Resolución de problemas del ámbito de las ciencias sociales mediante la utilización de ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss.
  • 37. Análisis1. Expresión de una función en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas. Aspectos globales de una función. Utilización de las funciones como herramienta para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos sociales y económicos.2. Interpolación y extrapolación lineal. Aplicación a problemas reales.3. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera y racionales sencillas a partir de sus características. Las funciones definidas a trozos.4. Tasa de variación. Tendencias.
  • 38. Probabilidad y Estadística1. Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables. Métodos estadísticos. Tablas y gráficos. Parámetros estadísticos de localización, de dispersión y de posición.2. Distribuciones bidimensionales. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervienen dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos. Grado de relación entre dos variables estadísticas. Regresión lineal. Extrapolación de resultados.3. Asignación de probabilidades a sucesos. Distribuciones de probabilidad binomial y normal.
  • 39. SEGUNDO CURSO  Álgebra  Análisis Probabilidad y Estadística
  • 40. Álgebra1. Las matrices como expresión de tablas y grafos. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales.2. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones.
  • 41. Análisis1. Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información.2. Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica.3. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.4. Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales.
  • 42. Probabilidad y Estadística1. Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes.2. Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del Límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números.3. Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población.4. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales.5. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida.6. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.
  • 43. Matemáticas I y II► “Saber hacer matemáticas”.► Dos ejes fundamentales: Geometría y Análisis.► Los instrumentos: Aritmética, Álgebra y las estrategias propias de la Resolución de Problemas.► Fórmulas e identidades: no memorización.► Uso de herramientas tecnológicas.► El formalismo: equilibrado y gradual.► Carácter transversal de la resolución de problemas
  • 44. Los contenidos PRIMER CURSO:- Aritmética y Álgebra.- Geometría.- Análisis.- Estadística y Probabilidad
  • 45. Aritmética y Álgebra1. Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos.2. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones.3. Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de problemas
  • 46. Geometría1. Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos.2. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector.3. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas.4. Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.
  • 47. Análisis1. Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.2. Dominio, recorrido y extremos de una función.3. Operaciones y composición de funciones.4. Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad.5. Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo.6. Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describen situaciones reales.
  • 48. Estadística y Probabilidad1. Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresión lineal.2. Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori.3. Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades a sucesos.
  • 49. SEGUNDO CURSO ► Álgebra lineal. ► Geometría. ► Análisis.
  • 50. Álgebra Lineal1. Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos.2. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales.3. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz.4. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
  • 51. Geometría1. Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico.2. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.
  • 52. Análisis1. Concepto de límite de una función. Cálculo de límites.2. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.3. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto.4. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización.5. Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas.
  • 53. Posibilidad y límites.¿Legitimar las diferencias? Las matemáticas son una materia tan importante Las matemáticas son una materia tan importante que todo alumno la cursa al menos una hora al día que todo alumno la cursa al menos una hora al día … pero son muchos los que llegan al final de la … pero son muchos los que llegan al final de la secundaria sin haber alcanzado el nivel apropiado secundaria sin haber alcanzado el nivel apropiado para el final de la educación primaria … para el final de la educación primaria … Esta materia justifica de una manera sutil y Esta materia justifica de una manera sutil y legitima la diferenciación entre el alumnado que legitima la diferenciación entre el alumnado que alcanza el nivel y el resto… alcanza el nivel y el resto… J. Eggleston. Sociología del currículum escolar.. J. Eggleston. Sociología del currículum escolar
  • 54. En este mundo cambiante, aquellos que entiendan y puedanutilizar matemáticas, tendrán oportunidades y opcionessignificativamente mejores para enfrentar su futuro. Lascompetencias matemáticas abren puertas hacia futurosproductivos. La falta de competencias matemáticas, mantieneesas puertas cerradas ( . ) todos necesitan matemáticas y losestudiantes deben tener la oportunidad y la ayuda necesariaspara aprender contenidos matemáticos que sean relevantescon profundidad y comprensión. NCTM, 2000
  • 55. Si queremos cambiar la forma de aprender de nuestro alumnado, debemos modificartambién la forma en la que les enseñamos. J. I. Pozo
  • 56. ¿ES LÓGICO QUE UN ALUMNO/A…… dedique la mayor parte del tiempo matemático a hacer sumas, restas…y luego nosepa cuando utilizarlas?… haga operaciones con fracciones y no sepa explicar qué significa 3: 1/2? ¡Ni porqué da 6!… haga operaciones con % y no sepa interpretar lo que calcula?… tenga un dominio tan pobre de las estrategias de cálculo mental, estimación, … ?… crea que hay una única manera “válida” de multiplicar en el mundo?… crea que lo importante de los problema es dar una solución? (aunque seaabsurda)?… siga mirando a los ojos del profesor después de decir “¿dividir”?… crea que hay una única manera “válida” de resolver un problema?…no pueda utilizar la calculadora para resolver problemas?… apenas dedique tiempo en la escuela a pensar y discutir cómo resolver losproblemas?… apruebe con nota las operaciones de primaria y sea en la práctica un analfabetofuncional?
  • 57. FraccionesUtilizar los números racionales, sus operaciones y propiedades,para recoger, transformar e intercambiar información y resolverproblemas relacionados con la vida diaria (3º ESO).
  • 58. ¿Fracciones y decimales en entornos cotidianos?
  • 59. El tesoro del romboEn un desierto, un legendarioaventurero cansado y alborde de la muerte haenterrado un tesoro. En elplano que ha dejado,solamente está señalada unaroca y un gran árbol. Tambiénha anotado que la roca, elárbol y el punto donde estáenterrado el tesoro son 3vértices de un rombo. Delcuarto vértice solamentesabemos que está sobre lapista rectilínea cercana.¿Dónde habría que cavarpara encontrar el tesoro?
  • 60. Plegando un triánguloSupón que hemos recortado un triángulode cartulina. Ahora vamos doblándolohasta hacer coincidir uno de los vérticessobre el punto medio del lado opuesto.Cuando completamos el doblado, es decir,cuando el vértice coincide con el puntomedio del lado opuesto, según como seael triángulo de partida, la figura que nosqueda puede ser un triángulo, uncuadrilátero o un pentágono.¿De qué depende que la figura final seaun triángulo, un cuadrilátero o unpentágono? ¿Qué relación tiene elpolígono obtenido con la forma deltriángulo del que partimos?
  • 61. AjedrezEl caballo situado en g1puede alcanzar laposición del caballosituado en g8 en sólocinco saltos. Suponiendoque el tablero está vacíode otras piezas, ¿cuántasformas distintas hay delograrlo? Ojo, hay más delas que parece.
  • 62. L,TRTNPEHVZ,.ZN Matrices y criptografía► Vamos a utilizar un sistema de cifrado en dos pasos, empleando matrices: asignación numérica de caracteres y tratamiento matricial del mensaje obtenido, empleando como clave una matriz de codificación.► Para la asignación numérica utilizamos la siguiente tabla: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F G H I J   11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 K L M N Ñ O P Q R S   21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 T U V W X Y Z esp . ,
  • 63. La clave para la codificación será la  0 1 1matriz C: C =  3 7 8    4 2 3  Vamos a codificar la palabra MATEMÁTICAS:► Asignamos a cada letra el valor numérico que le corresponde: 13 1 21 5 13 1 21 9 3 1 20►1 Organizamos matricialmente estos números: 9formamos 2 3 4 5 6 7 8 10A una Bmatriz de 3Dfilas, Eescribiendo ordenadamente los C F G H I J números por columnas, completando con el código del  11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 espacio en blanco (28) si fuera necesario. Se obtieneK L M N Ñ O P Q R S así la matriz:  21 22 23 24 13 26 21 1  28 25 5  1 13 927 20  M =X 29 30 T U V W Y Z  esp . ,  21 1 3 28   
  • 64. Hacemos ahora el producto de C por M:  0 1 1 13 5 21 1   22 14 12 48  C ·M =  3 7 8· 1 13 9 20  =  214 114 150 367        4 2 3  21 1 3 28  117 49 111 128      Si alguno de los elementos de la matriz resultante es mayor de 30, comoocurre en este caso, lo sustituimos por el resto de su división entre 30(trabajaremos con restos módulo 30):  22 14 12 48   22 14 12 18 mod(  214 114 150 367  ,30) =  4 24 0 7      117 49 111 128     27 19 21 8    Ahora nos queda el proceso inverso: los elementos de esta matriz, por columnas, los escribimos en una sola línea, sustituyéndolos por los caracteres correspondientes: UDZNWRL,TQGH
  • 65. ¿Qué hacer para descifrar el mensaje?► El receptor del mensaje necesita conocer la clave asignada a cada letra (equivalencias de la tabla) y la matriz de codificación.► Lo primero que debe hacer es escribir matricialmente el mensaje recibido, siguiendo las mismas pautas que quien lo escribió:  22 14 12 18 M =  4 24 0 7     27 19 21 8   ► Ahora tendrá que multiplicar la inversa de la matriz de codificación por la matriz M’:  133 65 81 91  C ·M = M ⇒ M = C −1 ·M =  571 283 339  410   −549 −269 −327 −392   
  • 66. ► Algunos elementos de la matriz obtenida son mayores que 30, por lo que habrá que buscar la matriz mod(M,30):  133 65 81 91  13 5 21 1  mod(  571 283 339  410  ,30) =  1 13 9 20      −549 −269 −327 −392     21 1 3 28   ► Solamente queda escribir nuevamente en una sola línea los elementos de la matriz, por columnas, y buscar en la tabla el significado de cada uno de los números.► ¿Qué significa el mensaje siguiente? L,TRTNPEHVZ,.ZN
  • 67. Grandes matemáticos► En Julio de 2002 Aznar declaraba: "Primero, Bush coloca los pies encima de la mesa, se vuelve hacia mí y me dice: yo corro 4 Km en 6 minutos y 45 segundos. Entonces, yo levanto mis pies, los pongo también encima de la mesa, me giro y le contesto: pues yo hago 10 Km en 5 minutos y 20 segundos ".► Evidentemente se trataba de una fanfarronada, tanto política como aritmética.► Una rápida cuenta nos permite calcular que la velocidad de Bush debía ser por tanto de 35,5 Km/h, esto es más o menos lo mismo que correr 100 metros en 10 segundos, ¡¡pero manteniendo esa velocidad los 4 Km!!. La velocidad y potencia de Bush nos dejan impresionados, pero cuando calculamos la velocidad de la carrera de Aznar, obtenemos 112,5 Km/h, ¡increíble! corre a la velocidad límite de un guepardo, el animal terrestre más veloz del mundo.
  • 68. De una caja de bombones Santi ha comido un tercio; si quedan 12 bombones, ¿cuántos había en la caja? (¿Sabes más que un niño de primaria? Antena 3)Ramón Jáuregui contestó que 36. Losdiputados del PP contestaron a la gallega;Martínez Pujalte con un “¿se ha comido untercio sólo un niño?” y Soraya Saénz deSantamaría con “¿los que había al principioeran 12?”. Emilio Olabarría escapó a lapregunta con un “yo soy de letras puras;ahí si que tenemos un problema muyserio”.(El Intermedio, Wyoming)
  • 69. LA CLASE DE MATEMÁTICAS► Los diseños para la clase de matemáticas, como en pintura o poesía, han de ser bellos, las ideas como los colores o las palabras, deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar en el mundo para una clase de Matemáticas feas. G.H. Hardy