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Mecanica quantica   obra coletiva hfleming
 

Mecanica quantica obra coletiva hfleming

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    Mecanica quantica   obra coletiva hfleming Mecanica quantica obra coletiva hfleming Document Transcript

    • Mecˆnica Quˆntica a a Obra coletivaSum´rio a1 Introdu¸˜o ca 52 Pr´-requisitos e requisitos paralelos e 63 O princ´ ıpio da incerteza 74 O conceito de estado 95 O princ´ ıpio de superposi¸˜o ca 106 Operadores 12 6.1 Valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ca ca7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 18 7.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 A derivada no tempo de um operador . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3 O comutador de p e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ˆ ˆ8 Estados estacion´rios a 249 Po¸o quadrado unidimensional infinito c 2610 Exemplos simples 29 10.1 Po¸o quadrado unidimensional c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Conectando as solu¸˜es . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10.3 A equa¸˜o da continuidade . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4.1 Condi¸˜es de contorno co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1
    • 11 Algumas t´cnicas matem´ticas e a 45 11.1 A fun¸˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ca 11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4612 O espectro cont´ ınuo 4713 O oscilador harmˆnico o 50 13.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814 Operadores unit´rios e simetrias a 59 14.1 Exemplos de operadores unit´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 14.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6215 Rota¸˜es e o momento angular co 6316 Autofun¸˜es do momento angular co 67 16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento angular . . . . co . 67 16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular total e da com- co a ponente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos . . . . . . . . . ca o e . 70 16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417 Potenciais com simetria central 7518 O ´tomo de Hidrogˆnio a e 76 18.1 Determinando o comportamento assint´tico . o . . . . . . . . . 78 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial . . . . . . . . . co ca . . . . . . . . . 79 18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a e . . . . . . . . . 83 18.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8619 A nota¸˜o de Dirac ca 8720 O Spin 91 20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamiltoniano ca e . . . . . 98 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler . . . . . . . . . e . . . . . 102 20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico . . . . e . . . . . 10221 As desigualdades de Heisenberg 104 21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo . . . . . . . . . . . . . 106 ca 2
    • 22 Teoria das perturba¸˜es co 109 22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . 109 ca a 22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com perturba¸˜o linear 113 o ca 22.3 Corre¸˜es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 co23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degenerado 115 23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 116 23.2 Quando o n´ ´ degenerado. . . . . . . . . . . . ıvel e . . . . . . . . 117 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 120 23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o . . . . . a . . . . . . . . 122 23.4.2 Exerc´ resolvido . . . . . . . . . . . . ıcio . . . . . . . . 124 23.4.3 Exerc´ resolvido (Enrico Fermi, 1954) ıcio . . . . . . . . 126 23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas . . . . . . co . . . . . . . . 130 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 13324 Perturba¸˜es dependentes do tempo co 13425 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a a 13826 For¸as de van der Waals c 142 26.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . 142 26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals . . . . . . ca . . . . . . . . . 143 26.3 Causa da Coes˜o . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 143 26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 26.3.2 Referˆncias . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 145 26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero . . . . . ca . . . . . . . . . 146 26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c Waals . . . . . 149 26.6 Apˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 15327 Sistemas compostos 155 27.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16128 Part´ıculas idˆnticas e 161 28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares . . . . . . . . . . . . . 163 ca 3
    • 29 O caso quase-cl´ssico a 164 29.1 Regra de transi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ca 29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 o30 O po¸o duplo. c 17331 Sistemas de dois n´ ıveis 17732 A mol´cula da amˆnia e o 18133 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a 181 33.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 181 33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre . . . . . . . . . . . ca o . . . . . . 182 33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 182 33.4 A equa¸˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 183 33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184 33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac . . . . ca . . . . . . 185 33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca ca . . . . . . 187 33.4.4 Corrente de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188 33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repouso . . . . . . . . 188 33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa . . . . . . . . . co . . . . . . 190 33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico . . . ca e . . . . . . 190 33.5 A anti-mat´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 191 33.5.1 As solu¸˜es de onda plana . . . . . . . . . . co . . . . . . 191 33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco . . . . . . . . . ca . . . . . . 19234 Apˆndice Matem´tico 1 e a 193 34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais co . . . . . . . . . . 193 34.1.1 Transforma¸˜es entre bases . . . . . co . . . . . . . . . . 195 34.1.2 Matrizes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 34.1.3 Autovalores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 197 34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . 199 34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 34.2.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20335 Apˆndice matem´tico 2 e a 204 35.1 A equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . 204 35.2 O Oscilador Harmˆnico . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 207 35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 35.3.1 Comportamento Assint´tico . . . . o . . . . . . . . . . . 214 35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto e e e Sela . . . . . . . . 219 4
    • 35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 e ´36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223 36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.4 n ´ constante . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.5 Dois meios homogˆneos . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 36.11A equa¸˜o dos focos conjugados ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381 Introdu¸˜o caEstas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o ameu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre o a ado Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o e a aevoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o. a a Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui a a ade conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Emparticular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif- eshitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´ a ıngua. Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımicaonde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia e a aatˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os o ca oexerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre- casentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica ca aquˆntica que s˜o mais usadas em f´ a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex-emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado, a otratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior edetalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre.Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheramestrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia eda f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig, a a aque ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um a an´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´ u e ıveis, 5
    • e produz um extrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quasen˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´ a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte- u amente recomendados como leitura paralela. O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O eesplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado, e e a crequerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto, aou um consider´vel grau de maturidade em f´ a ısica, para acompanhar os vˆos odo mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses c e odeste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso. Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650 op´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante. a aSe fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas. a Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3], e´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex-e aistente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel maisavan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob- cjetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso domagn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmenteo grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al- co aternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´ a e ıfico livrodo professor Toledo Piza[17].2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos eSolicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, ocap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma eexcelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida ca e cacomo experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que e eYoung usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman, aeste pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´ e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A oprevis˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da a c eidade do universo. Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica e aqˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo- u e eria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam aser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da avida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´, o a e u egrande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande a e 1 “The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with theirproperties and uses” (Dirac). 6
    • tratado Treatise on Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do caabstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande eobra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin-cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealingwith abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in thisfield. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive ofexperimental work, must be essentially mathematical. Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas e enotas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do a alivro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso. c3 O princ´ ıpio da incertezaA “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma e e cafigura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que e e e an˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a a a u ef´ ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria. e e ıvel o N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria a a a o Isto ´ o conte´ do do princ´ e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica aquˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927. a A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare- co amos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos e e cocl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser a odescritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um a a ael´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A e ´ enatureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e ca eservem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre a cao el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser e e amacrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob- o e a eservado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa otrajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra- o e o ojet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto o e e a einteiramente cl´ssico. a A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar a a apouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um e a acaso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecera sua linguagem. 7
    • O problema t´ ıpico da mecˆnica quˆntica consiste em predizer o resultado a ade uma medida a partir dos resultados de um certo n´ mero de medidas ante- uriores. Al´m disso, veremos mais tarde que, em compara¸˜o com a mecˆnica e ca acl´ssica, a mecˆnica quˆntica restringe os valores das quantidades f´ a a a ısicas me-didas (por exemplo, a energia ). Os m´todos da mecˆnica quˆntica permitem e a aa determina¸˜o desses valores admiss´ ca ıveis. O processo de medida na mecˆnica quˆntica tem uma propriedade muito a aimportante: a medida sempre afeta o el´tron medido, e ´ imposs´ e e ıvel, porquest˜es de princ´ o ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´tron arbitraria- emente pequeno (como pode ser suposto na f´ ısica cl´ssica). Quanto mais exata aa medida, mais intenso ´ o efeito sobre o el´tron, e ´ somente em medidas de e e epouca precis˜o que o efeito da medida sobre o el´tron pode ser considerado a epequeno. ´ E um dos postulados fundamentais da mecˆnica quˆntica que as coor- a adenadas, ou seja, a posi¸˜o de um el´tron pode sempre ser determinada ca ecom precis˜o arbitr´ria 2 . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t, sejam a afeitas medidas sucessivas das coordenadas de um el´tron. Os resultados n˜o e aestar˜o, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´rio, quanto menor o valor a ade ∆t, mais descont´ ınuos e desordenados ser˜o os resultados, de acordo com ao fato de que n˜o existe uma trajet´ria para o el´tron. Uma trajet´ria ra- a o e ozoavelmente lisa s´ ´ obtida se as coordenadas do el´tron forem medidas com oe epouca precis˜o, como no caso de uma cˆmara de Wilson. Para informa¸˜es a a cosobre o que ´ uma cˆmara de Wilson, veja e a http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28 Se, mantendo-se imutada a precis˜o das medidas de posi¸˜o, diminuirmos a caos intervalos ∆t entre as medidas, ent˜o medidas adjacentes dar˜o valores a avizinhos `s coordenadas. Contudo, os resultados de uma s´rie de medidas a esucessivas, embora estejam em uma regi˜o reduzida do espa¸o, estar˜o dis- a c atribu´ ıdas, nessa regi˜o, de uma forma totalmente irregular, e nunca em cima ade uma curva lisa. Em particular, quando ∆t tende a zero, os resultadosdas medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta.Ora, a velocidade tem a dire¸˜o da reta que, na f´ ca ısica cl´ssica, ´ obtida nesse a elimite. Esta circunstˆncia mostra que, na mecˆnica quˆntica, n˜o existe a ve- a a a alocidade da part´ıcula no sentido cl´ssico do termo, isto ´, o limite de (∆r/∆t) a equando ∆t → 0. Enquanto, na mecˆnica cl´ssica, a part´ a a ıcula tem posi¸ao e velocidade c˜bem definidas em cada instante, na mecˆnica quˆntica a situa¸˜o ´ bem a a ca e 2 Isto n˜o est´ em contradi¸˜o com as rela¸˜es de incerteza. Elas dizem que n˜o ´ a a ca co a eposs´ determinar simultaneamente posi¸˜o e momento . ıvel ca 8
    • diferente. Se, como resultado de uma medida, determinam-se as coordenadasde um el´tron, ent˜o sua velocidade ´ totalmente indefinida. Se, ao contr´rio, e a e adetermina-se a velocidade de um el´tron, ent˜o ele n˜o pode ter uma posi¸˜o e a a cadefinida no espa¸o. Assim, na mecˆnica quˆntica, a posi¸˜es e a velocidade c a a code um el´tron s˜o quantidades que n˜o podem ter, simultaneamente, valores e a adefinidos.4 O conceito de estadoNa mecˆnica cl´ssica conhece-se o estado de um sistema quando s˜o con- a a ahecidas todas as posi¸˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em coum determinado instante. A partir desses dados ´ poss´ predizer todo o e ıvelfuturo, e reconstruir todo o passado do sistema. Ou seja, conhece-se o es-tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maiorprecis˜o poss´ (no caso da mecˆnica cl´ssica essa precis˜o ´ total). a ıvel a a a e Na mecˆnica quˆntica tal descri¸˜o ´ imposs´ a a ca e ıvel, uma vez que as co-ordenadas e as velocidades n˜o podem existir simultaneamente. Assim, a adescri¸˜o de um estado na mecˆnica quˆntica ´ feita em termos de menos ca a a equantidades do que na mecˆnica cl´ssica. Segue-se disso uma conseq¨ˆncia a a uemuito importante. Enquanto a descri¸˜o cl´ssica permite prever o movi- ca amento futuro com total precis˜o, a descri¸˜o menos detalhada da mecˆnica a ca aquˆntica n˜o permite essa precis˜o. Isto significa que, mesmo que se conhe¸a a a a co estado de um el´tron, seu comportamento em instantes sucessivos ´, em e eprinc´ ıpio, incerto. A mecˆnica quˆntica n˜o pode fazer previs˜es exatas. a a a oPara um dado estado inicial do el´tron, uma medida subseq¨ente pode dar e uv´rios resultados. O problema t´ a ıpico da mecˆnica quˆntica ´ determinar a a a eprobabilidade de se obter cada um dos resultados poss´ ıveis, ao realizar umamedida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valorpode ser 1, e a de todos os outros zero!). Os processos de medida na mecˆnica quˆntica podem ser divididos em a aduas classes. Em uma, que cont´m a maioria das medidas, est˜o aquelas e aque, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais oumenos prov´veis. A outra classe cont´m medidas tais que, dado um qualquer a edos resultados poss´ ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual amedida d´, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜o ditas previs´ a a ıveis, edesempenham um papel importante na formula¸˜o da mecˆnica quˆntica. As ca a apropriedades f´ ısicas do sistema que s˜o determinadas por medidas desse tipo as˜o chamadas quantidades f´ a ısicas ou observ´veis do sistema.(Ver Landau, aLifshitz) Veremos no que segue que, dado um conjunto de quantidades f´ ısicas, nem 9
    • sempre ´ poss´ med´ e ıvel ı-las simultaneamente, isto ´, nem sempre ´ poss´ e e ıvelque todas tenham valores definidos ao mesmo tempo. Vimos que este ´ o ecaso para a posi¸˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo. ca Um papel fundamental ´ desempenhado por conjuntos de quantidades ef´ ısicas com a seguinte propriedade: elas podem ser medidas simultaneamentemas, se elas tˆm todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´ e ısicaindependente pode ter um valor definido nesse estado. Tais conjuntos de quantidades f´ ısicas s˜o denominados conjuntos completos ade observ´veis compat´ a ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸˜ocam´xima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema. a5 O princ´ ıpio de superposi¸˜o caSeja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆntico 3 , e dq o produto a 4das diferenciais dessas coordenadas . Por exemplo, se q = {x, y, z}, dq =dxdydz. O estado de um sistema ´ descrito por uma fun¸˜o complexa ψ(q) das e cacoordenadas. O quadrado do m´dulo dessa fun¸˜o determina a distribui¸˜o o ca cade probabilidades dos valores das coordenadas: |ψ(x, y, z)|2 dxdydz´ a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre osevalores das coordenadas entre x e x + dx, y e y + dy, z e z + dz. A fun¸˜o ψ ca´ denominada fun¸˜o de onda do sistema.e ca O conhecimento da fun¸˜o de onda permite, em princ´ ca ıpio, calcular aprobabilidade dos v´rios resultados de qualquer medida (n˜o necessariamente a adas coordenadas). Essas probabilidades s˜o express˜es bilineares em ψ e ψ ∗ a o(* representando a opera¸˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo ca dqψ(q)∗φ(q)ψ(q)ou ∂ dqψ(q)∗ ψ(q) ∂qpor exemplo. O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨ˆncia, uea fun¸˜o de onda ´ uma fun¸˜o tamb´m do tempo, ψ(q, t). Se a fun¸˜o ca e ca e ca 3 Abuso de linguagem. Todos os sistemas s˜o quˆnticos. A express˜o correta seria a a a“sistema incorretamente descrito pela f´ ısica cl´ssica”. a 4 Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas. 10
    • de onda ´ conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸˜o e cacompleta, que ela est´, em princ´ a ıpio, determinada em cada instante sucessivo.A dependˆncia precisa da fun¸˜o de onda com o tempo ´ determinada por e ca euma equa¸˜o denominada equa¸˜o de Schr¨dinger . ca ca o A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquervalor, ´ 1. Devemos, ent˜o, ter e a |ψ(q)|2dq = 1 ,pois a integral acima ´ exatamente esta probabilidade. e Seja ψ(q) a fun¸˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸˜o ca ca ψ ′ (q) = ψ(q)eiαonde α ´ um n´ mero real. Como as probabilidades dos v´rios resultados s˜o e u a aexpress˜es da forma o dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q)e como dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) = dqψ ′∗ (q)φ(q)ψ ′(q) ,vemos que ψ ′ (q) ´ uma descri¸˜o da fun¸˜o de onda do sistema t˜o boa e ca ca aquanto ψ(q). Diz-se , por isso, que a fun¸˜o de onda de um sistema est´ ca adefinida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´ fun¸˜o de onda de um e casistema, ψ ′ (q) tamb´m ´.5 e e Seja S um sistema f´ ısico que pode existir tanto num estado de fun¸˜ocade onda ψ1 (q) como no estado de fun¸˜o de onda ψ2 (q). A medida de uma caquantidade f´ ısica f d´, por hip´tese, o resultado f1 , com probabilidade 1, se a oo sistema estiver em ψ1 , e o resultado f2 , tamb´m com probabilidade 1, se o esistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜o que: a(1)Toda fun¸˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜o n´ meros complexos, ca a u´ tamb´m um estado do sistema.e e(2)Neste estado, uma medida de f dar´ ou o resultado f1 ou o resultado f2 . a 5 Na realidade, h´ quantidades f´ a ısicas tamb´m da forma e dqψ ∗ (q)φ(q)ξ(q)onde ξ(q) ´ outra fun¸˜o de onda. Como essas quantidades tamb´m devem permanecer e ca einalteradas, ´ necess´rio acrescentar que a trasforma¸˜o e a ca ψ ′ (q) = eiα ψ(q)deve ser tal que o mesmo α ´ usado para todas as fun¸˜es de onda. e co 11
    • Este postulado ´ denominado princ´ e ıpio de superposi¸˜o. Segue dele que caa equa¸˜o de Schr¨dinger deve ser linear em ψ. ca o Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estadodo sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possuiuma descri¸˜o completa.6 Ent˜o as probabilidades das coordenadas q1 , da ca aparte 1, s˜o independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte a2. Seja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as cafun¸˜es de onda das partes 1 e 2, respectivamente. Ent˜o, co a ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) ,pois, ent˜o, a |ψ12 (q1 , q2 )|2 = |ψ1 (q1 )|2 |ψ2 (q2 )|2o que significa que as probabilidades s˜o independentes. a Se, al´m disso, essas partes n˜o interagirem, vale ainda a rela¸˜o e a ca ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t)6 OperadoresSeja f uma quantidade f´ ısica que caracteriza o estado de um sistema quˆntico. aOs valores que uma dada quantidade f´ ısica pode assumir s˜o chamados de aautovalores . O conjunto dos autovalores ´ o espectro. Na mecˆnica cl´ssica e a a 7as quantidades f´ ısicas s˜o cont´ a ınuas. Na mecˆnica quˆntica, n˜o necessaria- a a amente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont´ ınuos. Vamos supor,para simplificar, que o espectro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜oadenotados por fn , (n = 0, 1, 2..). A fun¸˜o de onda do sistema, no estado caem que f tem o valor fn , ser´ denotada por ψn . Essas fun¸˜es s˜o chamadas a co aautofun¸˜es de f . Para cada uma delas, co dq|ψn |2 = 1 Um dos princ´ ıpios b´sicos da mecˆnica quˆntica ´ este: a a a e(I) O conjunto das autofun¸˜es de uma quantidade f´ co ısica f ´ completo. Isto e´, dada uma fun¸˜o de onda qualquer ψ do sistema, podemos expand´ eme ca ı-laautofun¸˜es de f assim: co ψ= an ψn n 6 Isto quer dizer que a fun¸˜o de onda de cada uma das partes tem um “futuro” total- camente previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜o independentes. a 7 Natura non facit saltus, Isaac Newton. 12
    • onde os an s˜o n´ meros complexos. a u(II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valorfn ´ dada por |an |2 . eEm conseq¨ˆncia, devemos ter ue |an |2 = 1 npois n |an |2 ´ a probabilidade de, medindo-se f , obter-se qualquer um dos evalores poss´ ıveis. Temos, ent˜o, o resultado a an a∗ = n dqψψ ∗ nPor outro lado, temos ψ∗ = a∗ ψn n ∗logo, dqψψ ∗ = ψ a∗ ψn dq n ∗ n = a∗ n ∗ ψn ψdq n = a∗ an n nde onde se conclui que ∗ an = ψn ψdqFinalmente, usando ψ = m am ψm , temos ∗ ∗ an = dqψn am ψm = am ψn ψm dq m mde onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnmDiz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a6.1 Valor m´dio eVamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f emum dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13
    • . Sejam |an |2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado emquest˜o. Define-se ent˜o o valor m´dio como a a e f= fn |an |2 nUsa-se tamb´m a nota¸˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encon- e catrar uma express˜o para f em termos da fun¸˜o de onda do estado consider- a caado. Seja ψ esta fun¸˜o. Para fazer isso vamos associar ` quantidade f´ ca a ısica ˆ que atua sobre as fun¸˜es de onda. Seja fψ a fun¸˜of um operador linear f co ˆ ca ˆ ˆobtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f , que f= ˆ dqψ ∗ (f ψ)para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamos que as quantidades f´ ısicasdeveriam ser express˜es bilineares na fun¸˜o de onda). Ent˜o, o ca a f= fn an a∗ = n dqψ ∗ an fn ψn n nonde usamos an = dqψ ∗ ψn , obtido anteriormente. Vemos, primeiramente,que fψ = an fn ψn nOra, ψ= an ψn , nde maneira que f ´ linear, e que e ˆ f ψn = fn ψnSumarizando: ˆ f ψn = fn ψn (1) ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ (2) ∗ an = dqψn ψ (3) ∗ dqψn ψm = δnm (4)Os valores assumidos por uma quantidade f´ ısica s˜o reais. Portanto, os val- aores m´dios f de uma quantidade f´ e ısica s˜o tamb´m reais, como se vˆ de a e e 2f = n fn |an | . Note-se (exerc´ ıcio f´cil), que, se o estado for uma auto- afun¸˜o de f , o valor m´dio f coincide com o autovalor de f nesse estado. ca e 14
    • Do fato de f ser real segue uma propriedade importante dos operadoresassociados a quantidades f´ ısicas: ∗ ˆ ∗ ˆ f= dqψ ∗ f ψ = f = dqψ ∗ f ψ (5)Ora, ∗ ∗ ˆ dqψ ∗ (f ψ) = ˆ ψ ∗ (f ψ)dq = ˆ ψ(f ψ)∗ dq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq (6) ˆ e ˆ a ˆ e ˆonde f ∗ ´ definido assim: se f ψ = φ, ent˜o f ∗ ´ o operador tal que f ∗ ψ ∗ =φ∗ .8 Ent˜o, a ˆ ˆ ψ ∗ fψdq = ψ f ∗ ψ ∗ dq ˆ ˆVamos definir o operador transposto t f do operador f . Sejam ψ e φ fun¸˜es co tˆarbit´rias. Ent˜o f ´ tal que a a e ˆ ψ ∗ (t f)φdq = ˆ φf ψ ∗ dqPor exemplo, para ψ = φi, ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdqDa condi¸˜o de realidade de f, Eq.(6), temos ca ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdq (7)Comparando os dois extremos vemos que ˆ ˆ f = (t f )∗Operadores com esta propriedade s˜o ditos hermiteanos. Logo, os operadores aassociados a quantidades f´ ısicas s˜o operadores lineares hermiteanos. a Podemos, formalmente, considerar quantidades f´ ısicas complexas, isto ´, ecujos autovalores s˜o complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas x e ay,podemos considerar a quantidade x + iy. Seja f uma quantidade dessetipo, e seja f ∗ a quantidade cujos autovalores s˜o os complexo-conjugados dos a ` ˆautovalores de f . A quantidade f corresponde o operador f. Denotemos por 8 ˆ ∂ a ˆ Por exemplo, seja f = −i ∂x . Ent˜o, dado ψ qualquer, temos f ψ = −i ∂ψ . O operador ∗ ∂xˆ ˆ ˆf ∗ deve ser tal, ent˜o, que f ∗ ψ ∗ = (−i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ∗ = i ∂x . a ∂ ∂x ∂x 15
    • ˆf + o operador correspondente ` quantidade f ∗ . Este operador ´ denominado a eo adjunto de fˆ. O valor m´dio da quantidade f ∗ ´ dado por e e f∗ = ˆ ψ ∗ f + ψdqonde apenas adaptamos a defini¸˜o de m´dia de um operador. ca e Ora, ˆ f = ψ ∗ fψdqlogo, ∗ ∗ f = ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdqMas ∗ ∗ f∗ = fn |an |2 = ∗ fn |an |2 =f n nOu seja, ˆ ψ ∗ f + ψdq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdqComparando, temos ˆ ˆ f + = (t f)∗Em palavras, o adjunto ´ o transposto do conjugado. e A condi¸˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como ca ˆ ˆ (t f ) = f ∗pode agora ser escrita: ˆ ˆ f = f+e os operadores hermiteanos s˜o aqueles que coincidem com os adjuntos. Da´ a ıserem chamados tamb´m de auto-adjuntos. e Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸˜es de um op- coerador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam fn e fm dois ˆautovalores diferentes do operador hermiteano f . Sejam ψn e ψm as auto-fun¸˜es correspondentes. Ent˜o, co a ˆ f ψn = fn ψn (8) ˆ fψm = fm ψm (9) ∗Multiplicando a primeira por ψm , temos ∗ ˆ ∗ ∗ ψm f ψn = ψm fn ψn = fn ψm ψn 16
    • e ∗ ˆ ∗ dqψm f ψn = fn dqψm ψn (10) ˆ ∗Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por ψn , temos ψn f ∗ ψm = ∗fm ψn ψm . Integrando, ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = fm ∗ dqψn ψm (11) ∗ ˆ ˆ ∗ dqψm f ψn − dqψn f + ψm = (fn − fm ) ∗ dqψn ψm (12)Mas ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = ˆ dqψm (t f )∗ ψn = ∗ ∗ ˆ dqψm f + ψn = ∗ ˆ dqψm f ψn ˆepois f ´ hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´ zero. Conseq¨ ente- e umente, ∗ (fn − fm ) ψn ψm dq = 0e, como fn = fm , segue que ∗ dqψn ψm = 0 (n = m)6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores ca caSejam f e g duas quantidades f´ısicas que podem ter valores definidos simul- ˆ ˆtaneamente. Sejam f e g seus operadores. Os autovalores da soma f + g s˜o a ˆ + g , e sejam ψna soma dos autovalores de f e de g. Considere o operadorf ˆ co ˆ ˆas autofun¸˜es comuns a f e g . Ent˜o, a ˆ f ψn = fn ψn g ψn = gn ψn ˆe, portanto, ˆ ˆ (f + g )ψn = (fn + gn )ψnEste resultado pode ser generalizado para fun¸˜es de onda quaisquer, assim: co ˆ ˆ ˆ (f + g )ψ = f ψ + g ψ ˆNeste caso, tem-se f +g = ˆ ˆ ψ ∗ (f + g )ψdq = ˆ ψ ∗ fψdq + ψ ∗ g ψdq = f + g ˆ 17
    • A multiplica¸˜o de operadores ´ definida assim: ca e ˆˆ ˆg (f g )ψ = f (ˆψ) ca ˆ ˆSuponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o, a ˆˆ ˆg ˆ ˆ f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψne ˆˆ ˆ ˆ g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn ˆ gLogo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos co ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψn = 0Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador a e ˆˆ ˆ ˆ f g − gf = 0 .Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma co efun¸˜o de onda arbitr´ria, que ca a ψ= an ψn ne ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ an (f g − g f)ψn = 0 n ˆˆ ˆ ˆ eLogo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o caao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores quepossuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse cocomutador, ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ [f, g ] ≡ f g − g f´ diferente de zero.e7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca oA fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´ ca ısico do sistema. Istosignifica que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o ca asomente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas, amas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso, e unaturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela camecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira a a 18
    • no tempo, ∂ψ no instante t ´ determinada pelo valor de ψ no mesmo instante. ∂t eComo a teoria ´ linear, essa rela¸˜o ´ tamb´m linear. Vamos escrevˆ-la assim: e ca e e e ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ (13) ∂t ˆ eonde H ´ um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de ˆ edescobrir a natureza de H ´ impˆr que, no limite cl´ssico, as leis de Newton o asejam obtidas. Usando argumentos de mecˆnica avan¸ada mostra-se que H a c ˆdeve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dosmomento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸˜o ca ∂ pi = −i¯ h (14) ∂qi A equa¸˜o (13) ´ denominada equa¸˜o de Schr¨dinger , e desempenha, ca e ca ona mecˆnica quˆntica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na a amecˆnica cl´ssica. a aExemplos:(2) A part´ ıcula livre unidimensional: p2 E = 2m ∂ p = ˆ −i¯ h ∂x ∂ ∂ p2 ˆ = −i¯ h −i¯ h ∂x ∂x ˆ ¯ 2 ∂2 h H = − 2m ∂x2 ˆ ¯ 2 ∂2ψ h Hψ = − 2m ∂x2Equa¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯ 2 ∂2ψ h i¯ h =− . (15) ∂t 2m ∂x2(2) A part´ ıcula livre tri-dimensional: 1 E = p2 + p2 + p2 2m x y z ∂ px ˆ = −i¯h ∂x ∂ py ˆ = −i¯h ∂y 19
    • ∂ pz ˆ = −i¯ h ∂z ˆ ¯2 h ∂2 ∂2 ∂2 H = − 2 + 2+ 2 2m ∂x ∂y ∂z ˆ ¯2 2 h Hψ = − ∇ ψ 2mEqua¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯2 2 h i¯ h =− ∇ ψ (16) ∂t 2m(3) Part´ ıcula sobre a a¸˜o de um potencial: caSeja V (x, y, z) a energia potencial da part´ ıcula. Na mecˆnica quˆntica o operador energia a a ˆpotencial, V (r) ´ definido por: e ˆ V (r)ψ(r) ≡ V (r)ψ(r) ca ˆou seja, a a¸˜o do operador V (r) sobre a fun¸˜o ψ(r) consiste simplesmente em multi- caplic´-la pelo n´ mero V (r). Exemplo: a uOscilador harmˆnico unidimensional: o ˆ 1 2 V (x)ψ(x) = V (x)ψ(x) = kx ψ(x) 2 ˆ ¯2 2 h 1 Hψ = − ∇ ψ + kx2 ψ 2m 27.1 Exerc´ ıcios1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸˜es de H, com autovalores coE1 e E2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Seja Ψ(x, t = 0) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x).Determinar Ψ(x, t) para t > 0.Solu¸˜o: caTemos i ˆ ψ(x, t) = e− h Ht ψ(x, t = 0) ¯ (17)Portanto, i ˆ i iΨ(x, t) = e− h Ht (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h E1 t ψ(x, t = 0)+a2 e− h E2 t ψ2 (x, t = 0) ¯ ¯ ¯ (18)(a) Mostre que, nas condi¸˜es acima, co i ˆ i exp − Htψ1 (x) = exp − E1 tψ1 (x) h ¯ h ¯(b) Demonstre a Eq.(17).(c) As fun¸˜es exp i(k1 x − ω1 t), exp i(k2 x − ω2 t) e exp −i(k1 x + ω1 t) s˜o solu¸˜es co a co 20
    • estacion´rias da equa¸˜o de Schr¨dinger de uma part´ a ca o ıcula livre. Escreva essaequa¸˜o de Schr¨dinger e mostre que isso ´ verdade. A soma das trˆs ´ ca o e e euma solu¸˜o da mesma equa¸˜o, logo ´ a fun¸˜o de onda de um estado de ca ca e capart´ıcula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores daenergia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual´ a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidadeserelativas, em vez de em probabilidades simplesmente?2.A fun¸˜o de onda de uma part´ ca ıcula livre de massa m, em movimento aolongo do eixo x, ´, em t = 0, dada por e 1/4 2α 2 ψ(x) = e−αx (19) π(a) Verifique se ela est´ normalizada. a(b)Usando ∞ 2π − k2 dxe−αx e−ikx =e 4α (20) −∞ αexpanda ψ(x) (da Eq.19) em autofun¸˜es simultˆneas do momento e da en- co aergia , exp ikx. Se a expans˜o for escrita a 1/4 2α 2 ∞ e−αx = dka(k)eikx π −∞mostre que 1/4 1 2α π − k2 a(k) = e 4α 2π π αe que, portanto, 1/4 1 2α π ∞ k2 i¯ k2 t h ψ(x, t) = dke− 4α eikx e− 2m (21) 2π π α −∞(c) Agora, num esfor¸o de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a cEq.(20) trivialmente modificada). Vocˆ deve achar e 1/4 2α m αm 2 ψ(x, t) = e− m+2iα¯ t x h (22) π m + 2iα¯ t h(d)Verifique que a fun¸˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸˜o de ca caSchr¨dinger para a part´ o ıcula livre. 21
    • 7.2 A derivada no tempo de um operador ˆeDiremos que um operador f˙ ´ a derivada no tempo do operador f se, sendo ˆ ˆ ˆ f o valor m´dio de f num estado arbitr´rio, e f˙ o valor m´dio de f˙ nesse ˆ e ˆ a emesmo estado, tivermos d ˆ ˆ f = f˙ (23) dtExplicitando, devemos ter d ˆ d ˆ ∂f ψ∗ ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ = dqψ ∗ ψ+ dq fψ + ˆ∂ψ dqψ ∗ f (24) dt dt ∂t ∂t ∂tUsando a equa¸˜o de Schr¨dinger , obtemos ca o ∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗ = H ψ ∂t h ¯ ∂ψ −i ˆ = Hψ ∂t h ¯Usando esses resultados em (24), temos d ˆ ˆ ∂f i i f = dqψ ∗ ψ+ ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ − ˆ ˆ dqψ ∗f Hψ (25) dt ∂t h ¯ h ¯ O termo que cont´m a derivada parcial do operador s´ existe quando a express˜o do e o aoperador cont´m parˆmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´ssemos uma e a epart´ ıcula livre de massa vari´vel, seu hamiltoniano seria a ˆ ¯2 h H=− ∇2 (26) 2m(t)e a derivada em quest˜o seria dada por a ˆ ∂H ¯ 2 dm 2 h = ∇ ∂t 2m2 (t) dtNa grande maioria dos casos este termo ´ inexistente. e ˆ eVoltando ` Eq.(25), e usando o fato de que H ´ hermiteano, temos a ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ (27)e, conseq¨ entemente, u d ˆ ˆ i ∂f f = ψ∗ ˆ ˆ i ˆˆ + Hf − f H ψ (28) dt ∂t h ¯ h ¯ 22
    • Como, por defini¸˜o, ca d ˆ ˆ f = dqψ ∗ f˙ψ dttemos que ˆ ˆ ∂f + i H f − f H f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29) ∂t h ¯ ˆComo dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o e ∂t aque o operador n˜o tem dependˆncia expl´ a e ıcita no tempo.) Neste caso, ˆ i ˆ ˆ ˆˆ f˙ = Hf − f H (30) h ¯ ˆVemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e a ˆ ˆ ˆ f = constante . (31)Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´ a a a ısica no tempo querdizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con- e ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜osidere o operador H. ˆ ˆ ˆ adepende explicitamente do tempo, ˆ ˙ i ˆ ˆ H = [H, H] = 0 (32) h ¯ d ˆe dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia . eLogo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica. a aComo |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que c d d ∂ψ ∗ ∂ψ 0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33) dt dt ∂t ∂tEliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos: ca o i ˆ ˆ i ˆ ˆ 0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ h ¯ h ¯ i ˆ ˆ = ψ∗ H + − H ψ h ¯ ˆ ˆ ˆ eSegue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano. a7.3 O comutador de p e q ˆ ˆ h∂Como px = −i¯ ∂x , temos ˆ ∂ψ(x) ∂ [ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ ) x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x)) h (34) ∂x ∂x 23
    • que leva a [ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x) x ˆ h (35)Logo, temos a igualdade entre operadores: [ˆ, px ] = i¯ ˆ x ˆ h1 (36)onde ˆ ´ o operador unidade, definido por 1e ˆ =ψ 1ψ (37)qualquer que seja ψ. Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma egeral. temos: [ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ p ˆ h 1 (38)S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg. a co8 Estados estacion´rios aNa equa¸˜o de Schr¨dinger ca o ∂ψ(r, t) ˆ i¯ h = Hψ(r, t) (39) ∂tprocuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40)que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici- a ca o ca otando a forma do hamiltoniano, 2 ˆ h ¯ H=− ∇2 + V (r) (41) 2mreescrevemos a Eq.(39) assim: ∂ h2 2 ¯ i¯ h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42) ∂t 2mque pode ser reescrita: dT (t) h2 2 ¯ i¯ u(r) h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43) dt 2m 24
    • Dividindo por u(r)T (t), temos 1 dT 1 h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ u + V (r) (44) T dt u 2mO primeiro membro n˜o depende de r, ou seja, s´ pode depender de t. Ele a o´ igual ao segundo membro, que n˜o pode depender de t. Logo, o primeiroe amembro n˜o depende nem de r nem de t: n˜o dpende ent˜o de nada: ´ a a a econstante. O segundo membro, por for¸a da equa¸˜o, ´ igual ao primeiro, e c ca eent˜o tamb´m constante. Designemos esta constante por E. Teremos ent˜o a e a 1 dT i¯ h =E (45) T dtou dT i = − Edt (46) T h ¯que ´ integrada facilmente, dando e i T (t) = Ke− h Et ¯ (47)Logo, i ψ(r, t) = Ku(r)e− h Et ¯ (48)Note-se que ˆ ∂ ∂ i Hψ(r, t) = i¯ ψ(r, t) = i¯ h h Ku(r)e− h Et = Eψ(r, t) ¯ ∂t ∂to que mostra duas coisas importantes: i1. Os ψ(r, t) da forma u(r)e− h Et s˜o autofun¸˜es do hamiltoniano. ¯ a co2.E ´ o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando eneste estado. Estados da forma i ψ(r, t) = u(r)E − h Et ¯ (49)s˜o chamados estados estacion´rios. O nome ´ devido ao fato de que a den- a a esidade de probabilidade de posi¸˜o, |psi(r, t)|2 , ´ independente do tempo, ca epois i ∗ i |ψ(r, t)|2 = u(r)e− h Et ¯ u(re− h Et = |u(r)|2 ¯ (50) ipois |e− h Et |2 = 1. ¯ Os estados estacion´rios s˜o extremamente importantes na descri¸˜o quˆntica a a ca ada natureza, n˜o s´ por representarem os estados que tˆm energia definida, a o e 25
    • mas tamb´m porque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜o os e aestados estacion´rios, ´ completo. Isto significa que qualquer estado pode ser a erepresentado como uma combina¸˜o linear de estados estacion´rios. ca a A determina¸˜o dos estados estacion´rios de um determinado hamiltoni- ca aano ´ feita normalmente resolvendo-se a equa¸˜o, dita equa¸˜o de Schr¨dinger e ca ca oindependente do tempo, ˆ Hu(r) = Eu(r) (51) Resolver esta equa¸˜o significa n˜o s´ determinar u(r), mas o par(E , u(r)). ca a oO n´ mero E ´ o autovalor de H u e ˆ associado ` autofun¸˜o u(r). Problemas desse a catipo s˜o chamados, em matem´tica, problems de autovalores . a a9 Po¸o quadrado unidimensional infinito cEste ´ o problema mais simples envolvendo um sistema localizado. Uma epart´ıcula move-se livremente ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que,nas posi¸˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´veis: exige-se, isto co a´, que a probabilidade de a part´e ıcula estar fora do intervalo 0 ≤ x ≤ a sejaestritamente 0. Formalmente isto se realiza exigindo que a fun¸˜o de onda cada part´ ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamenteespessas. Portanto, ψ(x) = 0 para x ≥ a e para x ≤ 0. Procuremos os estados estacion´rios. Na regi˜o interna as paredes, temos a a ` h2 d2 ¯ − ψ(x) = Eψ(x) (52) 2m dx2onde E ´ um n´ mero positivo ou nulo. (O “fundo do po¸o” ´ o ponto de e u c eenergia zero, por defini¸˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como ca d2 2m − 2 ψ(x) = 2 Eψ(x) (53) dx h ¯e, introduzindo 2m k2 = E (54) h2 ¯temos d2 ψ(x) = −k 2 ψ(x) (55) dx2Esta ´ uma equa¸˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸˜o geral ´: e ca ca e ψ(x) = A sin kx + B cos kx. (56) 26
    • Temos, adicionalmente, as condi¸˜es de contorno co ψ(0) = ψ(a) = 0 (57)Para satisfazer ψ(0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automati-camente em x = 0. Ent˜o, antes de usar a segunda condi¸˜o de contorno, a catemos ψ(x) = A sin kx (58)A segunda condi¸˜o de contorno exige que ca A sin ka = 0 (59)e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ, com n inteiroqualquer. Logo, devemos ter ka = nπ (60)ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma nπ kn = (61) aonde acrescentamos um ´ ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸˜es coda equa¸˜o de Schr¨dinger (52) que satisfazem as condi¸˜es de contorno (57) ca o cos˜o a nπ ψn (x) = A sin x (62) acom n = 0, 1, 2 . . ..9 Note-se que ´ a condi¸˜o de a fun¸˜o de onda se anular em x = a que e ca carestringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´ que a h 2 kn ¯ 2 h2 n2 π 2 ¯ En = = . (63) 2m 2m a2Diferentemente do que acontece na f´ ısica cl´ssica, a energia n˜o varia contin- a auamente: do valor En passa-se, a seguir, ao valor En+1 , e h2 π 2 ¯ h2 π 2 ¯ En+1 − En = 2 (n + 1)2 − n2 = (2n + 1) (64) 2m a 2m a2Temos, isto ´, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para ea energia est˜o sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´, ter a e 9 Na realidade inteiros negativos s˜o tamb´m admitidos, mas, como sin −nπ x = a e a nπ−sin a x , as fun¸˜es de onda correspondentes a n negativos s˜o as mesmas que as co ade n positivos, pois ψ(x) e −ψ(x) representam o mesmo estado. 27
    • localiza¸˜o restrita a uma parte finita do espa¸o. Sistemas que podem estar ca cem toda a parte, como part´ ıculas livres, tˆm espectro cont´ e ınuo. ´ ´ E util normalizar as fun¸˜es de onda: os postulados interpretativos ficam comais simples, quando isto ´ feito. Para tanto, vamos exigir que e a dx|ψn (x)|2 = 1 (65) 0ou a nπx |K|2 dx sin2 =1 (66) 0 aUsando a rela¸˜o ca nπx 1 2nπx sin2 = 1 − cos a 2 aobtemos |K|2 a 2nπx |K|2 a 2nπx |K|2 dx 1 − cos = a− dx cos = a=1 2 0 a 2 0 a 2 (67) 2 2Logo, |K|2 = a e podemos escolher K = a , j´ que a fase da fun¸˜o de onda a ca´ arbitr´ria. Assim,e a 2 nπx ψn (x) = sin (68) a a leitor n˜o ter´ dificuldades em mostrar o resultado mais geral: a a a ∗ dxψn (x)ψm (x) = δnm (69) 0que exibe a ortogonalidade das fun¸˜es de onda correspondentes a energia s codiferentes. A fun¸˜o de onda completa para esses estados estacion´rios ´ ent˜o ca a e a 2 nπx − i En t ψn (x, t) = sin e h¯ (70) a a 2 2 2com En = ¯2maπ . h n 2 Estados n˜o estacion´rios, na realidade estados quaisquer, podem ser a aobtidos por combina¸˜es lineares desses ψn (x, t). co 28
    • 10 Exemplos simples10.1 Po¸o quadrado unidimensional cUma part´ ıcula de massa m se move sob a a¸˜o de um campo de for¸as que ca cconfere ` part´ a ıcula uma energia potencial V (x) tal que −V0 para |x| < a V (x) = (71) 0 para |x| > acomo descrito na figura. V (x) −a a x E<0 I II III V = V0Vamos considerar primeiro o caso E < 0, onde E ´ a energia total da epart´ ıcula. No caso cl´ssico, a part´ a ıcula n˜o pode atingir as regi˜es I e III. a o 2 2De fato, sua energia total ´ E = mv /2 + V (x), ou seja, mv /2 = E − V (x). eNas regi˜es I e III temos V (x) = 0, o que daria mv 2 /2 = E. Mas E < 0, o oque daria uma energia cin´tica negativa, imposs´ 10 e ıvel. Na regi˜o II n˜o h´ problema, pois ter´ a a a ıamos mv 2 = E + V0 (72) 2e ´ poss´ ter energia cin´tica positiva mesmo com E < 0. e ıvel e 10 O leitor poderia se surpreender com a id´ia de que uma part´ e ıcula possa ter energianegativa, mas esta ´ uma situa¸˜o bastante comum. Considere a “part´ e ca ıcula” Terra, emseu movimento em redor da “part´ ıcula” Sol. A energia total da Terra ´ negativa! De fato, eprecisamos realizar trabalho para lev´-la ao “infinito” (livr´-la da a¸˜o do Sol) e deix´-la, a a ca al´, em repouso, ou seja, com energia total zero. Logo, fornecemos energia ` Terra para a alev´-la a um estado de energia zero. Sua energia inicial era, portanto, menor do que zero! a 29
    • A equa¸˜o de Schr¨dinger para os estados estacion´rios ´ ca o a e h2 d2 ¯ − + V (x) φ(x) = Eφ(x) (73) 2m dx2Para x < −a ou x > a, temos V (x) = 0, e h2 d2 φ ¯ − = Eφ(x) (74) 2m dx2 d2 φ 2mE 2m|E| = − 2 φ = φ (75) dx 2 h ¯ h2 ¯Pondo 2m|E| κ= (76) h2 ¯temos d2 φ = κ2 φ (77) dx2cuja solu¸˜o geral ´ ca e φ = C e−κx + A eκx . (78) κxPara x > 0 o termo em e ´ inadequado, pois daria uma probabilidade de elocaliza¸˜o da part´ ca ıcula tendendo a infinito para x → ∞. Logo, temos de ′tomar C = 0. Assim, φ(x) = C e−κx para x > 0 . (79)Por um racioc´ ınio an´logo, a φ(x) = A eκx para x < 0 . (80)Nas solu¸˜es acima C e A s˜o constantes arbitr´rias, a determinar posteri- co a aormente. Na regi˜o interna, V (x) = −V0 , e a equa¸˜o ´ a ca e h2 d2 φ ¯ − = (E + V0 )φ(x) (81) 2m dx2ou d2 φ 2m 2 = 2 (V0 − |E|)φ(x) (82) dx h ¯Pondo 2m q= (V0 − |E|) (83) h2 ¯temos a solu¸˜o geral ca φ(x) = B sin qx + B ′ cos qx (84) 30
    • 10.2 Conectando as solu¸˜es coA energia potencial V (x) descrita acima ´ uma fun¸˜o descont´ e ca ınua, e por-tanto n˜o-diferenci´vel, nos pontos x = −a e x = a. A equa¸˜o diferencial a a cadeve ser, ent˜o, tratada como 3 equa¸˜es, uma para cada regi˜o onde V (x) a co a´ cont´e ınua e diferenci´vel. Por isso a resolvemos separadamente para as aregi˜es I, II e III. O potencial descont´ o ınuo ´ uma idealiza¸˜o de um potncial e casemelhante, mas de “bordas arredondadas”, alguma coisa assim: V (x) −a a x E<0 I II III V = V0A raz˜o pr´tica para tratar o potencial idealizado, e n˜o o “real”, ´ que assim a a a e´ muito mais f´cil resolver a equa¸˜o diferencial.e a caLandau[3] trata, no exerc´ıcio 5 do §23, um problema do tipo acima, em que o poten-cial ´ e V0 V (x) = − . cosh2 αx´E poss´ determinar os n´ ıvel ıveis de energia e as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios, co amas o uso de fun¸˜es hipergeom´tricas torna desaconselh´vel seu tratamento em um curso co e aintrodut´rio. o O pre¸o que se paga pelo uso de um potencial descont´ c ınuo ´: como “ligar” eentre si as solu¸˜es das trˆs regi˜es? A matem´tica nos d´ a chave: como a co e o a aequa¸˜o diferencial ´ de segunda ordem, sua solu¸˜o ´ determinada dando- ca e ca ese, em um ponto, o valor da fun¸˜o e de sua derivada primeira. Ent˜o, para ca aconectar as regi˜es, procedemos assim: em um ponto comum `s regi˜es I e o a oII (este ponto ´ x = −a) exigimos que φI = φII e dφI /dx = dφII /dx, onde eφI ´ a solu¸˜o na regi˜o I, e φII ´ a solu¸˜o na regi˜o II. Para conectar as e ca a e ca aregi˜es II e III, agimos da mesma forma: o dφII (a) dφIII (a) φII (a) = φIII (a) e = dx dx 31
    • Em x = a, C e−κa = B sin qa + B ′ cos qa (85) −κC e−κa = qB cos qa − qB ′ sin qa (86)Em x = −a, Ae−κa = −B sin qa + B ′ cos qa (87) κAe−κa = qB cos qa + qB ′ sin qa (88)´E uma quest˜o de t´cnica determinar as constantes. Dividindo (85) por (87) a etemos: C B sin qa + B ′ cos qa B tan qa + B ′ = = (89) A −B sin qa + B ′ cos qa −B tan qa + B ′Pondo tan qa = t, temos C tB + B ′ = (90) A −tB + B ′Dividindo (86) por (88) temos C qB cos qa − qB ′ sin qa − = (91) A qB cos qa + qB ′ sin qaou C tB ′ − B = (92) A tB ′ + BCombinando (90) e (92), temos C tB + B ′ tB ′ − B = = (93) A −tB + B ′ tB ′ + BDe onde se tira sem dificuldade que (t2 + 1)BB ′ = 0 (94)Isto nos informa que temos ou B = 0 ou B ′ = 0. Para B = 0 as fun¸˜escos˜o, na regi˜o −a ≤ x ≤ a, cosenos, ou seja, s˜o fun¸˜es pares de x. Para a a a co ′B = 0, s˜o senos, ou seja, fun¸˜es ´ a co ımpares de x. Vamos tratar os dois casosseparadamente.(i) B ′ = 0 (fun¸˜es ´ co ımpares). φ(x) = B sin qx para |x| < a (95) φ(x) = −C eκx para x < −a (96) φ(x) = C e−κx para x > a (97) 32
    • Note que A = C, pois φ(a) = −φ(−a), j´ que a fun¸˜o ´ ´ a ca e ımpar. Para x = a temos as rela¸˜es: co B sin qa = Ce−κa (98) qB cos qa = −κC e−κa (99)´E desnecess´rio fazer uso das rela¸˜es em x = −a, porque, sendo a fun¸˜o a co ca´ımpar, elas repetem as rela¸˜es em x = a. Dividindo a de cima pela de baixo, coobt´m-se: e q tan qa = − (100) κ´E esta equ¸˜o que ir´ determinar para que valores da energia existem es- ca atados estacion´rios nesse po¸o. Equa¸˜es deste tipo (que n˜o s˜o equa¸˜es a c co a a coalg´bricas11 , e s´ em raros casos podem ser resolvidas analiticamente. Este e on˜o ´, infelizmente, um desses raros casos. Recorre-se ent˜o a solu¸˜es a e a conum´ricas. Neste particular caso, por´m, ´ poss´ usar um m´todo gr´fico e e e ıvel e aque ilustra muito bem as caracter´ ısticas gerais da solu¸ao. c˜ Em primeiro lugar, vamos escrever (100) de outra forma. Introduzo asvari´veis ξ = qa e η = κa, que s˜o tais que a a ξ 2 + η 2 = q 2 a2 + κ2 a2 = a2 (q 2 + κ2 ) (101)ou 2m ξ 2 + η2 = 2 V0 a 2 (102) h ¯Nessas vari´veis, a equa¸˜o (100) fica a ca ξ tan ξ = − (103) ηMas 2m η 2 = a2 V0 − ξ 2 , (104) h2 ¯logo, 1 −2 ξ 2m − = −ξ V0 a2 − ξ 2 (105) η h2 ¯e a equa¸˜o (103) se escreve ca −1 2m 2 2 2 tan ξ = −ξ 2 V0 a − ξ (106) h ¯ 11 Uma equa¸˜o alg´brica tem a forma de um polinˆmio igualado a zero. ca e o 33
    • Cada solu¸˜o desta equa¸˜o d´ um valor de ξ, e, portanto, um valor de q, ou ca ca aseja, de |E|. Esta ´, por isso, a equa¸˜o para os autovalores da energia . e ca A id´ia ´ a seguinte: tra¸o os gr´ficos da fun¸˜o tan ξ e da fun¸˜o que est´ e e c a ca ca ano segundo membro de (106). Onde as curvas se cortem estar˜o os valores ade ξ que s˜o as solu¸˜es de (106). a co Para tra¸ar a curva da fun¸˜o que est´ no segundo membro, vamos estudar c ca aum pouco suas propriedades. Vamos analisar a fun¸˜o ca −1 2m 2 2 2 −1 f (ξ) = −ξ 2 V0 a − ξ = −ξ A2 − ξ 2 2 (107) h ¯Sua derivada pode ser escrita, ap´s alguma ´lgebra, o a A2 f ′ (ξ) = − 3 (108) (A2 − ξ 2 ) 2e ´ sempre negativa, tornando-se −∞ para ξ = A, isto ´ e e 2m ξ= V0 a (109) h2 ¯O gr´fico abaixo cont´m as curvas y = tan ξ e y = f (ξ) As solu¸˜es da a e coequa¸˜o ca 1 −2 2m 2 2 tan ξ = −ξ V0 a − ξ (110) h2 ¯s˜o as interse¸˜es dessas duas curvas. Como ξ = qa e q = 2m (V0 − |E|), a co ¯2 hos valores de ξ que satisfazem a equa¸˜o acima permitem calcular os valores cade E correspondentes. Esses ser˜o os valores poss´ a ıveis para a energia dosistema. 34
    • π 3π 2 π 2 A 2π ξ 1 2 Na figura, as curvas cont´ınuas s˜o a fun¸˜o y = tan ξ e a curva pontilhada ´ a fun¸˜o a ca e cay = f (ξ). Os pontos 1 e 2 correspondem `s solu¸˜es da equa¸˜o. a co caVemos assim que o n´ mero de autovalores da energia para os estados ´ u ımpares π´ finito, podendo ser nulo (se A < 2 ).e(ii)B = 0 (solu¸˜es pares). co Neste caso as equa¸˜es ficam: co C e=κa = B ′ cos qa (111) −κC e−κa = −qB ′ sin qa (112) A e−κa = B ′ cos qa (113) κA e−κa = qB ′ sin qa (114)Comparando (111) com (113) vemos que A = C. Dividindo (114) por (113)temos, ent˜o, a κ = tan qa (115) qe, introduzindo de novo as vari´veis ξ = aq e η = κa, a η tan ξ = (116) ξ 35
    • com 2ma2 η= V0 − ξ 2 (117) h2 ¯de maneira que a equa¸˜o que determina os autovalores da energia ´ ca e 1 2ma2 2 tan ξ = 2 V0 − ξ . (118) ξ h ¯Seja 2ma2 1 2 1 f (ξ) = 2 V0 − ξ ≡ A2 − ξ 2 (119) h ¯ξ ξTemos que ξ ≤ A (ξ > 0) e f (A) = 0, e, ainda, lim f (ξ) = ∞ (120) ξ→0 df 1 1 = −√ 2 2 − 2 A2 − ξ 2 < 0 para todo ξ (121) dx A −ξ ξ π 3π 2 π 2 A 2π ξ A figura mostra algumas solu¸oes da equa¸˜o para os autovalores da energia . S˜o as c˜ ca ainterse¸˜es entre a curva pontilhada e o gr´fico da tangente. Note-se que, por pequeno co aque seja A, sempre haver´ ao menos uma solu¸˜o. a ca Podemos concluir ent˜o que o po¸o quadrado possui sempre solu¸˜es de a c coenergia negativa. Os autovalores da energia de tais estados s˜o discretos e aem n´ mero finito. O menor valor, correspondente ao estado fundamental, uocorre para um estado cuja fun¸˜o de onda ´ par. ca e 36
    • 10.3 A equa¸˜o da continuidade caO interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica da mecˆnica quˆntica ´ introduzida pelo pos- a a etulado de Born12 , que diz que |ψ(x, y, z)|2 dxdydz ´ a probabilidade de a epart´ıcula, cuja fun¸˜o de onda ´ ψ(x, y, z), estar, em um determinado in- ca estante, num elemento de volume dx dy dz em torno do ponto de coordenadasx, y, z. Queremos examinar o que ocorre com |ψ(x, y, z)|2 quando o movimentoda part´ ıcula ´ levado em conta. e A equa¸˜o de Schr¨dinger diz que ca o ∂ψ h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ ψ+Vψ . (122) ∂t 2mTomando-se o complexo conjugado, termo a termo, temos ∂ψ ∗ h2 2 ∗ ¯ −i¯ h =− ∇ ψ + V ψ∗ . (123) ∂t 2mMultiplicando (122) ` direita por ψ ∗ e (123) ` esquerda por ψ e subtra´ a a ındo,obtemos ∂ψ ∗ ∂ψ ∗ ∂|ψ|2 h2 ¯ i¯ h ψ + i¯ ψ h = i¯ h =− (∇2 ψ)ψ ∗ − ψ ∇2 ψ ∗ (124) ∂t ∂t ∂t 2mO segundo membro pode ser posto numa forma mais transparente, notandoque ∇. ψ ∗ ∇ψ = ∇ψ ∗ .∇ψ + ψ ∗ ∇2 ψ (125)ou ψ ∗ ∇2 ψ = ∇. ψ ∗ ∇ψ − ∇ψ ∗ .∇ψ (126)Tomando o complexo conjugado desta rela¸˜o: ca ψ ∇2 ψ ∗ = ∇. ψ ∇ψ ∗ − ∇ψ.∇ψ ∗ (127)Subtra´ ındo (127) de (126), (∇2 ψ)ψ ∗ − ψ ∇2 ψ ∗ = ∇. ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (128)Levando (128) ao segundo membro de (124), chega-se a ∂|ψ|2 h2 ¯ i¯ h =− ∇. ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (129) ∂t 2m 12 Max Born, grande f´ ısico te´rico alem˜o, professor em G¨ttingen, de quem Werner o a oHeisenberg era assistente, quando criou a mecˆnica quˆntica a a 37
    • Introduzindo as nota¸˜es co ρ = |ψ|2 (130) h ¯ j = ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (131) 2mitemos, ent˜o, a ∂ρ + ∇.j = 0 (132) ∂tque tem a forma da equa¸˜o da continuidade, conhecida seja da mecˆnica ca ados fluidos, onde explicita a conserva¸˜o da massa do fluido, seja do eletro- camagnetismo, onde faz o mesmo para a conserva¸˜o da carga. Poder´ ca ıamosent˜o dizer que ela expressa, aqui, a conserva¸˜o de probabilidade. a ca Assim como, no eletromagnetismo, a equa¸˜o da continuidade fornece cadetalhes sobre como se d´ a conserva¸˜o da carga 13 , na mecˆnica quˆntica a ca a aela faz o mesmo com a probabilidade. Aqui conv´m adotar uma linguagem que, embora eq¨ ivalente, ´ mais e u efamiliar do que a que usamos at´ agora. Suponhamos que, em vez de uma epart´ıcula, consider´ssemos um conjunto de r´plicas da part´ a e ıcula, idˆnticas, eou seja, com a mesma fun¸˜o de onda, e independentes, isto ´, que n˜o ca e ainteragem. Sejam N essas r´plicas. Se normalizarmos a fun¸˜o de onda de e camodo que d3 r|ψ(r)|2 = N , (133)estendendo-se a integral a todo o espa¸o, e considerarmos um volume V cdelimitado por uma superf´ S fechada, a integral ıcie NV = d3 r|ψ(r)|2 (134) Vdar´, n˜o a probabilidade de uma part´ a a ıcula estar em V , mas o n´ mero NV ude part´ ıculas, das N existentes, que est˜o dentro de V . Seja n o campo das anormais externas ` superf´ S. Temos a ıcie dNV ∂ρ 3 = d r=− ∇.j d3 r = − j.n dS (135) dt V ∂t V S 13 Por exemplo, ela diz que o seguinte fenˆmeno viola a conserva¸˜o da carga: uma carga o cadesaparece aqui e aparece, imediatamente depois, na nebulosa de Orion. Isto porque aequa¸˜o da continuidade exige que o desaparecimento de uma carga de dentro de um cavolume seja acompanhado pela passagem da carga atrav´s da superf´ que delimita esse e ıcievolume. Como isto ´ v´lido para qualquer volume, a implica¸˜o ´ que, para uma carga ir e a ca ede um ponto ao outro, ela deve passar, continuamente, por posi¸˜es intermedi´rias. Da´ o co a ınome “equa¸˜o da continuidade”. ca 38
    • onde, na ultima passagem, fizemos uso do teorema do divergente. Supon- ´hamos que NV decres¸a com o tempo. Ent˜o dNV < 0, e c a dt j.n dS > 0. (136) SA Eq.(136) mede, portanto, o n´ mero de part´ u ıculas que, na unidade detempo, saem do volume V , atravessando a superf´ S 14 (este saem, para ıcieser mais preciso, ´ o n´ mero de part´ e u ıculas que saem menos o de part´ ıculasque entram, por unidade de tempo). Depreende-se disso que, se dS ´ um etrecho infinitesimal de uma superf´ıcie, e se n for uma normal a ela, ent˜o a j.ndS´ o n´ mero (resultante) de part´e u ıculas que atravessam dS por unidade detempo no sentido indicado pela normal. Se o n´ mero for negativo, o fluxo umajorit´rio ser´ no sentido de −n. a a10.4 A barreira de potencialUma part´ ıcula de massa m se move num campo de for¸as, com uma energia cpotencial da forma V (x) V0 E I II III −a a x 14 Note que (136) cont´m apenas os valores de j na superf´cie S. e ı 39
    • ou, V0 para |x| < a V (x) = 0 para |x| > asendo sua energia total E localizada entre 0 e V0 . Vamos procurar seus esta-dos estacion´rios. Para especificar mais o problema, digamos que a part´ a ıculaincide sobre a barreira vindo da esquerda. Se estiv´ssemos tratando de estados localizados (pacotes de onda), a car- eacteriza¸˜o deste particular problema (incidˆncia da esquerda para a direita) ca eseria trivial. Mas, para estados estacion´rios, isto ´, tais que a probabil- a eidade de posi¸˜o n˜o depende do tempo, isto ´ mais sutil. Recorramos a ca a euma imagem cl´ssica. Para conseguir um fenˆmeno an´logo (isto ´, sem a o a edependˆncia temporal) na mecˆnica cl´ssica, precisamos recorrer a muitas e a apart´ıculas, incidindo sobre a barreira da esquerda para a direita. Imaginemosum fluxo cont´ ınuo dessas part´ ıculas. Depois de um certo tempo, teremos umafigura que n˜o se altera mais, constitu´ por um certo n´ mero de part´ a ıda u ıculasincidindo sobre a barreira, superpostas a um fluxo de part´ ıculas refletidaspor ela. Embora cada part´ ıcula esteja se movendo, o conjunto todo pareceparado, no regime estacion´rio. O fato de as part´ a ıculas virem da esquerdapode ser descoberto, neste regime estacion´rio, pelo fato de que h´ part´ a a ıculasrefletidas ` esquerda da barreira. a Passemos ao caso quˆntico. No regime estacion´rio esperamos ter, como a ano caso cl´ssico, ondas incidentes e ondas refletidas, ` esquerda da barreira. a aMas, e esta ´ a principal diferen¸a introduzida pela mecˆnica quˆntica neste e c a aproblema, pode haver ondas saindo da barreira, no lado direito. O quecaracteriza, ent˜o, o problema estacion´rio como advindo de uma part´ a a ıculaincidente da esquerda para a direita ´ que, do lado direito da barreira, existem eapenas part´ ıculas afastando-se da barreira. Para |x| > a temos as regi˜es I e III, onde a part´ o ıcula n˜o est´ sujeita a a anenhuma for¸a. Nestes casos, c h2 d2 ψ ¯ − = Eψ (137) 2m dx2ou d2 ψ = −k 2 ψ (138) dx2onde usamos 2mE k2 ≡ (139) h2 ¯A solu¸˜o geral de (138) ´ ca e ψ(x) = A eikx + A′ e−ikx (140) 40
    • e ´ um estado estacion´rio, portanto, com dependˆncia temporal dada por e a euma exponencial: i ψ(x, t) = A eikx + A′ e−ikx e− h Et ¯ (141)onde h2 k 2 ¯ E= (142) 2mA corrente de probabilidade i¯ h j= ψ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ 2md´, para a as parcelas que constituem a fun¸˜o (140): a ca(i)Para ψ(x) = exp ikx (k > 0), i¯ h dψ ∗ dψ hk ¯ j= ψ − ψ∗ = =v (143) 2m dx dx mou seja, eikx representa uma part´ ıcula com velocidade positiva, movendo-seda esquerda para a direita.(ii) Para ψ(x) = exp −ikx, temos v < 0, e a part´ ıcula se move da dire-ita para a esquerda. Para fixar o nosso problema, diremos ent˜o que, na regi˜o I teremos a a Para x < −a ψ(x) = AE ikx + A′ e−ikx (144)que inclui a part´ ıcula incidente (exp ikx) e a refletida (exp −ikx). Na regi˜o III tender´ a ıamos a supor que a fun¸˜o de onda fosse zero, cabaseando-se na mecˆnica cl´ssica, pois uma part´ a a ıcula cl´ssica n˜o pode atrav- a aessar a barreira: na zona II ela teria uma energia cin´tica negativa! Por´m, e ese fizessemos esta hip´tese, n˜o encontrar´ o a ıamos solu¸ao. Pomos, ent˜o, c˜ a Para x > a ψ(x) = C eikx (145)que descreve uma part´ ıcula que, vindo da esquerda, ultrapassou a barreira. Finalmente, dentro da barreira (regi˜o II), a equa¸˜o de Schr¨dinger ´ a ca o e h 2 d2 ψ ¯ − + V0 ψ = Eψ (146) 2m dx2 41
    • ou d2 ψ = κ2 ψ (147) dx2com 2m κ2 = (V0 − E) . (148) h2 ¯A solu¸˜o geral desta equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca ca o e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx com κ > 0 . (149) Vamos denominar “fun¸˜o de onda incidente” ao termo ca A eikx , (150)“fun¸˜o de onda refletida” ao termo A′ e−ikx , e “fun¸˜o de onda transmitida” ca ca ikxao termo C e . A densidade de corrente incidente ´e hk 2 ¯ jI = |A| . (151) mDefinimos hk ′ 2 ¯ jR = |A | (152) mcomo a densidade de corrente refletida, e hk 2 ¯ jT = |C| (153) mcomo a densidade de corrente transmitida. Ent˜o, devemos ter (para que an˜o desapare¸am part´ a c ıculas), jI = jT + jR . (154)Definido os coeficientes de reflex˜o e transmiss˜o por a a jR R = (155) jI jT T = (156) jIpodemos ent˜o escrever a rela¸˜o entre as correntes como a ca R+T =1 (157) Note que a densidade de corrente dentro da barreira ´ zero (calcule!). eLogo, usando ∂ρ + ∇.j = 0 (158) ∂tvemos que, dentro da barreira, ∂ρ = 0, ou seja, ρ ´ constante. Logo, n˜o h´ ∂t e a avaria¸˜o no n´ mero de part´ ca u ıculas, dentro da barreira. 42
    • 10.4.1 Condi¸˜es de contorno coA continuidade das fun¸˜es de onda e suas derivadas em x = −a e x = a d´ co aas seguintes condi¸˜es: co(i) Para x = −a: A e−ika + A′ eika = B eκa + B ′ e−κa (159) ikA e−ika − ikA′ eika = −κB eκa + κB ′ e−κa (160)(ii) Para x = a: C eika = B e−κa + B ′ eκa (161) ikC eika = −κB e−κa + κB ′ eκa (162)Dividindo (161) por (162): 1 B e−κa + B ′ eκa = (163) ik −κB e−κa + κB ′ eκade onde se tira (ik + κ)e−κa B + (ik − κ)eκa B ′ = 0 (164) Como a fun¸˜o de onda dentro da barreira ´ ca e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx (165)temos, escrevendo B ′ em termos de B, κ + ik −2κa κx ψ(x) = B e−κx + e e (166) κ − ikonde se vˆ que o termo dominante ´ a exponencial decrescente exp −κx. e e Voltando ` equa¸˜o (161), obt´m-se facilmente que a ca e C 2κ (ik−κ)a = e (167) B κ − ike 2 C 4κ2 = (168) B κ2 + k 2Vamos introduzir as quantidades A′ C B ′ B′ X= Y = Z= Z = (169) A A A A 43
    • As equa¸˜es (159),(160),(161), (162) ent˜o ficam: co a e−ika + X eika = Z eκa + Z ′ e−κa (170) ikeika − ikX eika = −κZ eκa + κZ ′ e−κa (171) Y eika = Z e−κa + Z ′ eκa (172) ikY eika = −κZ e−κa + κZ ′ eκa (173)Como Z ′ /Z = B ′ /B,temos κ + ik −2κa Z′ = e Z (174) κ − ikIntroduzindo os s´ ımbolos auxiliares κ + ik −3κa W = eκa + e (175) κ − ike κ κ + ik −3κa W′ = −eκa + e (176) ik κ − ikpodemos, ap´s alguma ´lgebra, obter o a 16κ2 E −2κa T = |Y |2 = (177) κ2 + k 2 |W + W ′ |2 |W − W ′ |2 R = |X|2 = (178) |W + W ′|2e T 16κ2 −2κa k2 = 2 e (179) R κ + k2 |eκa − e−3κa |2 (κ2 + k 2 ) Tde onde se vˆ que o comportamento assint´tico de e o R ´ dado por e T ∼ e−4κa (180) Rque revela, ao mesmo tempo, a inevitabilidade do tunelamento (a ausˆncia ede tunelamento seria T /R = 0) e se trata de um efeito pequeno, para valoresapreci´veis de a. a Posteriormente, quando estudarmos a aproxima¸˜o quase-cl´ssica, sere- ca amos capazes de obter express˜es mais simples para o tunelamento. o 44
    • 11 Algumas t´cnicas matem´ticas e a11.1 A fun¸˜o delta de Dirac caConsidere a fun¸˜o δǫ (p), definida assim: ca δǫ (p) = 0 para p > ǫ δǫ (p) = 0 para p < −ǫ 1 δǫ (p) = para − ǫ < p < ǫ 2ǫTemos, claramente, ∞ ǫ 1 δǫ (p)dp = dp = 1 (181) −∞ −ǫ 2ǫSeja f (p) uma fun¸˜o cont´ ca ınua. Ent˜o, a ∞ f (p′ ′ p+ǫ 1 p+ǫ f (p′ )δǫ (p − p′ )dp′ = dp = f (p′ )dp′ (182) −∞ p−ǫ 2ǫ 2ǫ p−ǫNo limite para ǫ → 0, esta ultima integral d´ ´ a 2ǫf (p)de forma que a Eq.(182) pode ser escrita ∞ f (p′ )δǫ (p − p′ )dp′ = f (p) (183) −∞A fun¸˜o delta de Dirac, δ(p) ´ definida, simbolicamente, como o limite, para ca eǫ → 0, da fun¸˜o δǫ (p). Suas propriedades, que podem ser motivadas por caesse limite, podem ser sintetizadas assim: ∞ δ(x)dx = 1 −∞ δ(x) = 0 para x = 0 ∞ dx f (x)δ(x − a) = f (a) −∞Nessas rela¸˜es a integral n˜o precisa realmente ir de −∞ a ∞. Basta que co aseja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da fun¸˜o cadelta se anula. Estritamente, tal fun¸˜o n˜o existe. Trata-se de um s´ ca a ımbolo que abrevia muito osc´lculos. Atendo-se `s regras exibidas, nenhum dano ´ causado, a n˜o ser ` l´gica, a a a e a a ov´ ıtima usual. A teoria que justifica essas opera¸˜es e restitui a implacabilidade da l´gica co ofoi desenvolvida pelo grande matem´tico francˆs Laurent Schwartz, e se chama “teoria das a edistribui¸˜es”. Para um tratamento adequado da “fun¸˜o delta” recomendamos as notas co caque se encontram no site do professor Jo˜o Carlos Alves Barata,no endere¸o: a c 45
    • http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap12.pdfOutras rela¸˜es importantes envolvendo a “fun¸˜o delta” s˜o as seguintes: co ca a 1 ∞ δ(x) = dkeikx (184) 2π −∞ δ(−x) = δ(x) (185) 1 δ (f (x)) = df δ(x − x0 ) , sendo f (x0 ) = 0 (186) | dx |x=x0 1 δ(ax) = δ(x) (187) |a| δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) (188)onde, nesta ultima, se tem r = xi + y j + z k. ´11.2 Integral de FourierA integral de Fourier ´ instrumento fundamental na mecˆnica quˆntica. e a aTrata-se de uma extens˜o das s´ries de Fourier que permite obter expans˜es a e ode fun¸˜es que n˜o s˜o peri´dicas. Este n˜o ´ o lugar para se adquirir fluˆncia co a a o a e eno uso, e uma boa compreens˜o dos m´todos da an´lise de Fourier. O leitor a e adever´ dedicar algum estudo a este t´pico, presente em todos os livros de a of´ ısica-matem´tica. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, aPartial Differential Equations of Physics. Um bel´ ıssimo livro de matem´tica asobre este mesmo tema, ´ K¨rner, Fourier Analysis, um dos livros mais boni- e otos que j´ li. a A integral, ou transformada, de Fourier de uma fun¸˜o f (x), ´ uma fun¸˜o ca e caf˜(k) a ela ligada pelas rela¸˜es co ∞ f (x) = ˜ dk f (k)eikx (189) −∞ ˜ 1 ∞ f (k) = f (x)e−ikx (190) 2π −∞Pode-se verificar a consistˆncia dessas rela¸˜es com o uso da fun¸ao δ(x): e co c ∞ 1 ∞ f (x) = dk dyf (y)e−iky eikx −∞ 2π −∞ ∞ 1 f (x) = f (y) dkeik(x−y) −∞ 2π ∞ = f (y)δ(x − y) = f (x) −∞ 46
    • A transformada de Fourier de uma fun¸˜o constante, f (x) = K, ´: ca e ˜ 1 ∞ 1 ∞ f (k) = dxKe−ikx = K dxe−ikx = Kδ(x) 2π −∞ 2π −∞ou seja, a transformada de Fourier de uma constante ´ um m´ ltiplo de e udelta(x). Um outro resultado importante ´ a transformada de Fourier de e 2uma gaussiana: seja f (x) = exp −αx . Sua transformada de Fourier ´ e ˜ 1 π − k2 f (k) = e 4α 2π αou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana ´ outra gaussiana. e12 O espectro cont´ ınuoA equa¸˜o de Schr¨dinger de um sistema f´ ca o ˆ e ısico de hamiltoniano H ´ ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ ∂tSuponhamos que ψ seja um estado estacion´rio, ou seja, que a i ψ(r, t) = ψ(r)e− h Et ¯Inserindo-se esta express˜o na equa¸˜o de Schr¨dinger , obt´m-se uma equa¸˜o a ca o e capara ψ(r), que ´e ˆ Hψ(r) = Eψ(r) , (191)conhecida como equa¸˜o de Schr¨dinger independente do tempo. Resolvˆ-la ca o e´ determinar o par (ψ(r), E), onde E ´ um n´ mero.e e u Para exemplificar, vamos tratar um caso muto simples: uma part´ıculalivre, de massa m, que se move ao longo do eixo x. Neste caso ˆ2 ¯2 2 ˆ = p =−h ∂ H 2m 2m ∂x2e a Eq.(191) ´ e h2 d2 ψ ¯ − = Eψ . (192) 2m dx2Introduzindo 2mE k2 = h2 ¯ 47
    • podemos reescrever a equa¸˜o acima assim: ca d2 ψ = −k 2 ψ , (193) dx2cuja solu¸˜o geral ´ ca e ψ(x) = Aeikx + Be−ikx (194)com A e B arbitr´rios. Existe solu¸˜o para todo k, e, como a ca h2 k 2 ¯ E= , 2mexiste solu¸˜o para todo E ≥ 0. Diz-se ent˜o que o espectro ´ cont´ ca a e ınuo. ˆ um operador associado a uma quantidade f´ Seja O ısica de espectro cont´ ınuo.Escreveremos a equa¸˜o de autovalores assim: ca ˆ Oψf = Of ψf (195)onde o ´ ındice f agora varia continuamente. Como veremos mais tarde, asautofun¸˜es associadas a um espectro cont´ co ınuo n˜o s˜o normaliz´veis, isto ´, a a a en˜o ´ poss´ impor para elas a condi¸˜o a e ıvel ca |ψf |2 dq = 1Exemplo: a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio de uma part´ ca a ıcula livre,cuja parte espacial vimos na Eq.(194), ´ e i ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) = Aeikx e− h Et ¯ (196) Eonde usamos ω = h ¯ . Ent˜o a |ψ(x, t)|2 = |A|2e, por isso, ∞ ∞ dx|ψ(x, t)|2 = |A|2 dx = ∞ ! −∞ −∞A seguir vamos descobrir uma maneira de normalizar adequadamente asautofun¸˜es ligadas a um espectro cont´ co ınuo. Seja ψ uma fun¸˜o de onda normaliz´vel. A expans˜o dela em autofun¸˜es ca a a coda quantidade f´ ˆ cujo espectro ´ cont´ ısica O, e ınuo, ´ e ψ= df af ψf (197) 48
    • Queremos que |af |2 df seja a probabilidade de que, efetuada uma medida de ˆO, o valor obtido esteja entre f e f + df . Logo, |af |2 df = 1. Da mesmaforma, dq|ψ(q)|2 = 1. Segue que a∗ af df = f ψ ∗ ψdq (198)e, como ψ∗ = df a∗ ψf , f ∗ (199)tamb´m que e a∗ af df = f df a∗ ψf ψdq = f ∗ df a∗ f ∗ dqψf ψ (200)Comparando o primeiro termo com o ultimo, temos ´ ∗ af = dqψf ψ (F ourier) (201)que permite calcular os coeficientes da expans˜o ψ = df af ψf . a Rescrevendo a expans˜o acima como ψ = df ′ a′f ψf e usando-a na Eq.(656), atemos af = dqψf df′ af ′ ψf ′ = df ′ af ′ dqψf ψf ′ ∗ ∗ (202)Mas af = df ′af ′ δ(f − f ′ ) (203)Comparando as duas ultimas, obt´m-se ´ e dqψf ψf ′ = δ(f − f ′ ) ∗ (204)que ´ a rela¸˜o de ortogonalidade para autofun¸˜es do espectro cont´ e ca co ınuo.Conseq¨ entemente, as rela¸˜es b´sicas para o espectro cont´ u co a ınuo s˜o: a ψ = df af ψf (205) ψ ∗ ψdq = df |af |2 (206) ∗ af = dqψf ψ (207) ψf ψf ′ dq = δ(f − f ′ ) ∗ (208) 49
    • 13 O oscilador harmˆnico oUma part´ ıcula de massa m executa movimento unidimensional sob a a¸˜o cade uma for¸a el´stica −kx. Isto ´ um oscilador harmˆnico. Sua energia c a e o 1potencial ´ V (x) = 2 mω 2 x2 , e. portanto, a equa¸˜o de Schr¨dinger para e ca oestados estacion´rio ´ a e h d2 ψ 1 ¯ − + mω 2 x2 ψ = Eψ (209) 2m dx2 2 kNote-se que ω = m . A Eq.(209) pode ser escrita na forma   2 1  h d ¯ + (mωx)2  ψ = Eψ (210) 2m i dxDaqui se vˆ que e   2 ˆ 1  h d ¯ H= + (mωx)2  (211) 2m i dxConsidere os operadores 1 h d ¯ a± = √ ± imωx (212) 2m i dxUm c´lculo simples mostra que a   2 1  h d ¯ 2 1 a− a+ = + (mωx) + hω ¯ (213) 2m i dx 2de maneira que, usando (211), 1 a− a+ − hω ψ = Eψ ¯ (214) 2Um outro c´lculo simples resulta em a [a− , a+ ] = hω ¯ (215)A Eq.(214) d´ a 1 a− a+ − a+ a− + a+ a− − hω ψ = Eψ ¯ 2 1 [a− , a+ ] + a+ a− − hω ψ = Eψ ¯ 2 1 a+ a− + hω ψ = Eψ ¯ (216) 2 50
    • Lema 1: Seja ψ um estado estacion´rio do oscilador harmˆnico de energia a oE. Ent˜o a+ ψ ´ um estado estacion´rio de energia E + hω. a e a ¯Dem.: 1 1 a+ a− + hω (a+ ψ) = a+ a− a+ ψ + hω(a+ ψ) ¯ ¯ 2 2 1 1 = a+ a− a+ ψ + hωψ = a+ (a− a+ − a+ a− + a+ a− ) ψ + hωψ ¯ ¯ 2 2 1 = a+ [a− , a+ ]ψ + a+ a− + hω ψ = a+ [¯ ωψ + Eψ] = (E + hω)(a+ ψ) ¯ h ¯ 2Ou, ˆ H(a+ ψ) = (E + hω)(a+ ψ) ¯ (217)Analogamente se mostra que ˆ H(a− ψ) = (E − hω)(a− ψ) ¯ (218)Lema 2: A energia do oscilador harmˆnico ´ ≥ 0. o eDem.: Esta demonstra¸˜o depende de um Lema, demonstrado mais adi- ca ˆante,15 junto ` Eq.(290). Como H pode ser escrito como a soma de dois aoperadores hermiteanos ao quadrado, 2 2 p ˆ m ˆ H= √x + ωx 2m 2 ˆsegue que H ≥ 0. Como os autovalores de um operador s˜o casos par- aticulares de seus valores m´dios (quando os estados s˜o as autofun¸˜es), a e a codesigualdade acima pro´ a existˆncia de autovalores negativos do hamilto- ıbe eniano. Em decorrˆncia disso, deve haver um estado ψ0 tal que e a− ψ0 = 0 (219)De fato, se n˜o fosse assim, dada qualquer autofun¸˜o do hamiltoniano do a caoscilador harmˆnico, a aplica¸˜o a ela do operador a− geraria uma outra aut- o caofun¸˜o , de energia menor, o processo podendo se repetir indefinidamente, caat´ se chegar a energia s negativas, o que ´ proibido. e e Explicitamente esta ultima equa¸˜o ´ ´ ca e 1 h dψ0 ¯ √ − imωxψ0 = 0 (220) 2m i dx 15 O leitor h´ de perdoar esta pequena viola¸˜o da causalidade... a ca 51
    • dψ0 mω = − xψ0 dx h ¯ dψ0 mω = − xdx ψ0 h ¯ mω ψ0 (x) = K exp − x (221) 2¯ hEsta ´ a fun¸˜o de onda do estado estacion´rio do oscilador harmˆnico. A e ca a oenergia desse estado ´ obtida assim: e ˆ 1 1 Hψ0 (x) = a+ a− + hω ψ0 (x) = hωψ0 (x) ¯ ¯ (222) 2 2Logo, temos hω ¯ E0 = (223) 2 O estado de energia imediatamente mais alta, chamado de primeiro estadoexcitado, tem a fun¸˜o de onda ca 1 h d ¯ mω 2 ψ1 (x) = a+ ψ0 (x) = √ + imωx exp − x (224) 2m i dx 2¯ hou m mω 2 ψ1 (x) = Ki ωx exp − x (225) 2 2¯ he possui energia 1 E1 = (1 + )¯ ω h (226) 2 Mais geralmente, mω 2 ψn (x) = An (a+ )n exp − x (227) 2¯ h 1 En = (n + )¯ ω h (228) 2e, com algum esfor¸o, pode-se mostrar que c 1 mω 4 1 An = (229) π¯ h n!(¯ ω)n h Vamos fazer o esfor¸o mencionado acima. Seja ψ0 (x) a autofun¸˜o normalizada do c caestado fundamental do oscilador harmˆnico. Ent˜o, o a 1 mω 4 mω 2 ψ0 (x) = exp − x (230) π¯ h 2¯ h 52
    • e seja ψn (x) = Kn (a+ )n ψ0 (x) (231)Temos, obviamente, ψn−1 (x) = Kn−1 (a+ )n−1 ψ0 (x) , (232)de onde se deduz que Kn ψn (x) = Kn a+ (a+ )n−1 ψ0 (x) = a+ ψn−1 (x) (233) Kn−1Considere a integral de normaliza¸ao de ψn (x): c˜ 2 2 ∗ Kn Kn dxψn (x)ψn (x) = dx(a+ ψn−1 )∗ (a+ ψn−1 ) = ∗ dxψn−1 a− a+ ψn−1 Kn−1 Kn−1 (234)onde usamos o fato de que o adjunto de a+ ´ a− . Pela equa¸˜o (214), temos e ca 1 h ¯ω a− a+ ψn−1 = hω(n − 1 + )ψn−1 + ¯ ψn−1 = hωψn−1 ¯ (235) 2 2Logo, podemos escrever 2 ∗ Kn ∗ ψn (x)ψn (x)dx = h ¯ ωn dxψn−1 ψn−1 (236) Kn−1Iterando este procedimento, teremos 2 2 Kn Kn−1 ∗ ψn (x)ψn (x)dx = (¯ ω)2 n(n − 1) h ∗ dxψn−2 ψn−2 (237) Kn−1 Kn−2ou 2 Kn ∗ ψn (x)ψn (x)dx = (¯ ω)2 n(n − 1) h ∗ dxψn−2 ψn−2 (238) Kn−2Prosseguindo, chegaremos a 2 ψn (x)ψn (x)dx = |Kn | (¯ ω)n (n!) ∗ h ∗ dxψ0 ψ0 (x) = 1 (239)ou seja, 1 Kn = (240) (¯ ω)n n! hPortanto, 1 mω 4 1 mω 2 ψn (x) = Kn (a+ )n ψ0 (x) = exp − x (241) π¯ h n!(¯ ω)n h 2¯ h Um oscilador harmˆnico que n˜o oscila ´ decepcionante. Se calcularmos o o a evalor m´dio da posi¸˜o, x , nos estados estacion´rios do oscilador harmˆnico, e ca ˆ a oque vimos at´ agora, encontraremos (e o leitor deve obter isso por conta epr´pria!) o x =0 ˆ (242) 53
    • ou seja, nenhuma oscila¸˜o! Estados estacion´rios n˜o s˜o apropriados para ca a a acomparar o sistema quˆntico com o an´logo cl´ssico. Para obter alguma coisa a a asemelhante a um pˆndulo, devemos estudar pacotes de onda. Os particulares epacotes de onda que vamos estudar agora se chamam estados coerentes. Con-sideremos as autofun¸˜es do operador a− , introduzido acima. Como a− n˜o co a ˆcomuta com H, as autofun¸˜es de a− n˜o ser˜o, em geral, autofun¸˜es de H, co a a co ˆou seja, n˜o ser˜o estados estacion´rios. Sejam ent˜o φα fun¸˜es tais que a a a a co a− φα = αφα (243)Como o operador a− n˜o ´ hermiteano, os autovalores α ser˜o n´ meros com- a e a uplexos quaisquer. Lembremos que os estados estacion´rios podem ser escritos em termos do aestado fundamental assim: 1 ψn (x) = (a+ )n ψ0 (x) (244) n!(¯ ω)n hVai ser importante nos c´lculos que faremos a seguir a seguinte quantidade: a 1 1 (ψn , φα ) = ((a+ )n ψ0 , φα ) = (ψ0 , (a− )n φα ) = n!(¯ ω)n h n!(¯ ω)n h αn = (ψ0 , φα ) (245) n!(¯ ω)n h Vamos agora expandir φα (x) em estados estacion´rios. Para simplificar a anota¸˜o, vamos introduzir a abrevia¸˜o ca ca n Kn = (¯ ω)− 2 h 54
    • φα (x) = (ψn , φα )ψn n Kn α n = √ (ψ0 , φα )ψn n n! Kn α n = C √ ψn n n! Kn α n Kn = C √ √ (a+ )n ψ0 n n! n! Kn (αa+ )n 2 = C ψ0 (246) n n! Kn (αa+ )n 2 1 αa+ n φα (x) = C ψ0 = C ψ0 (247) n n! n n! hω ¯A constante C ´ determinada normalizando-se φα (x), como segue: e 1 αa+ n 1 αa+ m 1 = (φα , φα ) = C 2 ψ0 , ψ0 n n! hω ¯ m m! hω ¯ ∗ n m 1 α 1 α = C2 ((a+ )n ψ0 , (a+ )m ψ0 ) n n! hω ¯ m m! hω ¯ 2n 1 |α| = C2 n!(¯ ω)n h n (n!)2 (¯ ω)2n h |α|2n 1 = C2 n n! (¯ ω)n h |α|2 = C 2 exp hω ¯Logo, |α|2 C = exp − 2¯ ω hVoltando ` expans˜o, a a |α|2 αn φα (x) = exp − ψn (248) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n hPara obter a dependˆncia temporal de φα (x) precisamos demonstrar um re- esultado geral: 55
    • ˆTeorema: Seja H o hamiltoniano de um sistema f´ ısico, e sejam ψn (x) suas autofun¸˜es. coSabemos que i ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t h ¯ a ˆonde os En s˜o os autovalores de H, ou seja, satisfazem as equa¸˜es co ˆ Hψn = En ψn .Seja φ(x) um estado qualquer desse sistema, e φ(x) = an ψn (x) n a co ˆsua expans˜o nas autofun¸˜es de H no instante t = 0. Ent˜o, a i φ(x, t) = an ψn (x) exp − En t (249) n h ¯onde os an s˜o os mesmos da expans˜o em t = 0. a a A demonstra¸˜o consiste em mostrar que φ(x, t) satisfaz a equa¸˜o de Schr¨dinger ca ca o ∂φ(x, t) ˆ i¯ h = Hφ(x, t) ∂tcom a condi¸˜o inicial φ(x, t = 0) = φ(x). caDe fato, ∂ i i¯ ∂φ(x, t)∂t = i¯ h h an ψn (x) exp − En t n ∂t h ¯ i ˆ i = an En ψn (x) exp − En t =H an ψn (x) exp − En t n h ¯ n h ¯ ˆ = Hφ(x, t)A verifica¸˜o da condi¸˜o inicial ´ trivial. ca ca eAplicando este teorema ` Eq.(248), temos a |α|2 αn i φα (x, t) = exp − ψn exp − En t (250) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h h ¯ou |α|2 αn i φα (x, t) = exp − ψn exp − hω(n + 1/2)t ¯ 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h h ¯ n |α|2 (αe−iωt ) iω φα (x, t) = exp − ψn exp − t (251) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h 2 56
    • Comparando com a Eq.(248), vˆ-se que: e iωt φα (x, t) = φα(t) e− 2 (252)com α(t) = αe−iωt (253)Podemos agora calcular x no estado φα (x, t). ˆ x = (φα (x, t), xφα (x, t)) = φα(t) , xφα(t) ˆ ˆ ˆ (254)Da defini¸˜o de a+ e a− obt´m-se facilmente que ca e −i x= √ ˆ (a+ − a− ) 2m ωlogo, −i x = φα(t) , xφα(t) = √ ˆ ˆ φα(t) , a+ φα(t) − φα(t) , a− φα(t) (255) 2m ωMas a− φα(t) = α(t)φα(t)e, como a+ ´ o adjunto de a− , e a+ φα(t) = α∗ (t)φα(t)Logo, 1 x =√ ˆ {α∗ (t) − α(t)} (256) 2m ωPondo α = |α| exp iδ, temos α(t) = |α|e−i(ωt−δ)e |α| 2 x =√ ˆ ei(ωt−δ) − e−i(ωt−δ) = |α| sin (ωt − δ) (257) 2m iω mω 2e surgiu finalmente a oscila¸˜o procurada! O valor m´dio da posi¸˜o, nesse ca e caestado, oscila exatamente como no caso cl´ssico. a 57
    • 13.1 Exerc´ ıciosPara uso nos exerc´ıcios subseq¨ entes, apresentamos aqui uma tabela de ufun¸˜es de onda de estados estacion´rios do oscilador harmˆnico. co a o 1/2 2 /2a2 1√ x n En ψn (x) = n!2n a π Hn a e−x 1/2 2 2 1 1 0 2 hω ¯ √ a π e−x /2a 1/2 2 2 3 1 1 2 hω ¯ √ 2a π 2 x e−x /2a a 1/2 2 2 2 5 1 2 2 hω ¯ √ 8a π 2−4 x a e−x /2a 1/2 3 2 2 7 1 3 2 hω ¯ √ 48a π 12 x − 8 x a a e−x /2a 1/2 2 4 2 /2a2 9 1√ 4 2 hω ¯ 384a π 12 − 48 x + 16 x a a e−x h ¯onde a = mω .1.(a) Mostre que o parˆmetro a que aparece na tabela ´ igual ao desloca- a e 1mento m´ximo de um oscilador cl´ssico de energia 2 hω. a a ¯ 2 −x2 /2a2(b) Verifique que a express˜o (1+bx )e a satisfaz a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 5para o movimento harmˆnico simples com energia E = 2 hω. Qual o valor o ¯para b?2. Considere o meio-oscilador harmˆnico, isto ´, uma part´ o e ıcula cuja energiapotencial ´ e V (x) = ∞ , x < 0 1 V (x) = kx2 , x ≥ 0 2(a) Compareas fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios deste sistema com co aas do oscilador harmˆnico normal com os mesmos valores de m e k. o(b) Quais s˜o as energia s permitidas para o meio-oscilador? a(c) Invente um sistema que seria o an´logo macrosc´pico deste sistema quˆntico. a o a3. Regi˜es classicamente proibidas para o oscilador harmˆnico simples. o oUsando a fun¸˜o de onda normalizada para o estado fundamental do oscilador caharmˆnico, calcule a probabilidade de que uma observa¸˜o da posi¸˜o detete o ca caa part´ ıcula numa regi˜o classicamente proibida. A integral que vocˆ obter´ a e an˜o pode ser resolvida analiticamente. Olhe o resultado num´rico numa a e 58
    • tabela da error function, ou nos programas Maple ou Mathematica.4. A tabela exibe as fun¸˜es Hn (x), denominadas polinˆmios de Hermite. co o −t2 +2tx(a)Mostre que e ´ uma fun¸˜o geratriz dos polinˆmios de Hermite, isto e ca o´, quee ∞ n 2 t e−t +2tx = Hn (x) n=0 n!ao menos at´ n = 4. Determine H5 (x). e(b) Tomando a derivada desta express˜o, demonstre as rela¸˜es de recorrˆncia a co e d Hn (x) = 2nHn−1 (x) dx Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x)5. Valendo-se da express˜o das fun¸˜es de onda do oscilador harmˆnico, a co omostre que devemos esperar que ∞ 2 √ dxe−x Hn (x)Hm (x) = π2n n!δmn −∞14 Operadores unit´rios e simetrias aAs quantidades observ´veis (resultados de medidas) aparecem, na mecˆnica a aquˆntica, sob a forma de produtos escalares de estados, a (ψ, φ) = dqψ(q)∗ φ(q)Um caso particular importante ´ um “elemento de matriz” de um operador eˆO: ˆ dqψ ∗ (q)Oφ(q)Como toda teoria, a mecˆnica quˆntica admite transforma¸˜es “de linguagem”: a a copor exemplo, quando eu descrevo o mesmo fenˆmeno usando dois sistemas ode eixos ortogonais, obtenho descri¸˜es distintas do mesmo fenˆmeno. Es- co osas descri¸˜es devem ser equivalentes, j´ que representam a mesma coisa de co apontos-de-vista distintos. E´ como se eu descrevesse o mesmo fenˆmeno em oinglˆs e em alem˜o: as descri¸˜es s˜o diferentes, mas tˆm o mesmo conte´ do. e a co a e u Como as quantidades f´ ısicas s˜o representadas pelos produtos escalares ade estados, ´ importante o estudo dos operadores que conservam os produtos e ˆescalares, ou seja, dos operadores U que s˜o tais que a ˆ ˆ (Uψ, U φ) = (ψ, φ) (258) 59
    • ou, mais explicitamente, dqψ(q)∗ φ(q) = ˆ ˆ dq(Uψ(q))∗ U φ(q) (259) Um operador linear ´ unit´rio, por defini¸˜o, se e a ca ˆˆ ˆ ˆ U U + = U +U = 1 (260) ˆSeja U um operador unit´rio e considere as transforma¸˜es de fun¸˜es de a co coonda: ˆ ψ ′ (q) = Uψ(q) ′ ˆ φ (q) = Uφ(q)Ent˜o, a ∗ dqψ ′∗ φ′ = ˆ dq U ψ ˆ Uφ = ˆ ˆ dqψ ∗ U + U φ = dqψ ∗ φo que mostra que uma transforma¸˜o implementada por um operador unit´rio ca aconserva os produtos escalares. Mais detalhadamente, considere o produtoescalar ˆ ˆ ψ, Oφ = dqψ ∗ (q)Oφ(q)Sejam ˆ ψ ′ (q) = U ψ(q) ′ ˆ Oφ(q) ˆ ˆ = U Oφ(q)Podemos escrever ′ ˆ Oφ(q) ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ = U Oφ(q) = U OU + Uφ(q) = U OU † φ′ (q)Logo, ∗ ˆ ψ ′ , (Oφ)′ = ˆ dq U ψ(q) ˆ ˆˆ ˆ U OU + U φ(q) = ˆ ˆ dqψ ∗ Oφ = ψ, OφPodemos interpretar este resultado assim: considere as transforma¸˜es co ˆ ψ → ψ ′ = Uψ ˆ φ → ψ ′ = Uψ ˆ ˆ ˆ ˆˆ O → O′ = U OU + 60
    • Ent˜o, temos: a ˆ dqψ ′∗ (q)O ′φ′ (q) = ˆ dqψ ∗ (q)Oφ(q) ˆ ˆ ˆˆ e ca ˆ ca ˆonde O ′ ≡ U OU + ´ a transforma¸˜o de O pela a¸˜o do operador linear U . ˆe ˆDiz-se que um operador O ´ invariante por uma transforma¸˜o unit´ria U se ca a ˆ ˆˆ ˆ U OU + = Oou, equivalentemente, se ˆˆ ˆˆ OU = U O (261)14.1 Exemplos de operadores unit´rios aO leitor verificar´ sem dificuldade que o operador ˆ definido por a 1, ˆ =ψ 1ψ´ unit´rio. Para dar exemplos mais ricos, precisaremos definir a exponenciale ade um operador. ˆ Define-se eO assim: ˆ 1 ˆˆ 1 ˆˆˆ 1 ˆ eO = ˆ + O + OO + OO O + ... (262) 2! 3! ˆ ˆˆonde, naturalmente, se pode escrever O 2 em vez de OO, etc. A id´ia ´ e eusar a expans˜o da fun¸˜o exponencial num´rica como modelo da expans˜o a ca e ado operador. Usando-se esta defini¸˜o, pode-se demonstrar a importante carela¸˜o de Baker-Hausdorff-Campbell: ca ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ eA Be−A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + ... (263) 2! 3! ca e ˆUma aplica¸˜o imediata ´ esta: para B = 1, temos ˆ ˆ eA e−A = 1 ˆ 1] ˆ ˆpois [A, ˆ = 0. Logo, e−A ´ o operador inverso de eA . e ˆ ˆ ˆ Considere um operador da forma eiO , com O = O + , ou seja, hermiteano.Temos ent˜o, a ˆ + ˆ+ ˆ eiO = e−iO = e−iOLogo, ˆ ˆ + eiO eiO =1 61
    • ˆ ˆou seja, eiO ´ unit´rio se O for hermiteano. e aExemplo: os seguintes operadores s˜o unit´rios: a a i U(ǫ) = e h ǫpˆx ¯ i ˆ U(∆t) = e− h H∆t ¯ Chama-se operadores unit´rios infinitesimais operadores da forma a ˆ ˆ U = 1 + iǫO ˆ ˆcom O = O + . Note-se que um operador desse tipo ´ o truncamento da s´rie e e ˆ iǫOque define o operador unit´rio e a que mant´m apenas os dois primeiros etermos. Ou seja, um operador unit´rio infinitesimal satisfaz a condi¸˜o a cade unitaridade desde que se desprezem termos que contenham potˆncias e ˆquadr´ticas de ǫ ou maiores. Explicitamente, temos, se U = 1 + iǫO, a ˆˆ + ˆU = 1 − iǫO, e ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ U U + = (1 + iǫO)(1 − iǫO) = 1 + iǫO − iǫO + ǫ2 (...) ≈ 1 ˆSeja B um operador invariante por uma transforma¸˜o implementada pelo ca i ˆoperador unit´rio infinitesimal 1 + ¯ ǫO. Ent˜o a h a ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ B = 1 + O B 1 − O = B + OB − B O = B + [O, B] h ¯ h ¯ h ¯ h ¯ h ¯ ˆ ˆLogo, devemos ter [O, B] = 0. Sumarizando: iǫ ˆ ˆ ca a ˆ ¯ a ˆ ˆ Seja B invariante pela transforma¸˜o unit´ria U = e h O . Ent˜o, [B, O] =0. ˆ Define-se simetria de um sistema com hamiltoniano H uma transforma¸˜o ca iǫ ˆ a ˆunit´ria que deixa o hamiltoniano invariante. Seja U = e h O uma simetria. ¯ ˆ ˆ ˆ ˙Ent˜o, por defini¸˜o, [H, O] = 0. Ora, isto significa que o operador O = 0, ou, a caem outras palavras,que a quantidade f´ ısica associada ao operador hermiteano ˆ ´ conservada. Desta forma associamos simetrias a leis de conserva¸˜o : aOe cacada simetria corresponde uma quantidade conservada. Este resultado, naf´ ısica cl´ssica, ´ conhecido como o teorema de Noether. a e14.2 Exerc´ ıcios d21.(a)Construa o adjunto do operador dx2 − a exp (ix) onde a ´ um n´ mero e ureal.(b) Mostre que [p, f (r)] = ¯ ∇f (r). h i 62
    • ˆ ˆ ˆ a2. Os trˆs operadores A, B e C s˜o dados por e ˆ Aψ(x) = x3 ψ(x) ˆ dψ Bψ(x) = x dx x ˆ Cψ(x) = uψ(u)du −∞ ˆ ˆ ˆ ˆ(i)Calcule [A, B] e [B, C].(ii)Resolva o problema de autovalores ˆ Cψ(x) = λψ(x)exigindo que ψ(x) seja normaliz´vel. Que restri¸˜o isto imp˜e sobre λ? a ca o3. Determine o operador unit´rio que efetua, sobre a fun¸ao de onda de a c˜um sistema, uma transla¸˜o espacial ψ(r) → ψ(r + ǫ), onde ǫ ´ um “vetor ca einfinitesimal”. Usando o fato de que uma sucess˜o de transla¸˜es independe a coda ordem em que s˜o realizadas, demonstre que os operadores de momento aˆ ˆpx , py e pz comutam. Aproveite para mostrar que esses operadores s˜o her- ˆ amiteanos, sem calcular qualquer integral.15 Rota¸˜es e o momento angular coUma part´ ıcula de massa m est´ em um estado de fun¸˜o de onda ψ(r). a caVamos executar uma rota¸˜o infinitesimal δω sobre o sistema.16 Em sua canova posi¸˜o, a fun¸˜o de onda ser´ ca ca a ψ(r + δr) = ψ(r) + (δω × r).∇ψ(r) ,desprezando-se os termos a partir dos quadr´ticos em |δω|. Como a (δω × r).∇ = δω.(r × ∇)podemos escrever ψ(r + δr) = ψ(r) + δω.(r × ∇).ψ(r) = 1 + δω.(r × ∇) ψ(r) i = 1 + δω.(r × (−i¯ )∇) ψ(r) h (264) h ¯ 16 Eq¨ ivalentemente, uma rota¸˜o −δω sobre o sistema de eixos em rela¸˜o ao qual o u ca casistema ´ referido. e 63
    • i ψ(r + δr) = 1 + δω.(ˆ × ˆ ψ(r) r p) (265) h ¯ ˆDenotando o operadorˆ × ˆ por L, temos r p i ˆ ψ(r + δr) = 1 + δω.L ψ(r) (266) h ¯ ˆO operador L ´ denominado momento angular, e ´ escrito, mais detalhada- e emente, como ˆ ˆ ˆ ˆ L = Lx i + Ly j + Lz kDa Eq.(264) se tira a express˜o a ˆ L = −i¯ ˆ × ∇ hr (267)ou, para as componentes, ˆ ∂ ∂ Lx = −i¯ y h −z (268) ∂z ∂y ˆ ∂ ∂ Ly = −i¯ z h −x (269) ∂x ∂z ˆ ∂ ∂ Lz = −i¯ x h −y (270) ∂y ∂x ˆComo L ´ hermiteano (por que?), e ˆ i ˆ U (δω) = 1 + δω.L h ¯´ unit´rio, e ´ a parte infinitesimal dee a e i ˆ ˆ U = e h δω.L ¯que, atuando sobre a fun¸˜o de onda de um sistema, produz a fun¸˜o de ca caonda do mesmo, rodado de δω.Exemplo:(1) Rota¸˜o em torno do eixo z: usando coordenadas esf´ricas, uma rota¸˜o em torno do ca e caeixo z muda o valor da coordenada φ. A rota¸˜o que leva φ em φ + ∆φ ´ caracterizada ca epor δω = δωz k, com δωz = ∆φ. Logo, i ˆ i ˆ U (δω) = 1 + δωz k.L = 1 + ∆φLz h ¯ h ¯ 64
    • Seja ψ(φ) a fun¸˜o de onda do sistema (explicitamos apenas o argumento que ser´ alterado. ca aA fun¸˜o de onda normalmente depender´ de r, θ e φ, quando o sistema ´ descrito em ca a etermos de coordenadas esf´ricas). A rota¸˜o considerada leva ψ(φ) → ψ(φ + ∆φ). Mas e ca ∂ ∂ ψ(φ + ∆φ) = ψ(φ) + ∆φ ψ(φ) = 1 + ∆φ ψ(φ) ∂φ ∂φpara transforma¸˜es infinitesimais, e usando a f´rmula dos acr´scimos finitos do C´lculo. co o e aOutra maneira de escrever isto ´ e i ˆ ψ(φ + ∆φ) = 1+ ∆φLz ψ(φ) h ¯Comparando as duas express˜es, tira-se facilmente que o ˆ ∂ Lz = −i¯ h (271) ∂φ A express˜o expl´ a ˆ ˆ ˆ ıcita dos operadores Lx , Ly e Lz em coordenadas esf´ricas epode tamb´m ser obtida diretamente da Eq.(270) utilizando as f´rmulas de e otransforma¸˜o ca r = x2 + y 2 + z 2 √ 2 x + y2 θ = arctan z y φ = arctan . xTrata-se de um c´lculo simples mas trabalhoso. Vamos seguir um caminho aindireto mas mais iluminante. Primeiro, ´ conveniente medir o momento e ˆangular em unidades de h, isto ´, introduzir o operador l tal que ¯ e ˆ ˆ L = hl ¯onde , de novo, ˆ ˆ l = lx i + ˆy j + ˆz k l l ˆAs express˜es para as componentes de l s˜o, como segue de (270), o a ˆx = −i y ∂ − z ∂ l (272) ∂z ∂y ˆy = −i z ∂ − x ∂ l (273) ∂x ∂z ˆz = −i x ∂ − y ∂ l (274) ∂y ∂x 65
    • Por um c´lculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac17 obtˆm-se: a e [ˆa , ˆb ] = iǫabc ˆc l l l (275) ˆComo as componentes l n˜o comutam entre si, n˜o h´ autofun¸˜es comuns a a a codessas componentes. Introduzindo o momento angular total ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lzobservamos que ˆ2 [l , ˆx ] = [ˆx , ˆx ] + [ˆy , ˆx ] + [ˆz , ˆx ] l l2 l l2 l l2 lComo [ˆx , ˆx ] = 0 l2 l (276) [ˆ2 , ˆx ] = −iˆy ˆz − iˆz ˆy l l y l l l l (277) [ˆz , ˆx ] = iˆz ˆy + iˆy ˆz l2 l l l l l (278)segue que ˆ2 [l , ˆx ] = 0 lA dire¸˜o x n˜o tendo nenhum privil´gio, segue que: ca a e ˆ2 ˆ2 [l , ˆy ] = [l , ˆz ] = 0 , l l ˆ2Sendo assim, podemos construir autofun¸˜es comuns a l e uma das compo- co ˆnentes de l. Por causa da express˜o simples de ˆz em coordenadas esf´ricas, a l e ˆ2 ˆescolhemos o par l ,lz . 17 A regra de Dirac diz: sejam A(pi , qi ) e B(pi , qi ) duas quantidades f´ ısicas da mecˆnica acl´ssica, e seja {A, B} o produto de Poisson (parˆnteses de Poisson) delas. Ent˜o, se A e B a e a ˆ ˆs˜o os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecˆnica quˆntica, a a atemos a igualdade simb´lica: o ˆ ˆ [A, B] = −i¯ {A, B} hOu seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidadescl´ssicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por −i¯ . Exemplo: a h ˆ ˆ ˆ{La , Lb } = −ǫabc Lc . Logo, [La , Lb ] = i¯ ǫabc Lc . h 66
    • 16 Autofun¸˜es do momento angular coPor raz˜es t´cnicas ´ conveniente introduzir os operadores n˜o-hermiteanos o e e a ˆ+ = lx + iˆy l l (279) ˆ− = ˆx − iˆy l l l (280)Seus principais comutadores s˜o: a ˆ2 [l , ˆ± ] = 0 l (281) [ˆz , ˆ+ ] = ˆ+ l l l (282) [ˆz , ˆ− ] = −ˆ− l l l (283)todas f´ceis de obter. Note-se ainda que a 2 ˆ+ ˆ− = ˆ − l2 + ˆz l l l ˆ l (284) z 2 ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz l l l lz l (285)16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento an- co gularAs autofun¸˜es de ˆz s˜o fun¸˜es ψ(φ) tais que co l a co ˆz ψ(φ) = lz ψ(φ) l (286)onde lz ´ um n´ mero. Omitimos aqui, por simplicidade, as outras vari´veis, e u ar e θ, de que a fun¸˜o ψ em geral depende porque s˜o irrelevantes para este ca aproblema. Como ˆz = −i ∂ l ∂φtemos, para a Eq.(286), ∂ψ −i = lz ψ (287) ∂φcuja solu¸˜o ´ ca e ψ(φ) = Keilz φ .Devemos ainda ter ψ(φ + 2nπ) = ψ(φ) 67
    • o que exige que eilz 2nπ = 1ou seja, que lz seja um n´ mero inteiro. Vamos denot´-lo por m. Ent˜o, u a a ˆz eimφ = meimφ l (288)que ´ satisfeita para qualquer m inteiro, −∞ < m < ∞. Normalizando, etemos 1 ψm (φ) = √ exp (imφ) (289) 2π16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular to- co a tal e da componente zSeja ψ(φ) a autofun¸˜o de ˆz de autovalor m. Calculemos ca l ˆz ˆ+ ψm l l = (ˆz ˆ+ − ˆ+ ˆz + ˆ+ ˆz )ψm l l l l l l = [ˆz , ˆ+ ]ψm + l+ ˆz ψm l l ˆl = ˆ+ ψm + mˆ+ ψm l l = (m + 1)(l ˆ+ ψm )Logo, se ˆz ψm = mψm , ent˜o l a ˆ+ ψm = Kψm+1 lAnalogamente se mostra que ˆ− ψm = K ′ ψm−1 lAssim, usando os operadores ˆ+ e ˆ− , pode-se varrer todo o espectro do op- l l ˆz .erador l Considere o operador ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l − lz = lx + ly . ˆ eLema:Se O ´ hermiteano, ˆ O2 ≥ 0 (290)para qualquer estado.Demonstra¸˜o: ca ∗ ˆ dqψ ∗ (q)O 2ψ(q) = ˆ dq Oψ(q) ˆ Oψ(q) = ˆ dq|Oψ(q)|2 ≥ 0 68
    • Em particular, segue que ˆx + ˆy ≥ 0, logo, l2 l2 ˆ2 ˆ2 l − lz ≥ 0 (291) ˆ2A constru¸˜o das autofun¸˜es de l ´ facilitada pelo fato de que a express˜o ca co e a ˆ2de l ´ um operador diferencial familiar ` f´ e a ısica cl´ssica. De fato, um c´lculo a adireto leva a ˆ± = exp (±iφ) ± ∂ + i cot θ ∂ l (292) ∂θ ∂φe, como ˆ2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆ2 − ˆz l lzobt´m-se e ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂ l =− 2 2 + (sin θ ) (293) sin θ ∂φ sin θ ∂θ ∂θAcontece que o laplaceano em coordenadas esf´ricas ´ e e 1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂ ∇2 = r2 + 2 + (sin θ ) (294) r2 ∂r ∂r sin θ ∂φ 2 sin θ ∂θ ∂θou seja, ˆ2 1 ∂ ∂ l ∇2 = 2 r2 − 2 (295) r ∂r ∂r rOs f´ ısicos do s´culo XIX resolveram o problema de determinar as autofun¸˜es e co ˆ2 18de l : essas fun¸˜es s˜o os harmˆnicos esf´ricos, Ylm (θ, φ), que satisfazem co a o eas equa¸˜es de autovalores co ˆ2 l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ) (296) ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ) l (297)Os harmˆnicos esf´ricos s˜o muito bem conhecidos. Para um estudo de- o e ales no contexto cl´ssico as minhas referˆncias preferidas s˜o Courant [6] e a e aSommerfeld [9]. Nessas notas, usando t´cnicas que introduziremos a seguir, econstruiremos explicitamente os Ylm . Para o momento ´ suficiente informar eque Ylm (θ, φ) = K P l m (θ) exp (imφ) 18 Naturalmente eles n˜o sabiam mecˆnica quˆntica, mas estudavam vibra¸˜es de corpos a a a coel´sticos.Um dos problemas dessa ´rea, por exemplo, ´ a determina¸˜o das frequˆncias que a a e ca eum tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores: as freq¨ˆncias emitidas s˜o as autofreq¨ˆncias. ue a ue 69
    • ou seja, ´ o produto de uma fun¸˜o de θ por uma autofun¸˜o de ˆz . e ca ca l ca co ˆz s˜o as fun¸˜es exp (imφ) Uma observa¸˜o importante: as autofun¸˜es de l a co ˆ2para qualquer inteiro m. Quando construirmos as autofun¸˜es comuns a l coe ˆz , veremos que m sofrer´ mais restri¸˜es. De fato, como temos l a co ˆ2 ˆ2 l − lz ≥ 0segue que ˆ2 dqYlm (q) l − ˆz Ylm (q) = l(l + 1) − m2 ∗ l2 dqYlm (q)Ylm(q) = l(l + 1) − m2 ≥ 0 ∗ (298)Portanto, dado l, m n˜o pode ser qualquer inteiro. O maior valor permitido a´ tal quee l(l + 1) ≥ m2Vˆ-se imediatamente que m = l ´ permitido, mas m = l + 1 ´ proibido. Logo, e e eo m´ximo valor permitido de m para as autofun¸˜es Ylm (q) ´ m = l. Um a co eargumento an’alogo mostra que o menor ´ m = −l. Resumindo, e −l ≤ m ≤ lNeste intervalo, ˆ2 l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm (θ, φ) (299) ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ) l (300)Assim, para cada l h´ 2l + 1 valores distintos de m. a16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos ca o eChamaremos de operadores vetoriais operadores do tipo ˆ ˆ ˆ ˆ T = Tx i + Ty j + Tz ke que satisfazem as seguintes rela¸˜es de comuta¸˜o com as componentes do co camomento angular: [ˆa , Tb ] = iǫabc Tc l ˆ ˆ (301)onde a costumeira conven¸˜o indica uma soma sobre os valores do ´ ca ındice c, ˆ (1) e T (2) dois operadores desse tipo,e, sendo T ˆ (1) (2) [ˆi , Tj Tj ] = 0 l ˆ ˆ (302) 70
    • ˆ ˆ ˆ aExemplos: r , p e L s˜o, todos, operadores vetoriais. Das rela¸˜es acima segue, em particular, que, para qualquer operador co ˆvetorial T , [ˆi , Tj Tj ] = 0 l ˆ ˆ (303) ˆ Seja T um operador vetorial. Ser´ util introduzir um “operador escada”, a´da seguinte forma: ˆ ˆ ˆ T + = Tx + iTy (304)Facilmente se verifica que [ˆz , T+ ] = T+ l ˆ ˆ (305)bem como [ˆx , T+ ] = −Tz l ˆ ˆ (306) [ˆy , T+ ] = −iTz l ˆ ˆ (307) ˆ2 ˆVamos agora calcular o comutador [l , T+ ]. Lembrando que ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lze usando as rela¸˜es acima, temos, ap´s um pouco de paciˆncia, co o e ˆ2 ˆ [l , T+ ] = 2[T+ ˆz − Tz ˆ+ ] + 2T+ ˆ l ˆl ˆ (308) ˆ2Sejam Ylm as autofun¸˜es de l e, em particular, seja Yll aquela com m´ximo co avalor de m, para um dado l. Vamos mostrar que ˆ T+ Yll = KYl+1,l+1 (309)onde K ´ uma constante. e De fato, ˆ2 l Yll = l(l + 1)Yll (310) 2 ˆ ˆ ˆ T+ (l Yll ) = l(l + 1)T+ Yll (311) 2 ˆ ˆOra, o operador T+ l pode ser escrito assim: 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ2 ˆ T+ l = T+ l − l T+ + l T+ = [T+ , l ] + l T+ (312)Logo,a Eq.(311) pode ser escrita 2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ [T+ , l ]Yll + l (T+ Yll ) = l(l + 1)Yll (313) 71
    • Usando a Eq.(308), ˆ2 ˆ 2Tz l+ Yll − 2T+ˆz Yll − 2T+ Yll + L (T+ Yll ) = l(l + 1)(T+ Yll ) ˆˆ ˆ l ˆ ˆ (314)Como ˆ+ Yll = 0, obtemos sem dificuldade que l ˆ2 ˆ ˆ l (T+ Yll ) = (l(l + 1) + 2l + 2) (T+ Yll ) (315)ou, finalmente, ˆ2 ˆ ˆ l (T+ Yll ) = (l + 1)(l + 2)(T+ Yll (316) 2 ˆ ˆque significa que T+ Yll ´ autofun¸ao de l de autovalor (l + 1)(l + 2). Logo, e c˜ ˆ T+ Yll = KYl+1,l+1 (317)Este resultado mostra que, se determinarmos Y00 , seremos capazes de construir Yll paraqualquer l, sem ter de resolver equa¸˜es diferenciais. co Para determinar Y00 (θ, φ) note-se que ˆz Y00 (θ, φ) = 0 l (318)e ˆ− Y00 = 0 l ˆ l+ Y00 = 0Da´ segue facilmente que ı ˆx Y00 = 0 l (319) ˆy Y00 = 0 l (320)Dessas duas e da Eq.(318), segue que i 1 + ǫ¯ ˆj Y00 = Y00 hl (321) h ¯para j = 1, 2, 3. Isto quer dizer que Y00 ´ invariante por rota¸˜es infinitesi- e comais em torno dos eixos x, y, z, ou seja, ´ invariante por qualquer rota¸˜o e cainfinitesimal. Logo, ´ esfericamente sim´trica, n˜o podendo depender de θ e e aou φ. Mas essas s˜o as suas unicas vari´veis. Portanto, Y00 ´ constante. A a ´ a emenos de normaliza¸˜o , podemos ent˜o tomar ca a Y00 = 1Considere o operador vetorial ˆ e vamos construir o operador T+ associado r, ˆa ele, que seria o operador ˆ+ = x + iˆ r ˆ y 72
    • Como os operadores x e y s˜o multiplicativos, vamos cometer um ligeiro ˆ ˆ aabuso de nota¸˜o, omitindo a “casinha”(acento circunflexo, vers˜o chinesa). ca aAssim, escreveremos, sem a menor cerimˆnia, o r+ = x + iydeixando claro que se trata de operadores. J´ que estamos com a m˜o na a a r ˆ+ associadomassa, vamos estudar, em lugar de r, o operador r . O operador Ta ele ´ e ˆ x + iy T+ = (322) rTemos, ent˜o, a x + iy x + iy x + iy .Y00 = .1 = = KY11 (θ, φ) (323) r r rou seja, x + iy Y11 (θ, φ) = cte. × = cte. × (sin θ cos φ + i sin θ sin φ) (324) rou ainda, Y11 (θ, φ) = cte. × sin θ exp (iφ) (325)De uma maneira geral, teremos: l x + iy Yll (θ, φ) = K (326) rPara obter Ylm ˆ basta fazer uso do operador l− . x + iy l l−m Ylm (θ, φ) = K ˆ− l (327) rA determina¸˜o de K ´ feita pela normaliza¸˜o dos Ylm , ca e ca 2π π dφ sin θdθ|Ylm(θ, φ) = 1 (328) 0 0Toma-se usualmente K real, o que fornece a seguinte tabela de harmˆnicos oesf´ricos: e 1 Y00 (θ, φ) = √ 4π 1 3 2 Y1,±1 = ∓ sin θe±iφ 8π 1 3 2 Y1,0 = cos θ (329) 4πe assim por diante. 73
    • 16.3 Exerc´ ıcios1. Prove que [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B i2. Prove que, se [H, li ] = 0 ent˜o [H, exp ¯ θ¯ li ] = 0, com li i = 1, 2, 3 sendo a h has componentes do operador de momento angular. De fato, o resultado valepara qualquer operador que comute com o hamiltoniano H, e, portanto, parao pr´prio H. Enuncie e comente este ultimo caso. Mais precisamente, mostre o ´que ´ sempre verdade que [H, e ˆ exp − i Ht] = 0. ˆ h ¯3. Mostre que o operador ˆ + ¯ ∆θ¯ ˆi “roda” o sistema de um ˆngulo in- 1 h hli afinitesimal ∆θ em torno do eixo i. A generaliza¸˜o para ˆngulos θ arbitr´rios ca a a´ exp ¯ θ¯ ˆi . Seja U(θ) = exp ¯ θ¯ ˆi . Vimos no exerc´e h i hl i h hl ıcio anterior que, se[H, li ] = 0, ent˜o [H, U(θ)] = 0. Seja ψ tal que Hψ = Eψ,e considere aψ ′ = U(θ)ψ. Mostre que Hψ ′ = Eψ ′ , com o mesmo E anterior. Chegue auma conclus˜o an´loga usando o ultimo resultado do exerc´ 2. a a ´ ıcio4. Mostre que se a energia potencial de um sistema ´ V (r), independente de eθ e φ, ent˜o [H, li ] = 0, para i = 1, 2, 3. a5. Mostramos no curso que 1 m|lx | m − 1 = m − 1|lx |m = (l + m)(l − m + 1) 2 i m|ly |m − 1 = − m − 1|ly |m = − (l + m)(l − m + 1) 2que, trocado em mi´ dos, quer dizer que u 2π π ∗ 1 dφ dθ sin θYlm lx Yl,m−1(θ, φ) = (l + m)(l − m + 1) 0 0 2(a) Escreva os demais elementos de matriz dessa forma.(b)Considere o harmˆnico esf´rico Ylm (θ, φ = π/2). Temos o e i exp ∆θ¯ lx Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ + ∆θ, π/2) h h ¯ iPor outro lado, exp h ¯ ∆θ¯ lx h = 1 + iδθlx e, usando os elementos de matrizacima, ∆θ(1 + i∆θlx )Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1 (θ, π/2) 2 ∆θ + i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2) 2Logo, ∆θYlm (θ + ∆θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1(θ, π/2) 2 ∆θ + i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2) 2 74
    • Verifique cuidadosamente o argumento acima (o professor j´ est´ meio velho...) a ae depois teste-o no caso particular l=1. Neste caso os harmˆnicos esf´ricos o es˜o: a 1/2 3 Y1,0 = cos θ 4π 1/2 3 Y1,±1 = ∓ sin θe±iφ 8π17 Potenciais com simetria centralChamam-se assim os potenciais que, expressos em coordenadas esf´ricas, s˜o e afun¸˜es apenas da vari´vel radial r. O caso mais importante, naturalmente, co a´ o do ´tomo de Hidrogˆnio. Vamos tratar primeiramente o caso geral.e a e h2 2 ¯ − ∇ ψ(r, θ, φ) + V (r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) (330) 2m´ a equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios de uma part´e ca o a ıcula demassa m cuja energia potencial depende apenas da distˆncia ` origem. Uti- a alizando coordenadas esf´ricas, temos e ˆ2 1 ∂ ∂ l ∇2 = 2 r2 − 2 (331) r ∂r ∂r ronde ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂ l =− 2 + (sin θ ) (332) sin θ ∂φ2 sin θ ∂θ ∂θ´ o operador de momento angular total (veja Eq.(294) e anteriores).e Vamos procurar solu¸˜es da Eq.(331) que sejam da forma co ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) ˆ2Como l Ylm = l(l + 1)Ylm, tem-se h2 1 ¯ d dR R(r) − Y (θ, φ) 2 lm r2 − 2 l(l + 1)Ylm (θ, φ) + 2m r dr dr r +V (r)R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ) (333)Cancelando Ylm , h2 1 d ¯ dR h2 l(l + 1) ¯ − 2 dr r2 + R(r) + V (r)R(r) = ER(r) (334) 2m r dr 2mr 2 75
    • Introduzimos agora a fun¸˜o ca u(r) = rR(r)satisfazendo u(0) = 0. Reescrevendo a Eq.(334) em termos de u(r), obt´m-se e h2 d2 u ¯ h2 l(l + 1) ¯ − 2 + + V (r) u(r) = Eu(r) (335) 2m dr 2mr 2Esta ´ a chamada equa¸˜o radial de Schr¨dinger, e cont´m toda a dinˆmica. e ca o e aLembrando a condi¸˜o u(0) = 0, decorrˆncia de que u(r) = rR(r) com ca eR(r) regular na origem (os casos interessantes fisicamente n˜o s˜o aqueles a aem que a part´ ıcula tem probabilidade zero de estar em qualquer lugar quen˜o a origem!), podemos interpretar a equa¸˜o acima como uma equa¸˜o de a ca caSchr¨dinger de um movimento unidimensional sujeito aos seguintes “poten- ociais”:(a) Uma parede impenetr´vel em r = 0, que impede a passagem da apart´ıcula para valores negativos de r. (b) Um potencial do tipo r12 repulsivo,chamado de potencial centr´ ıfugo. (c) O verdadeiro potencial, V (r).O potencial centr´ ıfugo vem do fato de que a elimina¸˜o das vari´veis θ e φ, ´ ca a eformalmente eq¨ ivalente a colocar-se em um sistema de referˆncia que “gira” u ecom o sistema f´ ısico, ou seja, em um sistema n˜o-inercial. Surgem, ent˜o, as a achamadas for¸as de in´rcia, das quais a for¸a centr´ c e c ıfuga ´ a mais popular.19 e18 O ´tomo de Hidrogˆnio a eO n´ cleo do ´tomo de hidrogˆnio ´ cerca de 2000 vezes mais pesado do que u a e eum el´tron. Por isso se pode ignorar o movimento do n´ cleo e descrever e uo ´tomo simplesmente como um el´tron movendo-se com energia potencial a e 2V (r) = − Ze . A Eq.(335) ´ ent˜o escrita r e a h 2 d2 u ¯ h2 l(l + 1) Ze2 ¯ − 2 + − u(r) = Eu(r) (336) 2m dr 2mr 2 r Note-se que esta equa¸˜o descreve mais do que o ´tomo de hidrogˆnio: a ca a eintera¸˜o de um el´tron com um campo coulombiano possui tamb´m casos ca e eem que o el´tron n˜o permanece nas proximidades do n´ cleo, mas afasta-se e a uindefinidamente dele: trata-se do espalhamento de um el´tron por um campo ecoulombiano. Aqui vamos estudar apenas os estados ligados do el´tron: aque- eles em que ele est´ preso ao n´ cleo, formando um ´tomo. O que caracteriza a u a 19 O leitor dedicado gostar´ de investigar por que n˜o aparece tamb´m um potencial a a ecorrespondente `s for¸as de Coriolis. a c 76
    • esses estados, na Eq.(336), ´ que eles possuem energia negativa. Portanto, eestudaremos as solu¸˜es do problema de autovalores dado pela Eq.(336), com coE < 0, e, portanto, E = −|E|. ´ E conveniente introduzir vari´veis adimensionais. Substituiremos r por a 8m|E| ρ= r (337) h ¯e a energia , ou, antes, o seu inverso, por m Ze2 λ= (338) 2|E| h ¯Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que, efetivamente, ρ e λ s˜o quanti- adades adimensionais. Verifica-se facilmente que d2 u 8m|E| d2 u = dr 2 h2 dρ2 ¯e que a Eq.(336) pode ser reescrita como d2 u l(l + 1) Ze2 m 1 − + u− u=− u (339) dρ2 ρ2 h ¯ 2|E| 4ou, finalmente, d2 u l(l + 1) λ 1 2 − 2 u+ − u=0 (340) dρ ρ ρ 4Resolver este problema de autovalores consiste em determinar os pares (u, λ)submetidos ` condi¸˜o de que a ca lim u(r) = 0 r→∞que corresponde ao fato de que o ´tomo tem dimens˜es finitas. a o Para resolver este problema utilizaremos uma t´cnica devida a Sommer- efeld. Em primeiro lugar, estudaremos que tipos de comportamento assint´tico, opara ρ grande, as solu¸˜es de Eq.(340) podem ter. Note-se que a equa¸˜o co ca d2 u 1 − u=0 (341) dρ2 4coincide com a Eq.(340) para grandes valores de ρ. Podemos, portanto, afir-mar que as solu¸˜es de Eq.(341) devem coincidir com o limite, para grandes coρ, das solu¸˜es da Eq.(340). co 77
    • 18.1 Determinando o comportamento assint´tico oConsidere a equa¸˜o ca d2 u 1 − u=0 (342) dρ2 4 due vamos multiplicar cada um de seus termos por dρ , obtendo du d2 u 1 du 2 = u dρ dρ 4 dρO leitor verificar´ facilmente que esta equa¸˜o ´ a mesma que a ca e 2 d du 1 d 2 = u (343) dρ dρ 4 dρou   2 d  du u2  − =0 (344) dρ  dρ 4Portanto, 2 du u2 − =K dρ 4onde K ´ uma constante. Mas tanto u quanto as suas derivadas tendem ea zero no infinito. Logo, a constante K deve ser nula, pois, calculada noinfinito ´ nula, e tem o mesmo valor em todos os pontos. Conseq¨ entemente, e u 2 du u2 = (345) dρ 4e du u =± (346) dρ 2As solu¸˜es dessas equa¸˜es s˜o co co a ρ u(ρ) = exp ± (347) 2das quais a que satisfaz os requisitos f´ ısicos de se anular no infinito ´ e ρ u(ρ) = exp − (348) 2Este ´, ent˜o, o comportamento assint´tico que as solu¸˜es da Eq.(340) de- e a o covem ter. 78
    • 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial co caVamos ent˜o procurar solu¸˜es da Eq.(340) da forma a co ρ u(ρ) = F (ρ) exp − , (349) 2F (ρ) sendo um polinˆmio em ρ. A raz˜o de ser um polinˆmio ´ que o com- o a o eportamento assint´tico de (349) deve ainda ser dado pelo termo exponencial, oo que ´ garantido se F (ρ) for um polinˆmio. Uma an´lise mais fina mostraria e o aque, se se admitisse que F (ρ) fosse uma s´rie infinita, sua soma seria essen- ecialmente uma exponencial em ρ, alterando o comportamento assint´tico.20 o Seja F (ρ) uma express˜o da forma a ∞ F (ρ) = Ak ρk , (350) k=1onde a potˆncia mais baixa ´ a primeira para assegurar que e e F (0) = 0 .Derivando termo a termo, temos ∞ dF = kAk ρk−1 dρ k=1 2 ∞ dF = k(k − 1)Ak ρk−2 dρ2 k=1Inserindo estas express˜es na Eq.(350), temos o ∞ λ l(l + 1) k(k − 1)Ak ρk−2 − kAk ρk−1 + − Ak ρk =0 (351) k=1 ρ ρ2O coeficiente da potˆncia k de ρ ´ dado por e e (k + 2)(k + 1)Ak+2 − (k + 1)Ak+1 + λAk+1 − l(l + 1)Ak+2 = 0 (352)para que a equa¸˜o diferencial seja satisfeita termo a termo. Diminuindo o cavalorde k de uma unidade, temos uma rela¸˜o mais conveniente: ca Ak+1 [(k + 1)k − l(l + 1)] = (k − λ)Ak (353) 20 Ver, por exemplo, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics, p´gina 161. a 79
    • ou, equivalentemente, Ak+1 k−λ = para k ≥ 2 (354) Ak (k + 1)k − l(l + 1)Para os ´ ındices mais baixos temos as equa¸˜es co A1 l(l + 1) = 0 (355) [2 − l(l + 1)] A2 + (λ − 1)A1 = 0 (356)A equa¸˜o (354) ´ muito importante. Dela vemos que, para que a s´rie se ca e einterrompa em algum ponto, tornando-se um polinˆmio, devemos ter que oλ = k. Ora, os k s˜o inteiros, logo, a condi¸˜o para que a s´rie se interrompa a ca e´ que exista um inteiro n tal quee λ=n (357)Como m Ze2 λ= =n 2|E| h ¯temos Z 2 e4 m 1 |E| = (358) 2¯ 2 n2 hou, eq¨ ivalentemente, u Z 2 e4 m 1 En = − , (359) 2¯ 2 n2 hque ´ a f´rmula de Bohr! Voltando ao c´lculo das autofun¸˜es, al´m da e o a co econdi¸˜o λ = n, devemos ter que λ = l, de outra forma, na equa¸˜o (354), o ca cadenominador se anularia ao mesmo tempo que o numerador, n˜o garantindo ao anulamento do coeficiente Ak+1 . Portanto devemos ter l = n. Vamos construir as primeiras solu¸˜es. Tomemos λ = n = 1 A este valor cocorresponde a energia Z 2 e4 m E=− 2¯ 2 hque ´ a energia do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio (o de energia e a emais baixa). Para este valor de λ podemos ter l = 0, mas n˜o l = 1. Ent˜o, a adas equa¸˜es co A1 l(l + 1) = 0 [2 − l(l + 1)] A2 = (λ − 1)A1 80
    • temos Que A1 ´ indeterminado, e A2 = 0, assim como os coeficientes de e´ındice mais alto. Temos ent˜o, para a solu¸˜o, a ca F (ρ) = A1 ρ (360)e ρ R(ρ) = A1 exp − (361) 2 Em termos de r, usando 8m|E| ρ= r h ¯e introduzindo h2 ¯ a0 = , me2denominado raio de Bohr, obtemos, ap´s c´lculos simples, o a 2Zr ρ= na0Para o estado fundamental, temos, ent˜o, a Zr R1 (r) = A1 exp − (362) a0que ´ tamb´m a fun¸˜o completa, pois Y00 ´ constante. e e ca e Para λ = n = 2 temos as possibilidades l = 0 e l = 1. Para o primeirocaso, temos, novamente, A1 indeterminado. Para A2 , usamos a equa¸˜o ca(353), que d´ a 1−2 A2 = A1 1.2ou seja, 1 A2 = − A1 2A solu¸˜o ent˜o ´ ca a e ρ2 F (ρ) = A1 ρ − (363) 2e ρ ρ R(ρ) = A1 1 − exp − (364) 2 2Expressando em termos de r, obtemos Zr Zr ψ200 = A1 1 − exp − (365) 2a0 2a0 81
    • onde usamos a nota¸˜o tradicional para os autoestados do atomo de hidrogˆnio: ca ´ eψnlm (r, θ, φ). O leitor, neste ponto, deveria ser capaz de mostrar que Zr Zr ψ20m = A2 exp (− ) Y0 0 (θ, φ) (366) a0 2a0No segundo caso, l = 1,vemos, da Eq.(355), que A1 = 0enquanto A2 ´ indeterminado. A3 = 0, assim como os ´ e ındices mais altos.Logo, F (ρ) = A2 ρ2A express˜o em termos de r vem a ser a 1 Zr Zr R21 (r) = K √ exp (− ) (367) 3 a0 2a0Como vimos, a fun¸˜o radial fica definida quando se d˜o os valores de n e ca al. Por isso ela ´ denotada por Rnl (r). Para o caso de l = 1 a dependˆncia e eangular n˜o ´ trivial, pois temos a e ψnlm (r, θ, φ) = KRnl (r)Ylm(θ, φ) (368)que, nesse caso d´ a 1 Zr Zr ψ21m (r, θ, φ) = K √ exp (− )Y1m (θ, φ) (369) 3 a0 2a0com m podendo tomar os valores 1, 0, e -1. Note que a energia fica totalmente determinada por n. Ent˜o, exceto pelo aestado fundamental, a cada n´ de energia correspondem mais de um estado ıveldo sistema. O espectro ´ dito degenerado (no bom sentido!). Considere, por eexemplo, o n´ de energia com n = 2. Podemos ter l = 0, que d´ um unico ıvel a ´estado, ou l = 1, que admite 3 valores de m. No total, ent˜o, h´ 4 estados a aneste n´ ´ a ıvel de energia . Diz-se que o grau de degenerescˆncia ´ 4. E f´cil e e 2provar que o grau de degenerescˆncia do n´ n ´ n . O numero quˆntico n e ıvel e a´ denominado n´mero quˆntico principal.e u a A seguir apresentamos uma lista das partes radiais de algumas fun¸˜es code onda do ´tomo de hidrogˆnio. a e 82
    • 3 Z 2 Zr R10 (r) = 2 exp − (370) a0 a0 3 Z 2 1 Zr 1 Zr R20 (r) = 2 1− exp − (371) 2a0 2 a0 2 a0 3 Z 2 1 Zr 1 Zr R21 (r) = √ exp − (372) 2a0 3 a0 2 a0 3 2 Z 2 2 Zr 2 Zr 1 Zr R30 (r) = 2 1− + exp − (373) 3a0 3 a0 27 a0 3 a0 3 √ Z 2 4 2 Zr 1 Zr 1 Zr R31 (r) = 1− exp − (374) 3a0 3 a0 6 a0 3 a0 3 √ 2 Z 2 2 2 Zr 1 Zr R32 (r) = √ exp − (375) 3a0 27 5 a0 3 a018.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a eAt´ agora escrevemos as fun¸˜es de onda assim: e co ψnlm (r, θ, φ) = KRnl (r)Ylm(θ, φ)Como determinar a constante K? Uma vez que os harmˆnicos esf´ricos s˜o o e anormalizados por conta pr´pria, pois o 2π π dφ sin θ dθ|Ylm (θ, φ)|2 = 1 0 0devemos ter ∞ π 2π ∞ r 2 dr sin θdθ dφ|ψnlm (r, θ, φ)|2 = |K|2 r 2 dr|Rnl (r)|2 = 1 0 0 0 0 (376)Exemplo: para o estado ψ100 , ∞ 2Zr |K|2 drr 2 exp − =1 0 a0Usando ∞ 2Zr a3 drr 2 exp − = 03 0 a0 4Zobtemos 3 Z 2 Zr R10 (r) = 2 exp − a0 a0 83
    • confirmando o valor da tabela. De posse da express˜o detalhada da fun¸˜o de onda, podemos fazer per- a caguntas interessantes. Qual ´ a probabilidade de o el´tron estar, no estado e efundamental do ´tomo de hidrogˆnio, entre r e r + dr? Ela ´ dada por a e e 3 Z 2Zr 2 P (r)dr = 4 exp − r dr (377) a0 a0Para que valor de r a probabilidade ´ m´xima (para idˆnticos dr)? No ponto e a ede m´ximo, teremos a dP (r) 2Zr 2Z 2Zr = 2r exp − − r2 exp − =0 dr a0 a0 a0ou rZ 1− =0 . a0Logo, para o ´tomo de hidrogˆnio (Z = 1), temos que a probabilidade a em´xima ´ para r = a0 , o raio de Bohr!21 a e Vamos calcular agora a velocidade m´dia do el´tron no estado fundamen- e etal. px ˆ 2π π ∞ px ˆ = dφ sin θdθ r 2 drψ100 (r, θ, φ) ψ100 (r, θ, φ) (378) m 0 0 0 m ˆ h∂Usando px = −i¯ ∂x e Y00 (θ, φ) = √1 , 4π obtemos 4 px ˆ 8i¯ Z h ∞ 2Zr 2π π = drr 2 exp − dφ cos φ dθ sin2 θ (379) m 4πm a0 0 a0 0 0onde usamos x = r sin θ cos φ. Como 2π dφ cos φ = 0 0temos que o valor m´dio da componente x da velocidade do el´tron no estado e efundamental ´ 0. Como o estado ´ esfericamente sim´trico, o mesmo resultado e e edeve valer para as outras componentes. Logo, p ˆ =0 m 21 Exerc´ ıcio: no modˆlo pr´-quˆntico de Bohr, das ´rbitas de momento angular L = n¯ , e e a o hdetermine o raio da menor ´rbita estacion´ria. Vocˆ dever´ encontrar a0 , o raio de Bohr. o a e a 84
    • Isto posto, podemos dizer que e el´tron est´ em repouso, no estado fundamen- e atal? Certamente n˜o! Em qualquer modˆlo cl´ssico com ´rbita circular (qual- a e a oquer ´rbita fechada, de fato) o el´tron est´ em movimento e sua velocidade o e am´dia ´ zero. Para obter mais informa¸˜es sobre o que o el´tron faz no estado e e co efundamental do ´tomo de hidrogˆnio, vamos calcular sua energia cin´tica a e em´dia. Ela ´ dada por: e e p2 h2 ¯ =− dqψ100 (q)∇2 ψ100 (q) = (380) 2m 2m ˆ2   2 h ¯ ∞ 2π π 1 ∂ ∂ l =− drr 2 R10 (r) dφ sin θdθY00 (θ, φ)  r2 − 2  R10 (r)  2m 0 0 0 r 2 ∂r ∂r r (381) h2 ¯ ∞ d dR10 = − drR10 (r) r2 2m 0 dr dr 2 4 h ¯ Z ∞ Zr Zr Z Zr = 4 dr exp − 2r exp − − r 2 exp − 2m a0 0 a0 a0 a0 a0 h2 ¯ Z 4 ∞ 2Zr Z ∞ 2Zr = 4 2 drr exp − − drr 2 exp − 2m a0 0 a0 a0 0 a0Usando as integrais ∞ 2Zr a3 0 drr 2 exp − = 0 a0 4Z 3e ∞ 2Zr a2 0 drr exp − = 0 a0 4Z 2obtemos o resultado, para Z = 1, p2 h2 ¯ = (382) 2m 2ma20 Logo, o el´tron n˜o est´ parado. E nem poderia: se tivesse momento e a aperfeitamente definido (no caso, nulo), sua posi¸˜o teria de ser totalmente caindefinida, pelo princ´ıpio da incerteza. Como a incerteza na posi¸˜o ´ da ca eordem de a0 e, da Eq.(382), vemos que a incerteza no momento ´ da ordem e h ¯de a0 , vemos que o produto das incerteza ´ da ordem de h. Ou seja, o e ¯el´tron tem o m´ e ınimo movimento exigido pelo princ´ ıpio de incerteza. Est´ at˜o parado quanto ´ poss´ a e ıvel! 85
    • 18.4 Exerc´ ıcios1. Os estados estacion´rios do ´tomo de Hidrogˆnio s˜o denotados por a a e aψnlm (r, θ, φ). A seguinte superposi¸˜o: ca ψ(r, θ, φ) = a1 ψn1 l1 m1 (r, θ, φ) + a2 ψn2 l2 ,m2 (r, θ, φ)com n1 = n2 , l1 = l2 , m1 = m2 , ´ um estado do Hidrogˆnio, que n˜o ´ um e e a e 2 ˆestado estacion´rio, e n˜o ´ autofun¸˜o nem de l nem de ˆz . Dentro deste a a e ca lestilo, construa 2 e ca ˆ ˆ(a) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultanea de H e l , masn˜o de ˆz . a l(b) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultˆnea de H e ˆz , mas e ca a ˆ l 2 ˆn˜o de l . a2. Uma part´ ıcula livre executa movimento unidimensional ao longo do eixox, e sua fun¸˜o de onda em t = 0 ´ ca e 2 Ψ(x, 0) = Ae−ax eilxonde l ´ uma constante real. Determine Ψ(x, t). e3.(a) Um sistema f´ ısico ´ descrito por um hamiltoniano e ˆ p2 ˆ H= + O2 2monde O ´ hermiteano. Mostre que ˆ ´ hermiteano, e que se um operador ´ ˆ e pe ehermiteano, seu quadrado tamb´m ´. Finalmente, mostre que os autovalores e eda energia do sistema s˜o positivos ou nulos. a ´(b) E poss´ ıvel um operador ser ao mesmo tempo unit´rio e hermiteano? aExemplo! ˆˆ ˆ ˆ(c) Demonstre que (AB)+ = B + A+ .(d) Demonstre que, se A ˆ e B s˜o hermiteanos, 1 [A, B] tamb´m ´. ˆ a ˆ ˆ e e i ˆ ˆ d ˆ ˆ(e) Sejam dt e dt nulos. Mostre que dt [O, B] = ˆ onde ˆ o operador “zero”, dO dB 0, 0,´ tal que, qualquer que seja a fun¸˜o de onda ψ(r),e ca ˆ =0 0ψSugest˜o: identidade de Jacobi. a 86
    • 4.(a) Determine r e r 2 para o el´tron no estado fundamental do ´tomo de e ahidrogˆnio. Expresse suas respostas em termos do raio de Bohr a0 . Deter- emine tamb´m a0 , que ´ o raio da “´rbita de Bohr” do estado de mais baixa e e oenergia , no modelo de Bohr.(b)Determine x e x2 no estado fundamental sem calcular mais integrais,usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental.(c) Determine x2 no estado (n, l, m) = (2, 1, 1). Note que este estado n˜o a´ sim´trico em x, y, z.e e5. Qual ´ a probabilidade P de que um el´tron no estado fundamental do e e´tomo de hidrogˆnio seja encontrado dentro do n´cleo?a e u(a)Primeiro calcule a resposta exata. Denote o raio do n´ cleo por b. u(b) Expanda o seu resultado como uma s´rie de potˆncias no n´ mero pequeno e e u 2bǫ = a0 , e mostre que o termo de ordem mais baixa ´ c´ bico: P ≈ (4/3)(b/a0 )3 . e uEste termo deveria j´ ser uma boa aproxima¸˜o, pois b ≪ a0 . a ca(c) Alternativamente, poder´ ıamos pensar que a fun¸˜o de onda do el´tron ´ ca e eessencialmente constante sobre o pequeno volume do n´ cleo, de modo que u 3 2P ≈ (4/3)πb |ψ(0)| . Verifique que o resultado ´ efetivamente bom. e(d) Use b ≈ 10−13 cm e a0 ≈ 0.5 × 10−8 cm para uma estimativa num´rica ede P . Grosso modo, isto representa a fra¸˜o do tempo em que o el´tron se ca eencontra dentro do n´ cleo. u6. Estime, a partir do princ´ ıpio de incerteza, quanto tempo um l´pis pode aficar em equil´ ıbrio vertical sobre a sua ponta.7. Uma bola perfeitamente el´stica, localizada entre duas paredes parale- alas, move-se perpendicularmente a elas, sendo refletida de uma para outra.Perfeitamente el´stica quer dizer que a energia cin´tica n˜o se altera.. Us- a e aando a mecˆnica cl´ssica, calcule a varia¸˜o da energia da bola se as paredes a a capassam a se aproximar, lenta e uniformemente, uma da outra. Mostre queesta varia¸˜o de energia ´ exatamente o que se obt´m na mecˆnica quˆntica ca e e a ase o n´ mero quˆntico principal n da bola permanece constante. u a19 A nota¸˜o de Dirac caNeste nosso tratamento elementar de mecˆnica quˆntica, consideraremos o a asimbolismo introduzido por Dirac, que tem um significado matem´tico n˜o- a atrivial, como uma nota¸˜o. Para fazer total justi¸a ao m´todo, o leitor faria ca c ebem em consultar a obra original de Dirac [1] . Para uma apresenta¸˜o mais caadaptada ` linguagem matem´tica contemporˆnea, veja [2]. a a a 87
    • Um vetor do espa¸o dos estados ´ descrito por um s´ c e ımbolo | , que sepronuncia ket . Um elemento do dual desse espa¸o ´ denotado por |, e c edenominado bra. O produto escalar dos estados |a e |b ´ denotado por e b|a , e se trata de um bra(c)ket , justificando os nomes. ˆ Seja O um operador. Denotaremos por |o seus autoestados, de modoque ˆ O|o = o|oonde os n´ meros o s˜o os autovalores . u aOs autoestados do operador de posi¸˜o ca ˆ ˆ x = xi + y j + z k ˆ ˆs˜o denotados por |x . O s´ a ımbolo x|o descreve o estado |o na representa¸˜o cadas coordenadas: x|o = ψo (x)Alguns exemplos: ˆO hamiltoniano H tem seus autoestados, |n , e autovalores , En , ligados pela rela¸˜o ca ˆ H|n = En |nA condi¸˜o de ortonormalidade desses autoestados ´ escrita ca e n′ |n = δnn′ ˆ2Os autoestados comuns a l e ˆz s˜o denotados por |lm , e as seguintes equa¸˜es s˜o l a co asatisfeitas: ˆ2 l |lm = l(l + 1)|lm ˆz |lm l = m|lmSeja uma base do espa¸o dos estados formada pelos kets |n , |n′ , |n′′ , c ˆ ˆetc. e seja O um operador. Ent˜o, os elementos de matriz de O nessa base aser˜o os n´ meros complexos a u ˆ n′ |O|nNote-se que: a|b = ( b|a )∗ ˆ a|O|b ˆ = ( b|O + |a )∗Muito importante na nota¸˜o de Dirac ´ uma classe de operadores que se ca eescrevem assim: |a b| 88
    • e s˜o definidos pela sua a¸˜o sobre um kets arbitr´rio | : a ca a |a b|(| ) = b| |aSejam |n autoestados de um operador hermiteano. Ent˜o, a rela¸˜o de a cacompletude se escreve |n n| = ˆ1 nQuando o espectro ´ cont´ e ınuo, por exemplo, no caso do operador de posi¸˜o, caa soma ´ substitu´ por uma integral: e ıda dx |x x| = ˆ 1O principal uso dessas representa¸˜es do operador ˆ ´ o seguinte: seja n|n′ co 1eum produto escalar. Ent˜o, a n|n′ = n|ˆ ′ = n| 1|n dx|x x| |n′e, como x|n = ψn (x), n|n′ = ∗ dxψn (x)ψn′ (x)mostrando que efetivamente se trata do produto escalar anteriormente intro- ˆ ˆ ˆˆduzido. Considere os operadores A e B e o seu produto, AB. Seja |n umabase. Os elementos de matriz do operador produto nessa base s˜oa ˆˆ n|AB|n′ = ˆ n|A ˆ |n′′ n′′ | B|n′ n′′ = ˆ ˆ n|A|n′′ n′′ |B|n′ n′′que exibe a express˜o correta para o produto cl´ssico de matrizes. a a Seja |n um estado qualquer. Sua fun¸˜o de onda na representa¸˜o das ca cacoordenadas ´, como vimos, e ψn (x) = x|nSejam |p os autoestados do momento , e dp |p p| = ˆ 1sua rela¸˜o de completude. Ent˜o, a fun¸˜o de onda de |n na representa¸˜o ca a ca cado momento ´ e p|n = dx p|x x|n 89
    • que pode ser escrita ψn (p) = dx p|x ψn (x)Daqui, por compara¸˜o com um resultado anterior pode-se inferir que ca 1 i p|x = 3/2 exp p.x (383) (2π¯ ) h h ¯ Uma dedu¸˜o direta deste resultado ´ a seguinte: ca e p|ˆ|x p = p p|x d = −i¯ h p|x dxIgualando os dois segundos membros, temos d −i¯ h p|x = p p|x dxou d p|x i = pdx p|x h ¯de onde segue que i p|x = Ae h px ¯Para determinar A, note-se que i p|x x|p′ = |A|2 exp (p − p′ )x h ¯e, integrando em x, i dx p|x x|p′ = |A|2 dx exp (p − p′ )x h ¯Mas dx p|x x|p′ = p|p′ = δ(p − p′ )Logo, p p′ δ(p − p′ ) = |A|2 2πδ( − ) = |A|2 2π¯ δ(p − p′ ) h h ¯ h ¯Logo, 1 A= √ 2π¯ he 1 i p|x = √ e h px ¯ 2π¯ hque ´ a vers˜o unidimensional da Eq.(383). e a 90
    • 20 O SpinPara introduzir o spin vamos apresentar um tratamento mais geral do mo-mento angular. No tratamento anterior, t´ ınhamos obtido que os autovaloresm de l ˆz deviam ser n´ meros inteiros, sob o argumento de que as autofun¸˜es u co ˆz ,de l 1 ψm (φ) = √ eimφ 2πdeviam ser peri´dicas, de per´ o ıodo 2π, na vari´vel φ. Este argumento n˜o ´ a a erigoroso, pois a fun¸˜o de onda ´ determinada a menos de uma fase. Re- ca etomaremos o problema agora. Descobriremos que h´ novas possibilidades apara os valores de m e l. Para comodidade do leitor, repetiremos aqui alguns dos resultados queobtivemos anteriormente para o momento angular. 2 ˆ+ ˆ− = ˆ − ˆ2 + ˆz l l l lz l (384) 2 ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz l l l lz l (385) ˆ2 Da rela¸˜o l − ˆz = ˆx + ˆy conclu´ ca l2 l2 l2 ımos que existe um valor m´ximo para a ˆ2o autovalor de ˆz . Seja l este valor m´ximo, e ψl a autofun¸˜o comum a l e l a caˆz correspondente. Temosl ˆ+ ψl = 0 lLogo, ˆ− ˆ+ ψl = 0 l lUsando (385), ˆ2 ˆ2 ˆ l − lz − lz ψl = 0ou ˆ2 l ψl = l(l + 1)ψl ˆ2Conclui-se que o autovalor de l para a autofun¸˜o ψl ´ l(l + 1), onde l ´ o ca e em´ximo valor poss´ para m. Pasaremos a denotar por ψlm as autofun¸˜es a ıvel co ˆ2 ˆcomuns a l e lz . Vamos determinar agora o menor valor poss´ para m. ıvel ˆ2 ˆ Em primeiro lugar, do fato de que [l , l− ] = 0, segue que ˆ2 ˆ ˆ2 l l− ψlm = ˆ− l ψlm = l(l + 1) ˆ− ψlm l l 91
    • ˆ2ou seja, o autovalor de l ´ o mesmo para todos os ψlm , com l fixo. e Seja B o m´ ınimo valor de m. Ent˜o a ˆ− ψlB = 0 l ˆ+ ˆ− ψlB = 0 l l ˆ2 ˆ2 ˆ l − lz + lz ψlB = = 0 l(l + 1)ψlB = (B 2 − B)ψlB l(l + 1) − B 2 + B = 0 (l + B)(l − B + 1) = 0Esta ultima tem duas solu¸˜es, B = l + 1, que ´ imposs´ ´ co e ıvel, pois o m´ximo avalor de m ´ l, e B = −l, que ´ o valor correto. Ent˜o, m est´ no intervalo e e a a−l ≤ m ≤ l, e seus valores sucessivos diferem de uma unidade: h´, portanto, a2l + 1 valores de m, para l dado. Em conseq¨ˆncia, 2l + 1 deve ser um uen´ mero inteiro, e temos duas possibilidades:(a)l ´ inteiro, que ´ o caso que u e ej´ hav´ a ıamos estudado. Costuma-se chamar esses momento s angulares demomento angular orbital. (b) l ´ um ´ e ımpar dividido por dois (semi-inteiro,na g´ dos f´ ıria ısicos). Este tipo de momento angular ´ denominado spin. eTemos, ent˜o, spins l = 1/2, l = 3/2, etc. aNa verdade essa nomenclatura n˜o ´ a usada na pr´tica, embora seja a prefer´ a e a ıvel, do pontode vista da matem´tica. Chama-se spin de um sistema o momento angular desse sistema aquando em repouso. Um el´tron em repouso tem momento angular tal que l = 1/2, um epion em repouso tem momento angular tal que l = 0, e h´ mesons, ditos vetoriais, com a ´momento angular em repouso tal que l = 1. E costume, por abuso de linguagem, dizerque essas part´ ıculas tˆm spin 1/2, spin 0, spin 1, etc. e20.1 Elementos de matrizO caso mais importante do spin ´ aquele em que l = 1/2. Neste caso, m es´ pode ter os valores +1/2 e −1/2, e ´ conveniente tratar os operadores o ede momento angular utilizando suas representa¸˜es matriciais. Para tanto, covamos determinar os elementos de matriz dos operadores ˆx , ˆy e ˆz . Temos, l l lusando a nota¸˜o de Dirac, ca ˆ2 lm|l |lm = l(l + 1) (386)e, como ˆ2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆz − ˆz , l2 l 92
    • ˆ2 lm|l |lm = lm|ˆ+ ˆ− |lm + lm|ˆz |lm − lm|ˆz |lm l l l2 lComo todos esses elementos de matriz contˆm o mesmo valor de l, podemos eomitir este ´ ındice, ou seja, podemos abreviar a nota¸˜o para: ca m|ˆz |m ≡ lm|ˆz |lm l letc. ˆ2 Obviamente m|ˆz |m = m, m|ˆz |m = m2 e m|l |m = l(l + 1). Logo, l l2 m|ˆ+ ˆ− |m = l(l + 1) − m2 + m l l (387)ou m|ˆ+ ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (388) ˆA completude dos autoestados de lz permite escrever ˆ |m′ m′ | = 1 m′que, inserida em (388), d´ a m|ˆ+ |m′ m′ |ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (389) m′e sabemos que m|ˆ+ |m′ s´ ´ diferente de zero se m′ for igual a m − 1. Logo, l oe(389) se escreve m|ˆ+ |m − 1 m − 1|ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (390)Al´m disso, ˆ− = ˆ+ e e l+ l ∗ ∗ m − 1|ˆ− |m = l m|ˆ− |m − 1 l+ = m|ˆ+ |m − 1 l ,o que permite escrever, de (390), | m|ˆ+ |m − 1 |2 = (l + m)(l − m + 1) . l (391)Da´ tiramos que ı m|ˆ+ |m − 1 = eiα (l + m)(l − m + 1) . l (392)A escolha de α est´ ligada ` defini¸˜o precisa dos harmˆnicos esf´ricos Ylm (θ, φ). a a ca o ePara a escolha feita anteriormente, Eq.(329), deve-se escolher α = 0. Logo, m|ˆ+ |m − 1 = l (l + m)(l − m + 1) (393) 93
    • e, como m − 1|ˆ− |m = ( m|ˆ+ |m − 1 )∗ , temos l l m − 1|ˆ− |m = l (l + m)(l − m + 1) . (394)Estes s˜o os unicos elementos de matriz n˜o-nulos, de ˆ+ e ˆ− . A partir deles, a ´ a l lpodemos construir os elementos de matriz de ˆx e ˆy , pois l l ˆx = 1 ˆ+ + ˆ− l l l (395) 2 ˆ 1 ˆ ly = l+ − ˆ− l (396) 2iDe fato, 1 1 m|ˆx |m − 1 l = m|ˆ+ |m − 1 + m|ˆ− |m − 1 l l 2 2 1 1 = m|ˆ+ |m − 1 = l (l + m)(l − m + 1) (397) 2 2 1 m|ˆx |m − 1 = m|ˆx |m − 1 l l ∗ = (l + m)(l − m + 1) (398) 2Assim, os elementos de matriz de ˆx que n˜o s˜o nulos s˜o l a a a 1 m|ˆx |m − 1 = m − 1|ˆx |m = l l (l + m)(l − m + 1) (399) 2Por um c´lculo an´logo obtˆm-se os elementos de matriz n˜o-nulos de ˆy : a a e a l i m|ˆy |m − 1 = − m − 1|ˆy |m = − l l (l + m)(l − m + 1) (400) 2Usando as express˜es obtidas para os elementos de matriz, vamos construir oas matrizes que representam os operadores ˆx , ˆy e ˆz . Para este ultimo, temos l l l ´que os elementos de matriz n˜o-nulos s˜o: a a 1 1/2|ˆz |1/2 l = (401) 2 1 −1/2|ˆz | − 1/2 l = − (402) 2Os valores poss´ ıveis de m sendo +1/2 e -1/2, as matrizes ter˜o a forma agen´rica: e a1,1 a 1 ,− 1 2 2 2 2 (403) a− 1 , 1 a− 1 ,− 1 2 2 2 2 94
    • onde ai,j = i|a|j . Para ˆz , portanto, l 1 1 1 ˆz = 2 0 1 0 l = = σz (404) 0 −1 2 2 0 −1 2onde introduzimos a matriz 1 0 σz = (405) 0 −1que ´ uma das matrizes de Pauli, que ser˜o muito utilizadas no que segue. e a Verifica-se facilmente que i ˆy = 1/2|ly |1/2 1/2|ly | − 1/2 0 −2 l = i (406) −1/2|ly |1/2 −1/2|ly | − 1/2 2 0 1 0 −i = (407) 2 i 0 1 = σy (408) 2onde introduzimos a matriz de Pauli σy , 0 −i σy = (409) i 0Por um c´lculo an´logo chega-se a a a ˆx = 1 l 0 1 1 = σz (410) 2 1 0 2Temos, portanto, ˆi = 1 σi l (411) 2para i = 1, 2, 3, sendo (1, 2, 3) = (x, y, z), como de costume. As matrizes dePauli s˜o a 0 1 σx = (412) 1 0 0 −i σy = (413) i 0 1 0 σz = (414) 0 −1 95
    • Representa¸˜es matriciais de operadores s˜o sempre em rela¸˜o a uma base. co a caQual ´ a base usada nas representa¸˜es matriciais acima? Para descobri-la, e cobasta notar que a matriz que representa ˆz ´ diagonal. Logo, a base ´ a dos l e e ˆ . Explicitamente, temosautoestados de lz 1 1 2 0 1 1 = (415) 0 −1 2 0 2 0 1 1 2 0 0 0 = − (416) 0 −1 2 1 2 1Desta rela¸˜o vemos que os autoestados de ˆz s˜o representados pelas ma- ca l a 1 0trizes coluna e , que formam uma base das matrizes coluna 0 1 a , com a e b arbitr´rios. Resta especificar o produto escalar de dois a bestados quaisquer, em termos de suas representa¸˜es matriciais. Verifica-se co a cfacilmente que o produto escalar de por ´ dado por e b d c (a∗ , b∗ ) = a∗ c + b∗ d (417) d 1De fato, em termos deste produto escalar, os elementos da base, e 0 0 s˜o ortonormais, o que prova a quest˜o. a a 120.2 As matrizes de PauliAs matrizes 0 1 σx = (418) 1 0 0 −i σy = (419) i 0 1 0 σz = (420) 0 −1tˆm propriedades especiais que facilitam o c´lculo das propriedades dos es- e atados de spin 1/2.P1: T r(σx ) = T r(σy ) = T r(σz ) = 0. (Imediata). 96
    • P2: σx , σy , σz s˜o hermiteanas. (Imediata) a 2 2 2P3: σx = σy = σz = 1, onde 1 0 1= 0 1P4:σa σb = δab 1 + iǫabc σc , cuja demonstra¸˜o ´ um exerc´ ca e ıcio simples. Estapropriedade sintetiza a P3 e as seguintes rela¸˜es: co σx σy = iσz (421) σz σx = iσy (422) σy σz = iσx (423) σx σy = −σy σx (424)e assim por diante. ´ E conveniente introduzir a nota¸˜o ca σ ≡ (σx , σy , σz )que descreve as σi como componentes de um “vetor” denotado por σ. Usandoesta conven¸˜o se escreve, por exemplo, se a for um vetor ordin´rio, ca a σ.a = ax σx + ay σy + a + zσzou seja, σ.a ´ uma matriz 2x2. Podemos ent˜o enunciar a e aP5:(σ.a)(σ.b) = a.b + iσ.(a × b), onde o termo entre parˆnteses ´ o produto e evetorial ordin´rio. Demonstra¸˜o: a ca σl al σm bm = al bm σl σm = al bm (δlm + iǫlmn σn ) = a.b + iσn ǫnlm al bm = a.b + iσ.(a × b)Teorema: Seja A uma matriz 2x2 complexa qualquer. Ent˜o existem n´ meros a uλ0 , λx , λy e λz tais que A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz (425)Estes n´ meros s˜o unicos. Ou seja, 1, σx , σy e σz s˜o uma base do espa¸o u a ´ a cvetorial das matrizes 2x2 complexas.A demonstra¸˜o consiste em exibir esses n´ meros. Suponhamos o problema ca uresolvido, isto ´: e A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz (426)Tomando o tra¸o termo a termo, temos: c T r(A) = λ0 T r(1) + λx T r(σx ) + λy T r(σy ) + λz T r(σz ) (427) 97
    • onde usamos T r(λA) = λT r(A), para qualquer n´ mero λ e qualquer matriz A, temos, levando em conta a P1, u T r(A) = λ0 T r(1) = 2λ0 (428)ou 1 λ0 = T r(A) (429) 2Para calcular λx procedemos assim: multiplicamos (426) termo a termo, a esquerda, por σx , obtendo: ` σx A = λ0 σx + λx 1 + λy σx σy + λz σx σz (430)Ora, os produtos σi σj com i = j, s˜o matrizes de tra¸o nulo. Logo, tomando, termo a termo, o tra¸o de (430), temos a c c T r(σx A) = λx T r(1) = 2λx (431) Ou, 1 λx = T r(σx A) (432) 2e, procedendo analogamente, 1 λi = T rσi A) (433) 2 Demonstra-se facilmente, usando este m´odo, que 1 e as trˆs matrizes de Pauli s˜o linearmente independentes. Al´m t e a edisso, o espa¸o vetorial das matrizes 2x2 complexas tem dimens˜o 4. Logo, o conjunto considerado ´ uma base, e portanto c a eos coeficientes calculados acima s˜o unicos. a ´20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamilto- ca e nianoO problema que estudaremos aqui ´ o seguinte: uma part´ e ıcula de massa me carga q est´ sob a¸˜o de um campo eletromagn´tico descrito por E e B. a ca eDeterminar o Hamiltoniano da part´ ıcula. N˜o fosse pelo campo eletromagn´tico, o Hamiltoniano seria o de uma a epart´ ıcula livre, p2 H= . 2mA for¸a que age sobre uma part´ c ıcula de carga q, devida aos campos el´trico ee magn´tico, ´ (for¸a de Lorentz): e e c v F = q(E + × B) cEm termos dos potenciais, temos, 1 ∂A E = −∇φ − c ∂t B = rotALogo, 1 ∂A F = q{−∇φ − [ − v × rot A]} c ∂t 98
    • Como ´ bem sabido,22 e dA ∂A = + (v.∇)A . dt ∂tComo v × rot A = ∇(v.A) − (v.∇)A, temos 1 dA F = q{−∇φ − [ − (v.∇)A − ∇(v.A) + (v.∇)A]} c dt 1 dA = q{−∇φ − [ − ∇(v.A)]} (434) c dtou seja, 1 1 dA F = q[−∇(φ − v.A) − ]. (435) c c dtSeja U = q(φ − 1 v.A). Vamos mostrar que a lagrangeana c q L = T − U = T − qφ + v.A (436) cdescreve o movimento de uma part´ ıcula sob a a¸˜o da for¸a F . Aqui, como ca cde costume, T representa a energia cin´tica. De fato, e ∂L ∂φ ∂ q = −q + ( v.A) ∂x ∂x ∂x c ∂L ∂L ∂T q ≡ = + Ax ∂x˙ ∂vx ∂vx c d ∂L d ∂T q dAx = ( )+ dt ∂vx dt ∂vx c dt ∂L d ∂LLogo, a equa¸˜o de Lagrange, ca ∂x − dt ∂vx = 0, d´ a ∂φ ∂ q d ∂T q dAx −q + ( v.A) = ( )+ ∂x ∂x c dt ∂vx c dt 22 No caso improv´vel de isto n˜o ser bem sabido por um aluno do CCM, a´ vai: a a ı dA ∂ A ∂ A dx = + + ... dt ∂t ∂x dtou seja, dA ∂A ∂ = + (vx + . . .)A dt ∂t ∂xetc. 99
    • de modo que d ∂T 1 1 dA ( ) = q{−∇(φ − v.A) − }x dt ∂vx c c dtMas ∂T ∂ 1 2 = ( mv ) = mvx ∂vx ∂vx 2de maneira que d ∂T ˙ ( ) = (mv)x . dt ∂vxLogo, ˙ 1 1 dA mv = q{−∇(φ − v.A) − } (437) c c dtConclus˜o: L = T −qφ+ q v.A. Passemos agora ` constru¸˜o do hamiltoniano. a c a ca ∂L ∂T q ∂ pi = = + (v.A) ∂ qi ˙ ∂ qi c ∂ qi ˙ ˙ ∂ (v.A) = Ai ∂ qi ˙e, ent˜o, a ∂T q pi = + Ai ∂ qi c ˙Precisamos agora de uma propriedade importante das fun¸˜es homogˆneas, co eo teorema de Euler (ver Apˆndice): e ∂T qi ˙ = 2T i ∂ qi ˙Vamos us´-lo para calcular o Hamiltoniano H: a ∂T q q H = qi ( ˙ + Ai ) − T + qφ − v.A i ∂ qi c ˙ c q q = 2T + v.A − T + qφ − v.A (438) c cou seja, H = T + qφ (439) mv2Ora, pi = ∂T ∂ qi ˙ + q Ai = mv + q A, pois T = c c 2 . Logo, q mv = p − A c 100
    • e, finalmente, 1 q H= (p − A)2 + qφ (440) 2m cEm palavras, no Hamiltoniano livre 1 2 H= p 2msubstituo p por p− q A, e adiciono qφ. Esta ´ a chamada substitui¸˜o m´ c e ca ınima,ou acoplamento m´ ınimo. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo 1 2 H= p + V (r) 2monde V (r) ´ a energia potencial, a mesma regra vale. Adicione-se qΦ e esubstitua-se p por p − q A. Se houver v´rias part´ c a ıculas, de momento s pi ,fa¸a-se a mesma substitui¸˜o para cada pi , adicionando-se termos de energia c capotencial qi φ para cada part´ıcula. Essas generaliza¸˜es s˜o f´ceis de demon- co a astrar, seguindo exatamente o padr˜o do caso de uma part´ a ıcula livre. 101
    • 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler eUma fun¸˜o f (x1 , x2 , ..., xn ) ´ dita homogˆnea de grau k se ca e e f (λx1 , λx2 , ..., λxn ) = λk f (x1 , x2 , ..., xn ) (441)Por exemplo, f (x, y) = xy ´ homogˆnea de grau 2;f (x, y, z) = x2 y + 3z 2 x + e e5xyz ´ homogˆnea de grau 3. e e O teorema de Euler diz que, se f ´ uma fun¸˜o homogˆnea de grau k, e ca eent˜o a ∂f xi = kf (442) i ∂xiA demonstra¸˜o ´ muito simples. Derive a Eq. 441 em rela¸˜o a λ, e depois ca e catome λ = 1.20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico eSeja ˆ p2 H= + V (r) (443) 2mo hamiltoniano de uma part´ ıcula de spin 1/2 e carga e. Note-se que (σ.p)(σ.p) = p.p + iσ.(p × p) = p.p (444)de maneira que o hamiltoniano acima pode tamb´m ser escrito e ˆ (σ.p)(σ.p) H= + V (r) (445) 2mO acoplamento m´ ınimo, estudado no par´grafo anterior, consiste na substi- a etui¸˜o de p por p − c A, onde A ´ o potencial vetor do campo eletromagn´tico ca e eque age sobre a pert´ ıcula. Ora, se se realiza essa substitui¸˜o em (443) ou caem (445), obtˆm-se resultados diferentes. Verifica-se que os resultados corre- etos s˜o obtidos usando-se o hamiltoniano em (445). Fica claro neste ponto, aent˜o, que o acoplamento do spin com o campo eletromagn´tico que vamos a eintroduzir tem um car´ter emp´ a ´ s´ quando se utiliza a equa¸˜o de ırico. E o caDirac para descrever o spin do el´tron que se obt´m, diretamente da teoria e ee sem a necessidade de fazer escolhas, um acoplamento definido (que corre-sponde `quele que, aqui, foi escolhido por raz˜es emp´ a o ıricas). Devemos, ent˜o, descrever as intera¸˜es eletromagn´ticas da part´ a co e ıculausando o hamiltoniano ˆ 1 e e Hem = σ. p − A σ. p − A + V (r) + eφ (446) 2m c c 102
    • Como estamos interessados no campo magn´tico, vamos ignorar o ultimo e ´ e etermo. Consideremos o termo σ. p − c A . σ. p − c A . Temos e e σ. p − A . σ. p − A = c c e e = (σ.p)(σ.p) − (σ.p)(σ.A) − (σ.A)(σ.p) + c c e2 + (σ.A)(σ.A) = c2 e e = p2 − p.A + iσ.(p × A) − (A.p) + iσ.(A × p) + c c e2 + A.A (447) c2Mas, (p.A) + (A.p) ψ = −i¯ ∇.(Aψ) − i¯ A.∇ψ h h = −i¯ (∇.A)ψ − i¯ A.∇ψ − i¯ A.∇ψ h h h (448)Escolhendo o gauge em que ∇.A = 0, temos (p.A) + (A.p) ψ = −2i¯ A.∇ψ h (449)ou, (p.A) + (A.p) = 2A.p (450)Temos ainda σ. p × A + A × p ψ = = σ. −i¯ ∇ × (Aψ) + A × (−i¯ ∇ψ) h h = σ. −i¯ (rotA)ψ − A × ∇ψ − i¯ A × ∇ψ h h = −i¯ σ. Bψ h = −i¯ σ.Bψ h (451)Reunindo tudo, temos e e e e¯ h e2 σ. p − A σ. p − A = p2 − 2 A.p − σ.B + 2 A2 (452) c c c c c ˆ eO hamiltoniano Hem ´ obtido dividindo isso por 2m: ˆ p2 e he ¯ Hem = − A.p − σ.B (453) 2m mc 2mc 103
    • Para o caso de um campo uniforme, temos 1 A = (B × r) (454) 2como o leitor verificar´ facilmente. Resulta ent˜o que a a ˆ p2 e he ¯ Hem = − B.(r × p) − σ.B (455) 2m 2mc 2mcFinalmente, usando L = r × p e s = h σ , temos ¯2 ˆ p2 e e Hem = − L.B − s.B (456) 2m 2mc mc 2H´ ainda, ´ claro, o termo e2 A2 , que omitimos porque, no tratamento per- a e cturbativo, representa uma corre¸˜o de ordem superior `s que usualmente se ca acalcula.21 As desigualdades de HeisenbergNesta se¸˜o vamos apresentar um tratamento formal do princ´ ca ıpio da in-certeza, e deduzir as famosas desigualdades de Heisenberg. A mais famosadelas ´: e ∆pi ∆qj ≥ hδij ¯ (457)Em todo espa¸o dotado de um produto escalar, vale a desigualdade de cCauchy-Schwartz, que diz que |(ψ, φ)|2 ≤ |ψ|2 |φ|2 (458)ou, mais explicitamente, 2 dqψ ∗ (q)φ(q) ≤ dqψ ∗ (q)ψ(q) dq ′ φ∗ (q ′ )φ(q ′ ) (459) ˆ Seja O um operador hermiteano, e ψ um estado do sistema. Considere ooperador ˆ O− O ˆˆ 1onde ˆ ˆ O = (ψ, Oψ) = ˆ dqψ ∗ (q)Oψ(q) a ˆChama-se desvio padr˜o de O no estado ψ o n´ mero u ˆ ˆ (∆O)2 = (O − O )2 (460) 104
    • Entre os f´ ˆ ˆ ısicos, ∆O ´ denominada incerteza de O no estado ψ. Sejam A e eˆB operadores hermiteanos, e ˆ ψA = (A − ˆ A )ψ (461) ˆ ψB = (B − ˆ B )ψ (462)dois estados. ´ E imediato verificar que (∆A)2 = (ψA , ψA ) (463) (∆B)2 = (ψB , ψB ) (464) Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos 2 2 ψA ψB ≥ |(ψA , ψB )|2 (465)Por outro lado, para qualquer complexo z, temos 2 1 |z|2 = (ℑ(z))2 + (ℜ(z))2 ≥ (ℑ(z))2 = (z − z ∗ ) 2iLogo, 2 1 |(ψA , ψB )|2 ≥ [(ψA , ψB ) − (ψB , ψA )] 2iOra, ˆ ˆ ˆ ˆ (ψA , ψB ) = (A − A )ψ, (B − B )ψ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = (ψ, ABψ) − B (ψ, Aψ) − A(ψ, Bψ) + A BSegue imediatamente que ˆ ˆ (ψA , ψB ) − (ψB , ψA ) = ψ, [A, B]ψ (466)e, da Eq.(465), que 2 2 2 1 ˆ ˆ ψA ψB ≥ [A, B] (467) 2iou, em nota¸˜o mais familiar, ca 2 1 ˆ ˆ (∆A)2 (∆B)2 ≥ [A, B] (468) 2ique s˜o as rela¸˜es de incerteza de Heisenberg. a co ˆ ˆ ˆ ˆExemplo: seja A = px , e B = x. Ent˜o, a 2 1 (∆px )2 (∆x)2 ≥ −i¯ h 2i 105
    • 2 h2 ¯ 2 (∆px ) (∆x) ≥ 4e, finalmente, h ¯ ∆px ∆x ≥ 2Exerc´ ıcio: determine ∆px e ∆x para o estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio. a eMostre que: ¯ h(a) ∆px = √3a . √ 0(b)∆x = 2a0 . 2(c) ∆px ∆x = 3 ¯ h(d) Conclua que o movimento do el´tron ´ ≈ o m´ e e ınimo poss´ compat´ com as rela¸˜es ıvel ıvel code incerteza.21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo caA rela¸˜o de incerteza energia -tempo ´ de natureza fundamentalmente difer- ca eente daquela da rela¸˜o de incerteza posi¸˜o-momento . Enquanto esta ca caultima ´ conseq¨ˆncia do fato de que os operadores ˆx e x n˜o comutam,´ e ue p ˆ aisto n˜o acontece no caso da energia -tempo: nem mesmo existe um oper- aador “tempo” na mecˆnica quˆntica. O tempo que aparece na equa¸˜o de a a caSchroedinger ´ o tempo marcado por qualquer rel´gio, e pode ser determi- e onado, em qualquer caso, com precis˜o arbitr´ria. O fato b´sico na obten¸˜o a a a cada desigualdade ∆E∆t ≥ h ¯ (469)´ o seguinte: devido ` rela¸˜o de Planck, E = hν, onde ν ´ uma freq¨ˆncia,e a ca e uetemos, na mecˆnica quˆntica, que uma medida da energia ´ sempre a a euma medida de freq¨ˆncia(Bohr). ue A rela¸˜o de incerteza 469 deve ser interpretada assim: uma medida caperfeita da energia de um sistema (∆E = 0) leva um tempo infinito (∆t ≥ h ¯∆E ). A express˜o 469 ensina quanto deve durar, no m´ a ınimo, o processo demedida (a dura¸˜o ´ ∆t) para que a precis˜o obtida seja ∆E. ca e a Para obter 469, consideremos o processo de determinar a freq¨ˆncia de ueuma onda. Matematicamente se sabe que a transformada de Fourier de umaonda nos d´ a informa¸˜o sobre quais freq¨ˆncias participaram da constru¸˜o a ca ue cada onda, por meio de superposi¸˜o de ondas monocrom´ticas (isto ´, de ca a efreq¨ˆncias bem definidas). ue Uma onda plana monocrom´tica tem sua dependˆncia temporal dada por a e 106
    • eiω0 t , se sua freq¨ˆncia for ω0 .23 Sua transformada de Fourier ´ ue e ∞ ∞ f (ω) = e−iω0 t eiωt dt = ei(ω−ω0 )t dt , (470) −∞ −∞logo, f (ω) = 2πδ(ω − ω0 ) , (471)mostrando, como era de se esperar, que f (ω) ´ zero exceto para ω = ω0 . e 23 Estritamente, ω0 ´ a “freq¨ˆncia circular”. A verdadeira freq¨ˆncia, que ´ o inverso e ue ue e ıodo, ´ ν = ω0 .do per´ e 2π 107
    • Na pr´tica, por´m, a medida da freq¨ˆncia da onda eiω0 t ´ feita observando- a e ue ese essa onda durante um intervalo de tempo finito, por exemplo, do instante−∆t 2 at´ o instante ∆t . Mas ent˜o a onda que realmente observamos ´ e 2 a eindistingu´ da seguinte onda u: ıvel ∆t u = 0 : t<− 2 ∆t ∆t = e−iω0 t : t ∈ [− , ] 2 2 ∆t = 0 : t> . (472) 2A transformada de Fourier da onda (472) ´: e ∆t 2 f ′ (ω) = −∆t ei(ω−ω0 )t dt (473) 2ou seja, 1 ∆t ∆t f ′ (ω) = (ei(ω−ω0 ) 2 − e−i(ω−ω0 ) 2 ) (474) i(ω − ω0 )ou 2 ∆t f ′ (ω) = sin[(ω − ω0 ) ] ω − ω0 2e, ainda, sin[(ω − ω0 ) ∆t ] f ′ (ω) = ∆t 2 (475) (ω − ω0 ) ∆t 2Esta fun¸˜o tem um gr´fico que apresenta um pico pronunciado para ω = ω0 , ca aonde tem o valor 1, e corta o eixo ω, ou seja, atinge o valor zero, pela primeiravez num ponto P tal que, nele, (ω − ω0 ) ∆t = π, ou seja, 2 2π ω − ω0 = . (476) ∆tEste valor de ω − ω0 pode ser definido como a metade da “largura” de f ′ (ω).Logo, esta largura ´ e 4π ∆ω = , (477) ∆tonde ∆t ´ a dura¸˜o do processo de medida de ω. ∆ω representa a incerteza e cana freq¨ˆncia, ou seja, informa que as freq¨ˆncias presentes na onda u est˜o ue ue a ∆ω ∆ωentre ω0 − 2 e ω0 + 2 . Temos, ent˜o,a ∆ω∆t = 4π (478) 108
    • e, multiplicando por h, ¯ ∆E∆t = 4π¯ . h (479)´E claro que podemos, neste mesmo intervalo de tempo, ser mais descuidadose cometer erros ∆E maiores. Logo, o resultado geral ´ e ∆E∆t ≥ 4π¯ h (480)22 Teoria das perturba¸˜es coQuando calculamos a ´rbita da Terra em torno do Sol, omitimos, de nos- osas equa¸˜es, todos os outros planetas. No entanto, a atra¸˜o de J´ piter, co ca upor exemplo, causa pequenas altera¸˜es na ´rbita terrestre. Para fazer uma co oestimativa dessas pequenas corre¸˜es, elaborou-se um m´todo, na mecˆnica co e aceleste, que permitia a utiliza¸˜o, como ponto de partida, da ´rbita terrestre ca on˜o perturbada, isto ´, calculada omitindo-se J´ piter, calculando-se direta- a e umente as modifica¸˜es que deviam ser introduzidas na ´rbita n˜o-perturbada. co o aO aperfei¸oamento dessa t´cnica levou at´ mesmo ` descoberta de novos plan- c e e aetas (Netuno, por exemplo, “tra´ ıdo” pela perturba¸˜o que causava na ´rbita ca ode Urano). A mecˆnica quˆntica tomou emprestada ` mecˆnica celeste essa id´ia, e a a a a esurgiu assim a teoria das perturba¸˜es, que visa, a partir da solu¸˜o conhecida co cade certos problemas, obter uma solu¸˜o aproximada de problemas que, em caalgum sentido, s˜o pr´ximos ao problema resolvido. A teoria quˆntica das a o aperturba¸˜es, por´m, ´ muito mais simples do que aquela cl´ssica. co e e a22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios ca a ˆSeja H0 um hamiltoniano cujo problema de autovalores j´ resolvemos. Con- a (0) (0)hecemos, ent˜o, as fun¸˜es ψn e os n´ meros En tais que a co u ˆ (0) (0) (0) H0 ψn = En ψn (481) ˆ ˆ ˆSeja agora H = H0 + V um novo hamiltoniano, muito pr´ximo de H0 , no o ˆseguinte sentido: todos os elementos de matriz Vnm , em rela¸˜o ` base for- ca a (0) (0)mada pelas ψn , s˜o pequenos em rela¸˜o aos En Diz-se ent˜o que V ´ a ca a ˆ euma perturba¸˜o, que H e ca ˆ ´ o hamiltoniano perturbado, e que H0 ´ o hamil- ˆ e a ´toniano n˜o-perturbado. E intuitivo que, nessas condi¸˜es, os autovalores co ˆ ˆde H sejam pr´ximos dos de H0 , o mesmo acontecendo para as autofun¸˜es. o coProcuraremos simplificar a determina¸˜o das quantidades associadas a H ca ˆ a co a ˆutilizando o fato de que elas s˜o corre¸˜es `s quantidades associadas a H0 . 109
    • ˆ O problema de autovalores de H se escreve ˆ ˆ ˆ Hψn = (H0 + V )ψn = En ψn (482) (0)Como o conjunto dos ψn ´ completo, existe a expans˜o e a (0) ψn = cnm ψm (483) me a Eq.(482) pode ser escrita ˆ ˆ (H 0 + V ) (0) cnm ψm = En (0) cnm ψm (484) m mou ˆ (0) cnm H0 ψm + ˆ (0) cnm V ψm = (0) cnm En ψm (485) m m m (0)Vamos usar agora a ortonormalidade dos ψm . Multiplicando (483) ` es- a (0)∗querda por ψk e integrando, temos: (0)∗ ˆ (0) (0)∗ ˆ (0) (0)∗ (0) cnm dqψk H0 ψm + cnm dqψk V ψm = En cnm dqψk ψm m m m (486)Mas (0)∗ ˆ (0) (0) dqψk H0 ψm = Ek δkme (0)∗ (0) dqψk ψm = δkmLogo, (0) cnm δkm Ek + cnm Vkm = En cnm δkm (487) m m mou (0) cnk Ek + cnm Vkm = En cnk (488) mque ´ uma equa¸˜o exata! Vamos agora introduzir as aproxima¸˜es. e ca co Uma condi¸˜o b´sica para o que segue ´ que cada n´ perturbado esteja ca a e ıvelmuito pr´ximo de um unico n´ n˜o-perturbado, de sorte que ψn seja muito o ´ ıvel a (0)pr´ximo de ψn , etc. Ou seja, o (0) ψn = ψn + ... (489)onde os pontos denotam termos muito menores. Na expans˜o a (0) ψn = cnm ψm (490) m 110
    • teremos ent˜o a cnm = δnm + c(1) + ... nm (491)com c(1) ≪ 1. Ao mesmo tempo, escreveremos nm (0) (1) En = En + En + . . . (492) (1)com En ≪ 1 . (0) EnUsando (491) e (492) na Eq.(488), temos (1) (0) (1) δnk + cnk Ek + δnm + c(1) Vkm = En + En (δnk + cnk ) (0) nm (0) (1) (493) mTomemos n = k. A Eq.(493), d´: a (1) (0) (0) (1) cnk Ek + Vkn = En cnk (494)ou (1) Vkn cnk = − (0) (0) n=k (495) Ek − EnTomando n = k na Eq.(493), obtemos En + c(1) En + Vnn = En + En c(1) + En (0) nn (0) (0) (0) nn (1) (496)ou (1) En = Vnn (497)O primeiro resultado importante ´ este: a primeira corre¸˜o ao autovalor n˜o e ca a (0)perturbado En , ´ o valor m´dio do potencial perturbado, Vnn , na fun¸˜o de e e caonda n˜o perturbada correspondente `quele valor de n. a a A constru¸˜o da fun¸˜o de onda perturbada ainda n˜o ´ poss´ ca ca a e ıvel, pois (1) (1)temos apenas os cnk para n = k. Falta determinar cnn . Veremos agora quec(1) pode ser tomado igual a zero. De fato, temos nn (0) ψn = cnm ψm = δnm + c(1) ψm nm (0) (498) m mou, usando os resultados j´ obtidos, a (0) ψn = ψn + c(1) ψm nm (0) m (0) Vmn = ψn − (0) (0) ψm + c(1) ψn (0) nn (0) (499) m=n Em − En 111
    • ou Vmn ψn = 1 + c(1) ψn − nn (0) (0) (0) (0) ψm (500) m=n Em − EnImpondo que ψn seja normalizada a menos de termos de segunda ordem,temos ∗ dqψn (q)ψn (q) = ∗ (1)∗ (0)∗ Vmn (0)∗ (1) (0) Vmn (0) dq 1 + cnn ψn − ψ 1 + cnn ψn − ψm (0) (0) m (0) (0) Em − En Em − En m=n m=n (0)∗ (0) (1)∗ (1) (0)∗ (0) = dqψn ψn + dq cnn + cnn ψn ψn (1)∗ (1) = 1+ cnn + cnn =1Logo, c(1)∗ + c(1) = 0 nn nn (501)ou cnn (1) = iα (502)onde α ´ um n´ mero real. Assim, o primeiro termo de (500) ´ e u e (0) ψn = (1 + iα)ψn + . . . (503)que, nesta ordem, ´ indistingu´ de e ıvel ψn = eiα ψn + . . . (0) (504)Ou seja, o termo c(1) s´ contribui para uma mudan¸a de fase de ψn , que, de nn o c (0)qualquer forma, ´ definido a menos de uma fase. Logo, podemos legitima- emente por cnn = 0. Os resultados ent˜o s˜o, at´ primeira ordem24 , (1) a a e (0) Vmn (0) ψn = ψn − (0) (0) ψm (505) m=n Em − En 24 (0) O leitor arguto estar´ perguntando: mas eu posso mudar a fase s´ do ψn ? A mudan¸a a o cde fase permitida n˜o ´ uma mudan¸a de fase simultˆnea para todos os estados? N˜o, a e c a aleitor arguto. Um mesmo estado ´ descrito pela classe de todos os vetores de m´dulo 1 e oque diferem apenas por uma fase constant. No entanto, por curiosidade, vamos mostrarque, neste caso, a mudan¸a de fase pode ser vista como uma mudan¸a geral de fase. c c (1)Examinemos a Eq.(505) em maior detalhe. O resultado obtido, para cnn = iα, ´ e (0) Vmn (0) ψn = (1 + iα)ψn − (0) (0) ψm m=n Em − EnMas, at´ primeira ordem, isto ´ o mesmo que e e   (0) Vmn (0) ψn = (1 + iα) ψn − (0) (0) ψm  m=n Em − En 112
    • (0) En = En + Vnn (506)22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com per- o turba¸˜o linear ca ˆSeja H0 = p2 /(2m) o hamiltoniano n˜o-perturbado, e a ˆ p2 H= + 1/2(k + ∆k)x2 2m ˆo hamiltoniano perturbado. Neste caso o problema de autovalores de H, ohamiltoniano perturbado, pode ser resolvido exatamente, pois ´ essencial- e ˆ 0 , com um diferente valor de k. De fato, seus autovaloresmente igual a Hs˜o a En = h(ω + ∆ω)(n + 1/2) ¯ (507)com k + ∆k ω + ∆ω = (508) m´E feita, adicionalmente, a hip´tese de que o ∆k ≪1 kde maneira que 1 k ∆k 2 ∆k ω + ∆ω = 1+ ≈ω 1+ (509) m k 2konde usamos o resultado de Newton (sim, Sir Isaac!): (1 + x)α ≈ 1 + αx , (510)para |x| ≪ 1. Logo, podemos escrever ∆k 1 En = hω 1 + ¯ n+ (511) 2k 2pois os termos Vmn (0) iα (0) (0) ψm m=n Em − Ens˜o de segunda ordem! a 113
    • e, portanto, (0) ∆k En = En 1 + (512) 2k (0)e, finalmente, lembrando que En = h(n + 1/2), ¯ (1) (0) ∆k En = En . (513) 2kPara o estado fundamental, (1) hω ∆k ¯ E0 = (514) 2 2kVaos agora obter este mesmo resultado usando o formalismo perturbativo 25 . ˆNa nota¸˜o perturbativa, temos, para o estado fundamental de H0 , ca 1 mω 4 mωx2 ψ0 (x) = e− 2¯ h (515) π¯ he 1 V = ∆k x2 (516) 2Temos 1 1 mω 2 ∞ mωx2 h∆k ¯ V00 = dx x2 e− ¯ h = √ (517) 2 π¯ h −∞ 4 mkLogo, (1) hω ¯ h∆k ¯ E0 = ∆k = √ (518) 4k 4 mkque coincide com (514).22.3 Corre¸˜es de segunda ordem coVoltemos ` Eq.(488): a (0) cnk Ek + Vkm = En cnk (519) me escrevamos a expans˜o de ψn nas fun¸˜es de onda n˜o-perturbadas at´ a co a esegunda ordem: ψn = δnm + c(1) + c(2) ψm nm nm (0) (520) m 25 ´ Sim, leitor arguto. E redundante! Mas, didaticamente, ´ util, porque ´ simples, e ´ e´ e eum caso em ue se pode verificar o resultado. 114
    • Analogamente, para as corre¸˜es ` energia , teremos: co a (0) (1) (2) En = En + En + En (521)Usando (520) e (521) em (519), temos (1) (2) (0) δnk + cnk + cnk Ek + δnm + c(1) + c(2) Vkm = nm nm m (0) (1) (2) (1) (2) = En + En + En δnk + cnk + cnk (522)Igualando os termos de ordem zero: (0) (0) δnk Ek = δnk En (523)Igualando os de ordem um: (1) (0) (0) (1) (1) cnk Ek + Vkn = cnk En + En δnk (524)E os de ordem 2: (2) (0) (2) (1) cnk Ek + c(1) Vkm = cnk Em + cnk En + δnk En nm (0) (1) (2) (525) mAs rela¸˜es de ordem zero e um j´ foram exploradas. Vamos as de ordem 2. co a ` (1)Para n = k, temos, lembrando que cnn = 0, c(1) Vnm = En nm (2) (526) m=nou (2) Vmn Vnm En = − (0) (0) (527) m=n Em − En ∗e, lembrando que Vnm = Vmn , (2) |Vmn |2 En = (0) (0) (528) m=n En − Em23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degeneradoRecomendamos ao leitor, neste ponto, a leitura do Apˆndice Matem´tico e a1, que se encontra no fim destas notas. Vimos que o n´ En do ´tomo de hidrogˆnio tem uma degenerescˆncia ıvel a e e 2 2de ordem n . Isto ´, existem n estados diferentes do ´tomo de hidrogˆnio e a e 2com energia En (se contarmos o spin, ser˜o 2n ). Quando se aplica um a 115
    • campo externo ao ´tomo, pode acontecer de esses estados interagirem de amaneira diferente com o campo, e ent˜o a degenerescˆncia ´ quebrada: em a e elugar de um n´ passaremos a ter v´rios, possivelmente at´ 2n2 , se o campo ıvel a eexterno for suficientemente complicado. Diz-se, ent˜o, que a degenerescˆncia a efoi removida. N˜o podemos aplicar cegamente os resultados obtidos at´ aqui pelo seguinte a emotivo: a corre¸˜o de primeira ordem ` fun¸˜o de onda n˜o-perturbada que ca a ca aobtivemos, (0) Vmn ψn = ψn − (0) ψ (0) (0) m (529) m=n Em − En (0) (0)cont´m, no caso de n´ e ıveis degenerados, situa¸˜es em que Em = En , para con = m, ou seja, na f´rmula acima, apareceriam denominadores nulos. o23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais oPara obter as corre¸˜es correspondentes para n´ co ıveis degenerados, precisamosde uma adapta¸˜o do m´todo anterior a esta nova situa¸˜o. Para evitar um ca e caexcesso de ´ındices, vamos reobter as f´rmulas b´sicas sob forma ligeiramente o adiferente. ˆ Seja H o hamiltoniano perturbado, e vamos escrevˆ-lo em uma s´rie de e epotˆncias de um parˆmetro pequeno, λ, desta forma[10]: e a ˆ ˆ ˆ ˆ H = H (0) + λH (1) + λ2 H (2) + . . . (530)Note-se que, no nosso tratamento anterior, o termo H (1) era denotado por V , e os demais, H (2) , H (3) , etc, eram omitidos. ˆ ˆ ˆ ˆ ıdos mais por raz˜es est´ticas do que por real utilidade. E claro que o H (0) daqui ´ o H0 do tratamentoAqui s˜o inclu´ a o e ´ ˆ e ˆanterior. Seja φ a fun¸˜o de onda perturbada, que queremos calcular. Ser´ escrita ca atamb´m como uma s´rie de potˆncias em λ: e e e φ = φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . (531)e tamb´m para a energia se escrever´ e a E = E (0) + λE (1) + λ2 E (2) + . . . (532)A equa¸˜o de Schr¨dinger para as quantidades perturbadas ´ ca o e ˆ (H − E)φ = 0 (533)que, pelo uso das expans˜es acima, se escreve o ˆ λn H (n) − E (n) λm φ(m) = 0 (534) n m 116
    • ou, por extenso, ˆ ˆ ˆ H (0) − E (0) + λ H (1) − E (1) + λ2 H (2) − E (2) + . . . × φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . = 0 (535)Igualando a zero os coeficientes da v´rias potˆncias de λ, temos a e ˆ H (0) − E (0) φ(0) = 0 (536) ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) φ(0) = 0 (537) ˆ ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(2) + H (1) − E (1) φ(1) + H (2) − E (2) φ(0) = 0(538)e assim por diante. Da primeira, tiramos, evidentemente, que ˆ H (0) φ(0) = E (0) φ(0)que ´ a equa¸˜o de autovalores do hamiltoniano n˜o-perturbado, por hip´tese e ca a oj´ completamente resolvida. Na segunda, Eq.(537), multiplicamos ` esquerda a apor φ(0)∗ (q) e integramos, obtendo ˆ dqφ(0)∗ (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) + ˆ dqφ(0)∗ (q) H (1) − E (1) φ(0) (q) = 0 (539) ˆMas, pela hermiticidade de H (0) , temos ∗ ˆ dqφ(0)∗ (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) = dq ˆ H (0) − E (0) φ(0) (q) φ(1) (q) = 0 (540)Logo, de (539), ˆ dqφ(0)∗ (q) H (1) − E (1) φ(0) (q) = 0ou ˆ E (1) = H (1) ,de acordo com o resultado obtido anteriormente.23.2 Quando o n´ ıvel ´ degenerado. . . eSuponhamos que o n´ ıvel E (0) seja g-vezes degenerado. Isto ´, existem g e (0)fun¸˜es φj , (j = 1, . . . , g) tais que co ˆ (0) (0) H (0) φj = E (0) φj (541) 117
    • (0)Neste caso, qualquer combina¸˜o linear desses φj ser´ tamb´m uma fun¸˜o ca a e ca (0)de onda de energia E . De fato, g g g g ˆ (0) ˆ (0) (0) (0) H (0) cj φ j = cj H (0) φj = cj E(0)φj = E (0) cj φ j j=1 j=1 j=1 j=1 (0)A id´ia do m´todo ´ esta: procurar as combina¸˜es lineares das fun¸˜es φj e e e co coque sejam tais que o efeito da perturba¸˜o em primeira ordem seja pequeno. ca`A luz da Eq.(529), isto significa que, para compensar os denominadores que (0) (0)se anulam, quando En = Em com n = m, devemos escolher as combina¸˜es co (0)lineares das φj que fazem o numerador correspondente tamb´m se anular26 . eSuponhamos o problema resolvido, e seja g (0) (0) φ = cj φ j (542) j=1a combina¸˜o linear procurada. ca (0)Note-se que supomos as φj normalizadas. Ent˜o a φ(0) da Eq.(542) ser´ normalizada se a a |cj |2 = 1. j Considere a equa¸˜o ca ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) φ(0) = 0 (543)ou g ˆ ˆ (0) H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) cj ′ φ j ′ = 0 (544) j ′ =1 (0)∗Multiplicando ` esquerda por φj a e integrando, obt´m-se: e (0)∗ ˆ (0)∗ ˆ (0) dqφj (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) + dqφj (q) H (1) − E (1) cj ′ φ j ′ = 0 j′ (545)O primeiro termo do primeiro membro ´ zero, usando-se a hermiticidade de eˆ (0) , como na Eq.(540). Ent˜o segue queH a (0) ˆ (0) (0)∗ (0) dqφj H (1) φj ′ − E (1) dqφj (q)φj ′ (q) = 0 (546) j′ j′e, introduzindo o s´ ımbolo ˆ (1) Hjj ′ ≡ dqφj (0)∗ ˆ (q)H (1) φj ′ , (0) 26 Ou seja, as combina¸˜es lineares escolhidas devem diagonalizar a matriz de elementos coVnm , na nota¸˜o da Eq.(529). ca 118
    • podemos escrever (546) como ˆ (1) cj ′ Hjj ′ − E (1) cj = 0 para j = 1, . . . , g (547) j′ou ainda, g ˆ (1) Hjj ′ − E (1) δjj ′ cj ′ = 0 para j = 1, . . . , g (548) j ′ =1Este ´ um sistema de g equa¸˜es homogˆneas a g inc´gnitas (os coeficientes e co e ocj ), cuja solu¸˜o trivial ´ cj = 0 para todo j. E ca e ´ claro que esta solu¸˜o n˜o ca atem nenhum interesse f´ ısico. Para que existam outras solu¸˜es, ´ necess´rio co e aque ˆ (1) |Hjj ′ − E (1) δjj ′ | = 0 (549)onde, se Aij ´ uma matriz, |Aij | ´ o determinante da matriz. e e A equa¸˜o (549) ´ denominada, por raz˜es hist´ricas, equa¸˜o secular. ca e o o caVamos a um exemplo. Para g = 2, a matriz em quest˜o ´ a e ˆ (1) ˆ (1) H11 − E (1) H12 (1) (550) ˆ H21 ˆ (1) H22 − E (1)A equa¸˜o secular ca ent˜o d´: a a ˆ (1) H11 − E (1) ˆ (1) H12det ˆ (1) = H11 − E (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) H22 − E (1) −H21 H12 = 0 ˆ (1) H21 ˆ (1) H22 − E (1) (551)ou ˆ (1) ˆ (1) ˆ ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) E (1)2 − H11 + H22 E (1) + H11 H22 − H12 H21 = 0 . (552)H´ duas solu¸˜es, a co 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1) = H11 + H22 + 2 1 ˆ (1) ˆ (1) 2 ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) + H11 + H22 − 4 H11 H22 − H12 H21 (553) 2 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1)′ = H11 + H22 + 2 1 ˆ (1) ˆ (1) 2 ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) − H11 + H22 − 4 H11 H22 − H12 H21 (554) 2Logo, o n´ de energia E (0) se desdobra em dois, de energia s E (0) + E (1) e ıvelE (0) + E (1)′ . De uma maneira geral, se a degenerescˆncia for de ordem g, teremos uma eequa¸˜o alg´brica de ordem g, com g solu¸˜es para E (1) . Se forem todas ca e codiferentes, o n´ se desdobrar´ em g novos n´ ıvel a ıveis, e a degenerescˆncia ser´ e acompletamente removida. 119
    • 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo oComo aplica¸˜o vamos calcular a a¸˜o de uma campo magn´tico fraco sobre ca ca eo estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio. Sabe-se que quando se liga a eum campo magn´tico externo, o n´ e ıvel n = 1, que corresponde ao estadofundamental, desdobra-se em um par de n´ ıveis. A interpreta¸˜o f´ ca ısica ´ a eseguinte: devido ao spin, o el´tron comporta-se como um pequeno ´ a. A e ım˜energia de intera¸˜o de um dipolo magn´tico de momento de dipolo µ com ca eum campo magn´tico B ´ e e E = −µ.Be depende, portanto, da orienta¸˜o relativa dos dois. Como o spin quˆntico ca as´ pode ter duas orienta¸˜es, correspondentes `s componentes z iguais a h 1 o co a ¯2ou −¯ 1 , h´ dois valores poss´ h2 a ıveis para a energia E, que, grosso modo, ´eadicionada ` energia do estado fundamental. Surgem assim os dois n´ a ıveis.Este fenˆmeno chama-se efeito Zeeman anˆmalo. o o Esta interpreta¸˜o superficial ´ confirmada por uma an´lise mais cuida- ca e adosa, baseada no c´lculo perturbativo. a Vimos na equa¸˜o (456) que o termo de intera¸˜o do el´tron no estado ca ca efundamental do ´tomo de hidrogˆnio (l = 0), ´ a e e ˆ ˆ e¯ h V = Hem = − s.B (555) mconde s ´ o operador de spin, cuja representa¸˜o matricial na base formada e capelos estados 1 χ+ = (556) 0 0 χ− = (557) 1´, por exemplo, para a componente x, sx = 1 σx , come 2 0 1 σx = (558) 1 0Levando-se em conta o spin, o estado fundamental ´ degenerado, e, por isso, e´ preciso utilizar o formalismo desenvolvido especialmente para este caso.e emComo s´ o spin interessa neste caso, vamos denotar por Hij ≡ Vij o elemento ode matriz gen´rico entre autoestados da proje¸˜o z do spin. Para dar um e caexemplo n˜o excessivamente trivial, tomaremos o eixo x ao longo da dire¸˜o a cado campo magn´tico, suposto uniforme e constante no tempo. e 120
    • O termo de intera¸˜o ´ ent˜o dado pela matriz ca e a e¯ h V =− σx B (559) 2mccujos elementos s˜o a e¯ † h e¯ h 0 1 1 V11 = − χ+ σx χ+ = − (1, 0) =0 (560) 2mc 2mc 1 0 0 e¯ h 0 1 0 V22 = − (0, 1) =0 (561) 2mc 1 0 1 ∗ e¯ h 0 1 0 e¯ h V12 = V21 = − (1, 0) =− (562) 2mc 1 0 1 2mcUsando agora as equa¸˜es (553) e (554), obtemos co 1 e¯ h E (1) = 4V12 V21 = (563) 2 2mc e¯ h E (1) ′ = − (564) 2mcLogo, a diferen¸a de energia entre os dois n´ c ıveis, uma vez removida a de-generescˆncia, ´ e e e¯ h ∆E = E (1) − E (1) ′ = B (565) mcem muito bom acordo com a experiˆncia, para campos magn´ticos fracos. e e23.4 Exerc´ ıcios1. No fim desta lista h´ uma tabela de valores de quantidades como a carga ae massa do el´tron, velocidade da luz, h, etc. Consulte-a para resolver as e ¯quest˜es que seguem. o(a)Calcule, em ev (eletronvolts) o potencial de ioniza¸˜o do ´tomo de hidrogˆnio, ca a eque ´ a energia necess´ria para extrair um el´tron do estado fundamental. e a e(b)Calcule, em ev, a diferen¸a de energia entre o estado fundamental e o cprimeiro estado excitado do ´tomo de hidrogˆnio. a e e¯ h(c) Calcule a raz˜o entre mc B e as quantidades calculadas acima, sendo B ao campo magn´tico da Terra. Isto dar´ uma id´ia do tamanho do efeito e a eZeeman anˆmalo (ver Notas) em rela¸˜o a duas energia s t´ o ca ıpicas do ´tomo ade hidrogˆnio. e2. Considere o po¸o quadrado infinito que estudamos em detalhe: duas c 121
    • paredes inpenetr´veis, paralelas, a uma distˆncia a uma da outra. Calcule o a aefeito sobre o estado fundamental de uma mola de constante el´stica muito apequena que prende a part´ ıcula ` parede em x = 0: corre¸˜o ` energia e ` a ca a afun¸˜o de onda, at´ primeira ordem. ca e3. Mesmo problema, mas, agora, o movimento da part´ ıcula no po¸o ´ afetado c epor uma for¸a constante muito fraca, da esquerda para a direita. c4. Qual ´ a dificuldade em introduzir a “resistˆncia do ar”, isto ´, uma e e efor¸a proporcional ` velocidade, dessa forma? c a5. Efeito Stark no ´tomo de hidrogˆnio: uma perturba¸˜o dada por um a e capotencial eletrost´tico a V = eF z ,onde F ´ o m´dulo de campo el´trico, age sobre o ´tomo. Calcule os novos e o e an´ ıveis de energia com n = 2. Resposta: me4 1 − 2¯ 2 4 h me4 1 − 2 2¯ 4 h me4 1 − 2 + 3eF a 2¯ 4 h me4 1 − 2 − 3eF a 2¯ 4 h23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o a1 erg = 6.2 × 1011 eVh = 1, 05 × 10−27 erg.s¯c = 3 × 1010 cm/sme = 9, 1 × 10−28 g e¯hMagneton de Bohr ( 2mc )=9, 3 × 10−21 erg/gaussCampo magn´tico da Terra ≈ 0, 3gauss. e6.O pr´ton n˜o ´ um ponto. Uma representa¸˜o aceit´vel para ele ´ como uma o a e ca a eesfera de raio R muito menor do que o raio do ´tomo. Quando calculamos aos estados estacion´rios do ´tomo de hidrogˆnio, supusemos o pr´ton como a a e oum ponto. Seja a o raio do ´tomo. Para R ≤ r ≤ a, a energia potencial ado el´tron ´ a mesma, seja o pr´ton um ponto ou uma esfera de raio R. e e o 122
    • Mas no intervalo 0 ≤ r ≤ R, a energia potencial do el´tron ´ diferente. e eCalcule o efeito da extens˜o do pr´ton sobre os n´ a o ıveis de energia do ´tomo de ahidrogˆnio considerando como perturba¸˜o a diferen¸a de energia potencial e ca cdevida ` extens˜o do pr´ton. Mais precisamente: a a o(a)Mostre que o potencial perturbador ´ e −3e2 r2 2r 3 R2 − 3 , r < R, V (r) = 0, r>R(b)Calcule a corre¸˜o ` energia do estado fundamental. De quantos por cento ca a´ alterada?e7. Considere um oscilador linear unidimensional de massa m e carga e. Suaenergia potencial ´ escrita como e 1 v(x) = mω 2 x2 2e a energia irradiada ´ desprez´ e ıvel. Um campo el´trico fraco, constante no eespa¸o e no tempo, ´ aplicado na dire¸˜o x. Mostre que, c e ca(a) Em primeira ordem de perturba¸˜o, os n´ ca ıveis de energia n˜o s˜o alter- a aados.(b) Calcule a corre¸˜o em segunda ordem para o estado fundamental. ca(c) Resolva o problema exatamente, e mostre que a solu¸˜o exata coincide cacom (b).(d) Analise o problema cl´ssico eq¨ ivalente e compare as solu¸˜es exatas para a u coo problema n˜o-perturbado e perturbado. a8.A linha espectral de λ = 1850˚ do merc´ rio resulta da transi¸˜o de um A u caestado excitado para o estado fundamental 1 S0 . Um campo magn´tico de e0, 2T divide essa linha em trˆs componentes com uma separa¸˜o de 0, 0032˚ e ca Aentre linhas vizinhas. O que se pode dizer do estado excitado?9. (Dedicado a Douglas Cancherini) Corre¸˜es relativistas aos n´ co ıveisatˆmicos. oA energia de uma part´ ıcula relativista livre ´ dada pela conhecida express˜o e a E 2 = p2 c2 + m2 c4 (566)A parte desta energia que permanece quando p = 0 ´ dita “energia de re- epouso”, e ´ dada pela famos´ e ıssima express˜o a E = mc2 (567) 123
    • A diferen¸a entre as energia s dadas por (566) e (567) ´ a energia cin´tica da c e epart´ ıcula. A eq.(566) pode ser escrita E= p2 c2 + m2 c4 (568)e, na maioria dos casos, o termo que descreve a energia em repouso ´ muito emaior do que o outro. Ent˜o podemos proceder assim: a 1 p 2 c2 2 p2 2 E= m2 c4 1+ 2 4 = mc 1+ 2 2 (569) mc mcque pode ser calculada aproximadamente usando a f´rmula do binˆmio de o oNewton: α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − p + 1) p (1 + x)α = 1 + αx + x +... x + . . . (570) 2! p!Usando (570) em (569), temos p2 2 1 p4 E = mc + − + ... (571) 2m 8 m3 c2Subtra´ındo a energia de repouso de (571), temos uma express˜o para a ener- agia cin´tica que j´ inclui algumas corre¸˜es relativistas, pois a energia cin´tica e a co e p2n˜o-relativista ´ dada por 2m . a e Calculamos os n´ ıveis de energia do ´tomo de hidrogˆnio resolvendo a a eequa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios com o hamiltoniano ca o a ˆ p2 Ze2 H= − (572) 2m rPara avaliar a importˆncia das corre¸˜es relativistas, podemos utilizar a teo- a co 4 co ca ˆria das perturba¸˜es, considerando como perturba¸˜o V = − 1 mp3 c2 . 8(a) Obtenha a Eq.(571).(b) Calcule a corre¸˜o ` energia do estado fundamental de um ´tomo hidro- ca a agen´ide de Z qualquer, e exiba a dependˆncia em Z. Para que valor de Z se o eteria uma corre¸˜o de 1%? ca23.4.2 Exerc´ ıcio resolvido1. Considere o po¸o quadrado infinito usual, com paredes impenetr´veis em c ax = 0 e x = a. Calcule o efeito sobre a energia de um estado estacion´rio aqualquer de uma mola de constante el´stica muito pequena (a energia poten- acial perturbadora deve ser muito menor do que a separa¸˜o entre os n´ ca ıveis) 124
    • que prende a part´ ıcula ` parede em x = 0, em primeira ordem de perturba¸˜o. a caSolu¸˜o: os n´ ca ıveis de energia n˜o-perturbados s˜o: a a h2 2 ¯ En = k 2m ncom nπ kn = asendo a fun¸˜o de onda correspondente ca 2 nπ ψn (x) = sin x a aA perturba¸˜o ´ dada por ca e 1 V (x) = mω 2 x2 2e a separa¸˜o de n´ ca ıveis ´ e h2 π 2 2 ¯ h2 π 2 ¯ En − En−1 = 2 n − (n − 1)2 = [2n − 1] 2ma 2ma2A condi¸˜o de validade da teoria da perturba¸˜o, mencionada acima, ´ ca ca e(mostre!) h2 π 2 (2n − 1) ¯ ω2 ≪ m2 a4Note-se que a condi¸˜o depende do n´ ca ıvel. Uma perturba¸ao pequena para os c˜n´ ıveis baixos pode n˜o o ser para n´ a ıveis altos. A corre¸˜o ` energia ´ ca a e 2 a nπ 1 mω 2 a nπ E= sin2 x mω 2 x2 = dx sin2 x a 0 a 2 a 0 aPara n inteiro a integral a nπx a3 dxx2 sin2 = 2n3 π 3 − 3nπ 0 a 12n3 π 3Obt´m-se assim, para a corre¸˜o, e ca (1) mω 2 a2 1 1 E = − 2 2 2 3 2n π 125
    • 23.4.3 Exerc´ ıcio resolvido (Enrico Fermi, 1954) Efeito Stark no ´tomo de hidrogˆnio: uma perturba¸˜o dada por um a e capotencial eletrost´tico a V = eF zonde F , constante, ´ o m´dulo do campo el´trico, age sobre o ´tomo. Calcule e o e aos novos n´ıveis de energia com n = 2.Solu¸˜o: o n´ ca ıvel n = 2 ´ degenerado, de ordem 4. As fun¸˜es de onda e cocorrespondentes s˜o:ψ211 , ψ210 , ψ21−1 , ψ200 . Vamos denotar os elementos de amatriz de V por ∞ π 2π 211|V |210 = r 2 dr sin θdθ ∗ dφψ211 (r, θ, φ)eF zψ210 (r, θ, φ) 0 0 0e assim por diante. A equa¸˜o secular ´: ca e   11|V |11 − E 11|V |10 11|V |1 − 1 11|V |00  10|V |11 10|V |10 − E 10|V |1 − 1 10|V |00  det   1 − 1|V |11 =0 1 − 1|V |10 1 − 1|V |1 − 1 − E 1 − 1|V |00  00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 00|V |00 − Eonde omitimos o ´ ındice 2, que ´ sempre o mesmo. e Um elemento de matriz t´ ıpico ´ e eF d3 rψ211 (r, θ, φ)zψ210 (r, θ, φ)Muitas dessas integrais s˜o nulas por causa do seguinte fato: ase f (x, y, z) = −f (−x, −y, −z), ent˜o a a b c dx dy dyf (x, y, z) = 0 −a −b −cA troca de r por −r, ou seja, de (x, y, z) por (−x, −y, −z) chama-se invers˜o aespacial. Em coordenadas esf´ricas esta transforma¸˜o ´: e ca e r → r θ → π−θ φ → φ+πEm rela¸˜o ` invers˜o espacial, os harmˆnicos esf´ricos tˆm a seguinte trans- ca a a o e eforma¸˜o (veja a prova abaixo): ca Ylm (θ, φ) = (−1)l Ylm (π − θ, φ + π) 126
    • Em conseq¨ˆncia, as seguintes integrais s˜o nulas: ue a ∗ dqψnlm zψnlm = dqz|ψnlm |2 = 0pois |ψnlm |2 ´ par e z ´ ´ e e ımpar, ou seja, o integrando ´ ´ e ımpar, sendo o intervalode integra¸˜op sim´trico, pois ´ o espa¸o todo. Logo, na equa¸˜o secular, os ca e e c caelementos de matriz diagonais s˜o todos nulos. a Na realidade, o mesmo fenˆmeno acontece com os elementos de matriz de oz entre estados de mesmo l, por exemplo: 210|V |211 = 0A matriz se simplifica para −E 0 0 11|V |00    0 −E 0 10|V |00  det  =0   0 0 −E 1 − 1|V |00    00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 −EEsta equa¸˜o d´ ca a E 4 − E 2 |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2 = 0que tem como solu¸˜es E = 0, E = 0 e co E = ± |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2Finalmente, notando que [V, lz ] = 0, ´ f´cil provar (veja a prova abaixo) que e aos elementos de matriz de V entre estados de valores distintos de m s˜o nulos. aEm conseq¨ˆncia, ue E = ±|V00,10 |Usando as fun¸˜es de onda co 1 r −r ψ200 = √ 2− e 2a 32πa3 a 1 r −r ψ210 = √ e 2a cos θ 32πa3amostre que os demais valores de E s˜o: a E = ±3eF aA conclus˜o ´ que o n´ n = 2 divide-se em trˆs n´ a e ıvel e ıveis: um, com a mesmaenergia anterior, que ´ ainda degenerado (de ordem 2), outro com energia e 127
    • igual ` energia de Bohr adicionada de 3eF a, e um terceiro, com a energia de aBohr subtra´ de 3eF a. ıdaProva 1:Para maior clareza, vamos denotar os harmˆnicos esf´ricos assim: o e r Ylm (θ, φ) ≡ Ylm ( ) , ronde r ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o determinada pelos ˆngulos θ e φ. Ent˜o, o que r e a ca a aqueremos provar ´ que e r r Ylm ( ) = (−1)l Ylm (− ) r rPara o caso em que l = m, temos l x + iy Yll (θ, φ) = K re, como (−x + i(−y))l = (−1)l (x + iy), segue que r r Yll ( ) = (−1)l Yll (− ) r rPara completar a prova, lembre-se de que l−m Ylm = K (l− ) YllMas l− = lx − ilye todas as componentes li s˜o invariantes pela invers˜o temporal (por exemplo, lx = a a ∂ ∂−i y ∂z − z ∂y n˜o se altera se os sinais de y e z s˜o invertidos). Logo, a a r l−m r l−m r r Ylm (− ) = K (l− ) Yll (− ) = (−1)l K (l− ) Yll ( ) = (−1)l Ylm ( ) r r r rProva 2: [lz , z] = 0, logo, [V, lz ] = 0. Considere o elemento de matriz l, m|[V, lz ]l′ , m′ ,que ´ obviamente zero, j´ que o comutador ´ zero. Ent˜o, e a e a 0 = l, m|[V, lz ]|l′ , m′ = = l, m|V |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |lz |l′ , m′ − l, m|lz |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |V |l′ , m′ l′′ ,m′′ l′′ ,m′′ = m′ l, m|V |l′ , m′ − m l, m|V |l′ , m′ = 0Logo, (m′ − m) l, m|V |l′ , m′ = 0Daqui se vˆ que, se m = m′ , l, m|V |l′ , m′ = 0, como se queria demonstrar. e Sem usar a nota¸˜o de Dirac, a prova seria assim: ca 0 = dqYl∗,m′ [V, lz ]Ylm ′ 128
    • = dqYl∗,m′ V lz Ylm − ′ dqYl∗,m′ lz V Ylm ′ ∗ = m dqYl∗,m′ V Ylm − ′ dq (lz Yl′ ,m′ ) V Ylm = m dqYl∗,m′ V Ylm − m′ ′ dqYl∗,m′ V Ylm ′ = (m − m′ ) dqYl∗,m′ V Ylm ′23.4.4 Prova simulada1. Efeito Stark do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio a eO el´tron do ´tomo de hidrogˆnio acha-se sob a a¸˜o de um campo el´trico e a e ca eexterno que lhe confere uma energia potencial eF z.(a) Mostre que o efeito Stark para o n´ n = 1 ´, em primeira ordem de ıvel eperturba¸˜o, nulo. ca(b) Calcule a contribui¸˜o de segunda ordem, levando o c´lculo at´ onde ca a epuder. l(c) A partir de Yll (θ, φ) = K x+iy , calcule Y21 (θ, φ), determinando tamb´m r ea constante de normaliza¸˜o.ca2.O ´tomo dos pobres aUm el´tron est´ preso dentro de uma esfera ˆca de paredes impenetr´veis, e a o ade raio a. N˜o h´ outras for¸as agindo sobre ele. a a c(a) Existem estados estacion´rios esfericamente sim´tricos? (b) Determine a eos autovalores da energia desses estados.(c) Determine a fun¸˜o de onda do estado esfericamente sim´trico de menor ca eenergia .(d) Existem estados estacion´rios desse el´tron que n˜o sejam esfericamente a e asim´tricos? e3. Oscilador preso a uma paredeUma part´ıcula de massa m possui a energia potencial 1 2 kx2 x>0 V (x) = ∞ x≤0(a) Escreva o hamiltoniano para este sistema. e determine as autofun¸˜es coψn (x) e autovalores En . (b) Calcule o valor esperado x para o estado fun-damental deste sistema e compare com o valor da mesma quantidade para ooscilador verdadeiro. Comente a diferen¸a. (c) Mesma coisa para p . c 129
    • 4. Um sistema f´ ısico tem, num certo instante, uma fun¸˜o de onda cuja caunica dependˆncia em φ (quando expressa em coordenadas esf´ricas) ´ dada´ e e epor um fator 4 Φm (φ) = cos2 φ 3π ıveis valores para uma medida de ˆz ?(a) Quais os poss´ l(b)Qual o valor m´dio lz ? e23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas co´Atomo dos pobresO laplaceano em coordenadas esf´ricas pode ser escrito: e ˆ2 1 ∂ ∂ψ l ∇2 ψ = 2 r2 − 2ψ (573) r ∂r ∂r r ˆ2onde l ´ o operador de momento angular total. e A equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios do sistema descrito ca o a´, ent˜o,e a ˆ2    2  h ¯ 1 ∂ ∂ψ l  − r2 − 2 ψ = Eψ (574) 2m  r 2 ∂r  ∂r r  Procuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) (575)Inserindo esta express˜o em (574), temos, visto que a ˆ2 l Ylm = l(l + 1)Ylm , h2 1 d ¯ 2 dR h2 l(l + 1) ¯ − 2 dr r + R(r) = ER(r) (576) 2m r dr 2m r 2Introduzindo a fun¸˜o u(r) tal u(0) = 0 e ca u(r) R(r) = ra equa¸˜o (576) d´, para u(r), a equa¸˜o ca a ca d2 u(r) l(l + 1) 2m 2 − 2 u(r) = − 2 Eu(r) (577) dr r h ¯ 130
    • Para maior clareza, vamos apender o ´ ındice l `s solu¸˜es desta equa¸˜o. a co caEnt˜o, reescrevemos: a d2 ul (r) l(l + 1) 2m 2 − 2 ul (r) = − 2 El ul (r) (578) dr r h ¯Os ´ıtens (a) e (b) podem ser respondidos imediatamente. Como as solu¸˜es cos˜o da forma ulr Ylm (θ, φ), as eventuais solu¸˜es de simetria esf´rica tˆm de a (r) co e ecorresponder a l = 0, j´ que o unico harmˆnico esf´rico com esta simetria ´ a ´ o e eo Y00 . A equa¸˜o relevante ´, ent˜o, (577) com l = 0, ou seja, ca e a d2 u0 (r) 2 = −k0 u0 (r) (579) dr 2onde pusemos 2 2m k0 ≡ E0 (580) h2 ¯A eq.(580) tem a solu¸˜o geral ca u0 (r) = A cos k0 r + B sin k0 r (581)mas, como u(0) = 0, devemos tomar A = 0. Logo, u0 (r) = B sin k0 r (582) Al´m disso, o ´tomo dos pobres tem raio a, e ent˜o a condi¸˜o adicional e a a cau0 (a) = 0 deve ser imposta. Com isto, obtemos B sin k0 a = 0 (583)cuja solu¸˜o mais geral ´ ca e kn0 a = nπ (584)onde n ´ um inteiro. Resolvemos, de novo para maior clareza, apender um enovo ´ ındice, n, `s solu¸˜es. Temos, ent˜o, muitas solu¸˜es esfericamente a co a cosim´tricas, caracterizadas por e un0 (r) = B sin kn0 r B sin kn0 r ψn0 (r) = Y00 (θ, φ) (585) rsendo as energia s dadas por h2 n2 π 2 ¯ En0 = (586) 2m a2 131
    • Evidentemente a solu¸˜o esfericamente sim´trica de menor energia ´ dada ca e epor ψ1,0 (r). As demais quest˜es sobre o ´tomo dos pobres podem ser resolvidas sem o adificuldade pelo leitor. As solu¸˜es sem simetria esf´rica satisfazem a equa¸˜o co e ca d2 ul l(l + 1) − ul (r) = −k 2 ul (r) (587) dr 2 r2 ul (r)Reescrevendo em termos da fun¸˜o Rl (r) ≡ ca r , temos d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + − Rl = −k 2 Rl (588) dr 2 r dr r2As fun¸˜es de Bessel esf´ricas s˜o solu¸˜es da equa¸˜o diferencial co e a co ca d2 jl (r) 2 djl (r) l(l + 1) + − jl (r) = −jl (r) (589) dr 2 r dr r2de onde se deduz sem dificuldade que Rl (r) = jl (kr) (590)Logo, as solu¸˜es sem simetria esf´rica tˆm a forma co e e ψnlm (r, θ, φ) = Ajl (kr)Ylm(θ, φ) (591)A condi¸˜o de contorno ´ ca e jl (ka) = 0 , (592)que ´ satisfeita por certos valores de k, denotados por kn , para os quais (592) e´ satisfeita. Matematicamente, trata-se ent˜o de fazer com que a quantidadee aka coincida com os zeros da fun¸˜o de Bessel esf´rica jl , que s˜o encontrados ca e aem tabelas. Sejam z1 < z2 < . . . < zn . . . n´ meros tais que u jl (zi ) = 0Ent˜o teremos a zi kil = (593) asendo a energia deste estado estacion´rio dada por a h2 2 ¯ Eil = k (594) 2m il 132
    • 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidosCalcular as corre¸˜es relativistas aos n´ co ıveis de energia como corre¸˜es coperturbativas. (Exerc´ 9, Se¸˜o 20.4 das notas de aula). ıcio caSolu¸˜o: o hamiltoniano n˜o-perturbado ´ ca a e ˆ p2 Ze2 H0 = − 2m renquanto que o perturbado ´, como vimos em aula, e 4 ˆ = H0 + V = H0 − 1 p H ˆ ˆ ˆ 8 m3 c2A corre¸˜o ` energia em primeira ordem ´, ent˜o, ca a e a 1 p4 E (1) = ∗ dqψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 8 m3 c2Mas p4 ψ = p2 p2 ψ = h4 ∇2 ∇2 ψ ¯e ∇2 ´ um operador hermiteano (por que?). Ent˜o, e a (1) h4 ¯ E = − 3 2 dqψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)∇2 ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) ∗ 8m c h4 ¯ ∗ = − 3 2 dq ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 8m c h4 ¯ = − 3 2 dq|∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 8m cA equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e h2 2 ¯ Ze2 − ∇ ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) = En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 2m rlogo, 2mZe2 2m ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) = − 2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) hr ¯ h ¯Logo, |∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 = 2mZe2 2m ∗ 2mZe2 2m= + 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) + 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) h2 r ¯ h ¯ h2 r ¯ h ¯ 133
    • 4m2 Z 2 e4 2 2 2 8m Ze En1 2 4m 2= 4 2 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)| + 4 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)| + 4 En1 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 2 hr ¯ hr ¯ h ¯ Para a corre¸˜o da energia temos, ent˜o, ca a Z 2 e4 1 Ze2 En1 1 E2 E (1) = − dq |ψ|2 − dq |ψ|2 − n12 dq|ψ|2 2mc2 r2 mc2 r 2mcou, Z 2 e4 1 Ze2 2 1 En1 E (1) = − 2 r2 − E 2 n1 r − 2mc mc 2mc2Para uma an´lise qualitativa, podemos por: a Z 2 e4 1 Ze2 1 En1 E (1) = − 2 a2 − E 2 n1 a − 2mc 0 mc 0 2mc2 Verifique cuidadosamente esses c´lculos (foram feitos `s pressas). Em a aparticular, verifique a validade de r = a0 1 1 = r a0 1 1 = 2 r2 a0 Determine explicitamente a dependˆncia total em Z (h´ uma escondida e aem a0 ?). Justifique o folklore que diz: corre¸˜es relativistas s˜o importantes para co an´ cleos pesados, em suas ´rbitas internas. u o Como n˜o h´ ´rbitas, que hist´ria ´ essa de “´rbitas internas”? a ao o e o24 Perturba¸˜es dependentes do tempo coAt´ agora estudamos o efeito de pequenas perturba¸˜es sobre um sistema e cof´ ısico, sob a hip´tese de que essas perturba¸˜es fossem independentes do o cotempo, como um campo magn´tico constante, etc. Muito importante para eo estudo das propriedades de ´tomo ´ investigar o que acontece com ele a equando, por exemplo, uma onda eletromagn´tica o atinge. A luz do Sol, por eexemplo, ´ um campo eletromagn´tico que varia muito rapidamente mas que, e eem condi¸˜es normais, ´ muito menos intenso do que os campos el´tricos e co e emagn´ticos do pr´prio ´tomo. Ent˜o a luz ´ uma perturba¸˜o, mas uma e o a a e caperturba¸˜o dependente do tempo. Seja ca ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (t) (595) 134
    • ˆo hamiltoniano perturbado, escrito como a soma de um hamiltoniano H0 , n˜o- aperturbado, sobre o qual sabemos tudo, e de uma perturba¸˜o V ca ˆ (t), ondea perturba¸˜o, agora, depende do tempo. Esta ´ uma dependˆncia expl´ ca e e ıcitano tempo. Vamos explicar por meio de um exemplo: suponha dois el´trons, einteragindo sob a a¸˜o de seus campos el´tricos. A repuls˜o eletrost´tica ca e a afar´ com que, ` medida que o tempo passa, eles estejam cada vez mais longe a aum do outro. Portanto, do ponto-de-vista de cada um dos el´trons, o campo edo outro varia com o tempo. N˜o se trata desta dependˆncia no tempo, a econseq¨ˆncia do movimento, o que estamos estudando aqui. Trata-se de uma uedependˆncia no tempo adicional a esta, e que aconteceria, por exemplo, se a ecarga de um dos el´trons fosse aumentando com o tempo. Se os dois el´trons e eestivessem no interior de um capacitor cujo campo el´trico fosse alter´vel e apor meio de um reostato, ter´ ıamos um campo com dependˆncia expl´ e ıcita notempo. Uma onda de luz que incide sobre um el´tron, j´ citada acima, ´ e a eoutro exemplo de perturba¸˜o com dependˆncia expl´ ca e ıcita no tempo. Nestecaso, n˜o h´ conserva¸˜o da energia 27 e o hamiltoniano perturbado n˜o ter´, a a ca a aem geral, estados estacion´rios. Sup˜e-se, por´m, que o hamiltoniano H a o e ˆ 0 ostenha, e o objetivo ´ calcular as fun¸˜es de onda do sistema perturbado como e cocorre¸˜es aos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado. co a a Sejam (0) i ψk (r, t) = uk (r)e− h Ek t ¯ (596)as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado. co a aEnt˜o uma solu¸˜o arbitr´ria da equa¸˜o de Schr¨dinger para o sistema n˜o- a ca a ca o aperturbado pode ser escrita na forma (0) ψ= ak ψk (597) k 27 De fato, a f´rmula o ˙ ˆ i ˆ ˆ O = [H, O] , h ¯precisa, quando h´ dependˆncia expl´ a e ˆ ıcita no tempo no operador O, ser modificada, dando ˙ ˆ ∂O i ˆ ˆ ˆ O= + [H, O] ∂t h ¯ ´ ca ˆAplicando-se esta ultima equa¸˜o ao hamiltoniano H, tem-se ˙ ˆ ∂H ˆ ∂V ˆ H= = ∂t ∂tque ´ diferente de zero. Na mecˆnica quˆntica, lembre-se, a conserva¸˜o da energia ´ e a a ca e ˙ ˆ = 0, que, neste caso, n˜o ´ verdadeira.sumarizada pela rela¸˜o H ca a e 135
    • Vamos agora procurar uma solu¸˜o da equa¸˜o perturbada ca ca ∂Ψ ˆ ˆ i¯ h = H0 + V ψ (598) ∂tna forma de uma soma (0) ψ= ak (t)ψk (599) konde os ak agora, diferentemente daqueles da Eq.(597), s˜o fun¸˜es do tempo. a coPara ser mais esoec´ıfico, seja ψn a fun¸˜o de onda do sistema perturbado que ca (0)´ uma corre¸˜o da fun¸˜o de onda n˜o perturbada ψn . A equa¸˜o (599) ´e ca ca a ca eagora escrita assim: (0) ψn = akn (t)ψk (600) k (0)Levando a Eq.(600) ` Eq.(598), e lembrando que as ψk satisfazem a equa¸˜o a ca (0) ∂ψk ˆ (0) i¯ h = H0 ψk , (601) ∂tobtemos ∂ (0) ˆ ˆ (0) i¯ h akn (t)ψk = H0 + V (t) akn (t)ψk (602) ∂t k kou (0) dakn ˆ (0) ψk i¯ h = akn (t)V (t)ψk (603) k dt k (0)∗Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o ` esquerda por ψm e integrando, ca atemos damn i¯ h = Vmk (t)akn (t) (604) dt konde (0)∗ ˆ (0) Vmk (t) = ψm V ψk dq = Vmk eiωmk t (605) (0) (0) E −Ecom ωmk = m ¯ k , s˜o os elementos de matriz da perturba¸˜o, inclu´ h a ca ındo asexponenciais que contˆm a dependˆncia temporal. Deve-se notar ainda que, e e ˆcomo V depende explicitamente do tempo, as quantidades Vmk s˜o tamb´m a e (0)fun¸˜es do tempo. O fato de que ψn ´ pr´xima de ψn ´ expresso por co e o e anm (t) = δnm + a(1) (t) nm (606)Inserindo (606) em (604), temos da(1) mn i¯ h = δnk Vmk = Vmn (t) (607) dt k 136
    • Note-se que Vmk (t) = Vmk eiωmk t (608) A equa¸˜o (607) pode ent˜o, por causa de (608), ser escrita: ca a da(1) i¯ mn = Vmn eiωmn t h (609) dtIntegrando, obt´m-se: e i a(1) (t) = − mn dtVmn eiωmn t (610) h ¯ O caso mais importante ´ de uma perturba¸˜o com dependˆncia peri´dica e ca e ono tempo, ˆ ˆ ˆ V = F e−iωt + Geiωt (611)` qual devemos, evidentemente, impˆr a condi¸˜o de hermiticidade. Comoa o ca ˆ ˆ ˆ V † = F † eiωt + G† e−iωt (612)e ˆ ˆ V = V† , (613)segue que ˆ ˆ F = G† (614)Para os elementos de matriz, temos a rela¸˜o: ca (G)mn = (F )∗ , mn (615)ou seja, Vmn = Fmn e−iωt + Fnm eiωt ∗ (616)Usando isto em (610), temos i amn (t) = − dt Fmn e−iωt + Fnm eiωt eiωmn t ∗ (617) h ¯ou i i ∗ amn (t) = − Fmn dtei(ωmn −ω)t − Fnm dtei(ωmn +ω)t (618) h ¯ h ¯e, integrando, i 1 i ∗ 1 amn (t) = − Fmn ei(ωmn −ω)t − Fnm ei(ωmn −ω)t (619) h ¯ i(ωmn − ω) h ¯ i(ωmn + ω) 137
    • ou ainda, Fmn ei(ωmn −ω)t Fnm ei(ωmn +ω)t ∗ amn (t) = − − (620) h(ωmn − ω) ¯ h(ωmn + ω) ¯ Esta express˜o assinala que alguma coisa importante acontece quando a (0) (0) Em − En = ±¯ ω , h (621)embora, estritamente, a teoria de perturba¸˜es n˜o se aplique neste caso, j´ co a aque os efeitos s˜o grandes. Em todo o caso, ´ claro que a a¸ao de um campo a e c˜perturbador de freq¨ˆncia dada por (621) ´ muito mais intensa do que para ue equaisquer outras freq¨ˆncias. Este fenˆmeno ´ denominado ressonˆncia. ue o e a25 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a aConsidere a perturba¸˜o peri´dica ca o ˆ ˆ ˆ V = F e−iωt + Geiωt (0) (0)de freq¨ˆncia ω tal que Em − En = h(ω + ǫ) onde ǫ ´ pequeno. A equa¸˜o ue ¯ e cab´sica ´ (604), a e dam i¯h = Vmk (t)ak (622) dt kcom Vmk (t) = Fmk ei(ωmk −ω)t + Fkm ei(ωmk +ω)t ∗ (623)Esta express˜o cont´m expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, ǫ, ´ a e eparticularmente pequeno, aparecendo nas combina¸˜es ωmn − ω e ωnm + ω. coComo a solu¸˜o de (604) envolve uma integra¸˜o do segundo membro no ca catempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui v´rios termos aoscilantes, a contribui¸˜o dominante ´ a daquele termo que oscila menos. A ca ebase matem´tica rigorosa para isto ´ o lema de Riemann-Lebesgue28 . Pode- a emos, ent˜o, aproximar as equa¸˜es (604) por a co dam i¯ h = Fmn ei(ωmn −ω)t = Fmn eiǫt an (624) dte dan i¯ h = Fmn e−iǫt am ∗ (625) dt 28 O leitor achar´ uma descri¸˜o breve em a cahttp://mathworld.wolfram.com/Riemann-LebesgueLemma.htmle uma longa em qualquer livro que trate de integral de Lebesgue. 138
    • Introduzindo a quantidade auxiliar bn = an eiǫttemos, para (624), i¯ a˙ = Fmn bn . h m (626)Substituindo, em (625), an em termos de bn , ficamos com d i¯ h bn e−iǫt = Fmn e−iǫt am ∗ (627) dtou i¯ b˙n − iǫbn = Fmn am h ∗ (628)Derivando mais uma vez, i¯ bn − iǫb˙n = Fmn a˙ h ¨ ∗ m (629)que, usada em (626), d´ a 1 bn − iǫb˙n + 2 |Fmn |2 bn = 0 ¨ (630) h ¯Trata-se agora de resolver esta equa¸˜o diferencial linear a coeficientes con- castantes. Para isto existe um algoritmo bem conhecido: como todas assolu¸˜es de equa¸˜es deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procura- co cose a solu¸˜o como uma exponencial gen´rica, escrita como ca e bn = eatcom a a determinar. Temos b˙n = aeat e bn = a2 eat . Inserindo estas express˜es ¨ oem (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos 1 a2 − iǫa + |Fmn |2 = 0 (631) h2 ¯que ´ um equa¸˜o do segundo grau. As solu¸˜es s˜o e ca co a 4 iǫ ± −ǫ2 − ¯2 h |Fmn |2 a= (632) 2Para simplificar esta express˜o introduzimos algumas abrevia¸˜es: a co Fmn η = h ¯ ǫ2 Ω = + |η|2 4 139
    • Usando esta nota¸˜o as solu¸˜es (632) podem ser escritas ca co ǫ a1 = i + iΩ 2 iǫ a2 = − iΩ 2e, portanto, b(1) = ei( 2 +Ω)t ǫ n (633) b(2) = ei( 2 −Ω)t ǫ n (634)Como an = bn e−iǫt , obtemos a(1) = ei(− 2 +Ω)t ǫ n (635) a(2) = ei(− 2 −Ω)t ǫ n (636)Finalmente, introduzindo ǫ α1 = − + Ω 2 ǫ α2 = +Ω 2chegamos a a(1) = Aeiα1 t n (637) a(2) = Be−iα2 t n (638) A¯ α1 h a(1) = − ∗ eiα1 t m (639) Fmn B¯ α2 −iα2 t h a(2) = m ∗ e (640) Fmnonde, para obter as duas ultimas, usamos a eq.(625). ´ Note-se que um par (a(i) , a(i) ) representa uma fun¸˜o de onda n m ca a(i) ψn + a(i) ψm n (0) m (0) (641)A solu¸˜o mais geral ´ dada por uma combina¸˜o linear dessas solu¸˜es, para ca e ca coi = 1 e i = 2. Como cada uma j´ foi escrita com uma constante multiplicativa aarbitr´ria, temos a ψ = a(1) + a(2) ψn + a(1) + a(2) ψm n n (0) m m (0) (642) 140
    • ou A¯ α1 iα1 t B¯ α2 −iα2 t h h ψ = Aeiα1 t + Be−iα2 t ψn + − (0) ∗ e + ∗ e (0) ψm (643) Fmn Fmn (0)Como condi¸˜o inicial, queremos que, para t = 0, ψ = ψm . Tomando t = 0 cana eq.(643), vemos que devemos ter A+B = 0 (644) h ¯ ∗ (−Aα1 + Bα2 ) = 1 (645) FmnConseq¨ entemente, u ∗ Fmn B = −A = (646) h(α1 + α2 ) ¯Note-se ainda que α1 + α2 = 2Ω. A express˜o para ψ ´, ent˜o: a e a 1 F∗ ψ= α1 eiα1 t + α2 e−iα2 t ψm − mn eiα1 t − e−iα2 t ψn (0) (0) (647) 2Ω 2¯ Ω h (0)O coeficiente de ψm na equa¸˜o anterior, depois de alguma ´lgebra, ´ escrito: ca a e ǫ iǫ e−i 2 t cos Ωt − sin Ωt (648) 2Ω (0)e o de ψn d´a η ∗ −i ǫ t −i e 2 sin Ωt (649) Ωde modo que ǫ iǫ η∗ ψ = e−i 2 t cos Ωt − (0) (0) sin Ωt ψm − i sin Ωt ψn (650) 2Ω Ω (0)O sistema inicia (em t = 0) no estado ψm . A probabilidade de ele estar, no (0)instante t, no estado ψn , ´ dada pelo quadrado do m´dulo do coeficiente de e o (0)ψn , que ´e |η|2 |η|2 sin2 Ωt = (1 − cos 2Ωt) (651) ω2 2Ω2 ǫ2Na ressonˆncia, isto ´, para ǫ = 0, temos Ω = a e 4 + |η|2 = |η|, logo, aprobabilidade da transi¸˜o ´ dada por ca e 1 (1 − cos 2|η|t) (652) 2que varia periodicamente entre 0 e 1. Isto significa que, na ressonˆncia, o a (0) (0)sistema realiza transi¸˜es peri´dicas entre ψm e ψn . Note que a freq¨ˆncia co o uedessas transi¸˜es n˜o depende de nenhuma das freq¨ˆncias presentes: ela ´ co a ue edeterminada por |η|, ou seja, pela intensidade da perturba¸˜o. ca 141
    • 26 For¸as de van der Waals c26.1 Introdu¸˜o caO f´ ısico holandˆs Johannes Diderik van der Waals, vencedor do prˆmio Nobel e ede F´ısica de 1910 “por seu trabalho sobre a equa¸˜o de estado de gases e cal´ uidos” propˆs, para gases reais, a equa¸˜o de estado ıq¨ o ca a p+ (V − b) = RT , (653) V2aplic´vel a 1 mol. Aqui a e b s˜o as chamadas constantes de van der Waals. a aNaturalmente, para a = b = 0, recupera-se a equa¸˜o de estado para gases caideais. Note-se que a equa¸˜o de van der Waals (653) mant´m a sua validade ca eat´ mesmo nos estados em que a fase gasosa e a fase l´ uida est˜o em equil´ e ıq¨ a ıbrio(Ver, para isto, Landau, Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, pg.232). Van der Waals interpretou a constante b como o volume ocupado pelos´tomos: em gases rarefeitos este volume pode ser desprezado. A constanteaa estava associada, segundo ele, a uma for¸a atrativa entre dois ´tomos. O c apr´prio van der Waals sugeriu, mais tarde, um potencial de intera¸˜o da o caforma A V (r) = − exp −Br ronde A e B s˜o constantes. a Mais tarde ainda Keesom obteve o potencial p2 p2 1 2 V (r) = − 3kT r 6para duas mol´culas polares (i.´, com dipolos permanentes), com dipolos de e em´dulos p1 e p2 . o Contudo, gases de mol´culas n˜o polares tamb´m apresentam valores n˜o- e a e anulos para a constante a, de modo que uma for¸a mais geral do que a de cKeesom seria necess´ria. a26.2 O trabalho de DebyeEm 1920, P. Debye publicou um importante trabalho no Physikalisches Zeitschrift,Vol.21, 178(1920), intitulado As for¸as coesivas de van der Waals, que re- cproduzimos, em parte, a seguir. Como se sabe, o grande sucesso da equa¸˜o de estado de van der Waals cabaseia-se essencialmente na hip´tese de uma for¸a atrativa entre as mol´culas. o c eEssas for¸as causam, em adi¸˜o ` press˜o externa, uma press˜o interna que ´ c ca a a a e 142
    • proporcional ao quadrado da densidade. De acordo com van der Waals, estasfor¸as de atra¸˜o existem entre mol´culas de qualquer tipo, e constituem c ca euma propriedade geral da mat´ria. Parece, por isso, de particular interesse econsiderar a origem dessa atra¸˜o universal. ca Sabe-se hoje com certeza absoluta que a mol´cula ´ um sistema de cargas e eel´tricas, e somos levados a procurar uma origem el´trica para as for¸as de van e e cder Waals. Ser´ certamente desnecess´rio considerar detalhes da estrutura a amolecular. Uma propriedade da mat´ria t˜o geral quanto a atra¸˜o de van e a cader Waals n˜o pode requerer, para a sua explica¸˜o, mais do que aspectos a caestruturais, comuns a todas as mol´culas. Mostraremos no que se segue que, ede fato, ´ suficiente saber que as mol´culas s˜o sistemas el´tricos em que e e a eas cargas n˜o est˜o rigidamente presas `s suas posi¸˜es em repouso. Uma a a a corela¸˜o entre a constante de atra¸˜o de van der Waals, de um lado, e o ´ ca ca ındicede refra¸˜o e o alargamento das linhas espectrais, do outro lado, pode ser cadeduzida na base dessa hip´tese. o26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals caCome¸amos por apresentar algumas rela¸˜es que ser˜o usadas subseq¨ ente- c co a umente. . .26.3 Causa da Coes˜o aSe imaginarmos as mol´culas como sistemas el´tricos r´ e e ıgidos, ent˜o haver´, a anaturalmente, uma for¸a agindo entre tais sistemas, que mudar´ de sinal c ae de magnitude com a orienta¸˜o m´ tua das mol´culas. Como todas as ca u eorienta¸˜es ocorrem em um g´s, a m´dia sobre tais orienta¸˜es precisa ser co a e cotomada, afim de computar o termo de atra¸˜o que aparece na equa¸˜o de ca caestado. Em termos gerais, na realiza¸˜o dese processo de m´dia, a probabilidade ca ede uma orienta¸˜o arbitr´ria teria de ser determinada em base ao princ´ ca a ıpiode Boltzmann-Maxwell. Quanto mais alta a temperatura, por´m, menos im- eportante ´ a dependˆncia na energia m´ tua. No limite de altas temperaturas, e e utodas as orienta¸˜es ser˜o igualmente prov´veis. Obviamente, a hip´tese de co a a ovan der Waals requer que a caracter´ ıstica coes˜o introduzida na equa¸˜o a capersista no caso limite. Pode ser mostrado facilmente que dois sistemas el´tricos r´ e ıgidos, emm´dia, n˜o exercem for¸a um sobre o outro. O potencial que ´ gerado em e a c eum ponto distante por uma mol´cula pode ser considerado como originando- ese de uma s´rie de esferas concˆntricas cobertas por uma camada de cargas e eel´tricas de densidade superficial constante. Se as mol´culas assumem todas e e 143
    • as poss´ ıveis orienta¸˜es no espa¸o, cada carga ocupa, na m´dia, todos os co c epontos da esfera com igual freq¨ˆncia. Como ´ sabido qye uma esfera com ue edensidade superficial de carga constante afeta pontos de seu esterior como sea carga total estivesse concentrada no centro, e como a mol´cula possui carga etotal zero, a m´dia do potencial no ponto considerado ser´ zero. Assim, n˜o e a aexiste for¸a efetiva na m´dia, entre duas mol´culas r´ c e e ıgidas. A situa¸˜o ´ imediata e essencialmente mudada se se consideram mol´culas ca e eque n˜o s˜o completamente r´ a a ıgidas. O fato de que cada g´s tem um ´ a ındicede refra¸˜o diferente de 1 ´ prova da mobilidade das cargas separadas da ca emol´cula. Levando isto em considera¸˜o, ser´ claro que uma dada mol´cula e ca a eadquire um momento el´trico de dipolo no campo E de outra mol´cula, e o e evalor desse momento ´ proporcional a E. Assim, surge uma energia m´ tua e uentre as duas mol´culas que ´ proporcional ao produto do momento de dipolo e epelo campo E, ou seja, ´ quadr´tica em E. Conseq¨ entemente, a for¸a m´dia e a u c en˜o pode se anular. Al´m disso, pode ser visto prontamente que essa for¸a a e c´ sempre de atra¸˜o. Assim, podemos concluir que descobrimos a for¸a quee ca cest´ na origem da atra¸˜o universal de van der Waals29 a ca A situa¸˜o pode ser ilustrada pelo exemplo seguinte. Dois dipolos est˜o ca asituados em oposi¸˜o um ao outro. ca − + + − I E E − + − + II E E(a)Na posi¸˜o I. Aqui o efeito principal ´ repulsivo. Como conseq¨ˆncia da ca e uea¸˜o, o campo E sobre as cargas elasticamente acopladas, as ultimas s˜o ca ´ adeslocadas de tal forma que os momentos el´tricos de dipolo s˜o reduzidos. e a 29 Errado! Veremos mais abaixo que esta for¸a existe, mas que a atra¸˜o de van der c caWaals ocorre tamb´m para mol´culas r´ e e ıgidas. 144
    • Assim, a for¸a repulsiva decresce; em outras palavras, uma for¸a atrativa c caparece como um efeito secund´rio. a(b)Na posi¸˜o II. Aqui o efeito principal ´ atrativo. O campo agora desloca ca eas cargas de modo que os momentos crescem. O efeito principal ´ agora au- ementado, ou, dito de outra forma, de novo uma for¸a atrativa foi adicionada ccomo efeito secund´rio. a O efeito principal se anula quando se faz a m´dia sobre todas as ori- eenta¸˜es. Como o efeito secund´rio ´ sempre positivo, ele nunca se anular´ co a e ana m´dia. e At´ aqui as palavras de Debye. Como j´ mencionamos, este efeito que a aele descreve efetivamente existe, mas n˜o ´ suficiente: os gases nobres tˆm a e e´tomos essencialmente indeform´veis, e, no entanto, se condensam, sob aa aa¸˜o da atra¸˜o de van der Waals. Falta ainda alguma coisa. ca ca26.3.1 A teoria de LondonEm 1930, Fritz London(Zeitschrift f¨r Physik,63,245(1930)) utilizou a teoria uquˆntica das perturba¸˜es para obter o potencial de intera¸˜o a co ca 3¯ ω0 α2 h V (r) = − 4r 6entre dois ´tomos (ou mol´culas) idˆnticos, com freq¨ˆncia de transi¸˜o ω0 a e e ue caentre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, e com polarizabil-idade α. O resultado de London, que foi considerado um grande marco naaplica¸˜o da mec˜nica quˆntica, mostrou que h´ uma for¸a geral de atra¸ao ca a a a c centre duas mol´culas mesmo que nenhuma possua um momento de dipolo epermanente. ´ suficiente que um momento de dipolo possa ser induzido em ecada mol´cula, isto ´, que cada mol´cula seja polariz´vel (α = 0). Al´m e e e a edisso, a for¸a de van der Waals ´ independente da temperatura, propriedade c ecompartilhada pela intera¸˜o de London, mas n˜o pela de Keesom. ca a A seguir mostraremos que a for¸a de van der Waals, na forma obtida por cLondon, pode ser atribu´ ` energia do ponto zero. ıda a26.3.2 Referˆncias eA leitura da conferˆncia que apresentou ao receber o prˆmio Nobel ´ forte- e e emente recomendada. As URL’s s˜o ahttp://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-lecture.htmlhttp://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-bio.html 145
    • Mais curiosidades sobre as for¸as de van der Waals: chttp://news.nationalgeographic.com/news/2002/08/0828_020828_gecko.htmlhttp://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A6378230http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Debye-1920/Debye-1920.html De grande interˆsse e atualidade ´ o artigo de S. K. Lamoureux, “Casimir e eforces: Still surprising after 60 years”, Physics Today,Fevereiro de 2007,pg.40, que considera a for¸a de van der Waals no contexto mais amplo das cfor¸as de Casimir. Em particular, menciona-se neste artigo o fato de que a caderˆncia que permite `s lagartixas subir uma parede de vidro ´ devida ` e a e afor¸a de van der Waals. c26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero caQuando um g´s se condensa, ocorre uma not´vel contra¸˜o de volume, que a a carevela a existˆncia de for¸as de coes˜o entre as mol´culas, ou ´tomos. Essas e c a e afor¸as s˜o as for¸as de van der Waals. As for¸as de coes˜o de van der Waals c a c c adepemdem da deforma¸˜o m´ tua dos ´tomos, de duas maneiras diferentes. ca u aPrimeiro, a a¸˜o do campo (devido ao momento de dipolo ou quadrupolo capermanente da mol´cula, sobre o dipolo induzido sobre a outra mol´cula por e eeste mesmo campo) leva, em m´dia, a uma atra¸˜o: um resultado conhecido e camesmo antes da mecˆnica quˆntica, demonstrado por considera¸˜es cl´ssicas a a co apor Debye e Keesom (1921). Da´ no entanto, se concluiria que ´tomos ou mol´culas de estados funda- ı, a ementais esfericamente sim´tricos (e, portanto, sem dipolos ou quadrupolos epermanentes), como os gases inertes, n˜o deveriam apresentar coes˜o, con- a atrariamente ` experiˆncia. a e Uma solu¸˜o para este problema foi apresentada por Fritz London (1930), caque mostrou que a deformabilidade tem um segundo efeito, caracter´ ısticoda mec˜nica quˆntica. De acordo com esta teoria, existe um ”movimento a ado ponto zero”, isto ´, mesmo no estado de m´ e ınima energia o atomo ou ´mol´cula apresentam movimento de cargas, de modo que pode existir um edipolo oscilante, com a freq¨ˆncia do el´tron. Aproximados os ´tomos um ue e ado outro, os ”movimentos do ponto zero”dos dipolos agem sempre de modoque o resultado seja uma atra¸˜o.ca Para descrever a intera¸˜o entre dois ´tomos de hidrogˆnio de forma bem ca a esimples, consideremos cada um deles como um n´ cleo positivo de carga e e uum el´tron, de carga −e que, por a¸˜o de um campo eletromagn´ico, est´ e ca t aoscilando harmˆnicamente em torno do n´ cleo fixo. No primeiro semestre o u 146
    • mostramos que, num modelo muito simples do ´tomo, se o el´tron ´ deslo- a e ecado de uma distˆncia r em rela¸˜o ao n´ cleo, aparece sobre ele uma for¸a a ca u crestitutiva da forma e2 F = − 3r aonde a ´ o raio do n´ cleo. No caso de um modelo mais real´ e u ıstico, a for¸a cainda ter´ essa express˜o, mas a n˜o ser´ exatamente o raio do n´ cleo. a a a a u Supondo os dois ´tomos idˆnticos, cada um deles ter´, ent˜o, por causa a e a ada deforma¸˜o, uma energia potencial el´stica, ou seja, teremos energias ca a e2potenciais 2a6 x2 para um ´tomo (x1 ´ o deslocamento do el´tron em rela¸˜o 1 a e e ca e2 2ao ´tomo) e 2a6 x2 para o outro. a Os n´ cleos dos ´tomos est˜o ` distˆncia R um do outro. Supondo, apenas u a a a apara fixar as id´ias, que o ´tomo ` esquerda tenha o el´tron deslocado para a e a a eesquerda, e que o da direita tenha o seu deslocamento para a direita, teremosuma energia potencial el´trica dada por e e2 e2 e2 e2 U= + − − (654) R R + x1 + x2 R + x1 R + x2Estaremos supondo que os ´tomos estejam distantes, ou, mais precisamente, aque R ≫ xi para i = 1, 2 Podemos ent˜o, na Eq.(654), expandir cada termo que contenha x1 e x2 aem s´rie de potˆncias de xi /R, o que se faz sem dificuldade usando a f´rmula e e odo binˆmio. Por exemplo, o e2 e2 x1 + x2 −1 e2 x1 + x2 (x1 + x2 )2 = 1+ = 1− + R + x1 + x2 R R R R R2Fazendo o mesmo para e2 /(R + x1 ) e e2 /(R + x2 ) e levando esses resultadosem Eq.(654), obtemos, ap´s uma s´rie de cancelamentos, o e 2e2 U(x1 , x2 ) = x1 x2 R3que ´ a energia de intera¸˜o entre os dois dip´los. e ca o A energia total do sistema ´ ent˜o dada por e a p2 + p2 1 2 e2 2e2 x1 x2 H= + 3 x2 + x2 + 1 2 (655) 2m 2a R3Suponhamos por um momento que o termo de intera¸˜o, ou seja, o ultimo ca ´termo da Eq.(655), seja omitido. Ent˜o cada dip´lo iria vibrar com a freq¨ˆncia a o ue e2 ω0 = a3 m 147
    • Na presen¸a do termo de intera¸˜o, conv´m proceder assim: procuro uma c ca emudan¸a de vari´veis tal que o sistema seja reconduzido, nas novas vari´veis, c a aa dois osciladores independentes. Isto se consegue introduzindo as vari´veis a 1 xs = √ (x1 + x2 ) 2 1 ps = √ (p1 + p2 ) 2 1 xa = √ (x1 − x2 ) 2 1 pa = √ (p1 − p2 ) 2Com isto, o hamiltoniano do sistema se escreve 1 e2 e2 H= ps + p2 + 3 x2 + x2 + 3 x2 − x2 2 a s a s a 2m 2a Rou, de forma mais clara, 1 2 e2 e2 1 2 e2 e2 H= ps + + 3 x2 + s pa + − 3 x2 a (656) 2m 2a3 R 2m 2a3 RNa Eq.(656) vˆ-se que h´ dois osciladores independentes, um de coordenadas e axs e o outro de coordenadas xa . O primeiro tem a constante el´stica dada a e2 e2 e2 e2por 2a + R3 , e o segundo a tem igual a 2a − R3 . Escrevendo e2 1 2 ωs = + 3 (657) m a3 R e2 1 2 ωa = 3 − 3 (658) m a Rvemos facilmente que as energias do sistema podem ser escritas 1 1 1 1 Ena nb = hωs ns + ¯ + hωa na + ¯ (659) 2 2 2 2 O estado fundamental desse sistema, que ´ a energia mais baixa que este esistema de dip´los pode ter, ´ obtido pondo ns = na = 0 (´ a energia do ponto o e ezero do sistema). Mesmo que n˜o haja nenhum campo externo atuando sobre ao sistema, ele ter´ esta energia, pelo menos. Ela ´ a e 1 E00 = h (ωs + ωa ) ¯ (660) 2 148
    • Usando as Eqs.(657) para explicitar os valores de ωs e ωa , temos a6 E00 = hω0 1 − ¯ + ... (661) 2R6O primeiro termo ´ uma constante, irrelevante. O segundo termo ´ da forma e e a6 U(R) = −¯ ω0 h (662) 2R6e ´ sempre negativo. Ele gera a for¸a e c Fvw = −∇U(R)ou seja, 3a6 ˆ Fvw = −¯ ω0 h R R7ou e2 3a6 ˆ Fvw = −¯ h R (663) am R7 c ˆ eque ´ uma for¸a atrativa (R ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o radial). Esta ´ a e a ca efor¸a de van der Waals. Apesar de ser respons´vel por um fato corriqueiro, c amacrosc´pico, como a contra¸˜o volum´trica por ocasi˜o da condensa¸˜o, ela o ca e a ca´ de car´ter quˆntico, o que se manifesta claramente tanto pelo fato de sere a aproporcional a h, quanto pelo fato de ser uma conseq¨ˆncia direta da energia ¯ uedo ponto zero dos osciladores harmˆnicos. Usando o valor de o h2 ¯ a= me2pode-se reescrever a eq.(662) na forma e2 a5 U(R) = , (664) R6que ser´ util para comparar com os resultados perturbativos obtidos abaixo. a´26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c WaalsPara obter uma express˜o para as for¸as de van der Waals via teoria das a cperturba¸˜es, precisaremos do seguinte resultado, demonstrado no Apˆndice: co e 149
    • a corre¸˜o de segunda ordem ` energia n˜o perturbada, que denotaremos por ca a aW2 , ´ dada por e ˆ | m|V |n |2 W2 = (665) n=m Em − Enonde |m ´ o estado n˜o perturbado e os Ei s˜o as energias dos n´ e a a ıveis n˜o aperturbados. Suponhamos que os n´ cleos de dois ´tomos de hidrogˆnio, um localizado u a ena origem, o outro no ponto com vetor de posi¸˜o R, estejam no eixo z. O cael´tron do primeiro ´tomo est´ em r1 , e o do outro em R + r2 . e a a r1 r2 1 R 2 O hamiltoniano para este sistema ser´ escrito a ˆ ˆ H = H0 + V ˆ (666) ˆ h2 ¯ e2 e2 H0 = − ∇2 + ∇2 − − 1 2 (667) 2m r1 r2 2 2 ˆ e e e2 e2 V = + − − (668) R |R + r2 − r1 | |R − r1 | |R + r2 | Os ´tomos n˜o perturbados est˜o em seus estados fundamentais, de sorte a a a ˆ eque o autoestado de H0 ´ dado por u0 (r1 , r2 ) = u100 (r1 )u100 (r2 ) (669)onde 3 1 2 r u100 (r, θ, φ) = 2 exp − Y00 (θ, φ) a0 a0 ˆ Para que o potencial V possa ser tratado perturbativamente, suporemoso caso em que R ≫ a0 , onde a0 ´ o raio de Bohr, o que acarreta que r1 e r2 e R Rs˜o ambos muito menores do que 1. a ˆ Neste caso, expandindo V em potˆncias de 1/R (com o uso da f´rmula e odo binˆmio de Newton) teremos, ap´s v´rios cancelamentos, e desprezando o o atermos da ordem de (r/R)4 e menores, e2 V = (x1 x2 + y1 y2 − 2z1 z2 ) (670) R3 150
    • ˆNote inicialmente que m|V |m = 0, pois a fun¸˜o de onda u0 (r1 , r2 ) ´ uma ca efun¸˜o par de r1 e de r2 , enquanto que V ca ˆ (como mostra a Eq.(670)) ´ ´ e ımparem r1 e em r2 . Assim, o termo que iremos calcular, a corre¸˜o de segunda caordem ` energia, ´ o termo dominante na abordagem perturbativa. Como a eele depender´ de V a ˆ 2 , teremos uma intera¸˜o do tipo 1/R6 . ca Olhando, na eq.(665), a express˜o para W2 , que denotaremos por W (R), atemos ˆ | m|V |n |2 W2 = , (671) n=m E0 − Enonde vemos que W (R) ´ negativa, pois o numerador ´ positivo e o denomi- e enador ´ negativo, j´ que E0 < En , para todo n = 0. Logo, trata-se de uma e aintera¸˜o atrativa e proporcional a 1/R6 , para grande R. Estas conclus˜es ca opermanecem v´lidas para qualquer par de ´tomos cujos estados fundamentais a asejam n˜o-degenerados e esfericamente sim´tricos. a e ´ poss´ e ıvel (A. Unsold, 43,563(1927)) obter um limite superior para aquantidade positiva −W (R), substitu´ ındo, em (671), todos os En (com n = ˆ0) pela energia do estado excitado mais baixo para o qual 0|V |n∗ ´ diferente ede zero. Vamos denot´-la por En∗ . De fato, neste caso teremos a 2 2 ˆ | 0|V |n |2 = ˆ ˆ 0|V |n n|V |0 − ˆ 0|V |0 ˆ = 0|V 2 |0 − ˆ 0|V |0 n=0 n (672) ˆe, levando em conta que 0|V |0 = 0, ˆ 0|V 2 |0 −W (R) ≤ (673) En∗ − E0O estado n∗ ´ aquele em que ambos os ´tomos est˜o em estados com n´ mero e a a uquˆntico principal n = 2, de modo que a e2 E0 = −2 2a0e e2 En∗ = −2 8a0ou ainda 3e2 En∗ − E0 = (674) 4a0Do resultado obtido acima chega-se a ˆ e4 V 2 = 6 x2 x2 + y1 y2 + 4z1 z2 + 2x1 x2 y1 y2 − 4x1 x2 z1 z2 − 4y1 y2 z1 z2 1 2 2 2 2 2 (675) R 151
    • Todos os termos do tipo 0|x1 x2 y1 y2 |0 s˜o nulos, pois s˜o fun¸˜es ´ a a co ımparesde cada coordenada. Por exemplo, 0|x1 y1 x2 y2 |0 = 0|x1 y1 |0 0|x2y2 |0 (676)e ∞ ∞ ∞ 2 x2 + y1 + z1 1 2 2 0|x1 y1 |0 = K dx1 dy1 dz1 x1 y1 exp − −∞ −∞ −∞ a0 ∞ ∞ ∞ 2 x2 + y1 + z1 1 2 2 = K dz1 dy1 y1 dx1 x1 exp − −∞ −∞ −∞ a0e a integral em x1 d´ zero, pois o intervalo de integra¸˜o ´ sim´trico e o a ca e e 2 2integrando ´ ´ e ımpar. J´ os termos quadr´ticos, como x1 x2 , d˜o a a a 0|x2 x2 |0 = 0|x2 |0 0|x2|0 1 2 1 2 (677)e 1 4 ∞ 2r 0|x2 |0 = 1 d3 rr 2 |u100 (r)|2 = drr 4 exp − = a2 0 (678) 3 3a30 0 a0onde usamos 2 r u100 (r) = 3/2 exp (− )Y00 (θ, φ) a0 a0Ent˜o a 0|x2 x2 |0 = a4 1 2 0 (679) 2 2 2 2obtendo-se o mesmo valor para 0|y1 y2 |0 e 0|z1 z2 |0 Em conseq¨ˆncia, ue ˆ e4 0|V 2 |0 = 6a4 0 (680) R6e 8e2 a5 0 W (E) ≥ − (681) R6Usando o m´todo variacional ´ poss´ determinar um limite superior para e e ıvelW (R) (Schiff, Quantum Mechanics, 3rd. edition, pg.262). Obt´m-se e 6e2 a5 0 W (R) ≤ − (682) R6e, portanto, 8e2 a5 0 6e2 a5 − ≤ W (R) ≤ − 6 0 (683) R6 RC´lculos variacionais mais detalhados mostram que o coeficiente num´rico a eem W (R) ´ muito aproximadamente 6, 50. e 152
    • 26.6 Apˆndice e Teoria das perturba¸˜es coSuponhamos que saibamos tudo sobre o sistema cujo hamiltoniano Ho , oˆhamiltoniano n˜o perturbado. Nosso interesse ´ utilizar este conhecimento a epara obter solu¸˜es aproximadas para o sistema cujo hamiltoniano ´ co e ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (684) ˆonde V , dito a perturba¸˜o, ´ pequeno. Podemos, para tornar mais simples ca e co ca ˆas dedu¸˜es, escrever a perturba¸˜o como λV , com λ pequeno. No final dosc´lculos tomaremos λ = 1. a co ˆ As autofun¸˜es da energia de H0 , denotadas por uk (r), satisfar˜o a ˆ H0 uk = Ek uk (685)o que identifica os Ek como sendo os n´ıveis de energia n˜o perturbados. a As fun¸˜es de onda e n´ co ıveis de energia perturbados ser˜o escritos a ˆ Hψ = W ψ (686)e, expandidos em s´ries de potˆncias de λ, d˜o e e a ψ = ψ0 + λψ1 + λ2 ψ2 + λ3 ψ3 ... (687) W = W0 + λW1 + λ2 W2 + λ3 W3 + ... (688)e, colocados na Eq.(684), levam a ˆ ˆ H0 + λV (ψ0 + λψ1 + ...) (W0 + λW1 + ...) (ψ0 + λψ1 + ...) (689)Igualando os coeficientes das mesmas potˆncias de λ, obtemos e ˆ H0 − W0 ψ0 = 0 (690) ˆ ˆ H0 − W0 ψ1 = (W1 − V )ψ0 (691) ˆ ˆ H0 − W0 ψ2 = (W1 − V )ψ1 + W2 ψ0 (692) ˆ ˆ H0 − W0 ψ3 = (W1 − V )ψ2 + W2 ψ1 + W3 ψ0 etc (693)A primeira equa¸˜o nos diz que ψ0 ´ uma das autofun¸˜es n˜o perturbadas, ca e co ae W0 ´ o seu autovalor. Tomemos ψ0 = um , e W0 = Em . Suponhamos que eum n˜o seja degenerado. a 153
    • Nas segunda das equa¸˜es acima, podemos substituir co ′ ψ1 → ψ1 = ψ1 + K1 ψ0sem violar a equa¸˜o. Escolhamos K1 de modo tal que ca ′ (ψ1 , ψ0 ) = 0 ′e passemos a chamar ψ1 de ψ1 . Na terceira equa¸˜o podemos substituir ca ′ ψ2 → ψ2 = ψ2 + K2 ψ0 ,escolher K2 de forma que ′ (ψ2 , ψ0 ) = 0 ′e passar a chamar ψ2 de ψ2 , e assim por diante. Desta forma, teremos fun¸˜es coψs (s = 0) que satisfazem as equa¸˜es acima e s˜o, todas, ortogonais a ψ0 . co a Nas equa¸˜es (690) e seguintes, tomemos o produto escalar, termo a cotermo, por ψ0 . Tomemos como exemplo a terceira delas. Teremos ˆ ˆ ψ0 , (H0 − W0 )ψ2 = ψ0 , (W1 − V )ψ1 + (ψ0 , W3 ψ0 ) (694)que tem como resultado ˆ 0 = − ψ0 , V ψ1 + W2 (695)ou ˆ W2 = ψ0 , V ψ1 (696)e, de maneira geral, ˆ Ws = ψ0 , V ψs−1 (697) Por outro lado, ψ1 pode ser expandida nas autofun¸˜es n˜o perturbadas, co a ψ1 = a(1) un n (698) nLevando (698) ` segunda das equa¸˜es (690), temos a co ˆ ˆ a(1) H0 − Em um = W1 − V um (699) n nMas a(1) = 0, como conseq¨ˆncia de m ue (ψ0 , ψs ) = 0 154
    • De (699) segue ent˜o, sem dificuldade, tomando o produto escalar com uk , aque (1) ˆ k|V |m ak = (700) Em − EkLevando este resultado ` (696),e lembrando que ψ0 = um , a ˆ k|V |m ˆ W2 = m|V | |k (701) k=m Em − Ekou ˆ ˆ m|V |k k|V |m W2 = (702) k=m Em − Ekou ainda, 2 ˆ k|V |m W2 = (703) k=m Em − Ekque ´ o resultado que foi usado no texto. e27 Sistemas compostosQual ´ a probabilidade de, lan¸ando-se um dado, obter-se o n´ mero 3? Todo e c uo mundo sabe que ´ 1/6. Qual ´ a probabilidade de, lan¸ando-se o mesmo e e cdado duas vezes, obter-se duas vezes o n´ mero 3? Como s˜o eventos inde- u apendentes, a probabilidade ´ o produto, 1/36, portanto. Considere agora o eseguinte problema: lan¸a-se o dado uma primeira vez, obtendo-se n1 . Qual ´ c ea probabilidade de que, num segundo arremesso, a leitura, n2 , seja maior doque n1 ? Ou seja, qual ´ a probabilidade de, arremessando-se um dado duas evezes, obter-se o par (n1 , n2 ), com n2 > n1 ? Agora n˜o se trata de eventos aindependentes, e a probabilidade n˜o ´ um simples produto. Num sistema a eformado por duas part´ ıculas, dizemos que elas s˜o independentes se a prob- aabilidade de uma estar em uma certo elemento de volume for independenteda posi¸˜o da outra. Neste caso, cada part´ ca ıcula possui a sua pr´pria fun¸˜o o cade onda. Sejam ψ1 (r1 ) e ψ2 (r2 ) essas fun¸˜es de onda. Ent˜o a fun¸˜o de co a caonda do sistema ´, simplesmente, e ψ(r1 , r2 ) = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) (704)De fato, desta forma a probabilidade de a part´ ıcula 1 estar entre r1 e r1 +d3 r1 3e da part´ıcula 2 estar entre r2 e r2 + d r2 ´ dada por e |ψ(r1 , r2 )|2 d3 r1 d3 r2 = |ψ(r1 )|2 |ψ2 (r2 )|2 d3 r1 d3 r2 (705) 155
    • e a probabilidade do evento composto (part´ ıcula 1 aqui e part´ ıcula 2 ali) ´ eo produto das probabilidades dos eventos individuais, o que caracteriza, nalinguagem das probabilidades, a independˆncia dos eventos. e Se as part´ ıculas interagem, essas probabilidades n˜o s˜o mais indepen- a adentes, e a fun¸˜o de onda do sistema composto n˜o ´ mais o produto das ca a efun¸˜es de onda dos sistemas elementares. co Sejam ψn (r1 ), n = 1, 2 . . . (706)fun¸˜es que formam uma base do espa¸o E1 de estados da part´ co c ıcula 1, e φn (r2 ), n = 1, 2 . . . (707)fun¸˜es que formam uma base do espa¸o E2 de estados da part´ co c ıcula 2. Con-sideremos o conjunto dos produtos ψn (r1 )φm (r2 ) (708)para todos os valores poss´ıveis de n e m. O conjunto de todas as combina¸˜es colineares, com coeficientes complexos, desses produtos, ´ um espa¸o vetorial30 . e cOs elementos desse espa¸o vetorial s˜o, ent˜o, express˜es da forma c a a o Ψ(r1 , r2 ) = Aψ1 (r1 )φ1 (r2 ) + Bψ2 (r1 )φ3 (r2 ) , (709)por exemplo. Mais geralmente, Ψ(r1 , r2 ) = Anm ψn (r1 )φm (r2 ) (710) n monde os Anm s˜o n´ meros complexos. a u O produto escalar neste espa¸o ´ definido assim: para elementos da base, c e (ψn (r1 )φm (r2 ), ψn′ (r1 )φm′ (r2 )) = (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) (711)A extens˜o a um elemento geral ´ feita usando a bilinearidade do produto a eescalar, isto ´, e (a + b, c) = (a, c) + (b, c) (712) (a, b + c) = (a, b) + (a, c) (713)Desta maneira, (Ψ(r1 , r2 ), Ψ′ (r1 , r2 )) = ∗ Anm Bm′ n′ (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) m,n m′ ,n′ (714) 30 Dito produto tensorial dos espa¸os E1 e E2 , e denotado, quando se quer assustar os cestudantes, por E1 ⊗ E2 . 156
    • onde (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) = d3 r1 ψn (r1 )∗ ψn′ (r1 ) (715)e assim por diante. Os mesmos resultados se aplicam no caso de se ter, em lugar de duasou mais part´ıculas, dois ou mais conjuntos de vari´veis independentes. Por aexemplo, uma part´ ıcula livre no espa¸o tridimensional, descrita por coorde- cnadas cartesianas. As coordenadas x, y e z s˜o independentes, e a fun¸˜o de a caonda da part´ıcula ´ escrita, num estado de momento definido, e ψ(x, y, z) = ei(kx x+ky y+kz z) = eikx x eiky y eikz z . (716)Outro caso semelhante ´ o do spin. Na mecˆnica quˆntica n˜o-relativ´ e a a a ıstica (ena ausˆncia de campos magn´ticos) as coordenadas espaciais e as vari´veis e e ade spin s˜o independentes: a probabilidade de um el´tron estar em uma a edeterminada posi¸˜o e ter, por exemplo, componente z do spin igual a +1/2, ca´ o produto das duas probabilidades. A fun¸˜o de onda de um el´tron ´ ent˜oe ca e e ao produto ψ(r)χσ (717)onde χσ ´ uma das duas matrizes coluna e 1 0 ou 0 1e ψ(r) ´ a fun¸˜o de onda espacial. e ca Se o hamiltoniano de um sistema for constitu´ de um termo que depende ıdodas coordenadas espaciais e outro que depende das vari´veis de spin, por aexemplo ˆ h2 2 ¯ e¯ h H=− ∇ + σz B (718) 2m 2mc ˆcom B constante, o elemento de matriz de H entre dois estados do tipo queaparece na eq.(717), ´ e ˆ h2 2 ¯ (ψ1 (r)χ+ , Hψ2 (r)χ− ) = χ† + d3 rψ1 (r) − ∗ ∇ ψ2 (r) χ− 2m e¯ h † + B d3 rψ1 (r)ψ2 (r) χ+ σz χ− ∗ 2mc h2 2 ¯ = χ† χ− + d 3 ∗ rψ1 (r) − ∇ ψ2 (r) + 2m e¯ h + χ† σz χ− + B d3 rψ1 (r)ψ2 (r) ∗ (719) 2mc 157
    • A extens˜o deste formalismo para um n´ mero arbitr´rio de part´ a u a ıculas ´ ´bvio, eoe fica ao encargo do leitor. Como um exemplo final, vamos examinar de novo o ´tomo de hidrogˆnio, a emas sob um aspecto mais realista: a intera¸˜o de uma part´ ca ıcula de massam2 e carga +e, o pr´ton, com um el´tron de massa m1 e carga -e. O nosso o etratamento anterior deste mesmo problema considerava a massa do proton(que ´ cerca de 2000 vezes maior que a do el´tron) como infinita, desprezando, e eassim, a rea¸˜o do el´tron sobre o proton. Uma descri¸˜o mais acurada do ca e caproblema, ent˜o, considera um sistema de duas part´ a ıculas ligadas por umpotencial coulombiano. Sejam r1 e r2 as posi¸˜es do el´tron e do pr´ton, co e orespectivamente. O potencial coulombiano ser´ da forma V (|r1 − r2 |), e a aequa¸˜o de Schr¨dinger ser´ ca o a h2 2 ¯ h2 2 ¯ − ∇r1 − − ∇ ψ(r1 , r2 ) + V (|r1 − r2 |)ψ(r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 ) 2m1 2m2 r2 (720)Introduzimos as novas vari´veis a r = r1 − r2 (721) m1 r1 + m2 r2 R = (722) m1 + m2sendo as transforma¸˜es inversas dadas por co m2 r1 = r+R (723) M m1 r2 = − r+R (724) Mcom M = m1 + m2 . Reconhecemos R como a posi¸˜o do centro-de-massa, na mecˆnica cl´ssica. ca a aA outra vari´vel, r, ´, obviamente, a posi¸˜o do el´tro em rela¸˜o ao pr´ton. a e ca e ca oNa mecˆnica cl´ssica sabemos que essas vari´veis s˜o independentes: en- a a a aquanto o movimento relativo pode complicar-se ` vontade, o centro-de-massa asegue serenamente seu movimento retil´ ıneo e uniforme. Isto nos sugere, namecˆnica quˆntica, procurar solu¸˜es da equa¸˜o de Schr¨dinger (720) que a a co ca osejam produtos de uma fun¸˜o de r por uma fun¸˜o de R. Mas, primeiro, ca cavamos escrever (720) em termos dessas novas vari´veis. Ap´s um c´lculo n˜o a o a amuito complicado, descrito abaixo em letras mais mi´ das, obtemos, para u(720), h2 2 ¯ h2 2 ¯ − ∇r ψ(r, R) − ∇ ψ(r, R) + V (|r|)ψ(r, R) = Eψ(r, R) (725) 2µ 2M 158
    • Aqui aparece a nova vari´vel µ, a massa reduzida, definida por a 1 1 1 = + . µ m1 m2Procuremos agora solu¸˜es da forma co ψ(r, R) = φ(r)χ(R) . (726)Inserindo o segundo membro de (726) em (725) obtemos h2 2 ¯ h2 2 ¯χ(R) − ∇r φ(r) − φ(r) ∇ χ(R) + χ(R)V (|r|)φ(r) = Eφ(r)χ(R) 2µ 2M R (727)que pode ser reescrita assim: h2 1 ¯ 2 h2 1 ¯ − ∇r φ(r) + V (|r|) − E = − ∇2 χ(R) (728) 2µ φ(r) 2M χ(R) RO segundo membro n˜o depende de r, e ´ igual ao primeiro membro, que a en˜o depende de R. Logo, o segundo membro n˜o depende nem de r nem a ade R, ou seja, ´ constante. O primeiro membro, por conseg¨ inte, ´ tamb´m e u e econstante. Logo, h2 1 ¯ − ∇2 χ(R) = −K (729) 2M χ(R) Rcom K constante. Isto ´ a mesma coisa que e 2M ∇2 χ(R) = − Kχ(R) = −k 2 χ(R) (730) R h2 ¯ 2Monde pusemos k 2 = ¯2 h K. Isto ´ permitido, com k real, porque (730) pode eser escrita P2 χ(R) = Kχ(R) (731) 2Mcom P hermiteano. Logo, K ´ positivo. e Voltando ` eq.(730), sua solu¸˜o ´ a ca e χ(R) = Aeik.R (732)com |k|2 = 2M K. Conclui-se que o centro-de-massa move-se como uma ¯2 hpart´ıcula livre em estado de momento bem definido. Existe, portanto, umsistema de referˆncia inercial em que o centro-de-massa est´ em repouso. e a 159
    • Para φ(r) temos agora a equa¸˜o ca h2 1 ¯ − ∇2 φ(r) + V (|r|) − E = −K (733) 2µ φ(r) rou h2 ¯ − ∇r φ(r) + V (|r|)φ(r) = (E − K)φ(r) (734) 2µDesta equa¸˜o vemos que, `parte o movimento do centro-de-massa, o prob- ca alema foi reduzido a um problema de uma part´ ıcula, de massa µ, que se movesob a a¸˜o de um campo que lhe d´ uma energia potencial V (|r. A partir de ca aagora basta reproduzir, mutatis mutandis31 , a solu¸˜o anterior para o ´tomo ca ade hidrogˆnio. e 2 Vamos agora ao c´lculo prometido acima. Tudo est´ em escrever ∇r1 em termos de a a 2r e R, a mesma tarefa devendo ser realizada tamb´m para ∇r2 . Trabalhando com as ecomponentes ao longo do eixo x j´ podemos adivinhar a express˜o geral. Temos a a ∂ ∂ m1 ∂ = + ∂x1 ∂x M ∂Xonde, como ´ ´bvio, x ´ a componente de r, e X a componente de R. Usamos, nesta e o eprimeira passagem, a rela¸˜o ca ∂ ∂x ∂ ∂X ∂ = + ∂x1 ∂x1 ∂x ∂x1 ∂XLogo, ∂2 ∂ m1 ∂ ∂ m1 ∂ = + + ∂x2 1 ∂x M ∂X ∂x M ∂Xou ∂2 ∂2 m1 ∂ 2 m2 ∂ 2 1 2 = ∂x2 + 2 M ∂x∂X + M 2 ∂x2 ∂x1 ∂2com uma express˜o an´loga para a a ∂x2 , que ´ dada por e 2 ∂2 ∂2 m2 ∂ 2 m2 ∂ 2 = −2 + 2 ∂x2 2 ∂x2 M ∂x∂X M 2 ∂x2Portanto, 1 ∂2 1 ∂2 1 1 ∂2 1 ∂2 2 + m ∂x2 = m1 ∂x1 m1 + m2 ∂x2 + M ∂X 2 2 2que, somada `s contribui¸˜es an´logas das outras componentes, d´ o resultado utilizado a co a aacima. 31 Um latinzinho faz sempre bem! Quer dizer, mudando o que deve ser mudado. 160
    • 27.1 Exerc´ ıcios1. Calcule o raio m´dio ( r ) do “´tomo de hidrogˆnio muˆnico”, em que e a e oo el´tron foi substitu´ por um µ− , uma part´ e ıdo ıcula que tem as mesma pro-priedades eletromagn´ticas que o el´tron, a n˜o ser a massa, que ´ 480 vezes e e a ea massa do el´tron. e2. Calcule o espectro, raio m´dio, e tudo que lhe ocorrer, do positrˆnio, um e o“´tomo” formado por um positron e um el´tron. O p´sitron tem a mesma a e omassa que o el´tron, e a carga igual ` do proton. Despreze o fenˆmeno de e a oaniquila¸˜o part´ ca ıcula-anti-part´ ıcula.28 Part´ ıculas idˆnticas eNa mecˆnica quˆntica se diz que duas part´ a a ıculas s˜o idˆnticas se a opera¸˜o a e cade trocar uma pela outra n˜o tem qualquer efeito f´ a ısico no sistema ao qualpertencem: n˜o h´ maneira de realizar uma medida f´ a a ısica que detete se talmudan¸a foi realizada. Para explorar as conseq¨ˆncias disso de maneira for- c uemal, introduzimos o operador P12 de troca de part´ıculas. Seja ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 )uma fun¸˜o de onda do sistema onde inclu´ ca ımos as vari´veis de spin, si . O aoperador de troca atua assim: P12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (735)Se as part´ ˆ ıculas s˜o verdadeiramente idˆnticas, o hamiltoniano H deve ser a esim´trico em rela¸˜o `s vari´veis de posi¸˜o e spin das part´ e ca a a ca ıculas idˆnticas, ede maneira que n˜o haja qualquer mudan¸a na energia do sistema quando a a ctroca ocorre. Neste caso, ˆ ˆ ˆ P12 Hψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = P12 Hψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) = HP12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) (736)ou seja, ˆ [P12 , H] = 0 (737)para todo hamiltoniano sim´trico pela troca de part´ e ıculas idˆnticas. e Seja ψ(1, 2) uma autofun¸˜o do operador P12 : ca P12 ψ(1, 2) = αψ(1, 2) (738)Temos P12 ψ(1, 2) = ψ(2, 1) (739) P12 ψ(2, 1) = ψ(1, 2) (740) 161
    • logo, ψ(1, 2) = α2 ψ(1, 2) (741)de onde se tira que α = ±1. Logo, as autofun¸˜es do operador P12 s˜o tais co aque P12 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) (742)ou P12 ψ(1, 2) = −ψ(1, 2) (743)isto ´, s˜o as fun¸˜es pares e ´ e a co ımpares pela troca de um par de part´ ıculasidˆnticas. Como [P12 , H] e ˆ = 0, o operador d P12 = 0, e o valor m´dio de P12 e dt´ constante, o que se estende para os autovalores . Portanto, o autovalor deeP12 ´ uma constante do movimento. e Part´ıculas para as quais a eq.(742) s˜o ditas bosons , e satisfazem a aesta´ıstica de Bose-Einstein; part´ ıculas para as quais a eq.(743) ´ satisfeita es˜o ditas f´rmions, e satisfazem a estat´ a e ıstica de Fermi-Dirac. Empiricamentese verifica que os bosons s˜o part´ a ıculas de spin inteiro, enquanto que osf´rmions s˜o part´ e a ıculas de spin 1/2, 3/2, etc. Os el´trons s˜o f´rmions, os e a ef´tons s˜o bosons . o a28.1 O princ´ ıpio de PauliO tipo de estat´ ıstica satisfeita por uma part´ ıcula tem conseq¨ˆncias bem uedefinidas sobre seu movimento. Examinemos a fun¸˜o de onda de dois caf´rmions idˆnticos, e imaginemos que eles ocupassem ambos a mesma posi¸˜o, e e catendo o mesmo valor para a componente z do spin. Ou seja, r1 = r2 e s1 = s2 .Ent˜o, se a fun¸˜o de onda do sistema for a ca ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = −ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (744)Nas condi¸˜es acima, ter´ co ıamos ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = −ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) (745)ou ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = 0 (746)mostrando que a probabilidade de dois f´rmions ocuparem o mesmo estado (o eestado, aqui, ´ completamente definido pela posi¸˜o e pela componente z do e caspin) ´ zero. Isto ´ denominado princ´ e e ıpio de exclus˜o, ou princ´ a ıpio de Pauli.Um exemplo importante ´ o seguinte: considere dois el´trons movendo-se em e eum campo de for¸as, como, por exemplo, no ´tomo de H´lio. Desprezando a c a eintera¸˜o entre os el´trons, e denotando por u1 e u2 dois estados estacion´rios ca e a 162
    • de 1 el´tron nesse campo, a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio ad- e ca amiss´ seria ıvel 1 ψ = √ [u1 (r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) − u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (747) 2 A fun¸˜o de onda (747) satisfaz a propriedade ca P12 ψ = −ψ (748)e se anula identicamente se u1 = u2 . Em contraposi¸˜o, o “estado” de fun¸˜o ca cade onda 1 ψ ′ = √ [u1(r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) + u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (749) 2que tem a propriedade P12 ψ ′ = ψ ′ (750)n˜o existe na natureza, assim como nenhum outro que n˜o esteja antis- a asimetrizado. A express˜o costumeira desta lei ´ que duas part´ a e ıculas idˆnticas ede spin semi-inteiro n˜o podem estar em um estado em que se movem na amesma “´rbita” e com os spins paralelos. Dois el´trons podem estar na o emesma “´rbita”, desde que seus spins sejam anti-paralelos32 . o No ´tomo de H´lio, se ignorarmos a intera¸˜o entre os el´trons, tudo se a e ca epassa como se cada el´tron estivesse sob a a¸˜o de uma campo coulombiano, e cae as fun¸˜es de onda individuais de cada el´tron seriam as de um el´tron co e edo ´tomo de Hidrogˆnio (com a diferen¸a que Z = 2). Ent˜o, nessa aprox- a e c aima¸˜o, no estado fundamental, poderia haver dois el´trons no estado ψ100 , ca eum com “spin para cima”, o outro com “spin para baixo”. O elemento deZ = 3 ´ o L´ e ıtio. Na mesma aproxima¸˜o (de desprezar a intera¸˜o entre os ca cael´trons), n˜o seria poss´ adicionar mais um el´tron no estado n = 1. Este e a ıvel e ´teria de ser acomodado em um estado com n = 2. E claro que desprezar aintera¸˜o entre os el´trons ´ tanto mais grave quanto mais numerosos eles ca e es˜o, de modo que vamos parar por aqui. a28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares caO problema ´ este: dadas duas part´ e ıculas em estados de momento angularbem definido, qual o valor, ou valores, do momento angular do sistema com-posto pelas duas? Como a solu¸˜o ´ consideravelmente t´cnica, vamos nos ca e elimitar aqui a dar os resultados. 32 Linguagem de mesa de bar. Corretamente, isto se diria assim: dois el´trons podem eestar em estados ψnlm para os mesmos valores de n, l e m, desde que suas componentes zdo spin tenham sinais opostos. Mas n˜o se fala assim num bar. . . a 163
    • Seja ψl1 ,m1 o estado de uma das part´ ıculas, e ψl2 ,m2 o estado da outra. 2 ˆ ˆIsto quer dizer que, se li e liz (i = 1, 2) forem os operadores de momentoangular total e componente z do momento angular, teremos ˆ2 l1 ψl1 ,m1 = l1 (l1 + 1)ψl1 ,m1 (751) lˆ ψl1 ,m1 = m1 ψl1 ,m1 1z (752) ˆ2 l2 ψl2 ,m2 = l2 (l2 + 1)ψl2 ,m2 (753) lˆ ψl ,m = m2 ψl ,m 2z 2 2 2 2 (754)Considerando agora o sistema composto, teremos que o momento angulartotal pode ter todos os valores entre l1 + l2 e |l1 − l2 |, variando de um em um.Para a componente z do momento angular total, a regra ´ mais simples: a ecomponente z do momento angular total ´ a soma alg´brica das componentes e em1 e m2 .Exemplo: dois el´trons em estados de momento angular orbital 0, portanto tendo como emomento angular apenas o spin, s˜o considerados como um sistema: em que estado (l, m) ase encontram? A resposta ´: h´ duas possibilidades. O momento angular total pode ter e aqualquer dos valores 2 + 1 , 1 + 2 − 1,. . . , at´ atingir | 1 − 1 |, ou seja, os valores poss´ 1 2 2 1 e 2 2 ıveiss˜o 1 e 0. Assim, o estado de momento angular do sistema composto ser´, em geral, uma a asuperposi¸˜o de um estado de momento angular total 1 com um estado de momento angu- calar total 0. . Para saber mais, temos de olhar para as componentes z dos spins individuais.Se os dois el´trons tiverem spins paralelos, ent˜o m1 + m2 ser´ 1 ou −1. Esses valores s˜o e a a aincompat´ ıveis com momento angular total 0, de maneira que, neste caso, pode-se afirmarque os el´trons formam um sistema composto de momento angular total l = 1. Se as ecomponentes z tiverem sinais opostos, por´m, o momento angular total pode ser tanto el = 1 quanto l = 0. Um estudo mais detalhado permite determinar as probabilidades,neste caso, de se achar, numa medida de momento angular total, cada um desses valoresposs´ıveis. Para um tratamento completo desta quest˜o, veja [3]. a29 O caso quase-cl´ssico aIniciamos o nosso curso com o estudo do ´tomo de Bohr, centrado na regra ade quantiza¸˜o, para ´rbitas circulares, ca o L = n¯ h (755)com n inteiro, que d´, para a energia , a me4 1 En = − 2 2 , (756) 2¯ n h 164
    • a famosa f´rmula de Bohr. o Na verdade, (756) ´ o caso particular, para ´rbitas circulares, das re- e ogras de Bohr-Sommerfeld, que podem ser enunciadas assim: seja um sistemaperi´dico descrito por coordenadas generalizadas qi , i = 1, . . . , n. Ent˜o o a pi dqi = ni h (757)onde h ´ a constante de Planck, e os ni s˜o inteiros. No caso do ´tomo de e a ahidrogˆnio, o movimento, em ´rbita circular, pode ser inteiramente descrito e opela coordenada angular θ, do par (r, θ) de coordenadas polares no plano da´rbita. Como a lagrangeana do sistema ´o e m 2 ˙ Ze2 L= (r + r 2 θ 2 ) − ˙ (758) 2 rtemos que ∂L ˙ pθ = = mr 2 θ = L (759) ∂θ ˙onde L ´ o momento angular. Al´m disso, pθ ´ constante, pois a vari´vel θ e e e an˜o aparece na lagrangeana. Ent˜o, a a 2π pθ dθ = Ldθ = 2πL = nh (760) 0ou seja, h L=n (761) 2πque ´ a regra de Bohr usual. e Estamos agora muito distantes dessa vers˜o simples de uma mecˆnica a a a ´quˆntica. Orbitas n˜o existem, de modo que a regra de Bohr nem pode aser enunciada, com o vocabul´rio da mecˆnica quˆntica. No entanto,(756) a a apermanece v´lida, embora obtida de maneira totalmente diferente. a Nesta se¸˜o queremos investigar se existem condi¸˜es em que a regra ca code Bohr seja aproximadamente v´lida. Sistemas que satisfazem a essas acondi¸˜es ser˜o chamados quase-cl´ssicos33. No estilo que temos adotado co a asistematicamente, estudaremos este problema no contexto dos estados esta-cion´rios e, para simplificar, para sistemas unidimensionais. a Uma part´ ıcula de massa m possui uma energia potencial U(x). A equa¸˜o cade Schr¨dinger para estados estacion´rios ´: o a e h2 d2 ψ ¯ − + U(x)ψ = Eψ (762) 2m dx2 33 O m´todo tratado nesta se¸˜o ´ tamb´m conhecido como Aproxima¸ao WKB (Wentzel, e ca e e c˜Krames, Brillouin). 165
    • que, naturalmente, pode ser escrita como h2 d2 ψ ¯ + (E − U)ψ = 0 (763) 2m dx2Procuraremos solu¸˜es escritas na forma co i ψ = eh σ ¯ (764)onde σ ´ uma fun¸˜o complexa, e tal que e ca |σ| ≫ h . ¯ (765)Note-se que, sendo σ complexa, temos i 1 i ψ = e h (σr +iσi ) = e− h σi e h σr ¯ ¯ ¯ (766) a ca ´ou seja, (764) ´ uma express˜o geral para a fun¸˜o de onda. E a condi¸˜o e ca(765) que nos dirige ao caso que nos interessa, j´ que ´ uma realiza¸˜o do a e calimite formal h → 0, supostamente a situa¸˜o em que a mecˆnica quˆntica ¯ ca a atende ` mecˆnica cl´ssica (as rela¸˜es de incerteza inexistem, nesse limite). a a a co Inserindo na eq.(763) a express˜o (764), obtemos a seguinte equa¸˜o para a caσ (completamente equivalente ` equa¸˜o de Schr¨dinger): a ca o 2 1 dσ i¯ d2 σ h − = E−U (767) 2m dx 2m dx2 Vamos agora utilizar a condi¸˜o (765). Suponhamos que exista a ex- capans˜o a 2 h ¯ h ¯ σ = σ0 + σ1 + σ2 + . . . (768) i icom σ0 , σ1 , σ2 finitos (ou seja,de m´dulos muito maiores do que h). Ent˜o o ¯ a(765) estar´ garantida desde que |σ0 | ≫ h. a ¯ iExemplo: ψ(x) = e h px , a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio de part´ ¯ ca a ıcula livre, ´ etal que i i ψ = e h px = e h σ ¯ ¯ (769)de onde segue que σ = px (770)A condi¸˜o (765) ´ ca e px h ¯ kx = ≫1 (771) h ¯ h ¯ 166
    • ´ garantida se kx ≫ 1. Ela falha, portanto, para k = 0.eUtilizando (768) em (767), obtemos  2 2 1  ′ h ′ ¯ h ¯ ′ i¯ d2 h h ¯ σ0 + σ1 + σ2 + . . . − 2 σ0 + σ1 + . . . = E − U 2m i i 2m dx i (772)onde a deriva¸˜o em rela¸˜o a x ´ denotada por um ′. Igualando os coefi- ca ca ecientes da potˆncia 0 de h, temos e ¯ 1 2 (σ ′ ) = E − U(x) (773) 2m 0que d´ a σ0 = ± 2m(E − U)dx (774)A rela¸˜o ca p2 E= +U 2mpermite escrever p(x) = 2m(E − U(x))de maneira que (774) pode ser escrita σ0 = ± p(x)dx (775)Voltando ` (772), igualemos os coeficientes da potˆncia 1 de h: a e ¯ ′ ′ ′′ 2σ0 σ1 + σ0 = 0 (776)Como, de (775), ′ σ0 = p(x) ,temos ′′ ′ σ0 p′ σ1 = − ′ =− (777) 2σ0 2pou 1 1 σ1 = − log p = log √ (778) 2 pTemos, portanto, at´ esta aproxima¸˜o, e ca h ¯ 1 σ= p(x)dx + log √ (779) i p 167
    • ou i e± h ¯ pdx ψ(x) = √ (780) pMais precisamente, a solu¸˜o geral ´ dada por uma combina¸˜o linear das ca e casolu¸˜es exibidas acima, ou seja, co i i e h pdx ¯ e− h pdx ¯ ψ(x) = C1 √ + C2 √ (781) p pAs condi¸˜es de validade da aproxima¸˜o quase-cl´ssica s˜o obtidas insistindo- co ca a ase em que, na equa¸˜o (767), o segundo termo do primeiro membro seja muito camenor que o primeiro isto ´: e 2 | 2m d σ | i¯ h dx2 1 dσ ≪1 (782) | 2m dx |2Isto ´ equivalente a e σ ′′ h ¯ ≪1 (783) σ′ 2ou ainda, d h ¯ ≪1 (784) dx p(x)Aqui encontramos mais uma vez uma situa¸˜o importante em que a aprox- caima¸˜o quase-cl´ssica n˜o ´ v´lida: quando o momento se anula, a eq.(784) ca a a e an˜o ´ satisfeita. a e Suponhamos que a nossa part´ ıcula possua uma energia potencial U(x), eque sua energia total seja E. Como temos p(x) = 2m (E − U(x))vemos que, nos pontos em que E = U(x), p(x) ´ igual ` zero, e a aproxima¸˜o e a caquase-cl´ssica falha. a 168
    • U(x) x E b aNa figura acima vemos os pontos a e b, em que E = U(x), e a aproxima¸˜o caquase-cl´ssica falha. Classicamente s˜o os pontos em que a part´ a a ıcula p´ra e avolta, os “pontos de retorno”’. Nas vizinhan¸as desses pontos n˜o podemos c autilizar a express˜o (781). H´ uma s´rie de m´todos para contornar esta a a e edificuldade. O mais elementar ´ o seguinte: seja x0 um ponto de retorno, ou eseja, E − U(x0 ) = 0. A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e h2 d2 ψ(x) ¯ − + (U(x) − E) ψ(x) = 0 (785) 2m dx2Expandindo a fun¸˜o F (x) ≡ U(x) − E em torno do ponto x0 , temos ca F (x) = F (x0 ) + (x − x0 )F ′ (x0 ) (786)com F (x0 ) = 0. Como F (x0 ) = 0, temos U(x) − E = (x − x0 )U ′ (x0 ) (787)Logo, nas vizinhan¸as do ponto de retorno, a equa¸˜o de Schr¨dinger ´ c ca o e h2 d2 ψ(x) ¯ − 2 + U ′ (x0 )(x − x0 )ψ(x) = 0 (788) 2m dxque ´ a equa¸˜o de Schr¨dinger para uma part´ e ca o ıcula sobre a a¸˜o de uma for¸a ca cconstante. Mas esta equa¸˜o pode ser resolvida exatamente (veja Apˆndice), ca ede maneira que podemos proceder assim: a uma certa (pequena) distˆncia do a 169
    • ponto de retorno, usamos a fun¸˜o de onda quase-cl´ssica. Mais para perto ca ado ponto de retorno, usamos a solu¸˜o exata (788). Tudo o que precisamos cafazer ´ achar, dentre as solu¸˜es de (788),aquela que se acopla continuamente e cocom a solu¸˜o semi-cl´ssica. ca a Este m´todo utiliza fun¸˜es transcendentes (a fun¸˜o de Airy, por exem- e co caplo), e um pouco de an´lise complexa, o que est´ acima do n´ deste curso. a a ıvelAssim, sendo, limitar-nos-emos a enviar o leitor ao apˆndice, para os detalhes edo c´lculo, e a dar a regra de transi¸˜o, l´ obtida. a ca a Nas regi˜es classicamente inacess´ o ıveis, temos E − U(x) < 0, logo, p(x) = 2m(E − U(x)) = i 2m(|E − U(x)|) . (789)Uma repeti¸˜o simples dos c´lculos leva a ca a 1 1 e− h ¯ |p(x)|dx eh ¯ |p(x)|dx ψ(x) = C1 + C2 (790) |p| |p| Temos,portanto, i i e h pdx ¯ e− h pdx ¯ ψ(x) = C1 √ + C2 √ E > U(x) (791) p p 1 1 e− h ¯ |p(x)|dx eh ¯ |p(x)|dx ψ(x) = C1 + C2 E < U(x) (792) |p| |p|29.1 Regra de transi¸˜o caVamos nos limitar a enunciar a regra de transi¸˜o, ilustrando-a com exemplos. ca Seja x = a um ponto de retorno, ou seja, tal que E = U(a). Ent˜o, a C x C 1 x π e− h | pdx| 1 ¯ a → √ cos pdx − (793) 2 |p| p h ¯ a 4 E < U(x) → E > U(x) 170
    • 29.2 Exemplo U(x) x E b aA figura acima mostra um po¸o de potencial e os pontos, b e a, de retorno cde uma part´ıcula de massa m e energia E. ` Considere o ponto de retorno a. A sua direita a fun¸˜o de onda deve cadecrescer exponencialmente, j´ que se trata de uma regi˜o classicamente a aproibida, com E < U(x). Dentre as solu¸˜es de (794), a que nos serve ´ co eescrita C − h x |p|dx 1 e ¯ a , 2 |p|logo, ` esquerda de a, teremos a C 1 x π ψ(x) = √ cos p dx − (794) p h ¯ a 4 ` Passemos ao ponto de retorno b. A sua esquerda temos uma regi˜o clas- asicamente proibida. Devemos, ent˜o, ter uma fun¸˜o de onda que, ` medida a ca aque nos aprofundamos nessa regi˜o (isto ´, ` medida que x se torna mais e a e amais negativo), decresce exponencialmente. Dentre as catalogadas em (794)a que tem essas propriedades ´ e C x C x e− h | p dx| 1 1 |p|dx ¯ b = eh ¯ b (795) 2 |p| 2 |p| 171
    • logo, a fun¸˜o de onda ` direita de b ser´ ca a a C 1 x π ψ(x) = √ cos p dx − (796) p h ¯ b 4Conseq¨ entemente temos, na regi˜o b ≤ x ≤ a, as express˜es (794) e (796) u a opara a fun¸˜o de onda. Essas duas express˜es devem ent˜o coincidir: ca o a C 1 x π C′ 1 x π √ cos p dx − = √ cos p dx − (797) p h ¯ b 4 p h ¯ a 4 Tomando x = a, obtemos 1 a π π C cos p dx − = C ′ cos (798) h ¯ b 4 4que leva a 1 a p dx = (n + 1/2)π (799) h ¯ b C = (−1)n C ′A regra de Bohr-Sommerfeld cont´m uma integral num circuito fechado. eNeste caso, isto seria a p dx = 2 p dx = (n + 1/2)2π¯ = (n + 1/2)h h (800) bObtemos uma rela¸˜o que coincide com a regra de Bohr para grandes valores cade n, quando se pode desprezar o termo 1/2.29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico oNeste caso a energia potencial ´ e 1 U(x) = mω 2 x2 2e 1 p(x) = 2m E − mω 2 x2 (801) 2Os pontos de retorno acontecem quando a energia coincide com a energiapotencial, isto ´ e 1 E = mω 2 x2 2 172
    • 1 2Eo que acontece para x = ± ω m . A integral que aparece em (799) ´ e √ 2E 1 ω m √ πE p dx = √ 2E 2mE − m2 ω 2 x2 dx = (802) 1 −ω m ωe temos, ent˜o, a πE = (n + 1/2)π¯ h (803) ωou E = (n + 1/2)¯ ω , h (804)em completa coincidˆncia com o resultado exato! e30 O po¸o duplo. cA energia potencial U(x) consiste de dois po¸os de potencial sim´tricos, sep- c earados por uma barreira. Na figura abaixo os po¸os s˜o as regi˜es I e II, e c a oa barreira tem altura U0 . Se a barreira fosse impenetr´vel, haveria n´ a ıveis deenergia relativos ao movimento da part´ ıcula em um ou outro dos dois po¸os, cou seja, duas fam´ ılias de n´ıveis iguais, uma em cada po¸o. O fato de que co tunelamento atrav´s da barreira existe na mecˆnica quˆntica faz com que e a acada um dos n´ ıveis relativos ao movimento em um dos po¸os se separe em cdois n´ıveis pr´ximos, correspondendo agora a estados da part´ o ıcula em queela est´ nos dois po¸os. a c U(x) II I U0 E2 E0 E1 a xA determina¸˜o deste desdobramento de n´ ca ıveis ´ simples no caso em que ese pode usar a aproxima¸˜o quase cl´ssica. E ca a ´ o que faremos agora. Uma 173
    • solu¸˜o aproximada da equa¸˜o de Schr¨dinger para a energia potencial U(x), ca ca odesprezando a probabilidade de passagem pela barreira, pode ser constru´ıdacom a fun¸˜o quase-cl´ssica ψ0 (x), que descreve o movimento com uma certa ca aenergia E0 em um dos po¸os (digamos, o po¸o I), e que ´ exponencialmente c c edecrescente em ambos os lados do po¸o I. A normaliza¸˜o aproximada desta c cafun¸˜o ´ ca e ∞ 2 ψ0 dx = 1 (805) 0Portanto, para ψ0 , temos satisfeita a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o d2 ψ0 2m + 2 (E − U(x)) ψ0 (x) = 0 (806) dx2 h ¯no seguinte sentido: para x < 0 a equa¸˜o ´ aproximadamente satisfeita ca eporque, tanto ψ0 (x) quanto sua derivada segunda, nesta regi˜o, s˜o aprox- a aimadamente nulas. Estaremos usando, sem mencionar mais, os seguintes fatos: nocaso de um sistema unidimensional confinado, isto ´, impedido de alcan¸ar o infinito, a e cfun¸˜o de onda pode ser tomada como real, e os n´ ca ıveis de energia n˜o s˜o degenerados. a aO produto ψ0 (x)ψ0 (−x), para x > 0, ´ desprez´ e ıvel. O potencial como umtodo ´ sim´trico. A equa¸˜o de Schr¨dinger e e ca o d2 ψ 2m + 2 (E − U(x)) ψ(x) = 0 (807) dx2 h ¯permanece v´lida quando se troca x por −x. Logo, se ψ(x) ´ uma fun¸˜o a e cade onda, ψ(−x) tamb´m o ´, para o mesmo valor de E. Como n˜o h´ e e a adegenerescˆncia, temos e ψ(−x) = eiα ψ(x) para α real (808)Logo, ψ(x) = eiα ψ(−x) = e2iα ψ(x) (809)e portanto e2iα = 1, de onde segue que α = nπ. Temos, em conseq¨ˆncia, ue ψ(−x) = ψ(x) (810)ou ψ(−x) = −ψ(x) (811) 174
    • As autofun¸˜es da energia deste sistema s˜o, portanto, fun¸˜es pares ou co a co´ımpares de x. Isto ´ uma conseq¨ˆncia de que U(−x) = U(x). As fun¸˜es e ue code onda corretas, na aproxima¸˜o quase-cl´ssica, s˜o obtidas constru´ ca a a ındo, apartir de ψ0 , as fun¸˜es ψ1 , sim´trica, e ψ2 , anti-sim´trica: co e e 1 ψ1 (x) = √ [ψ0 (x) + ψ0 (−x)] (812) 2 1 ψ2 (x) = √ [ψ0 (x) − ψ0 (−x)] (813) 2Note que a fun¸˜o ψ0 (x) n˜o ´ autofun¸˜o do hamiltoniano com a energia ca a e capotencial U(x), sim´trica: ´ a fun¸˜o de onda que ter´ e e ca ıamos de a barreirafosse impenetr´vel. Tanto que ψ0 (−x) ´ desprez´ a e ıvel, enquanto que ψ0 (x) n˜o ao ´. De novo, como os n´ e ıveis n˜o s˜o degenerados, devemos ter energia s a adiferentes para ψ1 e ψ2 . Sejam d2 ψ1 2m + 2 (E1 − U(x)) ψ1 (x) = 0 (814) dx2 h ¯a equa¸˜o de Schr¨dinger para ψ1 , e ca o d2 ψ2 2m + 2 (E2 − U(x)) ψ2 (x) = 0 (815) dx2 h ¯aquela para ψ2 . Multiplicando (806) por ψ1 e (814) por ψ0 e subtra´ ındo,temos ′′ ′′ 2m ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 + 2 (E0 − E1 ) ψ0 ψ1 = 0 (816) h ¯ou d ′ ′ 2m (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) ψ0 ψ1 (817) dx h ¯Integrando de 0 a ∞: ∞ d ′ ′ 2m ∞ dx (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) dxψ0 ψ1 (818) 0 dx h ¯ 0 ′ ′ ∞ 2m 1 ∞ (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 )0 = 2 (E1 − E0 ) √ dxψ0 (ψ0 (x) + ψ0 (−x))(819) h ¯ 2 0 2m 1 ∞ 2 ≈ 2 (E1 − E0 ) √ ψ0 h ¯ 2 0onde usamos o fato de ψ0 (x)ψ0 (−x) ser muito pequeno. Lembrando que asfun¸˜es que aparecem no primeiro membro se anulam no infinito, temos co ′ ′ m ψ0 (0)ψ1 (0) − ψ1 (0)ψ0 (0) = √ 2 (E1 − E0 ) (820) 2¯ h 175
    • Seja f (x) uma fun¸˜o par. Ent˜o, ca a f (−x) = f (x) (821) df (x)Consideremos agora a fun¸˜o ca dx . Trocando x por −x, df (x) df (−x) →− (822) dx dxLogo, df (−x) df (x) =− (823) dx dxou seja, se f ´ par, f ′ ´ ´ e e ımpar. Voltando ` (820), a 1√ √ ψ1 (0) = 2 [ψ0 (0) + ψ0 (0)] = 2ψ0 (0) (824) [enquanto ′ ψ1 = 0 , (825)levando a h2 ¯ ′ E1 − E0 = − ψ0 (0)ψ0 (0) (826) mRepetindo agora o c´lculo com ψ2 e ψ0 , obtemos, ao longo dos mesmos passos, a h2 ¯ ′ E2 − E0 = ψ0 (0)ψ0 (0) (827) mSubtra´ ındo, obtemos 2¯ 2 h ′ E2 − E1 = ψ0 ψ0 (0) (828) mUm c´lculo mais refinado leva ao resultado a 1 a −h |p|dx E2 − E1 = Ce ¯ −a (829)onde C ´ uma constante, e −a e a s˜o indicados na figura. A eq.(829) torna e aexpl´ ıcito o papel do tunelamento na separa¸˜o dos n´ ca ıveis de energia . 176
    • 31 Sistemas de dois n´ ıveisEmbora os sistemas da natureza tenham, em geral, um grande n´mero de un´ ıveis, h´ situa¸˜es em que apenas dois deles s˜o relevantes. Um exemplo a co aimportante ´ este: uma onda eletromagn´tica, monocrom´tica, de freq¨ˆncia e e a ueω + ǫ (com ǫ/ω ≪ 1) incide sobre um ´tomo (de infinitos n´ a ıveis de energia ),que tem, entre eles, dois de energia s tais que E1 − E2 = hω. A freq¨ˆncia ¯ ueda onda ´ muito pr´xima da diferen¸a de n´ e o c ıveis dividida por h. Mostramos ¯anteriormente que, neste caso, apenas os n´ ıveis E1 e E2 participam do pro-cesso, sendo, os outros, “espectadores”, que podem, para este fim espec´ ıfico,ser ignorados. Nesta se¸˜o vamos estudar sistemas idealizados que tˆm somente dois ca en´ ıveis de energia . Supondo que esses n´ ıveis n˜o sejam degenerados, conclui-se aque todo conjunto completo e linearmente independente de vetores de estadodeste sistema possui apenas dois elementos: o conjunto de todos os estadosforma, com as opera¸˜es usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o por um n´ mero co ca ca ucomplexo, um espa¸o vetorial complexo de dimens˜o 2, e o hamiltoniano, c abem como todos os operadores lineares, podem ser representados por matrizescomplexas 2 × 2. A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ escrita ca o e ∂χ i¯ h = Hχ (830) ∂te, supondo-se que o hamiltoniano n˜o dependa explicitamente do tempo, apode-se-a integrar formalmente, obtendo i χ(t) = e− h Ht χ(0) . ¯ (831)Por causa da simplicidade do sistema, ´ poss´ escrever explicitamente o e ıvel ioperador exp (− ¯ Ht). Os autoestados da energia , |E1 e |E2 satisfazem as hequa¸˜es co H|E1 = E1 |E1 (832) H|E2 = E2 |E2 (833)e todo estado χ pode ser expandido em termos deles34 : χ(t) = |χ(t) = (|E1 E1 | + |E2 E2 |) |χ(t) (834) 34 Como ´ usual entre os f´ e ısicos, estaremos, indiferentemente, denotando o estado por χou |χ . Em geral usa-se esta ultima forma quando se vai fazer uso de algum dos truques ´da genial nota¸˜o de Dirac ca 177
    • = E1 |χ(t) |E1 + E2 |χ(t) |E2 = C1 (t)|E1 + C2 (t)|E2 (835)Uma fun¸˜o f (H) do hamiltoniano ´ definida assim: ca ef (H)|χ(t) = C1 (t)f (H)|E1 + C2 (t)f (H)|E2 = C1 (t)f (E1 )|E1 + C2 (t)f (E2 )|E2 (836)Usando-se esta opera¸˜o mostra-se facilmente que ca 1 ˆ E2 ˆ − H 1 ˆ E1 ˆ − H f (H) = f (E1 ) + f (E2 ) (837) E2 − E1 E1 − E2que, usada para o operador de evolu¸˜o temporal, d´: ca a i 1 i i e− h Ht = ¯ E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (838) E2 − E1 ˆ H i i + e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ E2 − E1De posse deste resultado, podemos formular a pergunta: suponhamos que osistema se encontre, em t = 0, em um estado |χ(0) . Qual ´ a probabilidade ede que, decorridos t segundos, ele permanecer no mesmo estado? Se, em t = 0, o estado ´ χ(0), teremos, no instante t, e i χ(t) = e− h Ht χ(0) ¯ (839)e, usando a express˜o acima, a i i χ(0) i i e− h E2 t − e− h E1 t ˆ ¯ ¯ χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t + ¯ ¯ Hχ(0) (840) E2 − E1 E2 − E1Seja χ(0) = C1 |E1 + C2 |E2 (841)ent˜o, a C1 |E1 + C2 |E2 i i χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (842) E2 − E1 i i − h E2 t e ¯ − e− h E1 t ¯ = (C1 E1 |E1 + C2 E2 |E2 ) E2 − E1A probabilidade de o sistema, em t, estar no mesmo estado, ´ obtida assim: eexiste uma base do espa¸o dos estados formada por |χ(0) e outros estados, cortogonais a ele. Expandimos |χ(t) nesta base: |χ(t) = a(t)|χ(0) + . . . (843) 178
    • A probabilidade pedida ´ |a(t)|2 . Ora, e χ(0)|χ(t) = a(t) χ(0)|χ(0) = a(t) . (844)Logo, a probabilidade ´ | χ(0)|χ(t) |2. Vamos calcular χ(0)|χ(t) , a ampli- etude de probabilidade. Usando (839), temos 1 i i χ(0)|χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (845) E2 − E1 i i e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ ˆ + χ(0)|H|χ(0) E2 − E1Como ˆ ˆχ(0)|H|χ(0) = (C1 E1 | + C2 E2 |) H (C1 |E1 + C2 |E2 ) = |C1 |2 E1 +|C2|2 E2 ∗ ∗Ent˜o, a 1 i i χ(0)|χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ E2 − E1 i i 2 2 e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ + |C1 | E1 + |C2 | E2 (846) E2 − E1Suponhamos que |C1 |2 = 1 e |C2 |2 = 0. Ent˜o, ap´s uma ´lgebra simples, a o a i χ(0)|χ(t) = e− h E1 t ¯ (847)logo, | χ(0)|χ(t) |2 = 1 (848)isto ´, um sistema que est´ num estado estacion´rio permanece nele (da´ se e a a ıchamar estacion´rio!). a ´ a E f´cil mostrar que os estados estacion´rios s˜o os unicos que possuem a a ´esta propriedade. De fato, se i χ(t) = e− h Ht χ(0) ¯ (849) χ(0) = C1 |E1 + C2 |E2 (850) i i |χ(t) = C1 e− h E1 t |E1 + C2 e− h E2 t |E2 ¯ ¯ (851) i i 2 − h E1 t 2 − h E2 t χ(0)|χ(t) = |C1 | e ¯ + |C2 | e ¯ (852) 1 | χ(0)|χ(t) |2 = |C1 |4 + |C2 |4 + 2|C1 |2 |C2 |2 cos (E1 − E2 )t (853) h ¯ 179
    • Para que | χ(0)|χ(t) |2 = 1 para todo t, temos de ter ou C1 = 0 ou C2 = 0.Em qualquer dos casos o outro coeficiente ´ de m´dulo 1, pois |C1 |2 + |C2 |2 = e o1. Logo, χ(0) = |E1 ou χ(0) = |E2 . Tomemos agora uma base arbitr´ria do espa¸o dos estados, formada por a c|φ1 e |φ2 . O estado |χ(t) ´ expandido, nesta base, como e |χ(t) = (|φ1 φ1 | + |φ2 φ2|) |χ(t) = φ1 |χ(t) |φ1 + φ2 |χ(t) |φ2 (854)Introduzindo a nota¸˜o ca χi (t) ≡ φi |χ(t) ,temos |χ(t) = χ1 (t)|φ1 + χ2 (t)|φ2 (855)A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e ∂|χ(t) ˆ ˆ ˆ i¯ h = H|χ(t) = χ1 (t)H|φ1 + χ2 (t)H|φ2 (856) ∂te, tomando os produtos escalares com |φi , ∂ i¯ h φ1 |χ(t) = χ1 (t) φ1 |H|φ1 + χ2 (t) φ1 |H|φ2 (857) ∂t ∂ i¯ h φ2 |χ(t) = χ1 (t) φ2 |H|φ1 + χ2 (t) φ2 |H|φ2 (858) ∂tDenotando φi|H|φj por Hij , temos ∂χ1 i¯ h = H11 χ1 + H12 χ2 (859) ∂t ∂χ2 i¯ h = H21 χ1 + H22 χ2 (860) ∂tPara estados estacion´rios, H12 = H21 = 0. Logo, os elementos de a matrizH21 e H12 promovem as transi¸˜es entre estados. co De fato, seja |φ1 um dos estados da base. i |φ1(t) = e− h Ht |φ1 ¯ (861) i i − h E2 t − h E1 t |φ1 i i e ¯−e ¯ ˆ (862) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t + ¯ ¯ H|φ1 E2 − E1 E2 − E1Qual ´ a probabilidade de que, em algum t, o sistema se encontre em |φ2 ? eA amplitude ´ dada por e i i e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ ˆ φ2 |φ1 (t) = φ2 |H|φ1 (863) E2 − E1N˜o h´ transi¸˜o se H21 = 0. a a ca As equa¸˜es (863) s˜o as Eqs.(8.43) do Volume III das “Feynman Lec- co atures on Physics”, que as utiliza para um grande n´ mero de aplica¸˜es inter- u coessantes. Vamos fazer o mesmo. 180
    • 32 A mol´cula da amˆnia e oA mol´cula de amˆnia, NH3 , ´ formada por trˆs ´tomos de hidrogˆnio e um e o e e a ede nitrogˆnio, dispostos nos v´rtices de uma pirˆmide, como mostra a figura. e e aEsta mol´cula pode ser excitada de muitos modos: pode ser posta a girar, epor exemplo, em torno de um eixo passando pelo nitrogˆnio e perpendicular e` base oposta, que ´ um eixo de simetria, ou pode-se tamb´m excitar seusa e emuitos modos normais de vibra¸˜o. Aqui vamos considerar uma transi¸˜o ca caque ´ particularmente interessante porque n˜o pode existir classicamente. Na e af´ ısica cl´ssica, as duas configura¸˜es exibidas acima s´ podem se transformar a co ouma na outra por rota¸˜o da mol´cula. Na mecˆnica quˆntica, por´m, o ca e a a enitrogˆnio pode tunelar para o outro lado, uma transi¸˜o que n˜o pode existir e ca aclassicamente. Como problema an´logo, considere o po¸o duplo mostrado na a cfigura abaixo. Para energia s como E0 , classicamente, o problema se reduz aum unico po¸o. Ou seja, para energia inferiores a Vm , classicamente, temos ´ cdois po¸os independentes. Se o potencial for sim´trico, teremos os mesmos c en´ıveis de energia de um de do outro lado da barreira. Na mecˆnica quˆntica, por´m, existe o tunelamento entre os dois po¸os. a a e cEm conseq¨ˆncia disso, os n´ ue ıveis de energia individuais dos po¸os deixar˜o c ade existir, e aparecer˜o n´ a ıveis do po¸o duplo. c33 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a33.1 Introdu¸˜o caEstas notas reproduzem parte das transparˆncias apresentadas no curso de ever˜o de 2003 do Instituto de F´ a ısica da USP. A parte relativa ` equa¸˜o a cade Dirac e ` anti-mat´ria ´ reproduzida in toto. Resolvemos substituir a a e eparte que tratava de neutrinos e do problema solar por indica¸˜es ` liter- co aatura existente, principalmente na internet, que ´ de facil acesso e excelente equalidade. Para o estudo do problema dos neutrinos solares, recomendamos o en-dere¸o: chttp://www.hep.anl.gov/ndk/hypertext/nuindustry.htmlMuitas outras informa¸˜es sobre o tema, e sobre f´ co ısica em geral, podem serencontradas no meu site:http://hfleming.com 181
    • O estudo da equa¸˜o de Dirac na linha aqui apresentada encontra-se em caSakurai, “Advanced Quantum Mechanics”, Addison-Wesley Presse emT. D. Lee, “Particle Physics and Introduction to Field Theory”.Um tratamento elementar, mas de qualidade, sobre a f´ ısica dos neutrinosencontra-se emC. Sutton, “ Spaceship Neutrino”33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre ca o p → −i¯ ∇ h ∂ E → i¯ h ∂t p2 1 h ¯2 → 2m (−i¯ ∇).(−i¯ ∇) h h = − 2m ∇2 2m p2 h2 2 ¯ ∂Ψ Ψ = EΨ → − ∇ Ψ = i¯ h 2m 2m ∂t33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon ca E2 = p2 c2 + m2 c4 E 2Ψ = (p2 c2 + m2 c4 )Ψ ∂2Ψ −¯ 2 2 h = −c2 h2 ∇2 Ψ + m2 c4 Ψ ¯ ∂t m2 c2 22 − 2 Ψ = 0 h ¯ A equa¸˜o de Klein-Gordon ´ de segunda ordem no tempo, o que cria ca edificuldades com o postulado b´sico da Mecˆnica Quˆntica que diz que o a a aestado de um sistema est´ completamente determinado (inclusive em sua aevolu¸˜o) se se conhece a fun¸˜o de onda em um instante qualquer. Al´m ca ca edisso, a conserva¸˜o da probabilidade, expressa pela equa¸˜o da continuidade ca ca ∂ρ + div j = 0 (864) ∂t´ satisfeita parae 1 ∂Ψ∗ ∂Ψ ρ = Ψ − Ψ∗ c ∂t ∂t 182
    • j = c Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ∂ρ + div j = 0 ∂t Problemas1. ρ pode ter qualquer sinal.2.A equa¸˜o de Klein-Gordon n˜o ´ de primeira ordem no tempo. ca a e33.4 A equa¸˜o de Dirac caProcura-se: equa¸˜o relativista de primeira ordem no tempo. Uma express˜o ca ageral ´: e ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αx + αy + αz + βΨ = (865) ∂x ∂y ∂z h ¯ c ∂tonde αx , αy , αz e β s˜o matrizes quadradas 4x4, e Ψ ´ uma matriz coluna a ede 4 elementos. Exemplo:    A B C D ∂Ψ1 /∂x  E F G H   ∂Ψ2 /∂x  αx Ψ =   I   (866) J K L   ∂Ψ3 /∂x  M N O P ∂Ψ4 /∂x Em termos dos elementos de matriz a equa¸˜o ´: ca e ∂Ψσ ∂Ψσ ∂Ψσ imc 1 ∂Ψρ (αx )ρσ + (αy )ρσ + (αz )ρσ + (β)ρσ Ψσ = σ ∂x ∂y ∂z h ¯ c ∂t Todos os elementos das α’s e de β devem ainda ser determinados. Paraisso vamos impˆr a condi¸˜o que, para cada componente Ψρ , valha a equa¸˜o o ca cade Klein-Gordon, ou seja, 1 ∂2 m2 c2 ∇2 − Ψρ = 2 Ψρ c2 ∂t2 h ¯A motiva¸˜o ´ a seguinte. Considere as equa¸˜es de Maxwell (escritas no ca e cosistema CGS, como todo f´ısico que se preza faz!) na ausˆncia de cargas e e 183
    • correntes: div B = 0 div E = 0 1 ∂B rotE = − c ∂t 1 ∂E rotB = c ∂t´E um sistema de equa¸˜es lineares, de primeiro grau, que mistura as v´rias co acomponentes de E e B. Tomando o rotacional da ultima e usando a pen´ ltima, ´ uobtemos 1 ∂2B rot rotB = − 2 2 c ∂tou 1 ∂2B ∇ ∇.B − ∇2 B = − 2 2 c ∂tque ´ a mesma coisa que e 22 Bρ = 0para todo ρ. Obt´m-se, de modo an´logo, que e a 22 Eρ = 0para todo ρ. Ora, a teoria de Maxwell ´ relativisticamente invariante, e essas duas eultimas rela¸˜es mostram uma propriedade que essas equa¸˜es devem sat-´ co coisfazer. Mas elas n˜o s˜o sen˜o as equa¸˜es de Klein-Gordon para m = 0. a a a coLogo, justifica-se a exigˆncia de que, para cada componente de Ψ, a equa¸˜o e cade Klein-Gordon seja satisfeita. Resumindo, se Ψ ´ uma solu¸˜o da equa¸˜o e ca cade Dirac, exigiremos que m2 c2 22 − Ψρ = 0 h2 ¯para todo ρ.33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ısticaPreliminarmente precisamos de uma interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica. Gostar´ ıamosde ter ρ= Ψ∗ Ψσ σ σ 184
    • por ser esta uma quantidade positiva e que generaliza o ρ = |Ψ|2 da teoriade Schr¨dinger. Como o d3 xρ = 1(se a integral ´ sobre todo o espa¸o), teremos e c d ∂Ψ∗σ ∂Ψσ ρd3 x = 0 = d3 x Ψ σ + Ψ∗ σ dt σ ∂t ∂tDa equa¸˜o de Dirac se tira ca 3 1 ∂Ψρ k ∂Ψσ mc =− αρσ + i βρσ Ψσ c ∂t σ k=1 ∂xk h ¯Inserindo esta na pen´ ltima, u 3 ∂Ψ∗ λ imc ∗ 0 = −c d3 x ∗k ασλ Ψσ + β Ψσ Ψ∗ σ λ k=1 ∂xk h σλ ¯ λ 3 ∂Ψλ imc −c d3 x ασλ Ψ∗ k σ − βσλ Ψ∗ Ψλ σ σ λ k=1 ∂xk h ¯de onde segue que ∗ βσλ = βλσ ∗k k ασλ = αλσ ,ou seja, β e as α’s s˜o hermiteanas. a Mais precisamente, temos que, com ∗ ρ = Ψσ Ψσ σ j = c (Ψ∗ αΨ)onde α ´ o “vetor” de componentes (αx , αy , αz ), vale e ∂ρ + div j = 0 ∂t33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac caReescrevendo a equa¸˜o de Dirac como ca ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αi + βΨ − =0 (867) ∂xi h ¯ c ∂t 185
    • (onde o primeiro termo representa uma soma sobre i) e multiplicado ` es- aquerda pelo operador ∂ imc 1∂ αj + β+ ∂xj h ¯ c ∂ttemos, ap´s alguns cancelamentos, o ∂2Ψ imc j ∂Ψ imc i ∂Ψ αj αi + αβ + βα + ∂xj ∂xi h ¯ ∂xj h ¯ ∂xi m2 c2 1 ∂2Ψ − 2 β 2Ψ − 2 2 = 0 h ¯ c ∂tPara que isto se reduza a 2m2 c2 2 − 2 Ψ=0 h ¯devemos ter: β2 = 1 αi β + βαi = 0 αi αj + αj αi = 2δijUma solu¸˜o para essas equa¸˜es pode ser constru´ da seguinte maneira: ca co ıdasejam 1 0 I= 0 1 0 1 σ1 = 1 0 0 −i σ2 = i 0 1 0 σ3 = 0 −1As matrizes de Dirac s˜o matrizes 4x4 definidas, em termos das anteriores, aassim: 0 σk αk = σk 0 I 0 β= 0 −I 186
    • ou, mais explicitamente, 0 0 0 1    0 0 1 0  α1 =    0 1 0 0    1 0 0 0e assim por diante.33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca caQueremos colocar a equa¸˜o de Dirac numa forma em que o tempo e as co- caordenadas apare¸am simetricamente. Nota¸˜o: c ca x1 = x x2 = y x3 = z x4 = ict ıstico x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 ´ escrito x2 + x2 + x2 + x2 ,Assim, o invariante relativ´ e 1 2 3 4ou xµ xµ , que ´ a mesma coisa que e 4 xµ xµ µ=1A euq¸˜o de Dirac ´: ca e ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αi + βΨ + =0 ∂xi h ¯ c ∂t ∂Ψonde αi ∂xi ´ uma abrevia¸˜o para e ca 3 ∂Ψ αi i=1 ∂xiMultiplicando a equa¸˜o de Dirac ` esquerda por (−iβ) e introduzindo a ca anota¸˜o ca γ4 = β γ k = −iβαk 187
    • para k = 1, 2, 3, temos ∂Ψ mc ∂Ψ γi + Ψ+β =0 ∂xi h ¯ ∂(ict)ou ∂Ψ mc γµ + Ψ=0 ∂xµ h ¯com γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δµν33.4.4 Corrente de ProbabilidadeSeja Ψ uma solu¸˜o da equa¸˜o de Dirac. Definindo ca ca Ψ(x) ≡ Ψ† (x)γ4Ent˜o obt´m-se, da equa¸˜o de Dirac, a e ca ∂Ψ mc γµ − Ψ=0 ∂xµ h ¯O quadrivetor densidade de corrente de probabilidade, jµ ≡ iΨγµ Ψ ´ tal que e ∂jµ 1 ∂ρ = + div j = 0 ∂xµ c ∂tque ´ a forma 4-dimensional da equa¸˜o da continuidade. e ca33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repousoPara uma part´ ıcula em repouso, pk Ψ = 0onde pk ´ o operador “componente k do momento ”. Equivalentemente, e ∂Ψ −i¯ h =0 ∂xkpara k = 1, 2, 3. Logo, para a part´ ıcula em repouso, Ψ(r, t) = Ψ(t)Com isso, a equa¸˜o de Dirac fica: ca ∂Ψ mc γ4 =− Ψ ∂x4 h ¯ 188
    • Explicitamente, temos 1 0 0 0 Ψ1 (t) Ψ1 (t)        0 1 0 0  1 ∂  Ψ2 (t)  mc  Ψ2 (t)  =−       0 0 −1 0 ic ∂t  Ψ3 (t) h  ¯ Ψ3 (t)           0 0 0 −1 Ψ4 (t) Ψ4 (t)Autoestados da energia tˆm a forma e i Ψ(t) = Ψ(0)e− h Et ¯Logo, para essas fun¸˜es, co 1 0 0 0 a a      1  0 1 0 0  b  ∂ − i Et mc  b  i  − h Et e h =− e ¯    ¯  ic  0 0 −1 0 c ∂t h  ¯ c        0 0 0 −1 d dCancelando as exponenciais reduz-se a a a     E  b  mc  b  =     hc  ¯ −c h  ¯ c       −d dLogo, E = mc2 c = d=0ou seja, as solu¸˜es s˜o co a a    b  i  − h mc2 t Ψ(t) =  e ¯   0  0Todas estas podem ser escritas como combina¸˜es lineares de co 1    0  i  − h mc2 t Ψ1 (t) =  e ¯   0  0e 0    1  i  − h mc2 t Ψ2 (t) =  e ¯   0  0 189
    • 33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa coSurpreendentemente, por´m, a equa¸˜o e ca a a     E  b  mc  b  =     hc  ¯ −c h  ¯ c       −d dadmite a classe de solu¸˜es co E = mc2 a = 0 b = 0como se verifica facilmente. Logo, temos ainda como solu¸˜es as combina¸˜es co colineares 0    0  i 2 Ψ3 (t) =   e h mc t  ¯  1   0e 0    0  i 2 Ψ4 (t) =   e h mc t  ¯  0   1Note que se trata de solu¸˜es correspondentes a part´ co ıculas livres e em re-pouso. Al´m das solu¸˜es esperadas, com energia E = mc2 , encontramos e cooutras, totalmente inesperadas, com energia de repouso dada por E = −mc2 !33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico ca eUsando, na equa¸˜o de Dirac ca ∂Ψ mc γµ + Ψ=0 ∂xµ h ¯o acoplamento m´ ınimo, e pµ → pµ − Aµ c(veja <http://fma.if.usp.br/~fleming/eletromag/index.html>). 190
    • Como ∂ pµ = −i¯ h ∂xµ Aµ ≡ (Ax , Ay , Az , iφ)obt´m-se: e ∂ ie mc − Aµ γµ Ψ + Ψ=0 ∂xµ hc ¯ h ¯33.5 A anti-mat´ria eA proposta de Dirac para resolver o problema dos estados de energia negativa´: todos os estados de energia negativa est˜o preenchidos, e esta situa¸˜o ´e a ca eo que chamamos v´cuo. Isto faz sentido porque os el´trons s˜o f´rmions, a e a ee, como se sabe, “s´ cabe um f´rmion em cada estado”. Vivemos no meio o edos estados de energia negativa mas n˜o os vemos. No entanto, quando um adesses el´trons de energia negativa recebe energia suficiente para pular para eum estado de energia positiva (esta energia ´, no m´ e ınimo, 2mc2 ), deixa, no“mar de estados de energia negativa” um buraco, e este ´ observado (como euma part´ ıcula de energia positiva e carga positiva, isto ´, oposta ` do el´tron). e a eLogo, quando um el´tron de energia negativa pula para um estado de energia epositiva, aparecem duas coisas: o pr´prio el´tron, agora “vis´ o e ıvel”, e o buraco:chama-se isso de produ¸˜o de um par el´tron-p´sitron. O buraco deixado pelo ca e oel´tron ´ um p´sitron, o primeiro exemplo de anti-mat´ria. e e o e33.5.1 As solu¸˜es de onda plana coEstas solu¸˜es, que s˜o estados de momento e energia definidos e arbitr´rios, co a apodem ser obtidas das de repouso por transforma¸˜es de Lorentz. Vamos co ´nos limitar a apresentar uma tabela delas. E um exerc´ simples verificar ıcioque as express˜es a seguir efetivamente satisfazem as equa¸˜es de Dirac. o coEnergia positiva: mc2 (1,2) i Ψ= u (p)e h (p.x−Et) ¯ EV   1 E + mc2 0   (1)   u (p) =  p3 c  2mc2   E+mc2   (p1 +ip2 )c E+mc2 191
    •   0 E + mc2 1   u(2) (p) =   (p1 −ip2 )c   2mc2   E+mc2   −p3 c E+mc2Energia negativa: mc2 (3,4) i Ψ= u (p)e h (p.x+|E|t) ¯ |E|V  −p3 c  |e|+mc2 −(p1 +ip2 )c |E| + mc2   u(3) (p) =    |E|+mc2  2mc2   1   0 −(p1 −ip2 )c   |E|+mc2 |E| + mc2  p3 c  u(4) (p) =    |E|+mc2  2mc2   0   133.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco caDada a equa¸˜o ca ∂ ie mc − Aµ γµ Ψ + Ψ=0 (868) ∂xµ hc ¯ h ¯queremos mostrar que, para cada Ψ que a resolve, existe uma Ψc que ´ solu¸˜o e cade: ∂ ie mc c + Aµ γµ Ψc + Ψ =0 ∂xµ hc ¯ h ¯com a propriedade Ψ c = Sc Ψ ∗onde Sc ´ anti-unit´rio35 . Vamos determinar Sc . Tomando o complexo- e aconjugado da equa¸˜o de Dirac, temos ca ∂ ie ∂ ie mc ∗ + Ak γk Ψ∗ + − ∗ − A4 γ4 Ψ∗ + ∗ Ψ =0 ∂xk hc ¯ ∂x4 hc ¯ h ¯Aplicando Sc ` esquerda, termo a termo, tomando o complexo conjugado e aaplicando, ` esquerda, (Sc )−1 , obtemos a ∗ ∂ ie ∂ ie mc − Ak (Sc )−1 γk Sc Ψ + − ∗ ∗ ∗ + A4 (Sc )−1 γ4 Sc Ψ + ∗ ∗ ∗ Ψ=0 ∂xk hc ¯ ∂x4 hc ¯ h ¯ 35 Sc Sc = Sc Sc = 1, mas Sc (λΨ) = λ∗ Sc Ψ † † 192
    • Para que esta equa¸˜o reproduza Eq.(868), devemos ter ca (Sc )−1 γk Sc = γk ∗ ∗ ∗ (Sc )−1 γ4 Sc = −γ4 ∗ ∗ ∗A solu¸˜o ´ ca e Sc = γ 2com Sc = Sc = (Sc )−1 . Logo, ∗ ∗ Ψc = γ 2 Ψ∗Exemplo: mc2 1 i Ψ= u (p)e h (p.x−Et) ¯ EV mc2 4 i Ψc = γ 2 Ψ∗ = − u (−p)e h (−p.x+|E|t) ¯ EVe (Ψc )c = ΨAssim, dada uma solu¸˜o Ψ de energia negativa E, Ψc ´ uma solu¸˜o de ca e caenergia (−E), positiva, de momento −p, carga −e e spin no sentido oposto.Trata-se do buraco, que ´ um p´sitron. e o34 Apˆndice Matem´tico 1 e a34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais co ˆSeja O um operador linear num espa¸o vetorial E sobre os n´ meros com- c uplexos. Seja {ei }, com i = 1, . . . , n, uma base desse espa¸o, que, portanto, c ˆtem dimens˜o n. Aplicando-se O a um elemento da base, por exemplo, ei , atem-se um novo vetor do espa¸o, que pode ser expandido na base dada. Esta cexpans˜o ´ escrita a e n ˆ Oei = Ojiej (869) j=1 ˆonde os Oji s˜o n´ meros complexos, denominados elementos de matriz de O a una base {ei }. Seja v um vetor qualquer de E, tal que n v= vi ei . (870) i=1 193
    • Temos n n ˆ ˆ Ov = O vi ei = ˆ vi Oei (871) i=1 i=1e, usando (869), n n ˆ Ov = vi Ojiej (872) i=1 j=1A equa¸˜o (872) mostra que, de posse dos elementos de matriz de O, ´ ca ˆ eposs´ ıvel determinar a a¸˜o deste operador sobre qualquer vetor. Ou seja, caescolhida uma base, o operador pode ser substitu´ pelo conjunto de seus ıdoelementos de matriz. Convenciona-se escrever o conjunto desses elementosde matriz da seguinte forma: O11 O12 ... O1n    O21 O22 ... O2n  O= (873)   .... .... ... ....    On1 On2 ... Onn ˆUma segunda maneira de ler a eq.(872) ´ : as componentes do vetor Ov em erela¸˜o ` base dada s˜o os n´ meros complexos ca a a u n ˆ Ov = Ojivi (874) j i=1Se representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos s˜o as suas acomponentes, v1    v  v⇔ 2  (875)    ...  vnpodemos representar a a¸˜o de um operador sobre um vetor assim: ca O11 O12 ... O1n v1    ˆ  O21 O22 ... O2n  v2  Ov ⇔  (876)    .... .... ... .... ...      On1 On2 ... Onn vnonde, para calcular o segundo membro, usam-se as regras de produtos dematrizes usuais. O leitor, como exerc´ ıcio, poder´ mostrar que a a representa¸˜o matricial cado operador O ˆ 1 O2 , produto dos operadores O1 e ˆ ˆ ˆ 2 , ´ dada pelo produto, O e 194
    • ˆ ˆno sentido de matrizes, das matrizes que representam O1 e O2 , nesta or-dem. Recordemos que o produto das matrizes A, de elementos Aij e B, deelementos Bij , ´ a matriz de elementos e n (AB)ij = Aik Bkj (877) k=1regra que pode ser obtida facilmente da equa¸˜o (869). ca Seja {fi } uma segunda base. Podemos escrever n ˆ Ofi = (Of )ji fj (878) j=1 ˆenquanto que, em rela¸˜o ` primeira (para o mesmo O) ca a n ˆ Oei = (Oe )ji ej (879) j=1 ˆonde indicamos com Of e Oe as matrizes que representam O nas bases {fi }e {ei } respectivamente. As matrizes Of e Oe representam o mesmo operadorem bases distintas. Matrizes com esta propriedades s˜o ditas equivalentes. aO que caracteriza matrizes equivalentes?34.1.1 Transforma¸˜es entre bases coUm elemento qualquer da base (f) pode ser expandido na base (e): fi = fmi em (880) me analogamente, es = grs fr (881) rLogo, segue que es = grs fr = grs fmr em (882) r r mou es = fmr grs em (883) m rde onde segue, imediatamente, que fmr grs = δms (884) r 195
    • Invertendo os papeis das bases (e) e (f), obt´m-se, da mesma maneira, e grm fmi = δri (885) mSeja F a matriz cujos elementos s˜o fmi , e G aquela cujos elementos s˜o grm . a aEnt˜o as equa¸˜es (884) e (885) s˜o escritas, respectivamente, a co a FG = 1 (886)e GF = 1 (887)Quando, entre duas matrizes, existe este par de rela¸˜es, uma ´ o inverso da co eoutra. Ou seja, G = F −1 (888)ou, equivalentemente, F = G−1 (889)A condi¸˜o necess´ria e suficiente para que uma matriz tenha inverso ´ que ca a eseu determinante seja diferente de zero.34.1.2 Matrizes equivalentes ˆSejam Of e Oe duas representa¸˜es matriciais do operador O, ou seja, duas comatrizes equivalentes. Temos ˆ O fi = (Of )ji fj = (Of )ji flj el (890) j j rlPor outro lado, ˆ ˆ Ofi = O fmi em = ˆ fmi Oem = fmi (Oe )lm el (891) m m m lIgualando (890) e (891), temos flj (Of )ji = (Oe )lm fmi (892) j mou, na linguagem das matrizes, F Of = Oe F (893)ou, na forma mais comum, Oe = F Of F −1 (894) 196
    • Em palavras, duas matrizes A e B s˜o equivalentes se existir uma matriz an˜o-singular (isto ´, que tem inversa) F tal que a e A = F BF −1 (895)Uma rela¸˜o desse tipo entre matrizes A e B ´ dita tamb´m uma trans- ca e eforma¸˜o de eq¨ ivalˆncia, ou de semelhan¸a. A riqueza de sinˆnimos revela ca u e c oa idade do problema!Exerc´ıcios: ˆ1. Mostre que, se o operador O possui inverso e se a representa¸˜o matricial dele em uma ca e a ca ˆdeterminada base ´ a matriz A, ent˜o a representa¸˜o matricial de O−1 nesta mesma base −1´ a matriz A .e2. Mostre que duas matrizes equivalentes tˆm o mesmo tra¸o e o mesmo determinante. e cPor isso essas duas quantidades s˜o ditas invariantes de uma matriz. a34.1.3 Autovalores de uma matriz ˆSejam O um operador linear e v = 0 um vetor tais que ˆ Ov = λv (896) e u e ˆonde λ ´ um n´ mero complexo. Diz-se que v ´ um autovetor de O, e que λe ˆ´ um autovalor de O. A equa¸˜o acima pode ser escrita assim: ca ˆ O − λˆ v = 0 1 (897) ˆ ˆSuponhamos que o operador O − λˆ tenha inverso, denotado por U = 1 −1 ˆ ˆ a O − λˆ . Ent˜o, aplicando-se U ` esquerda de (897), temos 1 a ˆ ˆ U O − λˆ v = v = 0 1 (898)o que ´ absurdo, pois v, como autovetor, deve ser n˜o-nulo. Conclui-se que e a ˆo operador O − λˆ ´ singular, ou seja, n˜o tem inverso. Em conseq¨ˆncia, 1 e a uesuas representa¸˜es matriciais tamb´m n˜o ter˜o inverso. co e a a A vers˜o matricial da eq.(897) ´ a e (Oij − λδij ) vj = 0 (899) jonde Oij ´ o elemento ij da matriz O, que representa o operador O em e ˆalguma base, e δij ´ o elemento ij da matriz que representa o operador ˆ e 1. 197
    • Em conseq¨ˆncia da conclus˜o acima, o primeiro membro da eq.(899) deve ue aser uma matriz singular (sem inverso). Logo, devemos ter det (Oij − λδij ) = 0 (900)que ´ uma maneira simplificada de dizer que o determinante da matriz cujo eelemento gen´rico ´ Oij − λδij ´ zero. e e e Esta equa¸˜o, λ sendo a inc´gnita, ´ uma equa¸˜o alg´brica de ordem ca o e ca eigual ` dimens˜o n do espa¸o, ou, o que ´ o mesmo, igual ` ordem da ma- a a c e atriz. Em prin´ıpio tem n solu¸˜es, mas n˜o necessariamente distintas. Estas co asolu¸˜es s˜o os autovalores do operador, e s˜o tamb´m chamadas de auto- co a a evalores da matriz que representa o operador. A equa¸˜o (900) ´ conhecida ca ecomo equa¸˜o secular. ca 198
    • 34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz caNeste cap´tulo, diferentemente do que ocorreu nos anteriores, omitiremos os sinais de ısomat´ria, usando a conven¸ao de que ´ndices repetidos indicam a soma sobre todos os o c˜ ıvalores desses ´ndices. ı Seja A uma matriz, de elementos Aij , que s˜o n´ meros complexos. Seja a uλ1 um autovalor da matriz A. Isto quer dizer que existe v tal que36 Av = λ1 v (901)ou A11 v1 + A12 v2 + . . . + A1n vn = λ1 v1 A12 v1 + A22 v2 + . . . + A2n vn = λ1 v2 ......................................... = ............. A1n v1 + A2n v2 + . . . + Ann vn = λ1 vn (902)Mais geralmente, seja vk o autovetor correspondente ao autovalor λk , Avk = λk vk (903)Escrevendo a rela¸˜o acima em componentes, temos ca (Avk )i = λk (v)i (904)ou Aij (vk )j = λk (vk )i (905)Considere a matriz cujos elementos s˜o a ρik = (vk )i (906) Ent˜o a Aij (vk )j = Aij ρjk = λk ρik (907)ou, definindo a matriz diagonal Λ, de elementos Λij = λj δij (908) (Aρ)ik = (ρΛ)ik (909) 36 Por abuso de linguagem estamos representando pelo mesmo s´ ımbolo, v, tanto o vetorquanto a matriz coluna que o representa numa base. 199
    • ou, como uma equa¸˜o matricial, ca Aρ = ρΛ (910) ıvel, isto ´, se existir ρ−1 , obtemos, aplicando ρ−1 `Se a matriz ρ for invers´ e aesquerda, ρ−1 Aρ = Λ (911)A matriz A foi transformada, por uma “transforma¸˜o de semelhan¸a”, numa ca cmatriz diagonal. Seja Aˆ o operador linear que, em rela¸˜o a uma determinada cabase, possui a representa¸˜o matricial A. A equa¸˜o (911) mostra que, no ca ca ˆecaso de ρ possuir inversa, existe uma outra base na qual A ´ representadopela matriz diagonal Λ. Que matriz ´ ρ? Sejam e vk1    vk2  vk =  (912)   ...    vknos autovetores de A, para k = 1 . . . n. Seja a matriz constru´ justapondo-se ıdaessas matrizes colunas designada por v. Ent˜o a v11 v21 ... vn1    v12 v22 ... vn2  v=  (913) ... ... ... ...     v1n v2n ... vnnA matriz ρ ´ a transposta de v, ou seja, e v11 v12 ... v1n    v21 v22 ... v2n  ρ=  (914) ... ... ... ...     vn1 vn2 ... vnnCondi¸˜o necess´ria e suficiente para que exista ρ−1 ´ que o determinante ca a ede ρ seja diferente de zero. Ora, uma condi¸˜o suficiente para que o deter- caminante de uma matriz seja n˜o-nulo ´ que suas linhas sejam linearmente a eindependentes. Como as linhas de ρ s˜o os autovetores vk , conclui-se que auma condi¸˜o suficiente para que exista ρ−1 ´ que os autovetores de A sejam ca elinearmente independentes. Um corol´rio ´ que, se A ´ hermiteana, ela ´ a e e ediagonalizavel, pois o conjunto dos autovetores de uma matriz hermiteanaforma uma base, o que significa que os autovetores s˜o linearmente indepen- adentes. 200
    • 34.2.1 ExemploDiagonalizar a matriz complexa37 0 1 A= . (915) 1 0A equa¸˜o secular (900) ´, neste caso, ca e 0 1 1 0 −λ 1 det −λ = det =0 (916) 1 0 0 1 1 −λou λ2 − 1 = 0 (917)cujas solu¸˜es s˜o co a λ = ±1 (918)Ent˜o a matriz, quando estiver na forma diagonal, ser´ a a 1 0 . (919) 0 −1Contudo, vamos construir explicitamente a transforma¸˜o de semelhan¸a que ca cleva A ` forma diagonal. Para isso precisamos determinar os autovetores de aA. Seus autovalores j´ foram determinados: s˜o λ1 = +1 e λ2 = −1. Temos a aSeja vi o autovetor associado ao autovalor λi . Ent˜o, a Av1 = λ1 v1 (920) Av2 = λ2 v2 (921)Denotando o vetor vi pela matriz coluna (vi )1 (vi )2temos, para (920): 0 1 (v1 )1 (v1 )1 = (922) 1 0 (v1 )2 (v1 )2Realizando o produto de matrizes do primeiro termo, temos 37 Sim, leitor! Trata-se de uma matriz complexa, embora n˜o pare¸a. Lembre-se de que a c1 ´ um n´ mero complexo, pois pode ser escrito como 1 + i0! e u 201
    • (v1 )2 (v1 )1 = (923) (v1 )1 (v1 )2Como a igualdade de matrizes implica na igualdade, um a um, dos termosde mesmos ´ ındices, temos (v1 )2 = (v1 )1 (924) (v1 )1 = (v1 )2 (925)A solu¸˜o mais geral dessas equa¸˜es ´ a matriz coluna ca co e a v1 = (926) aonde a ´ qualquer n´ mero diferente de zero. Esta ambig¨ idade era esperada, e u upois, pela linearidade dos operadores em quest˜o, se v ´ um autovetor cor- a erespondendo a um determinado autovalor, qualquer m´ ltiplo n˜o-nulo seu u atamb´m o ´. Uma maneira de levantar a ambig¨ idade ´ exigir que o vetor e e u eseja normalizado. Isto se faz assim: o produto escalar de v1 consigo mesmo ´ e a (a∗ , a∗ ) = a∗ a + a∗ a = 2|a|2 = 1 (927) a 1Logo, devemos ter a = √ 2 (a fase, como sempre, ´ escolhida arbitrariamente). ePortanto, 1 1 v1 = √ (928) 2 1Um c´lculo an´logo leva a a a 1 1 v2 = √ (929) 2 −1Note-se que 1 1 v1 .v2 = (1, 1) =0 (930) 2 −1que mostra que os autovetores s˜o ortogonais, e, portanro, linearmente inde- apendentes. A matriz ρ procurada ´, ent˜o, e a 1 1 1 ρ= √ (931) 2 1 −1Como detρ = −1, ela possui inversa, que ´ e ρ−1 = ρ (932) 202
    • Resta mostrar que 1 0 ρ−1 Aρ = (933) 0 −1De fato, 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 √ √ = = 2 1 −1 1 0 2 1 −1 2 0 −2 1 0 = (934) 0 −134.2.2 Exerc´ ıcios1.Ache a equa¸˜o secular (tamb´m chamada ca e de equa¸˜o caracter´ ca ıstica) e os autovaloresda matriz   1 1 1 A= 1 2 2  1 2 32. Mostre que a matriz a h B= h b´ transformada em uma matriz diagonale −1 C = Tθ B (Tθ )onde Tθ ´ e cos θ sin θ Tθ = − sin θ cos θe 2h tan 2θ = a−b(transforma¸˜o de Jacobi). ca3. Determine os autovalores e autovetores da matriz   2 −2 2 M = 1 1 1  1 3 −1Resposta: λ1 = 1 , λ2 = −2 , λ3 = 3.4. No caso l = 1, escreva a representa¸˜o matricial lx do operador ˆx na base em que ca lˆz ´ diagonal. (S˜o os elementos de matriz que calculamos em aula). Determine a trans-l e aforma¸˜o de semelhan¸a que diagonaliza lx e exiba a matriz diagonalizada. Mostre que ca cesta transforma¸˜o de semelhan¸a “desdiagonaliza” (perd˜o, Luis de Cam˜es!) a matriz ca c a olz . 203
    • 35 Apˆndice matem´tico 2 e aEntre as muitas excelˆncias do grande livro Quantum Mechanics, de L. D. eLandau e E. M. Lifshitz[3], est´ o apˆndice denominado Mathematical Appen- a edices, onde, de uma forma unificada, s˜o tratadas v´rias das fun¸˜es especiais a a conecess´rias ao longo do texto. Essa unifica¸˜o ´ tornada poss´ pelo uso a ca e ıveldo m´todo de Laplace, uma genial t´cnica de resolu¸˜o de certas equa¸˜es e e ca codiferenciais ordin´rias inventada pelo grande matem´tico francˆs enquanto a a eredigia seu Th´orie analytique des probabilit´s. e e O m´todo faz uso intenso da integra¸˜o no plano complexo, o que abre e cacaminho para a utiliza¸˜o do m´todo do ponto sela, para o estudo do compor- ca e co ´tamento assint´tico das solu¸˜es. E esta combina¸˜o de t´cnicas que faz com o ca eque os m´todos apresentados no apˆndice citado se destaquem pela elegˆncia e e ae concis˜o, para n˜o mencionar a potˆncia. a a e O tratamento dado por Landau ´ talvez excessivamente breve, o que etorna o material do apˆndice acess´ e ıvel para poucos. Este artigo pretende,estendendo-se mais longamente sobre o tema, torn´-lo acess´ a um n´ mero a ıvel umaior de estudantes. Minha principal fonte foi o grande tratado de Edouard Goursat[4], Coursd’Analyse Math´matique. Uma exposi¸˜o mais detalhada e ambiciosa, es- e cacrita com a gra¸a de sempre, encontra-se em Hille[5], abundante em notas chist´ricas e aplica¸˜es elegantes. Para o m´todo do ponto sela minha re- o co eferˆncia preferida ´ Courant, Hilbert[6]. Para saber mais sobre Laplace e seu e etratado de probabilidades veja o not´vel Dictionary of Scientific Biography[7] aou, mais especificamente, a biografia de Laplace por Gillispie[8], um dos ed-itores do dicion´rio citado. a35.1 A equa¸˜o de Laplace caLaplace, ap´s ter inventado a transforma¸˜o que leva o seu nome38 , generalizou- o caa de v´rias formas. A que nos interessa aqui, uma generaliza¸˜o para o plano a cacomplexo, serve para resolver certas equa¸˜es diferenciais ordin´rias muito co acomuns nas aplica¸˜es. S˜o equa¸˜es da forma co a co dy dn y (a0 + b0 x)y + (a1 + b1 x) + . . . + (an + bn x) n = 0 (935) dx dxque vamos tamb´m, de forma abreviada, denotar por e F (y) = 0 38 A famosa transformada de Laplace! 204
    • Vamos procurar solu¸˜es da forma co y= Zezx dz (936) Conde Z ´ uma fun¸˜o de z a determinar, e o contorno C, independente de x, e catamb´m deve ser determinado. Como veremos, a determina¸ao do contorno e c˜´ parte essencial na constru¸˜o da solu¸˜o, e aqui est´ talvez a principale ca ca ainova¸˜o dessa “transformada de Laplace” complexa. Note-se que ca dk y = Zz k ezx dz dxk CComo n dk y F (y) = (ak + bk x) k k=0 dxtemos, n F (y) = Z (ak + bk x)z k ezx dz C k=0ou n F (y) = Z ak z k + bk z k x ezx dz C k=0ou F (y) = Z(Qx + P )ezx dz (937) Ccom n Q= bk z k k=0e n P = ak z k k=0Podemos ent˜o escrever F (y) como uma soma de duas integrais: a F (y) = P Zezx dz + ZQxezx dz (938) C CA segunda dessas integrais pode ser escrita assim: d z d d ZQxezx dz = ZQ e xdz = (ZQezx ) dz − (ZQ) dz ezx C C dz C dzC dz (939)Podemos agora escolher o contorno C de tal sorte que a primeira integraldo segundo membro se anule. De fato, trata-se da integral de uma derivada;logo, o valor da integral ’e a diferen¸a dos valores do integrando nos dois c 205
    • extremos. Escolhemos o contorno, ent˜o, ou como um contorno fechado, ou acomo um contorno aberto em cujos dois extremos a fun¸˜o ca V (z) = ZQezx (940)tenha o mesmo valor (No caso do contorno fechado isto acontece automati-camente). Com essa escolha de contorno, d ZQxexz dz = − exz (ZQ) dz C C dzObtemos assim para a fun¸˜o F (y) a express˜o: ca a d F (y) = dz P Z − (ZQ) exz (941) C dzQueremos determinar Z de tal forma que F (y) = 0. Para tanto, o integrandoda Eq.(941) deve se anular. Assim, d P d PZ = (ZQ) ou ZQ = (ZQ) (942) dz Q dzo que nos leva ` equa¸˜o diferencial a ca 1 d P (ZQ) = (943) ZQ dz QEquivalentemente, P d log(ZQ) = dz Q Pe log(ZQ) = Q dz, ou ainda, P dz ZQ = e Qe, finalmente, 1 Q dz P Z= e (944) QA solu¸˜o procurada ´ ent˜o ca e a 1 P dz y(x) = e Q ezx dz (945) C Qou, para maior clareza, 1 z P (t) dt y(x) = e a Q(t) exz dz (946) C Qonde a ´, por exemplo, um dos zeros de P (t). e 206
    • 35.2 O Oscilador Harmˆnico oConsidere a equa¸˜o ca d2 y dy 2 − 2x + 2ny = 0 (947) dx dxque aparece na solu¸˜o do problema de determinar os estados estacion´rios ca ado oscilador harmˆnico. Aqui n ´ um n´ mero qualquer, n˜o necessariamente o e u aum inteiro, apesar da nota¸˜o. Colocando-a na forma ca dy d2 y (a0 + b0 x)y + (a1 + b1 x) + (a2 + b2 x) 2 = 0 dx dxvemos que b0 = 0 a0 = 2n b1 = −2 a1 = 0 b2 = 0 a2 = 1Temos, ent˜o, a P (z) = 2n + z 2 Q(z) = −2ze 1 −1 z 2 +2n dz Z(z) = e 2 z −2ze, como z 2 + 2n z2 dz = + 2n log z , z 2 z2 P dz 2 − 1 ( z2 +2n log z) e− 4 e Q =e 2 = n zLogo, z2 z2 1 e− 4 1 e− 4 Z(z) = − = − n+1 (948) 2z z n 2ze z2 e− 4 xz y(x) = − e dz (949) C 2z n+1Como estamos calculando uma fun¸˜o de onda, constantes multiplicativas can˜o tˆm importˆncia. Por isso, simplificamos para a e a dz xz− z2 y(x) = e 4 (950) z n+1 207
    • Passemos agora ` determina¸˜o do caminho de integra¸˜o. Como vimos, ele a ca ca zxdeve ser tal que a fun¸˜o ZQe tenha o mesmo valor nos dois extremos. caEssa fun¸˜o ´, neste caso, ca e z2 ezx− 4 ZQezx = (951) znPor argumentos f´ısicos os casos de interesse s˜o restritos a n > − 1 (Veja a 2nota39 ). Para esses valores os contornos C1 e C2 das figuras abaixo s˜o aadequados. 2 2 2Seja z = X +iY . O termo dominante no integrando ´ e−z = e−(X −Y ) ei2XY . e −X 2Para Y pequeno em m´dulo, e o garante que a fun¸˜o V se anula nas caextremidades de ambos os contornos. Se n for um racional n˜o inteiro, a origem z = 0 ser´ um ponto de a aramifica¸˜o, e haver´ cortes ao longo do eixo real. Se o corte for tomado ca aao longo do semi-eixo real negativo, o primeiro contorno n˜o ´ permitido (a a ecurva atravessa o corte). O segundo ´ aceit´vel. A integra¸˜o ´ complicada, e a ca ee n˜o garante que y(x) seja um polinˆmio, como ´ requerido. Quando n for a o einteiro, a situa¸˜o ´ muito mais simples. Fa¸amos, neste caso, a mudan¸a de ca e c cvari´vel a z = 2(x − u)onde introduzimos a nova vari´vel complexa u. Uma substitui¸˜o simples a camostra que 2 ex du 2 y(x) = − e−u (952) 2 C ′ (x − u)n+ionde o novo contorno C ′ ´ descrito na figura abaixo. e 39 Isto quer dizer que as energia s consideradas s˜o positivas, como ´ o caso para um a eoscilador harmˆnico de energia potencial 1 kx2 o 2 208
    • x Que o contorno deve ser este, segue dos seguintes fatos:a transforma¸˜o ca´ linear; uma transforma¸˜o linear transforma retas em retas e c´e ca ırculos em 40c´ ırculos ; a particular transforma¸˜o acima inverte o sentido de percurso cano contorno e leva pequenos valores da parte imagin´ria de z em pequenos avalores da parte imagin´ria de u; o ponto z = 0 corresponde ao ponto u = x ano novo contorno. Para n inteiro e x = u o integrando n˜o tem singularidades. Por isso, o acontorno pode ser deformado para x A integral ´, ent˜o, e a 2 2 du y(x) = ex e−u (953) (u − x)n+1Ora, 2 n! e−u du dn 2 n+i = n e−x 2πi (u − x) dxonde usamos a f´rmula de Cauchy. Portanto, o n x2 2πi d 2 y(x) = e n e−x ≡ yn (x) (954) n! dxMas, uma maneira de definir os polinˆmios de Hermite ´: o e n 2 d 2 Hn (x) = (−1)n ex n e−x dxLogo, yn (x) = KHn (x) (955)onde K ´ uma constante arbitr´ria, a ser determinada posteriormente pela e anormaliza¸˜o da fun¸˜o de onda. ca ca 40 Bem, transforma c´ırculos em elipses, mas, no caso, a transforma¸˜o ´ isotr´pica, e ca e otransforma c´ ırculos em c´ ırculos. . . 209
    • 35.3 O Campo UniformeNada supera em importˆncia, na gˆnese da mecˆnica Newtoniana, o prob- a e alema da queda livre, seja da ma¸˜, seja da Lua, em seu movimento em redor cada Terra. No entanto raramente se vˆ, num curso de mecˆnica quˆntica, esses e a aproblemas tratados, nem mesmo no caso simplificado de um campo gravita-cional constante. Nesta sec¸˜o vamos resolver o problema do movimento de caum ponto material sob a a¸˜o de um campo uniforme: a queda da ma¸˜, se ca caa altura da queda n˜o for muito grande. O m´todo de Laplace para resolver a ea equa¸˜o diferencial obtida ser´ essencial. ca a Uma part´ıcula de massa m (a “ma¸˜”)se move sob a a¸˜o de um campo ca cauniforme ao longo do eixo x, o que lhe d´ uma energia potencial a U(x) = −F x .Logo, age sobre ela uma for¸a na dire¸˜o x, de m´dulo F . O movimento da c ca opart´ ıcula ´ tamb´m restrito (por escolha das condi¸˜es iniciais) ao eixo x. e e co A equa¸˜o de Schr¨dinger para os estados estacion´rios desse sistema ´: ca o a e h2 d2 ψ ¯ − − F xψ = Eψ (956) 2m dx2ou d2 ψ 2m + 2 (F x + E) ψ = 0 (957) dx2 h ¯ ´ E conveniente introduzir a vari´vel adimensional a 1 E 2mF 3 ξ = x+ (958) F h2 ¯Temos ent˜o a 2 d2 ψ 2mF 3 d2 ψ = dx 2 h2 ¯ dξ 2e, ap´s algumas substitui¸˜es simples, o co d2 ψ + ξψ = 0 , (959) dξ 2como nova equa¸˜o de Schr¨dinger . ca o Trata-se de uma equa¸˜o de Laplace. Na nota¸˜o convencional, temos ca ca dy d2 y (a0 + b0 ξ)y(ξ) + (a1 + b1 ξ) + (a2 + b2 ξ) 2 = 0 (960) dξ dξ 210
    • ` qual o m´todo que vimos acima pode ser aplicado. Contudo, para aproveitara eos estudos pr´vios sobre uma fun¸˜o que ir´ aparecer no problema (a fun¸˜o e ca a cade Airy), vamos estudar n˜o a equa¸˜o acima, mas uma estreitamente ligada a caa ela, d2 y − ξy(ξ) = 0 (961) dξ 2que ´ muito conhecida na f´ e ısica-matem´tica. Se Φ(ξ) for solu¸˜o desta a caequa¸˜o, Φ(−ξ) ser´ solu¸˜o da Eq.(959). A Eq.(961) ´ escrita, ` maneira ca a ca e ade Laplace, assim: dy d2 y (a0 + b0 ξ)y(ξ) + (a1 + b1 ξ) + (a2 + b2 ξ) 2 = 0 (962) dξ dξcom a0 = 0, b0 = −1, a1 = b1 = 0, b2 = 0, a2 = 1. Segue que P (z) = z 2 Q(z) = −1 Pe, como Q = −z 2 , P z3 exp dz = exp − (963) Q 3e ent˜o a z3 y(ξ) = exp ξz − dz (964) C 3Como vimos, o contorno de integra¸˜o deve ser escolhido de maneira que a cafun¸˜o ca z3 V (z) = ZQ = exp (ξz − ) (965) 3tenha valores idˆnticos nos dois extremos. Neste caso tomaremos um con- etorno que vai ao infinito, sendo os valores de V (z) nos dois extremos iguaisa zero. Seja z = u + iv. Ent˜o a z3 1 exp − = exp − (u + iv)3 3 3 1 = exp − {u3 + 3u2 (iv) + 3u(iv)2 + (iv)3 } 3 1 i = exp − u(u2 − 3v 2 exp − (3u2 v + v 3 ) 3 3 211
    • O contorno deve ser tal que a exponencial leve o integrando a zero nos doisextremos. Para isso, devemos ter: u > 0 e 2 2 u − 3v > 0 ou u < 0 e 2 2 u − 3v < 0Consideremos primeiro o caso u > 0. Devemos ent˜o ter a √ √ (u − 3v)(u + 3v) > 0Esta ´ uma regi˜o do plano (u, v) delimitada pelas retas e a 1 v=√ u 3e 1 v = −√ u 3Na figura abaixo est˜o representadas essas duas retas. Sobre elas temos a 2 2u − 3v = 0. Uma pequena reflex˜o com ajuda da figura convencer´ o leitor a a 2 2de que a regi˜o entre as retas ´ aquela em que u − 3v > 0. A regi˜o I ´ a e a eaquela em que temos u2 − 3v 2 > 0 e u > 0. A regi˜o sim´trica ` tracejada a e aem rela¸˜o ao eixo v, isto ´, a regi˜o II, ´ aquela em que temos u2 − 3v 2 > 0 ca e a ee u < 0. Logo, a regi˜o em que u2 − 3v 2 < 0 e u < 0 ´ a complementar a edessa regi˜o II no semiplano que cont´m o eixo real negativo, e ´ constitu´ a e e ıdapelas regi˜es III e IV. Essas regi˜es estendem-se ao infinito, embora isto o on˜o seja (nem possa ser!) representado na figura. Em princ´ a ıpio o contornode integra¸˜o pode come¸ar em qualquer das regi˜es tracejadas, e terminar ca c oem qualquer outra tracejada. 212
    • z III C2 II I IV C1 C Fig.1 Regi˜es permitidas oNa figura est˜o indicados, em cinza, trˆs contornos poss´ a e ıveis: C, C1 e C2 .Desses, C2 ´ problem´tico, pois se estende na regi˜o em que a vari´vel z e a a aatinge valores reais e positivos. Ent˜o o termo a exzque aparece na express˜o de y(ξ), pode, para x grande e positivo, complicar aa convergˆncia da integral. Por isso tomamos os contornos que come¸am na e cregi˜o IV e terminam na III. Em particular, o caminho C pode ser ao longo ado eixo imagin´rio. Ent˜o, tomando z = iv, a a ∞ (iv)3 ∞ v3 y(ξ) = exp ixv − idv = i dv exp ixv + i (966) −∞ 3 −∞ 3ou 0 v3 ∞ v3 y(ξ) = i dv exp ixv + i +i dv exp ixv + i (967) −∞ 3 0 3ou ainda 0 v3 ∞ v3 y(ξ) = −i dv exp −ixv − i +i dv exp ixv + i ∞ 3 0 3e, finalmente, ∞ v3 y(ξ) = i dv cos xv + (968) 0 3 213
    • A fun¸˜o de Airy, bem conhecida na literatura matem´tica, ´ definida por ca a e 1 ∞ v3 Φ(x) = √ dv cos + xv . (969) π 0 3Logo, ψ(ξ) = KΦ(−ξ) (970)35.3.1 Comportamento Assint´tico oAs fun¸˜es descritas pelas Eqs.(969) e (970) est˜o expressas como uma rep- co aresenta¸˜o integral, e, sendo assim, n˜o se pode ter uma id´ia imediata de ca a eseu comportamento. Nos casos em que x → ∞ e x → −∞ obtˆm-se com-eportamentos assint´ticos mais reveladores. Vamos a eles. o Para x positivo e muito grande na fun¸˜o de Airy (correspondendo a x canegativo e de m´dulo muito grande para a fun¸˜o de onda) temos de achar o caum contorno de integra¸˜o que permita utilizar o m´todo do ponto sela. ca e(Veja o Apˆndice dedicado a este m´todo). e e ´ E conveniente voltar ` express˜o exponencial a a t3 y(x) = exp x(t − ) dt (971) C 3x 3 2Pondo f (t) = t − 3x temos df = 1 − tx e a condi¸˜o df = 0 implica em t ca dt √ dtt = ± x, que s˜o os poss´ √a ıveis pontos sela. Na regi˜o permitida, temos s´ a oo valor t = − x. A seguir faremos a escolha de um caminho de integra¸˜o caque passe pelo ponto sela e seja de m´ximo aclive. Na realidade, ´ suficiente a eque o caminho seja de m´ximo aclive nas vizinhan¸as do ponto sela. Vamos a c √ent˜o expandir f (t) em s´rie de Taylor em torno de t = − x. Temos, a e √ √ √ df (t + x)2 d2 f f (t) = f (− x) + (t + x) + + ... dt 2 dt2 √as derivadas sendo calculadas no ponto t = − x. Facilmente se obt´m que e √ 2√ f (− x) = − x 3e que d2 f 2 √ = √ dt2 t=− x xNaturalmente a derivada primeira ´ zero nesse ponto, pois ele ´ ponto sela. e eEnt˜o, a 2√ √ 1 f (t) = − x + (t + x)2 √ (972) 3 x 214
    • Para separar as partes real e imagin´ria de f (t) escrevo a t = u + ivo que d´ a 2√ 1 √ √ f (t) = − x + + √ u2 − v 2 + x + 2 xu + i(2uv + 2 xv) 3 x √Ent˜o, nas vizinhan¸as de t = − x, temos: a c 2√ 1 √ i √ f (t) = − x + √ u2 − v 2 + 2 xu + √ 2uv + 2 xv 3 x x 2√ 1 √ 2i √ f (t) = − x + √ (u2 − v 2 + 2 xu) + √ v(u + x) (973) 3 x x √Considere a reta u = − x. Ao longo dela, Im f (t) = 0. Logo, ´ uma curva ede m´ximo aclive. a 1√ 1 √ √ v2 Re f (t) = x+ √ x + 2 x(− x) − (974) 3 x 2ou, simplificando, √ x v2 Re f (t) = −√ (975) 3 xEnt˜o a linha de maior aclive ´ a paralela ao eixo imagin´rio passando por √a √ e a− x. Pondo t = − x + iv, temos ∞ √ √ 3 x+iv) − 1 (− x+iv) y(x) = ex(− e 3 idv (976) −∞ 2 3 ∞ √ 2 i 3 y(x) = ie− 3 x 2 dve− xv − 3 v (977) −∞e podemos omitir a exponencial imagin´ria do integrando, pois a parte gaus- asiana, para grandes valores de x, restringe de tal forma o trecho do contorno i 3que conta para a integral, que e 3 v pode ser substitu´ por seu valor em ıdax = 0. Ent˜o, a 2 3 ∞ √ 2 2 3 π √ 1 2 3 y(x) = ie− 3 x 2 dve− xv = ie− 3 x 2 √ = πx− 4 e− 3 x 2 (978) −∞ xLevando em conta a defini¸˜o da fun¸˜o de Airy, temos o comportamento ca caassint´tico o 1 1 2 3 Φ(x) = x− 4 e− 3 x 2 (979) 2 215
    • Como a fun¸˜o de onda do sistema sob a a¸˜o do campo uniforme ´ ca ca e ψξ = Φ(−ξ)o comportamento assint´tico que obtivemos ´ o esperado, uma vez que, para o eξ negativo e de grande m´dulo, estamos na regi˜o classicamente inacess´ o a ıvel,e a exponencial negativa ´ bem-vinda. e Consideremos agora o comportamento assint´tico para grandes valores de oξ, o que corresponde, na fun¸˜o de Airy, a x negativo e de frande m´dulo. ca oNeste caso df = 0 d´ dt a t2 1− =0 x 2ou seja, t = x, com x negativo. Ent˜o, a t = ±i |x| (980)Aqui os dois pontos sela devem ser considerados, j´ que est˜o, ambos, em a aregi˜es onde a integral converge. Vamos, primeiro, ao ponto t = i |x|. o 1 3Expandindo a fun¸˜o f (t) = t − 3 tx em torno do ponto sela, temos: ca   (t − i |x|)2 2i |x| f (t) = f (i |x|) + −  (981) 2 xonde omitimos o termo contendo a derivada primeira, j´ que ela se anula no aponto sela. Ap´s um c´lculo simples, obt´m-se: o a e 2 1 2 2i f (t) = i |x| + t − 2it |x| − |x| − |x| (982) 3 2 xUsando t = u + iv,   |x| 2 |x|f (t) = 2uv − 2u |x| + i  |x| − u2 − v 2 + 2v |x| + x  x 3 x (983)Segue que |x| Re f (t) = 2u v − |x| (984) xe 2 |x| Im f (t) = |x| − u2 − v 2 + 2v |x| + x (985) 3 x 216
    • ou 1 |x| Im f (t) = − |x| − u2 − v 2 + 2v (986) 3 xAo longo da reta v = u+ |x| temos Im f (t) = const., logo, este ´ o primeiro etrecho do caminho, aquele que passa pelo ponto sela t = i |x|. Considera¸˜es inteiramente an´logas levam ` conclus˜o que o segundo co a a atrecho do contorno ´ a reta v = −u+ |x|, ou, mais precisamente, o segmento eque come¸a no eixo real, em |x| e vai a v = −∞. Assim, o contorno de cintegra¸˜o adequado para o comportamento assint´tico para x negativo e de ca ogrande m´dulo ´ o que est´ representado na figura abaixo. o e a i |x| −i |x| Contorno para o c´lculo do comportamento a assint´tico para x negativo, de grande o m´dulo. oA contribui¸˜o do trecho superior do contorno ` integral ´: ca a e √ √ √ t3 |x| 2 x t− 3x 2 −∞ −i π x −2 x u 2 e dt = √ due 4 e e−ix 3 |x| (987) C1 2 |x| √ 2 −i 2 x√|x|−i π −∞ √ 2 = e 3 4 √ due−2 |x|u (988) 2 |x| √ |x| −i 2 x |x|+ π 3 4 π = − e (989) 2 |x| √ √ π 2π −i 2 x |x|+ 4 3 = − 1 e (990) 2|x| 4 217
    • Alguma ´lgebra elementar leva este resultado ` forma: a a √ 3 i 2π i 2 ξ 2 + π 3 4 1 e (991) 2|ξ| 4onde pusemos x = −ξ. A contribui¸˜o do outro trecho ´ perfeitamente ca ean´loga, dando como resultado a √ 3 i 2π −i 2 ξ 2 + π − 1 e 3 4 (992) 2|ξ| 4Somando as duas, temos A 2 3 π Ψ(ξ) = 1 sin ξ2 + (993) ξ 4 3 4Vamos nos deter agora um pouco na interpreta¸˜o f´ ca ısica do resultado, com-parando a solu¸˜o com a solu¸˜o cl´ssica para o mesmo problema. E pre- ca ca a ´ciso ressaltar que o que calculamos foram as fun¸˜es de onda dos estados coestacion´rios de um corpo sob a a¸˜o de uma for¸a constante (queda livre, a ca cpor exemplo). Classicamente nunca, ou raramente, estudamos estados esta-cion´rios, o que torna a compara¸˜o entre os resultados mais dificil. Para a carealizar estados estacion´rios em queda livre na mecˆnica cl´ssica, temos que a a arecorrer a um conjunto de muitas part´ ıculas. Um bom modelo de quedalivre em estado estacion´rio na mecˆnica cl´ssica ´ uma cachoeira sem tur- a a a ebulˆncia, um len¸ol homogˆneo de ´gua em queda livre. Cada gota de ´gua e c e a aestar´ em movimento, mas o conjunto de todas as gotas forma uma figura aque, no conjunto, parece im´vel. Vamos mostrar que a solu¸˜o quˆntica que o ca aobtivemos possui algo em comum com a solu¸˜o cl´ssica. Isto ´ mais f´cil de ca a e aver usando-se a express˜o assint´tica da Eq.(993). a o De fato, usando a Eq.(993) temos que 3 2 2 sin2 2 2 3 ξ + π 4 |Ψ(ξ)| = |A| √ (994) ξO sistema cl´ssico correspondente ´ uma part´ a e ıcula de massa m em quedalivre (ou, antes, uma enorme quantidade delas). A conserva¸˜o da energia cad´a mv 2 − mgx = E (995) 2de onde se tira 2 v= E + mgx (996) m 218
    • e, portanto, 1 1 ∼√ (997) v xPara o sistema cl´ssico, a probabilidade de se encontrar a part´ a ıcula em tornode uma posi¸˜o x ´ inversamente proporcional ` velocidade dela naquela ca e aposi¸˜o, pois ´ diretamente proporcional ao tempo que a part´ ca e ıcula em tornoda posi¸˜o. Quanticamente esta probabilidade ´ dada por |Ψ(x)|2 . Compara- ca e 1ndo a Eq.(994) com a Eq.(997), vemos que a dependˆncia em x comparece enas duas.35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto Sela e e eSeja g(x) = exf (z) dz (998) Conde C ´ um contorno aberto com a propriedade de que Re (f (z)) tenda ea −∞ em ambas as suas extremidades. A partir de agora escreveremos on´ mero complexo f (z) assim, decomposto em sua parte real e imagin´ria: u a f (z) = fR (z) + ifI (z) (999)Consideremos valores positivos e grandes de x. Como exf (z) = exfR (z) eixfI (z)e |eixfI (z) | = 1, o m´dulo do integrando na Eq.(998) ´ dado por exfR (z) . o eEsta fun¸˜o, para um dado x, varia de um valor m´ximo, atingido quando ca afR (z) ´ m´ximo, at´ zero, pelo menos nos extremos. Para x > 0 e muito e a egrande, temos um “pico” muito elevado, de onde o valor da integral cairapidamente para o “vale” (regi˜o de baixos valores). Al´m disso, podemos a eutilizar a possibilidade de deformar o contorno, para fazer com que ele fique“a maior parte do tempo” nos vales, subindo ao pico pelo caminho mais´ıngreme. Desta maneira, apenas uma pequena parte do contorno contribuir´ aefetivamente para a integral. O m´todo do ponto sela ´ isto: achar o contorno e emais ´ıngreme, passando pelo pico. Note que s˜o os valores muito grandes de ax que acentuam essas propriedades extremas. Logo, o m´todo se presta para ecalcular valores assint´ticos. o A determina¸˜o do caminho mais ´ ca ıngreme passando pelo pico pode serfeita assim: considere as curvas de n´ ıvel de fR (z), ou seja, as curvas aolongo das quais fR (z) ´ constante. O que procuramos s˜o as curvas que e acortem essas curvas de n´ ortogonalmente: s˜o estas as que “sobem mais ıvel arapidamente”. Ora, essas curvas s˜o, como se sabe da teoria de fun¸˜es a co 219
    • anal´ıticas de uma vari´vel complexa, as curvas ao longo das quais fI (z) ´ a econstante. Logo, temos de achar a curva dessa fam´ que passa pelo “pico”. ılia dNo “pico” (que ´ o ponto sela) temos dz fR (z) = 0. Vimos agora que, pelo e dcaminho escolhido, fI (z) ´ constante, e, portanto, dz fI (z) = 0. Logo, o ponto esela satisfaz a equa¸˜o complexa ca df (z) =0 (1000) dzSeja z0 o ponto em que essa equa¸˜o ´ satisfeita (pode haver v´rios). Ex- ca e apandindo a fun¸˜o em torno desse ponto, temos ca df (z − z0 )2 d2 f f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) + (1001) dz z0 2! dz 2 z0mais termos de ordem superior. A derivada primeira ´ nula, por defini¸˜o de e caponto sela. Logo, temos, para a parte real do integrando, (z−z0 )2 d2 f xf (z) xf (z0 ) 2 dz 2 e =e e z0 (1002) d2 fcom dz 2 z0 > 0, ao longo do contorno, por ser um m´ximo de fR (z). Logo, a d2 f (z−z0 )2 exf (z) dz = exf (z0 ) e−| dz2 |z0 2 dz (1003) C Cque, em geral, por ser a integral de uma gaussiana, pode ser calculada facil-mente.35.4.1 Exemplo simplesConsidere a fun¸˜o ca 1 −α(z 2 + ) g(α) = e z 2 +a2 dz (1004) Conde o contorno C, ilustrado na figura, come¸a e termina no eixo real, em c−∞ e ∞, respectivamente. 220
    • ia CA fun¸˜o ´ da forma ca e eαf (z) dz Ccom f (z) dada por 1 f (z) = −z 2 − (1005) z2 + a2Um c´lculo simples mostra que a 2 2 x2 − y 2 + a2 fR (z) = −x + y − 2 (1006) (x − y 2 + a2 )2 + 4x2 y 2enquanto que 1 fI (z) = −2xy 1 − (1007) (x2 − y2 + a2 )2 + 4x2 y 2Como a integral converge, j´ que fR (z) tende a zero para x2 tendendo a ainfinito com y limitado, as singularidades de g(α) s˜o as singularidades do aintegrando. A fun¸˜o f (z) tem polos em z = ±ia. O contorno C est´ entre ca aia e o eixo real. Logo, podemos deform´-lo a vontade nessa regi˜o. a a O ponto sela ´ determinado pela equa¸˜o e ca df =0 (1008) dzou seja, 1 2z(1 − )=0 (1009) (z 2 + a2 )2que tem a solu¸˜o ca z=0 (1010) 221
    • A derivada segunda de f (z) ´ e d2 f 2 8z 2 = −2 + 2 − 2 (1011) dz 2 (z + a2 )2 (z + a2 )3e, no ponto sela, tem o valor d2 f 1 = −2 1 − (1012) dz 2 0 a4A fam´ de curvas fI (z) = cte. ´ muito complicada. No entanto, para a ılia ecurva y = 0 com x qualquer, temos fI (z) = 0, e, portanto, constante. Comoesta curva passa por z = 0, ela ´ a curva de m´ximo aclive procurada. Ou e aseja, para o c´lculo do valor assint´tico de g(α) ´ conveniente deformar o a o econtorno de maneira a fazˆ-lo coincidir com o eixo real. Portanto, temos e ∞ −α x2 + 1 x2 +a2 g(α) = dxe (1013) −∞Podemos agora expandir f (z) em torno do ponto sela. Como a derivadaprimeira ´ nula no ponto sela, resulta que e z2 d2 f f (z) = f (0) + (1014) 2 dz 2 z=0o que d´ a 1 1 f (z) = − − z2 1 − 4 (1015) a2 aTemos ent˜o para g(α): a e− a2 e−α(1− a4 )x dx α 1 2 g(α) ∼ (1016) Ce agora a integral pode ser calculada facilmente. De fato, ∞ dxe−α(1− a4 )x α 1 2 g(α) ∼ e− a2 (1017) −∞Usando o resultado conhecido ( integral de Gauss) ∞ 2 π dxe−βx = , (1018) −∞ βobtemos α π g(α) ∼ e− a2 1 (1019) α 1− a4que ´ o resultado procurado, v´lido para grandes valores de α. e a 222
    • 36 ´ Apˆndice 3: Otica geom´trica e eA ´tica geom´trica ´ o limite da ´tica ondulat´ria para λ = 0. Na reali- o e e o odade, a ´tica geom´trica ´ uma aproxima¸˜o que vale quando a difra¸˜o ´ o e e ca ca edesprez´ ıvel. Isto ocorre quando os obst´culos que as ondas de luz encontram atˆm dimens˜es grandes em rela¸˜o ao comprimento de onda delas. Uma e o camaneira de garantir que isto sempre se verifique ´ tomar ondas de compri- emento bem pequeno. Por isso se diz “no limite λ = 0”.36.1 Equa¸˜es de Maxwell coSuponhamos que a propaga¸˜o da luz se dˆ em um meio material simples, ca edescrito por uma constante diel´trica ǫ e uma permeabilidade magn´tica µ. e eSe o meio for homogˆneo e se j = 0 e ρ = 0, teremos as equa¸˜es de onda e co 1 ∂2E ∇2 E − =0 (1020) v 2 ∂t2para o campo el´trico, e e 1 ∂2B ∇2 B − (1021) v 2 ∂t2com c v=√ µǫEstas equa¸˜es seguem diretamente das equa¸˜es de Maxwell, como vimos co coanteriormente. Se a onda for monocrom´tica, a dependˆncia temporal ser´ a e a e−iωte a equa¸˜o 1020 fica ca ω2 ∇2 E + E=0 (1022) v2 ω √e, pondo k = v = ǫµ ω , temos c ∇2 E + k 2 E = 0 . (1023) Vamos nos restringir a ondas escalares, ou seja, vamos ignorar que oscampos s˜o vetores. Perderemos com isso toda a variedade de fenˆmenos a oassociados ` polariza¸˜o. No entanto, muitos fenˆmenos, aqueles que s˜o a ca o adiretamente associados ao car´ter ondulat´rio, ao fenˆmeno da interferˆncia, a o o eser˜o ainda razoavelmente descritos. Seja u o campo escalar (por exemplo, auma das componentes de E). A equa¸˜o ´ ca e ∇2 u + k 2 u = 0 . (1024) 223
    • 36.2 A equa¸˜o do eikonal caVamos procurar solu¸˜es da forma co u = Aeik0 S (1025)com k0 = ω , onde A e S s˜o fun¸˜es de x, y, z que variam lentamente e que c a con˜o tendem a ∞ quando k0 cresce. a ∂u ∂S ∂ log A = (ik0 u +u ) (1026) ∂x ∂x ∂x ∂2u ∂S log A 2 ∂ 2 log A ∂S ∂2S = {−k0 u( )2 = ik0 u 2 ) +u + ik0 u 2 +(1027) ∂x2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂S ∂ log A ∂ log A 2 + ik0 u + u( ) + ∂x ∂x ∂x ∂ 2 log A + u } ∂x2com termos an´logos para as derivadas em y e z. Assim, temos a ∂S 2 ∂S ∂S ∇2 u = {−k0 u[( 2 ) + ( )2 + ( )2 ] + (1028) ∂x ∂y ∂z ∂ log A ∂S ∂ log A ∂S ∂ log A ∂S + 2ik0 u( + + )+ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂2S ∂2S ∂2S + ik0 u( 2 + 2 + 2 ) + ∂x ∂y ∂z ∂ log A 2 ∂ log A 2 ∂ log A 2 + u[( ) +( ) +( ) ]+ ∂x ∂y ∂z ∂ 2 log A ∂ 2 log A ∂ 2 log A + u( + + )} ∂x2 ∂y 2 ∂z 2Isto pode ser abreviado assim:∇2 = −k0 u∇S.∇S+2ik0 u∇ log A.∇S+ik0 u∇2 S+u∇ log A.∇ log A+u∇2 log A 2 (1029)Logo, a equa¸˜o fica: ca k 2 = k0 ∇S.∇S − 2ik0 ∇ log A.∇S − ik0 ∇2 S − ∇ log A.∇ log A − ∇2 log A 2 (1030)ou ainda,k2 2i i 1 1 2 = ∇S.∇S − ∇ log A.∇S − ∇2 S − 2 ∇ log A.∇ log A − 2 ∇2 log Ak0 k0 k0 k0 k0 (1031) 224
    • No limite k0 → ∞, temos ∇S.∇S = n2 (1032)e 2i 1 (∇ log A.∇S + ∇2 S) = 0 (1033) k0 2de maneira que as equa¸˜es s˜o: co a 1 ∇ log A.∇S = − ∇2 S (1034) 2 ∇S.∇S = n2 (1035)que s˜o as equa¸˜es b´sicas da ´tica geom´trica.41 a co a o e36.3 Exemplos36.4 n ´ constante e ∇S.∇S = ctede onde segue que ∇S = cte, ou seja, S = n(αx + βy + γz)Neste caso ∇S = n(α∇x + β ∇y + γ ∇z) = n(αi + β j + γ k)e ∇S.∇S = n2 (α2 + β 2 + γ 2 ) = n2 (1036)Logo, α2 + β 2 + γ 2 = 1 , (1037)e as superf´ ıcies S = n(αx + βy + γz) = cte. (1038)s˜o planos. Ora, as superf´ a ıcies S = cte. s˜o as frentes de onda, logo a apropaga¸˜o aqui descrita ´ a de ondas planas. Note-se que, se n ´ um vetor ca e eunit´rio, isto ´, se n.n = 1, temos, com r = xi + y j + z k, a e n.r = nx x + ny y + nz z 41 Note que 2 k2 ǫµ ω2 2 = ω2 c = ǫµ = n2 k0 c2onde n ´ o ´ e ındice de refra¸˜o do meio. ca 225
    • e n2 + n2 + n2 = 1 x y zComparando com a Eq.(1037) vemos que nx = nα, ny = nβ e nz = nγ, raz˜o apela qual alpha, β e γ s˜o os “ cosenos diretores” da dire¸˜o n. a ca36.5 Dois meios homogˆneos eVamos ver agora o casode dois meios homogˆneos separados por um plano eem x = 0 Temos ∂S 2 ∂S ∂S k1 ( ) + ( )2 + ( )2 = ( )2 para x < 0 (1039) ∂x ∂y ∂z k0e ∂S 2 ∂S ∂S k2 ( ) + ( )2 + ( )2 = ( )2 para x > 0 (1040) ∂x ∂y ∂z k0Seja S um plano cuja normal n˜o tem componente ao longo de z. Ent˜o a a k1 S(x, y) = (x cos θ1 + y sin θ1 ) x < 0 (1041) k0 k2 S(x, y) = (x cos θ2 + y sin θ2 ) x > 0 (1042) k0Para x = 0, k1 k2 y sin θ1 = y sin θ2 (1043) k0 k0ou n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (1044)que ´ a lei de Snell-Descartes. e36.6 Simetria esf´rica eConsidere a seguinte solu¸˜o da equa¸˜o do eikonal, dotada de simetria ca caesf´rica: e S = nr (1045)onde n = |n| e r = |r|. Temos ∇S = n∇r = n r e, portanto, ∇S.∇S = n2 . rAs superf´ıcies S = cte. s˜o, neste caso, as superf´ a ıcies r = cte., ou seja, asfrentes de onda s˜o superf´ a ıcies esf´ricas com centro na origem. Para que se etrate verdadeiramente de uma solu¸˜o da equa¸˜o do eikonal, ´ preciso ainda ca ca eque a Eq.(1035) seja satisfeita: 1 ∇ log A.∇S = − ∇2 S (1046) 2 226
    • Ora, r 1 1 ∇.∇S = ∇.(n = n{ ∇.r + r.∇ } r r r 3 r 3 1 = n{ + r.(− 3 )} = n{ − } r r r r 2n = rou 2n ∇2 S = (1047) r´E necess´rio ent˜o que a a n ∇ log A.∇S = − rou, que r n ∇ log A.n = − r rSegue ent˜o que a ∇ log A.r = −1Portanto, R ∇ log A = − (1048) r2 1Mas ∇ log A = A ∇A = − rr2 e, conseq¨ entemente, u 1 A= (1049) rPodemos ent˜o contruir a onda u = Aeik0 S (ver Eq.(1025)). a 1 1 √ ω u = eik0 nr = eikr = ei ǫµ c r (1050) r rque ´ a parte espacial de uma onda esf´rica. e e36.7 Curvatura dos raios de luzConsidere a curva descrita pela extremidade do vetor r(s), onde s ´ o com- eprimento da curva. Seja s o vetor tangente ` curva em cada ponto. Se a acurva for uma reta, a tangente em todos os pontos tem a mesma dire¸˜o. caEm curvas que n˜o s˜o retas, a tangente “gira” quando se percorre a curva. a aEste movimento da tangente ´ usado para definir a curvatura de uma curva ecomo o vetor ds K= (1051) ds 227
    • 2Como o vetor tangente ´ s = ds , vemos que a curvatura ´ d 2 , ou seja ´ a e R e dsr e“acelera¸˜o”, se s for tomado como o tempo. caConsidere, por exemplo, um c´ ırculo, de equa¸˜o x2 + y 2 = R2 . Temos ca x = R cos θ y = R sin θ dx = −R sin θdθ dy = R cos θdθe segue facilmente que ds2 = R2 sin2 θdθ2 + R2 cos2 θdθ2 = R2 dθ2ou, ds = RdθComo r = R cos θi + R sin θj, temos dr dθ dθ s= = −R sin θ i + R cos θ j ds ds dsque d´ a s = − sin θi + cos θjPara a curvatura ent˜o temos: a ds 1 K= = (− cos θdθi − sin thetadθj) ds Rdθou R K=− (1052) R2A curvatura ´, ent˜o, um vetor, cujo m´dulo ´ e a o e 1 K= RA curvatura do c´ ırculo ´ tanto maior quanto menor o raio, o que mostra que ea defini¸˜o acompanha a id´ia intuitiva. ca eVoltemos ao caso geral. Como o vetor tangente s tem m´dulo 142 , de s.s = 1 osegue que ds s. = 0 (1053) ds 42 dr dr dr ds2 Pois s = ds , temos que s.s = ds . ds = ds2 = 1 onde usamos que dr.dr = ds2 228
    • dsou seja, ds ´ perpendicular a s. Logo, ds pode ser escrito na forma e ds ds =A×s (1054) dsonde A ´ um vetor a determinar43 De fato, considere o vetor e A = a rots (1055) dsonde a ´ uma constante. Temos e ds = a rots × s e ds dsi ∂si dxl ∂si ( )i = = l = l sl = (∂l si )sl (1056) ds ds ∂x ds ∂xenquanto (rots × s)i = ǫijk (rots)j sk = ǫijk ǫjlm (∂l sm )sk = (δkl δim − δkm δil )(∂l sm )sk = (∂l si )sl − (∂i sk )sk 1e o ultimo termo ´ nulo, pois (∂i sk )sk = 2 ∂i (s)2 , e s.s = 1. Conseq¨ ente- ´ e umente, ds = rots × s (1057) dsAt´ agora falamos genericamente de curvas. Consideremos agora curvas que esejam raios de luz. Como vimos anteriormente, os raios de luz s˜o ortogonais a`s superf´a ıcies S = cte., ou seja, tˆm, em cada ponto dessas superf´ e ıcies, adire¸˜o de ∇S. Em s´ ca ımbolos, 1 s= ∇S (1058) nDa´ decorre que ı rot(ns) = 0 (1059)onde usamos o fato conhecido rot grad = 0. Da Eq.(1059) segue que nrots + ∇n × s = 0 1 rots = (s × ∇n) ne, portanto, que ds 1 = (s × ∇n) × s ds n ds n = (s × ∇n) × s ds = (s.s)∇n − (s.∇n)s 43 Em outras palavras, existe um vetor A tal que a Eq.(1054) ´ satisfeita. e 229
    • e, finalmente, nK = ∇n − (s.∇n)s (1060)onde K ´ o vetor curvatura do raio. Uma conseq¨ˆncia imediata da Eq.(1060) e ue´ que em meios homogˆneos (n constante) a curvatura ´ nula, e os raios s˜oe e e aretas. Uma outra aplica¸˜o ´ a seguinte: quando o Sol est´ muito baixo, ca e ano nascente ou no poente, os raios que atingem um observador s˜o aprox- aimadamente horizontais. O ´ ındice de refra¸˜o da atmosfera diminui com a caaltitude, logo ∇n aponta para o centro da Terra, ou seja, ´ vertical. Ent˜o, na e aEq.(1060), o segundo termo do segundo membro ´ muito pequeno. Conclui- e 230
    • se que a curvatura desses raios ´ paralela a ∇n, apontando para o centro da eTerra. Os raios, isto ´, se curvam para baixo. Em conseq¨ˆncia, o obser- e uevador, que interpreta sempre o raio como uma reta, “vˆ” o Sol mais alto do eque est´ na realidade. De fato, isto explica por que se vˆ o Sol ainda um a epouco depois de ele ter se posto. Curvatura de um raio de luz36.8 Lentes esf´ricas eNo tratamento elementar da ´tica geom´trica obt´m-se, por constr¸˜es geom´tricas o e e co eutilizando a lei de Snell-Descartes, a equa¸˜o ca 1 1 1 + = (1061) a b fsendo a a distˆncia do objeto ` lente (supostamente de espessura desprez´ a a ııvel),b a distˆncia da imagem ` lente, e f a distˆncia focal da lente, que ´ dada a a a epor 1 1 1 = (n − 1)( + ) f R1 R2sendo n o ´ ıındice de refra¸˜o do vidro, R1 e R2 os raios das superf´ ca ııciesesf´ricas da lente. O significado de f pode ser obtido facilmente da Eq.(1061): etomando-se a = ∞, tem-se 1 1 = (1062) b fque mostra ser f a distˆncia a que se forma a imagem quando o objeto est´ a ano infinito. Na Eq.(1061) a lente ´ suposta de espessura zero, e a distˆncia e a` lente ´ confundida com a distˆncia ao centro da lente.a e a 231
    • B A d F Fig.1Vamos tratar esse problema com o uso da equa¸˜o do eikonal. N˜o haver´ ca a aqualquer dificuldade em tratar o caso de lentes espessas, e o caminho estar´ aaberto tamb´m para o tratamento de lentes cujas faces n˜o sejam superf´ e a ıciesesf´ricas. O ponto P da figura designa a posi¸˜o do objeto, de coordenadas e cax = 0, y = 0 e z = 0. O eixo z ´ a dire¸˜o de incidˆncia: ´ a reta que une P e ca e eao centro da lente, O. a O P T Fig.2Um raio partido de P e incidente sobre a lente, encontra-a no ponto T ,pertencente a uma superf´ esf´rica de raio R1 (a primeira face da lente). ıcie eO centro dessa superf´ esf´rica est´ no ponto de coordenadas x = 0, y = 0, ıcie e az = a + R1 . As coordenadas de T s˜o x = 0, y = 0, z = a. Um ponto vizinho a` lente tem coordenada z = a + ζ, com |a| ≫ |ζ|a As ondas esf´ricas emitidas de P tˆm o eikonal e e s = nr = n x2 + y 2 + z 2 (1063)com n = 1 (regi˜o externa ` lente), ou seja, mais explicitamente, a a s= x2 + y 2 + z 2 (1064)Perto da primeira face da lente o eikonal ´ e S= x2 + y 2 + (a + ζ)2 232
    • Restringindo-nos a pequenas aberturas, basta considerar valores pequenos dex e y. Ent˜o, a x2 + y 2 S = (a + ζ)2 + x2 + y 2 = (a + ζ)2 (1 + ) (1065) (a + ζ)2 x2 + y 2 x2 + y 2 = (a + ζ) 1 + ≈ (a + ζ)(1 + ) (a + ζ)2 2(a + ζ)2ou seja, x2 + y 2 S =a+ζ + (1066) 2a A equa¸˜o da superf´ da primeira face da lente ´ ca ıcie e x2 + y 2 + (z − a − R1 )2 = R1 2 (1067)Podemos agora resolver o problema da primeira refra¸˜o na lente. ca 233
    • 36.9 A primeira refra¸˜o ca T a Q P r Fig.3 A figura mostra um raio saindo de P e incidindo sobre a lente, e o raiorefratado (que existe s´ dentro da lente). Prolongando-se o raio refratado at´ o eque atinja o eixo da lente, determina-se o ponto Q1 . Esse raio, T Q1 , existiriase a propaga¸˜o se desse num meio homogˆneo de ´ ca e ındice de refra¸˜o igual ao cada lente, n. O eikonal do raio refratado ´, ent˜o, e a S = n x2 + y 2 + (z − a + r)2 (1068)pois as coordenadas de Q1 s˜o x = 0, y = 0, z = −(r − a). Para pontos apr´ximos ` primeira face da lente temos z = a + ζ, com |a| ≫ |ζ|. Ent˜o, o a a S = n x2 + y 2 + (r + ζ)2 (1069)ou, aproximadamente, x2 + y 2 S = n(r + ζ + ) + S0 (1070) 2ronde S0 ´ uma constante. Em geral essa constante aditiva ´ desnecess´ria, e e aembora esteja sempre presente, j´ que, sendo a equa¸˜o do eikonal uma a caequa¸˜o para ∇S, se um S ´ solu¸˜o, S + S0 tamb´m o ser´, S0 sendo ca e ca e auma constante arbitr´ria. Neste problema que estamos estudando, impore- amos a continuidade do eikonal numa determinada superf´ ıcie, e, para isso serposs´ ıvel, ´ necess´rio incluir o S0 . e a A condi¸˜o de contorno ´ que o eikonal (a fase!) varie continuamente ao ca eatravessar a face da lente. Se isto n˜o lhe parece intuitivo, note que ´ sob a eessa condi¸˜o que se obt´m a lei de Snell-Descartes para a refra¸˜o numa ca e casuperf´ plana, o que pode ser considerado uma “verifica¸˜o experimental” ıcie cado fato. Para pequenas aberturas os pontos que satisfazem a Eq.(1067) dasuperf´ s˜o tais que ıcie a x2 + y 2 + (ζ − R1 )2 = R1 2 (1071) 234
    • ou, como R1 ≫ |ζ|, ζ 2 x2 + y 2 + R1 (1 − 2 2 ) = R1 (1072) R1ou ainda, x2 + y 2 ζ= (1073) 2R1 Devemos ter a coincidˆncia dos dois eikonais sobre a superf´ da lente. e ıcieEnt˜o, a x2 + y 2 x2 + y 2 {a + ζ + }Sup = {n(r + ζ + ) + S0 }Sup (1074) 2a 2rque leva a x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 a+ + = nr + S0 + n +n (1075) 2R1 2a 2R1 2rou seja, S0 + nr = a (1076)e 1 1 n n + = + (1077) 2R1 2a 2R1 2rou ainda n−1 1 n = − (1078) R1 a rEsta equ¸˜o resolve o problema da refra¸˜o por um dioptro esf´rico. ca ca e36.10 A segunda refra¸˜o ca T a Q CP B b r Fig.4 A equa¸˜o da segunda face, se R2 ´ o seu raio e C o seu centro, ´ ca e e (x − xC )2 + (y − yC )2 + (z − zC )2 = R2 2 (1079) 235
    • ou x2 + y 2 + (z − (R2 − a − d))2 = R2 2 (1080)Para pontos pr´ximos ` segunda face, temos o a z =a+d+ζcom |ζ| ≪ |a + d|. Ent˜o, a x2 + y 2 + (a + d + ζ = (a + d − R2 ))2 = R2 2 (1081)ou x2 + y 2 + (ζ + R2 )2 = R2 2 (1082)e, usando o fato de que |ζ| ´ pequeno, e 2ζ 2 x2 + y 2 + R2 (1 + 2 2 ) = R2 (1083) R2e, finalmente, x2 + y 2 + 2ζR2 = 0 (1084)que podemos por na forma x2 + y 2 ζ =− (1085) 2R2O eikonal do segundo raio refratado ´ e S = − x2 + y 2 + (z − zO2 )2 (1086)onde zO2 = a + d + b, o que d´ a S = − x2 + y 2 + (z − a − d − b)2 (1087) O sinal (-) ´ devido ao fato de se tratar de uma onda esf´rica que est´ se contraindo e e apara o ponto O2 . De fato, uma onda esf´rica que sai da origem ´ e e ei(kr−ωt) rao passo que uma onda esf´rica que chega na origem ´ dada por e e ei(−kr−ωt) . rPerto da segunda face da lente, temos S = − x2 + y 2 + (a + d + ζ − a − d − b)2 (1088) 236
    • ou S = − x2 + y 2 + (ζ − b)2 (1089)Para pequenas aberturas, x2 + y 2 S2 = − (b − ζ)2(1 + ) (b − ζ)2 x2 + y 2 = −(b − ζ)(1 + ) 2(b − ζ)2 x2 + y 2 = −{b − ζ + 2(b − ζ)ou x2 + y 2 S = −{b − ζ + } (1090) 2bO eikonal do primeiro raio refratado, quando ele atinge as proximidades dasegunda face da lente, ´ e S ′ = n x2 + y 2 + (a + d + ζ − a + r)2 (1091)onde resolvemos denot´-lo por S ′ para distingu´ do eikonal do segundo raio a ı-lorefratado. Temos, ap´s uma simplifica¸˜o, o ca S ′ = n x2 + y 2 + (ζ + d = r)2 (1092)Para pequenas aberturas, x2 + y 2 S ′ = n (r + d + ζ)2(1 + (r + d + ζ)2 x2 + y 2 = n(r + d + ζ)(1 + ) 2(r + d + ζ)2ou, finalmente, x2 + y 2 S ′ = n(r + d + ζ + ) (1093) 2(r + d)Devemos ent˜o ter, na segunda face, a x2 + y 2 x2 + y 2 n(r + d + ζ + + S0 )Sup = −(b − ζ + )Sup (1094) 2(r + d) 2bonde o c´lculo deve ser feito para os pontos da segunda superf´ da lente, a ıcieou seja, para x2 + y 2 ζ =− (1095) 2R2 237
    • Temos ent˜o a x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 n(r + d − + + S0 ) = −(b + + ) (1096) 2R2 2(r + d) 2R2 2bque d´ as equa¸˜es a co nr + nd + nS0 + b = 0 (1097)e n n 1 1 − + + + )=0 (1098) 2R2 2(r + d) 2R2 2bou n−1 1 n = + (1099) R2 b r+d36.11 A equa¸˜o dos focos conjugados caA solu¸˜o do problema consiste em combinar as Eqs.(1097) e (1099) para caeliminar r. Da Eq.(1097) temos r 1 = 1 (1100) n a − n−1 R1e, da Eq.(1099), r+d 1 = n−1 1 (1101) n R2 − bSubtraindo a primeira da segunda, temos d 1 1 = n−1 1 + n−1 1 (1102) n R2 − b R1 − aque ´ a equa¸˜o dos focos conjugados para uma lente de espessura d e para e capequenas aberturas. Se d = 0, obt´m-se e 1 1 1 1 1 + = (n − 1)( + )= (1103) a b R1 R2 fque ´ a equa¸˜o usual, para lentes delgadas. e caReferˆncias e [1] P.A.M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press. 238
    • [2] J.M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley. [3] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, 3rd. Edition, Perga- mon Press, Oxford, 1976. [4] E. Goursat, Cours d’Analyse Math´matique, 7eme. ´dition, Gauthier- e e Villars, Paris, 1949, Volume II, pg. 471. [5] E. Hille, Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, Wiley, 1976. [6] R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Interscience, New York, 1953. [7] C. C. Gillispie (ed.) Dictionary of Scientific Biography Scribner’s, New York,1970. [8] C. C. Gillispie, Pierre-Simon Laplace, Princeton University Press, Princeton, 1997. [9] A. Sommerfeld, Partial Differential Equations of Physics, Academic Press, New York, 1949.[10] H. Kramers, Quantum Mechanics, North Holland, 1957.[11] E. H. Wichmann, Quantum Physics, Berkeley Physics Course, Volume 4, McGraw-Hill.[12] H. M. Nussenzveig, F´ ısica B´sica, Vol.4, Blucher. a[13] R. P. Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics, Vol.3, Addison- Wesley.[14] A. P. French, E. F. Taylor, An Introduction to Quantum Physics, MIT Introductory physics series, Chapman and Hall.[15] I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, tradu¸˜es em co muitas l´ ınguas, entre as quais o portuguˆs. e[16] J. Dieudonn´, Treatise on Analysis, 8 vols., Academic Press. e[17] A. F. R. de Toledo Piza, Mecˆnica Quˆntica, EDUSP, S˜o Paulo, 2003. a a a 239
    • ´Indice Remissivoanti-materia, 177 estados estacion´rios, 23 aaparelhos, 7autofun¸˜es do momento angular, 67 co fermions, 148autofuncao, 14, 17, 25, 51, 52, 68, 70, funcao de onda, 10 72, 86, 91, 148, 161 hidrogˆnio, 76 eautovalores, 12, 13, 15–17, 20, 25, 33– 36, 47, 50, 51, 53, 56, 63, 69, incerteza, 6, 7, 85, 104–106 77, 86, 88, 91, 109, 110, 113, Integral de Fourier, 45 117, 129, 148, 184, 187, 189 intera¸˜o eletromagn´tica, 98 ca ebosons, 148 ket, 88, 89caso quase-classico, 151 medida, 7comutador de Heisenberg, 23 molecula de amonia, 167conjunto completo, 9 momento, 5, 7, 18, 20, 63–70, 74, 75,conservacao, 37, 62, 135, 169, 204 84, 85, 89, 91, 92, 101, 106, 120, 130, 143, 146, 150–152,delta de Dirac, 44 155, 175, 178, 180, 226, 227el´tron, 7 e momento angular, 63energia, 7, 18–20, 22, 25–36, 38, 39, normalizacao, 52, 72, 73, 160, 195 41, 49–51, 58, 74–77, 80, 82, nota¸˜o de Dirac, 87 ca 85–87, 99, 101, 106, 115, 116, 118–129, 131–135, 146, 148, operador adjunto, 15 151, 152, 155, 157–161, 163, operadores, 12 167, 175–178, 180, 194, 196, operadores hermiteanos, 15 204 operadores unit´rios, 59 aequa¸˜o da continuidade, 36 ca ortogonlidade, 16equa¸˜o de Schr¨dinger, 18 ca o oscilador harmˆnico, 49 oequacao de Dirac, 168equacao de Schr¨dinger, 10, 18, 20, o particula livre, 18 21, 23, 25, 26, 29, 36, 41, 46, particulas idˆnticas, 147 e 47, 49, 56, 75, 76, 116, 124, perturba¸˜es, 109 co 133, 135, 144, 145, 160, 161, perturba¸˜es dependentes do tempo, co 166, 168, 196 134espectro, 12 po¸o quadrado, 25 cespectro cont´ınuo, 46 potenciais de simetria central, 75espectro discreto, 27 princ´ ıpio da superposi¸˜o, 9, 11 caestado, 8–10 principio de Pauli, 149 240
    • simetrias, 59sistemas de dois niveis, 163soma de momento s angulares, 150spin, 91trajetoria, 7tunelamento, 44valor medio, 13WKB, 151 241