Your SlideShare is downloading. ×
Mecanica quantica   obra coletiva hfleming
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Mecanica quantica obra coletiva hfleming

447

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
447
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Mecˆnica Quˆntica a a Obra coletivaSum´rio a1 Introdu¸˜o ca 52 Pr´-requisitos e requisitos paralelos e 63 O princ´ ıpio da incerteza 74 O conceito de estado 95 O princ´ ıpio de superposi¸˜o ca 106 Operadores 12 6.1 Valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ca ca7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 18 7.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 A derivada no tempo de um operador . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3 O comutador de p e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ˆ ˆ8 Estados estacion´rios a 249 Po¸o quadrado unidimensional infinito c 2610 Exemplos simples 29 10.1 Po¸o quadrado unidimensional c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Conectando as solu¸˜es . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10.3 A equa¸˜o da continuidade . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4.1 Condi¸˜es de contorno co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1
  • 2. 11 Algumas t´cnicas matem´ticas e a 45 11.1 A fun¸˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ca 11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4612 O espectro cont´ ınuo 4713 O oscilador harmˆnico o 50 13.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814 Operadores unit´rios e simetrias a 59 14.1 Exemplos de operadores unit´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 14.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6215 Rota¸˜es e o momento angular co 6316 Autofun¸˜es do momento angular co 67 16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento angular . . . . co . 67 16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular total e da com- co a ponente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos . . . . . . . . . ca o e . 70 16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417 Potenciais com simetria central 7518 O ´tomo de Hidrogˆnio a e 76 18.1 Determinando o comportamento assint´tico . o . . . . . . . . . 78 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial . . . . . . . . . co ca . . . . . . . . . 79 18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a e . . . . . . . . . 83 18.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8619 A nota¸˜o de Dirac ca 8720 O Spin 91 20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamiltoniano ca e . . . . . 98 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler . . . . . . . . . e . . . . . 102 20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico . . . . e . . . . . 10221 As desigualdades de Heisenberg 104 21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo . . . . . . . . . . . . . 106 ca 2
  • 3. 22 Teoria das perturba¸˜es co 109 22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . 109 ca a 22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com perturba¸˜o linear 113 o ca 22.3 Corre¸˜es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 co23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degenerado 115 23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 116 23.2 Quando o n´ ´ degenerado. . . . . . . . . . . . ıvel e . . . . . . . . 117 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 120 23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o . . . . . a . . . . . . . . 122 23.4.2 Exerc´ resolvido . . . . . . . . . . . . ıcio . . . . . . . . 124 23.4.3 Exerc´ resolvido (Enrico Fermi, 1954) ıcio . . . . . . . . 126 23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas . . . . . . co . . . . . . . . 130 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 13324 Perturba¸˜es dependentes do tempo co 13425 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a a 13826 For¸as de van der Waals c 142 26.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . 142 26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals . . . . . . ca . . . . . . . . . 143 26.3 Causa da Coes˜o . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 143 26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 26.3.2 Referˆncias . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 145 26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero . . . . . ca . . . . . . . . . 146 26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c Waals . . . . . 149 26.6 Apˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 15327 Sistemas compostos 155 27.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16128 Part´ıculas idˆnticas e 161 28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares . . . . . . . . . . . . . 163 ca 3
  • 4. 29 O caso quase-cl´ssico a 164 29.1 Regra de transi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ca 29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 o30 O po¸o duplo. c 17331 Sistemas de dois n´ ıveis 17732 A mol´cula da amˆnia e o 18133 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a 181 33.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 181 33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre . . . . . . . . . . . ca o . . . . . . 182 33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 182 33.4 A equa¸˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 183 33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184 33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac . . . . ca . . . . . . 185 33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca ca . . . . . . 187 33.4.4 Corrente de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188 33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repouso . . . . . . . . 188 33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa . . . . . . . . . co . . . . . . 190 33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico . . . ca e . . . . . . 190 33.5 A anti-mat´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 191 33.5.1 As solu¸˜es de onda plana . . . . . . . . . . co . . . . . . 191 33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco . . . . . . . . . ca . . . . . . 19234 Apˆndice Matem´tico 1 e a 193 34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais co . . . . . . . . . . 193 34.1.1 Transforma¸˜es entre bases . . . . . co . . . . . . . . . . 195 34.1.2 Matrizes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 34.1.3 Autovalores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 197 34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . 199 34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 34.2.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20335 Apˆndice matem´tico 2 e a 204 35.1 A equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . 204 35.2 O Oscilador Harmˆnico . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 207 35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 35.3.1 Comportamento Assint´tico . . . . o . . . . . . . . . . . 214 35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto e e e Sela . . . . . . . . 219 4
  • 5. 35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 e ´36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223 36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.4 n ´ constante . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.5 Dois meios homogˆneos . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 36.11A equa¸˜o dos focos conjugados ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381 Introdu¸˜o caEstas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o ameu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre o a ado Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o e a aevoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o. a a Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui a a ade conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Emparticular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif- eshitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´ a ıngua. Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımicaonde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia e a aatˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os o ca oexerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre- casentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica ca aquˆntica que s˜o mais usadas em f´ a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex-emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado, a otratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior edetalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre.Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheramestrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia eda f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig, a a aque ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um a an´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´ u e ıveis, 5
  • 6. e produz um extrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quasen˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´ a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte- u amente recomendados como leitura paralela. O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O eesplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado, e e a crequerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto, aou um consider´vel grau de maturidade em f´ a ısica, para acompanhar os vˆos odo mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses c e odeste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso. Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650 op´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante. a aSe fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas. a Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3], e´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex-e aistente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel maisavan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob- cjetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso domagn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmenteo grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al- co aternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´ a e ıfico livrodo professor Toledo Piza[17].2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos eSolicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, ocap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma eexcelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida ca e cacomo experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que e eYoung usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman, aeste pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´ e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A oprevis˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da a c eidade do universo. Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica e aqˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo- u e eria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam aser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da avida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´, o a e u egrande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande a e 1 “The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with theirproperties and uses” (Dirac). 6
  • 7. tratado Treatise on Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do caabstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande eobra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin-cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealingwith abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in thisfield. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive ofexperimental work, must be essentially mathematical. Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas e enotas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do a alivro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso. c3 O princ´ ıpio da incertezaA “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma e e cafigura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que e e e an˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a a a u ef´ ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria. e e ıvel o N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria a a a o Isto ´ o conte´ do do princ´ e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica aquˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927. a A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare- co amos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos e e cocl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser a odescritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um a a ael´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A e ´ enatureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e ca eservem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre a cao el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser e e amacrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob- o e a eservado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa otrajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra- o e o ojet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto o e e a einteiramente cl´ssico. a A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar a a apouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um e a acaso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecera sua linguagem. 7
  • 8. O problema t´ ıpico da mecˆnica quˆntica consiste em predizer o resultado a ade uma medida a partir dos resultados de um certo n´ mero de medidas ante- uriores. Al´m disso, veremos mais tarde que, em compara¸˜o com a mecˆnica e ca acl´ssica, a mecˆnica quˆntica restringe os valores das quantidades f´ a a a ısicas me-didas (por exemplo, a energia ). Os m´todos da mecˆnica quˆntica permitem e a aa determina¸˜o desses valores admiss´ ca ıveis. O processo de medida na mecˆnica quˆntica tem uma propriedade muito a aimportante: a medida sempre afeta o el´tron medido, e ´ imposs´ e e ıvel, porquest˜es de princ´ o ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´tron arbitraria- emente pequeno (como pode ser suposto na f´ ısica cl´ssica). Quanto mais exata aa medida, mais intenso ´ o efeito sobre o el´tron, e ´ somente em medidas de e e epouca precis˜o que o efeito da medida sobre o el´tron pode ser considerado a epequeno. ´ E um dos postulados fundamentais da mecˆnica quˆntica que as coor- a adenadas, ou seja, a posi¸˜o de um el´tron pode sempre ser determinada ca ecom precis˜o arbitr´ria 2 . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t, sejam a afeitas medidas sucessivas das coordenadas de um el´tron. Os resultados n˜o e aestar˜o, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´rio, quanto menor o valor a ade ∆t, mais descont´ ınuos e desordenados ser˜o os resultados, de acordo com ao fato de que n˜o existe uma trajet´ria para o el´tron. Uma trajet´ria ra- a o e ozoavelmente lisa s´ ´ obtida se as coordenadas do el´tron forem medidas com oe epouca precis˜o, como no caso de uma cˆmara de Wilson. Para informa¸˜es a a cosobre o que ´ uma cˆmara de Wilson, veja e a http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28 Se, mantendo-se imutada a precis˜o das medidas de posi¸˜o, diminuirmos a caos intervalos ∆t entre as medidas, ent˜o medidas adjacentes dar˜o valores a avizinhos `s coordenadas. Contudo, os resultados de uma s´rie de medidas a esucessivas, embora estejam em uma regi˜o reduzida do espa¸o, estar˜o dis- a c atribu´ ıdas, nessa regi˜o, de uma forma totalmente irregular, e nunca em cima ade uma curva lisa. Em particular, quando ∆t tende a zero, os resultadosdas medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta.Ora, a velocidade tem a dire¸˜o da reta que, na f´ ca ısica cl´ssica, ´ obtida nesse a elimite. Esta circunstˆncia mostra que, na mecˆnica quˆntica, n˜o existe a ve- a a a alocidade da part´ıcula no sentido cl´ssico do termo, isto ´, o limite de (∆r/∆t) a equando ∆t → 0. Enquanto, na mecˆnica cl´ssica, a part´ a a ıcula tem posi¸ao e velocidade c˜bem definidas em cada instante, na mecˆnica quˆntica a situa¸˜o ´ bem a a ca e 2 Isto n˜o est´ em contradi¸˜o com as rela¸˜es de incerteza. Elas dizem que n˜o ´ a a ca co a eposs´ determinar simultaneamente posi¸˜o e momento . ıvel ca 8
  • 9. diferente. Se, como resultado de uma medida, determinam-se as coordenadasde um el´tron, ent˜o sua velocidade ´ totalmente indefinida. Se, ao contr´rio, e a e adetermina-se a velocidade de um el´tron, ent˜o ele n˜o pode ter uma posi¸˜o e a a cadefinida no espa¸o. Assim, na mecˆnica quˆntica, a posi¸˜es e a velocidade c a a code um el´tron s˜o quantidades que n˜o podem ter, simultaneamente, valores e a adefinidos.4 O conceito de estadoNa mecˆnica cl´ssica conhece-se o estado de um sistema quando s˜o con- a a ahecidas todas as posi¸˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em coum determinado instante. A partir desses dados ´ poss´ predizer todo o e ıvelfuturo, e reconstruir todo o passado do sistema. Ou seja, conhece-se o es-tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maiorprecis˜o poss´ (no caso da mecˆnica cl´ssica essa precis˜o ´ total). a ıvel a a a e Na mecˆnica quˆntica tal descri¸˜o ´ imposs´ a a ca e ıvel, uma vez que as co-ordenadas e as velocidades n˜o podem existir simultaneamente. Assim, a adescri¸˜o de um estado na mecˆnica quˆntica ´ feita em termos de menos ca a a equantidades do que na mecˆnica cl´ssica. Segue-se disso uma conseq¨ˆncia a a uemuito importante. Enquanto a descri¸˜o cl´ssica permite prever o movi- ca amento futuro com total precis˜o, a descri¸˜o menos detalhada da mecˆnica a ca aquˆntica n˜o permite essa precis˜o. Isto significa que, mesmo que se conhe¸a a a a co estado de um el´tron, seu comportamento em instantes sucessivos ´, em e eprinc´ ıpio, incerto. A mecˆnica quˆntica n˜o pode fazer previs˜es exatas. a a a oPara um dado estado inicial do el´tron, uma medida subseq¨ente pode dar e uv´rios resultados. O problema t´ a ıpico da mecˆnica quˆntica ´ determinar a a a eprobabilidade de se obter cada um dos resultados poss´ ıveis, ao realizar umamedida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valorpode ser 1, e a de todos os outros zero!). Os processos de medida na mecˆnica quˆntica podem ser divididos em a aduas classes. Em uma, que cont´m a maioria das medidas, est˜o aquelas e aque, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais oumenos prov´veis. A outra classe cont´m medidas tais que, dado um qualquer a edos resultados poss´ ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual amedida d´, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜o ditas previs´ a a ıveis, edesempenham um papel importante na formula¸˜o da mecˆnica quˆntica. As ca a apropriedades f´ ısicas do sistema que s˜o determinadas por medidas desse tipo as˜o chamadas quantidades f´ a ısicas ou observ´veis do sistema.(Ver Landau, aLifshitz) Veremos no que segue que, dado um conjunto de quantidades f´ ısicas, nem 9
  • 10. sempre ´ poss´ med´ e ıvel ı-las simultaneamente, isto ´, nem sempre ´ poss´ e e ıvelque todas tenham valores definidos ao mesmo tempo. Vimos que este ´ o ecaso para a posi¸˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo. ca Um papel fundamental ´ desempenhado por conjuntos de quantidades ef´ ısicas com a seguinte propriedade: elas podem ser medidas simultaneamentemas, se elas tˆm todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´ e ısicaindependente pode ter um valor definido nesse estado. Tais conjuntos de quantidades f´ ısicas s˜o denominados conjuntos completos ade observ´veis compat´ a ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸˜ocam´xima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema. a5 O princ´ ıpio de superposi¸˜o caSeja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆntico 3 , e dq o produto a 4das diferenciais dessas coordenadas . Por exemplo, se q = {x, y, z}, dq =dxdydz. O estado de um sistema ´ descrito por uma fun¸˜o complexa ψ(q) das e cacoordenadas. O quadrado do m´dulo dessa fun¸˜o determina a distribui¸˜o o ca cade probabilidades dos valores das coordenadas: |ψ(x, y, z)|2 dxdydz´ a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre osevalores das coordenadas entre x e x + dx, y e y + dy, z e z + dz. A fun¸˜o ψ ca´ denominada fun¸˜o de onda do sistema.e ca O conhecimento da fun¸˜o de onda permite, em princ´ ca ıpio, calcular aprobabilidade dos v´rios resultados de qualquer medida (n˜o necessariamente a adas coordenadas). Essas probabilidades s˜o express˜es bilineares em ψ e ψ ∗ a o(* representando a opera¸˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo ca dqψ(q)∗φ(q)ψ(q)ou ∂ dqψ(q)∗ ψ(q) ∂qpor exemplo. O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨ˆncia, uea fun¸˜o de onda ´ uma fun¸˜o tamb´m do tempo, ψ(q, t). Se a fun¸˜o ca e ca e ca 3 Abuso de linguagem. Todos os sistemas s˜o quˆnticos. A express˜o correta seria a a a“sistema incorretamente descrito pela f´ ısica cl´ssica”. a 4 Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas. 10
  • 11. de onda ´ conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸˜o e cacompleta, que ela est´, em princ´ a ıpio, determinada em cada instante sucessivo.A dependˆncia precisa da fun¸˜o de onda com o tempo ´ determinada por e ca euma equa¸˜o denominada equa¸˜o de Schr¨dinger . ca ca o A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquervalor, ´ 1. Devemos, ent˜o, ter e a |ψ(q)|2dq = 1 ,pois a integral acima ´ exatamente esta probabilidade. e Seja ψ(q) a fun¸˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸˜o ca ca ψ ′ (q) = ψ(q)eiαonde α ´ um n´ mero real. Como as probabilidades dos v´rios resultados s˜o e u a aexpress˜es da forma o dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q)e como dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) = dqψ ′∗ (q)φ(q)ψ ′(q) ,vemos que ψ ′ (q) ´ uma descri¸˜o da fun¸˜o de onda do sistema t˜o boa e ca ca aquanto ψ(q). Diz-se , por isso, que a fun¸˜o de onda de um sistema est´ ca adefinida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´ fun¸˜o de onda de um e casistema, ψ ′ (q) tamb´m ´.5 e e Seja S um sistema f´ ısico que pode existir tanto num estado de fun¸˜ocade onda ψ1 (q) como no estado de fun¸˜o de onda ψ2 (q). A medida de uma caquantidade f´ ısica f d´, por hip´tese, o resultado f1 , com probabilidade 1, se a oo sistema estiver em ψ1 , e o resultado f2 , tamb´m com probabilidade 1, se o esistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜o que: a(1)Toda fun¸˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜o n´ meros complexos, ca a u´ tamb´m um estado do sistema.e e(2)Neste estado, uma medida de f dar´ ou o resultado f1 ou o resultado f2 . a 5 Na realidade, h´ quantidades f´ a ısicas tamb´m da forma e dqψ ∗ (q)φ(q)ξ(q)onde ξ(q) ´ outra fun¸˜o de onda. Como essas quantidades tamb´m devem permanecer e ca einalteradas, ´ necess´rio acrescentar que a trasforma¸˜o e a ca ψ ′ (q) = eiα ψ(q)deve ser tal que o mesmo α ´ usado para todas as fun¸˜es de onda. e co 11
  • 12. Este postulado ´ denominado princ´ e ıpio de superposi¸˜o. Segue dele que caa equa¸˜o de Schr¨dinger deve ser linear em ψ. ca o Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estadodo sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possuiuma descri¸˜o completa.6 Ent˜o as probabilidades das coordenadas q1 , da ca aparte 1, s˜o independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte a2. Seja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as cafun¸˜es de onda das partes 1 e 2, respectivamente. Ent˜o, co a ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) ,pois, ent˜o, a |ψ12 (q1 , q2 )|2 = |ψ1 (q1 )|2 |ψ2 (q2 )|2o que significa que as probabilidades s˜o independentes. a Se, al´m disso, essas partes n˜o interagirem, vale ainda a rela¸˜o e a ca ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t)6 OperadoresSeja f uma quantidade f´ ısica que caracteriza o estado de um sistema quˆntico. aOs valores que uma dada quantidade f´ ısica pode assumir s˜o chamados de aautovalores . O conjunto dos autovalores ´ o espectro. Na mecˆnica cl´ssica e a a 7as quantidades f´ ısicas s˜o cont´ a ınuas. Na mecˆnica quˆntica, n˜o necessaria- a a amente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont´ ınuos. Vamos supor,para simplificar, que o espectro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜oadenotados por fn , (n = 0, 1, 2..). A fun¸˜o de onda do sistema, no estado caem que f tem o valor fn , ser´ denotada por ψn . Essas fun¸˜es s˜o chamadas a co aautofun¸˜es de f . Para cada uma delas, co dq|ψn |2 = 1 Um dos princ´ ıpios b´sicos da mecˆnica quˆntica ´ este: a a a e(I) O conjunto das autofun¸˜es de uma quantidade f´ co ısica f ´ completo. Isto e´, dada uma fun¸˜o de onda qualquer ψ do sistema, podemos expand´ eme ca ı-laautofun¸˜es de f assim: co ψ= an ψn n 6 Isto quer dizer que a fun¸˜o de onda de cada uma das partes tem um “futuro” total- camente previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜o independentes. a 7 Natura non facit saltus, Isaac Newton. 12
  • 13. onde os an s˜o n´ meros complexos. a u(II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valorfn ´ dada por |an |2 . eEm conseq¨ˆncia, devemos ter ue |an |2 = 1 npois n |an |2 ´ a probabilidade de, medindo-se f , obter-se qualquer um dos evalores poss´ ıveis. Temos, ent˜o, o resultado a an a∗ = n dqψψ ∗ nPor outro lado, temos ψ∗ = a∗ ψn n ∗logo, dqψψ ∗ = ψ a∗ ψn dq n ∗ n = a∗ n ∗ ψn ψdq n = a∗ an n nde onde se conclui que ∗ an = ψn ψdqFinalmente, usando ψ = m am ψm , temos ∗ ∗ an = dqψn am ψm = am ψn ψm dq m mde onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnmDiz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a6.1 Valor m´dio eVamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f emum dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13
  • 14. . Sejam |an |2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado emquest˜o. Define-se ent˜o o valor m´dio como a a e f= fn |an |2 nUsa-se tamb´m a nota¸˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encon- e catrar uma express˜o para f em termos da fun¸˜o de onda do estado consider- a caado. Seja ψ esta fun¸˜o. Para fazer isso vamos associar ` quantidade f´ ca a ısica ˆ que atua sobre as fun¸˜es de onda. Seja fψ a fun¸˜of um operador linear f co ˆ ca ˆ ˆobtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f , que f= ˆ dqψ ∗ (f ψ)para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamos que as quantidades f´ ısicasdeveriam ser express˜es bilineares na fun¸˜o de onda). Ent˜o, o ca a f= fn an a∗ = n dqψ ∗ an fn ψn n nonde usamos an = dqψ ∗ ψn , obtido anteriormente. Vemos, primeiramente,que fψ = an fn ψn nOra, ψ= an ψn , nde maneira que f ´ linear, e que e ˆ f ψn = fn ψnSumarizando: ˆ f ψn = fn ψn (1) ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ (2) ∗ an = dqψn ψ (3) ∗ dqψn ψm = δnm (4)Os valores assumidos por uma quantidade f´ ısica s˜o reais. Portanto, os val- aores m´dios f de uma quantidade f´ e ısica s˜o tamb´m reais, como se vˆ de a e e 2f = n fn |an | . Note-se (exerc´ ıcio f´cil), que, se o estado for uma auto- afun¸˜o de f , o valor m´dio f coincide com o autovalor de f nesse estado. ca e 14
  • 15. Do fato de f ser real segue uma propriedade importante dos operadoresassociados a quantidades f´ ısicas: ∗ ˆ ∗ ˆ f= dqψ ∗ f ψ = f = dqψ ∗ f ψ (5)Ora, ∗ ∗ ˆ dqψ ∗ (f ψ) = ˆ ψ ∗ (f ψ)dq = ˆ ψ(f ψ)∗ dq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq (6) ˆ e ˆ a ˆ e ˆonde f ∗ ´ definido assim: se f ψ = φ, ent˜o f ∗ ´ o operador tal que f ∗ ψ ∗ =φ∗ .8 Ent˜o, a ˆ ˆ ψ ∗ fψdq = ψ f ∗ ψ ∗ dq ˆ ˆVamos definir o operador transposto t f do operador f . Sejam ψ e φ fun¸˜es co tˆarbit´rias. Ent˜o f ´ tal que a a e ˆ ψ ∗ (t f)φdq = ˆ φf ψ ∗ dqPor exemplo, para ψ = φi, ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdqDa condi¸˜o de realidade de f, Eq.(6), temos ca ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdq (7)Comparando os dois extremos vemos que ˆ ˆ f = (t f )∗Operadores com esta propriedade s˜o ditos hermiteanos. Logo, os operadores aassociados a quantidades f´ ısicas s˜o operadores lineares hermiteanos. a Podemos, formalmente, considerar quantidades f´ ısicas complexas, isto ´, ecujos autovalores s˜o complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas x e ay,podemos considerar a quantidade x + iy. Seja f uma quantidade dessetipo, e seja f ∗ a quantidade cujos autovalores s˜o os complexo-conjugados dos a ` ˆautovalores de f . A quantidade f corresponde o operador f. Denotemos por 8 ˆ ∂ a ˆ Por exemplo, seja f = −i ∂x . Ent˜o, dado ψ qualquer, temos f ψ = −i ∂ψ . O operador ∗ ∂xˆ ˆ ˆf ∗ deve ser tal, ent˜o, que f ∗ ψ ∗ = (−i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ∗ = i ∂x . a ∂ ∂x ∂x 15
  • 16. ˆf + o operador correspondente ` quantidade f ∗ . Este operador ´ denominado a eo adjunto de fˆ. O valor m´dio da quantidade f ∗ ´ dado por e e f∗ = ˆ ψ ∗ f + ψdqonde apenas adaptamos a defini¸˜o de m´dia de um operador. ca e Ora, ˆ f = ψ ∗ fψdqlogo, ∗ ∗ f = ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdqMas ∗ ∗ f∗ = fn |an |2 = ∗ fn |an |2 =f n nOu seja, ˆ ψ ∗ f + ψdq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdqComparando, temos ˆ ˆ f + = (t f)∗Em palavras, o adjunto ´ o transposto do conjugado. e A condi¸˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como ca ˆ ˆ (t f ) = f ∗pode agora ser escrita: ˆ ˆ f = f+e os operadores hermiteanos s˜o aqueles que coincidem com os adjuntos. Da´ a ıserem chamados tamb´m de auto-adjuntos. e Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸˜es de um op- coerador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam fn e fm dois ˆautovalores diferentes do operador hermiteano f . Sejam ψn e ψm as auto-fun¸˜es correspondentes. Ent˜o, co a ˆ f ψn = fn ψn (8) ˆ fψm = fm ψm (9) ∗Multiplicando a primeira por ψm , temos ∗ ˆ ∗ ∗ ψm f ψn = ψm fn ψn = fn ψm ψn 16
  • 17. e ∗ ˆ ∗ dqψm f ψn = fn dqψm ψn (10) ˆ ∗Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por ψn , temos ψn f ∗ ψm = ∗fm ψn ψm . Integrando, ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = fm ∗ dqψn ψm (11) ∗ ˆ ˆ ∗ dqψm f ψn − dqψn f + ψm = (fn − fm ) ∗ dqψn ψm (12)Mas ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = ˆ dqψm (t f )∗ ψn = ∗ ∗ ˆ dqψm f + ψn = ∗ ˆ dqψm f ψn ˆepois f ´ hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´ zero. Conseq¨ ente- e umente, ∗ (fn − fm ) ψn ψm dq = 0e, como fn = fm , segue que ∗ dqψn ψm = 0 (n = m)6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores ca caSejam f e g duas quantidades f´ısicas que podem ter valores definidos simul- ˆ ˆtaneamente. Sejam f e g seus operadores. Os autovalores da soma f + g s˜o a ˆ + g , e sejam ψna soma dos autovalores de f e de g. Considere o operadorf ˆ co ˆ ˆas autofun¸˜es comuns a f e g . Ent˜o, a ˆ f ψn = fn ψn g ψn = gn ψn ˆe, portanto, ˆ ˆ (f + g )ψn = (fn + gn )ψnEste resultado pode ser generalizado para fun¸˜es de onda quaisquer, assim: co ˆ ˆ ˆ (f + g )ψ = f ψ + g ψ ˆNeste caso, tem-se f +g = ˆ ˆ ψ ∗ (f + g )ψdq = ˆ ψ ∗ fψdq + ψ ∗ g ψdq = f + g ˆ 17
  • 18. A multiplica¸˜o de operadores ´ definida assim: ca e ˆˆ ˆg (f g )ψ = f (ˆψ) ca ˆ ˆSuponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o, a ˆˆ ˆg ˆ ˆ f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψne ˆˆ ˆ ˆ g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn ˆ gLogo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos co ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψn = 0Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador a e ˆˆ ˆ ˆ f g − gf = 0 .Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma co efun¸˜o de onda arbitr´ria, que ca a ψ= an ψn ne ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ an (f g − g f)ψn = 0 n ˆˆ ˆ ˆ eLogo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o caao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores quepossuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse cocomutador, ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ [f, g ] ≡ f g − g f´ diferente de zero.e7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca oA fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´ ca ısico do sistema. Istosignifica que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o ca asomente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas, amas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso, e unaturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela camecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira a a 18
  • 19. no tempo, ∂ψ no instante t ´ determinada pelo valor de ψ no mesmo instante. ∂t eComo a teoria ´ linear, essa rela¸˜o ´ tamb´m linear. Vamos escrevˆ-la assim: e ca e e e ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ (13) ∂t ˆ eonde H ´ um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de ˆ edescobrir a natureza de H ´ impˆr que, no limite cl´ssico, as leis de Newton o asejam obtidas. Usando argumentos de mecˆnica avan¸ada mostra-se que H a c ˆdeve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dosmomento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸˜o ca ∂ pi = −i¯ h (14) ∂qi A equa¸˜o (13) ´ denominada equa¸˜o de Schr¨dinger , e desempenha, ca e ca ona mecˆnica quˆntica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na a amecˆnica cl´ssica. a aExemplos:(2) A part´ ıcula livre unidimensional: p2 E = 2m ∂ p = ˆ −i¯ h ∂x ∂ ∂ p2 ˆ = −i¯ h −i¯ h ∂x ∂x ˆ ¯ 2 ∂2 h H = − 2m ∂x2 ˆ ¯ 2 ∂2ψ h Hψ = − 2m ∂x2Equa¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯ 2 ∂2ψ h i¯ h =− . (15) ∂t 2m ∂x2(2) A part´ ıcula livre tri-dimensional: 1 E = p2 + p2 + p2 2m x y z ∂ px ˆ = −i¯h ∂x ∂ py ˆ = −i¯h ∂y 19
  • 20. ∂ pz ˆ = −i¯ h ∂z ˆ ¯2 h ∂2 ∂2 ∂2 H = − 2 + 2+ 2 2m ∂x ∂y ∂z ˆ ¯2 2 h Hψ = − ∇ ψ 2mEqua¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯2 2 h i¯ h =− ∇ ψ (16) ∂t 2m(3) Part´ ıcula sobre a a¸˜o de um potencial: caSeja V (x, y, z) a energia potencial da part´ ıcula. Na mecˆnica quˆntica o operador energia a a ˆpotencial, V (r) ´ definido por: e ˆ V (r)ψ(r) ≡ V (r)ψ(r) ca ˆou seja, a a¸˜o do operador V (r) sobre a fun¸˜o ψ(r) consiste simplesmente em multi- caplic´-la pelo n´ mero V (r). Exemplo: a uOscilador harmˆnico unidimensional: o ˆ 1 2 V (x)ψ(x) = V (x)ψ(x) = kx ψ(x) 2 ˆ ¯2 2 h 1 Hψ = − ∇ ψ + kx2 ψ 2m 27.1 Exerc´ ıcios1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸˜es de H, com autovalores coE1 e E2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Seja Ψ(x, t = 0) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x).Determinar Ψ(x, t) para t > 0.Solu¸˜o: caTemos i ˆ ψ(x, t) = e− h Ht ψ(x, t = 0) ¯ (17)Portanto, i ˆ i iΨ(x, t) = e− h Ht (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h E1 t ψ(x, t = 0)+a2 e− h E2 t ψ2 (x, t = 0) ¯ ¯ ¯ (18)(a) Mostre que, nas condi¸˜es acima, co i ˆ i exp − Htψ1 (x) = exp − E1 tψ1 (x) h ¯ h ¯(b) Demonstre a Eq.(17).(c) As fun¸˜es exp i(k1 x − ω1 t), exp i(k2 x − ω2 t) e exp −i(k1 x + ω1 t) s˜o solu¸˜es co a co 20
  • 21. estacion´rias da equa¸˜o de Schr¨dinger de uma part´ a ca o ıcula livre. Escreva essaequa¸˜o de Schr¨dinger e mostre que isso ´ verdade. A soma das trˆs ´ ca o e e euma solu¸˜o da mesma equa¸˜o, logo ´ a fun¸˜o de onda de um estado de ca ca e capart´ıcula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores daenergia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual´ a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidadeserelativas, em vez de em probabilidades simplesmente?2.A fun¸˜o de onda de uma part´ ca ıcula livre de massa m, em movimento aolongo do eixo x, ´, em t = 0, dada por e 1/4 2α 2 ψ(x) = e−αx (19) π(a) Verifique se ela est´ normalizada. a(b)Usando ∞ 2π − k2 dxe−αx e−ikx =e 4α (20) −∞ αexpanda ψ(x) (da Eq.19) em autofun¸˜es simultˆneas do momento e da en- co aergia , exp ikx. Se a expans˜o for escrita a 1/4 2α 2 ∞ e−αx = dka(k)eikx π −∞mostre que 1/4 1 2α π − k2 a(k) = e 4α 2π π αe que, portanto, 1/4 1 2α π ∞ k2 i¯ k2 t h ψ(x, t) = dke− 4α eikx e− 2m (21) 2π π α −∞(c) Agora, num esfor¸o de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a cEq.(20) trivialmente modificada). Vocˆ deve achar e 1/4 2α m αm 2 ψ(x, t) = e− m+2iα¯ t x h (22) π m + 2iα¯ t h(d)Verifique que a fun¸˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸˜o de ca caSchr¨dinger para a part´ o ıcula livre. 21
  • 22. 7.2 A derivada no tempo de um operador ˆeDiremos que um operador f˙ ´ a derivada no tempo do operador f se, sendo ˆ ˆ ˆ f o valor m´dio de f num estado arbitr´rio, e f˙ o valor m´dio de f˙ nesse ˆ e ˆ a emesmo estado, tivermos d ˆ ˆ f = f˙ (23) dtExplicitando, devemos ter d ˆ d ˆ ∂f ψ∗ ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ = dqψ ∗ ψ+ dq fψ + ˆ∂ψ dqψ ∗ f (24) dt dt ∂t ∂t ∂tUsando a equa¸˜o de Schr¨dinger , obtemos ca o ∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗ = H ψ ∂t h ¯ ∂ψ −i ˆ = Hψ ∂t h ¯Usando esses resultados em (24), temos d ˆ ˆ ∂f i i f = dqψ ∗ ψ+ ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ − ˆ ˆ dqψ ∗f Hψ (25) dt ∂t h ¯ h ¯ O termo que cont´m a derivada parcial do operador s´ existe quando a express˜o do e o aoperador cont´m parˆmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´ssemos uma e a epart´ ıcula livre de massa vari´vel, seu hamiltoniano seria a ˆ ¯2 h H=− ∇2 (26) 2m(t)e a derivada em quest˜o seria dada por a ˆ ∂H ¯ 2 dm 2 h = ∇ ∂t 2m2 (t) dtNa grande maioria dos casos este termo ´ inexistente. e ˆ eVoltando ` Eq.(25), e usando o fato de que H ´ hermiteano, temos a ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ (27)e, conseq¨ entemente, u d ˆ ˆ i ∂f f = ψ∗ ˆ ˆ i ˆˆ + Hf − f H ψ (28) dt ∂t h ¯ h ¯ 22
  • 23. Como, por defini¸˜o, ca d ˆ ˆ f = dqψ ∗ f˙ψ dttemos que ˆ ˆ ∂f + i H f − f H f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29) ∂t h ¯ ˆComo dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o e ∂t aque o operador n˜o tem dependˆncia expl´ a e ıcita no tempo.) Neste caso, ˆ i ˆ ˆ ˆˆ f˙ = Hf − f H (30) h ¯ ˆVemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e a ˆ ˆ ˆ f = constante . (31)Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´ a a a ısica no tempo querdizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con- e ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜osidere o operador H. ˆ ˆ ˆ adepende explicitamente do tempo, ˆ ˙ i ˆ ˆ H = [H, H] = 0 (32) h ¯ d ˆe dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia . eLogo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica. a aComo |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que c d d ∂ψ ∗ ∂ψ 0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33) dt dt ∂t ∂tEliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos: ca o i ˆ ˆ i ˆ ˆ 0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ h ¯ h ¯ i ˆ ˆ = ψ∗ H + − H ψ h ¯ ˆ ˆ ˆ eSegue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano. a7.3 O comutador de p e q ˆ ˆ h∂Como px = −i¯ ∂x , temos ˆ ∂ψ(x) ∂ [ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ ) x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x)) h (34) ∂x ∂x 23
  • 24. que leva a [ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x) x ˆ h (35)Logo, temos a igualdade entre operadores: [ˆ, px ] = i¯ ˆ x ˆ h1 (36)onde ˆ ´ o operador unidade, definido por 1e ˆ =ψ 1ψ (37)qualquer que seja ψ. Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma egeral. temos: [ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ p ˆ h 1 (38)S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg. a co8 Estados estacion´rios aNa equa¸˜o de Schr¨dinger ca o ∂ψ(r, t) ˆ i¯ h = Hψ(r, t) (39) ∂tprocuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40)que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici- a ca o ca otando a forma do hamiltoniano, 2 ˆ h ¯ H=− ∇2 + V (r) (41) 2mreescrevemos a Eq.(39) assim: ∂ h2 2 ¯ i¯ h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42) ∂t 2mque pode ser reescrita: dT (t) h2 2 ¯ i¯ u(r) h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43) dt 2m 24
  • 25. Dividindo por u(r)T (t), temos 1 dT 1 h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ u + V (r) (44) T dt u 2mO primeiro membro n˜o depende de r, ou seja, s´ pode depender de t. Ele a o´ igual ao segundo membro, que n˜o pode depender de t. Logo, o primeiroe amembro n˜o depende nem de r nem de t: n˜o dpende ent˜o de nada: ´ a a a econstante. O segundo membro, por for¸a da equa¸˜o, ´ igual ao primeiro, e c ca eent˜o tamb´m constante. Designemos esta constante por E. Teremos ent˜o a e a 1 dT i¯ h =E (45) T dtou dT i = − Edt (46) T h ¯que ´ integrada facilmente, dando e i T (t) = Ke− h Et ¯ (47)Logo, i ψ(r, t) = Ku(r)e− h Et ¯ (48)Note-se que ˆ ∂ ∂ i Hψ(r, t) = i¯ ψ(r, t) = i¯ h h Ku(r)e− h Et = Eψ(r, t) ¯ ∂t ∂to que mostra duas coisas importantes: i1. Os ψ(r, t) da forma u(r)e− h Et s˜o autofun¸˜es do hamiltoniano. ¯ a co2.E ´ o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando eneste estado. Estados da forma i ψ(r, t) = u(r)E − h Et ¯ (49)s˜o chamados estados estacion´rios. O nome ´ devido ao fato de que a den- a a esidade de probabilidade de posi¸˜o, |psi(r, t)|2 , ´ independente do tempo, ca epois i ∗ i |ψ(r, t)|2 = u(r)e− h Et ¯ u(re− h Et = |u(r)|2 ¯ (50) ipois |e− h Et |2 = 1. ¯ Os estados estacion´rios s˜o extremamente importantes na descri¸˜o quˆntica a a ca ada natureza, n˜o s´ por representarem os estados que tˆm energia definida, a o e 25
  • 26. mas tamb´m porque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜o os e aestados estacion´rios, ´ completo. Isto significa que qualquer estado pode ser a erepresentado como uma combina¸˜o linear de estados estacion´rios. ca a A determina¸˜o dos estados estacion´rios de um determinado hamiltoni- ca aano ´ feita normalmente resolvendo-se a equa¸˜o, dita equa¸˜o de Schr¨dinger e ca ca oindependente do tempo, ˆ Hu(r) = Eu(r) (51) Resolver esta equa¸˜o significa n˜o s´ determinar u(r), mas o par(E , u(r)). ca a oO n´ mero E ´ o autovalor de H u e ˆ associado ` autofun¸˜o u(r). Problemas desse a catipo s˜o chamados, em matem´tica, problems de autovalores . a a9 Po¸o quadrado unidimensional infinito cEste ´ o problema mais simples envolvendo um sistema localizado. Uma epart´ıcula move-se livremente ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que,nas posi¸˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´veis: exige-se, isto co a´, que a probabilidade de a part´e ıcula estar fora do intervalo 0 ≤ x ≤ a sejaestritamente 0. Formalmente isto se realiza exigindo que a fun¸˜o de onda cada part´ ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamenteespessas. Portanto, ψ(x) = 0 para x ≥ a e para x ≤ 0. Procuremos os estados estacion´rios. Na regi˜o interna as paredes, temos a a ` h2 d2 ¯ − ψ(x) = Eψ(x) (52) 2m dx2onde E ´ um n´ mero positivo ou nulo. (O “fundo do po¸o” ´ o ponto de e u c eenergia zero, por defini¸˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como ca d2 2m − 2 ψ(x) = 2 Eψ(x) (53) dx h ¯e, introduzindo 2m k2 = E (54) h2 ¯temos d2 ψ(x) = −k 2 ψ(x) (55) dx2Esta ´ uma equa¸˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸˜o geral ´: e ca ca e ψ(x) = A sin kx + B cos kx. (56) 26
  • 27. Temos, adicionalmente, as condi¸˜es de contorno co ψ(0) = ψ(a) = 0 (57)Para satisfazer ψ(0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automati-camente em x = 0. Ent˜o, antes de usar a segunda condi¸˜o de contorno, a catemos ψ(x) = A sin kx (58)A segunda condi¸˜o de contorno exige que ca A sin ka = 0 (59)e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ, com n inteiroqualquer. Logo, devemos ter ka = nπ (60)ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma nπ kn = (61) aonde acrescentamos um ´ ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸˜es coda equa¸˜o de Schr¨dinger (52) que satisfazem as condi¸˜es de contorno (57) ca o cos˜o a nπ ψn (x) = A sin x (62) acom n = 0, 1, 2 . . ..9 Note-se que ´ a condi¸˜o de a fun¸˜o de onda se anular em x = a que e ca carestringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´ que a h 2 kn ¯ 2 h2 n2 π 2 ¯ En = = . (63) 2m 2m a2Diferentemente do que acontece na f´ ısica cl´ssica, a energia n˜o varia contin- a auamente: do valor En passa-se, a seguir, ao valor En+1 , e h2 π 2 ¯ h2 π 2 ¯ En+1 − En = 2 (n + 1)2 − n2 = (2n + 1) (64) 2m a 2m a2Temos, isto ´, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para ea energia est˜o sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´, ter a e 9 Na realidade inteiros negativos s˜o tamb´m admitidos, mas, como sin −nπ x = a e a nπ−sin a x , as fun¸˜es de onda correspondentes a n negativos s˜o as mesmas que as co ade n positivos, pois ψ(x) e −ψ(x) representam o mesmo estado. 27
  • 28. localiza¸˜o restrita a uma parte finita do espa¸o. Sistemas que podem estar ca cem toda a parte, como part´ ıculas livres, tˆm espectro cont´ e ınuo. ´ ´ E util normalizar as fun¸˜es de onda: os postulados interpretativos ficam comais simples, quando isto ´ feito. Para tanto, vamos exigir que e a dx|ψn (x)|2 = 1 (65) 0ou a nπx |K|2 dx sin2 =1 (66) 0 aUsando a rela¸˜o ca nπx 1 2nπx sin2 = 1 − cos a 2 aobtemos |K|2 a 2nπx |K|2 a 2nπx |K|2 dx 1 − cos = a− dx cos = a=1 2 0 a 2 0 a 2 (67) 2 2Logo, |K|2 = a e podemos escolher K = a , j´ que a fase da fun¸˜o de onda a ca´ arbitr´ria. Assim,e a 2 nπx ψn (x) = sin (68) a a leitor n˜o ter´ dificuldades em mostrar o resultado mais geral: a a a ∗ dxψn (x)ψm (x) = δnm (69) 0que exibe a ortogonalidade das fun¸˜es de onda correspondentes a energia s codiferentes. A fun¸˜o de onda completa para esses estados estacion´rios ´ ent˜o ca a e a 2 nπx − i En t ψn (x, t) = sin e h¯ (70) a a 2 2 2com En = ¯2maπ . h n 2 Estados n˜o estacion´rios, na realidade estados quaisquer, podem ser a aobtidos por combina¸˜es lineares desses ψn (x, t). co 28
  • 29. 10 Exemplos simples10.1 Po¸o quadrado unidimensional cUma part´ ıcula de massa m se move sob a a¸˜o de um campo de for¸as que ca cconfere ` part´ a ıcula uma energia potencial V (x) tal que −V0 para |x| < a V (x) = (71) 0 para |x| > acomo descrito na figura. V (x) −a a x E<0 I II III V = V0Vamos considerar primeiro o caso E < 0, onde E ´ a energia total da epart´ ıcula. No caso cl´ssico, a part´ a ıcula n˜o pode atingir as regi˜es I e III. a o 2 2De fato, sua energia total ´ E = mv /2 + V (x), ou seja, mv /2 = E − V (x). eNas regi˜es I e III temos V (x) = 0, o que daria mv 2 /2 = E. Mas E < 0, o oque daria uma energia cin´tica negativa, imposs´ 10 e ıvel. Na regi˜o II n˜o h´ problema, pois ter´ a a a ıamos mv 2 = E + V0 (72) 2e ´ poss´ ter energia cin´tica positiva mesmo com E < 0. e ıvel e 10 O leitor poderia se surpreender com a id´ia de que uma part´ e ıcula possa ter energianegativa, mas esta ´ uma situa¸˜o bastante comum. Considere a “part´ e ca ıcula” Terra, emseu movimento em redor da “part´ ıcula” Sol. A energia total da Terra ´ negativa! De fato, eprecisamos realizar trabalho para lev´-la ao “infinito” (livr´-la da a¸˜o do Sol) e deix´-la, a a ca al´, em repouso, ou seja, com energia total zero. Logo, fornecemos energia ` Terra para a alev´-la a um estado de energia zero. Sua energia inicial era, portanto, menor do que zero! a 29
  • 30. A equa¸˜o de Schr¨dinger para os estados estacion´rios ´ ca o a e h2 d2 ¯ − + V (x) φ(x) = Eφ(x) (73) 2m dx2Para x < −a ou x > a, temos V (x) = 0, e h2 d2 φ ¯ − = Eφ(x) (74) 2m dx2 d2 φ 2mE 2m|E| = − 2 φ = φ (75) dx 2 h ¯ h2 ¯Pondo 2m|E| κ= (76) h2 ¯temos d2 φ = κ2 φ (77) dx2cuja solu¸˜o geral ´ ca e φ = C e−κx + A eκx . (78) κxPara x > 0 o termo em e ´ inadequado, pois daria uma probabilidade de elocaliza¸˜o da part´ ca ıcula tendendo a infinito para x → ∞. Logo, temos de ′tomar C = 0. Assim, φ(x) = C e−κx para x > 0 . (79)Por um racioc´ ınio an´logo, a φ(x) = A eκx para x < 0 . (80)Nas solu¸˜es acima C e A s˜o constantes arbitr´rias, a determinar posteri- co a aormente. Na regi˜o interna, V (x) = −V0 , e a equa¸˜o ´ a ca e h2 d2 φ ¯ − = (E + V0 )φ(x) (81) 2m dx2ou d2 φ 2m 2 = 2 (V0 − |E|)φ(x) (82) dx h ¯Pondo 2m q= (V0 − |E|) (83) h2 ¯temos a solu¸˜o geral ca φ(x) = B sin qx + B ′ cos qx (84) 30
  • 31. 10.2 Conectando as solu¸˜es coA energia potencial V (x) descrita acima ´ uma fun¸˜o descont´ e ca ınua, e por-tanto n˜o-diferenci´vel, nos pontos x = −a e x = a. A equa¸˜o diferencial a a cadeve ser, ent˜o, tratada como 3 equa¸˜es, uma para cada regi˜o onde V (x) a co a´ cont´e ınua e diferenci´vel. Por isso a resolvemos separadamente para as aregi˜es I, II e III. O potencial descont´ o ınuo ´ uma idealiza¸˜o de um potncial e casemelhante, mas de “bordas arredondadas”, alguma coisa assim: V (x) −a a x E<0 I II III V = V0A raz˜o pr´tica para tratar o potencial idealizado, e n˜o o “real”, ´ que assim a a a e´ muito mais f´cil resolver a equa¸˜o diferencial.e a caLandau[3] trata, no exerc´ıcio 5 do §23, um problema do tipo acima, em que o poten-cial ´ e V0 V (x) = − . cosh2 αx´E poss´ determinar os n´ ıvel ıveis de energia e as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios, co amas o uso de fun¸˜es hipergeom´tricas torna desaconselh´vel seu tratamento em um curso co e aintrodut´rio. o O pre¸o que se paga pelo uso de um potencial descont´ c ınuo ´: como “ligar” eentre si as solu¸˜es das trˆs regi˜es? A matem´tica nos d´ a chave: como a co e o a aequa¸˜o diferencial ´ de segunda ordem, sua solu¸˜o ´ determinada dando- ca e ca ese, em um ponto, o valor da fun¸˜o e de sua derivada primeira. Ent˜o, para ca aconectar as regi˜es, procedemos assim: em um ponto comum `s regi˜es I e o a oII (este ponto ´ x = −a) exigimos que φI = φII e dφI /dx = dφII /dx, onde eφI ´ a solu¸˜o na regi˜o I, e φII ´ a solu¸˜o na regi˜o II. Para conectar as e ca a e ca aregi˜es II e III, agimos da mesma forma: o dφII (a) dφIII (a) φII (a) = φIII (a) e = dx dx 31
  • 32. Em x = a, C e−κa = B sin qa + B ′ cos qa (85) −κC e−κa = qB cos qa − qB ′ sin qa (86)Em x = −a, Ae−κa = −B sin qa + B ′ cos qa (87) κAe−κa = qB cos qa + qB ′ sin qa (88)´E uma quest˜o de t´cnica determinar as constantes. Dividindo (85) por (87) a etemos: C B sin qa + B ′ cos qa B tan qa + B ′ = = (89) A −B sin qa + B ′ cos qa −B tan qa + B ′Pondo tan qa = t, temos C tB + B ′ = (90) A −tB + B ′Dividindo (86) por (88) temos C qB cos qa − qB ′ sin qa − = (91) A qB cos qa + qB ′ sin qaou C tB ′ − B = (92) A tB ′ + BCombinando (90) e (92), temos C tB + B ′ tB ′ − B = = (93) A −tB + B ′ tB ′ + BDe onde se tira sem dificuldade que (t2 + 1)BB ′ = 0 (94)Isto nos informa que temos ou B = 0 ou B ′ = 0. Para B = 0 as fun¸˜escos˜o, na regi˜o −a ≤ x ≤ a, cosenos, ou seja, s˜o fun¸˜es pares de x. Para a a a co ′B = 0, s˜o senos, ou seja, fun¸˜es ´ a co ımpares de x. Vamos tratar os dois casosseparadamente.(i) B ′ = 0 (fun¸˜es ´ co ımpares). φ(x) = B sin qx para |x| < a (95) φ(x) = −C eκx para x < −a (96) φ(x) = C e−κx para x > a (97) 32
  • 33. Note que A = C, pois φ(a) = −φ(−a), j´ que a fun¸˜o ´ ´ a ca e ımpar. Para x = a temos as rela¸˜es: co B sin qa = Ce−κa (98) qB cos qa = −κC e−κa (99)´E desnecess´rio fazer uso das rela¸˜es em x = −a, porque, sendo a fun¸˜o a co ca´ımpar, elas repetem as rela¸˜es em x = a. Dividindo a de cima pela de baixo, coobt´m-se: e q tan qa = − (100) κ´E esta equ¸˜o que ir´ determinar para que valores da energia existem es- ca atados estacion´rios nesse po¸o. Equa¸˜es deste tipo (que n˜o s˜o equa¸˜es a c co a a coalg´bricas11 , e s´ em raros casos podem ser resolvidas analiticamente. Este e on˜o ´, infelizmente, um desses raros casos. Recorre-se ent˜o a solu¸˜es a e a conum´ricas. Neste particular caso, por´m, ´ poss´ usar um m´todo gr´fico e e e ıvel e aque ilustra muito bem as caracter´ ısticas gerais da solu¸ao. c˜ Em primeiro lugar, vamos escrever (100) de outra forma. Introduzo asvari´veis ξ = qa e η = κa, que s˜o tais que a a ξ 2 + η 2 = q 2 a2 + κ2 a2 = a2 (q 2 + κ2 ) (101)ou 2m ξ 2 + η2 = 2 V0 a 2 (102) h ¯Nessas vari´veis, a equa¸˜o (100) fica a ca ξ tan ξ = − (103) ηMas 2m η 2 = a2 V0 − ξ 2 , (104) h2 ¯logo, 1 −2 ξ 2m − = −ξ V0 a2 − ξ 2 (105) η h2 ¯e a equa¸˜o (103) se escreve ca −1 2m 2 2 2 tan ξ = −ξ 2 V0 a − ξ (106) h ¯ 11 Uma equa¸˜o alg´brica tem a forma de um polinˆmio igualado a zero. ca e o 33
  • 34. Cada solu¸˜o desta equa¸˜o d´ um valor de ξ, e, portanto, um valor de q, ou ca ca aseja, de |E|. Esta ´, por isso, a equa¸˜o para os autovalores da energia . e ca A id´ia ´ a seguinte: tra¸o os gr´ficos da fun¸˜o tan ξ e da fun¸˜o que est´ e e c a ca ca ano segundo membro de (106). Onde as curvas se cortem estar˜o os valores ade ξ que s˜o as solu¸˜es de (106). a co Para tra¸ar a curva da fun¸˜o que est´ no segundo membro, vamos estudar c ca aum pouco suas propriedades. Vamos analisar a fun¸˜o ca −1 2m 2 2 2 −1 f (ξ) = −ξ 2 V0 a − ξ = −ξ A2 − ξ 2 2 (107) h ¯Sua derivada pode ser escrita, ap´s alguma ´lgebra, o a A2 f ′ (ξ) = − 3 (108) (A2 − ξ 2 ) 2e ´ sempre negativa, tornando-se −∞ para ξ = A, isto ´ e e 2m ξ= V0 a (109) h2 ¯O gr´fico abaixo cont´m as curvas y = tan ξ e y = f (ξ) As solu¸˜es da a e coequa¸˜o ca 1 −2 2m 2 2 tan ξ = −ξ V0 a − ξ (110) h2 ¯s˜o as interse¸˜es dessas duas curvas. Como ξ = qa e q = 2m (V0 − |E|), a co ¯2 hos valores de ξ que satisfazem a equa¸˜o acima permitem calcular os valores cade E correspondentes. Esses ser˜o os valores poss´ a ıveis para a energia dosistema. 34
  • 35. π 3π 2 π 2 A 2π ξ 1 2 Na figura, as curvas cont´ınuas s˜o a fun¸˜o y = tan ξ e a curva pontilhada ´ a fun¸˜o a ca e cay = f (ξ). Os pontos 1 e 2 correspondem `s solu¸˜es da equa¸˜o. a co caVemos assim que o n´ mero de autovalores da energia para os estados ´ u ımpares π´ finito, podendo ser nulo (se A < 2 ).e(ii)B = 0 (solu¸˜es pares). co Neste caso as equa¸˜es ficam: co C e=κa = B ′ cos qa (111) −κC e−κa = −qB ′ sin qa (112) A e−κa = B ′ cos qa (113) κA e−κa = qB ′ sin qa (114)Comparando (111) com (113) vemos que A = C. Dividindo (114) por (113)temos, ent˜o, a κ = tan qa (115) qe, introduzindo de novo as vari´veis ξ = aq e η = κa, a η tan ξ = (116) ξ 35
  • 36. com 2ma2 η= V0 − ξ 2 (117) h2 ¯de maneira que a equa¸˜o que determina os autovalores da energia ´ ca e 1 2ma2 2 tan ξ = 2 V0 − ξ . (118) ξ h ¯Seja 2ma2 1 2 1 f (ξ) = 2 V0 − ξ ≡ A2 − ξ 2 (119) h ¯ξ ξTemos que ξ ≤ A (ξ > 0) e f (A) = 0, e, ainda, lim f (ξ) = ∞ (120) ξ→0 df 1 1 = −√ 2 2 − 2 A2 − ξ 2 < 0 para todo ξ (121) dx A −ξ ξ π 3π 2 π 2 A 2π ξ A figura mostra algumas solu¸oes da equa¸˜o para os autovalores da energia . S˜o as c˜ ca ainterse¸˜es entre a curva pontilhada e o gr´fico da tangente. Note-se que, por pequeno co aque seja A, sempre haver´ ao menos uma solu¸˜o. a ca Podemos concluir ent˜o que o po¸o quadrado possui sempre solu¸˜es de a c coenergia negativa. Os autovalores da energia de tais estados s˜o discretos e aem n´ mero finito. O menor valor, correspondente ao estado fundamental, uocorre para um estado cuja fun¸˜o de onda ´ par. ca e 36
  • 37. 10.3 A equa¸˜o da continuidade caO interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica da mecˆnica quˆntica ´ introduzida pelo pos- a a etulado de Born12 , que diz que |ψ(x, y, z)|2 dxdydz ´ a probabilidade de a epart´ıcula, cuja fun¸˜o de onda ´ ψ(x, y, z), estar, em um determinado in- ca estante, num elemento de volume dx dy dz em torno do ponto de coordenadasx, y, z. Queremos examinar o que ocorre com |ψ(x, y, z)|2 quando o movimentoda part´ ıcula ´ levado em conta. e A equa¸˜o de Schr¨dinger diz que ca o ∂ψ h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ ψ+Vψ . (122) ∂t 2mTomando-se o complexo conjugado, termo a termo, temos ∂ψ ∗ h2 2 ∗ ¯ −i¯ h =− ∇ ψ + V ψ∗ . (123) ∂t 2mMultiplicando (122) ` direita por ψ ∗ e (123) ` esquerda por ψ e subtra´ a a ındo,obtemos ∂ψ ∗ ∂ψ ∗ ∂|ψ|2 h2 ¯ i¯ h ψ + i¯ ψ h = i¯ h =− (∇2 ψ)ψ ∗ − ψ ∇2 ψ ∗ (124) ∂t ∂t ∂t 2mO segundo membro pode ser posto numa forma mais transparente, notandoque ∇. ψ ∗ ∇ψ = ∇ψ ∗ .∇ψ + ψ ∗ ∇2 ψ (125)ou ψ ∗ ∇2 ψ = ∇. ψ ∗ ∇ψ − ∇ψ ∗ .∇ψ (126)Tomando o complexo conjugado desta rela¸˜o: ca ψ ∇2 ψ ∗ = ∇. ψ ∇ψ ∗ − ∇ψ.∇ψ ∗ (127)Subtra´ ındo (127) de (126), (∇2 ψ)ψ ∗ − ψ ∇2 ψ ∗ = ∇. ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (128)Levando (128) ao segundo membro de (124), chega-se a ∂|ψ|2 h2 ¯ i¯ h =− ∇. ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (129) ∂t 2m 12 Max Born, grande f´ ısico te´rico alem˜o, professor em G¨ttingen, de quem Werner o a oHeisenberg era assistente, quando criou a mecˆnica quˆntica a a 37
  • 38. Introduzindo as nota¸˜es co ρ = |ψ|2 (130) h ¯ j = ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (131) 2mitemos, ent˜o, a ∂ρ + ∇.j = 0 (132) ∂tque tem a forma da equa¸˜o da continuidade, conhecida seja da mecˆnica ca ados fluidos, onde explicita a conserva¸˜o da massa do fluido, seja do eletro- camagnetismo, onde faz o mesmo para a conserva¸˜o da carga. Poder´ ca ıamosent˜o dizer que ela expressa, aqui, a conserva¸˜o de probabilidade. a ca Assim como, no eletromagnetismo, a equa¸˜o da continuidade fornece cadetalhes sobre como se d´ a conserva¸˜o da carga 13 , na mecˆnica quˆntica a ca a aela faz o mesmo com a probabilidade. Aqui conv´m adotar uma linguagem que, embora eq¨ ivalente, ´ mais e u efamiliar do que a que usamos at´ agora. Suponhamos que, em vez de uma epart´ıcula, consider´ssemos um conjunto de r´plicas da part´ a e ıcula, idˆnticas, eou seja, com a mesma fun¸˜o de onda, e independentes, isto ´, que n˜o ca e ainteragem. Sejam N essas r´plicas. Se normalizarmos a fun¸˜o de onda de e camodo que d3 r|ψ(r)|2 = N , (133)estendendo-se a integral a todo o espa¸o, e considerarmos um volume V cdelimitado por uma superf´ S fechada, a integral ıcie NV = d3 r|ψ(r)|2 (134) Vdar´, n˜o a probabilidade de uma part´ a a ıcula estar em V , mas o n´ mero NV ude part´ ıculas, das N existentes, que est˜o dentro de V . Seja n o campo das anormais externas ` superf´ S. Temos a ıcie dNV ∂ρ 3 = d r=− ∇.j d3 r = − j.n dS (135) dt V ∂t V S 13 Por exemplo, ela diz que o seguinte fenˆmeno viola a conserva¸˜o da carga: uma carga o cadesaparece aqui e aparece, imediatamente depois, na nebulosa de Orion. Isto porque aequa¸˜o da continuidade exige que o desaparecimento de uma carga de dentro de um cavolume seja acompanhado pela passagem da carga atrav´s da superf´ que delimita esse e ıcievolume. Como isto ´ v´lido para qualquer volume, a implica¸˜o ´ que, para uma carga ir e a ca ede um ponto ao outro, ela deve passar, continuamente, por posi¸˜es intermedi´rias. Da´ o co a ınome “equa¸˜o da continuidade”. ca 38
  • 39. onde, na ultima passagem, fizemos uso do teorema do divergente. Supon- ´hamos que NV decres¸a com o tempo. Ent˜o dNV < 0, e c a dt j.n dS > 0. (136) SA Eq.(136) mede, portanto, o n´ mero de part´ u ıculas que, na unidade detempo, saem do volume V , atravessando a superf´ S 14 (este saem, para ıcieser mais preciso, ´ o n´ mero de part´ e u ıculas que saem menos o de part´ ıculasque entram, por unidade de tempo). Depreende-se disso que, se dS ´ um etrecho infinitesimal de uma superf´ıcie, e se n for uma normal a ela, ent˜o a j.ndS´ o n´ mero (resultante) de part´e u ıculas que atravessam dS por unidade detempo no sentido indicado pela normal. Se o n´ mero for negativo, o fluxo umajorit´rio ser´ no sentido de −n. a a10.4 A barreira de potencialUma part´ ıcula de massa m se move num campo de for¸as, com uma energia cpotencial da forma V (x) V0 E I II III −a a x 14 Note que (136) cont´m apenas os valores de j na superf´cie S. e ı 39
  • 40. ou, V0 para |x| < a V (x) = 0 para |x| > asendo sua energia total E localizada entre 0 e V0 . Vamos procurar seus esta-dos estacion´rios. Para especificar mais o problema, digamos que a part´ a ıculaincide sobre a barreira vindo da esquerda. Se estiv´ssemos tratando de estados localizados (pacotes de onda), a car- eacteriza¸˜o deste particular problema (incidˆncia da esquerda para a direita) ca eseria trivial. Mas, para estados estacion´rios, isto ´, tais que a probabil- a eidade de posi¸˜o n˜o depende do tempo, isto ´ mais sutil. Recorramos a ca a euma imagem cl´ssica. Para conseguir um fenˆmeno an´logo (isto ´, sem a o a edependˆncia temporal) na mecˆnica cl´ssica, precisamos recorrer a muitas e a apart´ıculas, incidindo sobre a barreira da esquerda para a direita. Imaginemosum fluxo cont´ ınuo dessas part´ ıculas. Depois de um certo tempo, teremos umafigura que n˜o se altera mais, constitu´ por um certo n´ mero de part´ a ıda u ıculasincidindo sobre a barreira, superpostas a um fluxo de part´ ıculas refletidaspor ela. Embora cada part´ ıcula esteja se movendo, o conjunto todo pareceparado, no regime estacion´rio. O fato de as part´ a ıculas virem da esquerdapode ser descoberto, neste regime estacion´rio, pelo fato de que h´ part´ a a ıculasrefletidas ` esquerda da barreira. a Passemos ao caso quˆntico. No regime estacion´rio esperamos ter, como a ano caso cl´ssico, ondas incidentes e ondas refletidas, ` esquerda da barreira. a aMas, e esta ´ a principal diferen¸a introduzida pela mecˆnica quˆntica neste e c a aproblema, pode haver ondas saindo da barreira, no lado direito. O quecaracteriza, ent˜o, o problema estacion´rio como advindo de uma part´ a a ıculaincidente da esquerda para a direita ´ que, do lado direito da barreira, existem eapenas part´ ıculas afastando-se da barreira. Para |x| > a temos as regi˜es I e III, onde a part´ o ıcula n˜o est´ sujeita a a anenhuma for¸a. Nestes casos, c h2 d2 ψ ¯ − = Eψ (137) 2m dx2ou d2 ψ = −k 2 ψ (138) dx2onde usamos 2mE k2 ≡ (139) h2 ¯A solu¸˜o geral de (138) ´ ca e ψ(x) = A eikx + A′ e−ikx (140) 40
  • 41. e ´ um estado estacion´rio, portanto, com dependˆncia temporal dada por e a euma exponencial: i ψ(x, t) = A eikx + A′ e−ikx e− h Et ¯ (141)onde h2 k 2 ¯ E= (142) 2mA corrente de probabilidade i¯ h j= ψ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ 2md´, para a as parcelas que constituem a fun¸˜o (140): a ca(i)Para ψ(x) = exp ikx (k > 0), i¯ h dψ ∗ dψ hk ¯ j= ψ − ψ∗ = =v (143) 2m dx dx mou seja, eikx representa uma part´ ıcula com velocidade positiva, movendo-seda esquerda para a direita.(ii) Para ψ(x) = exp −ikx, temos v < 0, e a part´ ıcula se move da dire-ita para a esquerda. Para fixar o nosso problema, diremos ent˜o que, na regi˜o I teremos a a Para x < −a ψ(x) = AE ikx + A′ e−ikx (144)que inclui a part´ ıcula incidente (exp ikx) e a refletida (exp −ikx). Na regi˜o III tender´ a ıamos a supor que a fun¸˜o de onda fosse zero, cabaseando-se na mecˆnica cl´ssica, pois uma part´ a a ıcula cl´ssica n˜o pode atrav- a aessar a barreira: na zona II ela teria uma energia cin´tica negativa! Por´m, e ese fizessemos esta hip´tese, n˜o encontrar´ o a ıamos solu¸ao. Pomos, ent˜o, c˜ a Para x > a ψ(x) = C eikx (145)que descreve uma part´ ıcula que, vindo da esquerda, ultrapassou a barreira. Finalmente, dentro da barreira (regi˜o II), a equa¸˜o de Schr¨dinger ´ a ca o e h 2 d2 ψ ¯ − + V0 ψ = Eψ (146) 2m dx2 41
  • 42. ou d2 ψ = κ2 ψ (147) dx2com 2m κ2 = (V0 − E) . (148) h2 ¯A solu¸˜o geral desta equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca ca o e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx com κ > 0 . (149) Vamos denominar “fun¸˜o de onda incidente” ao termo ca A eikx , (150)“fun¸˜o de onda refletida” ao termo A′ e−ikx , e “fun¸˜o de onda transmitida” ca ca ikxao termo C e . A densidade de corrente incidente ´e hk 2 ¯ jI = |A| . (151) mDefinimos hk ′ 2 ¯ jR = |A | (152) mcomo a densidade de corrente refletida, e hk 2 ¯ jT = |C| (153) mcomo a densidade de corrente transmitida. Ent˜o, devemos ter (para que an˜o desapare¸am part´ a c ıculas), jI = jT + jR . (154)Definido os coeficientes de reflex˜o e transmiss˜o por a a jR R = (155) jI jT T = (156) jIpodemos ent˜o escrever a rela¸˜o entre as correntes como a ca R+T =1 (157) Note que a densidade de corrente dentro da barreira ´ zero (calcule!). eLogo, usando ∂ρ + ∇.j = 0 (158) ∂tvemos que, dentro da barreira, ∂ρ = 0, ou seja, ρ ´ constante. Logo, n˜o h´ ∂t e a avaria¸˜o no n´ mero de part´ ca u ıculas, dentro da barreira. 42
  • 43. 10.4.1 Condi¸˜es de contorno coA continuidade das fun¸˜es de onda e suas derivadas em x = −a e x = a d´ co aas seguintes condi¸˜es: co(i) Para x = −a: A e−ika + A′ eika = B eκa + B ′ e−κa (159) ikA e−ika − ikA′ eika = −κB eκa + κB ′ e−κa (160)(ii) Para x = a: C eika = B e−κa + B ′ eκa (161) ikC eika = −κB e−κa + κB ′ eκa (162)Dividindo (161) por (162): 1 B e−κa + B ′ eκa = (163) ik −κB e−κa + κB ′ eκade onde se tira (ik + κ)e−κa B + (ik − κ)eκa B ′ = 0 (164) Como a fun¸˜o de onda dentro da barreira ´ ca e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx (165)temos, escrevendo B ′ em termos de B, κ + ik −2κa κx ψ(x) = B e−κx + e e (166) κ − ikonde se vˆ que o termo dominante ´ a exponencial decrescente exp −κx. e e Voltando ` equa¸˜o (161), obt´m-se facilmente que a ca e C 2κ (ik−κ)a = e (167) B κ − ike 2 C 4κ2 = (168) B κ2 + k 2Vamos introduzir as quantidades A′ C B ′ B′ X= Y = Z= Z = (169) A A A A 43
  • 44. As equa¸˜es (159),(160),(161), (162) ent˜o ficam: co a e−ika + X eika = Z eκa + Z ′ e−κa (170) ikeika − ikX eika = −κZ eκa + κZ ′ e−κa (171) Y eika = Z e−κa + Z ′ eκa (172) ikY eika = −κZ e−κa + κZ ′ eκa (173)Como Z ′ /Z = B ′ /B,temos κ + ik −2κa Z′ = e Z (174) κ − ikIntroduzindo os s´ ımbolos auxiliares κ + ik −3κa W = eκa + e (175) κ − ike κ κ + ik −3κa W′ = −eκa + e (176) ik κ − ikpodemos, ap´s alguma ´lgebra, obter o a 16κ2 E −2κa T = |Y |2 = (177) κ2 + k 2 |W + W ′ |2 |W − W ′ |2 R = |X|2 = (178) |W + W ′|2e T 16κ2 −2κa k2 = 2 e (179) R κ + k2 |eκa − e−3κa |2 (κ2 + k 2 ) Tde onde se vˆ que o comportamento assint´tico de e o R ´ dado por e T ∼ e−4κa (180) Rque revela, ao mesmo tempo, a inevitabilidade do tunelamento (a ausˆncia ede tunelamento seria T /R = 0) e se trata de um efeito pequeno, para valoresapreci´veis de a. a Posteriormente, quando estudarmos a aproxima¸˜o quase-cl´ssica, sere- ca amos capazes de obter express˜es mais simples para o tunelamento. o 44
  • 45. 11 Algumas t´cnicas matem´ticas e a11.1 A fun¸˜o delta de Dirac caConsidere a fun¸˜o δǫ (p), definida assim: ca δǫ (p) = 0 para p > ǫ δǫ (p) = 0 para p < −ǫ 1 δǫ (p) = para − ǫ < p < ǫ 2ǫTemos, claramente, ∞ ǫ 1 δǫ (p)dp = dp = 1 (181) −∞ −ǫ 2ǫSeja f (p) uma fun¸˜o cont´ ca ınua. Ent˜o, a ∞ f (p′ ′ p+ǫ 1 p+ǫ f (p′ )δǫ (p − p′ )dp′ = dp = f (p′ )dp′ (182) −∞ p−ǫ 2ǫ 2ǫ p−ǫNo limite para ǫ → 0, esta ultima integral d´ ´ a 2ǫf (p)de forma que a Eq.(182) pode ser escrita ∞ f (p′ )δǫ (p − p′ )dp′ = f (p) (183) −∞A fun¸˜o delta de Dirac, δ(p) ´ definida, simbolicamente, como o limite, para ca eǫ → 0, da fun¸˜o δǫ (p). Suas propriedades, que podem ser motivadas por caesse limite, podem ser sintetizadas assim: ∞ δ(x)dx = 1 −∞ δ(x) = 0 para x = 0 ∞ dx f (x)δ(x − a) = f (a) −∞Nessas rela¸˜es a integral n˜o precisa realmente ir de −∞ a ∞. Basta que co aseja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da fun¸˜o cadelta se anula. Estritamente, tal fun¸˜o n˜o existe. Trata-se de um s´ ca a ımbolo que abrevia muito osc´lculos. Atendo-se `s regras exibidas, nenhum dano ´ causado, a n˜o ser ` l´gica, a a a e a a ov´ ıtima usual. A teoria que justifica essas opera¸˜es e restitui a implacabilidade da l´gica co ofoi desenvolvida pelo grande matem´tico francˆs Laurent Schwartz, e se chama “teoria das a edistribui¸˜es”. Para um tratamento adequado da “fun¸˜o delta” recomendamos as notas co caque se encontram no site do professor Jo˜o Carlos Alves Barata,no endere¸o: a c 45
  • 46. http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap12.pdfOutras rela¸˜es importantes envolvendo a “fun¸˜o delta” s˜o as seguintes: co ca a 1 ∞ δ(x) = dkeikx (184) 2π −∞ δ(−x) = δ(x) (185) 1 δ (f (x)) = df δ(x − x0 ) , sendo f (x0 ) = 0 (186) | dx |x=x0 1 δ(ax) = δ(x) (187) |a| δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) (188)onde, nesta ultima, se tem r = xi + y j + z k. ´11.2 Integral de FourierA integral de Fourier ´ instrumento fundamental na mecˆnica quˆntica. e a aTrata-se de uma extens˜o das s´ries de Fourier que permite obter expans˜es a e ode fun¸˜es que n˜o s˜o peri´dicas. Este n˜o ´ o lugar para se adquirir fluˆncia co a a o a e eno uso, e uma boa compreens˜o dos m´todos da an´lise de Fourier. O leitor a e adever´ dedicar algum estudo a este t´pico, presente em todos os livros de a of´ ısica-matem´tica. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, aPartial Differential Equations of Physics. Um bel´ ıssimo livro de matem´tica asobre este mesmo tema, ´ K¨rner, Fourier Analysis, um dos livros mais boni- e otos que j´ li. a A integral, ou transformada, de Fourier de uma fun¸˜o f (x), ´ uma fun¸˜o ca e caf˜(k) a ela ligada pelas rela¸˜es co ∞ f (x) = ˜ dk f (k)eikx (189) −∞ ˜ 1 ∞ f (k) = f (x)e−ikx (190) 2π −∞Pode-se verificar a consistˆncia dessas rela¸˜es com o uso da fun¸ao δ(x): e co c ∞ 1 ∞ f (x) = dk dyf (y)e−iky eikx −∞ 2π −∞ ∞ 1 f (x) = f (y) dkeik(x−y) −∞ 2π ∞ = f (y)δ(x − y) = f (x) −∞ 46
  • 47. A transformada de Fourier de uma fun¸˜o constante, f (x) = K, ´: ca e ˜ 1 ∞ 1 ∞ f (k) = dxKe−ikx = K dxe−ikx = Kδ(x) 2π −∞ 2π −∞ou seja, a transformada de Fourier de uma constante ´ um m´ ltiplo de e udelta(x). Um outro resultado importante ´ a transformada de Fourier de e 2uma gaussiana: seja f (x) = exp −αx . Sua transformada de Fourier ´ e ˜ 1 π − k2 f (k) = e 4α 2π αou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana ´ outra gaussiana. e12 O espectro cont´ ınuoA equa¸˜o de Schr¨dinger de um sistema f´ ca o ˆ e ısico de hamiltoniano H ´ ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ ∂tSuponhamos que ψ seja um estado estacion´rio, ou seja, que a i ψ(r, t) = ψ(r)e− h Et ¯Inserindo-se esta express˜o na equa¸˜o de Schr¨dinger , obt´m-se uma equa¸˜o a ca o e capara ψ(r), que ´e ˆ Hψ(r) = Eψ(r) , (191)conhecida como equa¸˜o de Schr¨dinger independente do tempo. Resolvˆ-la ca o e´ determinar o par (ψ(r), E), onde E ´ um n´ mero.e e u Para exemplificar, vamos tratar um caso muto simples: uma part´ıculalivre, de massa m, que se move ao longo do eixo x. Neste caso ˆ2 ¯2 2 ˆ = p =−h ∂ H 2m 2m ∂x2e a Eq.(191) ´ e h2 d2 ψ ¯ − = Eψ . (192) 2m dx2Introduzindo 2mE k2 = h2 ¯ 47
  • 48. podemos reescrever a equa¸˜o acima assim: ca d2 ψ = −k 2 ψ , (193) dx2cuja solu¸˜o geral ´ ca e ψ(x) = Aeikx + Be−ikx (194)com A e B arbitr´rios. Existe solu¸˜o para todo k, e, como a ca h2 k 2 ¯ E= , 2mexiste solu¸˜o para todo E ≥ 0. Diz-se ent˜o que o espectro ´ cont´ ca a e ınuo. ˆ um operador associado a uma quantidade f´ Seja O ısica de espectro cont´ ınuo.Escreveremos a equa¸˜o de autovalores assim: ca ˆ Oψf = Of ψf (195)onde o ´ ındice f agora varia continuamente. Como veremos mais tarde, asautofun¸˜es associadas a um espectro cont´ co ınuo n˜o s˜o normaliz´veis, isto ´, a a a en˜o ´ poss´ impor para elas a condi¸˜o a e ıvel ca |ψf |2 dq = 1Exemplo: a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio de uma part´ ca a ıcula livre,cuja parte espacial vimos na Eq.(194), ´ e i ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) = Aeikx e− h Et ¯ (196) Eonde usamos ω = h ¯ . Ent˜o a |ψ(x, t)|2 = |A|2e, por isso, ∞ ∞ dx|ψ(x, t)|2 = |A|2 dx = ∞ ! −∞ −∞A seguir vamos descobrir uma maneira de normalizar adequadamente asautofun¸˜es ligadas a um espectro cont´ co ınuo. Seja ψ uma fun¸˜o de onda normaliz´vel. A expans˜o dela em autofun¸˜es ca a a coda quantidade f´ ˆ cujo espectro ´ cont´ ısica O, e ınuo, ´ e ψ= df af ψf (197) 48
  • 49. Queremos que |af |2 df seja a probabilidade de que, efetuada uma medida de ˆO, o valor obtido esteja entre f e f + df . Logo, |af |2 df = 1. Da mesmaforma, dq|ψ(q)|2 = 1. Segue que a∗ af df = f ψ ∗ ψdq (198)e, como ψ∗ = df a∗ ψf , f ∗ (199)tamb´m que e a∗ af df = f df a∗ ψf ψdq = f ∗ df a∗ f ∗ dqψf ψ (200)Comparando o primeiro termo com o ultimo, temos ´ ∗ af = dqψf ψ (F ourier) (201)que permite calcular os coeficientes da expans˜o ψ = df af ψf . a Rescrevendo a expans˜o acima como ψ = df ′ a′f ψf e usando-a na Eq.(656), atemos af = dqψf df′ af ′ ψf ′ = df ′ af ′ dqψf ψf ′ ∗ ∗ (202)Mas af = df ′af ′ δ(f − f ′ ) (203)Comparando as duas ultimas, obt´m-se ´ e dqψf ψf ′ = δ(f − f ′ ) ∗ (204)que ´ a rela¸˜o de ortogonalidade para autofun¸˜es do espectro cont´ e ca co ınuo.Conseq¨ entemente, as rela¸˜es b´sicas para o espectro cont´ u co a ınuo s˜o: a ψ = df af ψf (205) ψ ∗ ψdq = df |af |2 (206) ∗ af = dqψf ψ (207) ψf ψf ′ dq = δ(f − f ′ ) ∗ (208) 49
  • 50. 13 O oscilador harmˆnico oUma part´ ıcula de massa m executa movimento unidimensional sob a a¸˜o cade uma for¸a el´stica −kx. Isto ´ um oscilador harmˆnico. Sua energia c a e o 1potencial ´ V (x) = 2 mω 2 x2 , e. portanto, a equa¸˜o de Schr¨dinger para e ca oestados estacion´rio ´ a e h d2 ψ 1 ¯ − + mω 2 x2 ψ = Eψ (209) 2m dx2 2 kNote-se que ω = m . A Eq.(209) pode ser escrita na forma   2 1  h d ¯ + (mωx)2  ψ = Eψ (210) 2m i dxDaqui se vˆ que e   2 ˆ 1  h d ¯ H= + (mωx)2  (211) 2m i dxConsidere os operadores 1 h d ¯ a± = √ ± imωx (212) 2m i dxUm c´lculo simples mostra que a   2 1  h d ¯ 2 1 a− a+ = + (mωx) + hω ¯ (213) 2m i dx 2de maneira que, usando (211), 1 a− a+ − hω ψ = Eψ ¯ (214) 2Um outro c´lculo simples resulta em a [a− , a+ ] = hω ¯ (215)A Eq.(214) d´ a 1 a− a+ − a+ a− + a+ a− − hω ψ = Eψ ¯ 2 1 [a− , a+ ] + a+ a− − hω ψ = Eψ ¯ 2 1 a+ a− + hω ψ = Eψ ¯ (216) 2 50
  • 51. Lema 1: Seja ψ um estado estacion´rio do oscilador harmˆnico de energia a oE. Ent˜o a+ ψ ´ um estado estacion´rio de energia E + hω. a e a ¯Dem.: 1 1 a+ a− + hω (a+ ψ) = a+ a− a+ ψ + hω(a+ ψ) ¯ ¯ 2 2 1 1 = a+ a− a+ ψ + hωψ = a+ (a− a+ − a+ a− + a+ a− ) ψ + hωψ ¯ ¯ 2 2 1 = a+ [a− , a+ ]ψ + a+ a− + hω ψ = a+ [¯ ωψ + Eψ] = (E + hω)(a+ ψ) ¯ h ¯ 2Ou, ˆ H(a+ ψ) = (E + hω)(a+ ψ) ¯ (217)Analogamente se mostra que ˆ H(a− ψ) = (E − hω)(a− ψ) ¯ (218)Lema 2: A energia do oscilador harmˆnico ´ ≥ 0. o eDem.: Esta demonstra¸˜o depende de um Lema, demonstrado mais adi- ca ˆante,15 junto ` Eq.(290). Como H pode ser escrito como a soma de dois aoperadores hermiteanos ao quadrado, 2 2 p ˆ m ˆ H= √x + ωx 2m 2 ˆsegue que H ≥ 0. Como os autovalores de um operador s˜o casos par- aticulares de seus valores m´dios (quando os estados s˜o as autofun¸˜es), a e a codesigualdade acima pro´ a existˆncia de autovalores negativos do hamilto- ıbe eniano. Em decorrˆncia disso, deve haver um estado ψ0 tal que e a− ψ0 = 0 (219)De fato, se n˜o fosse assim, dada qualquer autofun¸˜o do hamiltoniano do a caoscilador harmˆnico, a aplica¸˜o a ela do operador a− geraria uma outra aut- o caofun¸˜o , de energia menor, o processo podendo se repetir indefinidamente, caat´ se chegar a energia s negativas, o que ´ proibido. e e Explicitamente esta ultima equa¸˜o ´ ´ ca e 1 h dψ0 ¯ √ − imωxψ0 = 0 (220) 2m i dx 15 O leitor h´ de perdoar esta pequena viola¸˜o da causalidade... a ca 51
  • 52. dψ0 mω = − xψ0 dx h ¯ dψ0 mω = − xdx ψ0 h ¯ mω ψ0 (x) = K exp − x (221) 2¯ hEsta ´ a fun¸˜o de onda do estado estacion´rio do oscilador harmˆnico. A e ca a oenergia desse estado ´ obtida assim: e ˆ 1 1 Hψ0 (x) = a+ a− + hω ψ0 (x) = hωψ0 (x) ¯ ¯ (222) 2 2Logo, temos hω ¯ E0 = (223) 2 O estado de energia imediatamente mais alta, chamado de primeiro estadoexcitado, tem a fun¸˜o de onda ca 1 h d ¯ mω 2 ψ1 (x) = a+ ψ0 (x) = √ + imωx exp − x (224) 2m i dx 2¯ hou m mω 2 ψ1 (x) = Ki ωx exp − x (225) 2 2¯ he possui energia 1 E1 = (1 + )¯ ω h (226) 2 Mais geralmente, mω 2 ψn (x) = An (a+ )n exp − x (227) 2¯ h 1 En = (n + )¯ ω h (228) 2e, com algum esfor¸o, pode-se mostrar que c 1 mω 4 1 An = (229) π¯ h n!(¯ ω)n h Vamos fazer o esfor¸o mencionado acima. Seja ψ0 (x) a autofun¸˜o normalizada do c caestado fundamental do oscilador harmˆnico. Ent˜o, o a 1 mω 4 mω 2 ψ0 (x) = exp − x (230) π¯ h 2¯ h 52
  • 53. e seja ψn (x) = Kn (a+ )n ψ0 (x) (231)Temos, obviamente, ψn−1 (x) = Kn−1 (a+ )n−1 ψ0 (x) , (232)de onde se deduz que Kn ψn (x) = Kn a+ (a+ )n−1 ψ0 (x) = a+ ψn−1 (x) (233) Kn−1Considere a integral de normaliza¸ao de ψn (x): c˜ 2 2 ∗ Kn Kn dxψn (x)ψn (x) = dx(a+ ψn−1 )∗ (a+ ψn−1 ) = ∗ dxψn−1 a− a+ ψn−1 Kn−1 Kn−1 (234)onde usamos o fato de que o adjunto de a+ ´ a− . Pela equa¸˜o (214), temos e ca 1 h ¯ω a− a+ ψn−1 = hω(n − 1 + )ψn−1 + ¯ ψn−1 = hωψn−1 ¯ (235) 2 2Logo, podemos escrever 2 ∗ Kn ∗ ψn (x)ψn (x)dx = h ¯ ωn dxψn−1 ψn−1 (236) Kn−1Iterando este procedimento, teremos 2 2 Kn Kn−1 ∗ ψn (x)ψn (x)dx = (¯ ω)2 n(n − 1) h ∗ dxψn−2 ψn−2 (237) Kn−1 Kn−2ou 2 Kn ∗ ψn (x)ψn (x)dx = (¯ ω)2 n(n − 1) h ∗ dxψn−2 ψn−2 (238) Kn−2Prosseguindo, chegaremos a 2 ψn (x)ψn (x)dx = |Kn | (¯ ω)n (n!) ∗ h ∗ dxψ0 ψ0 (x) = 1 (239)ou seja, 1 Kn = (240) (¯ ω)n n! hPortanto, 1 mω 4 1 mω 2 ψn (x) = Kn (a+ )n ψ0 (x) = exp − x (241) π¯ h n!(¯ ω)n h 2¯ h Um oscilador harmˆnico que n˜o oscila ´ decepcionante. Se calcularmos o o a evalor m´dio da posi¸˜o, x , nos estados estacion´rios do oscilador harmˆnico, e ca ˆ a oque vimos at´ agora, encontraremos (e o leitor deve obter isso por conta epr´pria!) o x =0 ˆ (242) 53
  • 54. ou seja, nenhuma oscila¸˜o! Estados estacion´rios n˜o s˜o apropriados para ca a a acomparar o sistema quˆntico com o an´logo cl´ssico. Para obter alguma coisa a a asemelhante a um pˆndulo, devemos estudar pacotes de onda. Os particulares epacotes de onda que vamos estudar agora se chamam estados coerentes. Con-sideremos as autofun¸˜es do operador a− , introduzido acima. Como a− n˜o co a ˆcomuta com H, as autofun¸˜es de a− n˜o ser˜o, em geral, autofun¸˜es de H, co a a co ˆou seja, n˜o ser˜o estados estacion´rios. Sejam ent˜o φα fun¸˜es tais que a a a a co a− φα = αφα (243)Como o operador a− n˜o ´ hermiteano, os autovalores α ser˜o n´ meros com- a e a uplexos quaisquer. Lembremos que os estados estacion´rios podem ser escritos em termos do aestado fundamental assim: 1 ψn (x) = (a+ )n ψ0 (x) (244) n!(¯ ω)n hVai ser importante nos c´lculos que faremos a seguir a seguinte quantidade: a 1 1 (ψn , φα ) = ((a+ )n ψ0 , φα ) = (ψ0 , (a− )n φα ) = n!(¯ ω)n h n!(¯ ω)n h αn = (ψ0 , φα ) (245) n!(¯ ω)n h Vamos agora expandir φα (x) em estados estacion´rios. Para simplificar a anota¸˜o, vamos introduzir a abrevia¸˜o ca ca n Kn = (¯ ω)− 2 h 54
  • 55. φα (x) = (ψn , φα )ψn n Kn α n = √ (ψ0 , φα )ψn n n! Kn α n = C √ ψn n n! Kn α n Kn = C √ √ (a+ )n ψ0 n n! n! Kn (αa+ )n 2 = C ψ0 (246) n n! Kn (αa+ )n 2 1 αa+ n φα (x) = C ψ0 = C ψ0 (247) n n! n n! hω ¯A constante C ´ determinada normalizando-se φα (x), como segue: e 1 αa+ n 1 αa+ m 1 = (φα , φα ) = C 2 ψ0 , ψ0 n n! hω ¯ m m! hω ¯ ∗ n m 1 α 1 α = C2 ((a+ )n ψ0 , (a+ )m ψ0 ) n n! hω ¯ m m! hω ¯ 2n 1 |α| = C2 n!(¯ ω)n h n (n!)2 (¯ ω)2n h |α|2n 1 = C2 n n! (¯ ω)n h |α|2 = C 2 exp hω ¯Logo, |α|2 C = exp − 2¯ ω hVoltando ` expans˜o, a a |α|2 αn φα (x) = exp − ψn (248) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n hPara obter a dependˆncia temporal de φα (x) precisamos demonstrar um re- esultado geral: 55
  • 56. ˆTeorema: Seja H o hamiltoniano de um sistema f´ ısico, e sejam ψn (x) suas autofun¸˜es. coSabemos que i ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t h ¯ a ˆonde os En s˜o os autovalores de H, ou seja, satisfazem as equa¸˜es co ˆ Hψn = En ψn .Seja φ(x) um estado qualquer desse sistema, e φ(x) = an ψn (x) n a co ˆsua expans˜o nas autofun¸˜es de H no instante t = 0. Ent˜o, a i φ(x, t) = an ψn (x) exp − En t (249) n h ¯onde os an s˜o os mesmos da expans˜o em t = 0. a a A demonstra¸˜o consiste em mostrar que φ(x, t) satisfaz a equa¸˜o de Schr¨dinger ca ca o ∂φ(x, t) ˆ i¯ h = Hφ(x, t) ∂tcom a condi¸˜o inicial φ(x, t = 0) = φ(x). caDe fato, ∂ i i¯ ∂φ(x, t)∂t = i¯ h h an ψn (x) exp − En t n ∂t h ¯ i ˆ i = an En ψn (x) exp − En t =H an ψn (x) exp − En t n h ¯ n h ¯ ˆ = Hφ(x, t)A verifica¸˜o da condi¸˜o inicial ´ trivial. ca ca eAplicando este teorema ` Eq.(248), temos a |α|2 αn i φα (x, t) = exp − ψn exp − En t (250) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h h ¯ou |α|2 αn i φα (x, t) = exp − ψn exp − hω(n + 1/2)t ¯ 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h h ¯ n |α|2 (αe−iωt ) iω φα (x, t) = exp − ψn exp − t (251) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h 2 56
  • 57. Comparando com a Eq.(248), vˆ-se que: e iωt φα (x, t) = φα(t) e− 2 (252)com α(t) = αe−iωt (253)Podemos agora calcular x no estado φα (x, t). ˆ x = (φα (x, t), xφα (x, t)) = φα(t) , xφα(t) ˆ ˆ ˆ (254)Da defini¸˜o de a+ e a− obt´m-se facilmente que ca e −i x= √ ˆ (a+ − a− ) 2m ωlogo, −i x = φα(t) , xφα(t) = √ ˆ ˆ φα(t) , a+ φα(t) − φα(t) , a− φα(t) (255) 2m ωMas a− φα(t) = α(t)φα(t)e, como a+ ´ o adjunto de a− , e a+ φα(t) = α∗ (t)φα(t)Logo, 1 x =√ ˆ {α∗ (t) − α(t)} (256) 2m ωPondo α = |α| exp iδ, temos α(t) = |α|e−i(ωt−δ)e |α| 2 x =√ ˆ ei(ωt−δ) − e−i(ωt−δ) = |α| sin (ωt − δ) (257) 2m iω mω 2e surgiu finalmente a oscila¸˜o procurada! O valor m´dio da posi¸˜o, nesse ca e caestado, oscila exatamente como no caso cl´ssico. a 57
  • 58. 13.1 Exerc´ ıciosPara uso nos exerc´ıcios subseq¨ entes, apresentamos aqui uma tabela de ufun¸˜es de onda de estados estacion´rios do oscilador harmˆnico. co a o 1/2 2 /2a2 1√ x n En ψn (x) = n!2n a π Hn a e−x 1/2 2 2 1 1 0 2 hω ¯ √ a π e−x /2a 1/2 2 2 3 1 1 2 hω ¯ √ 2a π 2 x e−x /2a a 1/2 2 2 2 5 1 2 2 hω ¯ √ 8a π 2−4 x a e−x /2a 1/2 3 2 2 7 1 3 2 hω ¯ √ 48a π 12 x − 8 x a a e−x /2a 1/2 2 4 2 /2a2 9 1√ 4 2 hω ¯ 384a π 12 − 48 x + 16 x a a e−x h ¯onde a = mω .1.(a) Mostre que o parˆmetro a que aparece na tabela ´ igual ao desloca- a e 1mento m´ximo de um oscilador cl´ssico de energia 2 hω. a a ¯ 2 −x2 /2a2(b) Verifique que a express˜o (1+bx )e a satisfaz a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 5para o movimento harmˆnico simples com energia E = 2 hω. Qual o valor o ¯para b?2. Considere o meio-oscilador harmˆnico, isto ´, uma part´ o e ıcula cuja energiapotencial ´ e V (x) = ∞ , x < 0 1 V (x) = kx2 , x ≥ 0 2(a) Compareas fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios deste sistema com co aas do oscilador harmˆnico normal com os mesmos valores de m e k. o(b) Quais s˜o as energia s permitidas para o meio-oscilador? a(c) Invente um sistema que seria o an´logo macrosc´pico deste sistema quˆntico. a o a3. Regi˜es classicamente proibidas para o oscilador harmˆnico simples. o oUsando a fun¸˜o de onda normalizada para o estado fundamental do oscilador caharmˆnico, calcule a probabilidade de que uma observa¸˜o da posi¸˜o detete o ca caa part´ ıcula numa regi˜o classicamente proibida. A integral que vocˆ obter´ a e an˜o pode ser resolvida analiticamente. Olhe o resultado num´rico numa a e 58
  • 59. tabela da error function, ou nos programas Maple ou Mathematica.4. A tabela exibe as fun¸˜es Hn (x), denominadas polinˆmios de Hermite. co o −t2 +2tx(a)Mostre que e ´ uma fun¸˜o geratriz dos polinˆmios de Hermite, isto e ca o´, quee ∞ n 2 t e−t +2tx = Hn (x) n=0 n!ao menos at´ n = 4. Determine H5 (x). e(b) Tomando a derivada desta express˜o, demonstre as rela¸˜es de recorrˆncia a co e d Hn (x) = 2nHn−1 (x) dx Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x)5. Valendo-se da express˜o das fun¸˜es de onda do oscilador harmˆnico, a co omostre que devemos esperar que ∞ 2 √ dxe−x Hn (x)Hm (x) = π2n n!δmn −∞14 Operadores unit´rios e simetrias aAs quantidades observ´veis (resultados de medidas) aparecem, na mecˆnica a aquˆntica, sob a forma de produtos escalares de estados, a (ψ, φ) = dqψ(q)∗ φ(q)Um caso particular importante ´ um “elemento de matriz” de um operador eˆO: ˆ dqψ ∗ (q)Oφ(q)Como toda teoria, a mecˆnica quˆntica admite transforma¸˜es “de linguagem”: a a copor exemplo, quando eu descrevo o mesmo fenˆmeno usando dois sistemas ode eixos ortogonais, obtenho descri¸˜es distintas do mesmo fenˆmeno. Es- co osas descri¸˜es devem ser equivalentes, j´ que representam a mesma coisa de co apontos-de-vista distintos. E´ como se eu descrevesse o mesmo fenˆmeno em oinglˆs e em alem˜o: as descri¸˜es s˜o diferentes, mas tˆm o mesmo conte´ do. e a co a e u Como as quantidades f´ ısicas s˜o representadas pelos produtos escalares ade estados, ´ importante o estudo dos operadores que conservam os produtos e ˆescalares, ou seja, dos operadores U que s˜o tais que a ˆ ˆ (Uψ, U φ) = (ψ, φ) (258) 59
  • 60. ou, mais explicitamente, dqψ(q)∗ φ(q) = ˆ ˆ dq(Uψ(q))∗ U φ(q) (259) Um operador linear ´ unit´rio, por defini¸˜o, se e a ca ˆˆ ˆ ˆ U U + = U +U = 1 (260) ˆSeja U um operador unit´rio e considere as transforma¸˜es de fun¸˜es de a co coonda: ˆ ψ ′ (q) = Uψ(q) ′ ˆ φ (q) = Uφ(q)Ent˜o, a ∗ dqψ ′∗ φ′ = ˆ dq U ψ ˆ Uφ = ˆ ˆ dqψ ∗ U + U φ = dqψ ∗ φo que mostra que uma transforma¸˜o implementada por um operador unit´rio ca aconserva os produtos escalares. Mais detalhadamente, considere o produtoescalar ˆ ˆ ψ, Oφ = dqψ ∗ (q)Oφ(q)Sejam ˆ ψ ′ (q) = U ψ(q) ′ ˆ Oφ(q) ˆ ˆ = U Oφ(q)Podemos escrever ′ ˆ Oφ(q) ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ = U Oφ(q) = U OU + Uφ(q) = U OU † φ′ (q)Logo, ∗ ˆ ψ ′ , (Oφ)′ = ˆ dq U ψ(q) ˆ ˆˆ ˆ U OU + U φ(q) = ˆ ˆ dqψ ∗ Oφ = ψ, OφPodemos interpretar este resultado assim: considere as transforma¸˜es co ˆ ψ → ψ ′ = Uψ ˆ φ → ψ ′ = Uψ ˆ ˆ ˆ ˆˆ O → O′ = U OU + 60
  • 61. Ent˜o, temos: a ˆ dqψ ′∗ (q)O ′φ′ (q) = ˆ dqψ ∗ (q)Oφ(q) ˆ ˆ ˆˆ e ca ˆ ca ˆonde O ′ ≡ U OU + ´ a transforma¸˜o de O pela a¸˜o do operador linear U . ˆe ˆDiz-se que um operador O ´ invariante por uma transforma¸˜o unit´ria U se ca a ˆ ˆˆ ˆ U OU + = Oou, equivalentemente, se ˆˆ ˆˆ OU = U O (261)14.1 Exemplos de operadores unit´rios aO leitor verificar´ sem dificuldade que o operador ˆ definido por a 1, ˆ =ψ 1ψ´ unit´rio. Para dar exemplos mais ricos, precisaremos definir a exponenciale ade um operador. ˆ Define-se eO assim: ˆ 1 ˆˆ 1 ˆˆˆ 1 ˆ eO = ˆ + O + OO + OO O + ... (262) 2! 3! ˆ ˆˆonde, naturalmente, se pode escrever O 2 em vez de OO, etc. A id´ia ´ e eusar a expans˜o da fun¸˜o exponencial num´rica como modelo da expans˜o a ca e ado operador. Usando-se esta defini¸˜o, pode-se demonstrar a importante carela¸˜o de Baker-Hausdorff-Campbell: ca ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ eA Be−A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + ... (263) 2! 3! ca e ˆUma aplica¸˜o imediata ´ esta: para B = 1, temos ˆ ˆ eA e−A = 1 ˆ 1] ˆ ˆpois [A, ˆ = 0. Logo, e−A ´ o operador inverso de eA . e ˆ ˆ ˆ Considere um operador da forma eiO , com O = O + , ou seja, hermiteano.Temos ent˜o, a ˆ + ˆ+ ˆ eiO = e−iO = e−iOLogo, ˆ ˆ + eiO eiO =1 61
  • 62. ˆ ˆou seja, eiO ´ unit´rio se O for hermiteano. e aExemplo: os seguintes operadores s˜o unit´rios: a a i U(ǫ) = e h ǫpˆx ¯ i ˆ U(∆t) = e− h H∆t ¯ Chama-se operadores unit´rios infinitesimais operadores da forma a ˆ ˆ U = 1 + iǫO ˆ ˆcom O = O + . Note-se que um operador desse tipo ´ o truncamento da s´rie e e ˆ iǫOque define o operador unit´rio e a que mant´m apenas os dois primeiros etermos. Ou seja, um operador unit´rio infinitesimal satisfaz a condi¸˜o a cade unitaridade desde que se desprezem termos que contenham potˆncias e ˆquadr´ticas de ǫ ou maiores. Explicitamente, temos, se U = 1 + iǫO, a ˆˆ + ˆU = 1 − iǫO, e ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ U U + = (1 + iǫO)(1 − iǫO) = 1 + iǫO − iǫO + ǫ2 (...) ≈ 1 ˆSeja B um operador invariante por uma transforma¸˜o implementada pelo ca i ˆoperador unit´rio infinitesimal 1 + ¯ ǫO. Ent˜o a h a ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ B = 1 + O B 1 − O = B + OB − B O = B + [O, B] h ¯ h ¯ h ¯ h ¯ h ¯ ˆ ˆLogo, devemos ter [O, B] = 0. Sumarizando: iǫ ˆ ˆ ca a ˆ ¯ a ˆ ˆ Seja B invariante pela transforma¸˜o unit´ria U = e h O . Ent˜o, [B, O] =0. ˆ Define-se simetria de um sistema com hamiltoniano H uma transforma¸˜o ca iǫ ˆ a ˆunit´ria que deixa o hamiltoniano invariante. Seja U = e h O uma simetria. ¯ ˆ ˆ ˆ ˙Ent˜o, por defini¸˜o, [H, O] = 0. Ora, isto significa que o operador O = 0, ou, a caem outras palavras,que a quantidade f´ ısica associada ao operador hermiteano ˆ ´ conservada. Desta forma associamos simetrias a leis de conserva¸˜o : aOe cacada simetria corresponde uma quantidade conservada. Este resultado, naf´ ısica cl´ssica, ´ conhecido como o teorema de Noether. a e14.2 Exerc´ ıcios d21.(a)Construa o adjunto do operador dx2 − a exp (ix) onde a ´ um n´ mero e ureal.(b) Mostre que [p, f (r)] = ¯ ∇f (r). h i 62
  • 63. ˆ ˆ ˆ a2. Os trˆs operadores A, B e C s˜o dados por e ˆ Aψ(x) = x3 ψ(x) ˆ dψ Bψ(x) = x dx x ˆ Cψ(x) = uψ(u)du −∞ ˆ ˆ ˆ ˆ(i)Calcule [A, B] e [B, C].(ii)Resolva o problema de autovalores ˆ Cψ(x) = λψ(x)exigindo que ψ(x) seja normaliz´vel. Que restri¸˜o isto imp˜e sobre λ? a ca o3. Determine o operador unit´rio que efetua, sobre a fun¸ao de onda de a c˜um sistema, uma transla¸˜o espacial ψ(r) → ψ(r + ǫ), onde ǫ ´ um “vetor ca einfinitesimal”. Usando o fato de que uma sucess˜o de transla¸˜es independe a coda ordem em que s˜o realizadas, demonstre que os operadores de momento aˆ ˆpx , py e pz comutam. Aproveite para mostrar que esses operadores s˜o her- ˆ amiteanos, sem calcular qualquer integral.15 Rota¸˜es e o momento angular coUma part´ ıcula de massa m est´ em um estado de fun¸˜o de onda ψ(r). a caVamos executar uma rota¸˜o infinitesimal δω sobre o sistema.16 Em sua canova posi¸˜o, a fun¸˜o de onda ser´ ca ca a ψ(r + δr) = ψ(r) + (δω × r).∇ψ(r) ,desprezando-se os termos a partir dos quadr´ticos em |δω|. Como a (δω × r).∇ = δω.(r × ∇)podemos escrever ψ(r + δr) = ψ(r) + δω.(r × ∇).ψ(r) = 1 + δω.(r × ∇) ψ(r) i = 1 + δω.(r × (−i¯ )∇) ψ(r) h (264) h ¯ 16 Eq¨ ivalentemente, uma rota¸˜o −δω sobre o sistema de eixos em rela¸˜o ao qual o u ca casistema ´ referido. e 63
  • 64. i ψ(r + δr) = 1 + δω.(ˆ × ˆ ψ(r) r p) (265) h ¯ ˆDenotando o operadorˆ × ˆ por L, temos r p i ˆ ψ(r + δr) = 1 + δω.L ψ(r) (266) h ¯ ˆO operador L ´ denominado momento angular, e ´ escrito, mais detalhada- e emente, como ˆ ˆ ˆ ˆ L = Lx i + Ly j + Lz kDa Eq.(264) se tira a express˜o a ˆ L = −i¯ ˆ × ∇ hr (267)ou, para as componentes, ˆ ∂ ∂ Lx = −i¯ y h −z (268) ∂z ∂y ˆ ∂ ∂ Ly = −i¯ z h −x (269) ∂x ∂z ˆ ∂ ∂ Lz = −i¯ x h −y (270) ∂y ∂x ˆComo L ´ hermiteano (por que?), e ˆ i ˆ U (δω) = 1 + δω.L h ¯´ unit´rio, e ´ a parte infinitesimal dee a e i ˆ ˆ U = e h δω.L ¯que, atuando sobre a fun¸˜o de onda de um sistema, produz a fun¸˜o de ca caonda do mesmo, rodado de δω.Exemplo:(1) Rota¸˜o em torno do eixo z: usando coordenadas esf´ricas, uma rota¸˜o em torno do ca e caeixo z muda o valor da coordenada φ. A rota¸˜o que leva φ em φ + ∆φ ´ caracterizada ca epor δω = δωz k, com δωz = ∆φ. Logo, i ˆ i ˆ U (δω) = 1 + δωz k.L = 1 + ∆φLz h ¯ h ¯ 64
  • 65. Seja ψ(φ) a fun¸˜o de onda do sistema (explicitamos apenas o argumento que ser´ alterado. ca aA fun¸˜o de onda normalmente depender´ de r, θ e φ, quando o sistema ´ descrito em ca a etermos de coordenadas esf´ricas). A rota¸˜o considerada leva ψ(φ) → ψ(φ + ∆φ). Mas e ca ∂ ∂ ψ(φ + ∆φ) = ψ(φ) + ∆φ ψ(φ) = 1 + ∆φ ψ(φ) ∂φ ∂φpara transforma¸˜es infinitesimais, e usando a f´rmula dos acr´scimos finitos do C´lculo. co o e aOutra maneira de escrever isto ´ e i ˆ ψ(φ + ∆φ) = 1+ ∆φLz ψ(φ) h ¯Comparando as duas express˜es, tira-se facilmente que o ˆ ∂ Lz = −i¯ h (271) ∂φ A express˜o expl´ a ˆ ˆ ˆ ıcita dos operadores Lx , Ly e Lz em coordenadas esf´ricas epode tamb´m ser obtida diretamente da Eq.(270) utilizando as f´rmulas de e otransforma¸˜o ca r = x2 + y 2 + z 2 √ 2 x + y2 θ = arctan z y φ = arctan . xTrata-se de um c´lculo simples mas trabalhoso. Vamos seguir um caminho aindireto mas mais iluminante. Primeiro, ´ conveniente medir o momento e ˆangular em unidades de h, isto ´, introduzir o operador l tal que ¯ e ˆ ˆ L = hl ¯onde , de novo, ˆ ˆ l = lx i + ˆy j + ˆz k l l ˆAs express˜es para as componentes de l s˜o, como segue de (270), o a ˆx = −i y ∂ − z ∂ l (272) ∂z ∂y ˆy = −i z ∂ − x ∂ l (273) ∂x ∂z ˆz = −i x ∂ − y ∂ l (274) ∂y ∂x 65
  • 66. Por um c´lculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac17 obtˆm-se: a e [ˆa , ˆb ] = iǫabc ˆc l l l (275) ˆComo as componentes l n˜o comutam entre si, n˜o h´ autofun¸˜es comuns a a a codessas componentes. Introduzindo o momento angular total ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lzobservamos que ˆ2 [l , ˆx ] = [ˆx , ˆx ] + [ˆy , ˆx ] + [ˆz , ˆx ] l l2 l l2 l l2 lComo [ˆx , ˆx ] = 0 l2 l (276) [ˆ2 , ˆx ] = −iˆy ˆz − iˆz ˆy l l y l l l l (277) [ˆz , ˆx ] = iˆz ˆy + iˆy ˆz l2 l l l l l (278)segue que ˆ2 [l , ˆx ] = 0 lA dire¸˜o x n˜o tendo nenhum privil´gio, segue que: ca a e ˆ2 ˆ2 [l , ˆy ] = [l , ˆz ] = 0 , l l ˆ2Sendo assim, podemos construir autofun¸˜es comuns a l e uma das compo- co ˆnentes de l. Por causa da express˜o simples de ˆz em coordenadas esf´ricas, a l e ˆ2 ˆescolhemos o par l ,lz . 17 A regra de Dirac diz: sejam A(pi , qi ) e B(pi , qi ) duas quantidades f´ ısicas da mecˆnica acl´ssica, e seja {A, B} o produto de Poisson (parˆnteses de Poisson) delas. Ent˜o, se A e B a e a ˆ ˆs˜o os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecˆnica quˆntica, a a atemos a igualdade simb´lica: o ˆ ˆ [A, B] = −i¯ {A, B} hOu seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidadescl´ssicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por −i¯ . Exemplo: a h ˆ ˆ ˆ{La , Lb } = −ǫabc Lc . Logo, [La , Lb ] = i¯ ǫabc Lc . h 66
  • 67. 16 Autofun¸˜es do momento angular coPor raz˜es t´cnicas ´ conveniente introduzir os operadores n˜o-hermiteanos o e e a ˆ+ = lx + iˆy l l (279) ˆ− = ˆx − iˆy l l l (280)Seus principais comutadores s˜o: a ˆ2 [l , ˆ± ] = 0 l (281) [ˆz , ˆ+ ] = ˆ+ l l l (282) [ˆz , ˆ− ] = −ˆ− l l l (283)todas f´ceis de obter. Note-se ainda que a 2 ˆ+ ˆ− = ˆ − l2 + ˆz l l l ˆ l (284) z 2 ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz l l l lz l (285)16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento an- co gularAs autofun¸˜es de ˆz s˜o fun¸˜es ψ(φ) tais que co l a co ˆz ψ(φ) = lz ψ(φ) l (286)onde lz ´ um n´ mero. Omitimos aqui, por simplicidade, as outras vari´veis, e u ar e θ, de que a fun¸˜o ψ em geral depende porque s˜o irrelevantes para este ca aproblema. Como ˆz = −i ∂ l ∂φtemos, para a Eq.(286), ∂ψ −i = lz ψ (287) ∂φcuja solu¸˜o ´ ca e ψ(φ) = Keilz φ .Devemos ainda ter ψ(φ + 2nπ) = ψ(φ) 67
  • 68. o que exige que eilz 2nπ = 1ou seja, que lz seja um n´ mero inteiro. Vamos denot´-lo por m. Ent˜o, u a a ˆz eimφ = meimφ l (288)que ´ satisfeita para qualquer m inteiro, −∞ < m < ∞. Normalizando, etemos 1 ψm (φ) = √ exp (imφ) (289) 2π16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular to- co a tal e da componente zSeja ψ(φ) a autofun¸˜o de ˆz de autovalor m. Calculemos ca l ˆz ˆ+ ψm l l = (ˆz ˆ+ − ˆ+ ˆz + ˆ+ ˆz )ψm l l l l l l = [ˆz , ˆ+ ]ψm + l+ ˆz ψm l l ˆl = ˆ+ ψm + mˆ+ ψm l l = (m + 1)(l ˆ+ ψm )Logo, se ˆz ψm = mψm , ent˜o l a ˆ+ ψm = Kψm+1 lAnalogamente se mostra que ˆ− ψm = K ′ ψm−1 lAssim, usando os operadores ˆ+ e ˆ− , pode-se varrer todo o espectro do op- l l ˆz .erador l Considere o operador ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l − lz = lx + ly . ˆ eLema:Se O ´ hermiteano, ˆ O2 ≥ 0 (290)para qualquer estado.Demonstra¸˜o: ca ∗ ˆ dqψ ∗ (q)O 2ψ(q) = ˆ dq Oψ(q) ˆ Oψ(q) = ˆ dq|Oψ(q)|2 ≥ 0 68
  • 69. Em particular, segue que ˆx + ˆy ≥ 0, logo, l2 l2 ˆ2 ˆ2 l − lz ≥ 0 (291) ˆ2A constru¸˜o das autofun¸˜es de l ´ facilitada pelo fato de que a express˜o ca co e a ˆ2de l ´ um operador diferencial familiar ` f´ e a ısica cl´ssica. De fato, um c´lculo a adireto leva a ˆ± = exp (±iφ) ± ∂ + i cot θ ∂ l (292) ∂θ ∂φe, como ˆ2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆ2 − ˆz l lzobt´m-se e ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂ l =− 2 2 + (sin θ ) (293) sin θ ∂φ sin θ ∂θ ∂θAcontece que o laplaceano em coordenadas esf´ricas ´ e e 1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂ ∇2 = r2 + 2 + (sin θ ) (294) r2 ∂r ∂r sin θ ∂φ 2 sin θ ∂θ ∂θou seja, ˆ2 1 ∂ ∂ l ∇2 = 2 r2 − 2 (295) r ∂r ∂r rOs f´ ısicos do s´culo XIX resolveram o problema de determinar as autofun¸˜es e co ˆ2 18de l : essas fun¸˜es s˜o os harmˆnicos esf´ricos, Ylm (θ, φ), que satisfazem co a o eas equa¸˜es de autovalores co ˆ2 l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ) (296) ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ) l (297)Os harmˆnicos esf´ricos s˜o muito bem conhecidos. Para um estudo de- o e ales no contexto cl´ssico as minhas referˆncias preferidas s˜o Courant [6] e a e aSommerfeld [9]. Nessas notas, usando t´cnicas que introduziremos a seguir, econstruiremos explicitamente os Ylm . Para o momento ´ suficiente informar eque Ylm (θ, φ) = K P l m (θ) exp (imφ) 18 Naturalmente eles n˜o sabiam mecˆnica quˆntica, mas estudavam vibra¸˜es de corpos a a a coel´sticos.Um dos problemas dessa ´rea, por exemplo, ´ a determina¸˜o das frequˆncias que a a e ca eum tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores: as freq¨ˆncias emitidas s˜o as autofreq¨ˆncias. ue a ue 69
  • 70. ou seja, ´ o produto de uma fun¸˜o de θ por uma autofun¸˜o de ˆz . e ca ca l ca co ˆz s˜o as fun¸˜es exp (imφ) Uma observa¸˜o importante: as autofun¸˜es de l a co ˆ2para qualquer inteiro m. Quando construirmos as autofun¸˜es comuns a l coe ˆz , veremos que m sofrer´ mais restri¸˜es. De fato, como temos l a co ˆ2 ˆ2 l − lz ≥ 0segue que ˆ2 dqYlm (q) l − ˆz Ylm (q) = l(l + 1) − m2 ∗ l2 dqYlm (q)Ylm(q) = l(l + 1) − m2 ≥ 0 ∗ (298)Portanto, dado l, m n˜o pode ser qualquer inteiro. O maior valor permitido a´ tal quee l(l + 1) ≥ m2Vˆ-se imediatamente que m = l ´ permitido, mas m = l + 1 ´ proibido. Logo, e e eo m´ximo valor permitido de m para as autofun¸˜es Ylm (q) ´ m = l. Um a co eargumento an’alogo mostra que o menor ´ m = −l. Resumindo, e −l ≤ m ≤ lNeste intervalo, ˆ2 l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm (θ, φ) (299) ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ) l (300)Assim, para cada l h´ 2l + 1 valores distintos de m. a16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos ca o eChamaremos de operadores vetoriais operadores do tipo ˆ ˆ ˆ ˆ T = Tx i + Ty j + Tz ke que satisfazem as seguintes rela¸˜es de comuta¸˜o com as componentes do co camomento angular: [ˆa , Tb ] = iǫabc Tc l ˆ ˆ (301)onde a costumeira conven¸˜o indica uma soma sobre os valores do ´ ca ındice c, ˆ (1) e T (2) dois operadores desse tipo,e, sendo T ˆ (1) (2) [ˆi , Tj Tj ] = 0 l ˆ ˆ (302) 70
  • 71. ˆ ˆ ˆ aExemplos: r , p e L s˜o, todos, operadores vetoriais. Das rela¸˜es acima segue, em particular, que, para qualquer operador co ˆvetorial T , [ˆi , Tj Tj ] = 0 l ˆ ˆ (303) ˆ Seja T um operador vetorial. Ser´ util introduzir um “operador escada”, a´da seguinte forma: ˆ ˆ ˆ T + = Tx + iTy (304)Facilmente se verifica que [ˆz , T+ ] = T+ l ˆ ˆ (305)bem como [ˆx , T+ ] = −Tz l ˆ ˆ (306) [ˆy , T+ ] = −iTz l ˆ ˆ (307) ˆ2 ˆVamos agora calcular o comutador [l , T+ ]. Lembrando que ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lze usando as rela¸˜es acima, temos, ap´s um pouco de paciˆncia, co o e ˆ2 ˆ [l , T+ ] = 2[T+ ˆz − Tz ˆ+ ] + 2T+ ˆ l ˆl ˆ (308) ˆ2Sejam Ylm as autofun¸˜es de l e, em particular, seja Yll aquela com m´ximo co avalor de m, para um dado l. Vamos mostrar que ˆ T+ Yll = KYl+1,l+1 (309)onde K ´ uma constante. e De fato, ˆ2 l Yll = l(l + 1)Yll (310) 2 ˆ ˆ ˆ T+ (l Yll ) = l(l + 1)T+ Yll (311) 2 ˆ ˆOra, o operador T+ l pode ser escrito assim: 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ2 ˆ T+ l = T+ l − l T+ + l T+ = [T+ , l ] + l T+ (312)Logo,a Eq.(311) pode ser escrita 2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ [T+ , l ]Yll + l (T+ Yll ) = l(l + 1)Yll (313) 71
  • 72. Usando a Eq.(308), ˆ2 ˆ 2Tz l+ Yll − 2T+ˆz Yll − 2T+ Yll + L (T+ Yll ) = l(l + 1)(T+ Yll ) ˆˆ ˆ l ˆ ˆ (314)Como ˆ+ Yll = 0, obtemos sem dificuldade que l ˆ2 ˆ ˆ l (T+ Yll ) = (l(l + 1) + 2l + 2) (T+ Yll ) (315)ou, finalmente, ˆ2 ˆ ˆ l (T+ Yll ) = (l + 1)(l + 2)(T+ Yll (316) 2 ˆ ˆque significa que T+ Yll ´ autofun¸ao de l de autovalor (l + 1)(l + 2). Logo, e c˜ ˆ T+ Yll = KYl+1,l+1 (317)Este resultado mostra que, se determinarmos Y00 , seremos capazes de construir Yll paraqualquer l, sem ter de resolver equa¸˜es diferenciais. co Para determinar Y00 (θ, φ) note-se que ˆz Y00 (θ, φ) = 0 l (318)e ˆ− Y00 = 0 l ˆ l+ Y00 = 0Da´ segue facilmente que ı ˆx Y00 = 0 l (319) ˆy Y00 = 0 l (320)Dessas duas e da Eq.(318), segue que i 1 + ǫ¯ ˆj Y00 = Y00 hl (321) h ¯para j = 1, 2, 3. Isto quer dizer que Y00 ´ invariante por rota¸˜es infinitesi- e comais em torno dos eixos x, y, z, ou seja, ´ invariante por qualquer rota¸˜o e cainfinitesimal. Logo, ´ esfericamente sim´trica, n˜o podendo depender de θ e e aou φ. Mas essas s˜o as suas unicas vari´veis. Portanto, Y00 ´ constante. A a ´ a emenos de normaliza¸˜o , podemos ent˜o tomar ca a Y00 = 1Considere o operador vetorial ˆ e vamos construir o operador T+ associado r, ˆa ele, que seria o operador ˆ+ = x + iˆ r ˆ y 72
  • 73. Como os operadores x e y s˜o multiplicativos, vamos cometer um ligeiro ˆ ˆ aabuso de nota¸˜o, omitindo a “casinha”(acento circunflexo, vers˜o chinesa). ca aAssim, escreveremos, sem a menor cerimˆnia, o r+ = x + iydeixando claro que se trata de operadores. J´ que estamos com a m˜o na a a r ˆ+ associadomassa, vamos estudar, em lugar de r, o operador r . O operador Ta ele ´ e ˆ x + iy T+ = (322) rTemos, ent˜o, a x + iy x + iy x + iy .Y00 = .1 = = KY11 (θ, φ) (323) r r rou seja, x + iy Y11 (θ, φ) = cte. × = cte. × (sin θ cos φ + i sin θ sin φ) (324) rou ainda, Y11 (θ, φ) = cte. × sin θ exp (iφ) (325)De uma maneira geral, teremos: l x + iy Yll (θ, φ) = K (326) rPara obter Ylm ˆ basta fazer uso do operador l− . x + iy l l−m Ylm (θ, φ) = K ˆ− l (327) rA determina¸˜o de K ´ feita pela normaliza¸˜o dos Ylm , ca e ca 2π π dφ sin θdθ|Ylm(θ, φ) = 1 (328) 0 0Toma-se usualmente K real, o que fornece a seguinte tabela de harmˆnicos oesf´ricos: e 1 Y00 (θ, φ) = √ 4π 1 3 2 Y1,±1 = ∓ sin θe±iφ 8π 1 3 2 Y1,0 = cos θ (329) 4πe assim por diante. 73
  • 74. 16.3 Exerc´ ıcios1. Prove que [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B i2. Prove que, se [H, li ] = 0 ent˜o [H, exp ¯ θ¯ li ] = 0, com li i = 1, 2, 3 sendo a h has componentes do operador de momento angular. De fato, o resultado valepara qualquer operador que comute com o hamiltoniano H, e, portanto, parao pr´prio H. Enuncie e comente este ultimo caso. Mais precisamente, mostre o ´que ´ sempre verdade que [H, e ˆ exp − i Ht] = 0. ˆ h ¯3. Mostre que o operador ˆ + ¯ ∆θ¯ ˆi “roda” o sistema de um ˆngulo in- 1 h hli afinitesimal ∆θ em torno do eixo i. A generaliza¸˜o para ˆngulos θ arbitr´rios ca a a´ exp ¯ θ¯ ˆi . Seja U(θ) = exp ¯ θ¯ ˆi . Vimos no exerc´e h i hl i h hl ıcio anterior que, se[H, li ] = 0, ent˜o [H, U(θ)] = 0. Seja ψ tal que Hψ = Eψ,e considere aψ ′ = U(θ)ψ. Mostre que Hψ ′ = Eψ ′ , com o mesmo E anterior. Chegue auma conclus˜o an´loga usando o ultimo resultado do exerc´ 2. a a ´ ıcio4. Mostre que se a energia potencial de um sistema ´ V (r), independente de eθ e φ, ent˜o [H, li ] = 0, para i = 1, 2, 3. a5. Mostramos no curso que 1 m|lx | m − 1 = m − 1|lx |m = (l + m)(l − m + 1) 2 i m|ly |m − 1 = − m − 1|ly |m = − (l + m)(l − m + 1) 2que, trocado em mi´ dos, quer dizer que u 2π π ∗ 1 dφ dθ sin θYlm lx Yl,m−1(θ, φ) = (l + m)(l − m + 1) 0 0 2(a) Escreva os demais elementos de matriz dessa forma.(b)Considere o harmˆnico esf´rico Ylm (θ, φ = π/2). Temos o e i exp ∆θ¯ lx Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ + ∆θ, π/2) h h ¯ iPor outro lado, exp h ¯ ∆θ¯ lx h = 1 + iδθlx e, usando os elementos de matrizacima, ∆θ(1 + i∆θlx )Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1 (θ, π/2) 2 ∆θ + i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2) 2Logo, ∆θYlm (θ + ∆θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1(θ, π/2) 2 ∆θ + i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2) 2 74
  • 75. Verifique cuidadosamente o argumento acima (o professor j´ est´ meio velho...) a ae depois teste-o no caso particular l=1. Neste caso os harmˆnicos esf´ricos o es˜o: a 1/2 3 Y1,0 = cos θ 4π 1/2 3 Y1,±1 = ∓ sin θe±iφ 8π17 Potenciais com simetria centralChamam-se assim os potenciais que, expressos em coordenadas esf´ricas, s˜o e afun¸˜es apenas da vari´vel radial r. O caso mais importante, naturalmente, co a´ o do ´tomo de Hidrogˆnio. Vamos tratar primeiramente o caso geral.e a e h2 2 ¯ − ∇ ψ(r, θ, φ) + V (r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) (330) 2m´ a equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios de uma part´e ca o a ıcula demassa m cuja energia potencial depende apenas da distˆncia ` origem. Uti- a alizando coordenadas esf´ricas, temos e ˆ2 1 ∂ ∂ l ∇2 = 2 r2 − 2 (331) r ∂r ∂r ronde ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂ l =− 2 + (sin θ ) (332) sin θ ∂φ2 sin θ ∂θ ∂θ´ o operador de momento angular total (veja Eq.(294) e anteriores).e Vamos procurar solu¸˜es da Eq.(331) que sejam da forma co ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) ˆ2Como l Ylm = l(l + 1)Ylm, tem-se h2 1 ¯ d dR R(r) − Y (θ, φ) 2 lm r2 − 2 l(l + 1)Ylm (θ, φ) + 2m r dr dr r +V (r)R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ) (333)Cancelando Ylm , h2 1 d ¯ dR h2 l(l + 1) ¯ − 2 dr r2 + R(r) + V (r)R(r) = ER(r) (334) 2m r dr 2mr 2 75
  • 76. Introduzimos agora a fun¸˜o ca u(r) = rR(r)satisfazendo u(0) = 0. Reescrevendo a Eq.(334) em termos de u(r), obt´m-se e h2 d2 u ¯ h2 l(l + 1) ¯ − 2 + + V (r) u(r) = Eu(r) (335) 2m dr 2mr 2Esta ´ a chamada equa¸˜o radial de Schr¨dinger, e cont´m toda a dinˆmica. e ca o e aLembrando a condi¸˜o u(0) = 0, decorrˆncia de que u(r) = rR(r) com ca eR(r) regular na origem (os casos interessantes fisicamente n˜o s˜o aqueles a aem que a part´ ıcula tem probabilidade zero de estar em qualquer lugar quen˜o a origem!), podemos interpretar a equa¸˜o acima como uma equa¸˜o de a ca caSchr¨dinger de um movimento unidimensional sujeito aos seguintes “poten- ociais”:(a) Uma parede impenetr´vel em r = 0, que impede a passagem da apart´ıcula para valores negativos de r. (b) Um potencial do tipo r12 repulsivo,chamado de potencial centr´ ıfugo. (c) O verdadeiro potencial, V (r).O potencial centr´ ıfugo vem do fato de que a elimina¸˜o das vari´veis θ e φ, ´ ca a eformalmente eq¨ ivalente a colocar-se em um sistema de referˆncia que “gira” u ecom o sistema f´ ısico, ou seja, em um sistema n˜o-inercial. Surgem, ent˜o, as a achamadas for¸as de in´rcia, das quais a for¸a centr´ c e c ıfuga ´ a mais popular.19 e18 O ´tomo de Hidrogˆnio a eO n´ cleo do ´tomo de hidrogˆnio ´ cerca de 2000 vezes mais pesado do que u a e eum el´tron. Por isso se pode ignorar o movimento do n´ cleo e descrever e uo ´tomo simplesmente como um el´tron movendo-se com energia potencial a e 2V (r) = − Ze . A Eq.(335) ´ ent˜o escrita r e a h 2 d2 u ¯ h2 l(l + 1) Ze2 ¯ − 2 + − u(r) = Eu(r) (336) 2m dr 2mr 2 r Note-se que esta equa¸˜o descreve mais do que o ´tomo de hidrogˆnio: a ca a eintera¸˜o de um el´tron com um campo coulombiano possui tamb´m casos ca e eem que o el´tron n˜o permanece nas proximidades do n´ cleo, mas afasta-se e a uindefinidamente dele: trata-se do espalhamento de um el´tron por um campo ecoulombiano. Aqui vamos estudar apenas os estados ligados do el´tron: aque- eles em que ele est´ preso ao n´ cleo, formando um ´tomo. O que caracteriza a u a 19 O leitor dedicado gostar´ de investigar por que n˜o aparece tamb´m um potencial a a ecorrespondente `s for¸as de Coriolis. a c 76
  • 77. esses estados, na Eq.(336), ´ que eles possuem energia negativa. Portanto, eestudaremos as solu¸˜es do problema de autovalores dado pela Eq.(336), com coE < 0, e, portanto, E = −|E|. ´ E conveniente introduzir vari´veis adimensionais. Substituiremos r por a 8m|E| ρ= r (337) h ¯e a energia , ou, antes, o seu inverso, por m Ze2 λ= (338) 2|E| h ¯Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que, efetivamente, ρ e λ s˜o quanti- adades adimensionais. Verifica-se facilmente que d2 u 8m|E| d2 u = dr 2 h2 dρ2 ¯e que a Eq.(336) pode ser reescrita como d2 u l(l + 1) Ze2 m 1 − + u− u=− u (339) dρ2 ρ2 h ¯ 2|E| 4ou, finalmente, d2 u l(l + 1) λ 1 2 − 2 u+ − u=0 (340) dρ ρ ρ 4Resolver este problema de autovalores consiste em determinar os pares (u, λ)submetidos ` condi¸˜o de que a ca lim u(r) = 0 r→∞que corresponde ao fato de que o ´tomo tem dimens˜es finitas. a o Para resolver este problema utilizaremos uma t´cnica devida a Sommer- efeld. Em primeiro lugar, estudaremos que tipos de comportamento assint´tico, opara ρ grande, as solu¸˜es de Eq.(340) podem ter. Note-se que a equa¸˜o co ca d2 u 1 − u=0 (341) dρ2 4coincide com a Eq.(340) para grandes valores de ρ. Podemos, portanto, afir-mar que as solu¸˜es de Eq.(341) devem coincidir com o limite, para grandes coρ, das solu¸˜es da Eq.(340). co 77
  • 78. 18.1 Determinando o comportamento assint´tico oConsidere a equa¸˜o ca d2 u 1 − u=0 (342) dρ2 4 due vamos multiplicar cada um de seus termos por dρ , obtendo du d2 u 1 du 2 = u dρ dρ 4 dρO leitor verificar´ facilmente que esta equa¸˜o ´ a mesma que a ca e 2 d du 1 d 2 = u (343) dρ dρ 4 dρou   2 d  du u2  − =0 (344) dρ  dρ 4Portanto, 2 du u2 − =K dρ 4onde K ´ uma constante. Mas tanto u quanto as suas derivadas tendem ea zero no infinito. Logo, a constante K deve ser nula, pois, calculada noinfinito ´ nula, e tem o mesmo valor em todos os pontos. Conseq¨ entemente, e u 2 du u2 = (345) dρ 4e du u =± (346) dρ 2As solu¸˜es dessas equa¸˜es s˜o co co a ρ u(ρ) = exp ± (347) 2das quais a que satisfaz os requisitos f´ ısicos de se anular no infinito ´ e ρ u(ρ) = exp − (348) 2Este ´, ent˜o, o comportamento assint´tico que as solu¸˜es da Eq.(340) de- e a o covem ter. 78
  • 79. 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial co caVamos ent˜o procurar solu¸˜es da Eq.(340) da forma a co ρ u(ρ) = F (ρ) exp − , (349) 2F (ρ) sendo um polinˆmio em ρ. A raz˜o de ser um polinˆmio ´ que o com- o a o eportamento assint´tico de (349) deve ainda ser dado pelo termo exponencial, oo que ´ garantido se F (ρ) for um polinˆmio. Uma an´lise mais fina mostraria e o aque, se se admitisse que F (ρ) fosse uma s´rie infinita, sua soma seria essen- ecialmente uma exponencial em ρ, alterando o comportamento assint´tico.20 o Seja F (ρ) uma express˜o da forma a ∞ F (ρ) = Ak ρk , (350) k=1onde a potˆncia mais baixa ´ a primeira para assegurar que e e F (0) = 0 .Derivando termo a termo, temos ∞ dF = kAk ρk−1 dρ k=1 2 ∞ dF = k(k − 1)Ak ρk−2 dρ2 k=1Inserindo estas express˜es na Eq.(350), temos o ∞ λ l(l + 1) k(k − 1)Ak ρk−2 − kAk ρk−1 + − Ak ρk =0 (351) k=1 ρ ρ2O coeficiente da potˆncia k de ρ ´ dado por e e (k + 2)(k + 1)Ak+2 − (k + 1)Ak+1 + λAk+1 − l(l + 1)Ak+2 = 0 (352)para que a equa¸˜o diferencial seja satisfeita termo a termo. Diminuindo o cavalorde k de uma unidade, temos uma rela¸˜o mais conveniente: ca Ak+1 [(k + 1)k − l(l + 1)] = (k − λ)Ak (353) 20 Ver, por exemplo, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics, p´gina 161. a 79
  • 80. ou, equivalentemente, Ak+1 k−λ = para k ≥ 2 (354) Ak (k + 1)k − l(l + 1)Para os ´ ındices mais baixos temos as equa¸˜es co A1 l(l + 1) = 0 (355) [2 − l(l + 1)] A2 + (λ − 1)A1 = 0 (356)A equa¸˜o (354) ´ muito importante. Dela vemos que, para que a s´rie se ca e einterrompa em algum ponto, tornando-se um polinˆmio, devemos ter que oλ = k. Ora, os k s˜o inteiros, logo, a condi¸˜o para que a s´rie se interrompa a ca e´ que exista um inteiro n tal quee λ=n (357)Como m Ze2 λ= =n 2|E| h ¯temos Z 2 e4 m 1 |E| = (358) 2¯ 2 n2 hou, eq¨ ivalentemente, u Z 2 e4 m 1 En = − , (359) 2¯ 2 n2 hque ´ a f´rmula de Bohr! Voltando ao c´lculo das autofun¸˜es, al´m da e o a co econdi¸˜o λ = n, devemos ter que λ = l, de outra forma, na equa¸˜o (354), o ca cadenominador se anularia ao mesmo tempo que o numerador, n˜o garantindo ao anulamento do coeficiente Ak+1 . Portanto devemos ter l = n. Vamos construir as primeiras solu¸˜es. Tomemos λ = n = 1 A este valor cocorresponde a energia Z 2 e4 m E=− 2¯ 2 hque ´ a energia do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio (o de energia e a emais baixa). Para este valor de λ podemos ter l = 0, mas n˜o l = 1. Ent˜o, a adas equa¸˜es co A1 l(l + 1) = 0 [2 − l(l + 1)] A2 = (λ − 1)A1 80
  • 81. temos Que A1 ´ indeterminado, e A2 = 0, assim como os coeficientes de e´ındice mais alto. Temos ent˜o, para a solu¸˜o, a ca F (ρ) = A1 ρ (360)e ρ R(ρ) = A1 exp − (361) 2 Em termos de r, usando 8m|E| ρ= r h ¯e introduzindo h2 ¯ a0 = , me2denominado raio de Bohr, obtemos, ap´s c´lculos simples, o a 2Zr ρ= na0Para o estado fundamental, temos, ent˜o, a Zr R1 (r) = A1 exp − (362) a0que ´ tamb´m a fun¸˜o completa, pois Y00 ´ constante. e e ca e Para λ = n = 2 temos as possibilidades l = 0 e l = 1. Para o primeirocaso, temos, novamente, A1 indeterminado. Para A2 , usamos a equa¸˜o ca(353), que d´ a 1−2 A2 = A1 1.2ou seja, 1 A2 = − A1 2A solu¸˜o ent˜o ´ ca a e ρ2 F (ρ) = A1 ρ − (363) 2e ρ ρ R(ρ) = A1 1 − exp − (364) 2 2Expressando em termos de r, obtemos Zr Zr ψ200 = A1 1 − exp − (365) 2a0 2a0 81
  • 82. onde usamos a nota¸˜o tradicional para os autoestados do atomo de hidrogˆnio: ca ´ eψnlm (r, θ, φ). O leitor, neste ponto, deveria ser capaz de mostrar que Zr Zr ψ20m = A2 exp (− ) Y0 0 (θ, φ) (366) a0 2a0No segundo caso, l = 1,vemos, da Eq.(355), que A1 = 0enquanto A2 ´ indeterminado. A3 = 0, assim como os ´ e ındices mais altos.Logo, F (ρ) = A2 ρ2A express˜o em termos de r vem a ser a 1 Zr Zr R21 (r) = K √ exp (− ) (367) 3 a0 2a0Como vimos, a fun¸˜o radial fica definida quando se d˜o os valores de n e ca al. Por isso ela ´ denotada por Rnl (r). Para o caso de l = 1 a dependˆncia e eangular n˜o ´ trivial, pois temos a e ψnlm (r, θ, φ) = KRnl (r)Ylm(θ, φ) (368)que, nesse caso d´ a 1 Zr Zr ψ21m (r, θ, φ) = K √ exp (− )Y1m (θ, φ) (369) 3 a0 2a0com m podendo tomar os valores 1, 0, e -1. Note que a energia fica totalmente determinada por n. Ent˜o, exceto pelo aestado fundamental, a cada n´ de energia correspondem mais de um estado ıveldo sistema. O espectro ´ dito degenerado (no bom sentido!). Considere, por eexemplo, o n´ de energia com n = 2. Podemos ter l = 0, que d´ um unico ıvel a ´estado, ou l = 1, que admite 3 valores de m. No total, ent˜o, h´ 4 estados a aneste n´ ´ a ıvel de energia . Diz-se que o grau de degenerescˆncia ´ 4. E f´cil e e 2provar que o grau de degenerescˆncia do n´ n ´ n . O numero quˆntico n e ıvel e a´ denominado n´mero quˆntico principal.e u a A seguir apresentamos uma lista das partes radiais de algumas fun¸˜es code onda do ´tomo de hidrogˆnio. a e 82
  • 83. 3 Z 2 Zr R10 (r) = 2 exp − (370) a0 a0 3 Z 2 1 Zr 1 Zr R20 (r) = 2 1− exp − (371) 2a0 2 a0 2 a0 3 Z 2 1 Zr 1 Zr R21 (r) = √ exp − (372) 2a0 3 a0 2 a0 3 2 Z 2 2 Zr 2 Zr 1 Zr R30 (r) = 2 1− + exp − (373) 3a0 3 a0 27 a0 3 a0 3 √ Z 2 4 2 Zr 1 Zr 1 Zr R31 (r) = 1− exp − (374) 3a0 3 a0 6 a0 3 a0 3 √ 2 Z 2 2 2 Zr 1 Zr R32 (r) = √ exp − (375) 3a0 27 5 a0 3 a018.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a eAt´ agora escrevemos as fun¸˜es de onda assim: e co ψnlm (r, θ, φ) = KRnl (r)Ylm(θ, φ)Como determinar a constante K? Uma vez que os harmˆnicos esf´ricos s˜o o e anormalizados por conta pr´pria, pois o 2π π dφ sin θ dθ|Ylm (θ, φ)|2 = 1 0 0devemos ter ∞ π 2π ∞ r 2 dr sin θdθ dφ|ψnlm (r, θ, φ)|2 = |K|2 r 2 dr|Rnl (r)|2 = 1 0 0 0 0 (376)Exemplo: para o estado ψ100 , ∞ 2Zr |K|2 drr 2 exp − =1 0 a0Usando ∞ 2Zr a3 drr 2 exp − = 03 0 a0 4Zobtemos 3 Z 2 Zr R10 (r) = 2 exp − a0 a0 83
  • 84. confirmando o valor da tabela. De posse da express˜o detalhada da fun¸˜o de onda, podemos fazer per- a caguntas interessantes. Qual ´ a probabilidade de o el´tron estar, no estado e efundamental do ´tomo de hidrogˆnio, entre r e r + dr? Ela ´ dada por a e e 3 Z 2Zr 2 P (r)dr = 4 exp − r dr (377) a0 a0Para que valor de r a probabilidade ´ m´xima (para idˆnticos dr)? No ponto e a ede m´ximo, teremos a dP (r) 2Zr 2Z 2Zr = 2r exp − − r2 exp − =0 dr a0 a0 a0ou rZ 1− =0 . a0Logo, para o ´tomo de hidrogˆnio (Z = 1), temos que a probabilidade a em´xima ´ para r = a0 , o raio de Bohr!21 a e Vamos calcular agora a velocidade m´dia do el´tron no estado fundamen- e etal. px ˆ 2π π ∞ px ˆ = dφ sin θdθ r 2 drψ100 (r, θ, φ) ψ100 (r, θ, φ) (378) m 0 0 0 m ˆ h∂Usando px = −i¯ ∂x e Y00 (θ, φ) = √1 , 4π obtemos 4 px ˆ 8i¯ Z h ∞ 2Zr 2π π = drr 2 exp − dφ cos φ dθ sin2 θ (379) m 4πm a0 0 a0 0 0onde usamos x = r sin θ cos φ. Como 2π dφ cos φ = 0 0temos que o valor m´dio da componente x da velocidade do el´tron no estado e efundamental ´ 0. Como o estado ´ esfericamente sim´trico, o mesmo resultado e e edeve valer para as outras componentes. Logo, p ˆ =0 m 21 Exerc´ ıcio: no modˆlo pr´-quˆntico de Bohr, das ´rbitas de momento angular L = n¯ , e e a o hdetermine o raio da menor ´rbita estacion´ria. Vocˆ dever´ encontrar a0 , o raio de Bohr. o a e a 84
  • 85. Isto posto, podemos dizer que e el´tron est´ em repouso, no estado fundamen- e atal? Certamente n˜o! Em qualquer modˆlo cl´ssico com ´rbita circular (qual- a e a oquer ´rbita fechada, de fato) o el´tron est´ em movimento e sua velocidade o e am´dia ´ zero. Para obter mais informa¸˜es sobre o que o el´tron faz no estado e e co efundamental do ´tomo de hidrogˆnio, vamos calcular sua energia cin´tica a e em´dia. Ela ´ dada por: e e p2 h2 ¯ =− dqψ100 (q)∇2 ψ100 (q) = (380) 2m 2m ˆ2   2 h ¯ ∞ 2π π 1 ∂ ∂ l =− drr 2 R10 (r) dφ sin θdθY00 (θ, φ)  r2 − 2  R10 (r)  2m 0 0 0 r 2 ∂r ∂r r (381) h2 ¯ ∞ d dR10 = − drR10 (r) r2 2m 0 dr dr 2 4 h ¯ Z ∞ Zr Zr Z Zr = 4 dr exp − 2r exp − − r 2 exp − 2m a0 0 a0 a0 a0 a0 h2 ¯ Z 4 ∞ 2Zr Z ∞ 2Zr = 4 2 drr exp − − drr 2 exp − 2m a0 0 a0 a0 0 a0Usando as integrais ∞ 2Zr a3 0 drr 2 exp − = 0 a0 4Z 3e ∞ 2Zr a2 0 drr exp − = 0 a0 4Z 2obtemos o resultado, para Z = 1, p2 h2 ¯ = (382) 2m 2ma20 Logo, o el´tron n˜o est´ parado. E nem poderia: se tivesse momento e a aperfeitamente definido (no caso, nulo), sua posi¸˜o teria de ser totalmente caindefinida, pelo princ´ıpio da incerteza. Como a incerteza na posi¸˜o ´ da ca eordem de a0 e, da Eq.(382), vemos que a incerteza no momento ´ da ordem e h ¯de a0 , vemos que o produto das incerteza ´ da ordem de h. Ou seja, o e ¯el´tron tem o m´ e ınimo movimento exigido pelo princ´ ıpio de incerteza. Est´ at˜o parado quanto ´ poss´ a e ıvel! 85
  • 86. 18.4 Exerc´ ıcios1. Os estados estacion´rios do ´tomo de Hidrogˆnio s˜o denotados por a a e aψnlm (r, θ, φ). A seguinte superposi¸˜o: ca ψ(r, θ, φ) = a1 ψn1 l1 m1 (r, θ, φ) + a2 ψn2 l2 ,m2 (r, θ, φ)com n1 = n2 , l1 = l2 , m1 = m2 , ´ um estado do Hidrogˆnio, que n˜o ´ um e e a e 2 ˆestado estacion´rio, e n˜o ´ autofun¸˜o nem de l nem de ˆz . Dentro deste a a e ca lestilo, construa 2 e ca ˆ ˆ(a) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultanea de H e l , masn˜o de ˆz . a l(b) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultˆnea de H e ˆz , mas e ca a ˆ l 2 ˆn˜o de l . a2. Uma part´ ıcula livre executa movimento unidimensional ao longo do eixox, e sua fun¸˜o de onda em t = 0 ´ ca e 2 Ψ(x, 0) = Ae−ax eilxonde l ´ uma constante real. Determine Ψ(x, t). e3.(a) Um sistema f´ ısico ´ descrito por um hamiltoniano e ˆ p2 ˆ H= + O2 2monde O ´ hermiteano. Mostre que ˆ ´ hermiteano, e que se um operador ´ ˆ e pe ehermiteano, seu quadrado tamb´m ´. Finalmente, mostre que os autovalores e eda energia do sistema s˜o positivos ou nulos. a ´(b) E poss´ ıvel um operador ser ao mesmo tempo unit´rio e hermiteano? aExemplo! ˆˆ ˆ ˆ(c) Demonstre que (AB)+ = B + A+ .(d) Demonstre que, se A ˆ e B s˜o hermiteanos, 1 [A, B] tamb´m ´. ˆ a ˆ ˆ e e i ˆ ˆ d ˆ ˆ(e) Sejam dt e dt nulos. Mostre que dt [O, B] = ˆ onde ˆ o operador “zero”, dO dB 0, 0,´ tal que, qualquer que seja a fun¸˜o de onda ψ(r),e ca ˆ =0 0ψSugest˜o: identidade de Jacobi. a 86
  • 87. 4.(a) Determine r e r 2 para o el´tron no estado fundamental do ´tomo de e ahidrogˆnio. Expresse suas respostas em termos do raio de Bohr a0 . Deter- emine tamb´m a0 , que ´ o raio da “´rbita de Bohr” do estado de mais baixa e e oenergia , no modelo de Bohr.(b)Determine x e x2 no estado fundamental sem calcular mais integrais,usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental.(c) Determine x2 no estado (n, l, m) = (2, 1, 1). Note que este estado n˜o a´ sim´trico em x, y, z.e e5. Qual ´ a probabilidade P de que um el´tron no estado fundamental do e e´tomo de hidrogˆnio seja encontrado dentro do n´cleo?a e u(a)Primeiro calcule a resposta exata. Denote o raio do n´ cleo por b. u(b) Expanda o seu resultado como uma s´rie de potˆncias no n´ mero pequeno e e u 2bǫ = a0 , e mostre que o termo de ordem mais baixa ´ c´ bico: P ≈ (4/3)(b/a0 )3 . e uEste termo deveria j´ ser uma boa aproxima¸˜o, pois b ≪ a0 . a ca(c) Alternativamente, poder´ ıamos pensar que a fun¸˜o de onda do el´tron ´ ca e eessencialmente constante sobre o pequeno volume do n´ cleo, de modo que u 3 2P ≈ (4/3)πb |ψ(0)| . Verifique que o resultado ´ efetivamente bom. e(d) Use b ≈ 10−13 cm e a0 ≈ 0.5 × 10−8 cm para uma estimativa num´rica ede P . Grosso modo, isto representa a fra¸˜o do tempo em que o el´tron se ca eencontra dentro do n´ cleo. u6. Estime, a partir do princ´ ıpio de incerteza, quanto tempo um l´pis pode aficar em equil´ ıbrio vertical sobre a sua ponta.7. Uma bola perfeitamente el´stica, localizada entre duas paredes parale- alas, move-se perpendicularmente a elas, sendo refletida de uma para outra.Perfeitamente el´stica quer dizer que a energia cin´tica n˜o se altera.. Us- a e aando a mecˆnica cl´ssica, calcule a varia¸˜o da energia da bola se as paredes a a capassam a se aproximar, lenta e uniformemente, uma da outra. Mostre queesta varia¸˜o de energia ´ exatamente o que se obt´m na mecˆnica quˆntica ca e e a ase o n´ mero quˆntico principal n da bola permanece constante. u a19 A nota¸˜o de Dirac caNeste nosso tratamento elementar de mecˆnica quˆntica, consideraremos o a asimbolismo introduzido por Dirac, que tem um significado matem´tico n˜o- a atrivial, como uma nota¸˜o. Para fazer total justi¸a ao m´todo, o leitor faria ca c ebem em consultar a obra original de Dirac [1] . Para uma apresenta¸˜o mais caadaptada ` linguagem matem´tica contemporˆnea, veja [2]. a a a 87
  • 88. Um vetor do espa¸o dos estados ´ descrito por um s´ c e ımbolo | , que sepronuncia ket . Um elemento do dual desse espa¸o ´ denotado por |, e c edenominado bra. O produto escalar dos estados |a e |b ´ denotado por e b|a , e se trata de um bra(c)ket , justificando os nomes. ˆ Seja O um operador. Denotaremos por |o seus autoestados, de modoque ˆ O|o = o|oonde os n´ meros o s˜o os autovalores . u aOs autoestados do operador de posi¸˜o ca ˆ ˆ x = xi + y j + z k ˆ ˆs˜o denotados por |x . O s´ a ımbolo x|o descreve o estado |o na representa¸˜o cadas coordenadas: x|o = ψo (x)Alguns exemplos: ˆO hamiltoniano H tem seus autoestados, |n , e autovalores , En , ligados pela rela¸˜o ca ˆ H|n = En |nA condi¸˜o de ortonormalidade desses autoestados ´ escrita ca e n′ |n = δnn′ ˆ2Os autoestados comuns a l e ˆz s˜o denotados por |lm , e as seguintes equa¸˜es s˜o l a co asatisfeitas: ˆ2 l |lm = l(l + 1)|lm ˆz |lm l = m|lmSeja uma base do espa¸o dos estados formada pelos kets |n , |n′ , |n′′ , c ˆ ˆetc. e seja O um operador. Ent˜o, os elementos de matriz de O nessa base aser˜o os n´ meros complexos a u ˆ n′ |O|nNote-se que: a|b = ( b|a )∗ ˆ a|O|b ˆ = ( b|O + |a )∗Muito importante na nota¸˜o de Dirac ´ uma classe de operadores que se ca eescrevem assim: |a b| 88
  • 89. e s˜o definidos pela sua a¸˜o sobre um kets arbitr´rio | : a ca a |a b|(| ) = b| |aSejam |n autoestados de um operador hermiteano. Ent˜o, a rela¸˜o de a cacompletude se escreve |n n| = ˆ1 nQuando o espectro ´ cont´ e ınuo, por exemplo, no caso do operador de posi¸˜o, caa soma ´ substitu´ por uma integral: e ıda dx |x x| = ˆ 1O principal uso dessas representa¸˜es do operador ˆ ´ o seguinte: seja n|n′ co 1eum produto escalar. Ent˜o, a n|n′ = n|ˆ ′ = n| 1|n dx|x x| |n′e, como x|n = ψn (x), n|n′ = ∗ dxψn (x)ψn′ (x)mostrando que efetivamente se trata do produto escalar anteriormente intro- ˆ ˆ ˆˆduzido. Considere os operadores A e B e o seu produto, AB. Seja |n umabase. Os elementos de matriz do operador produto nessa base s˜oa ˆˆ n|AB|n′ = ˆ n|A ˆ |n′′ n′′ | B|n′ n′′ = ˆ ˆ n|A|n′′ n′′ |B|n′ n′′que exibe a express˜o correta para o produto cl´ssico de matrizes. a a Seja |n um estado qualquer. Sua fun¸˜o de onda na representa¸˜o das ca cacoordenadas ´, como vimos, e ψn (x) = x|nSejam |p os autoestados do momento , e dp |p p| = ˆ 1sua rela¸˜o de completude. Ent˜o, a fun¸˜o de onda de |n na representa¸˜o ca a ca cado momento ´ e p|n = dx p|x x|n 89
  • 90. que pode ser escrita ψn (p) = dx p|x ψn (x)Daqui, por compara¸˜o com um resultado anterior pode-se inferir que ca 1 i p|x = 3/2 exp p.x (383) (2π¯ ) h h ¯ Uma dedu¸˜o direta deste resultado ´ a seguinte: ca e p|ˆ|x p = p p|x d = −i¯ h p|x dxIgualando os dois segundos membros, temos d −i¯ h p|x = p p|x dxou d p|x i = pdx p|x h ¯de onde segue que i p|x = Ae h px ¯Para determinar A, note-se que i p|x x|p′ = |A|2 exp (p − p′ )x h ¯e, integrando em x, i dx p|x x|p′ = |A|2 dx exp (p − p′ )x h ¯Mas dx p|x x|p′ = p|p′ = δ(p − p′ )Logo, p p′ δ(p − p′ ) = |A|2 2πδ( − ) = |A|2 2π¯ δ(p − p′ ) h h ¯ h ¯Logo, 1 A= √ 2π¯ he 1 i p|x = √ e h px ¯ 2π¯ hque ´ a vers˜o unidimensional da Eq.(383). e a 90
  • 91. 20 O SpinPara introduzir o spin vamos apresentar um tratamento mais geral do mo-mento angular. No tratamento anterior, t´ ınhamos obtido que os autovaloresm de l ˆz deviam ser n´ meros inteiros, sob o argumento de que as autofun¸˜es u co ˆz ,de l 1 ψm (φ) = √ eimφ 2πdeviam ser peri´dicas, de per´ o ıodo 2π, na vari´vel φ. Este argumento n˜o ´ a a erigoroso, pois a fun¸˜o de onda ´ determinada a menos de uma fase. Re- ca etomaremos o problema agora. Descobriremos que h´ novas possibilidades apara os valores de m e l. Para comodidade do leitor, repetiremos aqui alguns dos resultados queobtivemos anteriormente para o momento angular. 2 ˆ+ ˆ− = ˆ − ˆ2 + ˆz l l l lz l (384) 2 ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz l l l lz l (385) ˆ2 Da rela¸˜o l − ˆz = ˆx + ˆy conclu´ ca l2 l2 l2 ımos que existe um valor m´ximo para a ˆ2o autovalor de ˆz . Seja l este valor m´ximo, e ψl a autofun¸˜o comum a l e l a caˆz correspondente. Temosl ˆ+ ψl = 0 lLogo, ˆ− ˆ+ ψl = 0 l lUsando (385), ˆ2 ˆ2 ˆ l − lz − lz ψl = 0ou ˆ2 l ψl = l(l + 1)ψl ˆ2Conclui-se que o autovalor de l para a autofun¸˜o ψl ´ l(l + 1), onde l ´ o ca e em´ximo valor poss´ para m. Pasaremos a denotar por ψlm as autofun¸˜es a ıvel co ˆ2 ˆcomuns a l e lz . Vamos determinar agora o menor valor poss´ para m. ıvel ˆ2 ˆ Em primeiro lugar, do fato de que [l , l− ] = 0, segue que ˆ2 ˆ ˆ2 l l− ψlm = ˆ− l ψlm = l(l + 1) ˆ− ψlm l l 91
  • 92. ˆ2ou seja, o autovalor de l ´ o mesmo para todos os ψlm , com l fixo. e Seja B o m´ ınimo valor de m. Ent˜o a ˆ− ψlB = 0 l ˆ+ ˆ− ψlB = 0 l l ˆ2 ˆ2 ˆ l − lz + lz ψlB = = 0 l(l + 1)ψlB = (B 2 − B)ψlB l(l + 1) − B 2 + B = 0 (l + B)(l − B + 1) = 0Esta ultima tem duas solu¸˜es, B = l + 1, que ´ imposs´ ´ co e ıvel, pois o m´ximo avalor de m ´ l, e B = −l, que ´ o valor correto. Ent˜o, m est´ no intervalo e e a a−l ≤ m ≤ l, e seus valores sucessivos diferem de uma unidade: h´, portanto, a2l + 1 valores de m, para l dado. Em conseq¨ˆncia, 2l + 1 deve ser um uen´ mero inteiro, e temos duas possibilidades:(a)l ´ inteiro, que ´ o caso que u e ej´ hav´ a ıamos estudado. Costuma-se chamar esses momento s angulares demomento angular orbital. (b) l ´ um ´ e ımpar dividido por dois (semi-inteiro,na g´ dos f´ ıria ısicos). Este tipo de momento angular ´ denominado spin. eTemos, ent˜o, spins l = 1/2, l = 3/2, etc. aNa verdade essa nomenclatura n˜o ´ a usada na pr´tica, embora seja a prefer´ a e a ıvel, do pontode vista da matem´tica. Chama-se spin de um sistema o momento angular desse sistema aquando em repouso. Um el´tron em repouso tem momento angular tal que l = 1/2, um epion em repouso tem momento angular tal que l = 0, e h´ mesons, ditos vetoriais, com a ´momento angular em repouso tal que l = 1. E costume, por abuso de linguagem, dizerque essas part´ ıculas tˆm spin 1/2, spin 0, spin 1, etc. e20.1 Elementos de matrizO caso mais importante do spin ´ aquele em que l = 1/2. Neste caso, m es´ pode ter os valores +1/2 e −1/2, e ´ conveniente tratar os operadores o ede momento angular utilizando suas representa¸˜es matriciais. Para tanto, covamos determinar os elementos de matriz dos operadores ˆx , ˆy e ˆz . Temos, l l lusando a nota¸˜o de Dirac, ca ˆ2 lm|l |lm = l(l + 1) (386)e, como ˆ2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆz − ˆz , l2 l 92
  • 93. ˆ2 lm|l |lm = lm|ˆ+ ˆ− |lm + lm|ˆz |lm − lm|ˆz |lm l l l2 lComo todos esses elementos de matriz contˆm o mesmo valor de l, podemos eomitir este ´ ındice, ou seja, podemos abreviar a nota¸˜o para: ca m|ˆz |m ≡ lm|ˆz |lm l letc. ˆ2 Obviamente m|ˆz |m = m, m|ˆz |m = m2 e m|l |m = l(l + 1). Logo, l l2 m|ˆ+ ˆ− |m = l(l + 1) − m2 + m l l (387)ou m|ˆ+ ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (388) ˆA completude dos autoestados de lz permite escrever ˆ |m′ m′ | = 1 m′que, inserida em (388), d´ a m|ˆ+ |m′ m′ |ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (389) m′e sabemos que m|ˆ+ |m′ s´ ´ diferente de zero se m′ for igual a m − 1. Logo, l oe(389) se escreve m|ˆ+ |m − 1 m − 1|ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (390)Al´m disso, ˆ− = ˆ+ e e l+ l ∗ ∗ m − 1|ˆ− |m = l m|ˆ− |m − 1 l+ = m|ˆ+ |m − 1 l ,o que permite escrever, de (390), | m|ˆ+ |m − 1 |2 = (l + m)(l − m + 1) . l (391)Da´ tiramos que ı m|ˆ+ |m − 1 = eiα (l + m)(l − m + 1) . l (392)A escolha de α est´ ligada ` defini¸˜o precisa dos harmˆnicos esf´ricos Ylm (θ, φ). a a ca o ePara a escolha feita anteriormente, Eq.(329), deve-se escolher α = 0. Logo, m|ˆ+ |m − 1 = l (l + m)(l − m + 1) (393) 93
  • 94. e, como m − 1|ˆ− |m = ( m|ˆ+ |m − 1 )∗ , temos l l m − 1|ˆ− |m = l (l + m)(l − m + 1) . (394)Estes s˜o os unicos elementos de matriz n˜o-nulos, de ˆ+ e ˆ− . A partir deles, a ´ a l lpodemos construir os elementos de matriz de ˆx e ˆy , pois l l ˆx = 1 ˆ+ + ˆ− l l l (395) 2 ˆ 1 ˆ ly = l+ − ˆ− l (396) 2iDe fato, 1 1 m|ˆx |m − 1 l = m|ˆ+ |m − 1 + m|ˆ− |m − 1 l l 2 2 1 1 = m|ˆ+ |m − 1 = l (l + m)(l − m + 1) (397) 2 2 1 m|ˆx |m − 1 = m|ˆx |m − 1 l l ∗ = (l + m)(l − m + 1) (398) 2Assim, os elementos de matriz de ˆx que n˜o s˜o nulos s˜o l a a a 1 m|ˆx |m − 1 = m − 1|ˆx |m = l l (l + m)(l − m + 1) (399) 2Por um c´lculo an´logo obtˆm-se os elementos de matriz n˜o-nulos de ˆy : a a e a l i m|ˆy |m − 1 = − m − 1|ˆy |m = − l l (l + m)(l − m + 1) (400) 2Usando as express˜es obtidas para os elementos de matriz, vamos construir oas matrizes que representam os operadores ˆx , ˆy e ˆz . Para este ultimo, temos l l l ´que os elementos de matriz n˜o-nulos s˜o: a a 1 1/2|ˆz |1/2 l = (401) 2 1 −1/2|ˆz | − 1/2 l = − (402) 2Os valores poss´ ıveis de m sendo +1/2 e -1/2, as matrizes ter˜o a forma agen´rica: e a1,1 a 1 ,− 1 2 2 2 2 (403) a− 1 , 1 a− 1 ,− 1 2 2 2 2 94
  • 95. onde ai,j = i|a|j . Para ˆz , portanto, l 1 1 1 ˆz = 2 0 1 0 l = = σz (404) 0 −1 2 2 0 −1 2onde introduzimos a matriz 1 0 σz = (405) 0 −1que ´ uma das matrizes de Pauli, que ser˜o muito utilizadas no que segue. e a Verifica-se facilmente que i ˆy = 1/2|ly |1/2 1/2|ly | − 1/2 0 −2 l = i (406) −1/2|ly |1/2 −1/2|ly | − 1/2 2 0 1 0 −i = (407) 2 i 0 1 = σy (408) 2onde introduzimos a matriz de Pauli σy , 0 −i σy = (409) i 0Por um c´lculo an´logo chega-se a a a ˆx = 1 l 0 1 1 = σz (410) 2 1 0 2Temos, portanto, ˆi = 1 σi l (411) 2para i = 1, 2, 3, sendo (1, 2, 3) = (x, y, z), como de costume. As matrizes dePauli s˜o a 0 1 σx = (412) 1 0 0 −i σy = (413) i 0 1 0 σz = (414) 0 −1 95
  • 96. Representa¸˜es matriciais de operadores s˜o sempre em rela¸˜o a uma base. co a caQual ´ a base usada nas representa¸˜es matriciais acima? Para descobri-la, e cobasta notar que a matriz que representa ˆz ´ diagonal. Logo, a base ´ a dos l e e ˆ . Explicitamente, temosautoestados de lz 1 1 2 0 1 1 = (415) 0 −1 2 0 2 0 1 1 2 0 0 0 = − (416) 0 −1 2 1 2 1Desta rela¸˜o vemos que os autoestados de ˆz s˜o representados pelas ma- ca l a 1 0trizes coluna e , que formam uma base das matrizes coluna 0 1 a , com a e b arbitr´rios. Resta especificar o produto escalar de dois a bestados quaisquer, em termos de suas representa¸˜es matriciais. Verifica-se co a cfacilmente que o produto escalar de por ´ dado por e b d c (a∗ , b∗ ) = a∗ c + b∗ d (417) d 1De fato, em termos deste produto escalar, os elementos da base, e 0 0 s˜o ortonormais, o que prova a quest˜o. a a 120.2 As matrizes de PauliAs matrizes 0 1 σx = (418) 1 0 0 −i σy = (419) i 0 1 0 σz = (420) 0 −1tˆm propriedades especiais que facilitam o c´lculo das propriedades dos es- e atados de spin 1/2.P1: T r(σx ) = T r(σy ) = T r(σz ) = 0. (Imediata). 96
  • 97. P2: σx , σy , σz s˜o hermiteanas. (Imediata) a 2 2 2P3: σx = σy = σz = 1, onde 1 0 1= 0 1P4:σa σb = δab 1 + iǫabc σc , cuja demonstra¸˜o ´ um exerc´ ca e ıcio simples. Estapropriedade sintetiza a P3 e as seguintes rela¸˜es: co σx σy = iσz (421) σz σx = iσy (422) σy σz = iσx (423) σx σy = −σy σx (424)e assim por diante. ´ E conveniente introduzir a nota¸˜o ca σ ≡ (σx , σy , σz )que descreve as σi como componentes de um “vetor” denotado por σ. Usandoesta conven¸˜o se escreve, por exemplo, se a for um vetor ordin´rio, ca a σ.a = ax σx + ay σy + a + zσzou seja, σ.a ´ uma matriz 2x2. Podemos ent˜o enunciar a e aP5:(σ.a)(σ.b) = a.b + iσ.(a × b), onde o termo entre parˆnteses ´ o produto e evetorial ordin´rio. Demonstra¸˜o: a ca σl al σm bm = al bm σl σm = al bm (δlm + iǫlmn σn ) = a.b + iσn ǫnlm al bm = a.b + iσ.(a × b)Teorema: Seja A uma matriz 2x2 complexa qualquer. Ent˜o existem n´ meros a uλ0 , λx , λy e λz tais que A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz (425)Estes n´ meros s˜o unicos. Ou seja, 1, σx , σy e σz s˜o uma base do espa¸o u a ´ a cvetorial das matrizes 2x2 complexas.A demonstra¸˜o consiste em exibir esses n´ meros. Suponhamos o problema ca uresolvido, isto ´: e A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz (426)Tomando o tra¸o termo a termo, temos: c T r(A) = λ0 T r(1) + λx T r(σx ) + λy T r(σy ) + λz T r(σz ) (427) 97
  • 98. onde usamos T r(λA) = λT r(A), para qualquer n´ mero λ e qualquer matriz A, temos, levando em conta a P1, u T r(A) = λ0 T r(1) = 2λ0 (428)ou 1 λ0 = T r(A) (429) 2Para calcular λx procedemos assim: multiplicamos (426) termo a termo, a esquerda, por σx , obtendo: ` σx A = λ0 σx + λx 1 + λy σx σy + λz σx σz (430)Ora, os produtos σi σj com i = j, s˜o matrizes de tra¸o nulo. Logo, tomando, termo a termo, o tra¸o de (430), temos a c c T r(σx A) = λx T r(1) = 2λx (431) Ou, 1 λx = T r(σx A) (432) 2e, procedendo analogamente, 1 λi = T rσi A) (433) 2 Demonstra-se facilmente, usando este m´odo, que 1 e as trˆs matrizes de Pauli s˜o linearmente independentes. Al´m t e a edisso, o espa¸o vetorial das matrizes 2x2 complexas tem dimens˜o 4. Logo, o conjunto considerado ´ uma base, e portanto c a eos coeficientes calculados acima s˜o unicos. a ´20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamilto- ca e nianoO problema que estudaremos aqui ´ o seguinte: uma part´ e ıcula de massa me carga q est´ sob a¸˜o de um campo eletromagn´tico descrito por E e B. a ca eDeterminar o Hamiltoniano da part´ ıcula. N˜o fosse pelo campo eletromagn´tico, o Hamiltoniano seria o de uma a epart´ ıcula livre, p2 H= . 2mA for¸a que age sobre uma part´ c ıcula de carga q, devida aos campos el´trico ee magn´tico, ´ (for¸a de Lorentz): e e c v F = q(E + × B) cEm termos dos potenciais, temos, 1 ∂A E = −∇φ − c ∂t B = rotALogo, 1 ∂A F = q{−∇φ − [ − v × rot A]} c ∂t 98
  • 99. Como ´ bem sabido,22 e dA ∂A = + (v.∇)A . dt ∂tComo v × rot A = ∇(v.A) − (v.∇)A, temos 1 dA F = q{−∇φ − [ − (v.∇)A − ∇(v.A) + (v.∇)A]} c dt 1 dA = q{−∇φ − [ − ∇(v.A)]} (434) c dtou seja, 1 1 dA F = q[−∇(φ − v.A) − ]. (435) c c dtSeja U = q(φ − 1 v.A). Vamos mostrar que a lagrangeana c q L = T − U = T − qφ + v.A (436) cdescreve o movimento de uma part´ ıcula sob a a¸˜o da for¸a F . Aqui, como ca cde costume, T representa a energia cin´tica. De fato, e ∂L ∂φ ∂ q = −q + ( v.A) ∂x ∂x ∂x c ∂L ∂L ∂T q ≡ = + Ax ∂x˙ ∂vx ∂vx c d ∂L d ∂T q dAx = ( )+ dt ∂vx dt ∂vx c dt ∂L d ∂LLogo, a equa¸˜o de Lagrange, ca ∂x − dt ∂vx = 0, d´ a ∂φ ∂ q d ∂T q dAx −q + ( v.A) = ( )+ ∂x ∂x c dt ∂vx c dt 22 No caso improv´vel de isto n˜o ser bem sabido por um aluno do CCM, a´ vai: a a ı dA ∂ A ∂ A dx = + + ... dt ∂t ∂x dtou seja, dA ∂A ∂ = + (vx + . . .)A dt ∂t ∂xetc. 99
  • 100. de modo que d ∂T 1 1 dA ( ) = q{−∇(φ − v.A) − }x dt ∂vx c c dtMas ∂T ∂ 1 2 = ( mv ) = mvx ∂vx ∂vx 2de maneira que d ∂T ˙ ( ) = (mv)x . dt ∂vxLogo, ˙ 1 1 dA mv = q{−∇(φ − v.A) − } (437) c c dtConclus˜o: L = T −qφ+ q v.A. Passemos agora ` constru¸˜o do hamiltoniano. a c a ca ∂L ∂T q ∂ pi = = + (v.A) ∂ qi ˙ ∂ qi c ∂ qi ˙ ˙ ∂ (v.A) = Ai ∂ qi ˙e, ent˜o, a ∂T q pi = + Ai ∂ qi c ˙Precisamos agora de uma propriedade importante das fun¸˜es homogˆneas, co eo teorema de Euler (ver Apˆndice): e ∂T qi ˙ = 2T i ∂ qi ˙Vamos us´-lo para calcular o Hamiltoniano H: a ∂T q q H = qi ( ˙ + Ai ) − T + qφ − v.A i ∂ qi c ˙ c q q = 2T + v.A − T + qφ − v.A (438) c cou seja, H = T + qφ (439) mv2Ora, pi = ∂T ∂ qi ˙ + q Ai = mv + q A, pois T = c c 2 . Logo, q mv = p − A c 100
  • 101. e, finalmente, 1 q H= (p − A)2 + qφ (440) 2m cEm palavras, no Hamiltoniano livre 1 2 H= p 2msubstituo p por p− q A, e adiciono qφ. Esta ´ a chamada substitui¸˜o m´ c e ca ınima,ou acoplamento m´ ınimo. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo 1 2 H= p + V (r) 2monde V (r) ´ a energia potencial, a mesma regra vale. Adicione-se qΦ e esubstitua-se p por p − q A. Se houver v´rias part´ c a ıculas, de momento s pi ,fa¸a-se a mesma substitui¸˜o para cada pi , adicionando-se termos de energia c capotencial qi φ para cada part´ıcula. Essas generaliza¸˜es s˜o f´ceis de demon- co a astrar, seguindo exatamente o padr˜o do caso de uma part´ a ıcula livre. 101
  • 102. 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler eUma fun¸˜o f (x1 , x2 , ..., xn ) ´ dita homogˆnea de grau k se ca e e f (λx1 , λx2 , ..., λxn ) = λk f (x1 , x2 , ..., xn ) (441)Por exemplo, f (x, y) = xy ´ homogˆnea de grau 2;f (x, y, z) = x2 y + 3z 2 x + e e5xyz ´ homogˆnea de grau 3. e e O teorema de Euler diz que, se f ´ uma fun¸˜o homogˆnea de grau k, e ca eent˜o a ∂f xi = kf (442) i ∂xiA demonstra¸˜o ´ muito simples. Derive a Eq. 441 em rela¸˜o a λ, e depois ca e catome λ = 1.20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico eSeja ˆ p2 H= + V (r) (443) 2mo hamiltoniano de uma part´ ıcula de spin 1/2 e carga e. Note-se que (σ.p)(σ.p) = p.p + iσ.(p × p) = p.p (444)de maneira que o hamiltoniano acima pode tamb´m ser escrito e ˆ (σ.p)(σ.p) H= + V (r) (445) 2mO acoplamento m´ ınimo, estudado no par´grafo anterior, consiste na substi- a etui¸˜o de p por p − c A, onde A ´ o potencial vetor do campo eletromagn´tico ca e eque age sobre a pert´ ıcula. Ora, se se realiza essa substitui¸˜o em (443) ou caem (445), obtˆm-se resultados diferentes. Verifica-se que os resultados corre- etos s˜o obtidos usando-se o hamiltoniano em (445). Fica claro neste ponto, aent˜o, que o acoplamento do spin com o campo eletromagn´tico que vamos a eintroduzir tem um car´ter emp´ a ´ s´ quando se utiliza a equa¸˜o de ırico. E o caDirac para descrever o spin do el´tron que se obt´m, diretamente da teoria e ee sem a necessidade de fazer escolhas, um acoplamento definido (que corre-sponde `quele que, aqui, foi escolhido por raz˜es emp´ a o ıricas). Devemos, ent˜o, descrever as intera¸˜es eletromagn´ticas da part´ a co e ıculausando o hamiltoniano ˆ 1 e e Hem = σ. p − A σ. p − A + V (r) + eφ (446) 2m c c 102
  • 103. Como estamos interessados no campo magn´tico, vamos ignorar o ultimo e ´ e etermo. Consideremos o termo σ. p − c A . σ. p − c A . Temos e e σ. p − A . σ. p − A = c c e e = (σ.p)(σ.p) − (σ.p)(σ.A) − (σ.A)(σ.p) + c c e2 + (σ.A)(σ.A) = c2 e e = p2 − p.A + iσ.(p × A) − (A.p) + iσ.(A × p) + c c e2 + A.A (447) c2Mas, (p.A) + (A.p) ψ = −i¯ ∇.(Aψ) − i¯ A.∇ψ h h = −i¯ (∇.A)ψ − i¯ A.∇ψ − i¯ A.∇ψ h h h (448)Escolhendo o gauge em que ∇.A = 0, temos (p.A) + (A.p) ψ = −2i¯ A.∇ψ h (449)ou, (p.A) + (A.p) = 2A.p (450)Temos ainda σ. p × A + A × p ψ = = σ. −i¯ ∇ × (Aψ) + A × (−i¯ ∇ψ) h h = σ. −i¯ (rotA)ψ − A × ∇ψ − i¯ A × ∇ψ h h = −i¯ σ. Bψ h = −i¯ σ.Bψ h (451)Reunindo tudo, temos e e e e¯ h e2 σ. p − A σ. p − A = p2 − 2 A.p − σ.B + 2 A2 (452) c c c c c ˆ eO hamiltoniano Hem ´ obtido dividindo isso por 2m: ˆ p2 e he ¯ Hem = − A.p − σ.B (453) 2m mc 2mc 103
  • 104. Para o caso de um campo uniforme, temos 1 A = (B × r) (454) 2como o leitor verificar´ facilmente. Resulta ent˜o que a a ˆ p2 e he ¯ Hem = − B.(r × p) − σ.B (455) 2m 2mc 2mcFinalmente, usando L = r × p e s = h σ , temos ¯2 ˆ p2 e e Hem = − L.B − s.B (456) 2m 2mc mc 2H´ ainda, ´ claro, o termo e2 A2 , que omitimos porque, no tratamento per- a e cturbativo, representa uma corre¸˜o de ordem superior `s que usualmente se ca acalcula.21 As desigualdades de HeisenbergNesta se¸˜o vamos apresentar um tratamento formal do princ´ ca ıpio da in-certeza, e deduzir as famosas desigualdades de Heisenberg. A mais famosadelas ´: e ∆pi ∆qj ≥ hδij ¯ (457)Em todo espa¸o dotado de um produto escalar, vale a desigualdade de cCauchy-Schwartz, que diz que |(ψ, φ)|2 ≤ |ψ|2 |φ|2 (458)ou, mais explicitamente, 2 dqψ ∗ (q)φ(q) ≤ dqψ ∗ (q)ψ(q) dq ′ φ∗ (q ′ )φ(q ′ ) (459) ˆ Seja O um operador hermiteano, e ψ um estado do sistema. Considere ooperador ˆ O− O ˆˆ 1onde ˆ ˆ O = (ψ, Oψ) = ˆ dqψ ∗ (q)Oψ(q) a ˆChama-se desvio padr˜o de O no estado ψ o n´ mero u ˆ ˆ (∆O)2 = (O − O )2 (460) 104
  • 105. Entre os f´ ˆ ˆ ısicos, ∆O ´ denominada incerteza de O no estado ψ. Sejam A e eˆB operadores hermiteanos, e ˆ ψA = (A − ˆ A )ψ (461) ˆ ψB = (B − ˆ B )ψ (462)dois estados. ´ E imediato verificar que (∆A)2 = (ψA , ψA ) (463) (∆B)2 = (ψB , ψB ) (464) Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos 2 2 ψA ψB ≥ |(ψA , ψB )|2 (465)Por outro lado, para qualquer complexo z, temos 2 1 |z|2 = (ℑ(z))2 + (ℜ(z))2 ≥ (ℑ(z))2 = (z − z ∗ ) 2iLogo, 2 1 |(ψA , ψB )|2 ≥ [(ψA , ψB ) − (ψB , ψA )] 2iOra, ˆ ˆ ˆ ˆ (ψA , ψB ) = (A − A )ψ, (B − B )ψ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = (ψ, ABψ) − B (ψ, Aψ) − A(ψ, Bψ) + A BSegue imediatamente que ˆ ˆ (ψA , ψB ) − (ψB , ψA ) = ψ, [A, B]ψ (466)e, da Eq.(465), que 2 2 2 1 ˆ ˆ ψA ψB ≥ [A, B] (467) 2iou, em nota¸˜o mais familiar, ca 2 1 ˆ ˆ (∆A)2 (∆B)2 ≥ [A, B] (468) 2ique s˜o as rela¸˜es de incerteza de Heisenberg. a co ˆ ˆ ˆ ˆExemplo: seja A = px , e B = x. Ent˜o, a 2 1 (∆px )2 (∆x)2 ≥ −i¯ h 2i 105
  • 106. 2 h2 ¯ 2 (∆px ) (∆x) ≥ 4e, finalmente, h ¯ ∆px ∆x ≥ 2Exerc´ ıcio: determine ∆px e ∆x para o estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio. a eMostre que: ¯ h(a) ∆px = √3a . √ 0(b)∆x = 2a0 . 2(c) ∆px ∆x = 3 ¯ h(d) Conclua que o movimento do el´tron ´ ≈ o m´ e e ınimo poss´ compat´ com as rela¸˜es ıvel ıvel code incerteza.21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo caA rela¸˜o de incerteza energia -tempo ´ de natureza fundamentalmente difer- ca eente daquela da rela¸˜o de incerteza posi¸˜o-momento . Enquanto esta ca caultima ´ conseq¨ˆncia do fato de que os operadores ˆx e x n˜o comutam,´ e ue p ˆ aisto n˜o acontece no caso da energia -tempo: nem mesmo existe um oper- aador “tempo” na mecˆnica quˆntica. O tempo que aparece na equa¸˜o de a a caSchroedinger ´ o tempo marcado por qualquer rel´gio, e pode ser determi- e onado, em qualquer caso, com precis˜o arbitr´ria. O fato b´sico na obten¸˜o a a a cada desigualdade ∆E∆t ≥ h ¯ (469)´ o seguinte: devido ` rela¸˜o de Planck, E = hν, onde ν ´ uma freq¨ˆncia,e a ca e uetemos, na mecˆnica quˆntica, que uma medida da energia ´ sempre a a euma medida de freq¨ˆncia(Bohr). ue A rela¸˜o de incerteza 469 deve ser interpretada assim: uma medida caperfeita da energia de um sistema (∆E = 0) leva um tempo infinito (∆t ≥ h ¯∆E ). A express˜o 469 ensina quanto deve durar, no m´ a ınimo, o processo demedida (a dura¸˜o ´ ∆t) para que a precis˜o obtida seja ∆E. ca e a Para obter 469, consideremos o processo de determinar a freq¨ˆncia de ueuma onda. Matematicamente se sabe que a transformada de Fourier de umaonda nos d´ a informa¸˜o sobre quais freq¨ˆncias participaram da constru¸˜o a ca ue cada onda, por meio de superposi¸˜o de ondas monocrom´ticas (isto ´, de ca a efreq¨ˆncias bem definidas). ue Uma onda plana monocrom´tica tem sua dependˆncia temporal dada por a e 106
  • 107. eiω0 t , se sua freq¨ˆncia for ω0 .23 Sua transformada de Fourier ´ ue e ∞ ∞ f (ω) = e−iω0 t eiωt dt = ei(ω−ω0 )t dt , (470) −∞ −∞logo, f (ω) = 2πδ(ω − ω0 ) , (471)mostrando, como era de se esperar, que f (ω) ´ zero exceto para ω = ω0 . e 23 Estritamente, ω0 ´ a “freq¨ˆncia circular”. A verdadeira freq¨ˆncia, que ´ o inverso e ue ue e ıodo, ´ ν = ω0 .do per´ e 2π 107
  • 108. Na pr´tica, por´m, a medida da freq¨ˆncia da onda eiω0 t ´ feita observando- a e ue ese essa onda durante um intervalo de tempo finito, por exemplo, do instante−∆t 2 at´ o instante ∆t . Mas ent˜o a onda que realmente observamos ´ e 2 a eindistingu´ da seguinte onda u: ıvel ∆t u = 0 : t<− 2 ∆t ∆t = e−iω0 t : t ∈ [− , ] 2 2 ∆t = 0 : t> . (472) 2A transformada de Fourier da onda (472) ´: e ∆t 2 f ′ (ω) = −∆t ei(ω−ω0 )t dt (473) 2ou seja, 1 ∆t ∆t f ′ (ω) = (ei(ω−ω0 ) 2 − e−i(ω−ω0 ) 2 ) (474) i(ω − ω0 )ou 2 ∆t f ′ (ω) = sin[(ω − ω0 ) ] ω − ω0 2e, ainda, sin[(ω − ω0 ) ∆t ] f ′ (ω) = ∆t 2 (475) (ω − ω0 ) ∆t 2Esta fun¸˜o tem um gr´fico que apresenta um pico pronunciado para ω = ω0 , ca aonde tem o valor 1, e corta o eixo ω, ou seja, atinge o valor zero, pela primeiravez num ponto P tal que, nele, (ω − ω0 ) ∆t = π, ou seja, 2 2π ω − ω0 = . (476) ∆tEste valor de ω − ω0 pode ser definido como a metade da “largura” de f ′ (ω).Logo, esta largura ´ e 4π ∆ω = , (477) ∆tonde ∆t ´ a dura¸˜o do processo de medida de ω. ∆ω representa a incerteza e cana freq¨ˆncia, ou seja, informa que as freq¨ˆncias presentes na onda u est˜o ue ue a ∆ω ∆ωentre ω0 − 2 e ω0 + 2 . Temos, ent˜o,a ∆ω∆t = 4π (478) 108
  • 109. e, multiplicando por h, ¯ ∆E∆t = 4π¯ . h (479)´E claro que podemos, neste mesmo intervalo de tempo, ser mais descuidadose cometer erros ∆E maiores. Logo, o resultado geral ´ e ∆E∆t ≥ 4π¯ h (480)22 Teoria das perturba¸˜es coQuando calculamos a ´rbita da Terra em torno do Sol, omitimos, de nos- osas equa¸˜es, todos os outros planetas. No entanto, a atra¸˜o de J´ piter, co ca upor exemplo, causa pequenas altera¸˜es na ´rbita terrestre. Para fazer uma co oestimativa dessas pequenas corre¸˜es, elaborou-se um m´todo, na mecˆnica co e aceleste, que permitia a utiliza¸˜o, como ponto de partida, da ´rbita terrestre ca on˜o perturbada, isto ´, calculada omitindo-se J´ piter, calculando-se direta- a e umente as modifica¸˜es que deviam ser introduzidas na ´rbita n˜o-perturbada. co o aO aperfei¸oamento dessa t´cnica levou at´ mesmo ` descoberta de novos plan- c e e aetas (Netuno, por exemplo, “tra´ ıdo” pela perturba¸˜o que causava na ´rbita ca ode Urano). A mecˆnica quˆntica tomou emprestada ` mecˆnica celeste essa id´ia, e a a a a esurgiu assim a teoria das perturba¸˜es, que visa, a partir da solu¸˜o conhecida co cade certos problemas, obter uma solu¸˜o aproximada de problemas que, em caalgum sentido, s˜o pr´ximos ao problema resolvido. A teoria quˆntica das a o aperturba¸˜es, por´m, ´ muito mais simples do que aquela cl´ssica. co e e a22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios ca a ˆSeja H0 um hamiltoniano cujo problema de autovalores j´ resolvemos. Con- a (0) (0)hecemos, ent˜o, as fun¸˜es ψn e os n´ meros En tais que a co u ˆ (0) (0) (0) H0 ψn = En ψn (481) ˆ ˆ ˆSeja agora H = H0 + V um novo hamiltoniano, muito pr´ximo de H0 , no o ˆseguinte sentido: todos os elementos de matriz Vnm , em rela¸˜o ` base for- ca a (0) (0)mada pelas ψn , s˜o pequenos em rela¸˜o aos En Diz-se ent˜o que V ´ a ca a ˆ euma perturba¸˜o, que H e ca ˆ ´ o hamiltoniano perturbado, e que H0 ´ o hamil- ˆ e a ´toniano n˜o-perturbado. E intuitivo que, nessas condi¸˜es, os autovalores co ˆ ˆde H sejam pr´ximos dos de H0 , o mesmo acontecendo para as autofun¸˜es. o coProcuraremos simplificar a determina¸˜o das quantidades associadas a H ca ˆ a co a ˆutilizando o fato de que elas s˜o corre¸˜es `s quantidades associadas a H0 . 109
  • 110. ˆ O problema de autovalores de H se escreve ˆ ˆ ˆ Hψn = (H0 + V )ψn = En ψn (482) (0)Como o conjunto dos ψn ´ completo, existe a expans˜o e a (0) ψn = cnm ψm (483) me a Eq.(482) pode ser escrita ˆ ˆ (H 0 + V ) (0) cnm ψm = En (0) cnm ψm (484) m mou ˆ (0) cnm H0 ψm + ˆ (0) cnm V ψm = (0) cnm En ψm (485) m m m (0)Vamos usar agora a ortonormalidade dos ψm . Multiplicando (483) ` es- a (0)∗querda por ψk e integrando, temos: (0)∗ ˆ (0) (0)∗ ˆ (0) (0)∗ (0) cnm dqψk H0 ψm + cnm dqψk V ψm = En cnm dqψk ψm m m m (486)Mas (0)∗ ˆ (0) (0) dqψk H0 ψm = Ek δkme (0)∗ (0) dqψk ψm = δkmLogo, (0) cnm δkm Ek + cnm Vkm = En cnm δkm (487) m m mou (0) cnk Ek + cnm Vkm = En cnk (488) mque ´ uma equa¸˜o exata! Vamos agora introduzir as aproxima¸˜es. e ca co Uma condi¸˜o b´sica para o que segue ´ que cada n´ perturbado esteja ca a e ıvelmuito pr´ximo de um unico n´ n˜o-perturbado, de sorte que ψn seja muito o ´ ıvel a (0)pr´ximo de ψn , etc. Ou seja, o (0) ψn = ψn + ... (489)onde os pontos denotam termos muito menores. Na expans˜o a (0) ψn = cnm ψm (490) m 110
  • 111. teremos ent˜o a cnm = δnm + c(1) + ... nm (491)com c(1) ≪ 1. Ao mesmo tempo, escreveremos nm (0) (1) En = En + En + . . . (492) (1)com En ≪ 1 . (0) EnUsando (491) e (492) na Eq.(488), temos (1) (0) (1) δnk + cnk Ek + δnm + c(1) Vkm = En + En (δnk + cnk ) (0) nm (0) (1) (493) mTomemos n = k. A Eq.(493), d´: a (1) (0) (0) (1) cnk Ek + Vkn = En cnk (494)ou (1) Vkn cnk = − (0) (0) n=k (495) Ek − EnTomando n = k na Eq.(493), obtemos En + c(1) En + Vnn = En + En c(1) + En (0) nn (0) (0) (0) nn (1) (496)ou (1) En = Vnn (497)O primeiro resultado importante ´ este: a primeira corre¸˜o ao autovalor n˜o e ca a (0)perturbado En , ´ o valor m´dio do potencial perturbado, Vnn , na fun¸˜o de e e caonda n˜o perturbada correspondente `quele valor de n. a a A constru¸˜o da fun¸˜o de onda perturbada ainda n˜o ´ poss´ ca ca a e ıvel, pois (1) (1)temos apenas os cnk para n = k. Falta determinar cnn . Veremos agora quec(1) pode ser tomado igual a zero. De fato, temos nn (0) ψn = cnm ψm = δnm + c(1) ψm nm (0) (498) m mou, usando os resultados j´ obtidos, a (0) ψn = ψn + c(1) ψm nm (0) m (0) Vmn = ψn − (0) (0) ψm + c(1) ψn (0) nn (0) (499) m=n Em − En 111
  • 112. ou Vmn ψn = 1 + c(1) ψn − nn (0) (0) (0) (0) ψm (500) m=n Em − EnImpondo que ψn seja normalizada a menos de termos de segunda ordem,temos ∗ dqψn (q)ψn (q) = ∗ (1)∗ (0)∗ Vmn (0)∗ (1) (0) Vmn (0) dq 1 + cnn ψn − ψ 1 + cnn ψn − ψm (0) (0) m (0) (0) Em − En Em − En m=n m=n (0)∗ (0) (1)∗ (1) (0)∗ (0) = dqψn ψn + dq cnn + cnn ψn ψn (1)∗ (1) = 1+ cnn + cnn =1Logo, c(1)∗ + c(1) = 0 nn nn (501)ou cnn (1) = iα (502)onde α ´ um n´ mero real. Assim, o primeiro termo de (500) ´ e u e (0) ψn = (1 + iα)ψn + . . . (503)que, nesta ordem, ´ indistingu´ de e ıvel ψn = eiα ψn + . . . (0) (504)Ou seja, o termo c(1) s´ contribui para uma mudan¸a de fase de ψn , que, de nn o c (0)qualquer forma, ´ definido a menos de uma fase. Logo, podemos legitima- emente por cnn = 0. Os resultados ent˜o s˜o, at´ primeira ordem24 , (1) a a e (0) Vmn (0) ψn = ψn − (0) (0) ψm (505) m=n Em − En 24 (0) O leitor arguto estar´ perguntando: mas eu posso mudar a fase s´ do ψn ? A mudan¸a a o cde fase permitida n˜o ´ uma mudan¸a de fase simultˆnea para todos os estados? N˜o, a e c a aleitor arguto. Um mesmo estado ´ descrito pela classe de todos os vetores de m´dulo 1 e oque diferem apenas por uma fase constant. No entanto, por curiosidade, vamos mostrarque, neste caso, a mudan¸a de fase pode ser vista como uma mudan¸a geral de fase. c c (1)Examinemos a Eq.(505) em maior detalhe. O resultado obtido, para cnn = iα, ´ e (0) Vmn (0) ψn = (1 + iα)ψn − (0) (0) ψm m=n Em − EnMas, at´ primeira ordem, isto ´ o mesmo que e e   (0) Vmn (0) ψn = (1 + iα) ψn − (0) (0) ψm  m=n Em − En 112
  • 113. (0) En = En + Vnn (506)22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com per- o turba¸˜o linear ca ˆSeja H0 = p2 /(2m) o hamiltoniano n˜o-perturbado, e a ˆ p2 H= + 1/2(k + ∆k)x2 2m ˆo hamiltoniano perturbado. Neste caso o problema de autovalores de H, ohamiltoniano perturbado, pode ser resolvido exatamente, pois ´ essencial- e ˆ 0 , com um diferente valor de k. De fato, seus autovaloresmente igual a Hs˜o a En = h(ω + ∆ω)(n + 1/2) ¯ (507)com k + ∆k ω + ∆ω = (508) m´E feita, adicionalmente, a hip´tese de que o ∆k ≪1 kde maneira que 1 k ∆k 2 ∆k ω + ∆ω = 1+ ≈ω 1+ (509) m k 2konde usamos o resultado de Newton (sim, Sir Isaac!): (1 + x)α ≈ 1 + αx , (510)para |x| ≪ 1. Logo, podemos escrever ∆k 1 En = hω 1 + ¯ n+ (511) 2k 2pois os termos Vmn (0) iα (0) (0) ψm m=n Em − Ens˜o de segunda ordem! a 113
  • 114. e, portanto, (0) ∆k En = En 1 + (512) 2k (0)e, finalmente, lembrando que En = h(n + 1/2), ¯ (1) (0) ∆k En = En . (513) 2kPara o estado fundamental, (1) hω ∆k ¯ E0 = (514) 2 2kVaos agora obter este mesmo resultado usando o formalismo perturbativo 25 . ˆNa nota¸˜o perturbativa, temos, para o estado fundamental de H0 , ca 1 mω 4 mωx2 ψ0 (x) = e− 2¯ h (515) π¯ he 1 V = ∆k x2 (516) 2Temos 1 1 mω 2 ∞ mωx2 h∆k ¯ V00 = dx x2 e− ¯ h = √ (517) 2 π¯ h −∞ 4 mkLogo, (1) hω ¯ h∆k ¯ E0 = ∆k = √ (518) 4k 4 mkque coincide com (514).22.3 Corre¸˜es de segunda ordem coVoltemos ` Eq.(488): a (0) cnk Ek + Vkm = En cnk (519) me escrevamos a expans˜o de ψn nas fun¸˜es de onda n˜o-perturbadas at´ a co a esegunda ordem: ψn = δnm + c(1) + c(2) ψm nm nm (0) (520) m 25 ´ Sim, leitor arguto. E redundante! Mas, didaticamente, ´ util, porque ´ simples, e ´ e´ e eum caso em ue se pode verificar o resultado. 114
  • 115. Analogamente, para as corre¸˜es ` energia , teremos: co a (0) (1) (2) En = En + En + En (521)Usando (520) e (521) em (519), temos (1) (2) (0) δnk + cnk + cnk Ek + δnm + c(1) + c(2) Vkm = nm nm m (0) (1) (2) (1) (2) = En + En + En δnk + cnk + cnk (522)Igualando os termos de ordem zero: (0) (0) δnk Ek = δnk En (523)Igualando os de ordem um: (1) (0) (0) (1) (1) cnk Ek + Vkn = cnk En + En δnk (524)E os de ordem 2: (2) (0) (2) (1) cnk Ek + c(1) Vkm = cnk Em + cnk En + δnk En nm (0) (1) (2) (525) mAs rela¸˜es de ordem zero e um j´ foram exploradas. Vamos as de ordem 2. co a ` (1)Para n = k, temos, lembrando que cnn = 0, c(1) Vnm = En nm (2) (526) m=nou (2) Vmn Vnm En = − (0) (0) (527) m=n Em − En ∗e, lembrando que Vnm = Vmn , (2) |Vmn |2 En = (0) (0) (528) m=n En − Em23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degeneradoRecomendamos ao leitor, neste ponto, a leitura do Apˆndice Matem´tico e a1, que se encontra no fim destas notas. Vimos que o n´ En do ´tomo de hidrogˆnio tem uma degenerescˆncia ıvel a e e 2 2de ordem n . Isto ´, existem n estados diferentes do ´tomo de hidrogˆnio e a e 2com energia En (se contarmos o spin, ser˜o 2n ). Quando se aplica um a 115
  • 116. campo externo ao ´tomo, pode acontecer de esses estados interagirem de amaneira diferente com o campo, e ent˜o a degenerescˆncia ´ quebrada: em a e elugar de um n´ passaremos a ter v´rios, possivelmente at´ 2n2 , se o campo ıvel a eexterno for suficientemente complicado. Diz-se, ent˜o, que a degenerescˆncia a efoi removida. N˜o podemos aplicar cegamente os resultados obtidos at´ aqui pelo seguinte a emotivo: a corre¸˜o de primeira ordem ` fun¸˜o de onda n˜o-perturbada que ca a ca aobtivemos, (0) Vmn ψn = ψn − (0) ψ (0) (0) m (529) m=n Em − En (0) (0)cont´m, no caso de n´ e ıveis degenerados, situa¸˜es em que Em = En , para con = m, ou seja, na f´rmula acima, apareceriam denominadores nulos. o23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais oPara obter as corre¸˜es correspondentes para n´ co ıveis degenerados, precisamosde uma adapta¸˜o do m´todo anterior a esta nova situa¸˜o. Para evitar um ca e caexcesso de ´ındices, vamos reobter as f´rmulas b´sicas sob forma ligeiramente o adiferente. ˆ Seja H o hamiltoniano perturbado, e vamos escrevˆ-lo em uma s´rie de e epotˆncias de um parˆmetro pequeno, λ, desta forma[10]: e a ˆ ˆ ˆ ˆ H = H (0) + λH (1) + λ2 H (2) + . . . (530)Note-se que, no nosso tratamento anterior, o termo H (1) era denotado por V , e os demais, H (2) , H (3) , etc, eram omitidos. ˆ ˆ ˆ ˆ ıdos mais por raz˜es est´ticas do que por real utilidade. E claro que o H (0) daqui ´ o H0 do tratamentoAqui s˜o inclu´ a o e ´ ˆ e ˆanterior. Seja φ a fun¸˜o de onda perturbada, que queremos calcular. Ser´ escrita ca atamb´m como uma s´rie de potˆncias em λ: e e e φ = φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . (531)e tamb´m para a energia se escrever´ e a E = E (0) + λE (1) + λ2 E (2) + . . . (532)A equa¸˜o de Schr¨dinger para as quantidades perturbadas ´ ca o e ˆ (H − E)φ = 0 (533)que, pelo uso das expans˜es acima, se escreve o ˆ λn H (n) − E (n) λm φ(m) = 0 (534) n m 116
  • 117. ou, por extenso, ˆ ˆ ˆ H (0) − E (0) + λ H (1) − E (1) + λ2 H (2) − E (2) + . . . × φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . = 0 (535)Igualando a zero os coeficientes da v´rias potˆncias de λ, temos a e ˆ H (0) − E (0) φ(0) = 0 (536) ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) φ(0) = 0 (537) ˆ ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(2) + H (1) − E (1) φ(1) + H (2) − E (2) φ(0) = 0(538)e assim por diante. Da primeira, tiramos, evidentemente, que ˆ H (0) φ(0) = E (0) φ(0)que ´ a equa¸˜o de autovalores do hamiltoniano n˜o-perturbado, por hip´tese e ca a oj´ completamente resolvida. Na segunda, Eq.(537), multiplicamos ` esquerda a apor φ(0)∗ (q) e integramos, obtendo ˆ dqφ(0)∗ (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) + ˆ dqφ(0)∗ (q) H (1) − E (1) φ(0) (q) = 0 (539) ˆMas, pela hermiticidade de H (0) , temos ∗ ˆ dqφ(0)∗ (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) = dq ˆ H (0) − E (0) φ(0) (q) φ(1) (q) = 0 (540)Logo, de (539), ˆ dqφ(0)∗ (q) H (1) − E (1) φ(0) (q) = 0ou ˆ E (1) = H (1) ,de acordo com o resultado obtido anteriormente.23.2 Quando o n´ ıvel ´ degenerado. . . eSuponhamos que o n´ ıvel E (0) seja g-vezes degenerado. Isto ´, existem g e (0)fun¸˜es φj , (j = 1, . . . , g) tais que co ˆ (0) (0) H (0) φj = E (0) φj (541) 117
  • 118. (0)Neste caso, qualquer combina¸˜o linear desses φj ser´ tamb´m uma fun¸˜o ca a e ca (0)de onda de energia E . De fato, g g g g ˆ (0) ˆ (0) (0) (0) H (0) cj φ j = cj H (0) φj = cj E(0)φj = E (0) cj φ j j=1 j=1 j=1 j=1 (0)A id´ia do m´todo ´ esta: procurar as combina¸˜es lineares das fun¸˜es φj e e e co coque sejam tais que o efeito da perturba¸˜o em primeira ordem seja pequeno. ca`A luz da Eq.(529), isto significa que, para compensar os denominadores que (0) (0)se anulam, quando En = Em com n = m, devemos escolher as combina¸˜es co (0)lineares das φj que fazem o numerador correspondente tamb´m se anular26 . eSuponhamos o problema resolvido, e seja g (0) (0) φ = cj φ j (542) j=1a combina¸˜o linear procurada. ca (0)Note-se que supomos as φj normalizadas. Ent˜o a φ(0) da Eq.(542) ser´ normalizada se a a |cj |2 = 1. j Considere a equa¸˜o ca ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) φ(0) = 0 (543)ou g ˆ ˆ (0) H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) cj ′ φ j ′ = 0 (544) j ′ =1 (0)∗Multiplicando ` esquerda por φj a e integrando, obt´m-se: e (0)∗ ˆ (0)∗ ˆ (0) dqφj (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) + dqφj (q) H (1) − E (1) cj ′ φ j ′ = 0 j′ (545)O primeiro termo do primeiro membro ´ zero, usando-se a hermiticidade de eˆ (0) , como na Eq.(540). Ent˜o segue queH a (0) ˆ (0) (0)∗ (0) dqφj H (1) φj ′ − E (1) dqφj (q)φj ′ (q) = 0 (546) j′ j′e, introduzindo o s´ ımbolo ˆ (1) Hjj ′ ≡ dqφj (0)∗ ˆ (q)H (1) φj ′ , (0) 26 Ou seja, as combina¸˜es lineares escolhidas devem diagonalizar a matriz de elementos coVnm , na nota¸˜o da Eq.(529). ca 118
  • 119. podemos escrever (546) como ˆ (1) cj ′ Hjj ′ − E (1) cj = 0 para j = 1, . . . , g (547) j′ou ainda, g ˆ (1) Hjj ′ − E (1) δjj ′ cj ′ = 0 para j = 1, . . . , g (548) j ′ =1Este ´ um sistema de g equa¸˜es homogˆneas a g inc´gnitas (os coeficientes e co e ocj ), cuja solu¸˜o trivial ´ cj = 0 para todo j. E ca e ´ claro que esta solu¸˜o n˜o ca atem nenhum interesse f´ ısico. Para que existam outras solu¸˜es, ´ necess´rio co e aque ˆ (1) |Hjj ′ − E (1) δjj ′ | = 0 (549)onde, se Aij ´ uma matriz, |Aij | ´ o determinante da matriz. e e A equa¸˜o (549) ´ denominada, por raz˜es hist´ricas, equa¸˜o secular. ca e o o caVamos a um exemplo. Para g = 2, a matriz em quest˜o ´ a e ˆ (1) ˆ (1) H11 − E (1) H12 (1) (550) ˆ H21 ˆ (1) H22 − E (1)A equa¸˜o secular ca ent˜o d´: a a ˆ (1) H11 − E (1) ˆ (1) H12det ˆ (1) = H11 − E (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) H22 − E (1) −H21 H12 = 0 ˆ (1) H21 ˆ (1) H22 − E (1) (551)ou ˆ (1) ˆ (1) ˆ ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) E (1)2 − H11 + H22 E (1) + H11 H22 − H12 H21 = 0 . (552)H´ duas solu¸˜es, a co 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1) = H11 + H22 + 2 1 ˆ (1) ˆ (1) 2 ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) + H11 + H22 − 4 H11 H22 − H12 H21 (553) 2 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1)′ = H11 + H22 + 2 1 ˆ (1) ˆ (1) 2 ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) − H11 + H22 − 4 H11 H22 − H12 H21 (554) 2Logo, o n´ de energia E (0) se desdobra em dois, de energia s E (0) + E (1) e ıvelE (0) + E (1)′ . De uma maneira geral, se a degenerescˆncia for de ordem g, teremos uma eequa¸˜o alg´brica de ordem g, com g solu¸˜es para E (1) . Se forem todas ca e codiferentes, o n´ se desdobrar´ em g novos n´ ıvel a ıveis, e a degenerescˆncia ser´ e acompletamente removida. 119
  • 120. 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo oComo aplica¸˜o vamos calcular a a¸˜o de uma campo magn´tico fraco sobre ca ca eo estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio. Sabe-se que quando se liga a eum campo magn´tico externo, o n´ e ıvel n = 1, que corresponde ao estadofundamental, desdobra-se em um par de n´ ıveis. A interpreta¸˜o f´ ca ısica ´ a eseguinte: devido ao spin, o el´tron comporta-se como um pequeno ´ a. A e ım˜energia de intera¸˜o de um dipolo magn´tico de momento de dipolo µ com ca eum campo magn´tico B ´ e e E = −µ.Be depende, portanto, da orienta¸˜o relativa dos dois. Como o spin quˆntico ca as´ pode ter duas orienta¸˜es, correspondentes `s componentes z iguais a h 1 o co a ¯2ou −¯ 1 , h´ dois valores poss´ h2 a ıveis para a energia E, que, grosso modo, ´eadicionada ` energia do estado fundamental. Surgem assim os dois n´ a ıveis.Este fenˆmeno chama-se efeito Zeeman anˆmalo. o o Esta interpreta¸˜o superficial ´ confirmada por uma an´lise mais cuida- ca e adosa, baseada no c´lculo perturbativo. a Vimos na equa¸˜o (456) que o termo de intera¸˜o do el´tron no estado ca ca efundamental do ´tomo de hidrogˆnio (l = 0), ´ a e e ˆ ˆ e¯ h V = Hem = − s.B (555) mconde s ´ o operador de spin, cuja representa¸˜o matricial na base formada e capelos estados 1 χ+ = (556) 0 0 χ− = (557) 1´, por exemplo, para a componente x, sx = 1 σx , come 2 0 1 σx = (558) 1 0Levando-se em conta o spin, o estado fundamental ´ degenerado, e, por isso, e´ preciso utilizar o formalismo desenvolvido especialmente para este caso.e emComo s´ o spin interessa neste caso, vamos denotar por Hij ≡ Vij o elemento ode matriz gen´rico entre autoestados da proje¸˜o z do spin. Para dar um e caexemplo n˜o excessivamente trivial, tomaremos o eixo x ao longo da dire¸˜o a cado campo magn´tico, suposto uniforme e constante no tempo. e 120
  • 121. O termo de intera¸˜o ´ ent˜o dado pela matriz ca e a e¯ h V =− σx B (559) 2mccujos elementos s˜o a e¯ † h e¯ h 0 1 1 V11 = − χ+ σx χ+ = − (1, 0) =0 (560) 2mc 2mc 1 0 0 e¯ h 0 1 0 V22 = − (0, 1) =0 (561) 2mc 1 0 1 ∗ e¯ h 0 1 0 e¯ h V12 = V21 = − (1, 0) =− (562) 2mc 1 0 1 2mcUsando agora as equa¸˜es (553) e (554), obtemos co 1 e¯ h E (1) = 4V12 V21 = (563) 2 2mc e¯ h E (1) ′ = − (564) 2mcLogo, a diferen¸a de energia entre os dois n´ c ıveis, uma vez removida a de-generescˆncia, ´ e e e¯ h ∆E = E (1) − E (1) ′ = B (565) mcem muito bom acordo com a experiˆncia, para campos magn´ticos fracos. e e23.4 Exerc´ ıcios1. No fim desta lista h´ uma tabela de valores de quantidades como a carga ae massa do el´tron, velocidade da luz, h, etc. Consulte-a para resolver as e ¯quest˜es que seguem. o(a)Calcule, em ev (eletronvolts) o potencial de ioniza¸˜o do ´tomo de hidrogˆnio, ca a eque ´ a energia necess´ria para extrair um el´tron do estado fundamental. e a e(b)Calcule, em ev, a diferen¸a de energia entre o estado fundamental e o cprimeiro estado excitado do ´tomo de hidrogˆnio. a e e¯ h(c) Calcule a raz˜o entre mc B e as quantidades calculadas acima, sendo B ao campo magn´tico da Terra. Isto dar´ uma id´ia do tamanho do efeito e a eZeeman anˆmalo (ver Notas) em rela¸˜o a duas energia s t´ o ca ıpicas do ´tomo ade hidrogˆnio. e2. Considere o po¸o quadrado infinito que estudamos em detalhe: duas c 121
  • 122. paredes inpenetr´veis, paralelas, a uma distˆncia a uma da outra. Calcule o a aefeito sobre o estado fundamental de uma mola de constante el´stica muito apequena que prende a part´ ıcula ` parede em x = 0: corre¸˜o ` energia e ` a ca a afun¸˜o de onda, at´ primeira ordem. ca e3. Mesmo problema, mas, agora, o movimento da part´ ıcula no po¸o ´ afetado c epor uma for¸a constante muito fraca, da esquerda para a direita. c4. Qual ´ a dificuldade em introduzir a “resistˆncia do ar”, isto ´, uma e e efor¸a proporcional ` velocidade, dessa forma? c a5. Efeito Stark no ´tomo de hidrogˆnio: uma perturba¸˜o dada por um a e capotencial eletrost´tico a V = eF z ,onde F ´ o m´dulo de campo el´trico, age sobre o ´tomo. Calcule os novos e o e an´ ıveis de energia com n = 2. Resposta: me4 1 − 2¯ 2 4 h me4 1 − 2 2¯ 4 h me4 1 − 2 + 3eF a 2¯ 4 h me4 1 − 2 − 3eF a 2¯ 4 h23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o a1 erg = 6.2 × 1011 eVh = 1, 05 × 10−27 erg.s¯c = 3 × 1010 cm/sme = 9, 1 × 10−28 g e¯hMagneton de Bohr ( 2mc )=9, 3 × 10−21 erg/gaussCampo magn´tico da Terra ≈ 0, 3gauss. e6.O pr´ton n˜o ´ um ponto. Uma representa¸˜o aceit´vel para ele ´ como uma o a e ca a eesfera de raio R muito menor do que o raio do ´tomo. Quando calculamos aos estados estacion´rios do ´tomo de hidrogˆnio, supusemos o pr´ton como a a e oum ponto. Seja a o raio do ´tomo. Para R ≤ r ≤ a, a energia potencial ado el´tron ´ a mesma, seja o pr´ton um ponto ou uma esfera de raio R. e e o 122
  • 123. Mas no intervalo 0 ≤ r ≤ R, a energia potencial do el´tron ´ diferente. e eCalcule o efeito da extens˜o do pr´ton sobre os n´ a o ıveis de energia do ´tomo de ahidrogˆnio considerando como perturba¸˜o a diferen¸a de energia potencial e ca cdevida ` extens˜o do pr´ton. Mais precisamente: a a o(a)Mostre que o potencial perturbador ´ e −3e2 r2 2r 3 R2 − 3 , r < R, V (r) = 0, r>R(b)Calcule a corre¸˜o ` energia do estado fundamental. De quantos por cento ca a´ alterada?e7. Considere um oscilador linear unidimensional de massa m e carga e. Suaenergia potencial ´ escrita como e 1 v(x) = mω 2 x2 2e a energia irradiada ´ desprez´ e ıvel. Um campo el´trico fraco, constante no eespa¸o e no tempo, ´ aplicado na dire¸˜o x. Mostre que, c e ca(a) Em primeira ordem de perturba¸˜o, os n´ ca ıveis de energia n˜o s˜o alter- a aados.(b) Calcule a corre¸˜o em segunda ordem para o estado fundamental. ca(c) Resolva o problema exatamente, e mostre que a solu¸˜o exata coincide cacom (b).(d) Analise o problema cl´ssico eq¨ ivalente e compare as solu¸˜es exatas para a u coo problema n˜o-perturbado e perturbado. a8.A linha espectral de λ = 1850˚ do merc´ rio resulta da transi¸˜o de um A u caestado excitado para o estado fundamental 1 S0 . Um campo magn´tico de e0, 2T divide essa linha em trˆs componentes com uma separa¸˜o de 0, 0032˚ e ca Aentre linhas vizinhas. O que se pode dizer do estado excitado?9. (Dedicado a Douglas Cancherini) Corre¸˜es relativistas aos n´ co ıveisatˆmicos. oA energia de uma part´ ıcula relativista livre ´ dada pela conhecida express˜o e a E 2 = p2 c2 + m2 c4 (566)A parte desta energia que permanece quando p = 0 ´ dita “energia de re- epouso”, e ´ dada pela famos´ e ıssima express˜o a E = mc2 (567) 123
  • 124. A diferen¸a entre as energia s dadas por (566) e (567) ´ a energia cin´tica da c e epart´ ıcula. A eq.(566) pode ser escrita E= p2 c2 + m2 c4 (568)e, na maioria dos casos, o termo que descreve a energia em repouso ´ muito emaior do que o outro. Ent˜o podemos proceder assim: a 1 p 2 c2 2 p2 2 E= m2 c4 1+ 2 4 = mc 1+ 2 2 (569) mc mcque pode ser calculada aproximadamente usando a f´rmula do binˆmio de o oNewton: α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − p + 1) p (1 + x)α = 1 + αx + x +... x + . . . (570) 2! p!Usando (570) em (569), temos p2 2 1 p4 E = mc + − + ... (571) 2m 8 m3 c2Subtra´ındo a energia de repouso de (571), temos uma express˜o para a ener- agia cin´tica que j´ inclui algumas corre¸˜es relativistas, pois a energia cin´tica e a co e p2n˜o-relativista ´ dada por 2m . a e Calculamos os n´ ıveis de energia do ´tomo de hidrogˆnio resolvendo a a eequa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios com o hamiltoniano ca o a ˆ p2 Ze2 H= − (572) 2m rPara avaliar a importˆncia das corre¸˜es relativistas, podemos utilizar a teo- a co 4 co ca ˆria das perturba¸˜es, considerando como perturba¸˜o V = − 1 mp3 c2 . 8(a) Obtenha a Eq.(571).(b) Calcule a corre¸˜o ` energia do estado fundamental de um ´tomo hidro- ca a agen´ide de Z qualquer, e exiba a dependˆncia em Z. Para que valor de Z se o eteria uma corre¸˜o de 1%? ca23.4.2 Exerc´ ıcio resolvido1. Considere o po¸o quadrado infinito usual, com paredes impenetr´veis em c ax = 0 e x = a. Calcule o efeito sobre a energia de um estado estacion´rio aqualquer de uma mola de constante el´stica muito pequena (a energia poten- acial perturbadora deve ser muito menor do que a separa¸˜o entre os n´ ca ıveis) 124
  • 125. que prende a part´ ıcula ` parede em x = 0, em primeira ordem de perturba¸˜o. a caSolu¸˜o: os n´ ca ıveis de energia n˜o-perturbados s˜o: a a h2 2 ¯ En = k 2m ncom nπ kn = asendo a fun¸˜o de onda correspondente ca 2 nπ ψn (x) = sin x a aA perturba¸˜o ´ dada por ca e 1 V (x) = mω 2 x2 2e a separa¸˜o de n´ ca ıveis ´ e h2 π 2 2 ¯ h2 π 2 ¯ En − En−1 = 2 n − (n − 1)2 = [2n − 1] 2ma 2ma2A condi¸˜o de validade da teoria da perturba¸˜o, mencionada acima, ´ ca ca e(mostre!) h2 π 2 (2n − 1) ¯ ω2 ≪ m2 a4Note-se que a condi¸˜o depende do n´ ca ıvel. Uma perturba¸ao pequena para os c˜n´ ıveis baixos pode n˜o o ser para n´ a ıveis altos. A corre¸˜o ` energia ´ ca a e 2 a nπ 1 mω 2 a nπ E= sin2 x mω 2 x2 = dx sin2 x a 0 a 2 a 0 aPara n inteiro a integral a nπx a3 dxx2 sin2 = 2n3 π 3 − 3nπ 0 a 12n3 π 3Obt´m-se assim, para a corre¸˜o, e ca (1) mω 2 a2 1 1 E = − 2 2 2 3 2n π 125
  • 126. 23.4.3 Exerc´ ıcio resolvido (Enrico Fermi, 1954) Efeito Stark no ´tomo de hidrogˆnio: uma perturba¸˜o dada por um a e capotencial eletrost´tico a V = eF zonde F , constante, ´ o m´dulo do campo el´trico, age sobre o ´tomo. Calcule e o e aos novos n´ıveis de energia com n = 2.Solu¸˜o: o n´ ca ıvel n = 2 ´ degenerado, de ordem 4. As fun¸˜es de onda e cocorrespondentes s˜o:ψ211 , ψ210 , ψ21−1 , ψ200 . Vamos denotar os elementos de amatriz de V por ∞ π 2π 211|V |210 = r 2 dr sin θdθ ∗ dφψ211 (r, θ, φ)eF zψ210 (r, θ, φ) 0 0 0e assim por diante. A equa¸˜o secular ´: ca e   11|V |11 − E 11|V |10 11|V |1 − 1 11|V |00  10|V |11 10|V |10 − E 10|V |1 − 1 10|V |00  det   1 − 1|V |11 =0 1 − 1|V |10 1 − 1|V |1 − 1 − E 1 − 1|V |00  00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 00|V |00 − Eonde omitimos o ´ ındice 2, que ´ sempre o mesmo. e Um elemento de matriz t´ ıpico ´ e eF d3 rψ211 (r, θ, φ)zψ210 (r, θ, φ)Muitas dessas integrais s˜o nulas por causa do seguinte fato: ase f (x, y, z) = −f (−x, −y, −z), ent˜o a a b c dx dy dyf (x, y, z) = 0 −a −b −cA troca de r por −r, ou seja, de (x, y, z) por (−x, −y, −z) chama-se invers˜o aespacial. Em coordenadas esf´ricas esta transforma¸˜o ´: e ca e r → r θ → π−θ φ → φ+πEm rela¸˜o ` invers˜o espacial, os harmˆnicos esf´ricos tˆm a seguinte trans- ca a a o e eforma¸˜o (veja a prova abaixo): ca Ylm (θ, φ) = (−1)l Ylm (π − θ, φ + π) 126
  • 127. Em conseq¨ˆncia, as seguintes integrais s˜o nulas: ue a ∗ dqψnlm zψnlm = dqz|ψnlm |2 = 0pois |ψnlm |2 ´ par e z ´ ´ e e ımpar, ou seja, o integrando ´ ´ e ımpar, sendo o intervalode integra¸˜op sim´trico, pois ´ o espa¸o todo. Logo, na equa¸˜o secular, os ca e e c caelementos de matriz diagonais s˜o todos nulos. a Na realidade, o mesmo fenˆmeno acontece com os elementos de matriz de oz entre estados de mesmo l, por exemplo: 210|V |211 = 0A matriz se simplifica para −E 0 0 11|V |00    0 −E 0 10|V |00  det  =0   0 0 −E 1 − 1|V |00    00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 −EEsta equa¸˜o d´ ca a E 4 − E 2 |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2 = 0que tem como solu¸˜es E = 0, E = 0 e co E = ± |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2Finalmente, notando que [V, lz ] = 0, ´ f´cil provar (veja a prova abaixo) que e aos elementos de matriz de V entre estados de valores distintos de m s˜o nulos. aEm conseq¨ˆncia, ue E = ±|V00,10 |Usando as fun¸˜es de onda co 1 r −r ψ200 = √ 2− e 2a 32πa3 a 1 r −r ψ210 = √ e 2a cos θ 32πa3amostre que os demais valores de E s˜o: a E = ±3eF aA conclus˜o ´ que o n´ n = 2 divide-se em trˆs n´ a e ıvel e ıveis: um, com a mesmaenergia anterior, que ´ ainda degenerado (de ordem 2), outro com energia e 127
  • 128. igual ` energia de Bohr adicionada de 3eF a, e um terceiro, com a energia de aBohr subtra´ de 3eF a. ıdaProva 1:Para maior clareza, vamos denotar os harmˆnicos esf´ricos assim: o e r Ylm (θ, φ) ≡ Ylm ( ) , ronde r ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o determinada pelos ˆngulos θ e φ. Ent˜o, o que r e a ca a aqueremos provar ´ que e r r Ylm ( ) = (−1)l Ylm (− ) r rPara o caso em que l = m, temos l x + iy Yll (θ, φ) = K re, como (−x + i(−y))l = (−1)l (x + iy), segue que r r Yll ( ) = (−1)l Yll (− ) r rPara completar a prova, lembre-se de que l−m Ylm = K (l− ) YllMas l− = lx − ilye todas as componentes li s˜o invariantes pela invers˜o temporal (por exemplo, lx = a a ∂ ∂−i y ∂z − z ∂y n˜o se altera se os sinais de y e z s˜o invertidos). Logo, a a r l−m r l−m r r Ylm (− ) = K (l− ) Yll (− ) = (−1)l K (l− ) Yll ( ) = (−1)l Ylm ( ) r r r rProva 2: [lz , z] = 0, logo, [V, lz ] = 0. Considere o elemento de matriz l, m|[V, lz ]l′ , m′ ,que ´ obviamente zero, j´ que o comutador ´ zero. Ent˜o, e a e a 0 = l, m|[V, lz ]|l′ , m′ = = l, m|V |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |lz |l′ , m′ − l, m|lz |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |V |l′ , m′ l′′ ,m′′ l′′ ,m′′ = m′ l, m|V |l′ , m′ − m l, m|V |l′ , m′ = 0Logo, (m′ − m) l, m|V |l′ , m′ = 0Daqui se vˆ que, se m = m′ , l, m|V |l′ , m′ = 0, como se queria demonstrar. e Sem usar a nota¸˜o de Dirac, a prova seria assim: ca 0 = dqYl∗,m′ [V, lz ]Ylm ′ 128
  • 129. = dqYl∗,m′ V lz Ylm − ′ dqYl∗,m′ lz V Ylm ′ ∗ = m dqYl∗,m′ V Ylm − ′ dq (lz Yl′ ,m′ ) V Ylm = m dqYl∗,m′ V Ylm − m′ ′ dqYl∗,m′ V Ylm ′ = (m − m′ ) dqYl∗,m′ V Ylm ′23.4.4 Prova simulada1. Efeito Stark do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio a eO el´tron do ´tomo de hidrogˆnio acha-se sob a a¸˜o de um campo el´trico e a e ca eexterno que lhe confere uma energia potencial eF z.(a) Mostre que o efeito Stark para o n´ n = 1 ´, em primeira ordem de ıvel eperturba¸˜o, nulo. ca(b) Calcule a contribui¸˜o de segunda ordem, levando o c´lculo at´ onde ca a epuder. l(c) A partir de Yll (θ, φ) = K x+iy , calcule Y21 (θ, φ), determinando tamb´m r ea constante de normaliza¸˜o.ca2.O ´tomo dos pobres aUm el´tron est´ preso dentro de uma esfera ˆca de paredes impenetr´veis, e a o ade raio a. N˜o h´ outras for¸as agindo sobre ele. a a c(a) Existem estados estacion´rios esfericamente sim´tricos? (b) Determine a eos autovalores da energia desses estados.(c) Determine a fun¸˜o de onda do estado esfericamente sim´trico de menor ca eenergia .(d) Existem estados estacion´rios desse el´tron que n˜o sejam esfericamente a e asim´tricos? e3. Oscilador preso a uma paredeUma part´ıcula de massa m possui a energia potencial 1 2 kx2 x>0 V (x) = ∞ x≤0(a) Escreva o hamiltoniano para este sistema. e determine as autofun¸˜es coψn (x) e autovalores En . (b) Calcule o valor esperado x para o estado fun-damental deste sistema e compare com o valor da mesma quantidade para ooscilador verdadeiro. Comente a diferen¸a. (c) Mesma coisa para p . c 129
  • 130. 4. Um sistema f´ ısico tem, num certo instante, uma fun¸˜o de onda cuja caunica dependˆncia em φ (quando expressa em coordenadas esf´ricas) ´ dada´ e e epor um fator 4 Φm (φ) = cos2 φ 3π ıveis valores para uma medida de ˆz ?(a) Quais os poss´ l(b)Qual o valor m´dio lz ? e23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas co´Atomo dos pobresO laplaceano em coordenadas esf´ricas pode ser escrito: e ˆ2 1 ∂ ∂ψ l ∇2 ψ = 2 r2 − 2ψ (573) r ∂r ∂r r ˆ2onde l ´ o operador de momento angular total. e A equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios do sistema descrito ca o a´, ent˜o,e a ˆ2    2  h ¯ 1 ∂ ∂ψ l  − r2 − 2 ψ = Eψ (574) 2m  r 2 ∂r  ∂r r  Procuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) (575)Inserindo esta express˜o em (574), temos, visto que a ˆ2 l Ylm = l(l + 1)Ylm , h2 1 d ¯ 2 dR h2 l(l + 1) ¯ − 2 dr r + R(r) = ER(r) (576) 2m r dr 2m r 2Introduzindo a fun¸˜o u(r) tal u(0) = 0 e ca u(r) R(r) = ra equa¸˜o (576) d´, para u(r), a equa¸˜o ca a ca d2 u(r) l(l + 1) 2m 2 − 2 u(r) = − 2 Eu(r) (577) dr r h ¯ 130
  • 131. Para maior clareza, vamos apender o ´ ındice l `s solu¸˜es desta equa¸˜o. a co caEnt˜o, reescrevemos: a d2 ul (r) l(l + 1) 2m 2 − 2 ul (r) = − 2 El ul (r) (578) dr r h ¯Os ´ıtens (a) e (b) podem ser respondidos imediatamente. Como as solu¸˜es cos˜o da forma ulr Ylm (θ, φ), as eventuais solu¸˜es de simetria esf´rica tˆm de a (r) co e ecorresponder a l = 0, j´ que o unico harmˆnico esf´rico com esta simetria ´ a ´ o e eo Y00 . A equa¸˜o relevante ´, ent˜o, (577) com l = 0, ou seja, ca e a d2 u0 (r) 2 = −k0 u0 (r) (579) dr 2onde pusemos 2 2m k0 ≡ E0 (580) h2 ¯A eq.(580) tem a solu¸˜o geral ca u0 (r) = A cos k0 r + B sin k0 r (581)mas, como u(0) = 0, devemos tomar A = 0. Logo, u0 (r) = B sin k0 r (582) Al´m disso, o ´tomo dos pobres tem raio a, e ent˜o a condi¸˜o adicional e a a cau0 (a) = 0 deve ser imposta. Com isto, obtemos B sin k0 a = 0 (583)cuja solu¸˜o mais geral ´ ca e kn0 a = nπ (584)onde n ´ um inteiro. Resolvemos, de novo para maior clareza, apender um enovo ´ ındice, n, `s solu¸˜es. Temos, ent˜o, muitas solu¸˜es esfericamente a co a cosim´tricas, caracterizadas por e un0 (r) = B sin kn0 r B sin kn0 r ψn0 (r) = Y00 (θ, φ) (585) rsendo as energia s dadas por h2 n2 π 2 ¯ En0 = (586) 2m a2 131
  • 132. Evidentemente a solu¸˜o esfericamente sim´trica de menor energia ´ dada ca e epor ψ1,0 (r). As demais quest˜es sobre o ´tomo dos pobres podem ser resolvidas sem o adificuldade pelo leitor. As solu¸˜es sem simetria esf´rica satisfazem a equa¸˜o co e ca d2 ul l(l + 1) − ul (r) = −k 2 ul (r) (587) dr 2 r2 ul (r)Reescrevendo em termos da fun¸˜o Rl (r) ≡ ca r , temos d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + − Rl = −k 2 Rl (588) dr 2 r dr r2As fun¸˜es de Bessel esf´ricas s˜o solu¸˜es da equa¸˜o diferencial co e a co ca d2 jl (r) 2 djl (r) l(l + 1) + − jl (r) = −jl (r) (589) dr 2 r dr r2de onde se deduz sem dificuldade que Rl (r) = jl (kr) (590)Logo, as solu¸˜es sem simetria esf´rica tˆm a forma co e e ψnlm (r, θ, φ) = Ajl (kr)Ylm(θ, φ) (591)A condi¸˜o de contorno ´ ca e jl (ka) = 0 , (592)que ´ satisfeita por certos valores de k, denotados por kn , para os quais (592) e´ satisfeita. Matematicamente, trata-se ent˜o de fazer com que a quantidadee aka coincida com os zeros da fun¸˜o de Bessel esf´rica jl , que s˜o encontrados ca e aem tabelas. Sejam z1 < z2 < . . . < zn . . . n´ meros tais que u jl (zi ) = 0Ent˜o teremos a zi kil = (593) asendo a energia deste estado estacion´rio dada por a h2 2 ¯ Eil = k (594) 2m il 132
  • 133. 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidosCalcular as corre¸˜es relativistas aos n´ co ıveis de energia como corre¸˜es coperturbativas. (Exerc´ 9, Se¸˜o 20.4 das notas de aula). ıcio caSolu¸˜o: o hamiltoniano n˜o-perturbado ´ ca a e ˆ p2 Ze2 H0 = − 2m renquanto que o perturbado ´, como vimos em aula, e 4 ˆ = H0 + V = H0 − 1 p H ˆ ˆ ˆ 8 m3 c2A corre¸˜o ` energia em primeira ordem ´, ent˜o, ca a e a 1 p4 E (1) = ∗ dqψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 8 m3 c2Mas p4 ψ = p2 p2 ψ = h4 ∇2 ∇2 ψ ¯e ∇2 ´ um operador hermiteano (por que?). Ent˜o, e a (1) h4 ¯ E = − 3 2 dqψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)∇2 ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) ∗ 8m c h4 ¯ ∗ = − 3 2 dq ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 8m c h4 ¯ = − 3 2 dq|∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 8m cA equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e h2 2 ¯ Ze2 − ∇ ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) = En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 2m rlogo, 2mZe2 2m ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) = − 2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) hr ¯ h ¯Logo, |∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 = 2mZe2 2m ∗ 2mZe2 2m= + 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) + 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) h2 r ¯ h ¯ h2 r ¯ h ¯ 133
  • 134. 4m2 Z 2 e4 2 2 2 8m Ze En1 2 4m 2= 4 2 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)| + 4 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)| + 4 En1 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 2 hr ¯ hr ¯ h ¯ Para a corre¸˜o da energia temos, ent˜o, ca a Z 2 e4 1 Ze2 En1 1 E2 E (1) = − dq |ψ|2 − dq |ψ|2 − n12 dq|ψ|2 2mc2 r2 mc2 r 2mcou, Z 2 e4 1 Ze2 2 1 En1 E (1) = − 2 r2 − E 2 n1 r − 2mc mc 2mc2Para uma an´lise qualitativa, podemos por: a Z 2 e4 1 Ze2 1 En1 E (1) = − 2 a2 − E 2 n1 a − 2mc 0 mc 0 2mc2 Verifique cuidadosamente esses c´lculos (foram feitos `s pressas). Em a aparticular, verifique a validade de r = a0 1 1 = r a0 1 1 = 2 r2 a0 Determine explicitamente a dependˆncia total em Z (h´ uma escondida e aem a0 ?). Justifique o folklore que diz: corre¸˜es relativistas s˜o importantes para co an´ cleos pesados, em suas ´rbitas internas. u o Como n˜o h´ ´rbitas, que hist´ria ´ essa de “´rbitas internas”? a ao o e o24 Perturba¸˜es dependentes do tempo coAt´ agora estudamos o efeito de pequenas perturba¸˜es sobre um sistema e cof´ ısico, sob a hip´tese de que essas perturba¸˜es fossem independentes do o cotempo, como um campo magn´tico constante, etc. Muito importante para eo estudo das propriedades de ´tomo ´ investigar o que acontece com ele a equando, por exemplo, uma onda eletromagn´tica o atinge. A luz do Sol, por eexemplo, ´ um campo eletromagn´tico que varia muito rapidamente mas que, e eem condi¸˜es normais, ´ muito menos intenso do que os campos el´tricos e co e emagn´ticos do pr´prio ´tomo. Ent˜o a luz ´ uma perturba¸˜o, mas uma e o a a e caperturba¸˜o dependente do tempo. Seja ca ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (t) (595) 134
  • 135. ˆo hamiltoniano perturbado, escrito como a soma de um hamiltoniano H0 , n˜o- aperturbado, sobre o qual sabemos tudo, e de uma perturba¸˜o V ca ˆ (t), ondea perturba¸˜o, agora, depende do tempo. Esta ´ uma dependˆncia expl´ ca e e ıcitano tempo. Vamos explicar por meio de um exemplo: suponha dois el´trons, einteragindo sob a a¸˜o de seus campos el´tricos. A repuls˜o eletrost´tica ca e a afar´ com que, ` medida que o tempo passa, eles estejam cada vez mais longe a aum do outro. Portanto, do ponto-de-vista de cada um dos el´trons, o campo edo outro varia com o tempo. N˜o se trata desta dependˆncia no tempo, a econseq¨ˆncia do movimento, o que estamos estudando aqui. Trata-se de uma uedependˆncia no tempo adicional a esta, e que aconteceria, por exemplo, se a ecarga de um dos el´trons fosse aumentando com o tempo. Se os dois el´trons e eestivessem no interior de um capacitor cujo campo el´trico fosse alter´vel e apor meio de um reostato, ter´ ıamos um campo com dependˆncia expl´ e ıcita notempo. Uma onda de luz que incide sobre um el´tron, j´ citada acima, ´ e a eoutro exemplo de perturba¸˜o com dependˆncia expl´ ca e ıcita no tempo. Nestecaso, n˜o h´ conserva¸˜o da energia 27 e o hamiltoniano perturbado n˜o ter´, a a ca a aem geral, estados estacion´rios. Sup˜e-se, por´m, que o hamiltoniano H a o e ˆ 0 ostenha, e o objetivo ´ calcular as fun¸˜es de onda do sistema perturbado como e cocorre¸˜es aos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado. co a a Sejam (0) i ψk (r, t) = uk (r)e− h Ek t ¯ (596)as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado. co a aEnt˜o uma solu¸˜o arbitr´ria da equa¸˜o de Schr¨dinger para o sistema n˜o- a ca a ca o aperturbado pode ser escrita na forma (0) ψ= ak ψk (597) k 27 De fato, a f´rmula o ˙ ˆ i ˆ ˆ O = [H, O] , h ¯precisa, quando h´ dependˆncia expl´ a e ˆ ıcita no tempo no operador O, ser modificada, dando ˙ ˆ ∂O i ˆ ˆ ˆ O= + [H, O] ∂t h ¯ ´ ca ˆAplicando-se esta ultima equa¸˜o ao hamiltoniano H, tem-se ˙ ˆ ∂H ˆ ∂V ˆ H= = ∂t ∂tque ´ diferente de zero. Na mecˆnica quˆntica, lembre-se, a conserva¸˜o da energia ´ e a a ca e ˙ ˆ = 0, que, neste caso, n˜o ´ verdadeira.sumarizada pela rela¸˜o H ca a e 135
  • 136. Vamos agora procurar uma solu¸˜o da equa¸˜o perturbada ca ca ∂Ψ ˆ ˆ i¯ h = H0 + V ψ (598) ∂tna forma de uma soma (0) ψ= ak (t)ψk (599) konde os ak agora, diferentemente daqueles da Eq.(597), s˜o fun¸˜es do tempo. a coPara ser mais esoec´ıfico, seja ψn a fun¸˜o de onda do sistema perturbado que ca (0)´ uma corre¸˜o da fun¸˜o de onda n˜o perturbada ψn . A equa¸˜o (599) ´e ca ca a ca eagora escrita assim: (0) ψn = akn (t)ψk (600) k (0)Levando a Eq.(600) ` Eq.(598), e lembrando que as ψk satisfazem a equa¸˜o a ca (0) ∂ψk ˆ (0) i¯ h = H0 ψk , (601) ∂tobtemos ∂ (0) ˆ ˆ (0) i¯ h akn (t)ψk = H0 + V (t) akn (t)ψk (602) ∂t k kou (0) dakn ˆ (0) ψk i¯ h = akn (t)V (t)ψk (603) k dt k (0)∗Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o ` esquerda por ψm e integrando, ca atemos damn i¯ h = Vmk (t)akn (t) (604) dt konde (0)∗ ˆ (0) Vmk (t) = ψm V ψk dq = Vmk eiωmk t (605) (0) (0) E −Ecom ωmk = m ¯ k , s˜o os elementos de matriz da perturba¸˜o, inclu´ h a ca ındo asexponenciais que contˆm a dependˆncia temporal. Deve-se notar ainda que, e e ˆcomo V depende explicitamente do tempo, as quantidades Vmk s˜o tamb´m a e (0)fun¸˜es do tempo. O fato de que ψn ´ pr´xima de ψn ´ expresso por co e o e anm (t) = δnm + a(1) (t) nm (606)Inserindo (606) em (604), temos da(1) mn i¯ h = δnk Vmk = Vmn (t) (607) dt k 136
  • 137. Note-se que Vmk (t) = Vmk eiωmk t (608) A equa¸˜o (607) pode ent˜o, por causa de (608), ser escrita: ca a da(1) i¯ mn = Vmn eiωmn t h (609) dtIntegrando, obt´m-se: e i a(1) (t) = − mn dtVmn eiωmn t (610) h ¯ O caso mais importante ´ de uma perturba¸˜o com dependˆncia peri´dica e ca e ono tempo, ˆ ˆ ˆ V = F e−iωt + Geiωt (611)` qual devemos, evidentemente, impˆr a condi¸˜o de hermiticidade. Comoa o ca ˆ ˆ ˆ V † = F † eiωt + G† e−iωt (612)e ˆ ˆ V = V† , (613)segue que ˆ ˆ F = G† (614)Para os elementos de matriz, temos a rela¸˜o: ca (G)mn = (F )∗ , mn (615)ou seja, Vmn = Fmn e−iωt + Fnm eiωt ∗ (616)Usando isto em (610), temos i amn (t) = − dt Fmn e−iωt + Fnm eiωt eiωmn t ∗ (617) h ¯ou i i ∗ amn (t) = − Fmn dtei(ωmn −ω)t − Fnm dtei(ωmn +ω)t (618) h ¯ h ¯e, integrando, i 1 i ∗ 1 amn (t) = − Fmn ei(ωmn −ω)t − Fnm ei(ωmn −ω)t (619) h ¯ i(ωmn − ω) h ¯ i(ωmn + ω) 137
  • 138. ou ainda, Fmn ei(ωmn −ω)t Fnm ei(ωmn +ω)t ∗ amn (t) = − − (620) h(ωmn − ω) ¯ h(ωmn + ω) ¯ Esta express˜o assinala que alguma coisa importante acontece quando a (0) (0) Em − En = ±¯ ω , h (621)embora, estritamente, a teoria de perturba¸˜es n˜o se aplique neste caso, j´ co a aque os efeitos s˜o grandes. Em todo o caso, ´ claro que a a¸ao de um campo a e c˜perturbador de freq¨ˆncia dada por (621) ´ muito mais intensa do que para ue equaisquer outras freq¨ˆncias. Este fenˆmeno ´ denominado ressonˆncia. ue o e a25 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a aConsidere a perturba¸˜o peri´dica ca o ˆ ˆ ˆ V = F e−iωt + Geiωt (0) (0)de freq¨ˆncia ω tal que Em − En = h(ω + ǫ) onde ǫ ´ pequeno. A equa¸˜o ue ¯ e cab´sica ´ (604), a e dam i¯h = Vmk (t)ak (622) dt kcom Vmk (t) = Fmk ei(ωmk −ω)t + Fkm ei(ωmk +ω)t ∗ (623)Esta express˜o cont´m expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, ǫ, ´ a e eparticularmente pequeno, aparecendo nas combina¸˜es ωmn − ω e ωnm + ω. coComo a solu¸˜o de (604) envolve uma integra¸˜o do segundo membro no ca catempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui v´rios termos aoscilantes, a contribui¸˜o dominante ´ a daquele termo que oscila menos. A ca ebase matem´tica rigorosa para isto ´ o lema de Riemann-Lebesgue28 . Pode- a emos, ent˜o, aproximar as equa¸˜es (604) por a co dam i¯ h = Fmn ei(ωmn −ω)t = Fmn eiǫt an (624) dte dan i¯ h = Fmn e−iǫt am ∗ (625) dt 28 O leitor achar´ uma descri¸˜o breve em a cahttp://mathworld.wolfram.com/Riemann-LebesgueLemma.htmle uma longa em qualquer livro que trate de integral de Lebesgue. 138
  • 139. Introduzindo a quantidade auxiliar bn = an eiǫttemos, para (624), i¯ a˙ = Fmn bn . h m (626)Substituindo, em (625), an em termos de bn , ficamos com d i¯ h bn e−iǫt = Fmn e−iǫt am ∗ (627) dtou i¯ b˙n − iǫbn = Fmn am h ∗ (628)Derivando mais uma vez, i¯ bn − iǫb˙n = Fmn a˙ h ¨ ∗ m (629)que, usada em (626), d´ a 1 bn − iǫb˙n + 2 |Fmn |2 bn = 0 ¨ (630) h ¯Trata-se agora de resolver esta equa¸˜o diferencial linear a coeficientes con- castantes. Para isto existe um algoritmo bem conhecido: como todas assolu¸˜es de equa¸˜es deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procura- co cose a solu¸˜o como uma exponencial gen´rica, escrita como ca e bn = eatcom a a determinar. Temos b˙n = aeat e bn = a2 eat . Inserindo estas express˜es ¨ oem (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos 1 a2 − iǫa + |Fmn |2 = 0 (631) h2 ¯que ´ um equa¸˜o do segundo grau. As solu¸˜es s˜o e ca co a 4 iǫ ± −ǫ2 − ¯2 h |Fmn |2 a= (632) 2Para simplificar esta express˜o introduzimos algumas abrevia¸˜es: a co Fmn η = h ¯ ǫ2 Ω = + |η|2 4 139
  • 140. Usando esta nota¸˜o as solu¸˜es (632) podem ser escritas ca co ǫ a1 = i + iΩ 2 iǫ a2 = − iΩ 2e, portanto, b(1) = ei( 2 +Ω)t ǫ n (633) b(2) = ei( 2 −Ω)t ǫ n (634)Como an = bn e−iǫt , obtemos a(1) = ei(− 2 +Ω)t ǫ n (635) a(2) = ei(− 2 −Ω)t ǫ n (636)Finalmente, introduzindo ǫ α1 = − + Ω 2 ǫ α2 = +Ω 2chegamos a a(1) = Aeiα1 t n (637) a(2) = Be−iα2 t n (638) A¯ α1 h a(1) = − ∗ eiα1 t m (639) Fmn B¯ α2 −iα2 t h a(2) = m ∗ e (640) Fmnonde, para obter as duas ultimas, usamos a eq.(625). ´ Note-se que um par (a(i) , a(i) ) representa uma fun¸˜o de onda n m ca a(i) ψn + a(i) ψm n (0) m (0) (641)A solu¸˜o mais geral ´ dada por uma combina¸˜o linear dessas solu¸˜es, para ca e ca coi = 1 e i = 2. Como cada uma j´ foi escrita com uma constante multiplicativa aarbitr´ria, temos a ψ = a(1) + a(2) ψn + a(1) + a(2) ψm n n (0) m m (0) (642) 140
  • 141. ou A¯ α1 iα1 t B¯ α2 −iα2 t h h ψ = Aeiα1 t + Be−iα2 t ψn + − (0) ∗ e + ∗ e (0) ψm (643) Fmn Fmn (0)Como condi¸˜o inicial, queremos que, para t = 0, ψ = ψm . Tomando t = 0 cana eq.(643), vemos que devemos ter A+B = 0 (644) h ¯ ∗ (−Aα1 + Bα2 ) = 1 (645) FmnConseq¨ entemente, u ∗ Fmn B = −A = (646) h(α1 + α2 ) ¯Note-se ainda que α1 + α2 = 2Ω. A express˜o para ψ ´, ent˜o: a e a 1 F∗ ψ= α1 eiα1 t + α2 e−iα2 t ψm − mn eiα1 t − e−iα2 t ψn (0) (0) (647) 2Ω 2¯ Ω h (0)O coeficiente de ψm na equa¸˜o anterior, depois de alguma ´lgebra, ´ escrito: ca a e ǫ iǫ e−i 2 t cos Ωt − sin Ωt (648) 2Ω (0)e o de ψn d´a η ∗ −i ǫ t −i e 2 sin Ωt (649) Ωde modo que ǫ iǫ η∗ ψ = e−i 2 t cos Ωt − (0) (0) sin Ωt ψm − i sin Ωt ψn (650) 2Ω Ω (0)O sistema inicia (em t = 0) no estado ψm . A probabilidade de ele estar, no (0)instante t, no estado ψn , ´ dada pelo quadrado do m´dulo do coeficiente de e o (0)ψn , que ´e |η|2 |η|2 sin2 Ωt = (1 − cos 2Ωt) (651) ω2 2Ω2 ǫ2Na ressonˆncia, isto ´, para ǫ = 0, temos Ω = a e 4 + |η|2 = |η|, logo, aprobabilidade da transi¸˜o ´ dada por ca e 1 (1 − cos 2|η|t) (652) 2que varia periodicamente entre 0 e 1. Isto significa que, na ressonˆncia, o a (0) (0)sistema realiza transi¸˜es peri´dicas entre ψm e ψn . Note que a freq¨ˆncia co o uedessas transi¸˜es n˜o depende de nenhuma das freq¨ˆncias presentes: ela ´ co a ue edeterminada por |η|, ou seja, pela intensidade da perturba¸˜o. ca 141
  • 142. 26 For¸as de van der Waals c26.1 Introdu¸˜o caO f´ ısico holandˆs Johannes Diderik van der Waals, vencedor do prˆmio Nobel e ede F´ısica de 1910 “por seu trabalho sobre a equa¸˜o de estado de gases e cal´ uidos” propˆs, para gases reais, a equa¸˜o de estado ıq¨ o ca a p+ (V − b) = RT , (653) V2aplic´vel a 1 mol. Aqui a e b s˜o as chamadas constantes de van der Waals. a aNaturalmente, para a = b = 0, recupera-se a equa¸˜o de estado para gases caideais. Note-se que a equa¸˜o de van der Waals (653) mant´m a sua validade ca eat´ mesmo nos estados em que a fase gasosa e a fase l´ uida est˜o em equil´ e ıq¨ a ıbrio(Ver, para isto, Landau, Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, pg.232). Van der Waals interpretou a constante b como o volume ocupado pelos´tomos: em gases rarefeitos este volume pode ser desprezado. A constanteaa estava associada, segundo ele, a uma for¸a atrativa entre dois ´tomos. O c apr´prio van der Waals sugeriu, mais tarde, um potencial de intera¸˜o da o caforma A V (r) = − exp −Br ronde A e B s˜o constantes. a Mais tarde ainda Keesom obteve o potencial p2 p2 1 2 V (r) = − 3kT r 6para duas mol´culas polares (i.´, com dipolos permanentes), com dipolos de e em´dulos p1 e p2 . o Contudo, gases de mol´culas n˜o polares tamb´m apresentam valores n˜o- e a e anulos para a constante a, de modo que uma for¸a mais geral do que a de cKeesom seria necess´ria. a26.2 O trabalho de DebyeEm 1920, P. Debye publicou um importante trabalho no Physikalisches Zeitschrift,Vol.21, 178(1920), intitulado As for¸as coesivas de van der Waals, que re- cproduzimos, em parte, a seguir. Como se sabe, o grande sucesso da equa¸˜o de estado de van der Waals cabaseia-se essencialmente na hip´tese de uma for¸a atrativa entre as mol´culas. o c eEssas for¸as causam, em adi¸˜o ` press˜o externa, uma press˜o interna que ´ c ca a a a e 142
  • 143. proporcional ao quadrado da densidade. De acordo com van der Waals, estasfor¸as de atra¸˜o existem entre mol´culas de qualquer tipo, e constituem c ca euma propriedade geral da mat´ria. Parece, por isso, de particular interesse econsiderar a origem dessa atra¸˜o universal. ca Sabe-se hoje com certeza absoluta que a mol´cula ´ um sistema de cargas e eel´tricas, e somos levados a procurar uma origem el´trica para as for¸as de van e e cder Waals. Ser´ certamente desnecess´rio considerar detalhes da estrutura a amolecular. Uma propriedade da mat´ria t˜o geral quanto a atra¸˜o de van e a cader Waals n˜o pode requerer, para a sua explica¸˜o, mais do que aspectos a caestruturais, comuns a todas as mol´culas. Mostraremos no que se segue que, ede fato, ´ suficiente saber que as mol´culas s˜o sistemas el´tricos em que e e a eas cargas n˜o est˜o rigidamente presas `s suas posi¸˜es em repouso. Uma a a a corela¸˜o entre a constante de atra¸˜o de van der Waals, de um lado, e o ´ ca ca ındicede refra¸˜o e o alargamento das linhas espectrais, do outro lado, pode ser cadeduzida na base dessa hip´tese. o26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals caCome¸amos por apresentar algumas rela¸˜es que ser˜o usadas subseq¨ ente- c co a umente. . .26.3 Causa da Coes˜o aSe imaginarmos as mol´culas como sistemas el´tricos r´ e e ıgidos, ent˜o haver´, a anaturalmente, uma for¸a agindo entre tais sistemas, que mudar´ de sinal c ae de magnitude com a orienta¸˜o m´ tua das mol´culas. Como todas as ca u eorienta¸˜es ocorrem em um g´s, a m´dia sobre tais orienta¸˜es precisa ser co a e cotomada, afim de computar o termo de atra¸˜o que aparece na equa¸˜o de ca caestado. Em termos gerais, na realiza¸˜o dese processo de m´dia, a probabilidade ca ede uma orienta¸˜o arbitr´ria teria de ser determinada em base ao princ´ ca a ıpiode Boltzmann-Maxwell. Quanto mais alta a temperatura, por´m, menos im- eportante ´ a dependˆncia na energia m´ tua. No limite de altas temperaturas, e e utodas as orienta¸˜es ser˜o igualmente prov´veis. Obviamente, a hip´tese de co a a ovan der Waals requer que a caracter´ ıstica coes˜o introduzida na equa¸˜o a capersista no caso limite. Pode ser mostrado facilmente que dois sistemas el´tricos r´ e ıgidos, emm´dia, n˜o exercem for¸a um sobre o outro. O potencial que ´ gerado em e a c eum ponto distante por uma mol´cula pode ser considerado como originando- ese de uma s´rie de esferas concˆntricas cobertas por uma camada de cargas e eel´tricas de densidade superficial constante. Se as mol´culas assumem todas e e 143
  • 144. as poss´ ıveis orienta¸˜es no espa¸o, cada carga ocupa, na m´dia, todos os co c epontos da esfera com igual freq¨ˆncia. Como ´ sabido qye uma esfera com ue edensidade superficial de carga constante afeta pontos de seu esterior como sea carga total estivesse concentrada no centro, e como a mol´cula possui carga etotal zero, a m´dia do potencial no ponto considerado ser´ zero. Assim, n˜o e a aexiste for¸a efetiva na m´dia, entre duas mol´culas r´ c e e ıgidas. A situa¸˜o ´ imediata e essencialmente mudada se se consideram mol´culas ca e eque n˜o s˜o completamente r´ a a ıgidas. O fato de que cada g´s tem um ´ a ındicede refra¸˜o diferente de 1 ´ prova da mobilidade das cargas separadas da ca emol´cula. Levando isto em considera¸˜o, ser´ claro que uma dada mol´cula e ca a eadquire um momento el´trico de dipolo no campo E de outra mol´cula, e o e evalor desse momento ´ proporcional a E. Assim, surge uma energia m´ tua e uentre as duas mol´culas que ´ proporcional ao produto do momento de dipolo e epelo campo E, ou seja, ´ quadr´tica em E. Conseq¨ entemente, a for¸a m´dia e a u c en˜o pode se anular. Al´m disso, pode ser visto prontamente que essa for¸a a e c´ sempre de atra¸˜o. Assim, podemos concluir que descobrimos a for¸a quee ca cest´ na origem da atra¸˜o universal de van der Waals29 a ca A situa¸˜o pode ser ilustrada pelo exemplo seguinte. Dois dipolos est˜o ca asituados em oposi¸˜o um ao outro. ca − + + − I E E − + − + II E E(a)Na posi¸˜o I. Aqui o efeito principal ´ repulsivo. Como conseq¨ˆncia da ca e uea¸˜o, o campo E sobre as cargas elasticamente acopladas, as ultimas s˜o ca ´ adeslocadas de tal forma que os momentos el´tricos de dipolo s˜o reduzidos. e a 29 Errado! Veremos mais abaixo que esta for¸a existe, mas que a atra¸˜o de van der c caWaals ocorre tamb´m para mol´culas r´ e e ıgidas. 144
  • 145. Assim, a for¸a repulsiva decresce; em outras palavras, uma for¸a atrativa c caparece como um efeito secund´rio. a(b)Na posi¸˜o II. Aqui o efeito principal ´ atrativo. O campo agora desloca ca eas cargas de modo que os momentos crescem. O efeito principal ´ agora au- ementado, ou, dito de outra forma, de novo uma for¸a atrativa foi adicionada ccomo efeito secund´rio. a O efeito principal se anula quando se faz a m´dia sobre todas as ori- eenta¸˜es. Como o efeito secund´rio ´ sempre positivo, ele nunca se anular´ co a e ana m´dia. e At´ aqui as palavras de Debye. Como j´ mencionamos, este efeito que a aele descreve efetivamente existe, mas n˜o ´ suficiente: os gases nobres tˆm a e e´tomos essencialmente indeform´veis, e, no entanto, se condensam, sob aa aa¸˜o da atra¸˜o de van der Waals. Falta ainda alguma coisa. ca ca26.3.1 A teoria de LondonEm 1930, Fritz London(Zeitschrift f¨r Physik,63,245(1930)) utilizou a teoria uquˆntica das perturba¸˜es para obter o potencial de intera¸˜o a co ca 3¯ ω0 α2 h V (r) = − 4r 6entre dois ´tomos (ou mol´culas) idˆnticos, com freq¨ˆncia de transi¸˜o ω0 a e e ue caentre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, e com polarizabil-idade α. O resultado de London, que foi considerado um grande marco naaplica¸˜o da mec˜nica quˆntica, mostrou que h´ uma for¸a geral de atra¸ao ca a a a c centre duas mol´culas mesmo que nenhuma possua um momento de dipolo epermanente. ´ suficiente que um momento de dipolo possa ser induzido em ecada mol´cula, isto ´, que cada mol´cula seja polariz´vel (α = 0). Al´m e e e a edisso, a for¸a de van der Waals ´ independente da temperatura, propriedade c ecompartilhada pela intera¸˜o de London, mas n˜o pela de Keesom. ca a A seguir mostraremos que a for¸a de van der Waals, na forma obtida por cLondon, pode ser atribu´ ` energia do ponto zero. ıda a26.3.2 Referˆncias eA leitura da conferˆncia que apresentou ao receber o prˆmio Nobel ´ forte- e e emente recomendada. As URL’s s˜o ahttp://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-lecture.htmlhttp://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-bio.html 145
  • 146. Mais curiosidades sobre as for¸as de van der Waals: chttp://news.nationalgeographic.com/news/2002/08/0828_020828_gecko.htmlhttp://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A6378230http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Debye-1920/Debye-1920.html De grande interˆsse e atualidade ´ o artigo de S. K. Lamoureux, “Casimir e eforces: Still surprising after 60 years”, Physics Today,Fevereiro de 2007,pg.40, que considera a for¸a de van der Waals no contexto mais amplo das cfor¸as de Casimir. Em particular, menciona-se neste artigo o fato de que a caderˆncia que permite `s lagartixas subir uma parede de vidro ´ devida ` e a e afor¸a de van der Waals. c26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero caQuando um g´s se condensa, ocorre uma not´vel contra¸˜o de volume, que a a carevela a existˆncia de for¸as de coes˜o entre as mol´culas, ou ´tomos. Essas e c a e afor¸as s˜o as for¸as de van der Waals. As for¸as de coes˜o de van der Waals c a c c adepemdem da deforma¸˜o m´ tua dos ´tomos, de duas maneiras diferentes. ca u aPrimeiro, a a¸˜o do campo (devido ao momento de dipolo ou quadrupolo capermanente da mol´cula, sobre o dipolo induzido sobre a outra mol´cula por e eeste mesmo campo) leva, em m´dia, a uma atra¸˜o: um resultado conhecido e camesmo antes da mecˆnica quˆntica, demonstrado por considera¸˜es cl´ssicas a a co apor Debye e Keesom (1921). Da´ no entanto, se concluiria que ´tomos ou mol´culas de estados funda- ı, a ementais esfericamente sim´tricos (e, portanto, sem dipolos ou quadrupolos epermanentes), como os gases inertes, n˜o deveriam apresentar coes˜o, con- a atrariamente ` experiˆncia. a e Uma solu¸˜o para este problema foi apresentada por Fritz London (1930), caque mostrou que a deformabilidade tem um segundo efeito, caracter´ ısticoda mec˜nica quˆntica. De acordo com esta teoria, existe um ”movimento a ado ponto zero”, isto ´, mesmo no estado de m´ e ınima energia o atomo ou ´mol´cula apresentam movimento de cargas, de modo que pode existir um edipolo oscilante, com a freq¨ˆncia do el´tron. Aproximados os ´tomos um ue e ado outro, os ”movimentos do ponto zero”dos dipolos agem sempre de modoque o resultado seja uma atra¸˜o.ca Para descrever a intera¸˜o entre dois ´tomos de hidrogˆnio de forma bem ca a esimples, consideremos cada um deles como um n´ cleo positivo de carga e e uum el´tron, de carga −e que, por a¸˜o de um campo eletromagn´ico, est´ e ca t aoscilando harmˆnicamente em torno do n´ cleo fixo. No primeiro semestre o u 146
  • 147. mostramos que, num modelo muito simples do ´tomo, se o el´tron ´ deslo- a e ecado de uma distˆncia r em rela¸˜o ao n´ cleo, aparece sobre ele uma for¸a a ca u crestitutiva da forma e2 F = − 3r aonde a ´ o raio do n´ cleo. No caso de um modelo mais real´ e u ıstico, a for¸a cainda ter´ essa express˜o, mas a n˜o ser´ exatamente o raio do n´ cleo. a a a a u Supondo os dois ´tomos idˆnticos, cada um deles ter´, ent˜o, por causa a e a ada deforma¸˜o, uma energia potencial el´stica, ou seja, teremos energias ca a e2potenciais 2a6 x2 para um ´tomo (x1 ´ o deslocamento do el´tron em rela¸˜o 1 a e e ca e2 2ao ´tomo) e 2a6 x2 para o outro. a Os n´ cleos dos ´tomos est˜o ` distˆncia R um do outro. Supondo, apenas u a a a apara fixar as id´ias, que o ´tomo ` esquerda tenha o el´tron deslocado para a e a a eesquerda, e que o da direita tenha o seu deslocamento para a direita, teremosuma energia potencial el´trica dada por e e2 e2 e2 e2 U= + − − (654) R R + x1 + x2 R + x1 R + x2Estaremos supondo que os ´tomos estejam distantes, ou, mais precisamente, aque R ≫ xi para i = 1, 2 Podemos ent˜o, na Eq.(654), expandir cada termo que contenha x1 e x2 aem s´rie de potˆncias de xi /R, o que se faz sem dificuldade usando a f´rmula e e odo binˆmio. Por exemplo, o e2 e2 x1 + x2 −1 e2 x1 + x2 (x1 + x2 )2 = 1+ = 1− + R + x1 + x2 R R R R R2Fazendo o mesmo para e2 /(R + x1 ) e e2 /(R + x2 ) e levando esses resultadosem Eq.(654), obtemos, ap´s uma s´rie de cancelamentos, o e 2e2 U(x1 , x2 ) = x1 x2 R3que ´ a energia de intera¸˜o entre os dois dip´los. e ca o A energia total do sistema ´ ent˜o dada por e a p2 + p2 1 2 e2 2e2 x1 x2 H= + 3 x2 + x2 + 1 2 (655) 2m 2a R3Suponhamos por um momento que o termo de intera¸˜o, ou seja, o ultimo ca ´termo da Eq.(655), seja omitido. Ent˜o cada dip´lo iria vibrar com a freq¨ˆncia a o ue e2 ω0 = a3 m 147
  • 148. Na presen¸a do termo de intera¸˜o, conv´m proceder assim: procuro uma c ca emudan¸a de vari´veis tal que o sistema seja reconduzido, nas novas vari´veis, c a aa dois osciladores independentes. Isto se consegue introduzindo as vari´veis a 1 xs = √ (x1 + x2 ) 2 1 ps = √ (p1 + p2 ) 2 1 xa = √ (x1 − x2 ) 2 1 pa = √ (p1 − p2 ) 2Com isto, o hamiltoniano do sistema se escreve 1 e2 e2 H= ps + p2 + 3 x2 + x2 + 3 x2 − x2 2 a s a s a 2m 2a Rou, de forma mais clara, 1 2 e2 e2 1 2 e2 e2 H= ps + + 3 x2 + s pa + − 3 x2 a (656) 2m 2a3 R 2m 2a3 RNa Eq.(656) vˆ-se que h´ dois osciladores independentes, um de coordenadas e axs e o outro de coordenadas xa . O primeiro tem a constante el´stica dada a e2 e2 e2 e2por 2a + R3 , e o segundo a tem igual a 2a − R3 . Escrevendo e2 1 2 ωs = + 3 (657) m a3 R e2 1 2 ωa = 3 − 3 (658) m a Rvemos facilmente que as energias do sistema podem ser escritas 1 1 1 1 Ena nb = hωs ns + ¯ + hωa na + ¯ (659) 2 2 2 2 O estado fundamental desse sistema, que ´ a energia mais baixa que este esistema de dip´los pode ter, ´ obtido pondo ns = na = 0 (´ a energia do ponto o e ezero do sistema). Mesmo que n˜o haja nenhum campo externo atuando sobre ao sistema, ele ter´ esta energia, pelo menos. Ela ´ a e 1 E00 = h (ωs + ωa ) ¯ (660) 2 148
  • 149. Usando as Eqs.(657) para explicitar os valores de ωs e ωa , temos a6 E00 = hω0 1 − ¯ + ... (661) 2R6O primeiro termo ´ uma constante, irrelevante. O segundo termo ´ da forma e e a6 U(R) = −¯ ω0 h (662) 2R6e ´ sempre negativo. Ele gera a for¸a e c Fvw = −∇U(R)ou seja, 3a6 ˆ Fvw = −¯ ω0 h R R7ou e2 3a6 ˆ Fvw = −¯ h R (663) am R7 c ˆ eque ´ uma for¸a atrativa (R ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o radial). Esta ´ a e a ca efor¸a de van der Waals. Apesar de ser respons´vel por um fato corriqueiro, c amacrosc´pico, como a contra¸˜o volum´trica por ocasi˜o da condensa¸˜o, ela o ca e a ca´ de car´ter quˆntico, o que se manifesta claramente tanto pelo fato de sere a aproporcional a h, quanto pelo fato de ser uma conseq¨ˆncia direta da energia ¯ uedo ponto zero dos osciladores harmˆnicos. Usando o valor de o h2 ¯ a= me2pode-se reescrever a eq.(662) na forma e2 a5 U(R) = , (664) R6que ser´ util para comparar com os resultados perturbativos obtidos abaixo. a´26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c WaalsPara obter uma express˜o para as for¸as de van der Waals via teoria das a cperturba¸˜es, precisaremos do seguinte resultado, demonstrado no Apˆndice: co e 149
  • 150. a corre¸˜o de segunda ordem ` energia n˜o perturbada, que denotaremos por ca a aW2 , ´ dada por e ˆ | m|V |n |2 W2 = (665) n=m Em − Enonde |m ´ o estado n˜o perturbado e os Ei s˜o as energias dos n´ e a a ıveis n˜o aperturbados. Suponhamos que os n´ cleos de dois ´tomos de hidrogˆnio, um localizado u a ena origem, o outro no ponto com vetor de posi¸˜o R, estejam no eixo z. O cael´tron do primeiro ´tomo est´ em r1 , e o do outro em R + r2 . e a a r1 r2 1 R 2 O hamiltoniano para este sistema ser´ escrito a ˆ ˆ H = H0 + V ˆ (666) ˆ h2 ¯ e2 e2 H0 = − ∇2 + ∇2 − − 1 2 (667) 2m r1 r2 2 2 ˆ e e e2 e2 V = + − − (668) R |R + r2 − r1 | |R − r1 | |R + r2 | Os ´tomos n˜o perturbados est˜o em seus estados fundamentais, de sorte a a a ˆ eque o autoestado de H0 ´ dado por u0 (r1 , r2 ) = u100 (r1 )u100 (r2 ) (669)onde 3 1 2 r u100 (r, θ, φ) = 2 exp − Y00 (θ, φ) a0 a0 ˆ Para que o potencial V possa ser tratado perturbativamente, suporemoso caso em que R ≫ a0 , onde a0 ´ o raio de Bohr, o que acarreta que r1 e r2 e R Rs˜o ambos muito menores do que 1. a ˆ Neste caso, expandindo V em potˆncias de 1/R (com o uso da f´rmula e odo binˆmio de Newton) teremos, ap´s v´rios cancelamentos, e desprezando o o atermos da ordem de (r/R)4 e menores, e2 V = (x1 x2 + y1 y2 − 2z1 z2 ) (670) R3 150
  • 151. ˆNote inicialmente que m|V |m = 0, pois a fun¸˜o de onda u0 (r1 , r2 ) ´ uma ca efun¸˜o par de r1 e de r2 , enquanto que V ca ˆ (como mostra a Eq.(670)) ´ ´ e ımparem r1 e em r2 . Assim, o termo que iremos calcular, a corre¸˜o de segunda caordem ` energia, ´ o termo dominante na abordagem perturbativa. Como a eele depender´ de V a ˆ 2 , teremos uma intera¸˜o do tipo 1/R6 . ca Olhando, na eq.(665), a express˜o para W2 , que denotaremos por W (R), atemos ˆ | m|V |n |2 W2 = , (671) n=m E0 − Enonde vemos que W (R) ´ negativa, pois o numerador ´ positivo e o denomi- e enador ´ negativo, j´ que E0 < En , para todo n = 0. Logo, trata-se de uma e aintera¸˜o atrativa e proporcional a 1/R6 , para grande R. Estas conclus˜es ca opermanecem v´lidas para qualquer par de ´tomos cujos estados fundamentais a asejam n˜o-degenerados e esfericamente sim´tricos. a e ´ poss´ e ıvel (A. Unsold, 43,563(1927)) obter um limite superior para aquantidade positiva −W (R), substitu´ ındo, em (671), todos os En (com n = ˆ0) pela energia do estado excitado mais baixo para o qual 0|V |n∗ ´ diferente ede zero. Vamos denot´-la por En∗ . De fato, neste caso teremos a 2 2 ˆ | 0|V |n |2 = ˆ ˆ 0|V |n n|V |0 − ˆ 0|V |0 ˆ = 0|V 2 |0 − ˆ 0|V |0 n=0 n (672) ˆe, levando em conta que 0|V |0 = 0, ˆ 0|V 2 |0 −W (R) ≤ (673) En∗ − E0O estado n∗ ´ aquele em que ambos os ´tomos est˜o em estados com n´ mero e a a uquˆntico principal n = 2, de modo que a e2 E0 = −2 2a0e e2 En∗ = −2 8a0ou ainda 3e2 En∗ − E0 = (674) 4a0Do resultado obtido acima chega-se a ˆ e4 V 2 = 6 x2 x2 + y1 y2 + 4z1 z2 + 2x1 x2 y1 y2 − 4x1 x2 z1 z2 − 4y1 y2 z1 z2 1 2 2 2 2 2 (675) R 151
  • 152. Todos os termos do tipo 0|x1 x2 y1 y2 |0 s˜o nulos, pois s˜o fun¸˜es ´ a a co ımparesde cada coordenada. Por exemplo, 0|x1 y1 x2 y2 |0 = 0|x1 y1 |0 0|x2y2 |0 (676)e ∞ ∞ ∞ 2 x2 + y1 + z1 1 2 2 0|x1 y1 |0 = K dx1 dy1 dz1 x1 y1 exp − −∞ −∞ −∞ a0 ∞ ∞ ∞ 2 x2 + y1 + z1 1 2 2 = K dz1 dy1 y1 dx1 x1 exp − −∞ −∞ −∞ a0e a integral em x1 d´ zero, pois o intervalo de integra¸˜o ´ sim´trico e o a ca e e 2 2integrando ´ ´ e ımpar. J´ os termos quadr´ticos, como x1 x2 , d˜o a a a 0|x2 x2 |0 = 0|x2 |0 0|x2|0 1 2 1 2 (677)e 1 4 ∞ 2r 0|x2 |0 = 1 d3 rr 2 |u100 (r)|2 = drr 4 exp − = a2 0 (678) 3 3a30 0 a0onde usamos 2 r u100 (r) = 3/2 exp (− )Y00 (θ, φ) a0 a0Ent˜o a 0|x2 x2 |0 = a4 1 2 0 (679) 2 2 2 2obtendo-se o mesmo valor para 0|y1 y2 |0 e 0|z1 z2 |0 Em conseq¨ˆncia, ue ˆ e4 0|V 2 |0 = 6a4 0 (680) R6e 8e2 a5 0 W (E) ≥ − (681) R6Usando o m´todo variacional ´ poss´ determinar um limite superior para e e ıvelW (R) (Schiff, Quantum Mechanics, 3rd. edition, pg.262). Obt´m-se e 6e2 a5 0 W (R) ≤ − (682) R6e, portanto, 8e2 a5 0 6e2 a5 − ≤ W (R) ≤ − 6 0 (683) R6 RC´lculos variacionais mais detalhados mostram que o coeficiente num´rico a eem W (R) ´ muito aproximadamente 6, 50. e 152
  • 153. 26.6 Apˆndice e Teoria das perturba¸˜es coSuponhamos que saibamos tudo sobre o sistema cujo hamiltoniano Ho , oˆhamiltoniano n˜o perturbado. Nosso interesse ´ utilizar este conhecimento a epara obter solu¸˜es aproximadas para o sistema cujo hamiltoniano ´ co e ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (684) ˆonde V , dito a perturba¸˜o, ´ pequeno. Podemos, para tornar mais simples ca e co ca ˆas dedu¸˜es, escrever a perturba¸˜o como λV , com λ pequeno. No final dosc´lculos tomaremos λ = 1. a co ˆ As autofun¸˜es da energia de H0 , denotadas por uk (r), satisfar˜o a ˆ H0 uk = Ek uk (685)o que identifica os Ek como sendo os n´ıveis de energia n˜o perturbados. a As fun¸˜es de onda e n´ co ıveis de energia perturbados ser˜o escritos a ˆ Hψ = W ψ (686)e, expandidos em s´ries de potˆncias de λ, d˜o e e a ψ = ψ0 + λψ1 + λ2 ψ2 + λ3 ψ3 ... (687) W = W0 + λW1 + λ2 W2 + λ3 W3 + ... (688)e, colocados na Eq.(684), levam a ˆ ˆ H0 + λV (ψ0 + λψ1 + ...) (W0 + λW1 + ...) (ψ0 + λψ1 + ...) (689)Igualando os coeficientes das mesmas potˆncias de λ, obtemos e ˆ H0 − W0 ψ0 = 0 (690) ˆ ˆ H0 − W0 ψ1 = (W1 − V )ψ0 (691) ˆ ˆ H0 − W0 ψ2 = (W1 − V )ψ1 + W2 ψ0 (692) ˆ ˆ H0 − W0 ψ3 = (W1 − V )ψ2 + W2 ψ1 + W3 ψ0 etc (693)A primeira equa¸˜o nos diz que ψ0 ´ uma das autofun¸˜es n˜o perturbadas, ca e co ae W0 ´ o seu autovalor. Tomemos ψ0 = um , e W0 = Em . Suponhamos que eum n˜o seja degenerado. a 153
  • 154. Nas segunda das equa¸˜es acima, podemos substituir co ′ ψ1 → ψ1 = ψ1 + K1 ψ0sem violar a equa¸˜o. Escolhamos K1 de modo tal que ca ′ (ψ1 , ψ0 ) = 0 ′e passemos a chamar ψ1 de ψ1 . Na terceira equa¸˜o podemos substituir ca ′ ψ2 → ψ2 = ψ2 + K2 ψ0 ,escolher K2 de forma que ′ (ψ2 , ψ0 ) = 0 ′e passar a chamar ψ2 de ψ2 , e assim por diante. Desta forma, teremos fun¸˜es coψs (s = 0) que satisfazem as equa¸˜es acima e s˜o, todas, ortogonais a ψ0 . co a Nas equa¸˜es (690) e seguintes, tomemos o produto escalar, termo a cotermo, por ψ0 . Tomemos como exemplo a terceira delas. Teremos ˆ ˆ ψ0 , (H0 − W0 )ψ2 = ψ0 , (W1 − V )ψ1 + (ψ0 , W3 ψ0 ) (694)que tem como resultado ˆ 0 = − ψ0 , V ψ1 + W2 (695)ou ˆ W2 = ψ0 , V ψ1 (696)e, de maneira geral, ˆ Ws = ψ0 , V ψs−1 (697) Por outro lado, ψ1 pode ser expandida nas autofun¸˜es n˜o perturbadas, co a ψ1 = a(1) un n (698) nLevando (698) ` segunda das equa¸˜es (690), temos a co ˆ ˆ a(1) H0 − Em um = W1 − V um (699) n nMas a(1) = 0, como conseq¨ˆncia de m ue (ψ0 , ψs ) = 0 154
  • 155. De (699) segue ent˜o, sem dificuldade, tomando o produto escalar com uk , aque (1) ˆ k|V |m ak = (700) Em − EkLevando este resultado ` (696),e lembrando que ψ0 = um , a ˆ k|V |m ˆ W2 = m|V | |k (701) k=m Em − Ekou ˆ ˆ m|V |k k|V |m W2 = (702) k=m Em − Ekou ainda, 2 ˆ k|V |m W2 = (703) k=m Em − Ekque ´ o resultado que foi usado no texto. e27 Sistemas compostosQual ´ a probabilidade de, lan¸ando-se um dado, obter-se o n´ mero 3? Todo e c uo mundo sabe que ´ 1/6. Qual ´ a probabilidade de, lan¸ando-se o mesmo e e cdado duas vezes, obter-se duas vezes o n´ mero 3? Como s˜o eventos inde- u apendentes, a probabilidade ´ o produto, 1/36, portanto. Considere agora o eseguinte problema: lan¸a-se o dado uma primeira vez, obtendo-se n1 . Qual ´ c ea probabilidade de que, num segundo arremesso, a leitura, n2 , seja maior doque n1 ? Ou seja, qual ´ a probabilidade de, arremessando-se um dado duas evezes, obter-se o par (n1 , n2 ), com n2 > n1 ? Agora n˜o se trata de eventos aindependentes, e a probabilidade n˜o ´ um simples produto. Num sistema a eformado por duas part´ ıculas, dizemos que elas s˜o independentes se a prob- aabilidade de uma estar em uma certo elemento de volume for independenteda posi¸˜o da outra. Neste caso, cada part´ ca ıcula possui a sua pr´pria fun¸˜o o cade onda. Sejam ψ1 (r1 ) e ψ2 (r2 ) essas fun¸˜es de onda. Ent˜o a fun¸˜o de co a caonda do sistema ´, simplesmente, e ψ(r1 , r2 ) = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) (704)De fato, desta forma a probabilidade de a part´ ıcula 1 estar entre r1 e r1 +d3 r1 3e da part´ıcula 2 estar entre r2 e r2 + d r2 ´ dada por e |ψ(r1 , r2 )|2 d3 r1 d3 r2 = |ψ(r1 )|2 |ψ2 (r2 )|2 d3 r1 d3 r2 (705) 155
  • 156. e a probabilidade do evento composto (part´ ıcula 1 aqui e part´ ıcula 2 ali) ´ eo produto das probabilidades dos eventos individuais, o que caracteriza, nalinguagem das probabilidades, a independˆncia dos eventos. e Se as part´ ıculas interagem, essas probabilidades n˜o s˜o mais indepen- a adentes, e a fun¸˜o de onda do sistema composto n˜o ´ mais o produto das ca a efun¸˜es de onda dos sistemas elementares. co Sejam ψn (r1 ), n = 1, 2 . . . (706)fun¸˜es que formam uma base do espa¸o E1 de estados da part´ co c ıcula 1, e φn (r2 ), n = 1, 2 . . . (707)fun¸˜es que formam uma base do espa¸o E2 de estados da part´ co c ıcula 2. Con-sideremos o conjunto dos produtos ψn (r1 )φm (r2 ) (708)para todos os valores poss´ıveis de n e m. O conjunto de todas as combina¸˜es colineares, com coeficientes complexos, desses produtos, ´ um espa¸o vetorial30 . e cOs elementos desse espa¸o vetorial s˜o, ent˜o, express˜es da forma c a a o Ψ(r1 , r2 ) = Aψ1 (r1 )φ1 (r2 ) + Bψ2 (r1 )φ3 (r2 ) , (709)por exemplo. Mais geralmente, Ψ(r1 , r2 ) = Anm ψn (r1 )φm (r2 ) (710) n monde os Anm s˜o n´ meros complexos. a u O produto escalar neste espa¸o ´ definido assim: para elementos da base, c e (ψn (r1 )φm (r2 ), ψn′ (r1 )φm′ (r2 )) = (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) (711)A extens˜o a um elemento geral ´ feita usando a bilinearidade do produto a eescalar, isto ´, e (a + b, c) = (a, c) + (b, c) (712) (a, b + c) = (a, b) + (a, c) (713)Desta maneira, (Ψ(r1 , r2 ), Ψ′ (r1 , r2 )) = ∗ Anm Bm′ n′ (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) m,n m′ ,n′ (714) 30 Dito produto tensorial dos espa¸os E1 e E2 , e denotado, quando se quer assustar os cestudantes, por E1 ⊗ E2 . 156
  • 157. onde (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) = d3 r1 ψn (r1 )∗ ψn′ (r1 ) (715)e assim por diante. Os mesmos resultados se aplicam no caso de se ter, em lugar de duasou mais part´ıculas, dois ou mais conjuntos de vari´veis independentes. Por aexemplo, uma part´ ıcula livre no espa¸o tridimensional, descrita por coorde- cnadas cartesianas. As coordenadas x, y e z s˜o independentes, e a fun¸˜o de a caonda da part´ıcula ´ escrita, num estado de momento definido, e ψ(x, y, z) = ei(kx x+ky y+kz z) = eikx x eiky y eikz z . (716)Outro caso semelhante ´ o do spin. Na mecˆnica quˆntica n˜o-relativ´ e a a a ıstica (ena ausˆncia de campos magn´ticos) as coordenadas espaciais e as vari´veis e e ade spin s˜o independentes: a probabilidade de um el´tron estar em uma a edeterminada posi¸˜o e ter, por exemplo, componente z do spin igual a +1/2, ca´ o produto das duas probabilidades. A fun¸˜o de onda de um el´tron ´ ent˜oe ca e e ao produto ψ(r)χσ (717)onde χσ ´ uma das duas matrizes coluna e 1 0 ou 0 1e ψ(r) ´ a fun¸˜o de onda espacial. e ca Se o hamiltoniano de um sistema for constitu´ de um termo que depende ıdodas coordenadas espaciais e outro que depende das vari´veis de spin, por aexemplo ˆ h2 2 ¯ e¯ h H=− ∇ + σz B (718) 2m 2mc ˆcom B constante, o elemento de matriz de H entre dois estados do tipo queaparece na eq.(717), ´ e ˆ h2 2 ¯ (ψ1 (r)χ+ , Hψ2 (r)χ− ) = χ† + d3 rψ1 (r) − ∗ ∇ ψ2 (r) χ− 2m e¯ h † + B d3 rψ1 (r)ψ2 (r) χ+ σz χ− ∗ 2mc h2 2 ¯ = χ† χ− + d 3 ∗ rψ1 (r) − ∇ ψ2 (r) + 2m e¯ h + χ† σz χ− + B d3 rψ1 (r)ψ2 (r) ∗ (719) 2mc 157
  • 158. A extens˜o deste formalismo para um n´ mero arbitr´rio de part´ a u a ıculas ´ ´bvio, eoe fica ao encargo do leitor. Como um exemplo final, vamos examinar de novo o ´tomo de hidrogˆnio, a emas sob um aspecto mais realista: a intera¸˜o de uma part´ ca ıcula de massam2 e carga +e, o pr´ton, com um el´tron de massa m1 e carga -e. O nosso o etratamento anterior deste mesmo problema considerava a massa do proton(que ´ cerca de 2000 vezes maior que a do el´tron) como infinita, desprezando, e eassim, a rea¸˜o do el´tron sobre o proton. Uma descri¸˜o mais acurada do ca e caproblema, ent˜o, considera um sistema de duas part´ a ıculas ligadas por umpotencial coulombiano. Sejam r1 e r2 as posi¸˜es do el´tron e do pr´ton, co e orespectivamente. O potencial coulombiano ser´ da forma V (|r1 − r2 |), e a aequa¸˜o de Schr¨dinger ser´ ca o a h2 2 ¯ h2 2 ¯ − ∇r1 − − ∇ ψ(r1 , r2 ) + V (|r1 − r2 |)ψ(r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 ) 2m1 2m2 r2 (720)Introduzimos as novas vari´veis a r = r1 − r2 (721) m1 r1 + m2 r2 R = (722) m1 + m2sendo as transforma¸˜es inversas dadas por co m2 r1 = r+R (723) M m1 r2 = − r+R (724) Mcom M = m1 + m2 . Reconhecemos R como a posi¸˜o do centro-de-massa, na mecˆnica cl´ssica. ca a aA outra vari´vel, r, ´, obviamente, a posi¸˜o do el´tro em rela¸˜o ao pr´ton. a e ca e ca oNa mecˆnica cl´ssica sabemos que essas vari´veis s˜o independentes: en- a a a aquanto o movimento relativo pode complicar-se ` vontade, o centro-de-massa asegue serenamente seu movimento retil´ ıneo e uniforme. Isto nos sugere, namecˆnica quˆntica, procurar solu¸˜es da equa¸˜o de Schr¨dinger (720) que a a co ca osejam produtos de uma fun¸˜o de r por uma fun¸˜o de R. Mas, primeiro, ca cavamos escrever (720) em termos dessas novas vari´veis. Ap´s um c´lculo n˜o a o a amuito complicado, descrito abaixo em letras mais mi´ das, obtemos, para u(720), h2 2 ¯ h2 2 ¯ − ∇r ψ(r, R) − ∇ ψ(r, R) + V (|r|)ψ(r, R) = Eψ(r, R) (725) 2µ 2M 158
  • 159. Aqui aparece a nova vari´vel µ, a massa reduzida, definida por a 1 1 1 = + . µ m1 m2Procuremos agora solu¸˜es da forma co ψ(r, R) = φ(r)χ(R) . (726)Inserindo o segundo membro de (726) em (725) obtemos h2 2 ¯ h2 2 ¯χ(R) − ∇r φ(r) − φ(r) ∇ χ(R) + χ(R)V (|r|)φ(r) = Eφ(r)χ(R) 2µ 2M R (727)que pode ser reescrita assim: h2 1 ¯ 2 h2 1 ¯ − ∇r φ(r) + V (|r|) − E = − ∇2 χ(R) (728) 2µ φ(r) 2M χ(R) RO segundo membro n˜o depende de r, e ´ igual ao primeiro membro, que a en˜o depende de R. Logo, o segundo membro n˜o depende nem de r nem a ade R, ou seja, ´ constante. O primeiro membro, por conseg¨ inte, ´ tamb´m e u e econstante. Logo, h2 1 ¯ − ∇2 χ(R) = −K (729) 2M χ(R) Rcom K constante. Isto ´ a mesma coisa que e 2M ∇2 χ(R) = − Kχ(R) = −k 2 χ(R) (730) R h2 ¯ 2Monde pusemos k 2 = ¯2 h K. Isto ´ permitido, com k real, porque (730) pode eser escrita P2 χ(R) = Kχ(R) (731) 2Mcom P hermiteano. Logo, K ´ positivo. e Voltando ` eq.(730), sua solu¸˜o ´ a ca e χ(R) = Aeik.R (732)com |k|2 = 2M K. Conclui-se que o centro-de-massa move-se como uma ¯2 hpart´ıcula livre em estado de momento bem definido. Existe, portanto, umsistema de referˆncia inercial em que o centro-de-massa est´ em repouso. e a 159
  • 160. Para φ(r) temos agora a equa¸˜o ca h2 1 ¯ − ∇2 φ(r) + V (|r|) − E = −K (733) 2µ φ(r) rou h2 ¯ − ∇r φ(r) + V (|r|)φ(r) = (E − K)φ(r) (734) 2µDesta equa¸˜o vemos que, `parte o movimento do centro-de-massa, o prob- ca alema foi reduzido a um problema de uma part´ ıcula, de massa µ, que se movesob a a¸˜o de um campo que lhe d´ uma energia potencial V (|r. A partir de ca aagora basta reproduzir, mutatis mutandis31 , a solu¸˜o anterior para o ´tomo ca ade hidrogˆnio. e 2 Vamos agora ao c´lculo prometido acima. Tudo est´ em escrever ∇r1 em termos de a a 2r e R, a mesma tarefa devendo ser realizada tamb´m para ∇r2 . Trabalhando com as ecomponentes ao longo do eixo x j´ podemos adivinhar a express˜o geral. Temos a a ∂ ∂ m1 ∂ = + ∂x1 ∂x M ∂Xonde, como ´ ´bvio, x ´ a componente de r, e X a componente de R. Usamos, nesta e o eprimeira passagem, a rela¸˜o ca ∂ ∂x ∂ ∂X ∂ = + ∂x1 ∂x1 ∂x ∂x1 ∂XLogo, ∂2 ∂ m1 ∂ ∂ m1 ∂ = + + ∂x2 1 ∂x M ∂X ∂x M ∂Xou ∂2 ∂2 m1 ∂ 2 m2 ∂ 2 1 2 = ∂x2 + 2 M ∂x∂X + M 2 ∂x2 ∂x1 ∂2com uma express˜o an´loga para a a ∂x2 , que ´ dada por e 2 ∂2 ∂2 m2 ∂ 2 m2 ∂ 2 = −2 + 2 ∂x2 2 ∂x2 M ∂x∂X M 2 ∂x2Portanto, 1 ∂2 1 ∂2 1 1 ∂2 1 ∂2 2 + m ∂x2 = m1 ∂x1 m1 + m2 ∂x2 + M ∂X 2 2 2que, somada `s contribui¸˜es an´logas das outras componentes, d´ o resultado utilizado a co a aacima. 31 Um latinzinho faz sempre bem! Quer dizer, mudando o que deve ser mudado. 160
  • 161. 27.1 Exerc´ ıcios1. Calcule o raio m´dio ( r ) do “´tomo de hidrogˆnio muˆnico”, em que e a e oo el´tron foi substitu´ por um µ− , uma part´ e ıdo ıcula que tem as mesma pro-priedades eletromagn´ticas que o el´tron, a n˜o ser a massa, que ´ 480 vezes e e a ea massa do el´tron. e2. Calcule o espectro, raio m´dio, e tudo que lhe ocorrer, do positrˆnio, um e o“´tomo” formado por um positron e um el´tron. O p´sitron tem a mesma a e omassa que o el´tron, e a carga igual ` do proton. Despreze o fenˆmeno de e a oaniquila¸˜o part´ ca ıcula-anti-part´ ıcula.28 Part´ ıculas idˆnticas eNa mecˆnica quˆntica se diz que duas part´ a a ıculas s˜o idˆnticas se a opera¸˜o a e cade trocar uma pela outra n˜o tem qualquer efeito f´ a ısico no sistema ao qualpertencem: n˜o h´ maneira de realizar uma medida f´ a a ısica que detete se talmudan¸a foi realizada. Para explorar as conseq¨ˆncias disso de maneira for- c uemal, introduzimos o operador P12 de troca de part´ıculas. Seja ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 )uma fun¸˜o de onda do sistema onde inclu´ ca ımos as vari´veis de spin, si . O aoperador de troca atua assim: P12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (735)Se as part´ ˆ ıculas s˜o verdadeiramente idˆnticas, o hamiltoniano H deve ser a esim´trico em rela¸˜o `s vari´veis de posi¸˜o e spin das part´ e ca a a ca ıculas idˆnticas, ede maneira que n˜o haja qualquer mudan¸a na energia do sistema quando a a ctroca ocorre. Neste caso, ˆ ˆ ˆ P12 Hψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = P12 Hψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) = HP12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) (736)ou seja, ˆ [P12 , H] = 0 (737)para todo hamiltoniano sim´trico pela troca de part´ e ıculas idˆnticas. e Seja ψ(1, 2) uma autofun¸˜o do operador P12 : ca P12 ψ(1, 2) = αψ(1, 2) (738)Temos P12 ψ(1, 2) = ψ(2, 1) (739) P12 ψ(2, 1) = ψ(1, 2) (740) 161
  • 162. logo, ψ(1, 2) = α2 ψ(1, 2) (741)de onde se tira que α = ±1. Logo, as autofun¸˜es do operador P12 s˜o tais co aque P12 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) (742)ou P12 ψ(1, 2) = −ψ(1, 2) (743)isto ´, s˜o as fun¸˜es pares e ´ e a co ımpares pela troca de um par de part´ ıculasidˆnticas. Como [P12 , H] e ˆ = 0, o operador d P12 = 0, e o valor m´dio de P12 e dt´ constante, o que se estende para os autovalores . Portanto, o autovalor deeP12 ´ uma constante do movimento. e Part´ıculas para as quais a eq.(742) s˜o ditas bosons , e satisfazem a aesta´ıstica de Bose-Einstein; part´ ıculas para as quais a eq.(743) ´ satisfeita es˜o ditas f´rmions, e satisfazem a estat´ a e ıstica de Fermi-Dirac. Empiricamentese verifica que os bosons s˜o part´ a ıculas de spin inteiro, enquanto que osf´rmions s˜o part´ e a ıculas de spin 1/2, 3/2, etc. Os el´trons s˜o f´rmions, os e a ef´tons s˜o bosons . o a28.1 O princ´ ıpio de PauliO tipo de estat´ ıstica satisfeita por uma part´ ıcula tem conseq¨ˆncias bem uedefinidas sobre seu movimento. Examinemos a fun¸˜o de onda de dois caf´rmions idˆnticos, e imaginemos que eles ocupassem ambos a mesma posi¸˜o, e e catendo o mesmo valor para a componente z do spin. Ou seja, r1 = r2 e s1 = s2 .Ent˜o, se a fun¸˜o de onda do sistema for a ca ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = −ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (744)Nas condi¸˜es acima, ter´ co ıamos ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = −ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) (745)ou ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = 0 (746)mostrando que a probabilidade de dois f´rmions ocuparem o mesmo estado (o eestado, aqui, ´ completamente definido pela posi¸˜o e pela componente z do e caspin) ´ zero. Isto ´ denominado princ´ e e ıpio de exclus˜o, ou princ´ a ıpio de Pauli.Um exemplo importante ´ o seguinte: considere dois el´trons movendo-se em e eum campo de for¸as, como, por exemplo, no ´tomo de H´lio. Desprezando a c a eintera¸˜o entre os el´trons, e denotando por u1 e u2 dois estados estacion´rios ca e a 162
  • 163. de 1 el´tron nesse campo, a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio ad- e ca amiss´ seria ıvel 1 ψ = √ [u1 (r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) − u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (747) 2 A fun¸˜o de onda (747) satisfaz a propriedade ca P12 ψ = −ψ (748)e se anula identicamente se u1 = u2 . Em contraposi¸˜o, o “estado” de fun¸˜o ca cade onda 1 ψ ′ = √ [u1(r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) + u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (749) 2que tem a propriedade P12 ψ ′ = ψ ′ (750)n˜o existe na natureza, assim como nenhum outro que n˜o esteja antis- a asimetrizado. A express˜o costumeira desta lei ´ que duas part´ a e ıculas idˆnticas ede spin semi-inteiro n˜o podem estar em um estado em que se movem na amesma “´rbita” e com os spins paralelos. Dois el´trons podem estar na o emesma “´rbita”, desde que seus spins sejam anti-paralelos32 . o No ´tomo de H´lio, se ignorarmos a intera¸˜o entre os el´trons, tudo se a e ca epassa como se cada el´tron estivesse sob a a¸˜o de uma campo coulombiano, e cae as fun¸˜es de onda individuais de cada el´tron seriam as de um el´tron co e edo ´tomo de Hidrogˆnio (com a diferen¸a que Z = 2). Ent˜o, nessa aprox- a e c aima¸˜o, no estado fundamental, poderia haver dois el´trons no estado ψ100 , ca eum com “spin para cima”, o outro com “spin para baixo”. O elemento deZ = 3 ´ o L´ e ıtio. Na mesma aproxima¸˜o (de desprezar a intera¸˜o entre os ca cael´trons), n˜o seria poss´ adicionar mais um el´tron no estado n = 1. Este e a ıvel e ´teria de ser acomodado em um estado com n = 2. E claro que desprezar aintera¸˜o entre os el´trons ´ tanto mais grave quanto mais numerosos eles ca e es˜o, de modo que vamos parar por aqui. a28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares caO problema ´ este: dadas duas part´ e ıculas em estados de momento angularbem definido, qual o valor, ou valores, do momento angular do sistema com-posto pelas duas? Como a solu¸˜o ´ consideravelmente t´cnica, vamos nos ca e elimitar aqui a dar os resultados. 32 Linguagem de mesa de bar. Corretamente, isto se diria assim: dois el´trons podem eestar em estados ψnlm para os mesmos valores de n, l e m, desde que suas componentes zdo spin tenham sinais opostos. Mas n˜o se fala assim num bar. . . a 163
  • 164. Seja ψl1 ,m1 o estado de uma das part´ ıculas, e ψl2 ,m2 o estado da outra. 2 ˆ ˆIsto quer dizer que, se li e liz (i = 1, 2) forem os operadores de momentoangular total e componente z do momento angular, teremos ˆ2 l1 ψl1 ,m1 = l1 (l1 + 1)ψl1 ,m1 (751) lˆ ψl1 ,m1 = m1 ψl1 ,m1 1z (752) ˆ2 l2 ψl2 ,m2 = l2 (l2 + 1)ψl2 ,m2 (753) lˆ ψl ,m = m2 ψl ,m 2z 2 2 2 2 (754)Considerando agora o sistema composto, teremos que o momento angulartotal pode ter todos os valores entre l1 + l2 e |l1 − l2 |, variando de um em um.Para a componente z do momento angular total, a regra ´ mais simples: a ecomponente z do momento angular total ´ a soma alg´brica das componentes e em1 e m2 .Exemplo: dois el´trons em estados de momento angular orbital 0, portanto tendo como emomento angular apenas o spin, s˜o considerados como um sistema: em que estado (l, m) ase encontram? A resposta ´: h´ duas possibilidades. O momento angular total pode ter e aqualquer dos valores 2 + 1 , 1 + 2 − 1,. . . , at´ atingir | 1 − 1 |, ou seja, os valores poss´ 1 2 2 1 e 2 2 ıveiss˜o 1 e 0. Assim, o estado de momento angular do sistema composto ser´, em geral, uma a asuperposi¸˜o de um estado de momento angular total 1 com um estado de momento angu- calar total 0. . Para saber mais, temos de olhar para as componentes z dos spins individuais.Se os dois el´trons tiverem spins paralelos, ent˜o m1 + m2 ser´ 1 ou −1. Esses valores s˜o e a a aincompat´ ıveis com momento angular total 0, de maneira que, neste caso, pode-se afirmarque os el´trons formam um sistema composto de momento angular total l = 1. Se as ecomponentes z tiverem sinais opostos, por´m, o momento angular total pode ser tanto el = 1 quanto l = 0. Um estudo mais detalhado permite determinar as probabilidades,neste caso, de se achar, numa medida de momento angular total, cada um desses valoresposs´ıveis. Para um tratamento completo desta quest˜o, veja [3]. a29 O caso quase-cl´ssico aIniciamos o nosso curso com o estudo do ´tomo de Bohr, centrado na regra ade quantiza¸˜o, para ´rbitas circulares, ca o L = n¯ h (755)com n inteiro, que d´, para a energia , a me4 1 En = − 2 2 , (756) 2¯ n h 164
  • 165. a famosa f´rmula de Bohr. o Na verdade, (756) ´ o caso particular, para ´rbitas circulares, das re- e ogras de Bohr-Sommerfeld, que podem ser enunciadas assim: seja um sistemaperi´dico descrito por coordenadas generalizadas qi , i = 1, . . . , n. Ent˜o o a pi dqi = ni h (757)onde h ´ a constante de Planck, e os ni s˜o inteiros. No caso do ´tomo de e a ahidrogˆnio, o movimento, em ´rbita circular, pode ser inteiramente descrito e opela coordenada angular θ, do par (r, θ) de coordenadas polares no plano da´rbita. Como a lagrangeana do sistema ´o e m 2 ˙ Ze2 L= (r + r 2 θ 2 ) − ˙ (758) 2 rtemos que ∂L ˙ pθ = = mr 2 θ = L (759) ∂θ ˙onde L ´ o momento angular. Al´m disso, pθ ´ constante, pois a vari´vel θ e e e an˜o aparece na lagrangeana. Ent˜o, a a 2π pθ dθ = Ldθ = 2πL = nh (760) 0ou seja, h L=n (761) 2πque ´ a regra de Bohr usual. e Estamos agora muito distantes dessa vers˜o simples de uma mecˆnica a a a ´quˆntica. Orbitas n˜o existem, de modo que a regra de Bohr nem pode aser enunciada, com o vocabul´rio da mecˆnica quˆntica. No entanto,(756) a a apermanece v´lida, embora obtida de maneira totalmente diferente. a Nesta se¸˜o queremos investigar se existem condi¸˜es em que a regra ca code Bohr seja aproximadamente v´lida. Sistemas que satisfazem a essas acondi¸˜es ser˜o chamados quase-cl´ssicos33. No estilo que temos adotado co a asistematicamente, estudaremos este problema no contexto dos estados esta-cion´rios e, para simplificar, para sistemas unidimensionais. a Uma part´ ıcula de massa m possui uma energia potencial U(x). A equa¸˜o cade Schr¨dinger para estados estacion´rios ´: o a e h2 d2 ψ ¯ − + U(x)ψ = Eψ (762) 2m dx2 33 O m´todo tratado nesta se¸˜o ´ tamb´m conhecido como Aproxima¸ao WKB (Wentzel, e ca e e c˜Krames, Brillouin). 165
  • 166. que, naturalmente, pode ser escrita como h2 d2 ψ ¯ + (E − U)ψ = 0 (763) 2m dx2Procuraremos solu¸˜es escritas na forma co i ψ = eh σ ¯ (764)onde σ ´ uma fun¸˜o complexa, e tal que e ca |σ| ≫ h . ¯ (765)Note-se que, sendo σ complexa, temos i 1 i ψ = e h (σr +iσi ) = e− h σi e h σr ¯ ¯ ¯ (766) a ca ´ou seja, (764) ´ uma express˜o geral para a fun¸˜o de onda. E a condi¸˜o e ca(765) que nos dirige ao caso que nos interessa, j´ que ´ uma realiza¸˜o do a e calimite formal h → 0, supostamente a situa¸˜o em que a mecˆnica quˆntica ¯ ca a atende ` mecˆnica cl´ssica (as rela¸˜es de incerteza inexistem, nesse limite). a a a co Inserindo na eq.(763) a express˜o (764), obtemos a seguinte equa¸˜o para a caσ (completamente equivalente ` equa¸˜o de Schr¨dinger): a ca o 2 1 dσ i¯ d2 σ h − = E−U (767) 2m dx 2m dx2 Vamos agora utilizar a condi¸˜o (765). Suponhamos que exista a ex- capans˜o a 2 h ¯ h ¯ σ = σ0 + σ1 + σ2 + . . . (768) i icom σ0 , σ1 , σ2 finitos (ou seja,de m´dulos muito maiores do que h). Ent˜o o ¯ a(765) estar´ garantida desde que |σ0 | ≫ h. a ¯ iExemplo: ψ(x) = e h px , a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio de part´ ¯ ca a ıcula livre, ´ etal que i i ψ = e h px = e h σ ¯ ¯ (769)de onde segue que σ = px (770)A condi¸˜o (765) ´ ca e px h ¯ kx = ≫1 (771) h ¯ h ¯ 166
  • 167. ´ garantida se kx ≫ 1. Ela falha, portanto, para k = 0.eUtilizando (768) em (767), obtemos  2 2 1  ′ h ′ ¯ h ¯ ′ i¯ d2 h h ¯ σ0 + σ1 + σ2 + . . . − 2 σ0 + σ1 + . . . = E − U 2m i i 2m dx i (772)onde a deriva¸˜o em rela¸˜o a x ´ denotada por um ′. Igualando os coefi- ca ca ecientes da potˆncia 0 de h, temos e ¯ 1 2 (σ ′ ) = E − U(x) (773) 2m 0que d´ a σ0 = ± 2m(E − U)dx (774)A rela¸˜o ca p2 E= +U 2mpermite escrever p(x) = 2m(E − U(x))de maneira que (774) pode ser escrita σ0 = ± p(x)dx (775)Voltando ` (772), igualemos os coeficientes da potˆncia 1 de h: a e ¯ ′ ′ ′′ 2σ0 σ1 + σ0 = 0 (776)Como, de (775), ′ σ0 = p(x) ,temos ′′ ′ σ0 p′ σ1 = − ′ =− (777) 2σ0 2pou 1 1 σ1 = − log p = log √ (778) 2 pTemos, portanto, at´ esta aproxima¸˜o, e ca h ¯ 1 σ= p(x)dx + log √ (779) i p 167
  • 168. ou i e± h ¯ pdx ψ(x) = √ (780) pMais precisamente, a solu¸˜o geral ´ dada por uma combina¸˜o linear das ca e casolu¸˜es exibidas acima, ou seja, co i i e h pdx ¯ e− h pdx ¯ ψ(x) = C1 √ + C2 √ (781) p pAs condi¸˜es de validade da aproxima¸˜o quase-cl´ssica s˜o obtidas insistindo- co ca a ase em que, na equa¸˜o (767), o segundo termo do primeiro membro seja muito camenor que o primeiro isto ´: e 2 | 2m d σ | i¯ h dx2 1 dσ ≪1 (782) | 2m dx |2Isto ´ equivalente a e σ ′′ h ¯ ≪1 (783) σ′ 2ou ainda, d h ¯ ≪1 (784) dx p(x)Aqui encontramos mais uma vez uma situa¸˜o importante em que a aprox- caima¸˜o quase-cl´ssica n˜o ´ v´lida: quando o momento se anula, a eq.(784) ca a a e an˜o ´ satisfeita. a e Suponhamos que a nossa part´ ıcula possua uma energia potencial U(x), eque sua energia total seja E. Como temos p(x) = 2m (E − U(x))vemos que, nos pontos em que E = U(x), p(x) ´ igual ` zero, e a aproxima¸˜o e a caquase-cl´ssica falha. a 168
  • 169. U(x) x E b aNa figura acima vemos os pontos a e b, em que E = U(x), e a aproxima¸˜o caquase-cl´ssica falha. Classicamente s˜o os pontos em que a part´ a a ıcula p´ra e avolta, os “pontos de retorno”’. Nas vizinhan¸as desses pontos n˜o podemos c autilizar a express˜o (781). H´ uma s´rie de m´todos para contornar esta a a e edificuldade. O mais elementar ´ o seguinte: seja x0 um ponto de retorno, ou eseja, E − U(x0 ) = 0. A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e h2 d2 ψ(x) ¯ − + (U(x) − E) ψ(x) = 0 (785) 2m dx2Expandindo a fun¸˜o F (x) ≡ U(x) − E em torno do ponto x0 , temos ca F (x) = F (x0 ) + (x − x0 )F ′ (x0 ) (786)com F (x0 ) = 0. Como F (x0 ) = 0, temos U(x) − E = (x − x0 )U ′ (x0 ) (787)Logo, nas vizinhan¸as do ponto de retorno, a equa¸˜o de Schr¨dinger ´ c ca o e h2 d2 ψ(x) ¯ − 2 + U ′ (x0 )(x − x0 )ψ(x) = 0 (788) 2m dxque ´ a equa¸˜o de Schr¨dinger para uma part´ e ca o ıcula sobre a a¸˜o de uma for¸a ca cconstante. Mas esta equa¸˜o pode ser resolvida exatamente (veja Apˆndice), ca ede maneira que podemos proceder assim: a uma certa (pequena) distˆncia do a 169
  • 170. ponto de retorno, usamos a fun¸˜o de onda quase-cl´ssica. Mais para perto ca ado ponto de retorno, usamos a solu¸˜o exata (788). Tudo o que precisamos cafazer ´ achar, dentre as solu¸˜es de (788),aquela que se acopla continuamente e cocom a solu¸˜o semi-cl´ssica. ca a Este m´todo utiliza fun¸˜es transcendentes (a fun¸˜o de Airy, por exem- e co caplo), e um pouco de an´lise complexa, o que est´ acima do n´ deste curso. a a ıvelAssim, sendo, limitar-nos-emos a enviar o leitor ao apˆndice, para os detalhes edo c´lculo, e a dar a regra de transi¸˜o, l´ obtida. a ca a Nas regi˜es classicamente inacess´ o ıveis, temos E − U(x) < 0, logo, p(x) = 2m(E − U(x)) = i 2m(|E − U(x)|) . (789)Uma repeti¸˜o simples dos c´lculos leva a ca a 1 1 e− h ¯ |p(x)|dx eh ¯ |p(x)|dx ψ(x) = C1 + C2 (790) |p| |p| Temos,portanto, i i e h pdx ¯ e− h pdx ¯ ψ(x) = C1 √ + C2 √ E > U(x) (791) p p 1 1 e− h ¯ |p(x)|dx eh ¯ |p(x)|dx ψ(x) = C1 + C2 E < U(x) (792) |p| |p|29.1 Regra de transi¸˜o caVamos nos limitar a enunciar a regra de transi¸˜o, ilustrando-a com exemplos. ca Seja x = a um ponto de retorno, ou seja, tal que E = U(a). Ent˜o, a C x C 1 x π e− h | pdx| 1 ¯ a → √ cos pdx − (793) 2 |p| p h ¯ a 4 E < U(x) → E > U(x) 170
  • 171. 29.2 Exemplo U(x) x E b aA figura acima mostra um po¸o de potencial e os pontos, b e a, de retorno cde uma part´ıcula de massa m e energia E. ` Considere o ponto de retorno a. A sua direita a fun¸˜o de onda deve cadecrescer exponencialmente, j´ que se trata de uma regi˜o classicamente a aproibida, com E < U(x). Dentre as solu¸˜es de (794), a que nos serve ´ co eescrita C − h x |p|dx 1 e ¯ a , 2 |p|logo, ` esquerda de a, teremos a C 1 x π ψ(x) = √ cos p dx − (794) p h ¯ a 4 ` Passemos ao ponto de retorno b. A sua esquerda temos uma regi˜o clas- asicamente proibida. Devemos, ent˜o, ter uma fun¸˜o de onda que, ` medida a ca aque nos aprofundamos nessa regi˜o (isto ´, ` medida que x se torna mais e a e amais negativo), decresce exponencialmente. Dentre as catalogadas em (794)a que tem essas propriedades ´ e C x C x e− h | p dx| 1 1 |p|dx ¯ b = eh ¯ b (795) 2 |p| 2 |p| 171
  • 172. logo, a fun¸˜o de onda ` direita de b ser´ ca a a C 1 x π ψ(x) = √ cos p dx − (796) p h ¯ b 4Conseq¨ entemente temos, na regi˜o b ≤ x ≤ a, as express˜es (794) e (796) u a opara a fun¸˜o de onda. Essas duas express˜es devem ent˜o coincidir: ca o a C 1 x π C′ 1 x π √ cos p dx − = √ cos p dx − (797) p h ¯ b 4 p h ¯ a 4 Tomando x = a, obtemos 1 a π π C cos p dx − = C ′ cos (798) h ¯ b 4 4que leva a 1 a p dx = (n + 1/2)π (799) h ¯ b C = (−1)n C ′A regra de Bohr-Sommerfeld cont´m uma integral num circuito fechado. eNeste caso, isto seria a p dx = 2 p dx = (n + 1/2)2π¯ = (n + 1/2)h h (800) bObtemos uma rela¸˜o que coincide com a regra de Bohr para grandes valores cade n, quando se pode desprezar o termo 1/2.29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico oNeste caso a energia potencial ´ e 1 U(x) = mω 2 x2 2e 1 p(x) = 2m E − mω 2 x2 (801) 2Os pontos de retorno acontecem quando a energia coincide com a energiapotencial, isto ´ e 1 E = mω 2 x2 2 172
  • 173. 1 2Eo que acontece para x = ± ω m . A integral que aparece em (799) ´ e √ 2E 1 ω m √ πE p dx = √ 2E 2mE − m2 ω 2 x2 dx = (802) 1 −ω m ωe temos, ent˜o, a πE = (n + 1/2)π¯ h (803) ωou E = (n + 1/2)¯ ω , h (804)em completa coincidˆncia com o resultado exato! e30 O po¸o duplo. cA energia potencial U(x) consiste de dois po¸os de potencial sim´tricos, sep- c earados por uma barreira. Na figura abaixo os po¸os s˜o as regi˜es I e II, e c a oa barreira tem altura U0 . Se a barreira fosse impenetr´vel, haveria n´ a ıveis deenergia relativos ao movimento da part´ ıcula em um ou outro dos dois po¸os, cou seja, duas fam´ ılias de n´ıveis iguais, uma em cada po¸o. O fato de que co tunelamento atrav´s da barreira existe na mecˆnica quˆntica faz com que e a acada um dos n´ ıveis relativos ao movimento em um dos po¸os se separe em cdois n´ıveis pr´ximos, correspondendo agora a estados da part´ o ıcula em queela est´ nos dois po¸os. a c U(x) II I U0 E2 E0 E1 a xA determina¸˜o deste desdobramento de n´ ca ıveis ´ simples no caso em que ese pode usar a aproxima¸˜o quase cl´ssica. E ca a ´ o que faremos agora. Uma 173
  • 174. solu¸˜o aproximada da equa¸˜o de Schr¨dinger para a energia potencial U(x), ca ca odesprezando a probabilidade de passagem pela barreira, pode ser constru´ıdacom a fun¸˜o quase-cl´ssica ψ0 (x), que descreve o movimento com uma certa ca aenergia E0 em um dos po¸os (digamos, o po¸o I), e que ´ exponencialmente c c edecrescente em ambos os lados do po¸o I. A normaliza¸˜o aproximada desta c cafun¸˜o ´ ca e ∞ 2 ψ0 dx = 1 (805) 0Portanto, para ψ0 , temos satisfeita a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o d2 ψ0 2m + 2 (E − U(x)) ψ0 (x) = 0 (806) dx2 h ¯no seguinte sentido: para x < 0 a equa¸˜o ´ aproximadamente satisfeita ca eporque, tanto ψ0 (x) quanto sua derivada segunda, nesta regi˜o, s˜o aprox- a aimadamente nulas. Estaremos usando, sem mencionar mais, os seguintes fatos: nocaso de um sistema unidimensional confinado, isto ´, impedido de alcan¸ar o infinito, a e cfun¸˜o de onda pode ser tomada como real, e os n´ ca ıveis de energia n˜o s˜o degenerados. a aO produto ψ0 (x)ψ0 (−x), para x > 0, ´ desprez´ e ıvel. O potencial como umtodo ´ sim´trico. A equa¸˜o de Schr¨dinger e e ca o d2 ψ 2m + 2 (E − U(x)) ψ(x) = 0 (807) dx2 h ¯permanece v´lida quando se troca x por −x. Logo, se ψ(x) ´ uma fun¸˜o a e cade onda, ψ(−x) tamb´m o ´, para o mesmo valor de E. Como n˜o h´ e e a adegenerescˆncia, temos e ψ(−x) = eiα ψ(x) para α real (808)Logo, ψ(x) = eiα ψ(−x) = e2iα ψ(x) (809)e portanto e2iα = 1, de onde segue que α = nπ. Temos, em conseq¨ˆncia, ue ψ(−x) = ψ(x) (810)ou ψ(−x) = −ψ(x) (811) 174
  • 175. As autofun¸˜es da energia deste sistema s˜o, portanto, fun¸˜es pares ou co a co´ımpares de x. Isto ´ uma conseq¨ˆncia de que U(−x) = U(x). As fun¸˜es e ue code onda corretas, na aproxima¸˜o quase-cl´ssica, s˜o obtidas constru´ ca a a ındo, apartir de ψ0 , as fun¸˜es ψ1 , sim´trica, e ψ2 , anti-sim´trica: co e e 1 ψ1 (x) = √ [ψ0 (x) + ψ0 (−x)] (812) 2 1 ψ2 (x) = √ [ψ0 (x) − ψ0 (−x)] (813) 2Note que a fun¸˜o ψ0 (x) n˜o ´ autofun¸˜o do hamiltoniano com a energia ca a e capotencial U(x), sim´trica: ´ a fun¸˜o de onda que ter´ e e ca ıamos de a barreirafosse impenetr´vel. Tanto que ψ0 (−x) ´ desprez´ a e ıvel, enquanto que ψ0 (x) n˜o ao ´. De novo, como os n´ e ıveis n˜o s˜o degenerados, devemos ter energia s a adiferentes para ψ1 e ψ2 . Sejam d2 ψ1 2m + 2 (E1 − U(x)) ψ1 (x) = 0 (814) dx2 h ¯a equa¸˜o de Schr¨dinger para ψ1 , e ca o d2 ψ2 2m + 2 (E2 − U(x)) ψ2 (x) = 0 (815) dx2 h ¯aquela para ψ2 . Multiplicando (806) por ψ1 e (814) por ψ0 e subtra´ ındo,temos ′′ ′′ 2m ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 + 2 (E0 − E1 ) ψ0 ψ1 = 0 (816) h ¯ou d ′ ′ 2m (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) ψ0 ψ1 (817) dx h ¯Integrando de 0 a ∞: ∞ d ′ ′ 2m ∞ dx (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) dxψ0 ψ1 (818) 0 dx h ¯ 0 ′ ′ ∞ 2m 1 ∞ (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 )0 = 2 (E1 − E0 ) √ dxψ0 (ψ0 (x) + ψ0 (−x))(819) h ¯ 2 0 2m 1 ∞ 2 ≈ 2 (E1 − E0 ) √ ψ0 h ¯ 2 0onde usamos o fato de ψ0 (x)ψ0 (−x) ser muito pequeno. Lembrando que asfun¸˜es que aparecem no primeiro membro se anulam no infinito, temos co ′ ′ m ψ0 (0)ψ1 (0) − ψ1 (0)ψ0 (0) = √ 2 (E1 − E0 ) (820) 2¯ h 175
  • 176. Seja f (x) uma fun¸˜o par. Ent˜o, ca a f (−x) = f (x) (821) df (x)Consideremos agora a fun¸˜o ca dx . Trocando x por −x, df (x) df (−x) →− (822) dx dxLogo, df (−x) df (x) =− (823) dx dxou seja, se f ´ par, f ′ ´ ´ e e ımpar. Voltando ` (820), a 1√ √ ψ1 (0) = 2 [ψ0 (0) + ψ0 (0)] = 2ψ0 (0) (824) [enquanto ′ ψ1 = 0 , (825)levando a h2 ¯ ′ E1 − E0 = − ψ0 (0)ψ0 (0) (826) mRepetindo agora o c´lculo com ψ2 e ψ0 , obtemos, ao longo dos mesmos passos, a h2 ¯ ′ E2 − E0 = ψ0 (0)ψ0 (0) (827) mSubtra´ ındo, obtemos 2¯ 2 h ′ E2 − E1 = ψ0 ψ0 (0) (828) mUm c´lculo mais refinado leva ao resultado a 1 a −h |p|dx E2 − E1 = Ce ¯ −a (829)onde C ´ uma constante, e −a e a s˜o indicados na figura. A eq.(829) torna e aexpl´ ıcito o papel do tunelamento na separa¸˜o dos n´ ca ıveis de energia . 176
  • 177. 31 Sistemas de dois n´ ıveisEmbora os sistemas da natureza tenham, em geral, um grande n´mero de un´ ıveis, h´ situa¸˜es em que apenas dois deles s˜o relevantes. Um exemplo a co aimportante ´ este: uma onda eletromagn´tica, monocrom´tica, de freq¨ˆncia e e a ueω + ǫ (com ǫ/ω ≪ 1) incide sobre um ´tomo (de infinitos n´ a ıveis de energia ),que tem, entre eles, dois de energia s tais que E1 − E2 = hω. A freq¨ˆncia ¯ ueda onda ´ muito pr´xima da diferen¸a de n´ e o c ıveis dividida por h. Mostramos ¯anteriormente que, neste caso, apenas os n´ ıveis E1 e E2 participam do pro-cesso, sendo, os outros, “espectadores”, que podem, para este fim espec´ ıfico,ser ignorados. Nesta se¸˜o vamos estudar sistemas idealizados que tˆm somente dois ca en´ ıveis de energia . Supondo que esses n´ ıveis n˜o sejam degenerados, conclui-se aque todo conjunto completo e linearmente independente de vetores de estadodeste sistema possui apenas dois elementos: o conjunto de todos os estadosforma, com as opera¸˜es usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o por um n´ mero co ca ca ucomplexo, um espa¸o vetorial complexo de dimens˜o 2, e o hamiltoniano, c abem como todos os operadores lineares, podem ser representados por matrizescomplexas 2 × 2. A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ escrita ca o e ∂χ i¯ h = Hχ (830) ∂te, supondo-se que o hamiltoniano n˜o dependa explicitamente do tempo, apode-se-a integrar formalmente, obtendo i χ(t) = e− h Ht χ(0) . ¯ (831)Por causa da simplicidade do sistema, ´ poss´ escrever explicitamente o e ıvel ioperador exp (− ¯ Ht). Os autoestados da energia , |E1 e |E2 satisfazem as hequa¸˜es co H|E1 = E1 |E1 (832) H|E2 = E2 |E2 (833)e todo estado χ pode ser expandido em termos deles34 : χ(t) = |χ(t) = (|E1 E1 | + |E2 E2 |) |χ(t) (834) 34 Como ´ usual entre os f´ e ısicos, estaremos, indiferentemente, denotando o estado por χou |χ . Em geral usa-se esta ultima forma quando se vai fazer uso de algum dos truques ´da genial nota¸˜o de Dirac ca 177
  • 178. = E1 |χ(t) |E1 + E2 |χ(t) |E2 = C1 (t)|E1 + C2 (t)|E2 (835)Uma fun¸˜o f (H) do hamiltoniano ´ definida assim: ca ef (H)|χ(t) = C1 (t)f (H)|E1 + C2 (t)f (H)|E2 = C1 (t)f (E1 )|E1 + C2 (t)f (E2 )|E2 (836)Usando-se esta opera¸˜o mostra-se facilmente que ca 1 ˆ E2 ˆ − H 1 ˆ E1 ˆ − H f (H) = f (E1 ) + f (E2 ) (837) E2 − E1 E1 − E2que, usada para o operador de evolu¸˜o temporal, d´: ca a i 1 i i e− h Ht = ¯ E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (838) E2 − E1 ˆ H i i + e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ E2 − E1De posse deste resultado, podemos formular a pergunta: suponhamos que osistema se encontre, em t = 0, em um estado |χ(0) . Qual ´ a probabilidade ede que, decorridos t segundos, ele permanecer no mesmo estado? Se, em t = 0, o estado ´ χ(0), teremos, no instante t, e i χ(t) = e− h Ht χ(0) ¯ (839)e, usando a express˜o acima, a i i χ(0) i i e− h E2 t − e− h E1 t ˆ ¯ ¯ χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t + ¯ ¯ Hχ(0) (840) E2 − E1 E2 − E1Seja χ(0) = C1 |E1 + C2 |E2 (841)ent˜o, a C1 |E1 + C2 |E2 i i χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (842) E2 − E1 i i − h E2 t e ¯ − e− h E1 t ¯ = (C1 E1 |E1 + C2 E2 |E2 ) E2 − E1A probabilidade de o sistema, em t, estar no mesmo estado, ´ obtida assim: eexiste uma base do espa¸o dos estados formada por |χ(0) e outros estados, cortogonais a ele. Expandimos |χ(t) nesta base: |χ(t) = a(t)|χ(0) + . . . (843) 178
  • 179. A probabilidade pedida ´ |a(t)|2 . Ora, e χ(0)|χ(t) = a(t) χ(0)|χ(0) = a(t) . (844)Logo, a probabilidade ´ | χ(0)|χ(t) |2. Vamos calcular χ(0)|χ(t) , a ampli- etude de probabilidade. Usando (839), temos 1 i i χ(0)|χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (845) E2 − E1 i i e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ ˆ + χ(0)|H|χ(0) E2 − E1Como ˆ ˆχ(0)|H|χ(0) = (C1 E1 | + C2 E2 |) H (C1 |E1 + C2 |E2 ) = |C1 |2 E1 +|C2|2 E2 ∗ ∗Ent˜o, a 1 i i χ(0)|χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ E2 − E1 i i 2 2 e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ + |C1 | E1 + |C2 | E2 (846) E2 − E1Suponhamos que |C1 |2 = 1 e |C2 |2 = 0. Ent˜o, ap´s uma ´lgebra simples, a o a i χ(0)|χ(t) = e− h E1 t ¯ (847)logo, | χ(0)|χ(t) |2 = 1 (848)isto ´, um sistema que est´ num estado estacion´rio permanece nele (da´ se e a a ıchamar estacion´rio!). a ´ a E f´cil mostrar que os estados estacion´rios s˜o os unicos que possuem a a ´esta propriedade. De fato, se i χ(t) = e− h Ht χ(0) ¯ (849) χ(0) = C1 |E1 + C2 |E2 (850) i i |χ(t) = C1 e− h E1 t |E1 + C2 e− h E2 t |E2 ¯ ¯ (851) i i 2 − h E1 t 2 − h E2 t χ(0)|χ(t) = |C1 | e ¯ + |C2 | e ¯ (852) 1 | χ(0)|χ(t) |2 = |C1 |4 + |C2 |4 + 2|C1 |2 |C2 |2 cos (E1 − E2 )t (853) h ¯ 179
  • 180. Para que | χ(0)|χ(t) |2 = 1 para todo t, temos de ter ou C1 = 0 ou C2 = 0.Em qualquer dos casos o outro coeficiente ´ de m´dulo 1, pois |C1 |2 + |C2 |2 = e o1. Logo, χ(0) = |E1 ou χ(0) = |E2 . Tomemos agora uma base arbitr´ria do espa¸o dos estados, formada por a c|φ1 e |φ2 . O estado |χ(t) ´ expandido, nesta base, como e |χ(t) = (|φ1 φ1 | + |φ2 φ2|) |χ(t) = φ1 |χ(t) |φ1 + φ2 |χ(t) |φ2 (854)Introduzindo a nota¸˜o ca χi (t) ≡ φi |χ(t) ,temos |χ(t) = χ1 (t)|φ1 + χ2 (t)|φ2 (855)A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e ∂|χ(t) ˆ ˆ ˆ i¯ h = H|χ(t) = χ1 (t)H|φ1 + χ2 (t)H|φ2 (856) ∂te, tomando os produtos escalares com |φi , ∂ i¯ h φ1 |χ(t) = χ1 (t) φ1 |H|φ1 + χ2 (t) φ1 |H|φ2 (857) ∂t ∂ i¯ h φ2 |χ(t) = χ1 (t) φ2 |H|φ1 + χ2 (t) φ2 |H|φ2 (858) ∂tDenotando φi|H|φj por Hij , temos ∂χ1 i¯ h = H11 χ1 + H12 χ2 (859) ∂t ∂χ2 i¯ h = H21 χ1 + H22 χ2 (860) ∂tPara estados estacion´rios, H12 = H21 = 0. Logo, os elementos de a matrizH21 e H12 promovem as transi¸˜es entre estados. co De fato, seja |φ1 um dos estados da base. i |φ1(t) = e− h Ht |φ1 ¯ (861) i i − h E2 t − h E1 t |φ1 i i e ¯−e ¯ ˆ (862) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t + ¯ ¯ H|φ1 E2 − E1 E2 − E1Qual ´ a probabilidade de que, em algum t, o sistema se encontre em |φ2 ? eA amplitude ´ dada por e i i e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ ˆ φ2 |φ1 (t) = φ2 |H|φ1 (863) E2 − E1N˜o h´ transi¸˜o se H21 = 0. a a ca As equa¸˜es (863) s˜o as Eqs.(8.43) do Volume III das “Feynman Lec- co atures on Physics”, que as utiliza para um grande n´ mero de aplica¸˜es inter- u coessantes. Vamos fazer o mesmo. 180
  • 181. 32 A mol´cula da amˆnia e oA mol´cula de amˆnia, NH3 , ´ formada por trˆs ´tomos de hidrogˆnio e um e o e e a ede nitrogˆnio, dispostos nos v´rtices de uma pirˆmide, como mostra a figura. e e aEsta mol´cula pode ser excitada de muitos modos: pode ser posta a girar, epor exemplo, em torno de um eixo passando pelo nitrogˆnio e perpendicular e` base oposta, que ´ um eixo de simetria, ou pode-se tamb´m excitar seusa e emuitos modos normais de vibra¸˜o. Aqui vamos considerar uma transi¸˜o ca caque ´ particularmente interessante porque n˜o pode existir classicamente. Na e af´ ısica cl´ssica, as duas configura¸˜es exibidas acima s´ podem se transformar a co ouma na outra por rota¸˜o da mol´cula. Na mecˆnica quˆntica, por´m, o ca e a a enitrogˆnio pode tunelar para o outro lado, uma transi¸˜o que n˜o pode existir e ca aclassicamente. Como problema an´logo, considere o po¸o duplo mostrado na a cfigura abaixo. Para energia s como E0 , classicamente, o problema se reduz aum unico po¸o. Ou seja, para energia inferiores a Vm , classicamente, temos ´ cdois po¸os independentes. Se o potencial for sim´trico, teremos os mesmos c en´ıveis de energia de um de do outro lado da barreira. Na mecˆnica quˆntica, por´m, existe o tunelamento entre os dois po¸os. a a e cEm conseq¨ˆncia disso, os n´ ue ıveis de energia individuais dos po¸os deixar˜o c ade existir, e aparecer˜o n´ a ıveis do po¸o duplo. c33 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a33.1 Introdu¸˜o caEstas notas reproduzem parte das transparˆncias apresentadas no curso de ever˜o de 2003 do Instituto de F´ a ısica da USP. A parte relativa ` equa¸˜o a cade Dirac e ` anti-mat´ria ´ reproduzida in toto. Resolvemos substituir a a e eparte que tratava de neutrinos e do problema solar por indica¸˜es ` liter- co aatura existente, principalmente na internet, que ´ de facil acesso e excelente equalidade. Para o estudo do problema dos neutrinos solares, recomendamos o en-dere¸o: chttp://www.hep.anl.gov/ndk/hypertext/nuindustry.htmlMuitas outras informa¸˜es sobre o tema, e sobre f´ co ısica em geral, podem serencontradas no meu site:http://hfleming.com 181
  • 182. O estudo da equa¸˜o de Dirac na linha aqui apresentada encontra-se em caSakurai, “Advanced Quantum Mechanics”, Addison-Wesley Presse emT. D. Lee, “Particle Physics and Introduction to Field Theory”.Um tratamento elementar, mas de qualidade, sobre a f´ ısica dos neutrinosencontra-se emC. Sutton, “ Spaceship Neutrino”33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre ca o p → −i¯ ∇ h ∂ E → i¯ h ∂t p2 1 h ¯2 → 2m (−i¯ ∇).(−i¯ ∇) h h = − 2m ∇2 2m p2 h2 2 ¯ ∂Ψ Ψ = EΨ → − ∇ Ψ = i¯ h 2m 2m ∂t33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon ca E2 = p2 c2 + m2 c4 E 2Ψ = (p2 c2 + m2 c4 )Ψ ∂2Ψ −¯ 2 2 h = −c2 h2 ∇2 Ψ + m2 c4 Ψ ¯ ∂t m2 c2 22 − 2 Ψ = 0 h ¯ A equa¸˜o de Klein-Gordon ´ de segunda ordem no tempo, o que cria ca edificuldades com o postulado b´sico da Mecˆnica Quˆntica que diz que o a a aestado de um sistema est´ completamente determinado (inclusive em sua aevolu¸˜o) se se conhece a fun¸˜o de onda em um instante qualquer. Al´m ca ca edisso, a conserva¸˜o da probabilidade, expressa pela equa¸˜o da continuidade ca ca ∂ρ + div j = 0 (864) ∂t´ satisfeita parae 1 ∂Ψ∗ ∂Ψ ρ = Ψ − Ψ∗ c ∂t ∂t 182
  • 183. j = c Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ∂ρ + div j = 0 ∂t Problemas1. ρ pode ter qualquer sinal.2.A equa¸˜o de Klein-Gordon n˜o ´ de primeira ordem no tempo. ca a e33.4 A equa¸˜o de Dirac caProcura-se: equa¸˜o relativista de primeira ordem no tempo. Uma express˜o ca ageral ´: e ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αx + αy + αz + βΨ = (865) ∂x ∂y ∂z h ¯ c ∂tonde αx , αy , αz e β s˜o matrizes quadradas 4x4, e Ψ ´ uma matriz coluna a ede 4 elementos. Exemplo:    A B C D ∂Ψ1 /∂x  E F G H   ∂Ψ2 /∂x  αx Ψ =   I   (866) J K L   ∂Ψ3 /∂x  M N O P ∂Ψ4 /∂x Em termos dos elementos de matriz a equa¸˜o ´: ca e ∂Ψσ ∂Ψσ ∂Ψσ imc 1 ∂Ψρ (αx )ρσ + (αy )ρσ + (αz )ρσ + (β)ρσ Ψσ = σ ∂x ∂y ∂z h ¯ c ∂t Todos os elementos das α’s e de β devem ainda ser determinados. Paraisso vamos impˆr a condi¸˜o que, para cada componente Ψρ , valha a equa¸˜o o ca cade Klein-Gordon, ou seja, 1 ∂2 m2 c2 ∇2 − Ψρ = 2 Ψρ c2 ∂t2 h ¯A motiva¸˜o ´ a seguinte. Considere as equa¸˜es de Maxwell (escritas no ca e cosistema CGS, como todo f´ısico que se preza faz!) na ausˆncia de cargas e e 183
  • 184. correntes: div B = 0 div E = 0 1 ∂B rotE = − c ∂t 1 ∂E rotB = c ∂t´E um sistema de equa¸˜es lineares, de primeiro grau, que mistura as v´rias co acomponentes de E e B. Tomando o rotacional da ultima e usando a pen´ ltima, ´ uobtemos 1 ∂2B rot rotB = − 2 2 c ∂tou 1 ∂2B ∇ ∇.B − ∇2 B = − 2 2 c ∂tque ´ a mesma coisa que e 22 Bρ = 0para todo ρ. Obt´m-se, de modo an´logo, que e a 22 Eρ = 0para todo ρ. Ora, a teoria de Maxwell ´ relativisticamente invariante, e essas duas eultimas rela¸˜es mostram uma propriedade que essas equa¸˜es devem sat-´ co coisfazer. Mas elas n˜o s˜o sen˜o as equa¸˜es de Klein-Gordon para m = 0. a a a coLogo, justifica-se a exigˆncia de que, para cada componente de Ψ, a equa¸˜o e cade Klein-Gordon seja satisfeita. Resumindo, se Ψ ´ uma solu¸˜o da equa¸˜o e ca cade Dirac, exigiremos que m2 c2 22 − Ψρ = 0 h2 ¯para todo ρ.33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ısticaPreliminarmente precisamos de uma interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica. Gostar´ ıamosde ter ρ= Ψ∗ Ψσ σ σ 184
  • 185. por ser esta uma quantidade positiva e que generaliza o ρ = |Ψ|2 da teoriade Schr¨dinger. Como o d3 xρ = 1(se a integral ´ sobre todo o espa¸o), teremos e c d ∂Ψ∗σ ∂Ψσ ρd3 x = 0 = d3 x Ψ σ + Ψ∗ σ dt σ ∂t ∂tDa equa¸˜o de Dirac se tira ca 3 1 ∂Ψρ k ∂Ψσ mc =− αρσ + i βρσ Ψσ c ∂t σ k=1 ∂xk h ¯Inserindo esta na pen´ ltima, u 3 ∂Ψ∗ λ imc ∗ 0 = −c d3 x ∗k ασλ Ψσ + β Ψσ Ψ∗ σ λ k=1 ∂xk h σλ ¯ λ 3 ∂Ψλ imc −c d3 x ασλ Ψ∗ k σ − βσλ Ψ∗ Ψλ σ σ λ k=1 ∂xk h ¯de onde segue que ∗ βσλ = βλσ ∗k k ασλ = αλσ ,ou seja, β e as α’s s˜o hermiteanas. a Mais precisamente, temos que, com ∗ ρ = Ψσ Ψσ σ j = c (Ψ∗ αΨ)onde α ´ o “vetor” de componentes (αx , αy , αz ), vale e ∂ρ + div j = 0 ∂t33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac caReescrevendo a equa¸˜o de Dirac como ca ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αi + βΨ − =0 (867) ∂xi h ¯ c ∂t 185
  • 186. (onde o primeiro termo representa uma soma sobre i) e multiplicado ` es- aquerda pelo operador ∂ imc 1∂ αj + β+ ∂xj h ¯ c ∂ttemos, ap´s alguns cancelamentos, o ∂2Ψ imc j ∂Ψ imc i ∂Ψ αj αi + αβ + βα + ∂xj ∂xi h ¯ ∂xj h ¯ ∂xi m2 c2 1 ∂2Ψ − 2 β 2Ψ − 2 2 = 0 h ¯ c ∂tPara que isto se reduza a 2m2 c2 2 − 2 Ψ=0 h ¯devemos ter: β2 = 1 αi β + βαi = 0 αi αj + αj αi = 2δijUma solu¸˜o para essas equa¸˜es pode ser constru´ da seguinte maneira: ca co ıdasejam 1 0 I= 0 1 0 1 σ1 = 1 0 0 −i σ2 = i 0 1 0 σ3 = 0 −1As matrizes de Dirac s˜o matrizes 4x4 definidas, em termos das anteriores, aassim: 0 σk αk = σk 0 I 0 β= 0 −I 186
  • 187. ou, mais explicitamente, 0 0 0 1    0 0 1 0  α1 =    0 1 0 0    1 0 0 0e assim por diante.33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca caQueremos colocar a equa¸˜o de Dirac numa forma em que o tempo e as co- caordenadas apare¸am simetricamente. Nota¸˜o: c ca x1 = x x2 = y x3 = z x4 = ict ıstico x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 ´ escrito x2 + x2 + x2 + x2 ,Assim, o invariante relativ´ e 1 2 3 4ou xµ xµ , que ´ a mesma coisa que e 4 xµ xµ µ=1A euq¸˜o de Dirac ´: ca e ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αi + βΨ + =0 ∂xi h ¯ c ∂t ∂Ψonde αi ∂xi ´ uma abrevia¸˜o para e ca 3 ∂Ψ αi i=1 ∂xiMultiplicando a equa¸˜o de Dirac ` esquerda por (−iβ) e introduzindo a ca anota¸˜o ca γ4 = β γ k = −iβαk 187
  • 188. para k = 1, 2, 3, temos ∂Ψ mc ∂Ψ γi + Ψ+β =0 ∂xi h ¯ ∂(ict)ou ∂Ψ mc γµ + Ψ=0 ∂xµ h ¯com γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δµν33.4.4 Corrente de ProbabilidadeSeja Ψ uma solu¸˜o da equa¸˜o de Dirac. Definindo ca ca Ψ(x) ≡ Ψ† (x)γ4Ent˜o obt´m-se, da equa¸˜o de Dirac, a e ca ∂Ψ mc γµ − Ψ=0 ∂xµ h ¯O quadrivetor densidade de corrente de probabilidade, jµ ≡ iΨγµ Ψ ´ tal que e ∂jµ 1 ∂ρ = + div j = 0 ∂xµ c ∂tque ´ a forma 4-dimensional da equa¸˜o da continuidade. e ca33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repousoPara uma part´ ıcula em repouso, pk Ψ = 0onde pk ´ o operador “componente k do momento ”. Equivalentemente, e ∂Ψ −i¯ h =0 ∂xkpara k = 1, 2, 3. Logo, para a part´ ıcula em repouso, Ψ(r, t) = Ψ(t)Com isso, a equa¸˜o de Dirac fica: ca ∂Ψ mc γ4 =− Ψ ∂x4 h ¯ 188
  • 189. Explicitamente, temos 1 0 0 0 Ψ1 (t) Ψ1 (t)        0 1 0 0  1 ∂  Ψ2 (t)  mc  Ψ2 (t)  =−       0 0 −1 0 ic ∂t  Ψ3 (t) h  ¯ Ψ3 (t)           0 0 0 −1 Ψ4 (t) Ψ4 (t)Autoestados da energia tˆm a forma e i Ψ(t) = Ψ(0)e− h Et ¯Logo, para essas fun¸˜es, co 1 0 0 0 a a      1  0 1 0 0  b  ∂ − i Et mc  b  i  − h Et e h =− e ¯    ¯  ic  0 0 −1 0 c ∂t h  ¯ c        0 0 0 −1 d dCancelando as exponenciais reduz-se a a a     E  b  mc  b  =     hc  ¯ −c h  ¯ c       −d dLogo, E = mc2 c = d=0ou seja, as solu¸˜es s˜o co a a    b  i  − h mc2 t Ψ(t) =  e ¯   0  0Todas estas podem ser escritas como combina¸˜es lineares de co 1    0  i  − h mc2 t Ψ1 (t) =  e ¯   0  0e 0    1  i  &