Ingenieria civil

1. Pandeo Columnas - Página 1 of 10
ESTABILIDAD DE COLUMNAS
1. Análisis Lineal de la Estabilidad
El objetivo del análisis lineal de la estabilidad, consiste en determinar cargas de bifurcación y
modos de inestabilidad de estructuras.
En lo que sigue vamos a desarrollar este análisis utilizando el criterio energético; dicho
criterio está basado en el Principio de la Mínima Energía Potencial, el cual establece que una
configuración es de equilibrio estable, siempre que la Energía Potencial presente en esa
configuración un mínimo relativo.
2. Análisis de segundo orden de una viga columna.
Consideremos la columna de la figura con la convención de ejes y signos tomada en los
cursos de Resistencia de Materiales, para realizar un análisis de segundo orden,
consideraremos las siguientes hipótesis:
1) Barra con sección transversal constante.
2) La carga axial P, actúa en el eje centroidal de la columna y no cambia durante el pandeo.
3) La deflexión debida a la carga distribuida [S1]se produce en el plano x,y.
4) El equilibrio es formulado en el eje deformado de la barra.
5) El eje yO
r
es eje de simetría de la sección.
6) Las deformaciones son pequeñas.
7) Es válida la hipótesis de Navier de las secciones planas.
8) El material es elástico lineal y homogéneo.
9) Las deformaciones son proporcionales a la distancia a la línea neutra de flexión; esto
significa que la barra no puede curvarse en su plano de simetría.
10) La sección transversal no cambia de forma durante la deflexión; o sea no ocurre pandeo
local.
11) El pandeo torsional lateral está impedido por arriostramiento.
12) Los efectos locales son despreciables.
13) Las deformaciones por corte son despreciables.

2. Pandeo Columnas - Página 2 of 10
2.1 Energía Potencial de la viga columna.
La energía potencial de la viga columna, es igual a la diferencia entre su energía de
deformación y el trabajo de las fuerzas externas.
ext
U WΠ = − (1)
2.1.2 Energía de Deformación.
Como por hipótesis despreciamos las deformaciones por corte, la energía de deformación
será la suma de la energía de deformación por directa dU y por flexión fU .
De los cursos de Resistencia de Materiales sabemos que la energía de deformación por
directa es:
22
0 0
1 1
,
2 2
L L
d d
N du du
U dx N EA U EA dx
EA dx dx
 
= = ⇒ =  
 
∫ ∫ (2)
Mientras que la energía de deformación por flexión es:
22 2 2
2 2
0 0
1 1
,
2 2
L L
f z f z
z
M d v d v
U dx M EI U EI dx
EI dx dx
 
= = − ⇒ =  
 
∫ ∫ (3)
2.1.3 Trabajo de las Fuerzas Externas.
Debemos considerar el trabajo de la fuerza axial P.
Trabajo de la carga axial P:
( )ext
PW P P µ λ= ∆ = + (4)
donde ∆ va estar formado por dos componentes, una que llamaremos µ debida a las
deformaciones de directa y otra λ debida a las deformaciones por flexión.
La primera componente se calcula de la forma:
0 0 0
( ) ( )
L L L
x
du
x dx dx du u L
dx
µ ε= = = =∫ ∫ ∫ (5)
Para calcular la segunda componente, debemos considerar que cuando la barra se flexiona
mediante las cargas, el extremo B de la curva de deflexión se moverá horizontalmente a lo
largo de una pequeña distancia λ desde B hasta B´, ver figura

3. Pandeo Columnas - Página 3 of 10
El desplazamiento λ es igual a la diferencia entre la longitud inicial L de la barra y la
longitud de la cuerda A B´ de la viga flexionada. Para determinar esta distancia, empezamos
por considerar un elemento de longitud ds medida a lo largo del eje curvo de la viga. La
proyección de este elemento sobre el eje x tiene una longitud dx. La diferencia entre la
longitud ds y su proyección es
2
2 2
1 1
dv
ds dx dx dv dx dx
dx
   − = + − = + − 
   
(6)
Como trabajamos en la hipótesis de pequeñas deformaciones 1
dv
dx
y desarrollando en serie
de Taylor la raíz cuadrada se tiene:
2 2
1 1
1 1
2 2
dv dv
ds dx dx dx
dx dx
    
− = + − =         
(7)
Si esta expresión se integra sobre la longitud de la viga, obtenemos la diferencia λ entre la
longitud total de la viga y la curva AB´:
( )
2
0 0
1
2
L L
dv
ds dx dx
dx
λ
 
= − =  
 
∫ ∫ (8)
El trabajo de la carga axial P se escribe entonces como:
( )
2
0
1
( )
2
L
ext
P
dv
W P P Pu L P dx
dx
µ λ
 
= ∆ = + = +  
 
∫ (9)
2.1.4 Expresión de la Energía Potencial de la viga columna.
Sustituyendo las formulas anteriores en la ecuación (1), se obtiene la expresión de la energía
potencial de la viga columna:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
1 1
( )
2 2 2
L L L
z
P
EA u dx EI v dx v dx Pu L′ ′′ ′Π = + − +∫ ∫ ∫ )(
0
LPudx
L
+= ∫φ (10)

4. Pandeo Columnas - Página 4 of 10
donde
( ) ( ) ( )
2 2 21
2 2
z
P
EA u EI v vφ
 
′ ′′ ′= + −  
(11)
2.1.5 Primera Variación de la Energía Potencial de la viga columna.
Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen las ecuaciones de campo:
2
2
2
2
0
0
u x u x u
v x v x v
φ φ φ
φ φ φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
− + =   ′ ′′∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
− + =   ′ ′′∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
(13)
Se obtienen las dos ecuaciones de campo que gobiernan el problema:
La primera:
0EAu′′ = (14)
La segunda:
0IV
zEI v Pv′′+ = (15)
Observemos que la ecuación (14) de equilibrio de la barra sometida a carga de directa,
coincide con la ecuación de la teoría de primer orden. Por este motivo no es necesario
considerar los desplazamientos axiales para calcular la carga de pandeo, y se puede admitir la
hipótesis de indeformabilidad axial, , y 0xEA ε→ ∞ = .
La ecuación de campo que gobierna el problema, es la ecuación (15), la cual dividiendo entre
EIz, se escribe de la forma:
[ ]2 2
, 0, , conIV
z z
q P
v k v x L k
EI EI
′′+ = ∀ ∈ = (16)
2.2 Cargas Críticas
2.2.1 Carga crítica de una columna biarticulada.
A continuación encontraremos la carga crítica de Pandeo de una columna biarticulada, para
eso, buscando soluciones de la forma:

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1
24 2 2
3
4
2 2
0
0
0
sen( ) cos( )
¨ sen( ) cos( )
=
 =
= ⇒ + = ⇒ ⇒
=
 = −
= + + +
′′ = − −
x
v e k
ik
ik
v A Bx C kx D kx
v k C kx k D kx
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
(17)
Se deben determinar las constantes A,B,C y D, para que se cumplan las condiciones de borde:
(0) 0, (0) 0, ( ) 0, ( ) 0′′ ′′= = = =v v v L v L , debido a que en la columna biarticulada los
descensos y momentos son cero en los dos apoyos.
Lo cual lleva al siguiente sistema de ecuaciones:
2
2 2
1 0 0 1 0
0 0 0 0
1 sen( ) cos( ) 0
0 0 sen( ) cos( ) 0
    
    
−    =
    
    
− −    
A
k B
L kL kL C
k kL k kL D
(18)
Este sistema es homogéneo, y tiene una solución trivial A=B=C=D=0. Dicha solución
sustituida en la ecuación (18) lleva a 0=v .
Para que el sistema (18), admita otra solución en la que 0≠v debe tener determinante cero,
2
2 2
2 2
1 0 0 1
0 0 0
sen( ) 0
1 sen( ) cos( )
0 0 sen( ) cos( )
sen( ) 0 , con 1,2, .
−
= = ⇒
− −
⇒ = ⇒ = = ⋅⋅⋅
k
k Lk kL
L kL kL
k kL k kL
kL kL n nπ
(19)
Sustituyendo en la ecuación (18) kL por el valor obtenido en (19), se tiene:
2 2
2 2
2 2
= = ⇒ = z
z
EIP n
k P n
EI L L
π
π (20)
Hay un infinito número de raíces que conducen a un infinito número de cargas P; sin
embargo cuando se alcanza la primera, llamada carga de Euler 2
2
= z
E
EI
P
L
π , se produce un
problema de inestabilidad como veremos en el numeral 2.2, por lo que ésta es la carga crítica
de la columna, careciendo de sentido físico las siguientes.

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2
2
= = z
crit E
EI
P P
L
π (21)
Sustituyendo =kL nπ en el sistema anterior podemos hallar el autovector correspondiente al
problema de autovalores y autovectores que resolvimos:
2
2
1 0 0 1 0
0 0 0 0
0
1 0 ( 1) 0
0 0 0 ( 1) 0
    
    
−    = ⇒ = = =
    −
    
− −    
n
n
A
k B
A B D
L C
k D
(22)
Solamente 0≠C y sen
 
= =  
 
n
n
v v C x
L
π
, son los distintos modos de pandeo de la columna.
En la figura adjunta, se representan los tres primeros modos de pandeo:
2.2.2 Carga crítica de una columna con otras condiciones de apoyo.
Haciendo un razonamiento análogo al desarrollado en el numeral anterior, para una columna
con otras condiciones de contorno diferentes a la biarticulada, se llega a que las ecuaciones de
campo, válidas en el intervalo [0,L], son las mismas mientras que evidentemente van a variar
las condiciones de contorno, en la gráfica siguiente se muestra como quedan las ecuaciones y
la longitud efectiva que permite extender la fórmula de Euler a diferentes condiciones de
contorno, cambiando la longitud de la barra por su longitud efectiva 2
2
= z
crit
ef
EI
P
L
π

7. Pandeo Columnas - Página 7 of 10
Se puede verificar que la longitud efectiva tiene una interpretación física, siendo la longitud
entre los puntos de momento cero en el diagrama de momentos de la teoría de segundo orden.

8. Pandeo Columnas - Página 8 of 10
2.2.3 Caso de una columna biarticulada con la carga P de tracción.
Para una columna tendremos que q=0, y la ecuación que gobierna el problema será:
[ ]2 2
0, 0, , con
−
′′− = ∀ ∈ − =IV
z
P
v k v x L k
EI
(23)
Buscando soluciones de la forma:
1
24 2 2
3
4
1 1
2 2
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
−
=
 =
= ⇒ − = ⇒ ⇒
=
 = −
= + + + = + + +
′′ = − −
x
kx kc
v e k
k
k
v A Bx C e D e A Bx Csh kx Dch kx
v k Csh kx k Dch kx
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
(24)
Se deben determinar las constantes A,B,C y D, para que se cumplan las condiciones de borde:
(0) 0, (0) 0, ( ) 0, ( ) 0′′ ′′= = = =v v v L v L
Lo cual lleva al siguiente sistema de ecuaciones:
2
2 2
1 0 0 1 0
0 0 0 0
1 sh( ) c ( ) 0
0 0 sh( ) c ( ) 0
    
    
−    =
    
    
− −    
A
k B
L kL h kL C
k kL k h kL D
(25)

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Este sistema es homogéneo, y tiene una solución trivial A=B=C=D=0. Dicha solución
sustituida en la ecuación (24) lleva a 0=v .
Para que el sistema (25), admita otra solución en la que 0≠v debe tener determinante cero,
2
2 2
2 2
1 0 0 1
0 0 0
sh( ) 0
1 sh( ) c ( )
0 0 sh( ) c ( )
sh( ) 0 0, 0
−
= = ⇒
− −
⇒ = ⇒ = ⇒ =
k
k Lk kL
L kL h kL
k kL k h kL
kL kL P
(26)
Coincide con la trayectoria fundamental.
2.3 Aplicaciones a pandeo de pórticos.
Consideremos los pórticos representados en la figura adjunta, donde el pórtico de la figura a)
es un pórtico de nudos indesplazables cuyo dintel es infinitamente rígido, mientras que el de
la figura b) también es de nudos indesplazables pero tiene una rigidez a flexión nula. Lo
mismo ocurre con los pórticos de nodos desplazables c) y d).
Resulta evidente que para un pórtico de rigidez diferente a las consideradas su carga de
pandeo estará limitada por las que determinaremos a continuación para estos pórticos.

10. Pandeo Columnas - Página 10 of 10
En la figura anterior se representan las deformadas con las condiciones de borde en que
podemos determinar la carga de pandeo de cada columna considerándola debido a las
condiciones particulares del problema como aislada. Estas están en las condiciones de la
figura del numeral 2.2.2: III) para el pórtico a), II) para el b), V) para el c) y IV) para el d),
por lo cual para carga crítica de pandeo para un pórtico de rigidez (EI)d del dintel estará entre
los límites:
Para el pórtico de nudos indesplazables:
2 2
39,48 20,2c c
crit
c c
EI EI
P
L L
> > (27)
Para el de nudos desplazables:
2 2
9.87 2,47c c
crit
c c
EI EI
P
L L
> > (28)