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Regressão - aula 04/04
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Regressão - aula 04/04

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  • 1. Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Análise de Regressão: Sá Relaxando as hipótesesMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Rodrigo de Sá Fundação de Economia e Estatística, 2011
  • 2. Livro texto Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast. Damodar GujaratiAutocorrel. Econometria BásicaDummies 3ª ed. 2005.Exercício
  • 3. Multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é Rodrigo de Sá a ausência de multicolinearidade entre as variáveisMulticolin. explicativas.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício
  • 4. Multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é Rodrigo de Sá a ausência de multicolinearidade entre as variáveisMulticolin. explicativas. X1 = a + bX2 .Heterocedast.Autocorrel. Multicolinearidade perfeita:Dummies Variáveis correlacionadas, mas não perfeitamente:Exercício X1 = a + bX2 + u .
  • 5. Multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é Rodrigo de Sá a ausência de multicolinearidade entre as variáveisMulticolin. explicativas. X1 = a + bX2 .Heterocedast.Autocorrel. Multicolinearidade perfeita:Dummies Variáveis correlacionadas, mas não perfeitamente:Exercício X1 = a + bX2 + u . Consequências da multicolinearidade perfeita: O valor dos coecientes da regressão é indeterminado; A variância desses estimadores é innita.
  • 6. Multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Multicolinearidade Diagramas de Venn
  • 7. Possíveis fontes de multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Método de coleta de dados: uma amostra que cubra uma Rodrigo de Sá pequena parte dos valores possíveis de X. Restrições presentes no modelo ou na população: se asMulticolin.Heterocedast. variáveis explicativas forem renda e consumo de energiaAutocorrel. elétrica, na amostra elas serão altamente correlacionadasDummies por que pessoas com maior renda em geral consomem umaExercício quantidade maior de energia elétrica. Especicação do modelo: regressão polinomial quando o intervalo a que pertence o X é pequeno. Em séries temporais, tendência comum: todas as variáveis explicativas crescem ou decrescem com o passar do tempo.
  • 8. Estimação na presença de multicolinearidade perfeita Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Seja um modelo de regressão linear com duas variáveis Sá explicativas.Multicolin. β1 mede em quantas unidades a esperança condicional deHeterocedast. Y muda em função da variação de uma unidade em X1 ,Autocorrel. mantendo constante X2 . X1 e X2 são perfeitamente correlacionados,Dummies Mas se X2 = λX1 , então NÃO É POSSÍVEL que X1 aumente emExercício uma unidade e X2 se mantenha constante - X2 variará λ. Isto é, não se tem como se separar os efeitos de X1 e X2 sobre o Y .
  • 9. Consequências práticas da multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Os estimadores de MQO continuam sendo MELNV.Multicolin. Apesar disso, apresentam variância e covariância altas,Heterocedast. dicultando estimações precisas.Autocorrel.Dummies Fator de inação da variânciaExercício 1 = − r12 FIV 1 2
  • 10. Fator de inação da variância Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Efeito do crescimento da correlação sobre a variância
  • 11. Consequências práticas da multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Os intervalos de conança tendem a ser maiores, levando àMulticolin. aceitação da hipótese nula zero mais facilmente.Heterocedast.Autocorrel. A estatística t de um ou mais estimadores tende a ser insignicativa. t baixas, o R 2 tende a ser alto.DummiesExercício Apesar das estatísticas Os estimadores de MQO e suas variâncias tendem a car mais sensível a mudanças na amostra.
  • 12. Detecção da multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast. R 2 alto mas poucas estatísticas t signicativas.Autocorrel. Correlação entre pares de regressores alta. (CondiçãoDummies suciente mas não necessária, exceto no caso de apenasExercício dois regressores.)
  • 13. Detecção da multicolinearidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Regressões auxiliares. Rodrigo de Sá Regressões auxiliaresMulticolin. Regride-se cada uma das variáveis explicativas Xi contra asHeterocedast. demais, Xj , j = i , e computa-se o Ri2 da regressão (Por exemplo, para i = 2,Autocorrel. X2 = a0 + a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 + ...ak Xk + uDummiesExercício Usa-se o seguinte teste F com a hipótese nula que a variável explicativa i não é correlacionada com as demais. Fi = Ri2 / (k − 2) 1 − Ri / (n − k + 1) 2
  • 14. Algumas medidas corretivas Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Informação a priori. Por exemplo, suponha que saibamos Rodrigo de que β1 = λβ2 ; então utilizamos essa informação para Sá reescrever a regressão.Multicolin. Eliminação de uma ou mais variáveis. Por exemplo, excluirHeterocedast. a variável riqueza da regressão consumo-renda-riqueza.Autocorrel. Deve-se tomar cuidado para não se incorrer em viés deDummies especicação.Exercício Transformação das variáveis. Em séries temporais, utilizar a primeira diferença das variáveis. Aumento da amostra. Reduzir a colinearidade em regressões polinomiais, expressando as variáveis na forma de desvio.
  • 15. Heterocedasticidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin. A homoscedasticidade é uma das hipóteses do modeloHeterocedast. clássico de regressão linear.Autocorrel.DummiesExercício
  • 16. Heterocedasticidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin. A homoscedasticidade é uma das hipóteses do modeloHeterocedast. clássico de regressão linear.Autocorrel.Dummies Homoscedasticidade: E ui2 = σ2 para todo i = 1, 2, ..., n.Exercício Heterocedasticidade: E ui2 = σi2 .
  • 17. Homoscedasticidade e heterocedasticidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Comparação
  • 18. Possíveis causas da heterocedasticidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Modelos de aprendizagem e erro. À medida que as pessoas Sá aprendem, diminuem seus erros, assim como a suaMulticolin. variabilidade.Heterocedast. À medida que a renda aumenta, as pessoas têm maiorAutocorrel. renda discricionária e, consequentemente, maior liberdadeDummiesExercício para decidir como dispor sua renda, fazendo com que σi2 seja positivamente correlacionado com a renda. Erro de especicação. Observações aberrantes (outliers).
  • 19. Observações aberrantes Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Relação entre preço das ações e preços ao consumidor
  • 20. Consequências da heterocedasticidade Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá O estimadores dos β s continuam sendo não viesados.Multicolin. Porém, a fórmula da variância do estimador da inclinação éHeterocedast. diferente, var ˆ β1 = xi2 σi2 / xi2 2 .Autocorrel. Os estimadores de MQO deixam de ser ecientes, isto é,Dummies existe outro estimador não viesado com menor variância: oExercício Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). Assim, os testes de hipótese tendem a aceitar a hipótese nula zero mas facilmente.
  • 21. Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) Análise de Regressão: MQGRelaxando as hipóteses Supondo que as variâncias σi2 sejam CONHECIDAS, pondera-se Rodrigo de cada observação inversamente ao seu desvio-padrão, chegando Sá a uma regressão do tipo MQO.Multicolin.Heterocedast.Autocorrel. Yi = β0 + β1 Xi + uiDummies Yi = β0 1 + β1 Xi + uiExercício σi σi σi σi Yi∗ = β0 X0i + β1 Xi + ui∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u∗ Pode-se mostrar que var ( i ) = 1, ou seja, os resíduos tornam-se homocedásticos com esta transformação. Note que a regressão a ser estimada tem uma variável explicativa adicional (1/σi ) e não tem intercepto.
  • 22. MQG - exemplo Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Ilustração de MQG
  • 23. Métodos informais de detecção Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Natureza do problema. Novamente, o exemplo consumo-renda.Multicolin. Métodos grácos. Os resíduos da regressão originalHeterocedast.Autocorrel. apresentam algum padrão?Dummies Alguns métodos formais: Teste de Park;Exercício Teste de Glejser; Teste de Goldfeld-Quandt; Teste de Breusch-Pagan-Godfrey.
  • 24. Métodos grácos Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Padrões hipotéticos dos resíduos ao quadrado estimados
  • 25. Teste geral de heterocedasticidade de White Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Teste de White Rodrigo de Sá Com os resíduos da regressão estimada rodamos a seguinteMulticolin. regressão auxiliar:Heterocedast.Autocorrel.Dummies ui2 = α1 + α2 X2i + α3 X3i + α4 X2i + α5 X3i + α6 X2i X3i + vi ˆ 2 2Exercício A variável nR 2 ∼ χ2 , com gl gl igual ao número de regressores na regressão auxiliar. Se o teste exceder o valor crítico, a conclusão é de que há heterocedasticidade.
  • 26. Medidas quando σi2 não é conhecida Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Variâncias e erros padrão consistentes em Rodrigo de Sá heterocedasticidade segundo White.Multicolin. Hipóteses plausíveis a respeito do padrão deHeterocedast. heteroscedasticidade:Autocorrel.Dummies E ui2 = σ 2 Xi2 =⇒ modelo /Xi E ui2 σ 2 Xi =⇒ modelo / XiExercício = E ui2 = σ 2 [E (Yi )]2 =⇒ modelo /Yi ˆ Estimar o modelo com as variáveis em escala logaritma.
  • 27. E ui2 = σ 2 Xi2 Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Variância proporcional a X2 i
  • 28. E ui2 = σ 2 Xi Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Variância proporcional a X i
  • 29. Autocorrelação Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin. A ausência de AUTOCORRELAÇÃO entre os resíduos éHeterocedast. uma das hipóteses do modelo clássico de regressão.Autocorrel. É usual o termo CORRELAÇÃO SERIAL para designar aDummies autocorrelação entre os resíduos em um modelo de sériesExercício de tempo.
  • 30. Padrões de autocorrelação Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Padrões de autocorrelação
  • 31. Possíveis causas da autocorrelação Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Inércia ou rigidez das séries temporais. Rodrigo de Sá Viés de especicação:Multicolin. Exclusão de variável;Heterocedast. Forma funcional incorreta.Autocorrel. Fenômeno da teia de aranha. Exemplo clássico da ofertaDummies de produtos agrícolas, onde a decisão da área plantadaExercício (oferta) depende do preço do ano anterior. Defasagens. Um exemplo é a suavização do consumo, onde o consumo atual depende do passado. Manipulação de dados, como interpolação ou extrapolação.
  • 32. Estimativa por MQO desconsiderando a autocorrelação Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Sá Os estimadores dos βs continuam não viesados eMulticolin. consistentes, mas deixam de ser ecientes (variânciaHeterocedast. mínima).Autocorrel. A variância dos resíduos σ2 ˆ provavelmente irá superestimarDummies 2 o verdadeiro σ .Exercício Provavelmente o R 2 será superestimado. Os testes de signicância usuais tendem a levar a conclusões errôneas.
  • 33. Método gráco para detecção Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Resíduos com autocorrelação
  • 34. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão:Relaxando as d hipóteses Rodrigo de Estatística t =n u u 2 Sá t =2 (ˆt − ˆt −1 ) d=Multicolin.Heterocedast. u t =n 2 t =2 ˆtAutocorrel.DummiesExercício
  • 35. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão:Relaxando as d hipóteses Rodrigo de Estatística t =n u u 2 Sá t =2 (ˆt − ˆt −1 ) d=Multicolin.Heterocedast. t =n 2 u t =2 ˆtAutocorrel.Dummies Hipóteses fundamentais:Exercício A regressão inclui o intercepto. As perturbações u são geradas pelo esquema t auto-regressivo de primeira ordem, u = ρu −1 + . t t t O modelo de regressão não inclui termos defasados da variável dependente (Y −1 ). t
  • 36. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Estatística d
  • 37. Teste d de Durbin-Watson Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Regras de decisão
  • 38. Método de Cochrane-Orcutt em duas etapas Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Cochrane-Orcutt Sá Seja a regressão Yt = β0 + β1 Xt + ut , onde se supõe que osMulticolin. resíduos seguem ut = ρut −1 + t .Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício
  • 39. Método de Cochrane-Orcutt em duas etapas Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de Cochrane-Orcutt Sá Seja a regressão Yt = β0 + β1 Xt + ut , onde se supõe que osMulticolin. resíduos seguem ut = ρut −1 + t .Heterocedast.Autocorrel. Estime a regressão pela rotina usual do MQO e obtenha os ut .DummiesExercício resíduos ˆ Usando os resíduos estimados, rode ut = ρut −1 + vt . ˆ ˆˆ Usando o ρ estimado, ˆ estime (Yt − ρYt −1 ) = [β0 (1 − ρ)] + β1 [Xt − ρXt −1 ] + [ut − ρut −1 ] . ˆ ˆ ˆ ˆ
  • 40. Exemplo - salários Análise de Seja o seguinte modelo Regressão: Y = α1 + α2 D + β X + u ,Relaxando as hipóteses i i i i Rodrigo de onde Y i é o salário de um professor(a) universitário(a), X i são os anos de Sá experiência de ensino e D i é uma variável qualitativa tal queMulticolin.Heterocedast. D i = 1 se homemAutocorrel. = 0 se mulher.DummiesExercício Assim, o salário médio de um professor(a) será E ( Y |X , D i i i = 0) = α1 + β X i E ( Y |X , D i i i = 1) = (α1 + α2 ) + β X . i Este modelo postula que as inclinações da função salário de homens e mulheres são iguais, mas que o seu intercepto é diferente (o intercepto do grupo masculino é maior do que o feminino se α2 0, e o oposto caso α2 0).
  • 41. Possíveis representações Análise de Regressão:Relaxando as hipóteses Rodrigo de SáMulticolin.Heterocedast.Autocorrel.DummiesExercício Figura: Regressões plausíveis
  • 42. Possíveis representações Análise de Regressão:Relaxando as Regressões coincidentes: nenhuma dummy. hipóteses Rodrigo de Regressões paralelas: mesma inclinação e interceptos Sá diferentes.Multicolin.Heterocedast. Yi = α1 + α2 Di + β Xi + uiAutocorrel. Regressões convergentes: mesmo intercepto e inclinaçõesDummies diferentes.Exercício Yi = α + β1 Xi + β2 Xi Di + ui Regressões dissimilares: interceptos e inclinações diferentes. Yi = α1 + α2 Di + β1 Xi + β2 Xi Di + ui
  • 43. Exercício Análise de Regressão: Escolhe um modelo econômico que possa ser estimado porRelaxando as MQO e estime-o. O modelo deve ter duas ou mais variáveis hipóteses explicativas. Rodrigo de Sá Teste o modelo quanto a presença de multicolinearidade, heterocedasticidade e autocorrelação, corrigindo-o se necessário.Multicolin. Faça um relatório que contemple os seguintes pontos:Heterocedast. Explique o modelo econômico. Descreva as variáveis.Autocorrel. Mostre os resultados da estimação (coecientes, testes deDummiesExercício signicância, teste F, R 2 , gráco da estimação, etc.) Mostre os testes das hipóteses do modelo (multicolinearidade, heterocedasticidade e autocorrelação) e as correções, caso feitas. Interprete os resultados economicamente. Os resultados diferiram dos resultados esperados antes da estimação do modelo? Data da entrega: até dia 2 de dezembro.