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Resumo - Álgebra Linear

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Resumo de Álgebra Linear …

Resumo de Álgebra Linear
- Transformações Lineares
- Determinantes
- Produto Interno

Resumo feito com base no livro "Álgebra Linear e Aplicações", de autoria de Callioli, Domingues e Costa. Ed. Atual. 6ª ed. rev.

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  • 1. ´ ALGEBRA LINEAR ´ Baseado no livro Algebra Linear e Aplica¸˜es1 co1 Transforma¸˜es Lineares coDefini¸˜o 1.0.1 (Transforma¸oes Lineares) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R. Uma ca c˜ caplica¸˜o T : U → V ´ chamada transforma¸˜o linear se, e somente se, ca e ca • T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ); ∀u1 , u2 ∈ U e • T (αu) = αT (u), ∀u ∈ R e ∀u ∈ U .1.1 Propriedades 1. T (0) = 0 2. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U 3. T (u1 − u2 ) = T (u1 ) − T (u2 ), ∀u1 , u2 ∈ U 4. Se W ´ um sub-espa¸o de U , ent˜o a imagem de W por T ´ um sub-espa¸o de V . e c a e c 5. Sendo T : U → V linear ent˜o a n n T ai u i = ai T (ui ) i=1 i=11.2 Injetividade e SobrejetividadeDefini¸˜o 1.2.1 (Injetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ injetora se, e somente se, ca ca e ∀u1 , u2 ∈ U, u1 = u2 =⇒ T (u1 ) = T (u2 )ou, equivalementemente, a contra-positiva ∀u1 , u2 ∈ U, T (u1 ) = T (u2 ) =⇒ u1 = u2 .Defini¸˜o 1.2.2 (Sobrejetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ sobrejetora se, e somente ca ca ese, Im(T ) = V , i.e., ∀v ∈ V, ∃u ∈ U tal que T (u) = v.Defini¸˜o 1.2.3 (Bijetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ bijetora se, e somente se, T ´ ca ca e einjetora e sobrejetora. 1 ´ CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. COSTA, R. Algebra Linear e Aplica¸˜es. 6 ed. rev. S˜o Paulo: co aAtual, 1990. ISBN 978-85-7056-297-5. 1
  • 2. 1.3 N´ cleo e Imagem uDefini¸˜o 1.3.1 (N´ cleo) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans- ca u cforma¸˜o linear. Indica-se por Ker(T ) e denomina-se n´cleo de T o seguinte subconjunto de ca uU: Ker(T ) = {u ∈ U |T (u) = 0}Defini¸˜o 1.3.2 (Imagem) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans- ca cforma¸˜o linear. Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de F o seguinte subconjunto de caU: Im(T ) = {v ∈ V |v = T (u) para algum v ∈ V } = {T (u)|u ∈ U },i.e., o conjunto dos vetores de V que s˜o imagem dos vetores de U . aProposi¸˜o Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o: ca c˜ a • Ker(T ) ´ um sub-espa¸o vetorial de U ; e c • A transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, Ker(T ) = 0. c˜ eTeorema 1.3.1 (do N´ cleo e da Imagem) Seja U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o finita u c asobre R. Dada uma transforma¸˜o linear T : U → V , ent˜o ca a dim U = dim ker(T ) + dim Im(T )Corol´rio – Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R com a mesma dimens˜o finita n e supo- a c anhamos T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o s˜o equivalentes as seguintes afirma¸˜es: c˜ a a co • T ´ sobrejetora. e • T ´ bijetora. e • T ´ injetora. e • T transforma uma base de U em uma base de V (i.e., se B ´ uma base de U , ent˜o T (B) e a ´ uma base de V ). e1.4 Isomorfismos e AutomorfismosDefini¸˜o 1.4.1 (Isomorfismo) Entende-se por isomorfismo do espa¸o vetorial U no espa¸o ca c cvetorial V uma transforma¸˜o linear T : U → V que seja bijetora. caDefini¸˜o 1.4.2 (Automorfismo) Um isomorfismo T : U → U ´ um automorfismo de U . ca eProposi¸˜o – Se T ´ um isomorfismo de U em V , ent˜o T −1 : V → U tamb´m ´ um isomorfismo ca e a e e(de V em U ). Em outras palaras, sempre que existe um isomorfismo T : U → V existe umisomorfismo T −1 : V → U (isomorfismo inverso de T ). Neste caso, dizemos que U e V s˜oaespa¸os vetoriais isomorfos. cTeorema 1.4.1 Dois espa¸os vetoriais U e V de dimens˜o finita s˜o isomorfos se, e somente c a ase, dim U = dim V. 2
  • 3. 2 Matriz de uma Transforma¸˜o Linear ca2.1 Opera¸˜es com Transforma¸oes Lineares co c˜Sejam U e V espa¸os vetoriais de R. Indicaremos por L(U, V ) o conjunto das transforma¸oes c c˜lineares de U e V . Se U = V , o conjunto dos operadores lineares de U ser´ denotado por L(U ). aDefini¸˜o 2.1.1 (Soma) Dados F, G ∈ L(U, V ), definimos soma F + G de F com G: ca F +G:U →V e (F + G)(u) = F (u) + G(u), ∀u ∈ U.Propriedades 1. Associativa: F + (G + H) = (F + G) + H, ∀F, G, H ∈ L(U, V ); 2. Comutativa: F + G = G + F, ∀F, G ∈ L(U, V ); 3. Existe elemento neutro: a transforma¸ao linear nula 0 : U → V ´ tal que F + 0 = F, ∀F ∈ c˜ e L(U, V ); 4. Elemento oposto: ∀F ∈ L(U, V ), ∃(−F ) ∈ L(U, V )|F + (−F ) = 0.Defini¸˜o 2.1.2 (Multiplica¸˜o) Dados F ∈ L(U, V ) e α ∈ R, definimos produto αF : ca ca αF : U → V e (αF )(u) = αF (u), ∀u ∈ U.PropriedadesSeja F ∈ L(U, V ) e α, β ∈ R. 1. (αβ)F = α(βF ); 2. (α + β)F = αF + βF ; 3. α(F + G) = αF + αG; 4. 1F = F .Defini¸˜o 2.1.3 (Composi¸˜o) Sejam U, V e W espa¸os vetoriais sobre R. Se F : U → V ca ca ce G : V → W s˜o transforma¸˜es lineares, define-se a aplica¸˜o composta de F e G: a co ca (G ◦ F ) : U → W e (G ◦ F )(u) = G((F (u)), ∀u ∈ U.Propriedades 1. Associativa: (H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ), ∀H, G, F ∈ L(U ); 2. Operador idˆntico ´ elemento neutro da composi¸ao: I ◦ F = F ◦ I = F, ∀F ∈ L(U ); e e c˜ 3. Distribuitiva: H ◦(F +G) = H ◦F +H ◦G e (F +G)◦H = F ◦H +G◦H, ∀F, G, H ∈ L(U ). 3
  • 4. 2.2 Matriz de um Transforma¸˜o Linear caSejam U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos c auma transforma¸ao linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , ..., un } de U e C = {v1 , ..., vm } c˜de V , ent˜o cada um dos vetores F (u1 ), ..., F (un ) est´ em V e conseq¨entemente ´ combina¸ao a a u e c˜linear da base C:  F (u1 ) = α11 v1 + α21 v2 + · · · + αm1 vm    F (u2 ) = α12 v1 + α22 v2 + · · · + αm2 vm  . . .  F (u ) = α v + α v + · · · + α v  n 1n 1 2n 2 mn monde αij ´ unico. e´Defini¸˜o 2.2.1 A matriz m × n sobre R ca   α11 α12 ··· α1n  α21 α22  ··· α2n    . . .. .   .. . . . .  . αm1 αm2 · · · αmnque se obt´m das considera¸˜es anteriores ´ chamada matriz de F em rela¸˜o `s bases B e C. e co e ca aSer´ denontada por (F )B,C . aConsequencia da defini¸˜o – Se a aplica¸˜o linear for o operador identidade, a matriz ca ca(F )B,C = (I)B,C ser´ a matriz de mudan¸a da base C para a base B. a c2.3 Matriz de um Transforma¸˜o Composta caSeja U , V e W espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜es m, n e p, que admitem bases B = c o{u1 , ..., un }, C = {v1 , ..., vm } e D = {w1 , ..., wp } respectivamente. Supondo F ∈ L(U, V ),G ∈ L(V, W ) e que (F )B,C = (αij ) e (G)C,D = (βki ), ent˜o a m γkj = βki αij , onde γkj ´ o termo geral de (G ◦ F )B,D . e i=1Logo, (G ◦ F )B,D = (G)C,D · (F )B,C .Consequˆncia da defini¸˜o da matriz de um transforma¸˜o composta – Sejam U e V e ca caespa¸os vetoriais sobre R de dimens˜o m. Se B e C s˜o bases de U e V , respectivamente, e c a aF : U → V ´ um isomorfismo, (F )B,C ´ invers´ e sua inversa ´ dada por e e ıvel e ((F )B,C )−1 = (F −1 )C,B .Proposi¸˜o – Seja U um espa¸o vetorial de dimens˜o n sobre R. Dadas as bases B = ca c a{u1 , ..., un } e C = {v1 , ..., vn } de U e dado T ∈ L(U ) ´ v´lida a f´rmula e a o (T )C = M −1 · (T )B · M,onde M ´ a matriz de mudan¸a da base B para a base C (M = (I)C,B ). e c 4
  • 5. 3 Determinantes3.1 Permuta¸˜es coDefini¸˜o 3.1.1 (Permuta¸˜o) Seja n ≥ 1 um n´mero natural e Nn = {1, ..., n}. Toda ca ca uaplica¸˜o bijetora σ : Nn → Nn chama-se permuta¸˜o do conjunto Nn . ca caNota¸˜o – uma permuta¸˜o σ de Nn ´ denotada por ca ca e 1 2 ··· n σ= . σ(1) σ(2) · · · σ(n)Defini¸˜o 3.1.2 Consideremos uma permuta¸˜o ca ca 1 2 ··· n σ= σ(1) σ(2) · · · σ(n)de Nn . Seja r o n´mero de pares ordenados (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ n tais que σ(i) > σ(j). uChama-se sinal da permuta¸˜o σ o n´mero inteiro representado por sgn (σ), que ´ ca u e 1, se r ´ par e sgn (σ) = −1, se r ´ ´mpar eıObserva¸˜o – O valor de r ´ igual ao n´mero de trocas que s˜o necess´rias para que a per- ca e u a amuta¸˜o fique na forma crescente. Se tivermos a permuta¸˜o (2 3 1) precisamos fazer as ca casequintes trocas: (1 3 2) e (1 2 3). Ou seja, r = 2 e portanto sgn = +1. 1 2 3Exemplo 3.1 Seja σ = . Os pares (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ 3 e σ(i) > σ(j) s˜o (1, 2) a 3 1 2e (1, 3); logo r = 2 e sgn (σ) = 1.3.2 DeterminantesDefini¸˜o 3.2.1 Seja A = (aij ) uma matriz real de ordem n, chama-se determinante da matriz caA de ordem n o n´mero real u det(A) = sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) . σ   a11 a12 a13Exemplo 3.2 Seja A = a21 a22 a23  ∈ M3 (R). As permuta¸˜es do conjunto {1, 2, 3} e co a31 a32 a33respectivos sinais s˜o a 1 2 3 1 2 3 (+1) (−1) 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 (+1) (−1) 2 3 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 (+1) (−1) 3 1 2 2 1 3Logo, det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 .Observa¸˜o: O n´mero de parcelas ´ sempre igual ao n´mero de permuta¸˜es poss´vel (n!). ca u e u co ı 5
  • 6. 3.3 Propriedades dos DeterminantesSeja A = (aij ) uma matriz de ordem n. A i-´sima linha da matriz ´ Ai = ai1 ai2 · · · e e ain .Ent˜o a matriz A pode ser representada pela sequˆncia de vetores-linha a e  1 A  A2  A =  . .    .  . An 1. A fun¸ao determinante ´ linear em cada uma das vari´veis A1 , A2 , ..., An , isto ´: c˜ e a e (a) det(A1 , A2 , ..., Ai +A i , ..., An ) = det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An )+det(A1 , A2 , ..., A i , ..., An ); (b) det(A1 , A2 , ..., λAi , ..., An ) = λ det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An ) para todo 1 ≤ i ≤ n e para todo λ ∈ R. Exemplo 3.3 x+1 y−1 z−3       x y z 1 1 3 det  1 0 2  = det  1 0 2 + det 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1     3λ 2λ λ 3 2 1 det  1 0 2  = λ det 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2. Se A = (A1 , A2 , ..., An ) ´ uma matriz de ordem n e se Aj = Ak , com j < k ent˜o e a det(A) = 0. 3. Dada uma matriz A de ordem n suponhamos que B ´ a matriz obtida da seguinte maneira: e B = (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ..., An ), sendo que A = (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ..., An ). Ent˜o det(B) = − det(A). a 4. Seja A = (A1 , ..., An ). Ent˜o vale sempre a igualdade: a n 1 n 1 i det(A) = det(A , ..., A ) = det(A , ..., A + αk Ak , ..., An ), ∀ak ∈ R. k=1,k=i 5. det(A) = det(At ), para toda matriz A de ordem n. 6
  • 7. 4 Espa¸os com Produto Interno cDefini¸˜o 4.0.1 (Produto Interno) Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre R. ca c aEntende-se por produto interno sobre V uma aplica¸˜o que transforma cada par ordenado ca(u, v) ∈ V × V em um n´mero real (que ser´ denotado por u, v ) obedecendo `s seguintes u a acondi¸˜es: co • u + v, w = u, w + v, w , ∀u, v, w ∈ V ; • αu, v = α u, v , ∀α ∈ Re∀u, v ∈ V ; • u, v = v, u , ∀u, v ∈ V ; e • u, u ´ um n´mero real maior que zero para todo vetor u = 0. e uDefini¸˜o 4.0.2 Um espa¸o vetorial real com produto interno ou espa¸o euclidiano e um espa¸o ca c c cvetorial sobre R munido de um produto interno.4.1 Propriedades 1. 0, u = u, 0 = 0, ∀u ∈ V . 2. u, αv = α u, v , ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V . 3. u, v + w = u, v + u, w , ∀u, v, w ∈ V . 4. Dado um n´mero inteiro m ≥ 1, u m m αi ui , v = αi ui , v . i=1 i=1 n m 5. u, j=1 αj vj = i=1 αi ui , v (n ≥ 1). m n m n 6. i=1 αi ui , j=1 βj vj = i=1 j=1 αi βj ui , vj .4.2 Norma e Distˆncia aDefini¸˜o 4.2.1 (Norma) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano com o produto interno (u, v) → ca c u, v . Dado um vetor u ∈ V indica-se por u e chama-se norma de u o n´mero real positivo udado por u = u, u .Proposi¸˜o ca • αu = |α| u , ∀α ∈ R, ∀u ∈ V . • u ≥ 0, ∀u ∈ V e u = 0 ⇐⇒ u = 0.Proposi¸˜o (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) – Se V ´ um espa¸o vetorial euclidiano, ent˜o ca e c a | u, v | ≤ u v , ∀u, v ∈ V.Corol´rio (Desigualdade triangular) – Num espa¸o euclidiano vale a seguinte desigualdade: a c u + v ≤ u + v , ∀u, v ∈ V. 7
  • 8. 4.2.1 M´trica eSeja V um espa¸o vetorial euclidiano. Consideremos a aplica¸˜o d : V × V → R, assim definida: c ca d(u, v) = u − v , ∀u, v ∈ V.Valem as seguintes proprieades: 1. d(u, v) ≥ 0, ∀u, v ∈ V e d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v. 2. d(u, v) = d(v, u), ∀u, v, ∈ V . 3. d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ V .Pelo fato de valerem as trˆs propriedades acima, damos ` aplica¸˜o d : V × V → R o nome de e a cam´trica sobre V , induzida pela norma. O n´mero d(u, v) ´ chamado distˆncia de u a v. e u e a4.2.2 ˆ Angulo entre dois vetoresDa desigualdade de Caughy-Schawarz segue que u, v − u v ≤ u, v ≤ u v ⇒ −1 ≤ ≤ 1. u vLogo, existe um unico θ ∈ R, tal que 0 ≤ θ ≤ π e ´ u, v cos θ = . u v4.3 OrtogonalidadeDefini¸˜o 4.3.1 Seja V um espa¸o euclidiano. Dizemos que dois vetores u, v ∈ V s˜o orto- ca c agonais se, e somente se, u, v = 0. Um conjunto S = {u1 , ..., ur } ⊂ V se diz ortonormal se, esomente se • ui = 1 (i = 1, 2, ..., r) e • dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, s˜o ortogonais. aProposi¸˜o – Seja S = {g1 , ..., gr } um subconjunto ortonormal do espa¸o euclidiano V . Ent˜o, ca c a∀u ∈ V , o vetor v = u− u, g1 g1 −· · ·− u, gr gr ´ ortogonal a todo vetor do sub-espa¸o vetorial e cgerado pelos vetores de S.Teorema 4.3.1 (Processo de Ortonormaliza¸˜o de Gram-Schmidt) Todo espa¸o veto- ca crial euclidiano de dimens˜o finita (= 0) admite uma base ortonormal. aExemplo 4.1 Sendo B = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)} uma base de R3 , utiliza-remos o processo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base. ca´E claro que g1 = u1 = u1 = (1, 0, 0). Por outro lado, v2 = u2 − u2 , g1 g1 = (0, 1, 1) − u10(1, 0, 0) = (0, 1, 1). Logo, √ √ v2 (0, 1, 1 2 2 g2 = = √ = 0, , . v2 2 2 2 8
  • 9. Finalmente, √ √ √ 3 2 2 2 1 1 v3 = u3 − u3 , g1 g1 − u3 , g2 g2 = (0, 1, 2) − 0g1 − 0, , = 0, − , . 2 2 2 2 2Da´ ı √ √ v3 0, − 1 , 1 2 2 2 2 g3 = = = 0, − , . v3 1 +1 2 2 4 4Logo, √ √ √ √ 2 2 2 2 (1, 0, 0), 0, , , 0, − , 2 2 2 2´ uma base ortonormal do R3 ,constru´da a partir da base B.e ıDefini¸˜o 4.3.2 (Complemento Ortogonal) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Dado ca c ⊥um subespa¸o vetorial U de V , indiquemos por U o seguinte subconjunto de V c U ⊥ = {v ∈ V | u, v = 0, ∀u ∈ U.Exemplo 4.2 Achar uma base do sub-espa¸o V ⊥ , onde V ´ subespa¸o de R4 gerado por c e c(1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0). Ortonormalize esta base.v = (x, y, z, t) ∈ R4 pertece a V ⊥ se e somente se v, (1, 0, 1, 1) = x + z + t = 0 v, (1, 1, 2, 0) = x + y + 2z = 0A solu¸˜o do sistema ´ V ⊥ = {(−z − t, −z + t, z, t |z, t ∈ R}. ca e4.4 Operadores Auto-AdjuntosDefini¸˜o 4.4.1 Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Um operador A ∈ L(V ) se diz auto- ca cadjunto se A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V.Proposi¸˜o – Seja V um espa¸o euclidiano de dimens˜o finita. Ent˜o, um operador A ∈ L(V ) ca c a a´ auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em rela¸ao a uma base ortonormal de V ´e c˜ e Tsim´trica (i.e. A = A ). e5 Diagonaliza¸˜o de Operadores Lineares e Forma de ca Jordan5.1 Valores e Vetores pr´prios oDefini¸˜o 5.1.1 Seja V um espa¸o vetorial (sobre R ou C) e seja T : V → V um operador ca clinear. Um vetor u ∈ V , u = 0, ´ um vetor pr´prio (autovetor) de T se existe um escalar λ (de e oR ou C, respectivamente) tal que T (u) = λu. Neste caso λ ´ um valor pr´prio associado a u. e o 9
  • 10. Defini¸˜o 5.1.2 O sub-espa¸o ca c V (λ) = {u ∈ V |T (u) = λu} = ker(T − λI)´ chamado de sub-espa¸o pr´prio de λ e ser´ indicado por V (λ).e c o aDefini¸˜o 5.1.3 Dada uma matriz A = (aij ) de ordem n (real ou complexa), chama-se po- calinˆmio caracter´stico de A o seguinte polinˆmio de grau n: o ı o   a11 − t a12 ··· a1n  a21 a22 − t · · · a2n  Pt (A) = det  . .  = det(A − tIn ).   . . . .. .   . . . . an1 an2 − t · · · ann − tProposi¸˜o – Matrizes semelhantes tem o mesmo polinˆmio caracter´ ca o ıstico.Defini¸˜o 5.1.4 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o n e T : V → V um operador linear. ca c aChama-se polinˆmio caracter´stico de T o polinˆmio caracter´stico da matriz de T em rela¸˜o o ı o ı caa qualquer base de V . Nota¸˜o: pT (t). caProposi¸˜o – Seja T um operador linear de um espa¸o vetorial sobre K(KS = R ou K = C) ca cde dimens˜o n. Ent˜o os valores pr´prios de T s˜o as ra´ de pT (t) em K. a a o a ızesExemplo 5.1 Seja T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (y, x).A matriz de T na base canˆnica ´ o e 0 1 1 0Logo, −x 1 pT (x) = det = x2 − 1 1 −xcujas ra´zes s˜o 1 e −1. ı aUma vez conhecidos os valores pr´prios de um operador T , podemos achar seus vetores pr´prios. o oOs autovetores s˜o os vetores n˜o nulos de ker(T − λI). a aPara λ = 1 temos (T − I)(x, y) = T (x, y) − I(x, y) = 0 ⇒ T (x, y) = I(x, y) ⇒ (y, x) = (x, y).Portanto, x = y e os autovetores associados ao autovalor λ = 1 tem a forma (x, x) = x(1, 1),∀x ∈ R∗. Analogamente, para λ = −1 teremos x(1, −1).5.2 Diagonaliza¸˜o de Operadores caDefini¸˜o 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita. Um operador T : V → V se ca c adiz diagonaliz´vel se existe uma base de V formada por vetores pr´prios de T . a o Se B = {e1 , ..., en } for uma base formada de vetores pr´prios de T ent˜o o a   λ1  λ2  (T )B =    ..   .  λn 10
  • 11. onde λ1 , ..., λn s˜o os valores pr´prios de T . Da´ a o ı   λ1 − x  λ2 − x  pT (x) = det   = (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x)   ..  .  λn − xe assim pT (x) se decomp˜e em fatores lineares. oTeorema 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre K (K = R ou K = C). c aUm operador linear T ∈ L(V ) ´ diagonaliz´vel se, e somente se, e a • o polinˆmio caracter´stico de T tem todas as suas ra´zes em K; o ı ı • a multiplicidade alg´brica de cada valor pr´prio λi de T ´ igual ` dimens˜o de V (λi ). e o e a a5.3 Diagonaliza¸˜o de Operadores Auto-adjuntos (ou de matrizes ca sim´tricas reais) eComo visto na defini¸˜o 4.4.1, um operador linear A de um espa¸o vetorial euclidiano V tal ca cque A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V.Teorema 5.3.1 Um operador linear A de um espa¸o euclidiano V , de dimens˜o finita n ≥ 1, c a´ auto-adjunto se, somente se, existe uma base ortonormal de V formada de vetores pr´priose ode A. 11

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