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Lista 3  - Bases Matemáticas - Indução
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Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução

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Lista 3 de Bases Matemáticas - UFABC sobre Princípio da Indução Finita. …

Lista 3 de Bases Matemáticas - UFABC sobre Princípio da Indução Finita.

Dúvida/sugestões e avisos sobre erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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  • 1. ´ LISTA 3 - BASES MATEMATICAS Resolu¸˜o ca Indu¸˜o ca1 — Calcule:a) A soma dos n primeiros pares.Os n´meros pares formam uma progress˜o aritm´tica de raz˜o 2: (0, 2, 4, 6, 8, 10, · · · ) u a e aO termo geral dessa PA pode ser obtido pela equa¸˜o an = a1 + (n − 1)r, onde an ´ o n-´simo valor, ca e ea1 ´ o primeiro e r a raz˜o. O n-´simo termo (termo geral) ´, ent˜o, an = 0 + 2(n − 1) = 2n − 2. A e a e e aprogress˜o aritm´tica pode ser representada como a e (0, 2, 4, 6, 8, 10, · · · , 2n − 2). n(a1 +an )A soma dos n primeiros termos de uma progress˜o artim´tica ´ obtida por meio de Sn = a e e 2 .Ent˜o, a soma dos n primeiros pares ´ a e n(0 + 2n − 2) 2n(n − 1) Spares = = = n(n − 1) 2 2b) A soma dos n primeiros ´ ımpares.Os n´meros ´ u ımpares formam uma progress˜o artim´tica de raz˜o 2: (1, 3, 5, 7, 9, · · · ) a e aO n-´simo termo ´ an = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1. A soma dos n primeiros termos ´, ent˜o e e e a n(1 + 2n − 1) n(2n) 2n2 Simpares = = = = n2 2 2 22 — Prove que para todo inteiro positivo n vale: n(2n+1)(n+1) 12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = 6 .i) Testando a propriedade para n = 1: 1(2·1+1)(1+1 1·3·2 12 = 6 = 6 =1P(1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 = k(2k+1)(k+1) o 6Tese – P (k + 1) : 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 + (k + 1)2 = (k+1)(2(k+1)+1)((k+1)+1) = (k+1)(2k+3)(k+2) 6 6Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o k(2k+1)(k+1) k(2k+1)(k+1)+6(k+1)2 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 +(k + 1)2 = 6 + (k + 1)2 = 6 = k(2k+1)(k+1) 6 3 (k+1)[k(2k+1)+6(k+1)] (k+1)(2k2 +7k+6) (k+1)2(k+2)(k+ 2 ) (k+1)(k+2)(2k+3) 6 = 6 = 6 = 6A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e a 1
  • 2. Nota: Polinˆmios, ou seja, express˜es do tipo P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 podem o oser reescritas como P (x) = an (x − rn )(x − rn−1 ) · · · (x − r2 )(x − r1 ), onde rn , rn−1 , · · · , r1 s˜o zeros do apolinˆmio. o3 — Demonstre que para todo inteiro positivo n vale: 1 2a) 13 + 23 + · · · + n3 = 2 n(n + 1)i) Testando a propriedade para n = 1: 1 2 1 2 13 = 2 · 1(1 + 1) = 2 ·2 = 12 = 1P (1) ´ verdadeira. e 2ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 13 + 23 + · · · + k 3 = 1 k(k + 1) o 2 1 2 1 2Tese – P (k + 1) : 13 + 23 + · · · + k 3 + (k + 1)3 = 2 (k + 1)((k + 1) + 1) = 2 (k + 1)(k + 2)Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o 2 13 + 23 + · · · + k 3 +(k + 1)3 = 1 2 k(k + 1) + (k + 1)3 = 1 k 2 (k + 1)2 + (k + 1)3 = 4 2 ( 1 k(k+1)) 2 1 2 1 2 1 1 2 (k + 1)2 4 k + (k + 1) = (k + 1) 2 4k + k + 1 = (k + 1)2 4 (k + 2)2 = 2 (k + 1)(k + 2)A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e ab) 1 + 2( 2 ) + 3( 1 )2 + · · · + n( 1 )n−1 = 4 − 1 2 2 n+2 2n−1i) Testando a propriedade para n = 1: 1+2 3 1=4− 21−1 =4− 1 =4−3=1P (1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : 1 + 2( 1 ) + 3( 1 )2 + · · · + k( 1 )k−1 = 4 − o 2 2 2 k+2 2k−1 (k+1)+2Tese – P (k + 1) : 1 + 2( 1 ) + 3( 1 )2 + · · · + k( 1 )k−1 + (k + 1)( 2 )k = 4 2 2 2 1 − 2(k+1)−1 =4− k+3 2kAssumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o 1 1 1 1 + 2( ) + 3( )2 + · · · + k( )k−1 +(k + 1)( 2 )k = 4 − 1 k+2 2k−1 + (k + 1)( 1 )k = 4 − 2 k+2 2k + (k + 1)( 21 ) = k 2 2 2 2 k+2 4− 2k−1 −2k−4 −2k−4+k+1 −k−3 4+ 2k + ( k+1 ) = 4 + 2k 2k =4+ 2k =4− k+3 2kA implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e ac) (1 − 1 )(1 − 1 ) · · · (1 − 2 3 1 n+1 ) = 1 n+1i) Testando a propriedade para n = 1: 1 1 1 1− 2 = 2 = 1+1 2
  • 3. P (1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : (1 − 1 )(1 − 1 ) · · · (1 − k+1 ) = k+1 o 2 3 1 1 1 1 1 1 1Tese – P (k + 1) : (1 − 2 )(1 − 3 ) · · · (1 − k+1 )(1 − k+2 ) = k+2Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o 1 1 1 1 1 1 (1 − )(1 − ) · · · (1 − )(1 − k+2 ) = ( k+1 )(1 − k+2 ) = ( k+1 )( k+2−1 ) = ( k+1 )( k+2 ) = 1 k+2 1 k+1 1 k+2 2 3 k+1 1 k+1A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e ad) 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1i) Testando a propriedade para n = 1: 21−1 = 20 = 1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1P (1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : 1 + 2 + 22 + · · · + 2k−1 = 2k − 1 oTese – P (k + 1) : 1 + 2 + 22 + · · · + 2k−1 + 2k = 2k+1 − 1Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o 1 + 2 + 22 + · · · + 2k−1 +2k = 2k − 1 + 2k = 2 · 2k − 1 = 21 · 2k − 1 = 2k+1 − 1 2k −1A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e ae) n < 2ni) Testando a propriedade para n = 1: 1 < 21 ⇒ 1 < 2P (1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : k < 2k oTese – P (k + 1) : k + 1 < 2k+1Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, k < 2k . oMultiplicando ambos os lados da desigualdade por 2, obtemos 2k < 2 · 2k ⇒ 2k < 2k+1Claramente, para k ≥ 1 temos k + 1 ≤ 2k. Ent˜o, k + 1 ≤ 2k < 2k+1 . Logo, k + 1 < 2k+1 . aA implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e af ) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n+1 n2 = (−1)n+1 n(n+1) 2i) Testando a propriedade para n = 1: 3
  • 4. (−1)1+1 · 12 = 12 = 1 = (−1)1+1 1(1+1) = 1 · 2 2 2 =1P (1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k+1 k 2 = (−1)k+1 k(k+1) o 2Tese – P (k + 1) : 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k+1 k 2 + (−1)k+2 (k + 1)2 = (−1)k+2 (k+1)(k+2) 2Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k+1 k 2 +(−1)k+2 (k + 1)2 = k(k+1) (−1)k+1 2 k(k + 1) = (−1)k+1 + (−1)k+2 (k + 1)2 = 2 k(k + 1) = (−1)k+1 + (−1)(−1)k+1 (k + 1)2 = 2 k = (−1)k+1 (k + 1)[ − (k + 1)] = 2 k+1 k = (−1) (k + 1)[− − 1] = 2 1 = (−1)k+1 (k + 1)(−1) (k + 2) = 2 (−1)k+2 (k + 1)(k + 2) = 2A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e a4 — Dados a e r dois n´ meros inteiros, r = 1. A sequˆncia a1 = a, a2 = ra, a3 = r2 a, · · · , an = u ern−1 a, · · · ´ denominada progress˜o geom´trica de raz˜o r. Prove que a soma dos n pri- e a e ameiros termos de uma progress˜o geom´trica ´: a e e rn a − a Sn = . r−1i) Testando a propriedade para n = 1: r1 a − a a(r − 1) a1 = a = = =a r−1 r−1P (1) ´ verdadeira. e rk a−aii) Hip´tese indutiva – P (k) : a + ra + r2 a + · · · + rk−1 a = Sk = o r−1 rk+1 a−aTese – P (k + 1) : a + ra + r2 a + · · · + rk−1 a + rk a = Sk+1 = r−1Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o rk a−a rk a−a+(r−1)rk a rk a−a+rrk a−rk a −a+rrk a a + ra + r2 a + · · · + rk−1 a +rk a = r−1 + rk a = r−1 = r−1 = r−1 = r k a−a r−1 rk+1 a−a r−1A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e a5 — Prove que 2n + 1 < 2n para todo n > 3. 4
  • 5. i) Testando a propriedade para n = 4: 2 · 4 + 1 < 24 ⇒ 9 < 16P (4) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : 2k + 1 < 2k oTese – P (k + 1) : 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 < 2( k + 1)Multiplicando ambos os lados da desigualdade, na hip´tese, obtemos o 2(2k + 1) < 2 · 2k ⇒ 4k + 2 < 2k+1 .Mas, 2k + 3 < 4k + 2 para valores naturais tais que k ≥ 1 (basta resolver a inequa¸˜o). Ent˜o ca a 2k + 3 < 4k + 2 < 2k+1 .Logo, 2k + 3 < 2k+1 .A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 4. ca e a6 — Seja x um inteiro positivo. Demonstre que: (1 + x)n > 1 + nx, para todo n ≥ 2.i) Testando a propriedade para n = 2: (1 + x)2 > 1 + 2x ⇒ 1 + 2x + x2 > 1 + 2x ⇒ x2 > 0 todo n´mero elevado ` 2 ´ positivo u a eP (2) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : (1 + x)k > 1 + kx oTese – P (k + 1) : (1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)xNa hip´tese indutiva, multiplicando-se ambos os lados da desiguldade por (1 + x), obt´m-se o e 1(1 + x)(1 + x)k > (1 + x)(1 + kx) ⇒ (1 + x)k+1 > 1 + kx + x + kx2 ⇒ (1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x + kx2Como kx2 > 0, temos 1 + (k + 1)x < 1 + (k + 1)x + kx2 . Ent˜o a 1 + (k + 1)x < 1 + (k + 1)x + kx2 < (1 + x)k+1 .Logo, 1 + (k + 1)x < (1 + x)k+1 ou, equivalentemente(1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x.A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 2. ca e a 1 x ´ um inteiro positivo (informado no enunciado), ent˜o (x + 1) ´ tamb´m positivo. Por isso foi poss´ multiplicar e a e e ıvelambos os lados da desigualdade sem se preocupar com a altera¸ao do sinal. c˜ 5
  • 6. 7 — Prove que: 1 1 1 n + + ··· + = . 1·2 2·3 n(n + 1) n+1i) Testando a propriedade para n = 1: 1 1 1 1 = = = 1·2 2 1+1 2P (1) ´ verdadeira. e 1 1 1 kii) Hip´tese indutiva – P (k) : o 1·2 + 2·3 + · · · + k(k+1) = k+1 1 1 1 1 k+1Tese – P (k + 1) : 1·2 + 2·3 + ··· + k(k+1) + (k+1)(k+2) = k+2Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o 1 1 1 1 + + ··· + + = 1·2 2·3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k k+1 k 1 k(k + 2) + 1 = + = = k + 1 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k 2 + 2k + 1 (k + 1)2 k+1 = = = (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k+2A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e a8 — Prove que para qualquer inteiro positivo n o n´ mero 22n − 1 ´ divis´ u e ıvel por 3.i) Se n = 1, ´ trivial que 22·1 − 1 = 3 ´ div´ e e ısivel por 3.ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 22k − 1 ´ divis´ por 3, id est, 22k − 1 = 3m, m ∈ Z o e ıvelTese – P (k + 1) : 22(k+1) − 1 = 22k+2 − 1 ´ divis´ e ıvel por 3, id est, 22k − 1 = m , m ∈ ZMultiplicando por 4 ambos os lados da igualdade que representa P (k), temos 4 · 22k − 1 = 4 · 3m ⇒ 22 · 22k − 1 = 3(4m) ⇒ 22k+2 − 1 = 3(4m).4m ´ um n´mero inteiro qualquer, assim como m , ent˜o podemos impor que m = 4m. Obtemos e u a22k+2 − 1 = 3m .Logo, para todo inteiro n ≥ 1 o n´mero 22n − 1 ´ divis´ por 3. u e ıvel10 — Mostre que a soma dos ˆngulos internos de um pol´ a ıgono convexo com n lados(n ≥ 3) ´ (n − 2)π. ei) Testando a propriedade para um triˆngulo, i.e., n = 3: a Soma dos ˆngulos internos = (3 − 2)π = π = 180◦ aClaramente, P (3) ´ verdadeira. e kii) Hip´tese indutiva – P (k) : o i=1 ϕi = (k − 2)π.Tese – P (k + 1) : k+1 ϕi = i=1 k i=1 ϕi + ϕk+1 = (k − 1)π. 6
  • 7. Onde ϕ ´ um ˆngulo interno do pol´ e a ıgono de k lados.Pela hip´tese indutiva, assumida como verdadeira, conclui-se que o aumento de um lado no pol´ o ıgonoimplica em um aumento de π rad na soma dos ˆngulos internos. Exemplificando, a soma dos ˆngulos a ainternos de um triˆngulo (n = 3) ´ π rad, de um quadril´tero (n = 4) ´ 2π = π+π rad. Genericamente, a e a e Soma dos ˆngulos internos (k + 1 lados) = π + Soma dos ˆngulos internos (k lados) a aTemos, k ϕi + ϕk+1 = (k − 2)π + ϕk+1 = (k − 2)π + π = π(k − 2 + 1) = (k − 1)π i=1 a ıgono convexo com n ≥ 3 lados ´ dado por (n − 2)π.Logo, a soma dos ˆngulos internos de qualquer pol´ e11 — Prove que: na) 2k = 2n+1 − 2 k=1i) Testando a propriedade para n = 1: 21 = 21+1 − 2 = 22 − 2 = 4 − 2 = 2P (1) ´ verdadeira. e mii) Hip´tese indutiva – P (m) : o 2k = 2m+1 − 2 k=1 m+1 mTese – P (m + 1) : 2k = 2k + 2m+1 = 2m+2 − 2 k=1 k=1Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o m 2k + 2m+1 = 2m+1 − 2 + 2m+1 = 2 · 2m+1 − 2 = 2m+2 − 2 k=1A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para n > 0, onde n ´ um inteiro. ca a e a e n n(n + 1)(2n + 1)b) k2 = 6 k=1i) Testando a propriedade para n = 1: 1(1 + 1)(1 + 2) 6 12 = = =1 6 6P (1) ´ verdadeira. e m 2 m(m+1)(2m+1)ii) Hip´tese indutiva – P (m) : o k=1 k = 6Tese – P (m + 1) : m+1 k 2 = k=1 m k=1 k 2 + (m + 1)2 = (m+1)(m+2)(2m+3) 6Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o m m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1)(2m + 1) + 6(m + 1)2 k 2 + (m + 1)2 = + (m + 1)2 = = 6 6 k=1 (m + 1)[m(2m + 1) + 6(m + 1)] (m + 1)(2m2 + 7m + 6) (m + 1)(m + 2)(2m + 3) = = = 6 6 6A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para n > 0, onde n ´ um inteiro. ca a e a e 7
  • 8. n 1 nc) = (2i − 1)(2i + 1) 2n + 1 i=1i) Testando a propriedade para n = 1: 1 1 1 1 1 = = = = (2 · 1 − 1)(2 · 1 + 1) 1·3 3 2·1+1 3P (1) ´ verdadeira. e m 1 mii) Hip´tese indutiva – P (m) : o i=1 (2i−1)(2i+1) = 2m+1 m+1 1 m 1 1 m+1Tese – P (m + 1) : i=1 (2i−1)(2i+1) = i=1 (2i−1)(2i+1) + (2(m+1)−1)(2(m+1)+1) = 2(m+1)+1Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o m 1 1 m 1 + = + (2i − 1)(2i + 1) (2m + 1)(2m + 3) 2m + 1 (2m + 1)(2m + 3) i=1 (2m + 3)m + 1 2m2 + 3m + 1 (m + 1)(2m + 1) m+1 = = = = (2m + 1)(2m + 3) (2m + 1)(2m + 3) (2m + 1)(2m + 3) 2m + 3A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para n > 0, onde n ´ um inteiro. ca a e a e n n(n + 1)(n + 2)d) j(j + 1) = 3 j=1i) Testando a propriedade para n = 1: 1(1 + 1)(1 + 2) 6 1(1 + 1) = 1 · 2 = 2 = = =2 3 3P (1) ´ verdadeira. e m m(m+1)(m+2)ii) Hip´tese indutiva – P (m) : o j=1 j(j + 1) = 3 m+1 n (m+1)(m+2)(m+3)Tese – P (m + 1) : j=1 j(j + 1) = j=1 j(j + 1) + (m + 1)(m + 2) = 3Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o n m(m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2)(m + 3) j(j + 1) + (m + 1)(m + 2) = + (m + 1)(m + 2) = 3 3 j=1A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para ∀n ∈ Z ca a e a ne) (2j − 1) = n2 j=1i) Testando a propriedade para n = 1: (2 · 1 − 1) = 2 − 1 = 1 = 12P (1) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (m) : m (2j − 1) = m2 o j=1Tese – P (m + 1) : m+1 (2j − 1) = m (2j − 1) + [2(m + 1) − 1] = (m + 1)2 j=1 j=1 8
  • 9. Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o m (2j − 1) + [2(m + 1) − 1] = m2 + 2(m + 1) − 1 = m2 + 2m + 2 − 1 = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 j=1A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para ∀n ∈ Z ca a e a nf) i(i!) = (n + 1)! − 1 i=1i) Testando a propriedade para n = 1: 1(1!) = 1 = 1(1 + 1)! − 1 = 2 − 1 = 1P (1) ´ verdadeira. e mii) Hip´tese indutiva – P (m) : o i=1 i(i!) = (m + 1)! − 1Tese – P (m + 1) : m+1 i(i!) = i=1 m i=1 i(i!) + (m + 1)(m + 1)! = (m + 2)! − 1Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, o m i(i!) + (m + 1)(m + 1)! = (m + 1)! − 1 + (m + 1)(m + 1)! = i=1 = (m + 1)![1 + m + 1] − 1 = (m + 2)(m + 1)! − 1 = (m + 2)! − 1A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para ∀n ∈ Z ca a e a12 — Use indu¸˜o para mostrar que um conjunto finito com n elementos possui 2n sub- caconjuntos:Nota¸˜o: ℘(A) ´ o conjunto de todos os subconjuntos de A e |A| ´ o n´mero de elementos do conjunto ca e e uA.i) Para o conjunto B = {u}, de um unico conjunto, i.e., |B| = 1 temos que seu conjunto potˆncia ´ ´ e e℘(B) = {∅, {u}}. Logo, |℘(B)| = 21 = 2.Portanto, P (1) ´ v´lida. e aii) Hip´tese Indutiva – P (n) : Um conjunto de n elementos tem 2n subconjuntos, i.e., |C| = n ⇒ o|℘(C)| = 2n .Tese – P (n+1) : Um conjunto de n+ 1 elementos tem 2n+1 subconjuntos, i.e., |D| = n+ 1 ⇒ |℘(D)| =2n+1 .Sem perda de generalidade, supomos que C = {1, 2, 3, 4, · · · , n}, logo |C| = n e D = {1, 2, 3, 4, · · · , n, n+1}, logo, |D| = n + 1. Ent˜o, D = C ∪ {n + 1}. Pela hip´tese indutiva temos que |℘(C)| = 2n e, a osabendo que |℘(D)| = 2|℘(C)| (demonstra¸˜o abaixo), ent˜o, |℘(D)| = 2 · 2n = 2n+1 . ca aPortanto, P (n) ´ v´lida para todo inteiro n > 0. e aDemonstra¸˜o de |C| = n e |D| = n + 1 ⇒ |℘(D)| = 2|℘(C)|. caTomando o conjunto C = {1, 2, · · · , n}. Sendo D = C ∪ {n + 1}. Todos os subconjuntos de D s˜o atamb´m subconjuntos de C. Os demais subconjuntos s˜o obtidos incluindo o elemento {n + 1}. Logo, e a|℘(D)| = 2|℘(C)|. 9
  • 10. 14 — Prove que para todo n ≥ 9, n! ≥ (2n)2 .i) Testando a propriedade para n = 9: 9! ≥ (2 · 9)2 ⇒ 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 ≥ 4 · 9 · 9 ⇒ 8 · 7 · 6 · 5 · 3 · 2 ≥ 9Claramente, P (9) ´ verdadeira. eii) Hip´tese indutiva – P (k) : k! ≥ (2k)2 oTese – P (k + 1) : (k + 1)! ≥ [2(k + 1)]2 ⇒ (k + 1)! ≥ [2k + 2]2Multiplicando ambos os lados da desiguladade, na hip´tese indutiva por (k + 1) (pois k + 1 > 0), temos o (k + 1)k! ≥ (2k)2 (k + 1) ⇒ (k + 1)! ≥ 4k 3 + 4k 2 .Mas, (2k + 2)2 < 4k 3 + 4k 2 para k ∈ Z : k > 1. Ent˜o a (2k + 2)2 < 4k 3 + 4k 2 ≤ (k + 1)! ⇒ (2k + 2)2 ≤ (k + 1)! ou, equivalentemente, (k + 1)! ≥ (2k + 2)2A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1. ca e a15 — Prove para todo n > 1, n 1 1 ≤2− i2 n i=1i) Testando a propriedade para n = 1: 1 1 2 ≤2− =2−1⇒1≤1 1 1P (1) ´ verdadeira. e k 1 1ii) Hip´tese indutiva – P (k) : o i=1 i2 ≤ 2 − kTese – P (k + 1) : k+1 i1 = i=1 2 k 1 1 i=1 i2 + (k+1)2 ≤ 2− 1 k+1 1Somando (k+1)2 em ambos os lados da hip´tese indutiva, temos o k 1 1 1 1 2 + 2 ≤2− + i (k + 1) k (k + 1)2 i=1Para confirmar a tese, precisamos mostrar que 1 1 1 2− + 2 <2− . k (k + 1) k+1Resolvendo a equa¸˜o: ca 1 1 1 k − (k + 1)2 + (k + 1) −k 2 − + 2 + <0⇒ 2 <0⇒ <0 k (k + 1) k+1 k(k + 1) k(k + 1)2Como k > 0, o numerador da fra¸˜o ´ negativo e o denominador positivo. ca e −k2Portanto, ∀k ∈ Z+ ; k(k+1)2 < 0.Assim sendo, temos que k k 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 <2− + 2 ≤2− =⇒ 2 + 2 ≤2− . i (k + 1) k (k + 1) k+1 i (k + 1) k+1 i=1 i=1Ent˜o, P (n) ´ v´lida para todo inteiro n ≥ 1. a e a 10

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