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Lista 1 - FUV - Resolução

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Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC. ...

Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.

Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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Lista 1 - FUV - Resolução Lista 1 - FUV - Resolução Document Transcript

  • RESOLUÇÃO DA LISTA 1 DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL Prof. Cláudio N. Meneses 1 Prove que é par o produto de um número par qualquer por um número ímpar qualquer. Tomando x um número par e y um número inteiro ímpar, temos que: onde Admitindo Certamente par ou ímpar. Portanto xy = 2k, um número par. □ 2 Prove que a soma de dois números pares quaisquer é par. Tomando dois números pares quaisquer x = 2k1 e y = 2k2, onde x + y = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2) Assumindo k1 + k2 = k, temos: x + y = 2k, portanto um número par. □ 3 Prove que a soma de três números inteiros consecutivos quaisquer é um múltiplo de três. Tomando três números consecutivos quaisquer x = k, y = k + 1 e z = k + 2, com . x + y + z = k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3(k+1) Considerando k + 1 = r, um número, certamente, inteiro, temos que: x + y + z =3r, um número múltiplo de três. □ 4 Sabendo que a soma e o produto de dois números inteiros são também números inteiros, prove que a soma de dois números racionais é também um número racional. Hipótese: A soma e o produto de dois números inteiros são também inteiros. Considerando x e y números racionais e dados por e , com . + Pela hipótese apresentada, são números inteiros, portanto x + y, por ser um quociente de dois inteiros, é um número racional. □ Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  • 5 Prove que entre dois números racionais diferentes sempre existe outro racional. Considerando x e y números racionais e dados por e , com e z, um racional entre eles. z está, certamente, entre x e y quando: Queremos provar que z é um número racional. Sabemos que a soma e multiplicação de dois números inteiros resulta em, também, números inteiros. Assim sendo, é trivial que z é um número racional, pois é o quociente de dois números inteiros. □ 6 Prove que: 1. Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF): i) Testando a propriedade para n = 1: A propriedade é válida para n = 1. ii) Hipótese indutiva - Tese - Assumindo a hipótese como verdadeira temos: Logo: Portanto a P(k + 1) é verdadeira e a propriedade é válida para qualquer n ≥ 1. □ 2. Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF): i) Verificando a propriedade para n = 1: Portanto P(1) é válida. ii) Hipótese indutiva: Tese: Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  • Assumindo a hipótese indutiva como verdadeira, temos que Logo: Comprovada a hipótese indutiva, comprova-se que a propriedade é válida para qualquer número natural maior ou igual a 1. □ 3. i) Verificando o somatório para n = 1: Portanto, a propriedade é válida para n = 1. ii) Hipótese indutiva - Tese - Considerando verdadeira a hipótese indutiva, temos que: Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, obtemos: A igualdade não é válida, portanto a hipótese é falsa e a propriedade inválida para qualquer n natural maior que 1. □ 4. i) Verificando a propriedade para n = 1: Portanto P(1) é verdadeira. ii) Hipótese indutiva: Tese: Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  • Admitindo a hipótese indutiva como verdade, temos que: Desenvolvendo algebricamente o lado esquerdo da igualdade: Comprovando-se a igualdade comprova-se conjuntamente a veracidade da hipótese indutiva, e, portanto, a validade da propriedade para n ≥ 1. □ 5. Desenvolvendo ambos os lados da igualdade i) Verificando a igualdade para n = 1: É trivial que a igualdade é válida, pois 1³ = 1. ii) Hipótese indutiva - Tese - Admitindo como verdadeira a hipótese indutiva, temos que: A primeira parcela do lado esquerdo da igualdade e o somatório do lado direito são progressões aritméticas, portanto podem ser reescritas da seguinte forma: Partindo, então, do lado esquerdo, temos: Portanto, a hipótese indutiva é, de fato, verdadeira e a propriedade é válida para todo número natural maior ou igual a 1. □ Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  • 7 Prove, usando o princípio da indução matemática, que todo inteiro maior do que 1 é primo ou produto de primos. i)Tomando n = 1, observa-se que a propriedade é válida, pois 1 é primo. ii) Hipótese indutiva – P(k): k é um número primo ou produto de primos Tese – P(k + 1): k + 1 é primo ou produto de primos Há duas possibilidades para k + 1: a) k + 1 é primo, logo P(k + 1) é válida. b) k + 1 não é primo. Então k + 1 = ab, onde 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1. Pela hipótese indutiva P(2), P(3), ... ,P(n), para n ≤ k, são primos ou produto de primos, logo a e b são também primos ou produto de primos e, finalmente, provamos que k + 1 = ab também é primo ou produto de primos. □ 8 Denote por an o número de subconjuntos de {1,2,3,..,n} (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto). (a) Mostre que an = 2an-1 (não é necessário usar indução aqui). Tomando o conjunto a An-1 = {1,2,..., n - 1} onde an-1 é o número de subconjuntos de An- 1. Sendo . Todos os subconjuntos de An-1 são também subconjuntos de An. Os demais subconjuntos são obtidos incluindo o elemento {n}. Logo an = 2an-1. □ (b) Adivinhe a fórmula para o valor de an e use indução para provar que você está certo. O número de conjuntos de An é dado por 2n. i) Para o conjunto B = {u}, de um único elemento, temos os seguintes subconjuntos: { } e {a}. Para n = 1, an = 2, o que é confirmado pela demonstração acima. ii) Hipótese indutiva – P(n): Um conjunto de n elementos tem 2n subconjuntos. Tese – P(n + 1): Um conjunto de n + 1 elementos tem 2n+1 subconjuntos. Tomando o conjunto An+1 tal que . n Pela hipótese indutiva temos que an = 2 . Reescrevendo, sem perda de sentido, o que foi comprovado em (a) temos an+1 = 2an. Logo, an+1 = 2 × 2n = 2n+1, comprovando assim a tese e a propriedade P(n) para todo n ≥ 1. □ Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia