´                           LISTA 0 - BASES MATEMATICAS                                            Resolu¸˜o              ...
naturais.a) ∀x∃y(2x − y = 0)Para todo x existe um y tal que y ´ igual a 2x.                                  eA proposi¸˜o...
Inversa: p =⇒ qc) p =⇒ n˜o q          aContra-positiva: q =⇒ n˜o p                       aRec´ıproca: n˜o q =⇒ p          ...
b) p = “x ´ maior igual a 2” q = “x ´ maior que 2”.           e                        e“x ´ maior igual a 2” “x ´ maior q...
c) Para todo x, x2 ´ ´                   e ımpar ou n˜o ´ divis´ por 3.                               a e       ıvel∀x, x2...
mTese: p + q ´ racional, i.e., p + q =            e                           n;   m, n ∈ ZAssumindo a hip´tese como verda...
bc = acu ÷ (c), pois c = 0Dai, obtemos                                    b = aucomo se quer demonstrar.                  ...
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Lista 0 de Bases Matemáticas, sobre Elementos de Lógica e Linguagem Matemática.

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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  1. 1. ´ LISTA 0 - BASES MATEMATICAS Resolu¸˜o ca Elementos de L´gica e Linguagem Matem´tica o a 1 — Dˆ exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirma¸˜es: e coa) Para todo x ∈ , x + 1 > 2Exemplos: qualquer n´mero real maior que 1. uContra-exemplos: qualquer n´mero real menor ou igual a 1. ub) Todas as letras da palavra “banana” s˜o vogais. aExemplos: as letra ‘a’.Contra-exemplos: as letras ‘b’ e ‘n’.c) Para todo x ∈ , x2 < xExemplos: Qualquer real pertencente a (0, 1)Contra-exemplos: Qualquer real pertecente a (−∞, 0] ou [1, ∞)d) Para todo m, n ∈ N pares, temos que n + m ´ par. eExemplos: m = 10 e n = 20 ou m = 2 e n = 1, entre outros.Contra-exemplos: N˜o existem. a 2 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o universais ou particulares? co aElas s˜o verdadeiras? O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros naturais. a e ua) ∀x∃y(x < y)Para todo natural x existe um y tal que x ´ menor que y. eA proposi¸˜o ´ universal e verdadeira. ca eb) ∃y∀x(x < y)Existe um y para todo x tal que y ´ maior que x. eA proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se x = y + 1, por exemplo, n˜o ´ maior que y. ca e a ec) ∃x∀y(x < y)Existe um x para todo y tal que x ´ menor que y. eA proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se y = x − 1, por exemplo, n˜o ´ menor que x. ca e a ed) ∀y∃x(x < y)Para todo y existe um x tal que y ´ maior que x. eA proposi¸˜o ´ universal e verdadeira. ca ee) ∃x∃y(x < y)Existe um x e existe um y tal que x ´ menor que y. eA proposi¸˜o ´ particular e verdadeira. ca ef) ∀x∀y(x < y)Quaisquer que sejam x e y, x ´ menor que y. eProposi¸˜o universal e falsa. Contra exemplo: x = 3 e y = 2. ca 3 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o verdadeiras? Dˆ exemplos e co a econtra-exemplos, quando poss´ ıvel. O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros e u 1
  2. 2. naturais.a) ∀x∃y(2x − y = 0)Para todo x existe um y tal que y ´ igual a 2x. eA proposi¸˜o ´ verdadeira. ca eExemplo: Para x = 2 temos y = 4.N˜o existem contra-exemplos. ab) ∃y∀x(2x − y = 0)Existe um y para todo x tal que y ´ igual a 2x. eA afirma¸˜o ´ falsa. Pois se x = 1, ent˜o y = 2 e se x = 2, ent˜o y = 4. ca e a ac) ∃y∃z(y + z = 100)Existem y e z tal que a soma de y com z seja igual a 100.A afirma¸˜o ´ verdadeira. ca eExemplos: y = 40 e z = 60; y = 15 e z = 85. 4 — Negue as seguintes proposi¸˜es: coa) 3 > 4 e 2 ´ par. e3 ≤ 4 ou 2 ´ ´ e ımpar.b) N˜o ´ verdade que (3 ´ par ou que 5 ´ ´ a e e e ımpar).3 ´ par ou 5 ´ ´ e e ımparc) 2 ´ um n´mero par e 3k + 1 ´ um n´mero ´ e u e u ımpar2 ´ um n´mero ´ e u ımpar ou 3k + 1 ´ um n´mero par e ud) 2 ´ um n´mero par e n˜o ´ verdade que 3 ´ um n´mero ´ e u a e e u ımpar.2 ´ um n´mero ´ e u ımpar ou 3 ´ um n´mero ´ e u ımpare) Todo elemento do conjunto A ´ elemento do conjunto B. eExistem pelo menos um elemento do conjunto A que n˜o ´ elemento do conjunto B. a ef) N˜o ´ verdade que (5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero ´ a e e u e u ımpar).5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero ´ e u e u ımpar.g) (N˜o ´ verdade que 5 ´ um n´mero primo) ou 4 ´ um n´mero ´ a e e u e u ımpar.5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero par. e u e u 5 — Nas seguintes proposi¸˜es abertas o dom´ co ınio do discurso ´ o conjunto dos reais. ePara essas proposi¸˜es esboce na reta real o seu conjunto verdade. co 6 — Ache a contra-positiva, a rec´ ıproca e a inversa das seguintes frases:a) n˜o p =⇒ q aContra-positiva: p =⇒ n˜o q aRec´ıproca: q =⇒ n˜o p aInversa: p =⇒ n˜o q ab) n˜o p =⇒ n˜o q a aContra-positiva: q =⇒ pRec´ıproca: n˜o q =⇒ n˜o p a a 2
  3. 3. Inversa: p =⇒ qc) p =⇒ n˜o q aContra-positiva: q =⇒ n˜o p aRec´ıproca: n˜o q =⇒ p aInversa: n˜o q =⇒ p ad) Se chove ent˜o n˜o vou trabalhar. a aContra-positiva: Vou trabalhar ent˜o n˜o chove. a aRec´ıproca: N˜o vou trabalhar ent˜o chove. a aInversa: Se n˜o chove ent˜o eu vou trabalhar. a ae) Se x ´ par, ent˜o 2x + 1 ´ ´ e a e ımpar.Contra-positiva: Se 2x + 1 ´ par ent˜o x ´ ´ e a e ımpar.Rec´ıproca: Se 2x + 1 ´ ´ e ımpar ent˜o x ´ par. a eInversa: Se x ´ ´ e ımpar, ent˜o 2x + 1 ´ par. a ef) Se minha m˜e ´ um trator, ent˜o eu sou uma moto-serra. a e aContra-positiva: Se eu n˜o sou uma moto-serra, ent˜o minha m˜e n˜o ´ um trator. a a a a eRec´ıproca: Se eu sou uma moto-serra ent˜o minha m˜e ´ um trator. a a eInversa: Se minha m˜e n˜o ´ um trator, ent˜o eu n˜o sou uma moto-serra. a a e a ag) Se 2k + 1 ´ primo, ent˜o k ´ uma potˆncia de 2. e a e eContra-positiva: Se k n˜o ´ uma potˆncia de 2 ent˜o 2k + 1 n˜o ´ primo. a e e a a eRec´ıproca: Se k ´ uma potˆncia de 2 ent˜o 2k + 1 ´ primo. e e a eInversa: Se 2k + 1 n˜o ´ primo, ent˜o k n˜o ´ uma potˆncia de 2. a e a a e eh) Se x2 + y 2 = 0 ent˜o x e y s˜o iguais a 0. a aContra-positiva: Se x e y s˜o diferentes de 0, ent˜o x2 + y 2 = 0 a aRec´ıproca: Se x e y s˜o iguais a 0 ent˜o x2 + y 2 = 0. a aInversa: Se x2 + y 2 = 0 ent˜o ent˜o x e y s˜o diferentes de 0. a a a 7 — Atribua um valor verdade `s proposi¸˜es: a coa) Se 2 ´ par, ent˜o 3 ´ ´ e a e ımpar.Verdadeira.b) Se 2 n˜o ´ par, ent˜o 3 ´ ´ a e a e ımpar.Equivale a: Se 2 ´ ´ e ımpar, ent˜o 3 ´ ´ a e ımpar.Verdadeira.c) Se 3 n˜o ´ par, ent˜o 3 n˜o ´ ´ a e a a e ımpar.Equivale a: Se 3 ´ ´ e ımpar, ent˜o 3 ´ par. a eFalso.d) Se minha m˜e ´ um trator, ent˜o eu sou uma moto-serra. a e aVerdadeira, pois a premissa ´ falsa. e 8 — Para os pares de proposi¸˜es p e q diga se p ´ condi¸˜o necess´ria e/ou suficiente co e ca apara q. Em todos os exemplos, considere x um n´ mero natural. ua) p = “x ´ maior que 2” q = “x ´ maior que 3”. e e“x ´ maior que 3” ⇒ “x ´ maior que 2”, ou seja, q ⇒ p e eEnt˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q. a e ca a 3
  4. 4. b) p = “x ´ maior igual a 2” q = “x ´ maior que 2”. e e“x ´ maior igual a 2” “x ´ maior que 2”, ou seja, p ⇒ q e eEnt˜o, p ´ condi¸˜o suficiente para q. a e cac) p = “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” q = “x ´ menor que 2”. e e ex ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” ⇒ “x ´ menor que 2”, ou seja, p ⇒ q e e eEntao, p ´ condi¸˜o suficiente para q. e cad) p = “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” q = “x = 1”. e e“x = 1” ⇒ “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2”, i.e., q ⇒ p e eEnt˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q. a e ca ae) p = “∆ ´ um triˆngulo is´sceles” q = “∆ ´ um triˆngulo equil´tero”. e a o e a a“∆ ´ um triˆngulo equil´tero” ⇒ “∆ ´ um triˆngulo is´sceles”, i.e., q ⇒ p e a a e a oEnt˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q. a e ca af) p = “M ´ uma matriz com determinante diferente de 0” q = “M ´ uma matriz invert´ e e ıvel”.“M ´ uma matriz com determinante diferente de 0” ⇒ “M ´ uma matriz invert´ e e ıvel”, i.e., q ⇒ p“M ´ uma matriz invert´ e ıvel” ⇒ “M ´ uma matriz com determinante diferente de 0”, i.e., p ⇒ q eEnt˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria e suficiente para q. a e ca a 9 — Transcreva as seguintes proposi¸˜es para a forma simb´lica. co oa) Existe um n´mero real n tal que n2 = 2. u∃n ∈ R|n 2 =2b) N˜o existe n´mero racional x tal que x2 = 2 a u∃x ∈ Q|x2 = 2c) Existe x tal que x2 ´ par e divis´ por 3. e ıvel∃x|x2 e par e divis´ por 3 ou ∃x|x2 = 2k1 ∧ x2 = 3k2 ; k1 , k2 ∈ Z ´ ıveld) N˜o existe n´mero inteiro x tal que x2 ´ primo ou x2 ´ negativo. a u e e 2 e primo ou x2 < 0∃x ∈ Z|x ´e) Existe um n´mero inteiro x tal que x2 ´ par ou x2 ´ ´ u e e ımpar. 2 e par ou x2 e ´∃x ∈ Z|x ´ ´ ımpar ou ∃x ∈ Z|x 2 = 2k ∨ x2 = 2k + 1 1 2f) Para cada n´mero real x existe um n´mero real y tal que x + y = 0. u u∀x ∈ R, ∃y ∈ R|x + y = 0g) Todo elemento do conjunto A ´ elemento do conjunto B. e∀a ∈ A, a ∈ Bh) Para todo , existe δ( ) tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜o |f (x) − f (l)| < . a∀ , ∃δ( )|0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (l)| < 10 — Para cada uma das proposi¸˜es anteriores, escreva a nega¸˜o simb´lica e “em co ca oportuguˆs”. ea) Qualquer que seja n real n˜o ´ verdade n2 = 2. a e∀n ∈ R|n2 = 2b) Existe n´mero racional x tal que x2 = 2 u∃x ∈ Q|x 2 =2 4
  5. 5. c) Para todo x, x2 ´ ´ e ımpar ou n˜o ´ divis´ por 3. a e ıvel∀x, x2 = 2k ∨ x2 = 3k ; k , k ∈ Z 1 2 1 2d) Existe n´mero inteiro x tal que x2 ´ primo ou x2 ´ negativo. u e e∃x ∈ Z|x2 e primo ∨ x2 < 0 ´e) Para todo x inteiro, x2 ´ ´ e ımpar e x2 ´ par. e∀x ∈ Z, x2 = 2k + 1 ∧ x2 = 2k ; k , k ∈ Z 1 2 1 2f) Existe ao menos um x real e existe um n´mero real y tal que x + y = 0 u∃x ∈ R, ∃y ∈ R|x + y = 0g) Existe ao menos um elemento do conjunto A que n˜o ´ elemento do conjunto B. a e∃a ∈ A|a ∈ B /h) Existe ao menos um e existe δ( ) tal que 0 < |x − a| < δ e |f (x) − f (l)| ≥∃ , ∃δ( )|0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − f (l)| ≥ 11 — Para todas as afirma¸˜es a seguir n denota um numero natural. Determine o coconjunto verdade das seguintes proposi¸˜es abertas. coa) n2 < 12V = {1, 2, 3}b) 3n + 1 < 25V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}c) 3n + 1 < 25 e n + 1 > 4V = {5, 6, 7}d) n < 5 ou n > 3V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} = Ne) n ´ primo e n˜o ´ verdade que n > 17 e a eV = {2, 3, 5, 7, 11, 13}f) (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) = 0V = {1, 2, 3, 4} 12 — Demonstre as seguintes afirma¸˜es: coa) Se a divide b e a divide c ent˜o a divide b + c. a bHip´tese: a divide b, i.e., a = k1 ⇒ b = ak1 e a divide c, i.e., c = ak2 ; k1 , k2 ∈ Z oTese: a divide b + c, i.e., b+c = k ⇒ b + c = ak; k ∈ Z aAssumindo como verdadeira a hip´tese, temos o b + c = ak1 + ak2 = a(k1 + k2 )Dizemos que k1 + k2 = k e conclu´ ımos que b + c = ak, como se quer demonstrar.b) Se p e q s˜o n´meros racionais, ent˜o p + q ´ um n´mero racional. a u a e u k1 k3Hip´tese: p e q s˜o n´mero racionais, i.e., p = o a u k2 eq= k4 ; k1 , k2 , k3 , k4 ∈ Z 5
  6. 6. mTese: p + q ´ racional, i.e., p + q = e n; m, n ∈ ZAssumindo a hip´tese como verdadeira, temos o k1 k3 k1 k4 +k3 k2 p+q = k2 + k4 = k2 k4 mDizemos que k1 k4 + k3 k2 = m ∈ Z e k2 k4 = n ∈ Z e obtemos p + q = n, como se quer demonstrar. 13 — Use o m´todo da redu¸˜o ao absurdo para mostrar cada uma das seguintes e caproposi¸˜es. coa) A raiz de c´bida de 2 ´ irracional. u eb) N˜o h´ solu¸˜o racional para a equa¸˜o x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0. a a ca caDevemos tentar mostrar que a equa¸˜o x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0 possui solu¸˜o racional e chegar em ca cauma contradi¸˜o. cac) Dados a, b, c inteiros. Mostre que se a n˜o divide bc, ent˜o a n˜o divide b. a a a 14 — Prove cada uma das proposi¸˜es pelo m´todo contra-positivo. co ea) Se x e y s˜o dois n´meros inteiros cujo produto ´ ´ a u e ımpar, ent˜o ambos tem de ser ´ a ımpar.Contra-positiva: Se x e y s˜o pares ent˜o o produto xy ´ par. a a eSe x ´ par, ent˜o x = 2k1 e se y ´ par, ent˜o y = 2k2 , onde k1 , k2 ∈ Z, temos: e a e a xy = 2k1 (2k2 ) = 2(2k1 k2 )Admitindo 2k1 k2 = k ∈ Z, concluimos que xy = 2k, e, portanto, par.b) Se a e b s˜o n´meros reais tais que o produto ab ´ um n´mero irracional, ent˜o, ou a ou b deve ser a u e u aum n´mero irracional. uContra-positiva: Se a e b s˜o n´meros racionais ent˜o o produto ab ´ racional. a u a eSe a e b s˜o racionais, ent˜o, a = p1 e b = p2 , onde pq , q1 , p2 , q2 ∈ Z temos ab = p1 · p2 = p1 q2 a a q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 p2 pAssumindo p1 p2 = p ∈ Z e q1 q2 = q ∈ Z obtemos ab = q , de onde pode-se concluir que ab ´ racional. e 15 — Mostre que o produto de um n´ mero racional n˜o nulo com um n´ mero irraci- u a uonal ´ irracional. e 16 — Dados a, b, c n´ meros inteiros com c = 0. Mostre que a divide b se, e somente se, uac divide bc.1a Parte: Deve-se demonstrar que b = ak ⇒ bc = ack; k ∈ Z bc = ak · c = ackLogo, ac divide bc.2a Parte: Deve-se demonstrar que bc = acu ⇒ b = au; u ∈ Z 6
  7. 7. bc = acu ÷ (c), pois c = 0Dai, obtemos b = aucomo se quer demonstrar. 7

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