Esboço - Gráfico de Função

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Dúvidas/Reportar erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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  • 1. ¸˜ ´ FUNCOES DE UMA VARIAVEL x2 −xExerc´ ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = a 1+3x2 . 1. Dom´ ınio da fun¸˜o ca Dom f = R 2. Intersec¸˜o com os eixos ca 02 −0 Para x = 0 temos f (0) = 1+3·02 = 0. Logo, o ponto (0, 0) pertence a graf f.1 x2 −x Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ 1+3x2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1. Logo, o ponto (1, 0) pertence a graf f. 3. Derivada de primeira ordem, pontos de m´ximo e m´ a ınimo locais e regi˜es de crescimento e o decrescimento d (x2 − x) (1 + 3x2 ) − (x2 − x)(1 + 3x2 ) f (x) = f (x) = = dx (1 + 3x2 )2 (2x − 1)(1 + 3x2 ) − (x2 − x)6x 2x + 6x3 − 1 − 3x2 − 6x3 + 6x2 = = (1 + 3x2 )2 (1 + 3x2 )2 d 3x2 + 2x − 1 ∴ f (x) = f (x) = dx (1 + 3x2 )2 Igualamos f (x) a 0 para obter as abscissas dos pontos de m´ximo e m´ a ınimo local. 3x2 + 2x − 1 1 f (x) = 0 ⇒ 2 )2 = 0 ⇒ 3x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −1 ou x = (1 + 3x 3 Substituindo os valores de x encontrados acima na fun¸˜o f , achamos os pontos ca 1 1 1 1 −1 P1 = (−1, f (1)) = 1, e P2 = ,f = , 2 3 3 3 6 Como f (1) > f ( 1 ), concluimos que P1 ´ ponto de m´ximo local e P2 ´ ponto de m´ 3 e a e ınimo local. Para determinar as regi˜es de crescimento e decrescimento da fun¸˜o devemos estudar o sinal da o ca fun¸˜o f (x). Esta fun¸˜o ´ racional, logo precisamos estudar o sinal das fun¸˜es do numerador ca ca e co e do denominador. A fun¸˜o do denominador (1 + 3x ca 2 )2 ´ positiva para qualquer valor real de e x, portanto n˜o influenciar´ no estudo do sinal de f . Resta estudar o sinal de 3x2 + 2x − 1. a a O gr´fico desta ´ uma par´bola com concavidade para cima, portanto, ` esquerda do menor a e a a zero (x = −1) ´ positiva, entre os dois zeros da fun¸˜o ela ´ negativa e ` direita do maior zero e ca e a (x = −1/6) ´ positiva. Resumindo e concluindo, e 1 1 (a) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1)∪ 3 , +∞ ∴ f (x) ´ crescente no intervalo (−∞, −1)∪ e 3 , +∞ . 1 1 (b) f (x) < 0 ⇔ x ∈ −1, 3 ∴ f (x) ´ decrescente no intervalo −1, e 3 . 4. Derivada de segunda ordem, pontos de inflex˜o e regi˜es com concavidade para cima e para a o baixo d2 (3x2 + 2x − 1) (1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)[(1 + 3x2 )2 ] f (x) = f (x) = = dx2 [(1 + 3x2 )2 ]2 (6x + 2)(1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)2(1 + 3x2 )6x = (1 + 3x2 )4 1 graf f := {(x, f (x)) : x ∈ Dom f }. 1
  • 2. (1 + 3x2 )[(6x + 2)(1 + 3x2 ) − (3x2 + 2x − 1)12x] = (1 + 3x2 )4 6x + 18x3 + 2 + 6x2 − 36x3 − 24x2 + 12x −18x3 − 18x2 + 18x + 2 = (1 + 3x2 )3 (1 + 3x2 )3 d2 9x3 + 9x2 − 9x − 1 ∴ f (x) = f (x) = −2 dx2 (1 + 3x2 )3 Igualamos f (x) a zero para descobrir os pontos de inflex˜o 2 . a 9x3 + 9x2 − 9x − 1 f (x) = 0 ⇒ −2 = 0 ⇒ 9x3 + 9x2 − 9x − 1 = 0 (1 + 3x2 )3 ⇒ x ≈ −1, 5863 ou x ≈ −0, 1018 ou x ≈ 0, 6881 Os pontos de inflex˜o s˜o a a (−1, 5863, f (−1, 5863)) e (−0, 1018, f (−0, 1018)) e (0, 6881, f (0, 6881))5. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´ ca ıntotas x2 − x lim x→∞ 1 + 3x2 Pela regra de L’Hospital, o limite acima ´ igual a limx→∞ 2x−1 . Como o limite continua inde- e 6x terminado, aplicamos novamente a regra de L’Hospital e obtemos 2 1 lim f (x) = lim = . x→∞ x→∞ 6 3 x −x 2 Analogamente, conclu´ımos que limx→−∞ 1+3x2 = 1 . 3 a ıntota horizontal cuja equa¸˜o ´ y = 1 . H´ portanto uma ass´ ca e 36. Gr´fico a2 Os zeros do polinˆmio foram determinados computacionalmente. o 2
  • 3. ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = (x2 − 1)3 .Exerc´ a 1. Dom´ ınio da fun¸˜o ca Dom f = R 2. Intersec¸˜o com os eixos ca Para x = 0 temos f (0) = (02 − 1)3 = −1. Logo, o ponto (0, −1) pertence a graf f . Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ (x2 − 1)3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1. Logo, os ponto (−1, 0) e (1, 0) pertencem a graf f. 3. Derivada de primeira ordem e regi˜es de crescimento e decrescimento o d f (x) = f (x) = 3(x2 − 1)2 2x = 6x(x2 − 1)2 dx Igualando f (x) a zero f (x) = 0 ⇒ 6x(x2 − 1)2 = 0 ⇒ 6x = 0 ou (x2 − 1)2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = −1 ou x = 1. Como (x2 − 1)2 ´ positivo para qualquer valor real de x, conclu´ e ımos que o sinal de f (x) depende apenas de 6x. Logo, (a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0) ∴ f´ decrescente em (−∞, 0), e (b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, ∞) ∴ f´ crescente em (0, ∞). e 4. Derivada de segunda ordem e regi˜es com concavidade para cima e para baixo o d2 f (x) = f (x) = (6x) (x2 − 1)2 + 6x[(x2 − 1)2 ] = 6(x2 − 1)2 + 6x[2(x2 − 1)2x] dx2 = 6{(x2 − 1)2 + x[2(x2 − 1)2x]} = 6{(x2 − 1)2 + 4x2 (x2 − 1)} = 6{(x2 − 1)[(x2 − 1) + 4x2 ]} d2 ∴ f (x) = f (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) dx2 Igualando f (x) a zero 1 1 6(x2 −1)(5x2 −1) = 0 ⇒ (x2 −1) = 0 ou (5x2 −1) = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1 ou x = − √ ou x = √ . 5 5 Estadando o sinal de f (x), por meio do estudo das fun¸˜es (x2 − 1) e (5x2 − 1), conclu´ co ımos que 1 1 (a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ I1 = −1, − √5 ∪ √ ,1 5 ∴ f tem concavidade voltada para baixo em I1 , 1 1 (b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ I2 = (−∞, −1) ∪ − √5 , √5 ∪ (1, +∞) ∴ f tem concavidade voltada para cima em I2 . 5. Determina¸˜o dos pontos de m´ximo e de m´ ca a ınimo Podemos submeter os pontos cr´ ıticos da fun¸˜o f (os pontos cuja derivada se anula) ao teste da ca segunda derivada. Id est, calcularemos cr´ ıticos de f em f (x). Para x = 0, f (0) = 6(02 − 1)(5 · 02 − 1) = 6 > 0 ∴ x = 0 ´ abscissa de um ponto de m´ e ınimo3 3 Se f (c) = 0 e f (c) > 0, c ´ ponto de m´ e ınimo local; Se f (c) = 0 e f (c) < 0, c ´ ponto de m´ximo local. e a 3
  • 4. Para x = −1 e x = 1, a a a ınimo4 f (−1) = f (1) = 0 ∴ x = 1 e x = −1 n˜o s˜o abscissas de ponto de m´ximo nem de m´ Substituindo x = 0 na fun¸˜o f , encontramos f (0) = −1. Portanto (0, −1) ´ ponto de m´ ca e ınimo local. 6. Determina¸˜o dos pontos de inflex˜o As abscissas dos pontos de inflex˜o j´ foram determinadas ca a a a no item 4. Substituindo-as em f , obtemos os pontos de inflex˜o a 1 −64 1 −64 (−1, 0) , (1, 0) , − √ , e √ , 5 125 5 125 7. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´ ca ıntotas lim (x2 − 1)3 = ∞ x→−∞ e lim (x2 − 1)3 = ∞ x→∞ Logo, n˜o h´ ass´ a a ıntotas. 8. Gr´fico a 4 Essa conclus˜o poderia ser tirada observando-se que n˜o h´ mudan¸a no sinal de f (x) no ponto x = 1 nem no ponto a a a cx = −1, logo n˜o podem ser nem ponto de m´ximo nem de m´ a a ınimo, pois estes est˜o necessariamente entre um peda¸o a ccrescente e um decrescente de uma fun¸ao. c˜ 4