Filtre de Kalman
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Filtre de Kalman Filtre de Kalman Presentation Transcript

  • Filtre de Kalman – Préliminaires (1)
    • Théorème
  • Filtre de Kalman – Préliminaires (2)
    • Estimateur à variance minimale
    • Estimer constante, a, telle que
    • est minimale
    • Résultat:
    • En effet:
  • Filtre de Kalman – Préliminaires (3)
    • Meilleur estimateur non linéaire de la variable x en termes de y
    • y et x deux variables aléatoires; densité de probabilité conjointe f(x,y).
    • Estimer x par une fonction g(y) de sorte que
    • est minimale
    • Résultat:
  • Filtre de Kalman – Préliminaires (4)
    • Démonstration
  • Filtre de Kalman – Modèle et hypothèses (1)
    • Système décrit par modèle en variables d’état
  • Filtre de Kalman – Formulation du problème
    • Problème:
    • Déterminer l’estimateur de variance minimale de l’état à l’instant k étant donné les mesures jusqu’à l’instant k-1, c-à-d tel que
  • Filtre de Kalman
    • Considérons le modèle en variables d’état ci-dessus et définissons
  • Filtre de Kalman – Démonstration(1)
    • Equations d’état du système
  • Filtre de Kalman – Démonstration (2)
    • Variance
  • Filtre de Kalman – Démonstration (3)
    • Par application du théorème (Préliminaire (1))
    • - Moyenne
  • Filtre de Kalman – Démonstration (4)
    • Variance
  • Filtre de Kalman - Innovation
    • Prédiction de y(k)
    • Innovation
  • Filtre de Kalman permanent (1)
    • Sous conditions données à la page suivante,
    • Filtre prend la forme
  • Filtre de Kalman permanent (2)
    • Théorème
    • Soit L tel que . Si les 3 conditions suivantes
    • sont remplies:
    • 1) (A,L) stabilisable
    • 2) (C,A) détectable
    • 3)
    • Alors
  • Filtre de Kalman permanent (3)
    • Variance de l’erreur d’estimation minimisée
    • asymptotiquement, c-à-d
  • Filtre de Kalman – Défaut présent (1)
    • Equations système supervisé + filtre de Kalman en présence d’un défaut
    • En l’absence de défaut, solution
  • Filtre de Kalman – Défaut présent (2)
    • Donc L (r(k))= N (
  • Bibliographie
    • G.C. Goodwin et K.S. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Prentice-Hall, 1984
    • A. Papoulis. Probability, random variables and stochastic processes. McGraw Hill, 1965
    • R.S. Mangoubi. Robust estimation and failure detection: a concise treatment
    • Springer 1998