Materi Lingkaran
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Materi Lingkaran

on

  • 9,612 views

 

Statistics

Views

Total Views
9,612
Views on SlideShare
9,610
Embed Views
2

Actions

Likes
2
Downloads
291
Comments
1

1 Embed 2

https://twitter.com 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • gimana cara download materi ini?
    thnx buat info'a...
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Materi Lingkaran Materi Lingkaran Document Transcript

  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 DEFINISI Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap harganya . Titik yang tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran , dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran. A . PERSAMAAN LINGKARAN A . 1 . Pusat Titik O ( 0 , 0 ) dan Jari-jari r A . 2 . Pusat Titik P (  ,  ) dan Jari-jari r y y r  P(, x ) O O ( x  Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari r , adalah : Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (  ,  ) dan berjari-jari r adalah : x2  y2  r 2 2 2 2 ( x  ) ( y ) r A.3 . Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 2  y2  A x  B y  C  0 Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : x O , 1 1 dengan pusat di titik : (  A ,  B ) , dan jari-jarinya adalah : r  1 2 1 2 A  B C 2 2 4 4 1Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 1 . Tentukan persamaan dengan syarat : CONTOH a . Berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 satuan . b. Berpusat di titik ( 6 , −2 ) dan jari-jari 3 2 . Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut : a. x 2  ( y  9 ) 2  24 b. x2  y2  8 x  4 y  5  0 JAWAB 1. a . Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 5 adalah : x 2  y 2  25 b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 6 , 2 ) dan berjari-jari 3 adalah : ( x  6 )  (y  2 )  3 2 2 2. a . Lingkaran dengan persamaan x 2  ( y  9 ) 2  24 berpusat di titik ( 0 , -9 ) dan jari-jari = 2 6 . b. Lingkaran dengan persamaan : x 2  y 2  8 x  4 y  5  0 1 1 berpusat di (  8 ,  (4) )  (  4 , 2 ) . 2 2 1 2 1 Panjang jari-jarinya = 8  (4) 2  (5 )  16  4  5  25  5 4 4 B . POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN Diketahui lingkaran L ≡ f ( x , y )  r 2 dan titik A( a , b ). Ada tiga kemungkinan posisi titik A ( a , b ) terhadap lingkaran L ≡ f ( x , y )  r 2 , yaitu : Titik A ( a , b ) terletak di dalam lingkaran L , Titik A ( a , b ) terletak di luar lingkaran L , jika : f (a,b)  r 2 jika : f ( a , b )  r 2 Titik terletak pada lingkaran L , jika : Info : Jarak Titik Terhadap Garis Jarak titik P ( m , n ) terhadap garis A x + B y + C = 0 , adalah : P(m,n ) Ax+By+C= 0 2Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 1 . Tentukan posisi dari : CONTOH a . titik ( 3 , 4 ) terhadap lingkaran x 2  y 2  49 b . titik ( 0 , 2 ) terhadap lingkaran ( x  9 ) 2  ( y  5 ) 2  90 c . titik ( 7 , − 9 ) terhadap lingkaran x 2  y 2  6 x  10 y  2  0 2 . Tentukan persamaan lingkaran : a . pusat di titik ( 7 , − 9 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9. b . melalui titik ( 3 , −2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ). JAWAB 1. a . Titik ( 3 , 4 ) terletak di dalam lingkaran x 2  y 2  49 , karena : 32  4 2  25  49 b . Titik ( 0 , 2 ) terletak pada lingkaran ( x  9 ) 2  ( y  5 ) 2  90 , karena : ( 0  9 ) 2  (2  5 ) 2  81  9  90 c . Titik ( 7 , -9 ) terletak di luar lingkaran x 2  y 2  6 x  10 y  2  0 , karena : 7 2  (9 ) 2  6 . 7  10 . (9 )  2  49  81  42  90  2  176  0 2 . a . Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9, dapat ditentukan dengan cara sbb : Tentukan jari-jari lingkaran tersebut, dengan cara menentukan jarak titik ( −6 , 2 ) terhadap garis −4x + y – 9 = 0 , sbb :  4 .  6  2  9 17 rJ   17  4 2 1 2 17 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9, adalah :  x  6    y  2   17 . 2 2 b . Persamaan lingkaran yang melalui titik ( 3 , − 2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ) , dapat ditentukan dengan cara sbb : Bentuk umum persamaan lingkaran : x 2  y 2  Ax  By  C  0 Melalui ( 3 , −2 ) diperoleh : 32   22  A.3  B. 2  C  0  3 A  2B  C  13 …………. 1) Melalui ( 6 , 3 ) diperoleh : 6 2  32  A.6  B.3  C  0  6 A  3B  C  45 …………. 2) Melalui ( 4 , −6 ) diperoleh : 4   6  A.4  B. 6  C  0 2 2  4 A  6B  C  52 …………. 3) Persamaan 1) , 2) , dan 3) jika diselesaikan diperoleh : A = −19 , B = 5 , C = 54 . Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : x 2  y 2  19 x  5 y  54  0 1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut : a. x 2  y 2  54 d. ( x  1 ) 2  y 2  32 b. ( x  12 ) 2  ( y  1 ) 2  121 e. x 2  ( y  16 ) 2  72 c. ( x  8 ) 2  ( y  22 ) 2  64 f. x 2  y 2  8 x  14 y  49  0 3Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 g. 4 x 2  4 y 2  32 x  12 y  65  0 k. x 2  y 2  20 x  12 y  55  0 h. x 2  y 2  10 x  6 y  2  0 l. x 2  y 2  28 x  24 y  336  0 i. x 2  y 2  4 x  16 y  56  0 m. x 2  y 2  14 x  39  0 j. x 2  y 2  22 x  8 y  109  0 n. 16 x 2  16 y 2  48 x  24 y  107  0 2. Tentukan persamaan lingkaran berikut : a. pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 3 7 b. pusat di titik ( 14 , 9 ) dan jari-jari 13 c. pusat di titik ( 8 , 6 ) dan menyinggung sumbu x. d. pusat di titik ( 5 , 10 ) dan menyinggung sumbu y. e. pusat di titik ( 2 , 6 ) dan menyinggung garis x − 7 y = 8 f. melalui titik ( 2 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , dan ( 4 , 1 ). 3. Diketahui lingkaran x 2  y 2  169 . Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb : a. ( 2 , 5 ) b. ( 12 , 5 ) c. ( 15 , 20 ) 4. Diketahui lingkaran ( x  3 ) 2  ( y  8 ) 2  170 . Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb : a. ( 8 , 1 ) b. ( 4 , 6 ) c. ( 5 , 7 ) 5. Diketahui lingkaran x 2  y 2  12 x  8 y  96  0 . Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb : a. ( 5 , 12 ) b. ( 9 , 2 ) c. ( 4 , 16 ) 6. Tentukan persamaan lingkaran berikut : a. berpusat di titik ( 9 , 6 ) dan melalui titik ( 2 , 1 ) b. berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan menyinggung lingkaran ( x  5 ) 2  ( y  7 ) 2  49 C . GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran : 1 . Garis tidak 2 . Garis menyinggung 3 . Garis memotong memotong lingkaran. lingkaran lingkaran di dua titik. C. 1. Garis Singgung Bergradien m. Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran x 2  y 2  r 2 , adalah : y  m x  r m2  1 4Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran ( x   ) 2  ( y   ) 2  r 2 , adalah : y    m ( x   )  r m2  1 Tentukan persamaan garis singgung : CONTOH 1 . pada lingkaran x 2  y 2  9 dengan gradien −2. 2 . pada lingkaran ( x  2 )2  ( y  6 )2  36 dengan gradien 3 . 3 . pada lingkaran x 2  y 2  40 x  300  0 2 dengan gradien . 3 JAWAB Info : 1. Persamaan garis singgung pada lingkaran Garis singgung pada x 2  y 2  9 yang bergradien 2 adalah : lingkaran tegaklurus pada y  m x  r m2  1 jari-jari yang melalui titik singgungnya.  y  (2 ) x  3 (2 ) 2  1  y  2 x  3 5 atau y   2 x  3 5 2. Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x  2 )2  ( y  6 )2  36 yang bergradien 3 adalah : y 6 5( x2)  6  3 2  1  y  6  5 ( x  2 )  12  y  5 x  10  12  6  y  5 x  28 atau y 5x  4 2 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  40 x  300  0 yang bergradien adalah : 3 1 1 Pusat lingkaran adalah ( 20 , 0 ) dan jari-jari = 400  0  300  100  10 4 4 2 2 2  y  ( x  20 )  10    1 Info : 3 3  2 40 4 1 Jika diketahui dua buah garis g  y  x  10 3 3 9 dan l , dengan persamaan garis : 2 40 10 g ≡ y = m1 x + C1 , dan  y  x  5 3 3 3 l ≡ y = m2 x + C2 , maka : 2 40 10 1. Garis g sejajar l , jika :  y  x  5 atau 3 3 3 m1 = m2 2 40 10 2. Garis g tegaklurus l , jika : y  x  5 m1 × m2 = −1 3 3 3 5Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut : 1. x 2  y 2  196 , m = 4 6. ( x  6 ) 2  ( y  7 ) 2  50 , m = 2 2. x 2  y 2  44 , m = 11 7. x 2  y 2  10 x  6 y  15  0 ,m= 15 1 8. x 2  y 2  12 x  16 y  0 dengan m= 7 3. x 2  y 2  16 , m =  2 9. ( x  4 ) 2  ( y  14 ) 2  196 yang sejajar 4. ( x  16 ) 2  ( y  4 ) 2  49 ,m = 3 dengan garis 2 x  y  8 5. ( x  2 ) 2  ( y  1 ) 2  81 , m = 1 10. x 2  y 2  9 dan tegak lurus terhadap 4 garis x  3 y  27 C.2. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y 1 ) Pada Lingkaran . Info : Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x , y ) 1 1 pada lingkaran x 2  y 2  r 2 , adalah : Kaidah Membagi Adil : Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada x1. x  y1. y  r 2 lingkaran yang melalui titik ( x1 , y1 ). Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada Persamaan garis singgung persamaan lingkaran dengan (x,y ) 1 1 yang melalui titik (x , y ) aturan sbb : 1 1 pada lingkaran x 2 diubah menjadi x1 x y 2 diubah menjadi y1 y ( x   )2  ( y   )2  r 2 ( x − A ) 2 diubah menjadi ,adalah : (x1 − A ) ( x − A ) (y−B) 2 diubah menjadi ( x1   ) ( x   )  ( y1   ) ( y   )  r 2 (y1 − B ) ( y − B ) x diubah menjadi ½ ( x1 + x ) y diubah menjadi ½ ( y1 + y ) Persamaan garis singgung yang melalui titik (x , y ) 1 1 pada lingkaran x 2  y 2  A x  B y  C  0 , adalah : 1 1 x1 . x  y1 . y  A ( x  x1 )  B ( y  y1 )  C  0 2 2 CONTOH Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut : 1 . x 2  y 2  90 , di titik ( 9 , 3 ) 2 . ( x  4 ) 2  ( y  18 ) 2  68 di titik ( 12 , 16 ) 3. x2  y 2  14 x  2 y  42  0 di titik ( 5 , 3 ) 6Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 JAWAB 1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  90 , di titik ( 9 , 3 ) , adalah : x1. x  y1. y  90   9 x  3 y  90  (9 ) x  3 y  90  3 x  y   30 2. Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x  4 ) 2  ( y  18 ) 2  68 di titik ( 12 , 16 ) , adalah : ( x1   ) ( x   )  ( y1   ) ( y   )  68  8 x  32  2 y  36  68 (12  4 ) ( x  4 )  (16  18 ) ( y  18 )  68  8 x  2 y  64  8 ( x  4 )  2 ( y  18 )  68  4 x  y  32 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  14 x  2 y  42  0 di titik ( 5 , 3 ) , adalah : 1 1 (5 ) x  3 y  14 ( x  5)  2 ( y  3 )  42  0 2 2   5 x  3 y  7 ( x  5)  ( y  3 )  42  0  5 x  3 y  7 x  35  y  3  42  0  2 x  2y   4 C.3. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y 1 ) di Luar Lingkaran Jika titik ( x , y ) terletak di luar lingkaran, persamaan garis singgung 1 1 yang melalui titik tersebut dapat ditentukan dengan cara sbb : (x,y ) 1 1 Tentukan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ( x , y ) , yaitu : y  m ( x  x1 )  y1 1 1 Untuk menentukan nilai gradien m dari garis tersebut dapat dilakukan dengan dua macam cara, yaitu : CARA 1 : Potongkan persamaan garis dengan lingkaran , kemudian bentuklah persamaan Info : kuadrat dengan variabel x . Tentukan nilai m dengan menentukan nilai D = b 2  4 a c = 0 Persamaan Garis Lurus CARA 2 : 1 . Melalui titik dan bergradien m : Titik ( x , y ) disubstitusikan ke 1 1 dalam persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m . 2 . Melalui titik dan : Nilai m yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan garis pada langkah pertama untuk memperoleh persamaan garis singgung yang dimaksud . CONTOH Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  25 yang melalui titik ( 11 , 2 ) 7Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 JAWAB Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  25 yang melalui titik ( 11 , 2 ) Persamaan garis melalui ( 11 , 2 ) dan bergradien m , adalah : y  2  m ( x  11 )  y  m x  11m  2 Menentukan nilai gradien : CARA 1 : Dipotongkan dengan lingkaran x 2  y 2  25 , diperoleh : x 2  ( m x  11 m  2 ) 2  25  ( m 2  1 ) x 2  ( 22 m 2  4 m ) x  121 m 2  44 m  21  0 Syarat D = b 2  4 a c = 0 ( 22 m 2  4 m ) 2  4 ( m 2  1 ) ( 121 m 2  44 m  21 )  0  96 m 2  44 m  21  0  44  10000  44  100 m  192 192 44  100 56 7 44  100 144 3 m   atau m      192 192 24 192 192 4 7 3 Diperoleh : m  atau m 24 4 CARA 2 : Untuk menentukan nilai m, titik ( 11 , −2 ) disubstitusikan pada persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran x 2  y 2  25 yaitu : y  m x  5 m 2  1 Sehingga diperoleh :  2  11 m  5 m 2  1  4  44 m  121 m 2  25 m 2  25  96 m 2  44 m  21  0   2  11 m   5 m 2  1 7 3  (  2  11 m ) 2  25 ( m 2  1 ) m atau m  . 24 4 Substitusikan nilai m yang diperoleh ke dalam persamaan y  m x  11m  2 7 7 125 Untuk m diperoleh garis singgung y x 24 24 24 3 3 25 Untuk m   diperoleh garis singgung y x 4 4 4 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut : 1. x 2  y 2  65 di titik ( 7 , 4 ) 2. ( x  6 ) 2  ( y  10 ) 2  73 di titik ( 2 , 7 ) 3. ( x  8 ) 2  ( y  2 ) 2  20 di titik ( 6 , 2 ) 4. ( x  11 ) 2  ( y  7 ) 2  18 di titik ( 9 , 4 ) 5. ( x  5 ) 2  ( y  4 ) 2  32 di titik ( 1 , 8 ) 8Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1 6. x 2  y 2  6 x  18 y  50  0 di titik ( 3 , 11 ) 7. x 2  y 2  4 x  12 y  76  0 di titik ( 8 , 2 ) 8. x 2  y 2  24 x  32 y  26  0 di titik ( 8 , 20 ) 9. x 2  y 2  169 melalui titik ( 7 , 17 ) 10. x 2  y 2  80 melalui titik ( 10 , 0 ) 9Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com