1. el teorema fundamental del cálculo
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1. el teorema fundamental del cálculo 1. el teorema fundamental del cálculo Document Transcript

  • UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOINTRODUCCION: El nombre de esta notación se denomina de la letra El teorema fundamental del cálculo consiste en la griega: (Sigma mayúscula, que corresponde a afirmación de que la derivación e integración de una nuestra S de "suma"). función son operaciones inversas. La notación sigma : Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ellamisma. Este teorema es central en la rama de las matemáticasdenominado análisis matemático o cálculo. La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ."1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS DONDE: Indica una suma. DEFINICION DE AMORFA: K es el índice de la suma o variable de la sumatoria. Los números 1 y n indican sus valores extremos. Sin forma determinada. NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como (del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo, índice de suma; “i,j y k” forma; literalmente, sin forma.) Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA. pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras. 1.EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS: 2. 3. 4.1.2 NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA) 5. En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas 6. en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma, (notación sumatoria o notación sigma). 7.DEFINICION: El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos. PARA REALIZAR EN CLASE Calcule la siguientes Series: 1.CALCULO INTEGRAL Página 1
  • UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Aplicar propiedades. (4 y 7)2. Simplificar Simplificar3. PARA REALIZAR EN CLASE4. 1. 2. 3. Exprese cada suma en notación sigma: 4. 5.1.2. PROPIEDADES DE LAS SUMAS: 1. 1.3 SUMAS DE RIEMANN 2. En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su 3. nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. 4. SUMA DE RIEMANN : Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una particion de [a,b] dada por: 5. 6. =es algún numero en para i=1,2,…..,n. DONDE: = es el ancho del i-esimo subintervalo. 7. METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann: Izquierdo Derecho Evaluacion de una suma aplicando las propiedades. Medio Trapezoidal. APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANNSOLUCION: , factor constante fuera de la El área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma suma. (3) de Riemann: Escribir como dos sumas. (1)CALCULO INTEGRAL Página 2
  • UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO NOTA: -Una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones. =es algún numero en para i=1,2,…..,n. DONDE:DONDE: = es el ancho del i-esimo subintervalo. El ancho del subintervalo mas grande de la partición ∆ es la norma de la partición y se denota por medio de . Dada con , encontrar la suma Particion ordinaria de riemann para la función f en para la partición.Dada: Particion general HALLAR LA INTEGRAL DEFINIDA:SOLUCION: La solución f(x)=2x es integrable en el intervalo [- 2,1] SOLUCION: PARA REALIZAR EN CLASEDada , encontrar la suma de riemann para lafunción f en para la partición. Dada:1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDASi “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:Entonces “f “es integrable en [a,b] y el limite se denota por:CALCULO INTEGRAL Página 3 View slide
  • UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES Definicion de dos integrales definidas especiales: 1. Si f esta definida en x=a, entonces se define: PARA REALIZAR EN CLASE: Hallar la integral indefinida. 2. Si f es integrable en [a,b], entonces se define:1. 2. 3. Propiedades aditiva de intervalos: Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por “a,b y c.”LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN:Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], 4. Propiedades de las integrales definidas: si f y g sonentonces el área de la región acotada por la grafica de f del “eje x” integrables en [a,b] y k es una constante entonces lasy las rectas verticales x=a y x=b está dada por : funciones “k” y “f” y “f±g” son integrables en [a,b]: Área: , Utilizando los siguientes valores: Escribir la integral: SOLUCION: Ejemplo de áreas de figuras geométricas comunes. Dibujar la region correspondiente a cada integraldefinida. Evaluar después cada integral utilizando una formula 1.7. FUNCION PRIMITIVA (ANTIDERIVADAS)geométrica. Suponer que se decide encontrar una función f cuya derivada es :a. b. c. EJEMPLO: Rectangulo Trapezoide semicirculoCALCULO INTEGRAL Página 4 View slide
  • UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Definicion de una antiderivada o primitiva De manera informal, el teorema establece que la derivación y laSe dice que una función f es una antiderivada o primitiva de f, en integración (definida) son operaciones inversas, asi como laun intervalo I si: división y la multiplicación. Ejemplo: El teorema fundamental del calculo establece que los procesos de limite (utilizandos para definir la derivada y la integral definida).Son todas antiderivadas de: El teorema fundamental del calculo Si una funcion f es continua en el intervalo cerrado y F es una es una antiderivada de “f.” antiderivada de f en el intervalo cerrado, entonces: ecuacion diferencial derivada antiderivada 1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS. REPASO: INTEGRACION Y ANTIDERIVADADiferenciales: A lo largo de esta unidad, se ha estado utilizando es signo de integral para denotar una antiderivada o primitiva y una integral definida. Antiderivada: Integración definida: PARTES DE UNA INTEGRAL La antiderivada o primitiva de f con respecto a “x”. CALCULOS: Donde:f(x)=integrandodx=variable de integraciónC=constante de integración F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo. La integral indefinida es sinónimo de antiderivada.REGLAS BASICAS DE INTEGRACION: Integral reescribir integrar Simplificar original1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.Se ha visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculodiferencial y el cálculo integral. El teorema fue enunciado porNewton y Leibniz.CALCULO INTEGRAL Página 5
  • UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO1.10. INTEGRALES IMPROPIASEs la concideracion de un intervalo infinito de integración.Si f es continua para toda “x” x≥a, entonces:Si f es continua para toda “x” x≤b, entonces:Si f es continua para todos los valores de x, entonces:EJEMPLO:CALCULO INTEGRAL Página 6