SlideShare a Scribd company logo
1 of 45
Download to read offline
Las funciones 
2014 
SUS TIPOS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS 
RUDICEL FIGUEROA 
1ER CUATRIMESTRE - ING. EN SISTEMAS DE LA INFORMACIÓN
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO. 
Lic. En Ingeniería en sistemas de la información. 
Matemáticas. 
Docente encargado: José Antonio Ferra Cuevas. 
Alumno: Rudicel Figueroa Santiago. 
Heroica Ciudad de Juchitán de Zaragoza Oaxaca., Diciembre 7 de 2014 
Calificación: ________
Contenido 
CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS: ............................................. 4 
Ejemplo 1 ........................................................................................................................................... 5 
Ejemplo 2 ........................................................................................................................................... 5 
Ejemplo 3 ........................................................................................................................................... 7 
Dominio y rango de una función ................................................................................................. 8 
TIPOS DE FUNCIONES..................................................................................................................... 10 
Función lineal: ................................................................................................................................ 10 
Ejemplo: ........................................................................................................................................ 11 
Funciones lineales de varias variables ................................................................................... 12 
Función cuadrática: ...................................................................................................................... 12 
Ejemplo ........................................................................................................................................ 13 
Funciones polinómicas: .............................................................................................................. 14 
Función racional ............................................................................................................................ 15 
Ejemplo ....................................................................................................................................... 15 
Construcción de hipérbolas ....................................................................................................... 17 
Función exponencial .................................................................................................................... 22 
Propiedades de la función exponencial ........................................................................ 23 
Funciones logarítmicas ............................................................................................................... 24 
Propiedades de las funciones logarítmicas ................................................................ 25 
ANEXOS:.............................................................................................................................................. 27 
Ejercicios graficados de las distintas funciones. ..................................................................... 27 
Funciones Lineales ....................................................................................................................... 27 
Funciones Cuadráticas ................................................................................................................ 30 
Funciones Polinomiales de grado superior ........................................................................... 33 
Funciones Racionales .................................................................................................................. 37 
Funciones Exponenciales ........................................................................................................... 39 
Funciones Logarítmicas .............................................................................................................. 41 
CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................... 43 
BIBLIOGRAFÍA (LINKOGRAFÍA) ................................................................................................... 44
INTRODUCCIÓN 
Este documento tiene como finalidad, ayudar a su lector a tener si no una mejor comprensión de las funciones, al menos a tener una pequeña noción de las misas a través de los distintos conceptos que vienen y los ejemplos que acompañan a éstos. 
La matemática nunca ha sido una ciencia fácil, pero eso no quiere decir que sea imposible, todo es cuestión de estar determinados a enfrentarla y superarla. 
Los distintos enlaces que se muestran en la linkografía son enlaces de páginas que se dedican a dar cursos en línea. Por ello, si deseas aprender más con respecto a las funciones, puedes consultar directamente cada enlace y si lo deseas, suscribirte al curso gratuito que ofrecen estas páginas. 
Hablaremos de las funciones básicas y de sus distintas representaciones gráficas, puede parecer aburrido, pero, aunque suene muy duro, algún día tendremos que comer y nadie nos dará la “plata” para conseguir algo con qué saciar el hambre.
CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS: 
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). 
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. 
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. 
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 
1 --------> 1 
2 --------> 4 
3 --------> 9 
4 --------> 16 
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. 
La regla es entonces "elevar al cuadrado": 
1 --------> 1 
2 --------> 4 
3 --------> 9 
4 --------> 16 
x --------> x2. 
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". 
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2 . 
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. 
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. 
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. 
Ejemplo 1 
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Conjunto X Conjunto Y Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90 
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. 
Ejemplo 2 
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". 
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Conjunto X Conjunto Y Desarrollo − 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 − 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. 
Ahora podemos enunciar una definición más formal: 
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). 
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. 
Usualmente X e Y son conjuntos de números. 
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota 
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. 
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x). 
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la pre imagen del número 5. 
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. 
Ejemplo 3 
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". 
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. 
Veamos: 
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). 
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12} 
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} 
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: 
Si tenemos los conjuntos 
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} 
Podemos establecer las relaciones 
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } 
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: 
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4). 
Ejemplo 4 
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". 
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. 
Veamos: 
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y. 
Dominio y rango de una función 
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). 
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar
cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida. 
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido. 
En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada. 
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente: 
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero. 
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales. 
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. 
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función. 
Ejemplo 
Identificar dominio y rango de la función 
Veamos: 
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f. 
TIPOS DE FUNCIONES 
Función lineal: 
En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: 
Dónde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. 
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma: 
Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma: 
Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.
Ejemplo: 
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma: 
Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. 
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: 
En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2. 
En la ecuación: 
La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5. 
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
Funciones lineales de varias variables 
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma 
Representa un plano y una función 
Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional. 
Función cuadrática: 
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. 
f(x) = ax² + bx + c 
Representación gráfica de la parábola 
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 
1. Vértice 
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. 
La ecuación del eje de simetría es: 
2. Puntos de corte con el eje OX 
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: 
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 
3. Punto de corte con el eje OY 
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c) 
Ejemplo 
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 
1. Vértice 
xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1 V(2, −1) 
2. Puntos de corte con el eje OX 
x² − 4x + 3 = 0 
(3, 0) (1, 0) 
3. Punto de corte con el eje OY (0, 3)
Funciones polinómicas: 
Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio. 
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn 
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen. 
Funciones constantes 
El criterio viene dado por un número real. 
f(x)= k 
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. 
Funciones polinómica de primer grado 
f(x) = mx +n 
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Función afín. Función lineal. Función identidad. Funciones cuadráticas 
f(x) = ax² + bx +c 
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones a trozos 
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo. 
Función racional 
Las funciones racionales son del tipo: 
El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador. 
Ejemplo 
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación: 
.
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
Construcción de hipérbolas 
Las hipérbolas son las más sencillas de representar. 
Sus asítontas son los ejes 
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen. 
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación. 
1. Traslación vertical 
El centro de la hipérbola es: (0, a). 
Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3) 
Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades. 
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal 
El centro de la hipérbola es: (-b, 0). 
Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades. 
El centro de la hipérbola es: (-3, 0) 
Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0) 
3. Traslación oblicua 
El centro de la hipérbola es: (-b, a) 
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo: 
Se divide y se escribe como: 
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes. 
El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
Función exponencial 
La función exponencial es del tipo: 
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Propiedades de la función exponencial 
Dominio: . 
Recorrido: . 
Es continua. 
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. 
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). 
Creciente si a>1. 
Decreciente si a<1. 
Las curvas y=ax e y= (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.
Funciones logarítmicas 
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Propiedades de las funciones logarítmicas 
Dominio: 
Recorrido: 
Es continua. 
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. 
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). 
Creciente si a>1. 
Decreciente si a<1. 
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3ercuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
ANEXOS: 
Ejercicios graficados de las distintas funciones. 
Nota: La sintaxis está de tal forma que sea reconocible por cualquier programa. 
Funciones Lineales 
1.- y=-x+3 
2.- Y=-(x/3)+4
3.- y= -12/5 
4.- y= (8x-9)/5
5.- y=3, 2x-3 
6.- y=(5/2x)+13/4
Funciones Cuadráticas 
1.- y=x^2+6x+10 
2.- y=x^2-4x+4
3.- y=-x^2-4x-2 
4.- y= x^2-4
5.- y= -2x^2-x+6 
6.- y=x^2+2x+2
Funciones Polinomiales de grado superior 
1.- y=x^3-x 
2.- y=x^3+x^2-9x-9
3.- y=-x^3-6x^2-8x 
4.- y=-x^3+x^2+x-1
5.- y=x^3+4x^2+4x 
6.- y=x^4-3x^3-4x^2
7.- y=x^4-5x^2+4 
8.- y=x^4-16x^2
Funciones Racionales 
1.- y=(x-3)/(x-4) 
2.- y=(2x+3)/(x+2)
3.- y=(3x+7)/(x+2) 
4.- y=(x-4)/(x-5)
Funciones Exponenciales 
1.- y=2^x 
2.- y=3^x
3.- y=(1/2)^x 
4.- y=(1/3)^x
Funciones Logarítmicas 
1.- y=log(x,2) 
2.- y=log(x,3)
3.- y=log(x,1/2) 
4.- y=log(x,1/3)
CONCLUSIÓN 
Como habrás podido observar en cada uno de los diferentes temas, existen varios tipos de funciones, a las lineales se les llama así porque básicamente representan una línea recta en el plano cartesiano. 
Las funciones cuadráticas o ecuaciones cuadráticas representan una parábola que también es conocida como una especie de curva en el plano cartesiano. 
Así también los otros tipos de funciones que se hayan plasmado aquí. 
Puedes utilizar algún tipo de función para muchas cosas, no creas que las matemáticas no te van a servir de nada porque es TODO LO CONTRARIO. 
Sobre todo si decides estudiar carreras como, robótica, Ing. en sistemas, Ing. Electromecánica y otras relacionadas a la tecnología, créeme que no es nada sencillo y peor aún… LAS MATEMÁTICAS SON LA BASE DE ESTAS CARRERAS. 
Así que si no estás preparado para esto, sería bueno para ti el cambiar de carrera antes de que te puedas arrepentir.
BIBLIOGRAFÍA (LINKOGRAFÍA) 
http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Funciones_matematicas.html 
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal 
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html 
http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html 
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_polinomica.html 
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html 
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_exponencial.html 
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_logaritmica.html

More Related Content

What's hot

Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.
Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.
Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.josevicentt
 
Formulario de derivadas
Formulario de derivadasFormulario de derivadas
Formulario de derivadasAndres Mendoza
 
Diferenciales, aproximaciones y estimación de errores
Diferenciales, aproximaciones y estimación de erroresDiferenciales, aproximaciones y estimación de errores
Diferenciales, aproximaciones y estimación de erroresMonica Garcia Montes
 
Limites: problemas resueltos
Limites: problemas resueltosLimites: problemas resueltos
Limites: problemas resueltosChristiam3000
 
Ejercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadasEjercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadasHugo Pomboza
 
Ejercicios resueltos edo separables
Ejercicios resueltos edo separablesEjercicios resueltos edo separables
Ejercicios resueltos edo separablesYerikson Huz
 
Solucionario determinantes
Solucionario determinantesSolucionario determinantes
Solucionario determinantesalfonnavarro
 
Cap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable realCap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable realnivelacion008
 
Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...
Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...
Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...Demetrio Ccesa Rayme
 
Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...
Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...
Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...Andres Silva
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALESPROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALESguest79929af
 

What's hot (20)

Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.
Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.
Relaciones,Funciones y clasificación de funciones.
 
Formulario de derivación
Formulario de derivaciónFormulario de derivación
Formulario de derivación
 
Formulario de derivadas
Formulario de derivadasFormulario de derivadas
Formulario de derivadas
 
Diferenciales, aproximaciones y estimación de errores
Diferenciales, aproximaciones y estimación de erroresDiferenciales, aproximaciones y estimación de errores
Diferenciales, aproximaciones y estimación de errores
 
Limites: problemas resueltos
Limites: problemas resueltosLimites: problemas resueltos
Limites: problemas resueltos
 
Desigualdades e intervalos calculo.
Desigualdades e intervalos calculo.Desigualdades e intervalos calculo.
Desigualdades e intervalos calculo.
 
Capitulo 3 ejercicios
Capitulo 3 ejerciciosCapitulo 3 ejercicios
Capitulo 3 ejercicios
 
Ejercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadasEjercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadas
 
Ejercicios resueltos edo separables
Ejercicios resueltos edo separablesEjercicios resueltos edo separables
Ejercicios resueltos edo separables
 
Solucionario determinantes
Solucionario determinantesSolucionario determinantes
Solucionario determinantes
 
-Problemas resueltos
-Problemas resueltos-Problemas resueltos
-Problemas resueltos
 
Problemas resueltos de derivadas
Problemas resueltos de derivadasProblemas resueltos de derivadas
Problemas resueltos de derivadas
 
Cap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable realCap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable real
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 
relaciones y funciones
relaciones y funcionesrelaciones y funciones
relaciones y funciones
 
La integral definida
La integral definidaLa integral definida
La integral definida
 
Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...
Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...
Aplicaciones de los limites de funciones en problemas de la vida cotidiana cc...
 
Funciones continuas y discontinuas
Funciones continuas y discontinuasFunciones continuas y discontinuas
Funciones continuas y discontinuas
 
Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...
Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...
Funciones, dominio, recorrido, funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y f...
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALESPROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
 

Similar to Funciones matemáticas: tipos y representaciones gráficas

Similar to Funciones matemáticas: tipos y representaciones gráficas (20)

Funciones y progresiones
Funciones y progresionesFunciones y progresiones
Funciones y progresiones
 
Definicion de funcion,rango,dominio, ejemplos de funciones
Definicion de funcion,rango,dominio, ejemplos de funcionesDefinicion de funcion,rango,dominio, ejemplos de funciones
Definicion de funcion,rango,dominio, ejemplos de funciones
 
Funciones matemáticas
Funciones matemáticasFunciones matemáticas
Funciones matemáticas
 
Funciones inversas y Funciones exponenciales
Funciones inversas y Funciones exponencialesFunciones inversas y Funciones exponenciales
Funciones inversas y Funciones exponenciales
 
Funciones variables
Funciones variablesFunciones variables
Funciones variables
 
Ca2 cap01
Ca2 cap01Ca2 cap01
Ca2 cap01
 
2 1 funciones
2 1 funciones2 1 funciones
2 1 funciones
 
2 1 funciones
2 1 funciones2 1 funciones
2 1 funciones
 
Funciones.pdf
Funciones.pdfFunciones.pdf
Funciones.pdf
 
Antiderivada
AntiderivadaAntiderivada
Antiderivada
 
Calcuclo integral pasito a paso i
Calcuclo integral pasito a paso iCalcuclo integral pasito a paso i
Calcuclo integral pasito a paso i
 
2015 29-04 matematica
2015 29-04 matematica2015 29-04 matematica
2015 29-04 matematica
 
2015 29-04 matematica
2015 29-04 matematica2015 29-04 matematica
2015 29-04 matematica
 
CUADERNILLO - UNIDAD 2
CUADERNILLO - UNIDAD 2CUADERNILLO - UNIDAD 2
CUADERNILLO - UNIDAD 2
 
Ejercicios resueltos de funciones - CALCULO I
Ejercicios resueltos de funciones - CALCULO IEjercicios resueltos de funciones - CALCULO I
Ejercicios resueltos de funciones - CALCULO I
 
Problemario funciones pag 3
Problemario funciones pag 3Problemario funciones pag 3
Problemario funciones pag 3
 
funciones
 funciones funciones
funciones
 
2 1 funciones-es y graficas
2 1 funciones-es y graficas2 1 funciones-es y graficas
2 1 funciones-es y graficas
 
Gráficas y Funciones
Gráficas y FuncionesGráficas y Funciones
Gráficas y Funciones
 
2 1 funciones-es
2 1 funciones-es2 1 funciones-es
2 1 funciones-es
 

Recently uploaded

Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxRosabel UA
 
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdfTarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdfManuel Molina
 
FICHA PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADO
FICHA  PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADOFICHA  PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADO
FICHA PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADOMARIBEL DIAZ
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxYeseniaRivera50
 
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación iniciallibro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicialLorenaSanchez350426
 
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADO
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADOCUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADO
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADOEveliaHernandez8
 
Secuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docx
Secuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docxSecuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docx
Secuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docxNataliaGonzalez619348
 
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADOPLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADOMARIBEL DIAZ
 
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...YobanaZevallosSantil1
 
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIAGUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIAELIASPELAEZSARMIENTO1
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024gharce
 
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORGonella
 
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdfFisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdfcoloncopias5
 
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdfRAMON EUSTAQUIO CARO BAYONA
 
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docxIII SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docxMaritza438836
 
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...fcastellanos3
 
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docxSIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docxLudy Ventocilla Napanga
 

Recently uploaded (20)

Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
 
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdfTarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
Tarea 5_ Foro _Selección de herramientas digitales_Manuel.pdf
 
FICHA PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADO
FICHA  PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADOFICHA  PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADO
FICHA PL PACO YUNQUE.docx PRIMARIA CUARTO GRADO
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
 
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación iniciallibro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
 
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
 
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADO
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADOCUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADO
CUADERNILLO DE EJERCICIOS PARA EL TERCER TRIMESTRE, SEXTO GRADO
 
Secuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docx
Secuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docxSecuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docx
Secuencia didáctica.DOÑA CLEMENTINA.2024.docx
 
TL/CNL – 2.ª FASE .
TL/CNL – 2.ª FASE                       .TL/CNL – 2.ª FASE                       .
TL/CNL – 2.ª FASE .
 
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADOPLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
PLAN DE TUTORIA- PARA NIVEL PRIMARIA CUARTO GRADO
 
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
 
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIAGUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
GUIA DE TEXTOS EDUCATIVOS SANTILLANA PARA SECUNDARIA
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
 
DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS .
DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS         .DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS         .
DIA INTERNACIONAL DAS FLORESTAS .
 
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIORDETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
DETALLES EN EL DISEÑO DE INTERIOR
 
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdfFisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
Fisiologia.Articular. 3 Kapandji.6a.Ed.pdf
 
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
 
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docxIII SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
 
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
 
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docxSIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
SIMULACROS Y SIMULACIONES DE SISMO 2024.docx
 

Funciones matemáticas: tipos y representaciones gráficas

  • 1. Las funciones 2014 SUS TIPOS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS RUDICEL FIGUEROA 1ER CUATRIMESTRE - ING. EN SISTEMAS DE LA INFORMACIÓN
  • 2. UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO. Lic. En Ingeniería en sistemas de la información. Matemáticas. Docente encargado: José Antonio Ferra Cuevas. Alumno: Rudicel Figueroa Santiago. Heroica Ciudad de Juchitán de Zaragoza Oaxaca., Diciembre 7 de 2014 Calificación: ________
  • 3. Contenido CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS: ............................................. 4 Ejemplo 1 ........................................................................................................................................... 5 Ejemplo 2 ........................................................................................................................................... 5 Ejemplo 3 ........................................................................................................................................... 7 Dominio y rango de una función ................................................................................................. 8 TIPOS DE FUNCIONES..................................................................................................................... 10 Función lineal: ................................................................................................................................ 10 Ejemplo: ........................................................................................................................................ 11 Funciones lineales de varias variables ................................................................................... 12 Función cuadrática: ...................................................................................................................... 12 Ejemplo ........................................................................................................................................ 13 Funciones polinómicas: .............................................................................................................. 14 Función racional ............................................................................................................................ 15 Ejemplo ....................................................................................................................................... 15 Construcción de hipérbolas ....................................................................................................... 17 Función exponencial .................................................................................................................... 22 Propiedades de la función exponencial ........................................................................ 23 Funciones logarítmicas ............................................................................................................... 24 Propiedades de las funciones logarítmicas ................................................................ 25 ANEXOS:.............................................................................................................................................. 27 Ejercicios graficados de las distintas funciones. ..................................................................... 27 Funciones Lineales ....................................................................................................................... 27 Funciones Cuadráticas ................................................................................................................ 30 Funciones Polinomiales de grado superior ........................................................................... 33 Funciones Racionales .................................................................................................................. 37 Funciones Exponenciales ........................................................................................................... 39 Funciones Logarítmicas .............................................................................................................. 41 CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................... 43 BIBLIOGRAFÍA (LINKOGRAFÍA) ................................................................................................... 44
  • 4. INTRODUCCIÓN Este documento tiene como finalidad, ayudar a su lector a tener si no una mejor comprensión de las funciones, al menos a tener una pequeña noción de las misas a través de los distintos conceptos que vienen y los ejemplos que acompañan a éstos. La matemática nunca ha sido una ciencia fácil, pero eso no quiere decir que sea imposible, todo es cuestión de estar determinados a enfrentarla y superarla. Los distintos enlaces que se muestran en la linkografía son enlaces de páginas que se dedican a dar cursos en línea. Por ello, si deseas aprender más con respecto a las funciones, puedes consultar directamente cada enlace y si lo deseas, suscribirte al curso gratuito que ofrecen estas páginas. Hablaremos de las funciones básicas y de sus distintas representaciones gráficas, puede parecer aburrido, pero, aunque suene muy duro, algún día tendremos que comer y nadie nos dará la “plata” para conseguir algo con qué saciar el hambre.
  • 5. CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS: En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones:
  • 6. x --------> x2 o f(x) = x2 . Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Conjunto X Conjunto Y Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90 Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
  • 7. Conjunto X Conjunto Y Desarrollo − 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 − 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x
  • 8. Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la pre imagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12} Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
  • 9. g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4). Ejemplo 4 Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y. Dominio y rango de una función Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar
  • 10. cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida. Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido. En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada. Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente: Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero. Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales. Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función. Ejemplo Identificar dominio y rango de la función Veamos: Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
  • 11. El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f. TIPOS DE FUNCIONES Función lineal: En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: Dónde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma: Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma: Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.
  • 12. Ejemplo: Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma: Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2. En la ecuación: La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5. En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
  • 13. Funciones lineales de varias variables Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma Representa un plano y una función Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional. Función cuadrática: Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx + c Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: 2. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0
  • 14. Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c) Ejemplo Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. Vértice xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1 V(2, −1) 2. Puntos de corte con el eje OX x² − 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY (0, 3)
  • 15. Funciones polinómicas: Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen. Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Función afín. Función lineal. Función identidad. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
  • 16. Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo. Función racional Las funciones racionales son del tipo: El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador. Ejemplo Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación: .
  • 17. Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
  • 18. Construcción de hipérbolas Las hipérbolas son las más sencillas de representar. Sus asítontas son los ejes El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen. A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación. 1. Traslación vertical El centro de la hipérbola es: (0, a). Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.
  • 19. El centro de la hipérbola es: (0, 3) Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades. El centro de la hipérbola es: (0, -3)
  • 20. 2. Traslación horizontal El centro de la hipérbola es: (-b, 0). Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades. El centro de la hipérbola es: (-3, 0) Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
  • 21. El centro de la hipérbola es: (3, 0) 3. Traslación oblicua El centro de la hipérbola es: (-b, a) El centro de la hipérbola es: (3, 4).
  • 22. Para representar hipérbolas del tipo: Se divide y se escribe como: Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes. El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
  • 23. Función exponencial La función exponencial es del tipo: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
  • 24. Propiedades de la función exponencial Dominio: . Recorrido: . Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las curvas y=ax e y= (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.
  • 25. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
  • 26. Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3ercuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
  • 27.
  • 28. ANEXOS: Ejercicios graficados de las distintas funciones. Nota: La sintaxis está de tal forma que sea reconocible por cualquier programa. Funciones Lineales 1.- y=-x+3 2.- Y=-(x/3)+4
  • 29. 3.- y= -12/5 4.- y= (8x-9)/5
  • 30. 5.- y=3, 2x-3 6.- y=(5/2x)+13/4
  • 31. Funciones Cuadráticas 1.- y=x^2+6x+10 2.- y=x^2-4x+4
  • 33. 5.- y= -2x^2-x+6 6.- y=x^2+2x+2
  • 34. Funciones Polinomiales de grado superior 1.- y=x^3-x 2.- y=x^3+x^2-9x-9
  • 35. 3.- y=-x^3-6x^2-8x 4.- y=-x^3+x^2+x-1
  • 36. 5.- y=x^3+4x^2+4x 6.- y=x^4-3x^3-4x^2
  • 37. 7.- y=x^4-5x^2+4 8.- y=x^4-16x^2
  • 38. Funciones Racionales 1.- y=(x-3)/(x-4) 2.- y=(2x+3)/(x+2)
  • 39. 3.- y=(3x+7)/(x+2) 4.- y=(x-4)/(x-5)
  • 40. Funciones Exponenciales 1.- y=2^x 2.- y=3^x
  • 41. 3.- y=(1/2)^x 4.- y=(1/3)^x
  • 42. Funciones Logarítmicas 1.- y=log(x,2) 2.- y=log(x,3)
  • 43. 3.- y=log(x,1/2) 4.- y=log(x,1/3)
  • 44. CONCLUSIÓN Como habrás podido observar en cada uno de los diferentes temas, existen varios tipos de funciones, a las lineales se les llama así porque básicamente representan una línea recta en el plano cartesiano. Las funciones cuadráticas o ecuaciones cuadráticas representan una parábola que también es conocida como una especie de curva en el plano cartesiano. Así también los otros tipos de funciones que se hayan plasmado aquí. Puedes utilizar algún tipo de función para muchas cosas, no creas que las matemáticas no te van a servir de nada porque es TODO LO CONTRARIO. Sobre todo si decides estudiar carreras como, robótica, Ing. en sistemas, Ing. Electromecánica y otras relacionadas a la tecnología, créeme que no es nada sencillo y peor aún… LAS MATEMÁTICAS SON LA BASE DE ESTAS CARRERAS. Así que si no estás preparado para esto, sería bueno para ti el cambiar de carrera antes de que te puedas arrepentir.
  • 45. BIBLIOGRAFÍA (LINKOGRAFÍA) http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Funciones_matematicas.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html http://www.ditutor.com/funciones/funcion_polinomica.html http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html http://www.ditutor.com/funciones/funcion_exponencial.html http://www.ditutor.com/funciones/funcion_logaritmica.html