Your SlideShare is downloading. ×
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
γ' επαλ διαφορικος λογισμος
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

γ' επαλ διαφορικος λογισμος

10,348

Published on

Πρόκειται για μια σειρά ασκήσεων βασισμένη στο κεφάλαιο του Διαφορικού λογισμού για την Γ' τάξη Λυκείου ΕΠΑΛ. Περιλαμβάνει ασκήσεις κατανόησης, αποδεικτικές, ασκήσεις συμπλήρωσης κενών και απλές …

Πρόκειται για μια σειρά ασκήσεων βασισμένη στο κεφάλαιο του Διαφορικού λογισμού για την Γ' τάξη Λυκείου ΕΠΑΛ. Περιλαμβάνει ασκήσεις κατανόησης, αποδεικτικές, ασκήσεις συμπλήρωσης κενών και απλές υπολογιστικές ασκήσεις.

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
10,348
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
194
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Τετάρτη, 21 Νοεμβρίου 2012 Κεφάλαιο 4ο Στοιχεία Διαφορικού ΛογισμούΗ έννοια της παραγώγου ως ρυθμός μεταβολής ηΆσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά των παρακάτω προτάσεων με λέξεις ήμαθηματικά σύμβολα ώστε να δίνουν σωστό νόημα. 1. Μια συνάρτηση f λέγεται σε ένα σημείο x0 του πεδίου f ( x0 h) f ( x0 ) ορισμού της, αν υπάρχει το όριο : lim και είναι h 0 h πραγματικός αριθμός. Τότε συμβολίζουμε το όριο με και το ονομάζουμε παράγωγο της f στο x0 . 2. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχουν τα δύο πλευρικά όρια : f ( x0 h) f ( x0 ) lim και . h 0 h 3. Αν μια συνάρτηση f είναι σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε θα είναι και στο σημείο αυτό. ηΆσκηση 2 : Στις επόμενες συναρτήσεις να ελέγξετε τη συνέχεια στην τιμή του xπου αλλάζει τύπο η συνάρτηση.Στη συνέχεια να πείτε αν οι συναρτήσεις είναι και παραγωγίσιμες. 2x 2 3, x 1 2x 1, x 1α) f ( x ) β) f ( x ) 2, x 1 3+ x , 0 x 1 x2 5 , x 1 x 2 2, x 1γ) f ( x ) x 1 δ) f ( x ) . 2x+1, x 1 3, x 1Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 1
  • 2. η x 2 1, 0 x 3Άσκηση 3 : Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο f ( x ) . x 2, 3 x 5Είναι η συνάρτηση f συνεχής στα σημεία x0 1, x0 2 και στα σημείαx0 3, x0 5 ; Στη συνέχεια να πείτε αν είναι παραγωγίσιμη σε αυτά τα σημεία. ηΆσκηση 4 : Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x0 , όταν x2 1 1α) f ( x ) x 2 1 , με x0 0 , β) f ( x ) , με x0 2 και γ) f ( x ) , 2x 3 xμε x0 4. ηΆσκηση 5 : Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτωσυναρτήσεις, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό. x 2 x 1, x 0 x 2 1, x 0α) f ( x ) , x0 0 και β) f ( x ) , x0 0. x 1, x 0 x3 , x 0 ηΆσκηση 6 : Να μελετήσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία x3 , x 1x0 1,1,2 , όπου f ( x ) . 2 x2 , x 1Παράγωγος Συνάρτηση ηΆσκηση 1 : Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολαώστε να έχουν νόημα οι προτάσεις. 1. Μια συνάρτηση είναι σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν είναι σε ένα τυχαίο σημείο που ανήκει στο πεδίο ορισμού της. ηΆσκηση 2 : Να μελετήσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμεςστα αντίστοιχα σημεία. α) f ( x ) 2x 2 3x , στο x0 2 , β) g( x ) 5x 2 6 x ,στο x0 3 και γ) h( x ) x2 8x , στο x0 1.Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 2
  • 3. ηΆσκηση 3 : Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμεςστο σημείο x0 . α) f ( x ) 6 x 2 2x , β) g( x ) 2x 2 9x και γ) h( x ) 4x 2 x .Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων ηΆσκηση 1 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικώνσυναρτήσεων. α) f ( x ) 3 , β) f ( x ) x και g( x ) 3x ,γ) f ( x ) x 2 και g( x ) x3 , δ) f ( x ) 2x 2 και g( x ) 4x3 ,ε) f ( x ) ημ( x ) και g( x ) συν( x ) και στ) f ( x ) e x και g( x ) ln( x ) . ηΆσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικώνσυναρτήσεων. . α) f ( x ) x 3 , β) f ( x ) 2x 5 και g( x ) 5x x ,γ) f ( x ) x2 4 και g( x ) 2x3 1 , δ) f ( x ) x2 x και g( x ) x3 3x ,ε) f ( x ) 2ημ( x ) και g( x ) 5συν( x ) και στ) f ( x ) 4e x καιg( x ) 8ln( x ) . ηΆσκηση 3 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικώνσυναρτήσεων. . α) f ( x ) x 2 3x 2 , β) f ( x ) 2x 2 6 x 1 και g( x ) 7 x3 2x 6 , γ) f ( x ) x 2 και g( x ) x 3 1,δ) f ( x ) 4x 2 5x 2 και g( x ) x3 3x , ε) f ( x ) ημ( x ) συν( x ) καιg( x ) 2συν( x ) ημ( x ) και στ) f ( x ) 4e x ημ( x ) καιg( x ) 2ln( x ) x 2 . ηΆσκηση 4 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικώνσυναρτήσεων. α) f ( x ) 3x 2 5x 3 2x 1 , β) f ( x ) x 2 ln( x ) και 1 2 1 g( x ) , γ) f ( x ) και g( x ) x 4 , δ) f ( x ) 3x 2 5ln( x ) x x2 x3 x 2 και g( x ) x 5 3x6 , ε) f ( x ) 2ημ( x ) 5συν( x ) καιΔημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 3
  • 4. g( x ) 2συν( x ) e x ln( x ) και στ) f ( x ) 4e x 3συν( x ) 2x καιg( x ) 4ln( x ) 6 x3 x 2. ηΆσκηση 5 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικώνσυναρτήσεων. α) f ( x ) x8 5x5 4x 2 , β) f ( x ) x και 1 g( x ) 2 x , γ) f ( x ) 4 x 5e x και g( x ) 5x 3 , x2 x6δ) f ( x ) x 5x 3 2x και g( x ) , ε) f ( x ) 3ημ( x ) 7συν( x ) 2 x x4και g( x ) 9συν( x ) 6 ln( x ) και στ) f ( x ) 4e x 8ln( x ) και x2g( x ) 5ln( x ) 5 x. x6Κανόνες Παραγώγισης ηΆσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στους τύπους ώστε να είναι σωστοί.α) ( f g )(x) f (x) , β) ( f g )(x) g ( x ),γ) ( c f ) ( x ) f ( x ) , δ) ( f g ) ( x ) f (x) f(x) , f g( x ) g (x)ε) (x) και g [ g( x )] 2στ) [ g( )] g( ) f ( x ). ηΆσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων. 1. f ( x ) x2 ημ( x ) 4. g( x ) 3 συν( x ) 2. h( x ) x3 συν( x ) 5. q( x ) ημ( x2 1) x6 3. p( x ) 6. w( x ) συν( x 2 ) . ημ( x )Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 4
  • 5. Κανόνες Παραγώγισης ηΆσκηση 1 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.α) f ( x ) 2x5 7 x3 12x 2 , β) g( x ) 2ημ( x ) , γ) h( x ) συν( x ) ημ( x ) ,δ) p( x ) 3συν( x ) e x , ε) q( x ) ln( x ) 5x3 και στ) f ( x ) 8x3 5x 4 . ηΆσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.α) f ( x ) x4 ln( x ) , β) g( x ) e x x , γ) h( x ) ημ( x ) x,δ) p( x ) ημ( x ) συν( x ) και ε) q( x ) x 5 ln( x ) . ηΆσκηση 3 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων. ln( x ) ημ( x ) xα) f ( x ) , β) g( x ) , γ) h( x ) , x2 συν( x ) συν( x ) ex exδ) p( x ) και ε) q( x ) . ln( x ) x ηΆσκηση 4 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων. 1 3 1 6α) f ( x ) x 2x 2 7 , β) g( x ) x 4x 3 8x 6 , 3 5 1 8 2 3 1 3 1 2γ) h( x ) x x 8x 2 9x 5 , δ) p( x ) x x 5x 2 και 4 3 5 2 1 6ε) q( x ) x 4x 3 6 x 2 2x 1 . 8 ηΆσκηση 5 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.α) f ( x ) ln( x 2 2 ) , β) g( x ) ημ( 2x 4 ) , γ) h( x ) συν( x 2 4x 3 ) , 2δ) p( x ) e x 2 , ε) q( x ) ln[ ημ( x )] και στ) f ( x ) συν[ln( x )] .Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 5
  • 6. Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης ηΆσκηση 1 : Να υπολογίσετε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο τωνπαρακάτω συναρτήσεων. α) f ( x ) x2 2x 3 , β) g( x ) 5x 2 ,γ) h( x ) 2x3 5x 2 4x 2 , δ) p( x ) 5x5 2x4 3x 1 καιε) q( x ) x7 3x 2 . ηΆσκηση 2 : Να υπολογίσετε την πρώτη, τη δεύτερη και την τρίτη παράγωγοτων παρακάτω συναρτήσεων. α) f ( x ) x3 2x 2 3x 2 , β) g( x ) 5x 2 1 ,γ) h( x ) 8x3 5x 2 6 x 5 , δ) p( x ) 9x5 6 x4 2x 3 καιε) q( x ) 6 x7 5x 2 2x 3 .Παράγουσα Συνάρτηση ηΆσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις με λέξεις ήμαθηματικά σύμβολα ώστε να προκύπτει σωστή πρόταση. 1. Έστω μια συνάρτηση f : Δ , όπου Δ διάστημα του . Αν υπάρχει συνάρτηση F : Δ , τέτοια ώστε : , για κάθε x Δ τότε η F λέγεται συνάρτηση της f στο διάστημα Δ . 2. Δίνεται η f : Δ , όπου Δ διάστημα του και F μια της f . Τότε οποιαδήποτε άλλη παράγουσα της f είναι της μορφής , όπου c σταθερά. ηΆσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων. 1α) f ( x ) 0 , β) g( x ) 1 , γ) h( x ) xα , δ) p( x ) , xΔημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 6
  • 7. 1ε) q( x ) e x , στ) w( x ) συν( x ) , ζ) f ( x ) ημ( x ) , η) g( x ) συν 2 ( x ) 1και θ) h( x ) . ημ ( x ) 2 ηΆσκηση 3 : Να υπολογίσετε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων. 2α) f ( x ) 5 , β) g( x ) 2x , γ) h( x ) 3x 2 , δ) p( x ) , xε) q( x ) 3e x και στ) f ( x ) συν( x ) ημ( x ) .Μονοτονία Συνάρτησης ηΆσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε ναπροκύπτουν σωστά μαθηματικά συμπεράσματα.Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( α, β ) , 1. αν f ( x ) 0 , για κάθε x ( α,β ) , τότε η f είναι γνησίως στο ( α,β ) και 2. αν f ( x ) 0 , για κάθε x ( α,β ) , τότε η f είναι γνησίως στο ( α,β ) . ηΆσκηση 2 : Να εξετασθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις. 1α) f ( x ) e x , β) g( x ) , γ) h( x ) x 2 και δ) f ( x ) αx 2 βx γ . x ηΆσκηση 3 : Να βρεθούν τα διανύσματα στα οποία η συνάρτησηf ( x ) 2x3 3x 2 1 είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα. ηΆσκηση 4 : Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων.Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 7
  • 8. xα) f ( x ) x3 3x 4 , β) g( x ) 2x3 3x 2 12x και γ) h( x ) 2 . x 1 ηΆσκηση 5 : Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων. 2α) f ( x ) 2x3 4x 5 , β) g( x ) x3 2x 2 9x και γ) h( x ) 2 . x 1Ακρότατα Συνάρτησης ηΆσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε ναπροκύπτουν σωστά μαθηματικά συμπεράσματα. 1. Μια συνάρτηση f έχει τοπικό στο σημείο x x0 , αν υπάρχει ανοιχτό διάστημα ( α,β ) που περιέχει το x0 , τέτοιο ώστε f ( x ) f ( x0 ) , για κάθε x ( α,β ) . 2. Μια συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x x0 , αν υπάρχει ανοιχτό διάστημα ( α,β ) που περιέχει το x0 , τέτοιο ώστε , για κάθε x ( α,β ) . ηΆσκηση 2 : Να χαρακτηρίσετε με ένα (Σ) τις σωστές και ένα (Λ) τιςλανθασμένες προτάσεις που ακολουθούν. 1. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε η f ( x0 ) 0 . 2. Πιθανή θέση τοπικού ακρότατου συνάρτησης είναι τα άκρα των διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της f . 3. Πιθανή θέση τοπικού ακρότατου συνάρτησης είναι τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος της f . 4. Τα σημεία που αναφέρονται στο 3. ονομάζονται τριγωνικά. 5. Πιθανή θέση τοπικού ακρότατου συνάρτησης είναι τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία υπάρχει η παράγωγος της f και είναι ίση με μηδέν. 6. Τα γωνιακά και τα στάσιμα σημεία της f λέγονται κρίσιμα σημεία.Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 8
  • 9. ηΆσκηση 3 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε ναπροκύπτουν σωστά μαθηματικά συμπεράσματα.Έστω συνεχής συνάρτηση f : ( α, β ) και ένα κρίσιμο σημείο της. 1. Αν f ( x ) 0 στο ( α,x0 ) και f ( x ) 0 στο ( x0 , β ) , τότε το f ( x0 ) είναι τοπικό της f . 2. Αν f ( x ) 0 στο ( α,x0 ) και f ( x ) 0 στο ( x0 , β ) , τότε το f ( x0 ) είναι τοπικό της f . 3. Αν f ( x ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα ( α,x0 ) και ( x0 , β ) τότε το f ( x0 ) δεν είναι τοπικό και η f είναι γνησίως σε ολόκληρο το ( α,β ) . 4. Έστω συνεχής συνάρτηση f : A και x0 ένα στάσιμο σημείο της f . Αν η f είναι δύο φορές στο x0 , τότε παρουσιάζει τοπικό στο x0 αν f ( x ) 0 , ενώ παρουσιάζει τοπικό στο x0 αν f ( x ) 0 . ηΆσκηση 4 : Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ( x ) x 1 ln( x ) ως προς τημονοτονία και τα ακρότατα. ηΆσκηση 5 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τιςπαρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) x3 3x 2 3x 1 , β) g( x ) x3 3x 2και γ) h( x ) 2x3 3x2 1 . ηΆσκηση 6 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τιςπαρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) e x x και β) g( x ) x x .Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 9
  • 10. ηΆσκηση 7 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τιςπαρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) 2xln( x ) x 2 4x 3 , β) g( x ) xln( x ) 1 2 3και γ) h( x ) x 2x . 2 2Επαναληπτικές Ασκήσεις Κεφαλαίου ηΆσκηση 1 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.α) f ( x ) xln( x ) x 2 4x 3 , β) g( x ) ημ( x ) 2συν( x ) , 2xγ) h( x ) e x x , δ) p( x ) ημ( x2 2x ) ln( 3x 2 4x ) , ε) q( x ) , ex 1 2στ) w( x ) συν( x )ln( x ) και ζ) ψ( x ) x 7 x 2 3ln( x ) . 2 ηΆσκηση 2 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τιςπαρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) x 2 4x 3 , β) g( x ) x ln( x ) και 1 2 3γ) h( x ) x 2x . 2 2Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 10

×