Tema numeros complejos

  • 7,527 views
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
7,527
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
149
Comments
0
Likes
3

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. DESARROLLO DE PROCESOS ALGEBRAICOS Y CÁLCULO DEÁREAS, PERÍMETROS Y VOLÚMENESUNIDAD II.NÚMEROS COMPLEJOS Resultado de Aprendizaje: Operar números complejos en forma Binómica
  • 2. El conjunto de números Reales
  • 3.  Definición de números complejos Los números complejos expresan la suma entre un número real y un número imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a √-1 el nombre de i (de “imaginario”).
  • 4.  La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de expresar las raíces de orden par de los números negativos. Los números complejos pueden expresar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer. De esta forma, los números complejos se usan en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Gracias a su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, son utilizados con frecuencia por la electrónica y las telecomunicaciones.
  • 5.  El cuerpo de los números reales está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0). Los números complejos forman el cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R) aparece como un subcuerpo de C. Por otra parte, C forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no pueden ser ordenados, a diferencia de los números reales.
  • 6. Potencias de la unidad imaginaria  i0 = 1 i1 = i i2 = − 1 i3 = − i i4 = 1 i5 = i i6 = − 1 i7 = − i Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale unadeterminada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponentede la potencia equivalente a la dada.
  • 7. EJEMPLO: EJERCICIOS (Pág 38)Manual del estudiantes : Calcular el valor de las siguientes potencias de i.   1) i25  2) i101 3) i42
  • 8. Números complejos en forma binómica Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica . El número a se llama parte real del número complejo. El número b se llama par te imaginaria del número complejo Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi , y se dice que es un número imaginario puro.El conjunto de todos números complejos se designa por : Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados. Dos números complejos son iguales cuando t tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
  • 9. CONJUGADO DE UN COMPLEJO Sea a+bi, un numero complejo, entonces su conjugado es el complejo a-bi.En concreto para obtener el conjugado de un complejo basta cambiarle al complejo el signo de su parte imaginaria.  EJMPLOS:Hallar el conjugado de los siguientes complejos.1)     2+3i =   2-3i2)    -5-4i =  -5+4i10)  -8i =   8iEjercicio:   Hallar el conjugado de los siguientes complejos.  -3-3i =_____________   4-8i =_____________
  • 10. Representación gráfica de números complejosLos números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se l lama eje real y el Y, ejeimaginario. El número complejo a + bi serepresenta:Por el punto (a,b) , que se llama su afijo ,
  • 11. Representación gráfica de números complejos Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b)
  • 12. Representación gráfica de números complejosRecordar:Los afijos de los números reales se sitúan sobre el ejereal , X.Los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.
  • 13. Operaciones de números complejos en la forma binómicaSuma y diferencia de números complejos La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí . ( a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i ( a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + (b − d)iEjemplo: ( 5 + 2 i ) + ( − 8 + 3 i ) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i = − 7 + 7i
  • 14. Operaciones de números complejos en la forma binómica Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que : i 2 = − 1. ( a + bi ) · (c + di ) = (ac − bd) + (ad + bc) i (5+2i)·(2−3i)= =10 − 15i + 4i − 6 i 2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
  • 15. Operaciones de números complejos en la forma binómica División de números complejos El cociente de números complejos se hace racionali zando el denominador ; esto es, multiplicando numer Dividir:
  • 16. Forma polar de un complejo ¿Que es un sistema de coordenadas polares? El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.
  • 17. Coordenadas polares Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica , todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
  • 18. Localización de un punto en una coordenada polar
  • 19. Sistema de coordenadas polares con varios ángulosmedidos en grados.
  • 20. Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadaspolares.
  • 21. Forma polar de un complejo  Repasamos de nuevo:  Otra definición de coordenadas polares  Es un plano en el cual se localiza un punto fijo “0” llamado: ORIGEN o POLO, a partir del cual se dibuja un segmento de línea o recta horizontal dirigido hacia la derecha llamado: EJE POLAR.  Un punto cualquiera “P”en este plano se ubica por el par ordenado(r, θ), donde “r” es una longitud que se mide sobre el eje polar y “θ” indica el desplazamiento del eje polar.
  • 22. Circulo unitarioEn el circulo unitario se pueden apreciar los valores del seno y del coseno para los ángulos notables así como también de los ángulos equivalentes en los otros cuadrantes,. En los pares indicados, la primera componente es el valor del coseno y la segunda componente el valor del seno para cada valor expresado tanto en radianes como en grados.
  • 23. Ejercicios de aplicación pág. .45
  • 24. CONVERSIÓN DE LA FORMA RECTANGULARA POLAR Y VICEVERSA. Consideremos el siguiente diagrama Es la representación simultanea del punto P, tanto en el plano cartesiano (x, y), como en el plano polar (r, θ).A partir del gráfico podemos obtener la relación de ambos sistemas de coordenadas. Al observar el grafico, podemos expresar que: 
  • 25. Ejemplo: Convertir (2,5) a forma polarDesarrolle el siguiente ejercicio convirtiendo a forma polar :   ( -3,4 )
  • 26. Luego (-3,4) equivale a   (5,126.870)
  • 27. Tu turno … Convertir las siguientes coordenadas polares a su equivalente rectangular.2. (2,2π/3)3. (10,5/4π)4. (9,-π/3)
  • 28. Solución … Para hallar “ y” Sen α = cat. op.                  Hip. Sen α =    y                y =  r sen α                  r                                    y =  2 sen 60º x                                    y =  1.73    2 Para hallar “x” y Cos α = cat. Ady. 120º                  Hip. 60º Cos α =    x                x =  r cos α                  r                                    x =  2 cos 60º                                    x =  1  Ojo: como el punto en x esta en el  cuadrante II,  por lo tanto es negativo (2,2π / 3) = (−1,1.73)
  • 29. Solución …
  • 30. Conversión de un complejo aPolar
  • 31. óMdulo de un com … plejo
  • 32. Ejemplo:
  • 33. Cómo expresar el complejo en su equivalente polar … Así sea, z=a+bi un complejo cualquiera, se puede entonces expresar el complejo z en su equivalente polar de la siguiente manera:  Si x = r cos θ, y= r sen θ Luego, z = a+bi z = rcosθ + rsenθi z = r(cosθ + isenθ) forma polar de un complejo Luego también se puede expresar así: Z= a+bi = rcisθ = rθ=reiθ
  • 34. Ejercicio …Para los siguientes complejos en forma estándar, o rectangular  a su forma polar equivalente. a)    z1=8-2i                    b)  z2=6+5i                   c)  z3=-2+4i z1=8+ 2i z1=8 - 2i
  • 35. Números complejos en su forma polar a su equivalente en forma estándar o rectangular a)z1=10cis1200 b)z2 =15 ‹ 2250 c)z3=36e-π/3i Solución a) z1=10cis1200Ir al circulo unitario y encontrar el equivalente de 120ºYa recordaste que 120º = 2/3 π = (-1/2, √3/2)Entonces sustituye =Z1= 10 ( cos 120º+isen120»)= 10(-1/2+ √3/2)z1?= -5 + 8.66 i
  • 36.  Tu turno  Continua ….