Your SlideShare is downloading. ×
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Trigonometri "peta konsep dan LKS"
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Trigonometri "peta konsep dan LKS"

11,954

Published on

Pembelajaran Trigonometri dengan peta konsep beserta Lembar kerja siswa

Pembelajaran Trigonometri dengan peta konsep beserta Lembar kerja siswa

Published in: Education
0 Comments
7 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
11,954
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
575
Comments
0
Likes
7
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I “trigonometri” Oleh ` Dia Marsella (06101408004) Nurjannah Komariah (06101408019) R.A. Muslimah (06101408020) Marhamah Fajriyah N (06101408033) TAHUN AJARAN 2012-2013 UNIVERSITAS SRIWIJAYA KATA PENGANTARTRIGONOMETRI 1
  • 2. Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena limpahan rahmat dankarunia-Nya, kami dapat menyelesaikan tugas Statistika Dasar yang berjudul“Trigonometri” ini. Kami menyadari bahwa dalam pembuatan tugas ini tidak lepas dari bantuanberbagai pihak dan yang utama Allah SWT, untuk itu kami menghaturkan terima kasihyang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatanmakalah ini. Kami juga menyadari bahwa dalam pembuatan tugas ini masih jauh darikesempurnaan baik dari isi materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, kamitelah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga tugasini dapat selesai dengan tepat waktu. Oleh karena itu, kami dengan kerendahan hati akanmenerima masukan dan usul yang bermanfaat untuk penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruhpembaca. Palembang, 22 Desember 2011 Hormat Kami DAFTAR ISI KATA PENGANTAR 1 DAFTAR ISI 2TRIGONOMETRI 2
  • 3. Trigonometri 4 A.Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku 4-7 B. Aplikasi Trigonometri 7 B.1 Aturan Sinus 7 - 10 B.2 Aturan Kosinus 11 -14 B.3 Luas Segitiga 14 - 15 B.4 Koordinat Kutub 15 - 16 C. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Khusus 17 C.1 Sudut 30°, 45°, dan 60° menggunakan segitiga 17 - 18 siku-siku atau segitiga samakaki C.2 Sudut 0° dan 90° menggunakan koordinat kartesius 18 - 19 C.3 Nilai Trigonometri Sudut di berbagai Kuadran 19 - 23 D. Grafik dan Fungsi Trigonometri 24 - 25 D.1 Grafik y = sin x , 0 ≤ x ≤ 360o 25 - 26 D.2 Grafik y = cos x , 0 ≤ x ≤ 360o 26 D.3 Grafik y = tan x, 0 ≤ x ≤ 360o 27 D.4 Grafik fungsi y = b +a (sin/ cos/ tan) kx 27 - 28 E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri 29 E.1 Persamaan trigonometri 29 E.1.1 Persamaan trigonometri sederhana 29 - 30 E.1.2 Persamaan Trigonometri Kompleks 31 - 32TRIGONOMETRI 3
  • 4. E. 2 Pertidaksamaan Trigonometri 32 - 35 F. Identitas Trigonometri 35 - 37 G. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut 37 G.1 Sin (α ± β) 37 - 38 G.2 Cos (α ± β) 38 - 39 G.3 Tan (α ± β ) 40 - 42 G.4 Rumus –rumus Sudut Ganda 43 - 45 G.5 Rumus Sudut Paruh 45 - 47 G.6 Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri 47 - 49 G.7 Rumus Jumlah dan Selisih Sin dan Cos Fungsi Trigonometri 49 - 50 Daftar Pustaka 51TRIGONOMETRI 4
  • 5. TRIGONOMETRI 5
  • 6. TRIGONOMETRI 6
  • 7. TRIGONOMETRIA.Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-SikuA = Besar sudut A • Sinus Perbandingan sisi Δ : Δ = = = = = = = Sin • Kosinus Perbandingan sisi Δ : Δ = = =TRIGONOMETRI 7
  • 8. = = = = Cos • Tangen Perbandingan sisi Δ : Δ = = = = = = = Tan Selain perbandingan di atas, terdapat pula perbandingan trigonometri yang lain yang merupakan kebalikan dari sinus, kosinus, dan tangen yaitu : • Cosec = • sec = Jembatan Keledai Sin = Cos = • Cotan = T Tan =Contoh Soal :Sebuah segitiga siku-siku ABC , seperti yang terlihat di gambar : ATRIGONOMETRI 8
  • 9. B Cmemiliki panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm. Hitung Sin , Cos , dan Tan ,Bila adalah besar sudut C.Jawab : AC = = = = =5 Sin = Cos = Tan =LATIHAN SOAL1. Tentukan nilai sin A, cos A, dan tan A pada setiap segitiga berikut ini: a. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 5 cm, CB= 12 cm, dan AB= 13 cm. b. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 4 cm, CB= 3 cm, dan AB= 5 cm. c. Segitiga ABC siku-siku di B, jarak AC= 17 cm, CB= 8 cm, dan AB= 15 cm. d. Segitiga ABC siku-siku di C, jarak AC= 40 cm, CB= 9 cm, dan AB= 41 cm.2. Gunakan theorema phytagoras untuk menentukan panjang sisi yang belum diketahui, kemudian tentukan nilai sinus, kosinus, dan tangent sudut P dan Q segitiga berikut ini:TRIGONOMETRI 9
  • 10. a. Segitiga PQR siku-siku di Q, jarak PQ= 6 cm, RQ= 8 cm. b. Segitiga PQR siku-siku di Q, jarak PR= 3 cm, RQ= 1 cm. c. Segitiga PQR siku-siku di R, jarak PQ= 61 cm, RQ= 60 cm. d. Segitiga PQR siku-siku di R, jarak PR= 3 cm, PQ= cm3. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku cos A = . Jika panjang sisi AB=10 cm, tentukan panjang siisi AB dan BC.4. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A . Jika panjang sisi AB = cm, tentukan panjang sisi AC dan BC.5. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku sin A . Tentukan nilai cos A dan tan A.6. Pada segitiga ABC yang siku-siku di B berlaku tan A = . Tentukan nilai sin A dan cos A.7. Pada segitiga PQR yang siku-siku di Q berlaku sin P = . Tentukan nilai sin R.8. Pada segitiga PQR yang siku-siku di R berlaku cos P = . Tentukan nilai tan P dan tan Q.9. diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi PQ = 20 cm, QR= 16 cm, dan PR = 24 cm seperti terlihat pada gambar. Hitunglah cos Q dan tan R! R P Q10. Tentukan nilai trigonometri dalam sudut-sudut radian berikut. a. Sin ᴨ b. Cos ᴨ c. Tan ᴨ d. Cos ᴨTRIGONOMETRI 10
  • 11. 11. Sebuah segitiga siku siku, seperti pada gambar :CB A merupakan besar sudut A, AC = 15 cm dan BC = 12 cmHitunglah : Sin , Cos , Tan , Sec , Cosec , Cotan !B. Aplikasi Trigonometri B.1 Aturan Sinus Kita telah mempelajari dan mengetahui cara menghitung unsurS-unsur yang adapada segitiga siku-siku. Pada pembelajran berikut ini, kita akan membahas tentang aturansinus pada segitiga sembarang. Misalkan segitiga ABC, dengan panjang AC = 4, < A = 30o, dan < B = 70o. Kitaakan mencari panjang sisi BC. Tentu kita kita tidak dapat menghitung panjang BC secaralangsung dengan perbandingan trigonometri karena segitiga ABC bukan segitiga siku-siku. Untuk itu kita bagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku, yaitu denganmenarik garis tinggi CD.Pada Segitiga siku-siku ACD berlaku :TRIGONOMETRI 11
  • 12. Atau CD = (4) CD = 2Pada Segitiga siku-siku BCD berlaku : Atau Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah di atas, pada segitiga sembarang kitagunakan aturan sinus. Perhatikan Gambar berikut : Pada gambar tersebut, segitiga ABC yang ada adalah segitiga lancip dan tumpul.Pada masing-masing segitiga dibuat garis tinggi CD yang panjangnya h. < CAD = 180o – A dan sin < CAD = sin (180o – A ) = sin A. Untuk kedua segitiga kita dapatkan: atau h = b sin A Dan atau h = a sin BTRIGONOMETRI 12
  • 13. Sehingga a sin B = b sin ADengan membagi kedua ruas dengan sin A sin B diperoleh :Dengan menarik garis tinggi melalui titik A dan dengan cara yang sama diperoleh :Gabungan dari kedua persamaan di atas kita peroleh aturan sinus berikut ini yaitu : Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a a,b, dan c berlaku :Contoh Soal :Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC jika A = 30o , B = 70o , dan a = 4 .Penyelesaian : Sketsa segitiga ABC, dengan menentukan sudut C dengan mudah ditentukan, yaituC = 180o – A – B = 180o – 30o – 70o = 80o .Untuk mencari b, kita gunakan pasangan pertama dan kedua dalan aturan sinus, yaitu :AtauTRIGONOMETRI 13
  • 14. Kita gunakan aturan sinus sekali lagi untuk mencari c,AtauJadi, C = 80o , b = 7,52 , dan c = 7,88 .Latihan Soal :1. Tentukan unsur-unsur segitiga ABC jika diketahui hal berikut ini ? a. A = 110o , C = 20o , b = 6 b. C = 70,5 , b = 30,7 , B = 28,97o c. A = 12 , b = 5 , B = 24o d. a+b+c = 100 , A = 42o , B = 106o e. a+b = 40, C = 68o , A = 75o2. A dan B merupakan 2 titik yang terletak pada tepian sungai yang lurus dengan jarak Ake B adalah 50 m . Titik C terletak pada tepian lain sehingga <CAB = 43o dan <CBA = 71o. Tentukan jarak titik C ke A , jarak titik C ke B, dan lebar sungai ?B.2 Aturan Kosinus Misalkan dketahui Segitiga ABC seperti gambar (a) dibawah ini, dapatkah kitamenghitung besarnya A dengan aturan sinus yang telah kita pelajari sebelumnya? danpada gambar (b) , Dapatkah kita menghitung panjang sisi a dengan aturan sinus yang telahkita pelajari sebelumnya?TRIGONOMETRI 14
  • 15. Ternyata kita tidak dapat menggunakan aturan sinus secara langsung untukmenjawab kedua masalah diatas, sehingga kita perlu aturan lain yang disebut aturankosinus.Perhatikan Segitiga ABC ini :Dari titik C kita tarik garis tinggi CD sehingga diperoleh segitiga siku-siku ADC dansegitiga siku-siku BDC. Berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-sikuADC, maka diperoleh : atau AD = AC x cos A = b cos ASelain itu, berdasarkan teorema Phytagoras, berlaku : DC2 = AC2 – AD2 = b2 –( b cos A )2 = b2 – b2 cos 2 APada Segitiga siku-siku ABC berlaku : BC2 = DC2 + BD2 = b2 – b2 cos2 A + ( BA-AD )2 = b2 – b2 cos2 A + ( c-b cos A)2 = b2 – b2 cos2 A + c2 – 2 bc cos A + b2 cos2 A a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ATRIGONOMETRI 15
  • 16. Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus : b2 = a2 + c2 – 2ac cos A c2 = a2 + b2 – 2ab cos CSehingga kita peroleh aturan kosinus berikut ini : Pada Segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A,B, dan C sera sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a,b, dan c berlaku : a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos A c2 = a2 + b2 – 2ab cos CContoh Soal :Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika c = 10, b = 40 , dan A = 120o .Penyelesaian :Dengan aturan Kosinus , a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A = 402 + 102 – 2(40) (10) cos 120o = 1600 + 100 – 800 (-0,5) = 2100 a = 45,825 .Meskipun B dan C dapat dicari dengan aturan kosinus, tetapi lebih mudah jika kitagunakan aturan sinus . Untuk C kita cari dengan rumus , sehinggaTRIGONOMETRI 16
  • 17. Jadi, C = 10,89o ( sudut C harus lancip karena A sudut tumpul ). Selanjutnya B = 180o – A– C = 180o – 120o – 10,89o = 49,11o.Latihan Soal :1. Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC, jika diberikan databerikut ini ? a. a = 10, c = 15 , B = 120o b. a = 20 , b = 40, C = 28o c. b = 7, c = 13, A = 135o d. a = 7, b = 4, c = 1 e. a = 15, b = 8, c =16 f. a = 7, b = 8, c = 9 g. a = 10, c = 9, B = 62o h. a = 5, b = 7, c = 9 i. a = 2, c = 3, B = 60o j. b = 5, c = 8, A = 40o2. Sisi –sisi pada segitiga ABC berbanding sebagai 6:5:4 . Tentukan kosinus sudut yangterbesar dari segitiga tersebut ? B.3 Luas Segitiga Kita mengetahui bahwa luas segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus½ x a x t . Selanjutnya dari rumus tersebut kita kan menurunkan rumus untuk menghitungluas segitiga dengan menggunakan perbandingan trigonometri. Perhatikan Segitiga lancipABC di bawah ini.TRIGONOMETRI 17
  • 18. Luas Sigitiga ABC tersebut dapat ditulis sebagaiPada Segitiga siku-siku ADC berlaku atau t = b sin A, sehinggaluas segitiga ABC menjadi .Pada segitiga siku-siku BDC berlaku atau t = a sin B , sehinggaLuas segitiga ABC menjadiSelanjutnya dari aturan sinus pada segitiga ABC, yaitu atau maka persamaan terakhir menjadiDari hasil di atas, kita peroleh rumus luas segitiga sebagai berikut : Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya A,B dan C serta sisi-sisi di hadapan sudut tersebut berturut- t turut adalah a, b, dan c, maka berlaku :Contoh Soal :Diketahui segitiga ABC dengan a = 10, b = 8, dan C = 60o. Tentukan luas segitiga ABCtersebut ?Penyelesaian :Dari rumus L = ½ ab sin C , diperoleh :Latihan Soal :1. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui data berikut ini ?TRIGONOMETRI 18
  • 19. a. a = 5, b = 7, A = 45o b. a = 5, A = 60o, C = 45o c. b = 6, c = 8, A = 20o d. a = 25, b = 12, A = 120o e. a = 7, b =8, c = 9 f. a = 10, b = 12, c = 142. Diketahui luas segitiga ABC adalah 5/2 √15 cm2. Misalnya panjang sisi AC = 5 cm, AB = 4 cm, dan <BAC lancip. Tentukan panjang BC ?3. Panjang sisi jajargenjang adalah 8 cm dan 13 cm, serta salah satu sudutnya 120o.Tentukan luas jajargenjang tersebut ?4. Diketahui segi empat ABCD dengan <A = 90o, AB = 12 cm, AD = 6√2 cm, CD = 18cm, dan <BDC = 45o. Tentukan Luas segi empat tersebut ?B.4 Koordinat Kutub • Kordinat kartesius suatu titik Koordinat kartesius dari titik A dinyatakan sebagai titik A(x,y) di mana x disebutabsis yaitu jarak A ke sumbu y dan y disebut ordinat yaitu jarak A ke sumbu x. • Koordinat kutub suatu titik Koordinat kutub suatu titik A dinyatakan sebagai A (r, αo). Dimana: r : OA = jarak A ke titik O (0,0) αo = sudut yang dibentuk antara OA dengan sumbu x positif.TRIGONOMETRI 19
  • 20. • Hubungan koordinat kutub dan koordinat kartesius a. Mengubah koordinat kartesius menjadi koordinat kutub P (x,y) = P (r,αo) r = √x2 + y2 tan α = y /x b. Mengubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius P (r, αo) = P (x,y) x = r cos α y = r sin αC. Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Khusus Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut yang nilai perbandingantrigonmetrinya dapat ditentukan secara eksak (tepat). Beberapa sudut khusus antara lain0°, 30°, 45°, 60° dan 90°. Ada beberapa macam cara untuk menentukan besar sudutkhusus, antara lain:C.1 Sudut 30°, 45°, dan 60° menggunakan segitiga siku-siku atau segitiga samakakiTRIGONOMETRI 20
  • 21. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30°, 45°, atau 60° dihitung denganmemperhatikan segitiga khusus yakni segitiga sama sisi atau segitiga siku-siku samakaki. A c b cB a C a D Gambar diatas menunjukkan segitiga ABC siku-siku di C, dengan sudut BAC =30° dan sudut ABC = 60°. Apabila segitiga ABC dicerminkan terhadap sisi AC, makadiperoleh segitiga ACD. Gabungan segitiga ABC dan segitiga ACD, yaitu segitiga ABDmerupakan segitiga sama sisi denganc =2a. berdasarkan dalil phytagoras, dalam segitigaABC berlaku: c² = a² + b² (2a) ² = a² + b² b² = 3a² b =aDengan demikian, dapat diperoleh nilai perbandingan trigonometri sebagau berikut: Sin = = sin 30° = =TRIGONOMETRI 21
  • 22.  Cos = = cos 30° = = Tan = = cos 30° = = Sin 60° = = Cos 60° = = Tan 60° = = =C.2 Sudut 0° dan 90° menggunakan koordinat kartesius Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0° dan 90° dihitung denganmemperhatikan perbandingan trigonometri dalam koordinat kartesius.YO P(a,0) X Agar sudut XOP = 0°, maka titik P terletak di sumbu X positif. Misalkan koordinattitik P adalah (a, 0). Maka x = a, y = 0, r = =asin 0° = = = 0 cos 0° = = = 1tan 0° = = = 0 (coba hitunglah nilai cot 0°, sec 0°, dan csc 0°) YP(0,b) O XTRIGONOMETRI 22
  • 23. Agar sudut XOP = 90°, maka titik P terletak di sumbu Y positif. Misalkankoordinat titik P adalah (0, b). maka x = 0, y = b dan r = bSin 90° = = = 1Cos 90° = = = 0Tan 90° = = = undefined / ta terdefinisi(cobalah hitung nilai cot 90°, sec 90°, dan csc 90°) Dari uraian diatas, kita memperoleh nilai perbandingan trigonometri sudut-sudutkhusu yang dapat dilihat dalam table berikut. α 0° 30° 45° 60° 90° Sin α 0 1 Cos α 1 0 Tan α 0 1 Tak terdefinisiC.3 Nilai trigonometri sudut di berbagai kuadran Y Kuadran II Kuadran I O X Kuadran III Kuadran IVBidang koordinat XOY dibagi menjadi empat kuadran adalah sebagai berikut.TRIGONOMETRI 23
  • 24.  Kuadran I : 0° < α ≤ 90°  Kuadran II : 90° < α ≤ 180°  Kuadran III : 180° < α ≤ 270°  Kuadran IV : 270° < α ≤ 360° Kuadran Pertama: Segitiga OPP’ siku-siku di P’. Y P(x,y) r y O x P’ X r² = x² + y² cos α = tan α = sin α = Kuadran kedua: Segitiga OPP’ siku-siku di P’ Sin (180° – α) = = sin α P 180° - α (x,y) Cos (180° – α) = = - cos α y r Tan (180° – α) = = -tan α P’ -x O XTRIGONOMETRI 24
  • 25. Kuadran ketiga: Y Segitiga OPP’ siku-siku di P’ (x,y) Sin (180° + α) = = -sin α 180° + α Cos (180° + α) = = -cos α P’ O X Tan (180° + α) = = tan α -y r P Kuadran keempat: (x,y) Sin (360° - α) = = - sin α 360° - α Cos (360° - α) = = cos α O P’ X Tan (360° - α) = = - tan α r -y P Jembatan Keledai Semua sindikat tangan kosong (dikuadran pertama semua +, kuadran kedua sin (+), kuadran ketiga tan (+), dan kuadran keempat Contoh Soal1. Jika P(-5,12) dan sudut XOP = α, maka tentukan nilai dari sin α, cos α, dan tan α Jawab: Y rTRIGONOMETRI 25
  • 26. X Sin α = = Cos α = = Tan α = = Latihan Soal1. Diketahui sin α = dan α berada di kuadran II. Tentukan nilai cos α dan tan α.2. Tentukan nilai sin α, cos α, dan tan α jika α = sudut XOP dan: a. P (8,6) b. P (-3,-4) c. P (-8,15) d. P (12, -5)3. Tentukan nilai perbandingan trigonometri utama yang lain jika : a. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran I,TRIGONOMETRI 26
  • 27. b. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran III, c. Sin α = dan sudut α terletak di kuadran IV, d. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran II.4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut ini positif atau negative! a. Sin 140° e. tan 208° i. cos b. Cos 240° f. sin 215° j. cos c. Tan 120° g. sin k. tan d. Cos 113° h. tan l. sin5. Tentukan nilai sin α, cos α, dan tan α jika α = sudut XOP. Nyatakan jawabanya dalam bentuk akar yang paling sederhana! a. P (1,1) d. P (-3, -1) b. P (-2 , -2) E. P (-1, c. P (-3,3)6. Tentukan nilai perbandingan trigonometri utama yang lain jika: a. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran I, b. Tan α = dan sudut α terletak di kuadran II, c. Tan α = -2 dan sudut α terletak di kuadran II, d. Sin α = dan sudut α terletak di kuadram III, e. Cos α = dan sudut α terletak di kuadran III.TRIGONOMETRI 27
  • 28. 7. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut positif atau negative! a. Cos 640° b. Sin 820° c. Tan 520° d. Cos 714° e. Tan 910° f. Sin 1.089°8. Tentukan letak sudut β jika: a. Sin β dan cos β bernilai negatif b. Sin β bernilai negatif dan cos β bernilai positif c. Sin β dan tan β bernilai negatif d. Cos β dan tan β bernilai tanda9. Diketahui tan α = dan α berada dikuadran III. Tentukan nilai sin α dan cos α.10. Cocokkan trigonometri sudut berikut dengan hasil yang ada di sampingnya Sin (-150°) 1 Cos 135° Tan 225° Cos 300° Sin 330° Cos 450° 0 Tan 660° - Sin 870° - Sin(-45°) - Cos (-135°) - Tan (-390°) - 1 Sin (-1.260°) -D. Fungsi Trigonometri dan Grafik Fungsi TrigonometriTRIGONOMETRI 28
  • 29. D.1 Fungsi Trigonometri Fungsi Trigonometri adalah fungsi-fungsi yang berhubungan dengan ilmutrigonometri, yaitu antara lain : sin(sudut), mencari nilai sinus sebuah sudut cos(sudut), mencari nilai cosinus sebuah sudut tan(sudut), mencari nilai tangen sebuah sudutBentuk umum fungsi trigonometri adalah f(x)= sin x, f(x)= cos x, dan f(x)= tan xContoh soal : 1. Jika f (x) = siin x tentukan : a. f( )= b. f( )= Jawab : a. f( )= b. f( )= 2. Jika f(x) = cos x tentukan f( ) Jawab : F( )= 1 3. Diketahui sin α = berapakah sin α cos α – 3 cot(90 + α) Jawab : 1 Sin α cos α- 3 cot α (90 + α) Sin α cos α + 3 tan α = ( + + (3 x x ) =TRIGONOMETRI 29
  • 30. Latihan Soal : 1. Tentukan nilai dari f( , jika f(x)=tan x Tentukan nilai dari Berdasarkan definisi dari trigonometri dan rumus-rumus trigonometri yang berelasi dapat digambarkan beberapa grafik yaitu: A. y = sin x B. y = cos x C. y = tan x Pada pembahasan kali ini untuk memudahkan kita dalam menggambarkan grafik kita menggunakan lingkaran satuan dengan menggunakan sudut-sudut istemawa yang ada pada lingkaran yaitu antara – D.2 Grafik y = sin x , 0 ≤ x ≤ 360o Langkah langkah membuat gafik fungsi y = sin x antara lain: 1. Buatlah table yang berisikan nilai sudut-sudut istimewax 0 Π 2Sin x 0 1 0 - - - - - - 0 1 2. Buat lingkaran satuan dengan sebuah sumbu koordinat dengan abisisnya X dimana r = 1 dan untuk setiap sudut X , sin x = = = y TRIGONOMETRI 30
  • 31. 3. Buat titik-titik pada sumbu x berdasarkan nilai sudut-sudut istimewa nya seperti yang ada pada table. 4. Buatlah titik-titik ujung jari-jari berdasarkan sudut istimewanya. 5. Jika sepanjang sumbu X diletakkan nilai-nilai sudut istimewa padainterval 0 ≤ x≤ 2π kemudian dibuat garis-garis vertikal sejajar sumbu-Y kemudian dibuat garis-garis vertikal sejajar sumbu-Ydiperoleh hasil sebagai berikut 6. Dengan menentukan titik-titik potong antara garis-garis pada langkah1) dan langkah 2) yang bersesuaian, dan melalui titik-titik tersebutdilukis kurva mulus, diperoleh grafik fungsi sinus pada interval[0, 2π] Contoh Gambar grafik Fungsi y = sin x dengan lingkaran satuan D.3 Grafik y = cos x , 0 ≤ x ≤ 360o 1. Buatlah table yang berisikan sudut – sudut istimewax 0 π 2Cos x 1 0 - - - - - 0 1 1 2. Langkah-langkah selanjutnya sama seperti langkah membuat table y = sin x Contoh gambar grafik fungsi y = cos x menggunakan lingkaran satuan. TRIGONOMETRI 31
  • 32. D.4 Grafik y= tan x, 0 ≤ x ≤ 360o 1. Buatlah table yang berisikan sudut-sudut istimewa tan xx 0 π 2Tan x 0 1 ~ -1 0 - 1 - - 0 2. Langkah-langkah selanjutnya sama seperti pada y = sin x Contoh gambar y = tan x menggunakan lingkran satuan. D. 5 Grafik fungsi y = b +a (sin/ cos/ tan) kx Langkah-langkah membuat grafik : 1. Tentukan nilai max dan min dari fungsi di atas, dengan rumus : TRIGONOMETRI 32
  • 33. Max = b + ӀaӀ Min = b – ӀaӀ 2. Tentukan nilai 1 perioda dari fuungsi di atas, dengan rumus : 1 perioda = 3. Buat grafik sumbu x dan ya. Pada sumbu x dibagi menjadi beberapa titik dan setiap titik di tuliskan angka-angka sudut istimewa sedangkan pada sumbu y dituliskan nilai max dan min. 4. Setiap titik yang di isikan sudut istimewa pada sumbu x dimasukkan nilai dari sudut istimewa tersebut setelah itu akan di dapatka titik-titik dari nilai sudut, kemudian titik tersebut kita hubungkan menjadi maka akan terbentuklah sebuah grafik,Contoh Soal: 1. Lukislah grafik y = sin x pada interval Jawab : 2. Gambarlah grafik fungsi y = cos x pada interval ≤x≤ Jawab :TRIGONOMETRI 33
  • 34. 3. Gambarlah grafik dengan y = 2 + sin 3x pada interval Jawab : Latihan Soal : 1. Lukislah setiap grafik fungsi pada interval –π ≤ x ≤ π a. y = sec θ b. y = tan θ 2. Lukislah grafik dengan interval 0 ≤ θ ≤ 2π a. Y = cot θ b. Y = sec θ c. Y = cosec θ 3. Lukislah grafik dengan y = tan x pada interval - 4. Lukislah grafik cos x dengan y = 4 – cos 5xTRIGONOMETRI 34
  • 35. E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri E.1 Persamaan trigonometri Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsitrigonometri. Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah : a. sin x = sin α, maka = α + k. 360 = (180 - α) + k. 360 b. cos x = cos α, maka = ±α + k. 360 c. tan x = tan α, maka x = α + k. 180E.1.1 Persamaan trigonometri sederhana Persamaan trigonometri sederhana adalah persamaan trigonometri yang nilainyamempunyai batasan nilai atau rentang nilai.Contoh :Tentukan nilai x dari persamaan sin x = , 0 x 360°Jawab : • Dengan menggunakan aljabar sin x = sin x = sin α sin x = sin 30 = α + k. 360 Untuk k = 0 makaTRIGONOMETRI 35
  • 36. = 15 + 0. 360 = 15 = (180 - α) + k. 360 Untuk k = 0 maka = (180 - α) + k. 360 = (180 - 30) + k. 360 = 150 HP = { 15, 150} • Menggunakan grafik trigonometri Gambar grafik y = sin x, adalah Dari gambar dapat di lihat bahwa yang memenuhi sin x = adalah dan atau sama dengan 15 dan 150. Jadi HP= { 15,150}E.1.2 Persamaan Trigonometri Kompleks Persamaan trigonometri kompleks adalah persamaan trigonometri yang nilainyamempunyai batasan nilai atau rentang nilai.Contoh:Tentukan nilai x dari persamaan Sin x = , x RJawab :TRIGONOMETRI 36
  • 37. Gambar grafik fungsi y = sin x untuk x R adalah Jadi himpunan penyelesaiannya tak terhingga karena kurva bisa di perpanjang.Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah semua anggota x yang dilewati .Latihan SoalTentukan penyelasaian persamaan di bawah ini untuk 0 360 1. 2 cos 2x = 1 2. Sin x = 1 3. 2 sin x = 4. Cos x = - 5. Sin 2x = 6. Cos x = 7. Tan x = 1 8. Tan 2x = 9. 2cos x + =0 10. tan x + 1 = 0 11.TRIGONOMETRI 37
  • 38. 12. sin² x + 3 sin x + 2 = 0 13. cos 2x = cos x 14. 15.Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 2 1. 2. 3. 4. Sin 2x = sin x 5. Sin x =cos x 6. 7. Tan x = cot 20° 8. 9. 10. Sec x = csc xE. 2 Pertidaksamaan Trigonometri Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan 2 cara,yaitu:1.Cara aljabar2. Dengan trigonometri/grafikContoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari sin 2x < , 0 x < 180Jawab :TRIGONOMETRI 38
  • 39. 1. Cara aljabar Pembuat nol Sin 2x = Sin 2x = sin 30 2x = α + k. 360 2x = 30 + k.360 x = 15 + k.180 untuk k = 0 x = 15 2x = (180 - α) + k. 360 2x = (180 – 30) + k.360 2x = 150 + k.360 x = 75 + k.180 untuk k = 0 x = 75 - + - 0 15 75 180 Jd HP = { 0 x < 15 dan 75 < x 180 } 2. Dengan grafik Grafik y = sin2x adalah 1TRIGONOMETRI 39
  • 40. 0 15 45 75 90 135 180 -1 Jadi, HP = 0 x < 15 75 < x 180Latihan Soal1. Untuk 0 360 1. 2 cos 2x – 1 0 2. Cos x < 3. Sin 2x < 1 4. Tan x < 1 5. 2 Sin x 6. Cos 2x < 7. Tan 2x > 8. Sin x 9. 2 Cos x > 10. Cos x2. Untuk 0 360 a. 2 cos 2x = 1 b. Sin x = c. 2 sin x =3. Untuk 0 360 a. 2 cos 2x – 1 0 b. Cos x <TRIGONOMETRI 40
  • 41. c. Sin 2x < 1 F. Identitas Trigonometri Pada pembelajaran sebelumnya, kita telah memperoleh hubungan dasar dari fungsitrigonometri berikut ini : Setiap persamaan di atas desebut identitas trigonometri, yaitu setiap persamaan diatas bernilai benar untuk setiap θ dengan kedua ruasnya terdefinisi. Untuk mendapatkan identitas trigonometri yang lain dapat dicari dengan kitamisalkan θ adalah sembarang sudut pada posisi standar dan titik (x,y) terletak pada kakisudut θ, maka : θx2 + y2 = r2 ......... (1)Jika kedua ruas dari persamaan (1) di atas berturut-turut kita bagi dengan r2 , x2 , dan y2 ,maka diperoleh : 1.TRIGONOMETRI 41
  • 42. 2. 3. Jadi identitas trigonometri di atas sebagai identitas trigonometri dasar yang akandigunakan untuk menyederhanakan pernyataan yang memuat fungsi trigonometri atauuntuk membuktikan identitas trigonometri lainnya.Contoh Soal :Buktikan identitas sec θ – tan θ . sin θ = cos θPembuktian :Karena ruas kiri lebih kompleks, maka kita ubah rus kiri tersebut menjadi ruas kanan .Sec θ – tan θ . sin θ =Latihan Soal :TRIGONOMETRI 42
  • 43. Buktikan identitas berikut ini ? a. Cot x . tan x = 1 b. c. d. e. G. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT G.1 Sin (α ± β) Pada gambar 1.1 disamping, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC, diketahui BAC = α, ABC = β, ABC = , dan panjang sisi-sisi AB = c, BC = α, dan AC = b serta jari-jari OA = ½ , α + β ˂ . Pada ∆ADO siku-siku di D: OA = ½, AD = , dan AOD = Maka: Sin = = Sin = c Sehingga dengan cara yang sama diperoleh,sin α= a,sin β =b. Pada ∆AEC, EA = b cos α, dan pada ∆BEC, EB = a cos β EA + EB = c c = b cos α + a cos β α+β+ = Sehingga: Sin = sin ( ) = sin = c Sin 1.1 = sin β cos α + sin α cos β Jadi, Sin = sin α cos β + cos α sin β Sedangkan untuk rumus sin (α – β), dapat dilakukan dengan mensubstitusikan bentuk α – β = α + (-β). Sin (α – β) = sin [ α + (-β)] = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)TRIGONOMETRI 43
  • 44. = sin α cos β – cos α sin β Jadi, Sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Rumus sin (α – β) dapat juga diperoleh dari gambar 1.2 berikut : 1.2 G.2 G.2 Cos (α ± β) 1.3 Luas ∆ABC = Luas ∆ADC + Luas ∆BDC ½ab sin (TRIGONOMETRI 44
  • 45. Jadi, Cos ( α – β) = cos α cos β + sin α sin β Pada gambar 1.4 (i), misalkan titik A(1,0). Jika α dan β menentukan letak titik B(x1, y1), C(x2,y2) dan D(x 3.y3) pada lingkaran, 0 ˂ β ˂ α ˂ 2 , maka : 3 1.4 X1 = cos β, y1 = sin β X2 = cos (α – β), y2 = sin (α – β) X3 = cos α, y3 = sin α Pada gambar 1.4 (ii), panjang busur AC = panjang busur BD. Sehingga panjang tali busur AC dan BD sama panjang. |AC| = |BD| 1+1-2 =1+1-2Dengan mensubstitusikan nilai-nilai diperoleh: Cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin βUntuk mendapatkan rumus cos ( α + β ), dapat dilakukan dengan mensubstitusikanTRIGONOMETRI 45
  • 46. α + β = α –(-β).Cos (α+β) = cos [α – (-β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) = cos α cos β + sin α (-sin β), Cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βG.3 Tan (α ± β ) 1TRIGONOMETRI 46
  • 47. Latihan Soal : 1 . 2 3 4 5TRIGONOMETRI 47
  • 48. Soal : 2. 3. 4. 5. 6.TRIGONOMETRI 48
  • 49. G.4 Rumus-Rumus Sudut Ganda Untuk setiap sudut α berlaku rumus – rumus : 1. Sin 2α = 2 sin α cos α 2. Cos 2α = =2 = 1- 3. Tan 2α =Bukti: 1. Sin 2α = sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α 2. Cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α =TRIGONOMETRI 49
  • 50. Dengan menggunakan rumus, dan rumus maka akan kita peroleh: = = =2 Atau =1-2 3. Tan 2 = tan ( = = Contoh Soal : 1TRIGONOMETRI 50
  • 51. 2 3G.5 Rumus Sudut ParuhRumus untuk Sin θPerhatikan kembali rumus untuk cos 2α pada rumus sebelumnya:TRIGONOMETRI 51
  • 52. cos 2α = 1 - 2 sin²α2 sin²α = 1 - cos 2αsin²α =sin α = ±Dengan mensubtitusi α = θ ke persamaan di atas, akan diperoleh: sin θ = ±Rumus untuk Cos θPerhatikan kembali rumus untuk cos 2α pada rumus sebelumnya:cos 2α = 2cos² α – 12cos² α = 1 + cos 2αcos² α =Cos α = ±TRIGONOMETRI 52
  • 53. Dengan mengganti atau mensubstitusi α = θ ke persamaan di atas, akan diperoleh: Cos θ = ±Rumus untuk tan θSubstitusi sin θ = ± dan Cos θ = ± pada tan θ = ± ,maka diperoleh tan θ = ±Jadi, tan θ = ±Contoh Soal:Hitunglah nilai eksak dari Sin ?Jawab:Sin = Sin == =Jadi, nilainyaTRIGONOMETRI 53
  • 54. Latihan Soal1. Dengan menggunakan rumus sin θ Cos θ tan θ , hitunglah nilai eksak dari tiap bentuk berikut. a. cos b. Tan c. Sin d. Sin 112 ° e. Cos 112 ° f. Tan 112 °2. Misalkan α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = dan tan β = hitunglah: a. sin α b. Cos α c. tan α d. sin β e. Cos β f. tan βG.6 Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri Untuk setiap sudut α dan β berlaku rumus –rumus berikut : 2 sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α – β ) ... (1) 2 cos α sin β = sin ( α + β ) – sin ( α – β ) ...(2) 2 cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α – β ) ...(3)TRIGONOMETRI 54
  • 55. 2 sin α sin β = -cos (α + β ) + cos ( α – β) ...(4) Rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan rumus – rumus yang telahdipelajari. Perhatikan rumus (1) berikut.Ruas kanan Sin ( α + β) + sin ( α - β ) = (sin α . cos β + cos α. Sin β) + ( sin α . cos β – cos α . sin β ) = sin α . cos β + cos α . sin β + sin α . cos β – cos α . sin β = 2 sin α . cos β = Ruas kiriKegiatan :Agar lebih memahami rumus (2),(3),(4) di atas, buktikanlah secara berpasangan atauindividual dan bandingkan hasilnya dengan yang lain.Contoh soal :TRIGONOMETRI 55
  • 56. Latihan Soal : 1 2 3G.7 Rumus Jumlah dan Selisih Sin dan Cos Fungsi TrigonometriTRIGONOMETRI 56
  • 57. Sin x + sin y = 2 sin ½ ( x + y) cos ½(x – y) ... (5) Sin x – sin y = 2 cos ½ ( x + y ) sin ½ ( x – y ) ... (6) Cos x + cos y = 2 cos ½( x + y ) cos ½( x – y ) ... (7) Cos x – cos y = -2 sin ½( x + y ) sin ½ ( x – y) ... (8) Bukti : Untuk rumus perkalian (5), misalkan α + β = x dan α – β = y. α+β=x dan α+β=x α–β=y + α–β=y + α = ½(x + y) β = ½( x – y) Sehingga dari rumus (1), 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin ( α – β) Kita peroleh, 2 sin ½ ( x + y ) cos ½ ( x – y ) = sin x + sin y Untuk rumus – rumus (6), (7), dan (8) silahkan buktikan sendiri.Contoh Soal :Latihan Soal : 1 .TRIGONOMETRI 57
  • 58. 3 . 4 . 2 . DAFTAR PUSTAKAJohannes, dkk. 2003. Kompetesi matematika. Jakarta: Yudhistira.Kartini, dkk. 2005. Matematika. Klate: Intan Pariwira.Narminingsih. 2009. Siap UN matematika. Sukaoharjo: Seti Aji.Noormandiri, B.K. 2006. Matematika Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Erlangga.Sembiring, dkk. 2007. Matematika Bilingual. Bandung: Yrama Widya.Sukino. 2007. Jakarta: Erlangga.Untoro, joko. 2007. Rumus Lengkap matematika sma. Depok: Wahyu Media.Wirodikromo. Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta: Erlangga.TRIGONOMETRI 58

×