IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

  1. 1. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLEEn ocasiones se presentan razonestrigonométricas como por ejemplo: Sen 32º;  Tg2 = ___________________Tg 90º; etc. Pero podemos observa que: 32º = 2(16º) 90º = 2(45º)  Tg 20º = ___________________Entonces surge la necesidad de utilizar otrasidentidades para ángulos dobles1. Fórmulas básicas Ejercicios Resueltos I. Para el seno del ángulo doble: (Sen2) 2 1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: Tg = Sen2θ  2Senθ  Cosθ 3 Calcular: “Sen2”  Sen2 = ___________________ Solución:  Sen 40º = ___________________ 2  Sen8 = ___________________ De la condición: Tg = 3 En el triángulo rectángulo: 13 2 II. Para el coseno del ángulo doble: (Cos2)  3 Cos2θ  Cos 2θ  Sen 2θ Luego: Sen 2 = 2Sen.Cos 2 3 Sen2 = 2  También: 13 13 12 Cos2θ  2Cos 2θ - 1 Sen2 = 13 Cos2θ  1 - 2Sen 2θ 2. Demostrar que: (Senx + Cosx)2 = 1 + Sen2x  Cos2 = ___________________  Cos 40º = ___________________ Solución:  Cos4 = ___________________ En el primer miembro, desarrollando: (Senx + Cosx)2 = 1 + Sen2x III. Para la tangente del ángulo doble: 2 2 (Tg2) Sen x  2Senx.Cosx  Cos x  1  Sen2x 1 2Tgθ 1 + 2Senx.Cosx = 1 + Sen2x Tg2θ  Sen2x 1 - Tg 2 θ  1 + Sen2x = 1 + Sen2x -1- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña
  2. 2. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria3. Simplificar: 1 C  4Senx  Cosx  Cos2x  2  2Sen2x.Cox2x 4 Solución: 1 1  = Sen4x … (Sen30º = y 30º = ) Recuerda que: 2Senx.Cosx = Sen2x 2 2 6 En la expresión:   C  4Senx  Cosx  Cos2x  4x    x  6 24 C = 2.2Senx.Cosx.Cos2x Sen2x Luego: C = 2Sen2x.Cos2x Sen4x Práctica Dirigida Nº 01  C = Sen4x 01. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: Ctg  = 4, calcular: “Sen2”4. Simplificar: 1 - Cos2 θ a) 4/15 b) 4/17 c) 8/15 C d) 8/17 e) 15/17 1 - Cos 2 θ Solución: En la expresión: 02. Si: Sen = 1/3,   IC Calcular: “Sen2” 1 - Cos2θ 1  (Cos 2θ  Sen2θ) C  2 2 2 2 1 - Cos2θ Sen2θ a) b) c) 9 3 9     4 2 2 1  Cos 2 θ  Sen2 θ d) e) C 9 6 Sen2 θ Sen2θ  Sen2θ 2Sen2θ C  03. Si: Cos = 3 ,   IC Sen2θ Sen2θ 13 Calcular: E = 13Sen2 + 1  C=2 a) 7 b) 13 c) 12 d) 14 e) 61. Calcular un valor agudo de “x” que cumple: 1 Secx = Senx. Cos2x 8 Solución: 04. Hallar el valor de “Tg 2”. 1 Siendo Tg  = 1 4 En la condición: Secx = Senx. Cos2x 1 8 8 a) b) c) 9/17 4 15 1 d) 3/7 e) 4/15 1 1 .  Senx.Cos2x   Senx.Cosx.Cos2x 8 Cosx 8 Multiplicando por “2”: 05. Reducir: J = Sen2x.Secx – Tgx. Cosx 1  2  2Senx.Cosx .Cos2x ...(2Senx.Cosx  Sen2x) 8 a) Senx b) 2Senx c) 0 1 d) Cosx e) 2Cosx  Sen2x.Cox2 ; ahora multiplicamos por 2 x 4 -2- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña
  3. 3. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria 1 2Cos x  Sen 2x 02. Si: Cos = ,   IC06. Simplificar: A = 3 Cov x Calcular: A = 2 .Tg2 + 1 Si se sabe que: Cov x = 1 - Senx a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 a) 2 b) 1 c) Cosx d) 4/7 e) – 1/7 d) 2Cosx e) 1/2Cosx 03. Reducir: E = 4senx cosx cos2x07. Reducir: C = 8Senx.Cosx.Cos2x.Cos4x a) sen2x b )sen4x c) sen8x d) cos2x e) cos4x a) Sen2x b) Sen4x c) Sen8x d) 2Sen4x e) 4Sen4x 04. Reducir: E = Tgx . Cos2x + Ctgx . Sen2x 208. Reducir: J = Cos2x + 2Sen x 1 2 2 a) sen2x b) 2sen2x c) Senx a) 1 + sen x b) Cos x c) 1 2 2 2 d) 2Cos x e) 1 + Cos x 1 d) Cosx e) cos2x 2 05. Reducir:09. Simplificar la expresión: 3 3 K = Cos x  Senx  Sen x  Cosx E = (senx + cosx)2 - 1 a) Sen 2x b) 2.Sen 2x c) 0,5Sen 2x a) sen2x b) 2sen2x c) 1 Senx d) 3.Sen 2x c) Cos 2x 2 1 d) Cosx e) cos2x 210. Del gráfico, calcular: “Cos” 06. Reducir: 3 E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx - 1) 2  a) 1 b)-1 c) sen2x  d) 2sen2x e)N.A. 4 4 3 2 5 07. Reducir: C = Cos x – Sen x a) b) c) 5 3 6 2 a) Cos 2x b) 2Cos2x c) Cos2x 4 6 2 d) e) d) 2Cos 2x e) 0,5Cos2x 5 7 08. Del gráfico, calcular: “Sen” Tarea Nº 01  01. Simplificar: (2Senx - Sen2x) A=  Ctg x Vers x 1 3 Sabiendo que: Vers x = 1 – Cosx 2 1 3 a) 2 b) Cosx c) Senx a) b) c) 3 3 4 d) 2Senx e) 2Cosx 3 1 d) e) 5 6 -3- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña
  4. 4. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria -4- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña

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