1. SEGMENTOS SEGMENTO
Introducción Es una porción de recta limitado por dos puntos
Antiguamente la distribución de los terrenos o denominados extremos.
la tarea de dar la forma a los bloques de piedra para
la construcción de templos o pirámides exigieron a
los egipcios el trazado de líneas rectas, ángulos; y
en consecuencia tuvieron la necesidad de trabajar A y B: extremos
con sus respectivas medidas.
Notación
Actualmente con las medidas de las líneas y de Segmentos de extremos A y B:
los ángulos se sigue trabajando como por ejemplo: Longitud de : AB (AB = b)
los topógrafos al realizar levantamientos
topográficos utilizan un instrumento para medir PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
ángulos (teodolito); así mismo realizan el trazado de Es el punto que divide al segmento en dos
líneas y trabajan con su medida. segmentos de igual longitud.
GEOMETRÍA
Es una rama de las matemáticas que tiene por
Si: AM = MB
objetivo estudias a las figuras geométricas
Entonces:
propiedades y características independientemente
M: punto medio del
de su tamaño.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA
GEOMETRÍA
1. En una calle recta de 870m de longitud
están ubicados 30 árboles separados a
Estos elementos no tienen definición, de ellos
igual distancia. Calcular la distancia de
solamente tenemos una idea.
separación.
Punto Recta Plano
2. Se ubican en una recta los puntos
consecutivos A, B, C, y D, de modo que
2 X 7
AB = x + , BC = −3 , CD = ,
5 5 5
Notación Notación Notación AD = 45cm. Calcular el valor de “x”.
Punto A Recta L Plano H
3. En una recta están ubicados los puntos A,
Rayo B, C, D, y E, de modo que BC = 1m, CD = 2m,
DE = 3m, AD = a. Calcular
Porción de recta que se determina al ubicar un
AE – AC
punto en ella.
4. Dados los puntos colineales A, B, C, y D de
manera que:
AB = 3x + a, BC = 7m, CD = 3x – a, AD = 19m.
Calcular el valor de “x”
Notación:
Rayo OA:
2. 5. Dado los puntos colineales A, B, C, D y E. Tal 14. Si “0” es el punto medio del y M es punto
que: AB= x–2, BC = x–5, CD = y–3 (DE = y–2). AC cualquiera de hallar el valor de “k”, si:
= CE. Calcular x – y. AM − MB
K =
OM
6. En una recta están ubicados los puntos A, B, C, 15. Sobre una recta se disponen de los puntos
D, E. Si:
consecutivos A, B, C, y D, donde AD = 2AB.
CD = 2(AB) y DE = 2(BC) y
Calcular AD si BD2 + 9 =6 BD.
AE = 27 cm. Calcular AC
PROBLEMAS PARA LA CASA
7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F se
tiene: AB = 1m, BC = 2m, CD = 3m, DE = EF y BD 1. En una avenida recta de 702m de longitud
= DE. Calcular AF. están ubicados 40 postes separados a igual
distancia. Calcular la distancia de
8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, separación
D, E, en forma consecutiva, tal que: BC =
3m, CD = 5m, AB – DE = 1cm. Calcular AC – A) 16 B) 17 C) 18
DE. D) 19 E) 20
2. Se ubican en una recta los puntos
9. Según el gráfico CD=3(AB)=12 y BM = MC =
consecutivos A, B, C y D, de modo que
5. Calcular. AB+BC+CD.
1 x 4
AB = 2x + , BC = − 5 , CD = ,
5 4 5
AD=32, Hallar “x”.
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
3. En una recta están ubicados los puntos A,
B, C, D, y E de modo que BC = 4m, CD = 6m,
DE = 3m, AD = k, Calcular
AE – AC
10. Del gráfico Calcular AC + BD
A) k+1 B) 9m C) k–1
D) k+3 E) k–2
4. Dados los puntos colineales A, B, C y D de
manera que: AB=5x+k, BC=10m, CD=5x–k, AD =
11. Según el gráfico AD = 67. Calcular x
40, hallar el valor de “x”
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos: A, B, C, y D tal que: AD = 10m, AC
= 6m y BD = 7m. Calcular BC 5. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E tal que
AB = x–4, BC = x–7, CD = y–6, DE = y–3, AC = CE,
calcular x–y
13. Se tienen los puntos colineales A, B, C, y D. Si:
4BD + 3CD = 18BC, y
A) 4 B) 3 C) 2
3AC – 2AB = 20, hallar AD
D) 0 E) 1
3. 6. En una recta están ubicados los puntos A, B, C,
D y E. SI: CD = 3(AB) y DE = 3(BC) y
AE = 32, hallar AC:
A) 10 B) 8 C) 6
D) 5 E) 4
7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F,
se tiene. AB = 2, BC = 4, CD = 6, DE = EF y
BD = DE. Calcular AF
A) 12 B) 22 C) 32
D) 42 E) 52
8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D
y E en forma consecutiva, tal que: BC = 4,
CD = 5, AB – DE = 2, Calcular AC – DE
A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 3,5 E) 4
9. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, y D tal que: AD = 20m, AC
= 16m y BD = 17m. calcular BC:
A) 11m B) 12m C) 13m
D) 14m E) 15m ¿ Sabías que…..
10. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D. Si
5BD + 4CD = 32BC y 4AC – 3AB = 42. Hallar AD
A) 39 B) 41 C) 42
D) 54 E) 86
4. DEFINICIÓN
Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un
origen común.
ELEMENTOS
- Lados: Son los rayos y
- Vértice: Es el origen común “B” . 0º < m∢A0B < 90º .
Ángulo Recto
Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.
ç
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que partiendo del vértice, divide al
ángulo en dos ángulos congruentes.
. m∢A0B = 90º .
Ángulo Obtuso
Es el ángulo cuya medida es menor que 180º
pero mayor que 90º.
divide al ∢A0B en dos ángulos.
∧ ∧
A 0 P y P 0 B que son congruentes por . 90 < m∢A0B < 180º .
tener la misma medida “α” luego. Ángulo Llano
es bisectriz de ∢A0B Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se
encuentran extendidos en direcciones opuestas)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU
MEDIDA
Ángulo Nulo
Cuando sus dos lados coinciden midiendo de
esta manera 0º. . m∢A0B = 180º .
Ángulo de una Vuelta
Es el ángulo cuya medida es 360º
. m∢A0B = 0º .
Ángulo Agudo
18 Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y
mayor que 0º. . m∢A0B = 360º .
5. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU TEOREMAS FUNDAMENTALES
POSICIÓN Teorema I
Ángulo Consecutivo La suma de las medidas de los ángulos
Son los que tienen lados en común y el mismo consecutivos formados alrededor de un mismo
vértice vértice y a un mismo lado de una recta es 180º
. α + β + θ + φ = 180º .
Ángulo Opuestos por el Vértice Teorema II
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y La suma de las medidas de los ángulos
sus lados son opuestos (tienen la misma medida) consecutivos formados alrededor de un punto en un
plano es 360º.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA
COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS
Ángulo Complementario
Dos ángulos son complementarios si la suma de . α + β + θ + γ + φ = 360º .
sus medidas es 90º.
. α + β = 90º .
Ángulo Suplementario
Dos ángulos son suplementarios si la suma de
sus medidas es 180º
. α + β = 180º .
6. PROBLEMAS PARA LA CLASE
6. Del gráfico, calcular α – β
1. Se tiene los ángulos consecutivos A0B, B0C
y C0D, de tal forma que es bisectriz
del ángulo A0D; m∢A0B = 40º. Calcular El
valor de “x”
7. Se tienen los ángulos consecutivos A0B,
B0C y C0D, donde es bisectriz del
m∢B0D y m∢A0B = 32º. Calcular m∢B0C si
2. Según el gráfico, calcular m∢B0C, si 3(m∢A0C) + 2(m∢B0D) = 9m∢COD
m∢A0C+m∢B0D=280º y m∢A0D = 120º.
8. El complemento de α, más el suplemento de 2α,
es igual al suplemento del complemento de 3α.
Hallar α.
9. La medida de un ángulo “α” es: 62º48’36”. Halla
su complemento, en grados sexagesimales.
10. Se tienen los ángulos consecutivos A0B,
B0C y C0D, de tal forma que es
bisectriz del ángulo A0D;
3. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D,
m∢A0B=60º. Hallar x.
de tal forma que m∢A0B=20º, m∢B0C = 30º y
m∢A0D = 70º. Calcular l medida del ángulo que
forma la bisectriz del ángulo COD con el rayo
.
4. ¿Cuánto es la diferencia de las medidas de los
ángulos A0B y C0D, si m∢BOD = 100º?
11. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D,
de tal forma que m∢A0B=30º, m∢B0C=40º y
m∢A0D = 50º. Calcular la medida del ángulo que
forma la bisectriz del ángulo C0D en el rayo .
12. ¿Cuál es la diferencia de las medidas de los
ángulos A0B y C0D, si m∢B0D = 120º?
5. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D
de modo que: m∢A0C = 80º,
m∢B0D = 90º y m∢A0B = 30º. Calcular m∢C0D.
7. 13. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, 18.
de modo que: m∢A0C = 70º, 19.
m∢B0D = 100º y m∢=A0B=20º. Calcular m∢COD.
14. La suma del complemento de x, mas el
suplemento del complemento de x, mas el
suplemento del duplo de x, mas el complemento
del duplo de x; y mas el suplemento del
complemento del duplo de x es igual a 500º.
Calcular el suplemento del complemento del
complemento de x.
15. La tercera parte de la mitad del complemento
del suplemento de la medida de un ángulo
excede en 8º a los 3/5 del complemento de la
mitad de la medida del mismo ángulo. Calcular el
suplemento de dicho ángulo
16. La suma de los complementos y suplementos de
las medidas de dos ángulos es igual a 230º. Si se
sabe que la diferencia de las medidas de ambos
ángulos es 15º. Hallar el complemento de la
medida del mayor ángulo.
17.
9. 2. En la figura // // . Calcular xº 8. Si // . Calcular x
3. En la figura // // . Calcular xº
9. Si // . Calcular x
4. Según el gráfico // . Calcular x
10. Si // . Calcular x
5. Según el gráfico: // . Calcular x
11. Si // . Calcular x
6. Si // . Calcular x
12. Si // . Calcular x
7. Si // . Calcular x
10.
11. TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS Regiones Determinadas
TRIÁNGULO
Es la figura que se forma al unir tres no puntos
colineales. En la figura se muestra a tres tipos de
triángulos
Rectilíneo Mixlíneo Curvilíneo
OBSERVACIÓN:
REGIÓN TRIANGULAR: ES LA UNIÓN DE LA REGIÓN INTERIOR
CON EL TRIÁNGULO..
TRIÁNGULO RECTILÍNEO
Perímetro de la Región Triangular ABC:
Es el que se forma al unir tres puntos no
2P
colineales con segmentos de recta.
En adelante por fines didácticos al referirse a
un triángulo rectilíneo se hará como simplemente . 2p = AB + BC + AC .
triángulo. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
32
Suma de Medida de los Triángulos Internos
Se cumple:
Elementos: . α + β + θ = 180º .
Vértices : A, B y C
Suma de Medidas de los Ángulos Externos
Lados : , y o a, b y c Considerando uno por cada vértice
Elementos asociados:
31
• Ángulos internos: ∢ABC; ∢BCA y ∢CAB
• Ángulos externos: ∢PAB, ∢BQC y ∢RCA
Notación:
Se cumple:
Triángulo ABC: ∆ABC.
. x + y + z = 360º .
12. Cálculo de un Ángulo Exterior 2.
Se cumple:
. x = α+ β .
Se cumple:
Propiedad de Correspondencia
. α+β=θ+ω .
3.
Si: α > β > θ, se cumple:
Se cumple:
. a>b>c . . α+β=θ+ω .
Relación de Existencia
CLASIFICACIÓN
Los triángulos se clasifican teniendo en cuenta
a sus lados a sus ángulos.
Según sus lados
1. Triángulo Escaleno
Es aquel que tiene los lados de diferentes
Si a ≥ b ≥ c, se cumple: longitudes
. b–c<a<b+c .
. a–c<b<a+c .
. a–c<c<a+b .
Propiedades Adicionales
1.
. a≠b≠c .
Además:
. α≠β≠θ .
Se cumple:
. x=α+β+θ .
13. 2. Triángulo Isósceles PROBLEMAS PARA LA CLASE
Es aquel que tiene dos lados de igual longitud
1. En el triángulo ABC, AB = BD. Calcular x
. a=≠b .
Además:
. α=θ≠β . 2. Según el gráfico, calcular
m∢ADC, si: AE = ED, m∢ACD=40º y el
3. Triángulo Equilátero triángulo ABC es equilátero.
Es aquel que tiene los lados de igual longitud
. a=b=c .
3. Según el gráfico: AB = BD y CD = CE. Calcular x.
Además:
. α = β = θ = 60º .
Triángulo Rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo interior que mide
90º.
4. Calcular m∢ABC, si: AF=FC=DE=DF=EF
Catetos: y
Hipotenusa:
Propiedad:
5. Calcular m∢ACF, si: BC = CD y θº - αº = 50º.
. b2 = a2 + c2 .
14. 6. Calcular el valor de x, si: 11. En el gráfico: DE = EC = CF = FG. Calcular: α
AE = EB = EF = FD = DC y
m∢BAC = m∢FDA.
7. En la figura θ - ω = 12º, 12. En el gráfico mostrado:
Calcular α – β. α + β + φ = 160º. Calcular x
13. Calcular x + y
8. En la figura AB = BC, calcular xº.
14. Calcular el valor de x
9. En un triángulo ABC, se cumple que las medidas
de sus ángulos interiores son tres números
consecutivos. Calcular la medida del ángulo
menor.
10. Según el gráfico, calcular x.
x +y +z
15. Calcular
m +n
15. 16. Según el gráfico, calcular el mínimo valor de x. 21. Según el gráfico, calcular el máximo valor de a.
22. Según el gráfico, calcular el valor de x.
17. Según el gráfico, calcular el mínimo valor de x.
23. Según el gráfico, calcular el valor de x + y.
18. Según el gráfico, calcular el máximo valor de x.
19. Según el gráfico, calcular el máximo perímetro.
20. Según el gráfico, calcular el máximo valor de a.
16. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.
DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2.
EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.
ALTURA ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA
REGIÓN TRIANGULAR.
Segmento que sale de un vértice y corta en
forma perpendicular al lado opuesto o a su
prolongación. BISECTRIZ
Segmento que divide a un ángulo interior o
exterior en dos ángulos de igual medida.
Ortocentro (H)
Incentro (I)
Es el punto donde se intersectan las tres
alturas de un triángulo. Es el punto donde se intersectan las tres
H: Ortocentro. bisectrices interiores de un triángulo, es el centro
de la circunferencia inscrita
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO.
ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.
PARA RECORDAR.
ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.
SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.
EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
MEDIANA
Segmento que une un vértice con el punto medio
46 Excentro (E)
del lado opuesto a dicho vértice.
Es el punto donde se intersectan dos
bisectrices exteriores con una bisectriz interior en
un triángulo, es el centro de la circunferencia
exinscrita
Baricentro (G)
Es el punto donde se intersectan las tres
medianas de un triángulo.
G: Baricentro
E: Encentro relativo de
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.
LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.
17. MEDIATRIZ Propiedad:
Si: “0” es circuncentro
Es una recta que pasa por el punto medio de un
lado cortándolo en forma perpendicular.
⇒ . x = 2α .
: Mediatriz de
Circuncentro (O) CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto
Es el punto donde se corta las tres mediatices cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
de un triángulo.
C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia
circunscrita
Cevacentro (C)
Es el punto donde se intersectan tres cevianas
50
de un triángulo.
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.
EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.
ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.
ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.
SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
PARA RECORDAR:
TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.
49
OBSERVACIONES:
- P ARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS
LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.
- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS
CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA
CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.
- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO,
INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO,
INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN
ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.
18. PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 6.
1. Ángulo formado por dos
bisectrices interiores.
a a +b
. x = 90 + . . x = .
2 2
2. Ángulo formado por dos
bisectrices exteriores.
a
. x = 90 − .
2
3. Ángulo formado por una bisectriz
PROBLEMAS PARA LA CLASE
interior y una bisectriz exterior.
a 1. Hallar “x” en la figura
. x = .
2
4.
2. Hallar “x” en la figura
a
. x = 45 − .
2
5.
52 3. Hallar “x” en la figura
a +b
. x = .
2
19. 4. En la figura., hallar “x” 9. En la figura hallar “x”
5. Hallar el valor de “x” en
10. En la figura calcular el valor de “x”
6. En la figura hallar “x” 11. Hallar el valor de “x” en la figura que se
muestra
7. En un triángulo ABC, las bisectrices de
los ángulos A y C. Se cortan en H. Si
m∢AHC = 5(m∢ABC), hallar 12. En la figura hallar “x”
m∢ABC
13. En la figura hallar CD si EC = 7
8. En la figura, calcular “α”
20. 14. Hallar “x” en: 3. En la figura hallar “x”
15. Hallar “x” en:
A) 12º B) 48º C) 24º
D) 36º E) 50º
4. Hallar “x” en:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Calcular el valor de “x” en la figura
A) 16º B) 26º C) 36º
D) 46º E) 56º
5. Hallar “x” en:
A) 50º B) 60º C) 80º
D) 90º E) 110º
2. En un triángulo PQR, las bisectrices de los
ángulos P y R se cortan en “S”, si
m∢PSC=8(m∢PQR), hallar m∢PQR
A) 50º B) 60º C) 130º
D) 120º E) 100º
6. Según el grafico Calcular “x+y”
A) 10º B) 12º C) 14º
D) 16º E) 18º a) 135º b) 90º c) 80º
d) 160º e) 170º
21. DEFINICIÓN.
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres
lados congruentes y sus tres ángulos congruentes
respectivamente.
α : Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
⇒ ∆ABC = ∆PQR
1. De la Bisectriz
Todo punto situado en la bisectriz siempre
equidista de los lados del ángulo.
OBSERVACIÓN:
EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON
56
CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE
PA = PB
LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO. . .
0A = 0B
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS
1. Caso (L.A.L.)
2. De la Mediatriz
Todo punto situado en la mediatriz e un
segmento, siempre equidista de los extremos de
dicho segmento.
. PA = PB .
2. Caso (A.L.A.) 55
3. De la Base Media de un Triángulo
El segmento que une los puntos medios de dos
lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y
3. CASO (L.L.L.) mide la mitad de lo que mide el tercer lado.
Si: // Si: M y N son puntos medios
AC
4. Caso (L.L.A.) . BN = NC . . MN = .
2
57
22. 4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa
La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide 4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de x es:
la mitad de lo que mide la hipotenusa.
AC
. BM = .
2
5. De la figura ≅ ;
≅ , ≅ , Hallar “α”
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. De la figura: ≅ ;
≅ . Hallar α
6. De la figura = 20cm, hallar BC, (sugerencia:
en el T.R. ABD, trazar la mediana de relativa a
)
2. Del gráfico ≅ , FA = 8.
Hallar HF.
7. En la figura AD=15cm; ED=17cm. Hallar BE
(Sugerencia: aplicar el teorema de la bisectriz)
3. En la figura:
8. En un cuadrado AHFC se traza (Q en )
y luego ⊥ , ⊥ . Si HM = 12cm,
MN = 5cm, Hallar CN
23. 9. Calcular BE, si ≅ ,
≅ , BD = 9 15. En la figura // , = 12, hallar CM
10. Encontrar AQ, si ≅ ,
PROBLEMAS PARA LA CASA
≅ , m∢ABP ≅ m∢CBQ, PC = 13.
1. En la figura: ≅
≅ , hallar φ
11. Encontrar AE, si BE = CD = 4, ED = 3.
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 60º
2. Del gráfico ≅ TS, RP = 7, hallar RT.
12. Del gráfico ≅ ;
≅ , Hallar φ
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
3. En la figura: ≅ ,
13. Del gráfico hallar “x” si CE = 6
≅ , hallar φ
14. Del gráfico ≅ , hallar “α”
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 50º E) 60º
24. 4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de “x” es:
A) 50º B) 60º C) 40º
D) 30º E) 10º
5. Calcular QT, si ≅ ,
PT ≅ SR, QS = 11
A) 10 B) 11 C) 12
D) 5,5 E) 6
6. Encontrar PB, si ≅ , ≅ , = 17
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
25.
26. POLÍGONO Cuanto tienen todos sus ángulos internos
Definición congruentes y todos sus lados congruentes
Es la reunión de tres o más segmentos
consecutivos o coplanares, tal que el extremo del
primero coincide con el extremo del último; ningún
par de segmentos, se intercepten, excepto en sus
extremos y dos segmentos consecutivos nos sean
colineales.
Polígonos No Convexos
Cuando tienen uno más ángulos internos no
convexos es decir mayores que 180º y menores que
360º.
Elementos
Denominación de los Polígonos
Vértices : A, B, C, D,...
Lados : , , , ,...
Triángulo 3 lados
m ∢ internos : α, β, φ,...
m ∢ externos : x, y, z,...
Diagonales : , , ,... Cuadrilátero 4 lados
Diagonales medias : , , ,...
Polígono Convexo
Pentágono 5 lados
Es cuando tienen todos sus ángulos internos
convexos, es decir, mayores que cero y menores que
180º.
Hexágono 6 lados
Heptágono 7 lados
Clasificación de los Polígonos Convexos
1. Polígono Equiángulo
5 66
Cuando tienen todos sus ángulos internos
Octágono 8 lados
congruentes
Nonágono 9 lados
Decágono 10 lados
2. Polígono Equilátero
Cuando tienen todos su lados congruentes
Undecágono 11 lados
Dodecágono 12 lados
3. Polígono Regular Pentadecágono 15 lados
27. 3. AL prologar los lados no consecutivos de un
Icoságono 20 lados
hexágono equiángulo, que figura se forma
M
4. Las medidas de cinco ángulos internos de
Enégono n lados
un polígono regular es 700. calcular la suma
de las medidas de sus ángulos internos.
Propiedad para todo Polígono Convexo
5. ¿Cuántas diagonales tiene el endecágono?
Si “n” es el número de lados de un polígono
convexo, se cumple que: 6. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de
las medidas de sus ángulos internos y externos
1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:
es 7 200?
. Sm∢i = 180 (n – 2) .
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo
2. Suma de las medidas de sus ángulos externos: número de diagonales excede al número de
. Sm∢i = 360 . vértices en 18?
3. Diagonales trazadas desde un solo vértice: 8. Calcular el número de lados de un polígono
. Di = (n – 3) . regular donde al aumentar en dos su número de
lados, la medida de su ángulo externo disminuye
4. Número total de diagonales:
en 9
n (n − 3)
. DT = .
2
9. Si el número de diagonales de un polígono
convexo disminuye en 5, entonces resulta
5. Número total de diagonales medias:
n (n − 1) un nuevo polígono convexo donde la suma de
. Dm = . las medidas de sus ángulos interiores es
2
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices 720. calcular el número de diagonales del
polígono convexo inicial.
consecutivos
68
. Dv = vn −
(v + 1)(v + 2) .
2
10. En un pentágono equilátero ABCDE: AB =
BE.. calcular la relación entre los
En Polígonos Regulares y Equiángulos perímetros del cuadrilátero BCDE y el
triángulo ABE.
7. Medida de un ángulo interno:
180(n − 2) 11. ¿En qué polígono se cumple que al duplicar
. i = .
n el número de lados la suma de las medidas
de los ángulos internos se triplica?
8. Medida de un ángulo exterior:
12. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo, AB
360
. e= . = 7, CD = 6,
n
DE = 8. Calcular BF
PROBLEMAS PARA LA CLASE
13. La diferencia entre el número de diagonales de
un cierto polígono regular el número de ángulos
1. . El número de diagonales de un polígono rectos, a que equivale la suma de los ángulos
excede al número de lados en 25. calcular internos en 8. calcular la medida del ángulo
el número de lados del polígono. externo
.
2. ¿En qué polígono el número de lados es
igual al número de diagonales?
28. 14. Calcular el número de lados de un polígono 6. Calcular el número de diagonales de un polígono
convexo, si el número total de diagonales más el regular sabiendo que el cuadrado de la medida
número de diagonales trazadas de un solo de su ángulo interior equivale a 9 veces la
vértice, más 5 veces el número de triángulos que medida de su ángulo exterior.
se forma al unir un punto interior con cada
A) 35 B) 70 C) 45
vértice es igual a 88.
D) 54 E) 80
15. Calcular el número de lados de aquel polígono 7. La diferencia entre el número de diagonales
cuyo número de diagonales se encuentra entre y la mitad del número de ángulos rectos a
22 y 24 que equivale la suma de los ángulos internos
de un polígono es 119. calcular el número de
PROBLEMAS PARA LA CASA lados de dicho polígono
A) 13 B) 14 C) 15
D) 18 E) 20
1. ¿En qué polígono equiángulo la medida de un
ángulo interno es el triple de la medida del 8. Si el número de lados de un polígono regular
ángulo externo? aumenta en 10, cada ángulo del nuevo
polígono es 3 grados mayor que cada ángulo
A) Hexágono B) Octógono del original ¿Cuántos lados tiene el polígono
original?
C) Decágono D) Pentágono
E) Nonágono
A) 25 B) 27 C) 16
D) 30 E) 20
2. Calcular el perímetro de un polígono si su
lado mide 6 y tiene 14 diagonales
9. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos
interiores de un polígono regular de 18
A) 21 B) 38 C) 30
lados?
D) 42 E) 36
A) 138 B) 160 C) 120
3. Se tiene un pentágono equiángulo ABCDE y
D) 118 E) 145
exteriormente un hexágono equiángulo
ABFGHI. Calcular la m∢EAI
10. Calcular el número de lados de un polígono
convexo en el que el número de diagonales
A) 114 B) 125 C) 128
es mayor en 133 que el número de lados.
D) 132 E) 136
4. La relación de las medidas del ángulo exterior y
A) 19 B) 23 C) 16
el ángulo interior de un polígono equiángulo es
1/8. calcular el número de diagonales de dicho D) 24 E) 25
polígono
A) 100 B) 120 C) 35
D) 170 E) 135
5. Interiormente a un pentágono equiángulo
ABDCE, se construye un triángulo equilátero
APB. Calcular la
m∢EAP
A) 76 B) 60 C) 48
D) 36 E) 92
29. CUADRILÁTERO Propiedad del Trapecio
Definición - Mediana de un trapecio
Es un polígono de 4 lados.
a +b
. x = .
2
- Segmento que une los puntos medios de las
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 . diagonales
Clasificación General
b −a
. x = .
2
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos 3) Paralelogramos
Aquellos de lados opuestos paralelos y
1) Trapezoide congruentes; ángulos opuestos de igual medida y
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos dos ángulos consecutivos siempre
suplementarios. Sus diagonales se bisecan.
2) Trapecios
Tienen dos lados opuestos paralelos llamados
bases y los otros lados, llamados lados no
paralelos
Propiedades Generales
1.
θ +φ
. x = .
2
2.
θ −φ
. x = .
2
30. 9. En paralelogramos
3.
//
PQ = RS
x=b–a .
4. 10. En paralelogramos
a +b
. x = .
2
5. En trapecios isósceles
b −a
. x = . a +d b +c a +b +c +d
2 . x = = = .
2 2 4
b +a
. y = .
2
PROBLEMAS PARA LA CLASE
6. En triángulos 01) Del gráfico. Calcular “x” según corresponda.
2x
x
θ β
θ β
7. En trapecios
02) Hallar la base menor de un trapecio, sabiendo la
diferencia de la mediana y el segmento que une los
puntos medios de sus diagonales es 40.
03) ABCD: Es un paralelogramo y DM es bisectriz del
ángulo “D”. Si AB = 12. Hallar “MC”.
8. Segmento que une los puntos medios de las
bases
B M C
A D
04) En un trapecio ABCD (BC = base menor) la
ˆ ˆ
medida del ángulo A = 80, la medida del ángulo D
b −a
Si: α + β = 90º :. x = . = 20. Si BC = 4 y CD = 6, calcular la mediana del
2 trapecio.
31. 05) Del gráfico: BC // AD; BC = CE; ED = DF. Calcular 11) Calcular la relación entre las medidas de las bases
“x”. de un trapecio en la cual se cumple que las
diagonales trisecan a la mediana.
B C
12) En un trapecio, la mediana mide 15 y el segmento
x° E que une los puntos medios de las diagonales mide 7.
Calcular la medida de la base mayor.
A F D
13) Las bases de un trapecio isósceles son
06) En la figura: BC // AD, BC = 4, AD = 10. Calcular proporcionales a los números 5 y 7. Si la suma de
PQ. los lados no paralelos es 14 y su perímetro es 38.
P Calcular la longitud de la mediana.
β 14) Si AD = 7 y CE = 5. Calcular NK, sabiendo además
que BN es mediana y BN = MN.
B
C D
Q B K
β E
A D
N
07) ABCD: Cuadrilongo, calcular “x”.
A M C
x 15) En un trapecio ABCD ( BC : base menor) la
B C
medida del ángulo ˆ
A = 60° y la medida del ángulo
ˆ
D = 20. Si BC = 4 y CD = 6. Calcular la mediana del
trapecio.
70°
A D 16) Si AD = 8 3 y AB = 3 , calcular ”BC”.
08) ABCD: es un cuadrado APD y CQD son triángulo
equiláteros. Calcular “x”. C
B C B
150°
P
x
Q
60° 30°
A D
A D
17) Si AN = 4 y BN = 5, calcular “BC” sabiendo que
09) Calcular EF, si ED = 4, CD = 7 y AD = 17 (CF = FB).
ABCD es un ROMBOIDE.
B
F
C
B C
N
45°
A E D
A M D
10) Hallar la base menor de un trapecio si la diferencia
en la mediana y el segmento que une los puntos
medios de las diagonales es igual a 10°.
32. 18) Si “G” es baricentro del triángulo ABC. Hallar GH, a) 1 b) 3 c) 5
si AE = 5 y CF = 4.
d) 7 e) 9
A 05) La mediana del trapecio mostrado mide 10.
G C Calcular AB.
B C
E H B F
PROBLEMAS PARA LA CASA 45°
A D
01) Las bases y la mediana de un trapecio suman 66.
a) 10 b) 20 c) 30
Hallar la mediana.
d) 40 e) 50
a) 11 b) 22 c) 33
d) 44 e) 45
06) Si ABCD es un cuadrado BPC y CQD son
02) En un cuadrilátero ABCD los lados AB , BC y triángulos equiláteros, calcular “x”.
CD tienen igual medida. Si la medida del ángulo
B = 70° y la medida del ángulo C = 60° .
ˆ ˆ
ˆ B C
Calcular la medida del ángulo A .
a) 60 b) 75 c) 85 Q
x°
d) 80 e) 100 P
03) En la figura: Calcular “x” si ABCD: cuadrado y A D
CDE: triángulo equilátero.
a) 60 b) 65 c) 70
B C
d) 75 e) 80
07) En la figura calcular la medida del ángulo “x” si
F
x ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo
equilátero.
B C
A D
E
a) 90° b) 100° c) 110°
x
d) 120° e) 150° A D
04) Del gráfico BC = y CD = 12, calcular “MN”.
a) 75 b) 65 c) 35
B C
120°
C d) 15 e) 45
M N
A D
33. LA CIRCUNFERENCIA – PROPIEDADES t
P
P: punto de tangencia
r
r : radio
Concepto: Es el lugar geométrico de todos los
puntos en un plano que equidistan de un punto fijo T: recta tangente
llamado: centro, la distancia del centro cualquier
punto de la circunferencia se llama radio.
TEOREMA II
r
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES.
Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes
LÍNEAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA: a una misma circunferencia, los segmentos
comprendidos entre los puntos de tangencia y el
* Radio : r
punto exterior son congruentes.
* AB : CUERDA.-
Es un segmento que une dos puntos de la
A P
t
circunferencia. Cuando pasa por el centro se llama
diámetro (cuerda máxima),
r
0 AP = BP
* : RECTA TANGENTE.-
r
B
Es la recta que toca en un sólo punto a la
circunferencia.
TEOREMA III
A TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO
FORMADO POR 2 TANGENTES.
t B El segmento que une el vértice del ángulo
r formado por dos tangentes con el centro de la
circunferencia, es bisectriz del ángulo.
Teoremas Fundamentales
TEOREMA I
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE
Todo radio que llega al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
34. TEORENA DE PONCELET
PROBLEMAS PARA LA CLASE
“ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos
es igual a la hipotenusa más el doble del radio de
01) Calcular “R”, si BC = 3, CD = 8 (“T” punto de
la circunferencia inscrita.
tangencia)
C a + b = c + 2r
R
b a
T O
r
C
B D
A c B
TEOREMA V
02) Calcular “x” si PB = 2R .
TEOREMA DE PITOT
“ En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia se cumple que 2 lados opuestos B
suman igual que los otros 2”
R
a+c=b+d
x
A P
B b C
a c 03) En la figura, calcular (x) . (y). Si AB = 13, BC = 15
y AC = 14, AQ = x y QC = y.
A D
TEOREMA VI A
D
TEOREMA DE STEINER
C B
a-c=b-d 04) Si AB = 2CD y BC = 8, AD = 16. Calcular
CD.
P B B
Qc b
C A C
R
d a
S D
A D
35. 05) Del gráfico R = 3 y r = 1. Calcular BE B C
B E C r
r 2 3
R
A D
A D
11) Un rectángulo con lados de 36 y48 se divide por
la diagonal en dos triángulos. En cada uno de
ellos esta inscrita una circunferencia. La
06) Si las bases de un trapecio isósceles miden 16 y
distancia entre sus centros es:
36. Calcular la longitud del radio de la
circunferencia inscrita.
12) En la figura; AB + DC = 24 y BC + AD = 40.
Hallar “MN”.
07) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 y
el radio de la circunferencia inscrita mide 4.
Calcular la longitud de la hipotenusa. B
:
08) En la figura AB = 8 y AD = BC + CD. A
Calcular “r1 + r2”.
M N
A
C
r1
B
D
13) Calcular el perímetro del trapecio isósceles
r2 ABCD. Si la medida del ángulo A = 30, r = 1.
B
C
C D
09) Si M, N y P. Son puntos de tangencia y AB = 7,
BC = 8, AC = 9. Calcular “BP”. r
B
30°
A D
M P
14) En la figura calcular el perímetro del triángulo
ABC. Si “O” es centro.
B
A N C
E
F
10) Si AB = 12. Calcular “r”. Q
1 5-a
x°
A D C
36. 15) Calcular la longitud de la hipotenusa de un 20) Calcula: m + 2m
triángulo de perímetro 30, si el radio de la
circunferencia inscrita a dicho triángulo mide 2.
16) Si AB = 12, calcular r. θ
m
3
m
B
θ
O 4
r PROBLEMAS PARA LA CASA
74°
01) Del gráfico. Hallar “PQ” y “PC”. Si: R = 2 y r = 1
A C
B
17) Hallar “x”, si AB = 24 y r = 13.
P
A
R r
x
r B A Q C
O
a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5
d) 6 y 10 e) 11 y 22
18) Si PQ = 3R, hallar “x”. 02) Del siguiente gráfico. Calcular “r”, si AB = 7, BC =
4, CE = 3 y AD = 8
B C
P
E
r
R
x A D
R Q
19) Calcular el perímetro del trapecio mostrado. a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2
03) En el gráfico. Calcular r1 + r2. Si AB = 9 y AD = BC +
CD
8
37. A B
r1
B
r
r2
A C
C D
a) 1 b) 2
a) 2 b) 3 c) 4.5 c) 3 d) 4
d) 6 e) 7 e) 5
04) Hallar x, si AB = 8, R = 5 07) En la figura calcular “x” si “O”, es centro y AB = 1,
BC = 8
A
B
R
O
A
B C
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 4 b) 5 c) 2
d) 3 e) 6
05) Calcular “x”, si PA = 7, R = 3
08) Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm y la
diferencia de las medidas de los catetos es 4 cm.
P
O a) 4πcm2 b) 6πcm2 c)8πcm2
R
d) 16πcm2 e) 32πcm2
x
Q A
09) En la figura AC – AB = 6m. Calcular “PQ”
a) 45° b) 37° c) 60°
B
d) 72° e) 30°
P
Q
A C
06) Hallar “r”, AB = 3, AC = 4
a) 6m b) 3m c) 12m
d) 18m e) 9m
38. CIRCUNFERENCIAS – ÁNGULOS
a. Ángulo Central.-
A
O x x = AB
ˆ
d. Ángulo Interior.-
B
b. Ángulo Inscrito.- .
e. Ángulo Exterior.-.
Caso I: Ángulo formado por dos secantes.
Propiedades:
1) El ángulo inscrito en una
semicircunferencia mide 90°
.
Caso II: Ángulo formado por una tangente y
c. Ángulo Semi – Inscrito.-.
una secante.
39. Caso III: Ángulo formado por dos tangentes.
2. Si AB = CD; entonces: AB ≅ CD
En este caso, el ángulo recibe el nombre de
“ángulo circunscrito” y se cumple que:
θ + x = 180°
ˆ
θ = b = 180 − x b + x = 180°
ˆ
<>
3.
f. Ángulo Ex – Inscrito.-.
4. En dos circunferencias tangentes
PROPIEDADES:
1. De un ángulo exterior
40. EN TODO CUADRILÁTERO INSCRITO
a. Los ángulos opuestos son suplementarios
y
5. Si “T” es punto de tangencia.
x
T
y°
B
A x°
Un ángulo interior es congruente al opuesto
exterior
x=y
y°
6. En las circunferencias secantes congruentes
A
x°
M N
B
x=y
41. PROBLEMAS PARA LA CLASE 05) En la figura AD = 170°, BC = 2AB. Hallar “x”
D x
01) En la siguiente figura calcular “α”, si la medida del
ángulo “A”, es igual a 40° y la medida del arco BC = A
C
100° O
B
D
06) En la figura OD = BC; la medida del ángulo BAD, es
20°. Calcular “x”
40°
A B C x C
B
02) Del gráfico si: AM = MB; calcular “x”
20°
A O D
M
A
B
100°
07) Si “O” es centro y “T” es punto de tangencia.
x
T C x°
03) De la figura mostrada. Hallar “x”
T
x°
O
x
20° 08) Calcular “x”
A
A
B C M
2x°
E
x°
04) Si AB = 110°, “O” es el centro. Hallar “x”
B
B C 09) Calcular “x”
A O
x
D x°
30°
100°
42. B
10) “T” es punto de tangencia; AT = TC “O”, es centro x D
x°
T C
x° A
A O B C
16) Hallar “x” si la medida del arco BC = 28°
11) Calcular “α”. “T” es punto de tangencia y “O” es
centro.
B
D
T 22°
C
A
32°
A O B C x°
12) En el gráfico: la medida del arco AB = 100°.
Calcular “α + θ”
17) Si, AB = BD; la medida del arco AE = 86°. Hallar
“x”
A D
D
B x°
θ E
C
C E
B
13) “O” es centro, calcular “x”
50°
A
x° 18) La medida del arco AEB = 242° y la medida del
ángulo ABC = x
20° B
C
X
14) En la figura: Si α + β = 100°. Calcular “x”
E
A
x°
2β
15) En la figura hallar “x”, si AB = BC; la medida del
arco AC = 140°
43.
44. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
8 x /
a
=
8 4a /
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres a θ θ 4a x=2
ángulos interiores congruentes (ángulos x
respectivamente de igual medida) y las longitudes
de sus lados homólogos son directamente
proporcionales. Los lados homólogos son aquellos que
se oponen a los ángulos congruentes.
Caso II: Lado – Ángulo – Lado (LAL)
B Q
φ
a ck ak
c
β β
C
a ak
A b P R
El ∆ ABC ∼ ∆ PQR . b bk
Nota 1: m ABC = m PQR
m BCA = m QRP
m CAB = m RPQ
Caso III: Lado – Lado – Lado
AB BC CA
Nota 2: = = =K
PQ QR RP
a c ak ck
k = constante de proporcionalidad
b bk
CASO DE SEMEJANZA
RAZÓN DE SEMEJANZA (r)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente de igual medida. Es aquel número real y positivo que se obtiene al
dividir dos longitudes homologas de dos triángulos
semejantes.
Caso I: Ángulo – Lado – Ángulo (ALA)
Ejm:
β
4 β 3
8 6
h1
β β h2
a ak
5 10
Ejm:
45. B
6 8 10 h
Razón = = = =L= 1 = 2
3 4 5 h2
M
θ
N
SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE
PRESENTAN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
θ
A C
1. Si MN // AC ⇒ ∆ ABC ∼ ∆ MBN
B
4. ∆ ABD ∼ ∆ ABC
B
φ
β θ
M N x
θ
β C
A D
A C a
b
Se cumple: x2 = nb
2. Si MN // AC ⇒ ∆ ABC ∼ ∆ MBN
M 5.
N
β
φ
B
φ
b
β a
x
A C
ab
x=
a+b
3. Si ∆ MBN ∼ ∆ ABC
6. Cuadrado inscrito en un triángulo
46. B 7. ABCD: Trapecio isósceles EF // AD
a
B C
E x y F
ab
x
h x=y=
a+b
x x
A b D
A x C
b
8. x = ab
b⋅h
x=
b+h
1. x = ab
a
x
b
9. Cuadrado inscrito en un rombo.
Dd
x=
D+d
D x
x
d
D y d son diagonales.
ALGUNAS PROPIEDADES DE
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
1. TEOREMA DE THALES
Si: 1 // 2 // 3
