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ANGULO EN POSICION NORMAL II

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  • 1. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II1. Ángulos Cuadrantales Donde: Donde: 0 = Cero Entenderemos por ángulo cuadrantal a 1 = Uno N = No definido aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo COMPROBACIÓN siempre tendrá la forma: π y “n ”; n ∈ Z ó “n. 90º”. 2 (0; r) Ejemplo: r 90º Para diferentes valores enteros de “n” x tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …. y r n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 1. sen90º = = = 1 r r 360º; x 0 2. cos 90º = = = 0 r r El siguiente gráfico muestra algunos y r Ángulos Cuadrantales y su medida. 3. tg90º = = = / ∃ r 0 y La división de un número entre 0 90º 180º (cero) es una operación no definida. x -90º2. R. T. de Ángulos Cuadrantales 3. R. T. de Ángulos Coterminales Si dos o más ángulos son coterminales m∢ 0º, entonces las Razones Trigonométricas de 90º 180º 270º 360º sus medidas tienen el mismo valor R.T. 0; 2π π/2 π 3π/2 numérico por ende diremos que son Sen 0 1 0 -1 iguales. Cos 1 0 -1 0 y (a; b) Tg 0 N 0 N R.T. α = R.T. θ Ctg N 0 N 0 α Sec 1 N -1 N x Csc N 1 N -1 θ 1 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 2. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria a) a b) b c) Son ∢s coterminales los que tienen a-1 el mismo lado inicial y final. d) b-1 e) ab Ejemplos 2. Simplificar: ( a + b)2 sec 0º +( a − b)2 sen270º E= 2ab csc 90º a) a b) b c) 1 d) 2 e) 4 3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x π Calcular: “ f( ) ” 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x π Calcular: “ f( ) ” 4 a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 Ejercicio Resueltos1. Calcular: Tarea Nº 01 (3Sen90º − Cos180º ) 2 + 1 E= (2Sen270º − Cos360º ) 2 + 8 1. Calcular: Solución: 2 2 (a + b) sec360º + (a - b) cos180º E = Reemplazando valores: 2abcsc270º [ 3(1) − (-1) ] 2 + 1 a) 1 b) 2 c) 3 E= d) -3 e) -2 [ 2(-1) − ( 1 ) ] 2 + 8 4 2 +1 2. Calcular: E= (-3) 2 +8 ( a + b)3 sen90º +( a − b)3 cos 360º E= E= 17 a2 sec 0º +3b2 csc 90º 17 a) a b) b c) 2a ∴ E=1 d) 2b e) ab x x x 3. Si: f(x) = sen + cos + tg Práctica Dirigida Nº 01 2 3 4 Calcular: “f(π)” a) 1 b) 1,5 c) 21. Simplificar: d) 2,5 e) 3 ( a + b)sen90º − ( a − b) cos 0º E= 2ab cos 360º 2 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 3. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria d) (+) ó (–) e) No se puede precisar4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x 5. Señale el signo de: π 5 3 4 Calcular: “ f( ) ” Cos 160º.Tg 217º.Sen 310º 2 A = 3 5 a) 0 b) 1 c) 2 Sec 316º.Sen 190º d) -1 e) -2 a) (+) b) (–) c) (+) y (–) d) (+) ó (–) e) No se puede precisar 5. Calcular: E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º) 6. ¿A qué cuadrante pertenece ”θ”, si: Cosθ < 0; a) 16 b) 17 c) 18 y Senθ < 0? d) 19 e) 20 a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) Es cuadrantal 2 3 2 5 7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x m Sen 90º + n Cos 180º 6. Reducir: C = π mSen90º + nCos0º Calcular: “ f( ) ” 2 a) m + n b) m – n c) mn 2 2 2 2 a) 0 b) 1 c) 2 m +n m +n d) e) d) -1 e) -2 m+n m−n Tarea Nº 01 8. Si: β ∈ IIC, α ∈ IIIC ∧ θ ∈ IVC Indicar el signo de la expresión: csc α + cos β1. Calcular: E= tgβ − sec θ E = (2Sen180º – Sen90º)2 + (3Cos180º – Cos90º)2 a) 8 b) 9 c) 10 a) + b) - c) + ó - d) 11 e) 12 d) + ∧ - e) Todas son positivas2. Reducir: π 2Sen( ) - Cosπ 3 3 2 m Sen90º −n Cos360º 9. Calcular: E = J= 3π 2 2 3 Ctg( ) + Sec2π m Cos0º −mnSen270º −n Sen 270º 2 a) m – n b) m + n c) m a) –1 b) 1 c) – 2 d) n e) n – m d) 3 e) 2 2 10. Señale el signo de:3. Calcular: 3 5 2 (a + b) 2 Sec360º + (a − b) 2 Cos180º Sen 170º.Cos 214º.Tg 160º A = E= 4 3 2ab Csc270º Sec 200º.Cos 170º a) 1 b) 2 c) 3 a) (+) b) (–) c) (+) y (–) d) -3 e) -2 d) (+) ó (–) e) No se puede precisar4. Señale el signo de: Sen 340º.Ctg 124º P= Cos 316º a) (+) b) (–) c) (+) y (–) 3 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 4. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es ÁNGULOS COTERMINALES medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes. Los ángulos se pueden medir en el sentido Ejemplo 1: del movimiento de las agujas del reloj (tiene Encuentre un ángulo coterminal positivo y medida negativa) y al contrario del uno negativo con un ángulo de 55°. movimiento de las agujas del reloj (con 55° – 360° = –305° medida positiva). 55° + 360° = 415° Un ángulo de –305° y un ángulo de 415°  Dos o más ángulos se denominan son coterminales con un ángulo de 55°. coterminales, cuando tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final.  La diferencia entre dos o más ángulos coterminales es el número de vueltas sobre el lado inicial.  Aquí es donde se justifica porque los ángulos trigonométricos no tienen límites en su magnitud, pues sólo se diferencian en el número de vueltas. Ejemplos En General: ϴ=2π(n)+α ó ϴ= 360°(n)+α R.T[2π(n)+α]=R.T[α] R.T[360°(n)+α]=R.T[α] Ejercicios de Ángulos Coterminales Los siguientes ángulos están en la posición Si dos o más ángulos son coterminales estándar, encuentre dos ángulos coterminales entonces las Razones Trigonométricas de positivos y dos ángulos coterminales negativos en sus medidas tienen el mismo valor cada caso. numérico por ende diremos que son iguales. 1) 120° 2) 135° y 3) 240° (a; b) 4) 315° R.T. α = R.T. θ 5) 60° α 6) 90° 7) -30° x 8) -150° 9) 150° θ 10) -45° 4 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 5. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA 3. Del gráfico calcular: QUINTO AÑO DE SECUNDARIA “ÁNGULOS EN POSICION NORMAL” E = 5 secy + 4 cot β βESTUDIANTE:…………………………………… x βRESOLUCION DE PROBLEMAS1. Del siguiente gráfico calcular: (1; -2) E = 10 senθ − 12 cot θ y x θ (1; -3) 4. Calcular: 2 2 (a + b) sec360º + (a - b) cos180º E = 2abcsc270º 2. Si el punto P( −1; 3 ) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α” calcular: E = cotα + cscα 5. Reducir: 3 3 m Sen90º −n Cos360º J= 2 2 3 m Cos0º −mnSen270º −n Sen 270º 5 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 6. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria 6 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

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