Aulas Cap 4

2,366 views
2,154 views

Published on

Published in: Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,366
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
43
Actions
Shares
0
Downloads
86
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Aulas Cap 4

  1. 1. 1 Relações Diferenciais Aplicadas a um Elemento de Fluido Departamento de Engenharia Mecânica Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Luis Adriano Oliveira
  2. 2. 2 Relações Diferenciais Aplicadas a um Elemento de Fluido Equações diferenciais e integrais: origem comum nas Leis Básicas. Conteúdo informativo análogo (embora domínios espaciais distintos) Equações Integrais podem obter-se : - via aplicação das leis básicas a um VC ( cf. Cap. III ) ; - via integração, a um VC, das equações diferenciais. Equações Diferenciais podem obter-se : - por aplicação das leis básicas a um elemento de fluido (sistema) ; - por dedução formal matemática, partindo da formulação integral ; - por aplicação directa a um VC elementar da formulação integral : ∂ DN () ∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA = ˆ ∂t Dt
  3. 3. 3 Equação Diferencial da Continuidade Partindo da integral, por dedução formal: T. Gauss ∂ ∂ () () ∫∫SC ∂t ∫∫∫VC ρdv ⇒ ∫∫∫ div ρV dv = − ∫∫∫ ρdv ⇒ ρ V.n dA = − ˆ ∂t VC VC ∂ρ ∂ρ Dρ () + div ρV = 0 ⇒ + V.grad ρ + ρdivV = 0 ⇒ + ρdivV = 0 ∂t ∂t Dt [ Massa ] (Balanço, por unidades de volume e de tempo, entre a [ Volume.Tempo] matéria que entra e que sai, e a variação de densidade) ρ = c.te ⇒ div V = 0 Fluido incompressível : ∂u ∂v 2−D : =− ∂x ∂y
  4. 4. 4 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) ∂V ( ) unid. vol.: f = ρa ⇒ ρ + ρ V.grad V = f c + fs ∂t Como relacionar fs com o campo de velocidade? Pressão (tensões normais): f p = −gradp (força “líquida”/un. Vol.) Factor novo: atrito (origina tensões normais e tangenciais) A caracterização do estado de tensão num ponto é dada pelo conhecimento do estado de tensão em três faces infinitesimais ortogonais que se intersectam nesse ponto Tensor das tensões : 9 componentes σij
  5. 5. 5 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) 1 ( ) I = − σ xx + σ yy + σzz (Invariante do tensor) σ xx σ yx σzx 3 σ ij = σ xy σ yy σ zy τii : desvios (de p) dos termos diagonais σ xz σ yz σzz Se τ xx + τ yy + τzz = 0 (Stokes) entao I ≡ p − p + τ xx τ yx τzx τ : tensões originadas pelo atrito σ ij = τ xy − p + τ yy τzy τ xz τ yz − p + τzz O tensor das tensões é simétrico : τij = τji
  6. 6. 6 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) Força “líquida” /xx sobre as faces de um elemento de fluido (p + τ) : ∂σ yx    ∂σ xx ∂σ yx ∂σzx  σ yx + dy  dxdz  ∂y dfs x =  + +  dxdydz =    ∂x ∂y ∂z  ∂σ xx    ∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τzx   σ xx + dx  dydz σzx dxdy ∂x   σ xx dydz = − + + +  dxdydz  ∂x ∂x ∂y ∂z  dy σ yx dxdz dz ∂τ xx ∂τ yx ∂τzx ∂p dx =− + + + fs x ∂σ zx    σ zx + dz  dxdy ∂x ∂x ∂y ∂z ∂z   ∂τ xy ∂τ yy ∂τzy ∂p =− + + + fs y para un. vol. e por analogia: ∂y ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂τzz ∂p =− + + + fs z ∂z ∂x ∂y ∂z Falta relacionar τij com V
  7. 7. 7 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) Deve notar-se: - Estado de tensão taxa de deformação (campo de vel.) - Relação entre ambos só pode ser estabelecida por via empírica Pode admitir-se: - A relação é linear (fluido Newtoneano) - Não depende da direcção considerada (fluido isotrópico) A deform. de um elem. depende do mov. relativo de dois dos seus pontos O conhecimento do campo de veloc. permite caracterizar a taxa de def. em qq. ponto
  8. 8. 8 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) Casos típicos: ∂u dxdt y ∂x I) - Deformação linear seja: ∂ ∂u =0, >0 x dx ∂y ∂x Taxa de elongação relativa /x : ∂u / ∂x Taxa de dilatação volumétrica relativa :   ∂u ∂v ∂w   dx + dxdt   dy + dydt   dz + dzdt  − dxdydz  ∂x ∂y ∂z     = dxdydzdt ∂u ∂v ∂w (=0, se fluido incompressível) ++ = divV ∂x ∂y ∂z
  9. 9. 9 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) ∂u Casos típicos: dydt ∂y y II) - Deformação angular dy ∆θ seja: ∂ ∂ ≠0, =0 dx x ∂y ∂x ∂u ( ∂u / ∂y ) dydt Taxa = Deformação angular: ∆θ ≅ tg∆θ = ∂y dy ∂u dydt seja: ∂ ∂y ∂ ≠0, ≠0 ∂y ∂x ∂v dy dxdt ∂x dx ∂u ∂v + Taxa de def. no plano xy: (análogo nos planos xz e yz) ∂y ∂x
  10. 10. 10 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) ∂u Casos típicos: dydt y ∂y III) - Rotação ∂v dxdt ∂x seja: β ∂u ∂v ∂u ∂v x =− ∴ + =0 (deformação angular nula) ∂y ∂x ∂y ∂x Mas ocorreu rotação, de velocidade angular Ω . No plano xy: ∂v dxdt ∂v  ∂u  β β ∂x ≅ tg = =  = − ∂y  ∂x  dt dt dxdt  1  ∂v ∂u  Velocidade angular ∴ −  1 2  ∂x ∂y  de rotação no plano xy Ω = rotV 2 (análogo nos planos xz e yz)
  11. 11. 11 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) No movimento geral de um elemento de fluido: I) - Deformação linear  ∂u , ...  deformação volumétrica    ∂x   ∂u ∂v  II) - Deformação angular  + , ...   ∂y ∂x   1  ∂v ∂u   III) - Rotação pura   − , ...    2  ∂x ∂y   IV) - Translação (u,v,w) Apenas I e II originam deformações tensões a juntar à pressão Considerando empirismo, linearidade e isotropia, postula-se, então:
  12. 12. 12 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.) µ , λ : coef . isotro′pi cos  ∂v ∂u  ∂u τ xx = λdivV + 2µ τ xy = µ +  de proporcionalidade ∂x  ∂x ∂y   ∂w ∂v  ∂v Hipótese de Stokes : τ yy = λdivV + 2µ τ yz = µ  + ∂y  ∂y ∂z  2 ∂w  ∂u ∂w  λ=− µ τzz = λdivV + 2µ τzx = µ  +  3 ∂z  ∂z ∂x  τ xx + τ yy + τzz = 0 I = p (q.e.d.) Ponto da situação : ρ DV = ρg + fs () com : fs = − grad p + G V Dt
  13. 13. 13 Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (conclusão) DV () ρ = −grad p + ρ g + G V Dt   ∂   ∂u ∂v   ∂   ∂u ∂w   ∂   ∂u 2  ∂u ∂p  ρ  + V.gradu  = − + ρg x + µ  2 − divV   + µ  +   + µ  +   ∂t ∂x ∂x   ∂x 3   ∂y   ∂y ∂x   ∂z   ∂z ∂x    ∂   ∂v 2   ∂   ∂v ∂w   ∂   ∂v ∂u    ∂v ∂p  ρ  + V.gradv  = − + ρg y + µ  2 − divV   + µ  +   + ∂x µ  ∂x + ∂y    ∂t ∂y ∂y   ∂y 3   ∂z   ∂z ∂y        ∂   ∂w ∂u   ∂   ∂w ∂v   ∂   ∂w 2  ∂w ∂p  ρ + V.gradw  = − + ρg z + µ  2 − divV   + µ  +  + µ +  ∂x   ∂x ∂z   ∂y   ∂y ∂z   ∂t ∂z ∂z   ∂z 3      

×