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Análise Combinatória
 

Análise Combinatória

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    Análise Combinatória Análise Combinatória Document Transcript

    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ Introdução Esse esquema é conhecido como diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todas Quando Magali se aproximou, os vendedores as “ramificações” da árvore, obtemos as rapidamente informaram a ela as seguintes possíveis refeições. opções de comida: o primeiro ofereceu hot dog Notemos que fazer uma refeição completa simples (maionese, salsicha, catchup e mostarda) representa uma ação constituída de duas ou completo (simples mais purê, batata palha, etapas sucessivas. A primeira é a escolha do vinagrete, etc.), e o segundo sugeriu sorvete de tipo de hot dog: há duas possibilidades de fazer chocolate, flocos ou morango. tal escolha. A segunda é a escolha do sabor do Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, sorvete: para cada uma das possibilidades informando-lhes que acabara de almoçar e estava anteriores, há três maneiras de escolher o sem fome. Iria apenas “forrar o estômago”, sabor da bola de sorvete. servindo-se de um sanduíche e de uma bola de Assim, a realização da ação (duas etapas sorvete. sucessivas) pode ser feita de De quantos modos distintos Magali pôde fazer sua maneiras distintas. “refeição”? Para resolver problemas de contagem elementares (como o do exemplo dado) ou De acordo com o problema, podemos ter bem mais complexos, passaremos a estudar, as seguintes refeições: com detalhes, a Análise Combinatória. • Hot dog simples e sorvete de chocolate; • Hot dog simples e sorvete de flocos; Princípio Fundamental da Contagem • Hot dog simples e sorvete de morango; Suponhamos que uma ação seja • Hot dog completo e sorvete de chocolate;constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de maneiras • Hot dog completo e sorvete de flocos; distintas. Para cada uma dessas • Hot dog completo e sorvete de morango; possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada A determinação de tais possibilidades de maneiras distintas. Então, o número de pode ser simplificada por meio de um possibilidades de se efetuar a ação completa diagrama, em que a 1ª coluna, representa as é dado por . possibilidades de escolha de hot dog e, na 2ª Esse princípio pode ser generalizado para coluna, as possibilidades de escolha do sabor ações constituídas de mais de duas etapas da bola de sorvete. sucessivas. Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 1
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ Exercícios A medida que aumenta, o cálculo de torna-se mais trabalhoso. Notemos, então, as 1) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três seguintes simplificações: estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? Esses exemplos sugerem a seguinte relação de recorrência: 3) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? 4) Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Exercícios 5) Quantos números ímpares de três algarismos distintos 6) Calcule: podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e a) d) 7? b) e) c) f) Fatorial de um número natural 7) Efetue: Dado um número natural , definimos o a) d) fatorial de (indicado por ) através das relações: b) e) I. c) f) 8) Simplifique: II. Se . III. Se . a) d) Notemos que, em I, o fatorial de b) e) representa o produto dos primeiros naturais positivos, escritos desde até 1. c) EXEMPLOS Assim, temos: 9) Resolva a equação a) 10) (UA – AM) Simplifique a expressão: b) Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 2
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ Arranjos Simples 14) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de Dado um conjunto com elementos três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser distintos, chama-se arranjo dos elementos, “confeccionadas”? tomados a , a qualquer sequência ordenada de 15) Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma elementos distintos escolhidos entre os sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses existentes. filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo, diferente EXEMPLO: do primeiro, às 18 horas. De quantas maneiras Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, vamos escrever todos distintas a sequência de filmes pode ser escolhida? os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. Combinações Simples Devemos escrever todas as sequências ordenadas de dois elementos distintos escolhidos entre os elementos de Dado um conjunto com elementos A. Assim, temos: distintos, chama-se combinação dos elementos de , tomados a , a qualquer subconjunto de (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 3) (2, 4) formado por elementos. (3, 1) (3, 2) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) EXEMPLO: Notemos que (2, 3) ≠(3, 2), isto é, a troca na ordem dos Vamos escrever todas as combinações dos cinco elementos de um possível agrupamento gera um elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u}, tomados dois a agrupamento diferente. dois: Para um conjunto com elementos Devemos determinar todos os subconjuntos de M distintos, temos uma fórmula recursiva para formados por dois elementos. Lembremos que não importa calcular o número de arranjos desses elementos tomados a . a ordem dos elementos escolhidos: {a, e} = {e, a}, por exemplo. Assim, as combinações pedidas são: {a, e} {a, i} {a, o} {a, u} {e, i} Exercícios {e, o} {e, u} {i, o} {i, u} {o, u} 11) Calcule o valor de . Para um conjunto com elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para 12) Resolva a equação . calcular o número de combinações desses 13) O quadrangular final de um torneio mundial de elementos tomados a . basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? Exercícios Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 3
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ 16) Calcule o valor de . 17) Resolva a equação . EXEMPLO: 18) Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a Vamos escrever todos os anagramas da palavra SOL. seus clientes. Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação a) De quantas maneiras uma família pode escolher das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com três desses sabores? ou sem sentido. b) Suponhamos, agora, que uma família sempre opta Temos: por mussarela. Como poderão ser escolhidos os SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO, outros dois sabores? 19) Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. Exercícios a) Quantas comissões de dois meninos e duas 21) Calcule: meninas podem ser formadas? a) b) c) b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino? 22) Determine , sabendo que . 20) Marcam-se cinco pontos sobre uma reta . Sobre outra 23) Resolva a equação . reta , paralela a , marcam-se mais quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices 24) Qual é o número de anagramas da palavra SOMA? E de em três quaisquer desses pontos? LIVRO? 25) Considere os anagramas da palavra BRASIL. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Devemos ter em mente sempre que: quando a a) Quantos são? ordem dos elementos é importante, o problema b) Quantos começam por B? deve ser resolvido por Arranjo, se a ordem dos c) Quantos começam por vogal? elementos não é importante, o problema deve ser resolvido por Combinação!!! 26) Determine quantos anagramas da palavra BRASIL apresentam as letras BR juntas e: Permutações Simples a) Nessa ordem; Dado um conjunto com elementos b) Em qualquer ordem. distintos, chama-se permutação dos elementos a 27) Considere os anagramas formados com as letras C, toda ordenação desses elementos. A, S, T, E, L, O: O número total de permutações de a) Quantos são? elementos, indicado por , é dado por: b) Quantos começam por C? Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 4
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ c) Quantos começam por CAS? representa outra letra), são iguais a , …, o número de permutações possíveis é dado d) Quantos começam e terminam por vogal? por: e) Quantos começam por vogal e terminam por consoante? 28) De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E, podem ser dispostas em fila indiana? Exercícios 29) Oito pessoas, entre elas Antônio e Pedro, vão posar 31) Calcule o número de anagramas de: para uma fotografia. De quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antônio e Pedro recusam-se a ficar a) APOSENTADO c) RODOVIÁRIA lado a lado? b) SOSSEGADO 30) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de 32) Um dado é lançado 4 vezes. De quantos modos Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria. De distintos pode ser obtida uma sequência com três faces quantos modos podemos arrumar esses livros na iguais a 1 e uma face igual a 6? estante, se desejamos que os livros de um mesmo 33) Permutando os algarismos 3, 2, 3, 4, 4 e 5, quantos assunto permaneçam juntos? números de 6 algarismos podemos formar? 34) Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos Permutação com elementos repetidos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas? Já vimos que o número de permutações de 35) Considere os anagramas formados a partir de 4 elementos distintos, por exemplo, é dado por . Assim, o número de CORREDOR. anagramas que podem ser formados a partir a) Quantos são? de GATO, CAFÉ, ILHA etc. é igual a 24. b) Quantos começam por R? Consideremos agora a palavra CASA. Ao c) Quantos começam por COR? montarmos seus anagramas (faça isso), percebemos que são apenas 12. Tal d) Quantos começam e terminam por R? diminuição deve-se ao fato de que a letra A aparece repetida. De fato, dado um anagrama qualquer de CASA, ao mantermos fixas as Permutações Circulares posições de C e de S e permutarmos as duas No caso da permutação com repetição letras A, obteremos a mesma sequência: existe um caso especial, a permutação circular. Observe o exemplo a seguir. Vamos determinar de quantas maneiras 5 De modo geral, se temos elementos, dos meninas que brincam de roda podem formá- quais são iguais a ( representa, por la. exemplo, uma letra), são iguais a ( Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 5
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ Fazendo um esquema, observando que são dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três posições iguais: pares de tênis, responda: de quantas maneiras distintas poderá vestir-se? 2) Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami através de duas O total de posições é e cada 5 companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode representa uma só permutação circular. escolher também entre a primeira classe, classe Assim, o total de permutações circulares será dado por: executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha? 3) Um jantar constará de três partes: entrada, prato Generalizando, para determinar uma principal e sobremesa. De quantas maneiras permutação circular, utilizamos a fórmula: distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas? Exercícios 4) O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no 36) De quantas maneiras 7 meninas podem formar a roda? trem e sair dele por uma porta diferente da que 37) Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos usou para entrar? distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o 5) Uma prova consta de dez testes de múltipla jantar sem que haja repetição das posições? escolha. De quantas maneiras distintas a prova pode ser resolvida, se cada teste tem cinco 38) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe alternativas distintas? e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições 6) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9: diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da a) Quantos números de quatro algarismos mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? podemos formar? 39) Dois meninos e três meninas formarão uma roda b) Quantos números de quatro algarismos dando-se as mãos. De quantos modos diferentes distintos podemos formar? poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos? 7) Quantos números de três algarismos distintos existem? Exercícios Complementares 8) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos 1) Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, números ímpares de quatro algarismos podemos uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele formar? Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 6
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ 9) Deseja-se formar números divisíveis por 5, adversário). Quantas partidas são disputadas ao compostos de quatro algarismos distintos. Quantas todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, fazem a final no mesmo sistema? 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 18) Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20 10) Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é programas distintos. formado por uma sequência de três algarismos a) Quantas são as possíveis sequências de seis distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das programas distintos a serem exibidos em um centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 dia? minutos para testar uma possível sequência, qual o b) Suponha que, entre 20 programas, haja apenas tempo máximo para o ladrão abrir o cofre? um musical. De quantas maneiras a 11) Resolva a equação . programação acima pode ser escolhida de modo que sempre se encerre com o programa 12) Simplifique . musical? 13) Resolva a equação 19) Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de cinco tipos de música: valsa, samba, dance music, MPB e rock. De quantas maneiras o anfitrião poderá escolher os ritmos de abertura e 14) Resolva as seguintes equações: fechamento da festa, se ele já decidiu manter a) samba no restante da festa e não pretende repetir b) nenhum ritmo? 15) Resolva as seguintes equações: 20) Dez enxadristas participam de um campeonato em que todos jogam contra todos. Se um deles vence a) todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados? b) 21) Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos 16) Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa são os resultados possíveis para que sejam candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? poderão ser escolhidos presidente e vice- Em quantos resultados o atleta X recebe medalha, presidente? mas o atleta Y não? 17) A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 22) (FGV – SP) Suponha que uma senha utilizada 15 equipes no sistema de turno e returno (a equipe numa rede de computadores seja constituída de 5 A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: letras, escolhida entre 26 do alfabeto latino, sendo uma em seu campo e a outra no campo permitida a repetição de letras. Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 7
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ a) Quantas senhas diferentes podem ser c) Em quantas respostas não aparece o nome de construídas? Guga? b) Quantas senhas podem ser construídas com 26) Um torneio de futebol será disputado em duas uma letra comparecendo pelo menos duas sedes a serem escolhidas entre seis cidades. De vezes? quantas maneiras poderá ser feita a escolha das 23) Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RH duas cidades? (Recursos Humanos) relaciona de todas as 27) Quinze alunos participam de um sorteio promovido formas possíveis dois participantes: ao pelo professor de Matemática. Se ele dispõe de três primeiro faz a pergunta e ao segundo pede que prêmios idênticos, de quantas formas poderão ser comente a resposta do colega. Admita que a escolhidos os alunos? psicóloga não repetirá a mesma pergunta mais 28) Uma classe tem 30 alunos. Um professor organiza de uma vez. uma prova oral para a qual 5 alunos serão a) Se 10 candidatos participam da dinâmica, qual sorteados ao acaso. De quantas formas o professor é o número de perguntas feitas pela psicóloga? poderá escolher os alunos? b) Qual é o número mínimo de candidatos que 29) (UF – BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, obriga a psicóloga a ter mais de 250 questões laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos para realizar a dinâmica? sabores diferentes pode-se preparar um suco, 24) Um curso de inglês é dividido em quatro partes: usando-se três frutas distintas. vocabulário, gramática, conversação e 30) De um baralho de 52 cartas, sorteamos interpretação de textos. Todos os dias, essas partes simultaneamente cinco cartas. são estudadas, mas nunca na mesma ordem. Em a) Quantas são as possibilidades de sorteio das quantos dias se esgotará a sequência possível de cartas? aulas para o curso? b) De quantas formas essas cartas podem ser 25) Uma pesquisa deseja saber a ordem de sorteadas de modo que o ás de copas seja preferência dos três maiores ídolos do esporte sempre incluído? no Brasil. 31) (FGV - SP) O administrador de um fundo de ações a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a dispõe de ações de 10 empresas para a compra, cada entrevistado é apresentada uma lista com entre elas as da empresa R e as da empresa S. o nome de 20 esportistas? a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga empresas, entre as 10? como 1º colocado? b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 8
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ quantas formas ele poderá escolher as 37) Um professor dispõe de 8 questões de Álgebra e empresas? duas de Geometria para elaborar uma prova de 10 32) Em uma reunião havia pessoas; cada uma questões. De quantas maneiras ele poderá escolher saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo a ordem delas, sabendo que as de Geometria não que houve ao todo 66 apertos de mão, responda: podem aparecer uma em seguida da outra? qual é o valor de ? 38) (UF – AL) Aline e Cláudia fazem parte de um grupo 33) Uma junta médica deverá ser formada por quatro de 6 pessoas que devem ocupar 6 cadeiras médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras enfileiradas. Se as duas não podem ocupar ela poderá ser formada se estão disponíveis dez simultaneamente as cadeiras das extremidades, de médicos e seis enfermeiros? quantos modos podem ser acomodadas essas 6 pessoas? 34) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma 39) Uma classe de 10 alunos, entre eles Júlia e comissão de três meninos e quatro meninas, Alberto, será submetida a uma prova oral em incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a que todos os alunos serão avaliados. De melhor aluna? quantas maneiras o professor pode escolher a sequência dos alunos: 35) Uma locadora de automóveis tem à disposição a) Se Júlia deve ser sempre a primeira a ser de seus clientes uma frota de dezesseis carros nacionais e quatro carros importados. De chamada e Alberto sempre o último a ser quantas formas uma empresa poderá alugar chamado? três carros de modo que: b) Se Júlia deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a ser a) Todos sejam nacionais? chamada? b) Pelo menos um carro nacional seja escolhido? 40) Um comício reúne oito políticos de um partido, entre eles o presidente e seu vice. Supondo que 36) (FGV – SP) Um processo industrial deve passar todos os políticos presentes irão discursar, de pelas etapas A, B, C, D e E. quantas maneiras pode ser estabelecida a a) Quantas sequências de etapas podem ser sequência de discurso: delineadas se A e B devem ficar juntas no início a) Se o comício for aberto pelo presidente do do processo e A deve anteceder B? partido? b) Quantas sequências de etapas podem ser b) Se o presidente e vice devem,em qualquer delineadas se A e B devem ficar juntas, em ordem, iniciar e encerrar o comício? qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo? c) Se presidente e vice, nessa ordem, devem discursar consecutivamente? Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 9
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ 41) Considere os anagramas da palavra CHAVE. Em 47) (Unifap – AP) A cidade de Macapá é banhada quantos desses anagramas as vogais não aparecem pelo rio Amazonas e cortada pela linha do lado a lado? Equador. Responda: 42) Uma empresa distribui a seus funcionários um a) Quantos são os anagramas da palavra questionário constituído de duas partes. Na 1ª, o MACAPÁ? funcionário deve colocar a ordem de preferência de b) Quantos anagramas da palavra AMAZONAS turno de trabalho: diurno, vespertino e noturno. Na começam por consoante? 2ª, o funcionário deve escolher, em ordem de c) Em quantos anagramas da palavra EQUADOR as preferência, dois dos sete dias da semana para folgar. De quantas maneiras um funcionário letras Q, U, A mantém-se juntas? poderá preencher esse questionário? 48) Calcule o número de anagramas obtidos a partir 43) (UF – MG) Considere formados e dispostos em de ARARA. Conclua que quando uma palavra de ordem crescente todos os números que se obtém letras é formada exclusivamente por 2 letras que se permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e . Nessa repetem vezes e vezes , as disposição, que lugar ocupa o número 75391? fórmulas de permutação e combinação se equivalem. 44) Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma de suas 3 ex-mulheres, uma foto de seu irmão, uma 49) Uma equipe de futebol disputou 8 jogos em um foto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock e torneio: venceu 4, perdeu 2 e empatou 2. uma foto do jogador de futebol favorito. De quantos a) De quantos modos distintos pode ter ocorrido a modos distintos ele poderá dispor tais fotos em 5 sequência de resultados? porta-retratos (3 sobre o aparador e 2 na parede), b) Supondo que a equipe estreou no torneio com se deseja que as fotos das ex-mulheres apareçam vitória e o encerrou também com vitória, de juntas sobre o aparador)? quantos modos distintos pode ter ocorrido a 45) Considere os números obtidos do número 12345, sequência dos outros resultados? efetuando-se todas as permutações de seus 50) Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De algarismos. Colocando esses números em ordem quantas maneiras é possível retirar, uma a uma, crescente, qual o lugar ocupado pelo número as 8 bolas dessa urna? 43521? 46) Uma prova contém 10 testes que devem ser Questões de vestibulares respondidos com V ou F. De quantos modos distintos ela pode ser resolvida assinalando-se 3 1) (UFPA – PSS 06) Por ocasião dos festejos da testes com V e 7 com F? Semana da Pátria, uma escola decidiu exibir seus melhores atletas e as respectivas medalhas. Desses atletas, em número de oito e designados por a1, Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 10
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ a2, a3, ..., a8, serão escolhidos cinco para, no 4) (UFPA – PSE 09/2) O número de palavras distintas momento do desfile, fazerem honra à Bandeira que podemos formar permutando as letras da Nacional. Do total de grupos que podem ser palavra JURUTI é igual a formados, em quantos o atleta a2 estará presente? a) 120 d) 720 a) 18 d) 41 b) 240 e) 5040 b) 21 e) 55 c) 360 c) 35 5) (UEPA – PROSEL 06) O presidente de uma Comissão 2) (UFPA – PSS 07) No cartão da mega-sena existe a Parlamentar Mista de Inquérito (CPMI) escolheu 5 opção de aposta em que o apostador marca oito senadores e 6 deputados federais para a formação números inteiros de 1 a 60. Suponha que o de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2 apostador conheça um pouco de Análise senadores e 3 deputados federais. Assim, o número Combinatória e que ele percebeu que é mais de subcomissões que podem ser formadas com os vantajoso marcar um determinado número de parlamentares escolhidos é: cartões, usando apenas os oito números, de modo a) 30 d) 200 que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da b) 90 e) 240 sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo c) 150 que cada aposta seja feita usando apenas seis 6) (UEPA – PROSEL 07) Obedecendo ao código de números, a quantidade de cartões que o apostador cores disposto no QUADRO III, o sindico de um deve apostar é edifício de apartamentos resolveu recolher a) 8 d) 19 seletivamente os resíduos sólidos do prédio, b) 25 e) 17 instalando na área de serviços quatro recipientes, um de cada cor, numerados de 1 a 4 e colocados c) 28 lado a lado. O número de maneiras diferentes que o 3) (UFPA – PSS 08) O número de possibilidades de síndico dispõe para arrumar esses quatro colocar seis pessoas em círculo igualmente recipientes, de modo que o AZUL seja sempre o espaçadas, de modo que duas delas não possam número 1, é: ficar em posições opostas, é: a) 96 d) 72 b) 120 e) 60 c) 24 Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 11
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ a) 120 d) 60 b) 108 e) 56 c) 84 a) 6 d) 18 9) (UEPA – PROSEL 09) A graviola é uma fruta que b) 8 e) 24 possui diversos nutrientes , como as Vitaminas C, c) 12 B1 e B2 e os Sais Minerais: Cálcio, Fósforo, Ferro, 7) (UEPA – PROSEL 07) Para a coleta de resíduos do Potássio e Sódio. Uma indústria química deseja prédio, o sindico pretende utilizar os 6 recipientes fabricar um produto a partir da combinação de 4 que encontram-se enfileirados na área de serviço. daqueles nutrientes, entre vitaminas ou sais Para tanto, deseja pintá-los, cada um de uma só minerais, encontrados na graviola. A quantidade cor, utilizando as quatro cores do código de cores de produtos que poderá ser fabricada, se forem do QUADRO III, da questão acima. O número de utilizados no máximo 2 tipos de vitaminas, será de: maneiras que poderá fazer essa pintura é: a) 26 d) 60 b) 30 e) 65 c) 32 a) 4096 d) 720 10) (UEPA – PROSEL 09) b) 1296 e) 360 c) 972 8) (UEPA – PROSEL 08) Visando obter mais informações sobre a denúncia de que uma tribo da região Amazônica estava sendo dizimada, um repórter recorreu a seu computador para acessar a Internet, entretanto não lembrou a senha de Considere que os programas acima (Texto 8) sejam acesso, que era composta por três algarismos. exibidos em três turnos: o primeiro pela manhã, o Lembrava apenas que a senha era composta por segundo pela tarde, e o terceiro pela noite. Então, o três dos cinco algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. Para número de maneiras distintas que a seqüência de encontrar a senha, o repórter escreveu num papel programas pode ser exibida é: todos os possíveis agrupamentos com esses a) 10 d) 80 algarismos. O número de agrupamentos escritos por esse repórter, na tentativa de encontrar a b) 30 e) 120 senha de acesso à Internet, é: c) 60 Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 12
    • Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __ 11) (UEPA – PROSEL 10) Uma loja de um shopping Center na cidade de Manaus divulga inscrições para um torneio de Games. Para realizar essas inscrições, a loja gerou um código de inscrição com uma sequência de quatro dígitos distintos, sendo o primeiro elemento da sequência diferente de zero. A quantidade de códigos de inscrição que podem ser gerados utilizando os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é: a) 4.500 d) 4693 b) 4.536 e) 5000 c) 4684 Contatos: 88165226 / 81094287 Email do Orkut e MSN: sergio_evaldo01@hotmail.com Página 13