Exponentes especiales

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Exponentes especiales

  1. 1. E MATEMÁTICAS Exponentes y radicales. Exponentes especiales.Hasta ahora, en esta explicación de los exponentes, nuestra atención se ha concentradosobre los exponentes que son enteros positivos. Hay dos tipos de exponentes que no sonenteros positivos y dos que son tratados como casos especiales aunque puedenconsiderarse como enteros positivos.Cero como exponentePotencias de números racionales con exponente natural.Definición: Se llama potencia cero de un número racional cualquiera, distinto de cero,al número uno.El cero aparece como exponente en la respuesta a un problema tal como 43 ÷ 43. La leyde los exponentes para la división establece que los exponentes deben restarse. Esto seilustra así:Otra forma de expresar el resultado de dividir 43 por 43 es emplear el axiomafundamental que establece que todo número dividido por sí mismo es 1. Para que lasleyes de los exponentes sean ciertas en todos los casos esto también debe ser ciertocuando todo número elevado a una potencia es dividido por sí mismo. Entonces, 43 / 43debe ser igual a 1.Visto que se ha demostrado que 43/43 es igual a 40 y 1, llegamos a la conclusión de que40= 1Por el mismo razonamiento,
  2. 2. Entonces, vemos que todo número dividido por sí mismo da un exponente cero y tieneun valor 1. Por definición, pues, todo número diferente de cero elevado a la potenciacero es igual a 1. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:Uno como exponente A veces surge el número 1 corno exponente, como resultado de una división.Definición II – Se llama potencia primera de un número racional cualquiera al mismonúmero .Definición III. Se llama potencia enésima de un número racional cualquiera (siendo nun número natural mayor que uno) al producto de n factores iguales a ese número.Regla práctica para elevar una fracción a potencia. Los ejemplos anteriores y laconsideración de que en cualquier otro caso se procede en la misma forma, nos conducea la siguiente:
  3. 3. REGLA PRÁCTICA. Para elevar un número racional a potencia se elevan sunumerador y si, denominador a dicha potencia.En el ejemplo 53/52 restamos los exponentes para obtener: 53-2 = 51Este problema puede encararse en otra forma, así:En consecuencia, 51=5Sacamos en conclusión que todo número elevado a la primera potencia es el númeromismo. El exponente 1, por lo general, no se escribe, pero se sobreentiende que existe.Potencias con exponente negativo. En las potencias estudiadas hasta ahora, elexponente era siempre un número natural. Vamos a extender, ahora, el estudio de laspotencias, al caso en que el exponente de éstas sea un número entero negativo. Asítienen significado claro para nosotros las expresiones tales como:Si la ley de los exponentes para la división se extiende para incluir casos en que elexponente del denominador es mayor, aparecen exponentes negativos. Entonces,Otra forma de expresar este problema es esta:Por consiguiente,
  4. 4. Deducimos que un número N con un exponente negativo equivale a una fracción quetiene la firma siguiente: Su numerador es 1; su denominador es N con un exponentepositivo cuyo valor absoluto es el mismo que el valor absoluto del exponente original.En símbolos, esta regla puede establecerse de la manera que sigue:Los ejemplos que ofrecemos a continuación ayudan a ilustrar la regla:Note que el signo de un exponente puede cambiarse moviendo simplemente laexpresión que contiene el exponente a la otra posición en la fracción. El signo delexponente cambia cuando se realiza este movimiento. Por ejemplo,Usando las relaciones anteriores, un problema tal como 3/5-4 puede simplificarse comosigue:Como la definición de potencia con exponente natural, no es aceptable en el caso en queel exponente sea negativo, pues no tiene sentido hablar de un producto de un número
  5. 5. negativo de factores, daremos una nueva definición. Por razones que después veremos,los Matemáticos han preferido la siguiente: DEFINICIÓN. Toda potencia con exponente negativo de un número racionaldistinto de cero, significa el cociente del número uno por una potencia de la mismabase, con exponente positivo y de igual valor absoluto que el de la dada.En símbolos: SiendoPermanencia de las propiedades de las potencias con exponente natural en laspotencias con exponente negativo.La definición de potencia con exponente negativo elegida, que puede parecer arbitraria,tiene la ventaja de que con ella todas las propiedades de las potencias con exponentenatural, siguen siendo válidas para estas nuevas potencias, lo que se demuestraaplicando la definición y las mencionadas propiedades, en la forma que se indica acontinuaciónEn lo que sigue, con el objeto de simplificar la escritura, representaremos a los númerosracionales por la letras minúsculas a, b, c, etc. De manera que ahoraCorolario de la definición - Siendo por definiciónEs decir: Toda frección de numerador 1 puede escribirse como potencia de exponentenegativo de su denominador.Ejemplos:
  6. 6. Propiedad uniforme - Si ambos miembros de una igualdad se elevan a una mismapotencia de exponente negativo, se obtiene otra igualdad .En símbolos :Propiedades distributivas. Potencia de un producto – La potencia de exponentenegativo de un producto, es igual al producto de las potencias, de igual exponente, delos factores.Ejemplos:
  7. 7. Exponentes fraccionariosLos exponentes fraccionarios obedecen a las mismas leyes que los exponentes enteros.Por ejemplo,Advierta que el número 41/2, cuando se lo eleva al cuadrado en el ejemplo anterior,produce el número 4 como respuesta. Recordando que la raíz cuadrada de un número Nes un número x tal que x 2= N, deducimos que 41/2 es equivalente a . Entoncestenemos una definición como esta: Un exponente fraccionario de la forma l/r indica unaraíz cuyo índice es r. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:Note que en una expresión tal como 82/3 podemos determinar primero la raíz cúbica de 8o elevar primero 8 al cuadrado, según se muestra en el siguiente ejemplo:Todos los números en el cálculo de 82/3 siguen siendo pequeños si se determina antes laraíz cúbica elevando el número a la segunda potencia. Este orden de operación es
  8. 8. particularmente deseable al calcular un número como 645/6. Si se elevara primero 64 a laquinta potencia resultaría un número grande. Podría requerir una cantidad grande einnecesaria de esfuerzo para determinar la sexta raíz de 645 El resultado se obtienefácilmente si escribimosSi aparece una fracción impropia en un exponente tal como 7/3 en la expresión 27/3, escostumbre mantener la fracción en esa forma en vez de expresarla como número mixto.En forma fraccionaría un exponente muestra de inmediato qué potencia y qué raízintervienen. Sin embargo, 27/3 puede expresarse en otra forma y es factible simplificarlocambiando la fracción impropia a número mixto y escribiendo la parte fraccional en laforma radical, como sigue:La ley de los exponentes para la multiplicación puede combinarse con la regla paraexponentes

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