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9). transport phenomena (finished)

  1. 1. IXTransport Phenomena
  2. 2. Transport PhenomenaPrinciple of Conservation of Energy; Molecular Diffusion (mass); Heat Conduction (energy); Viscosity (momentum)Molecular DiffusionFick’s Law𝐽 = π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’π‘  π‘π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘ π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘¦π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’π‘ π‘š2 𝑠𝑛 = π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’ π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘¦π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’π‘ π‘š3𝐷 = π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘ π‘–π‘œπ‘› π‘π‘œπ‘’π‘“π‘“π‘–π‘π‘–π‘’π‘›π‘‘ π‘š2π‘ βˆ’1We define β€˜positive’ to be on right handside. ∴ For the gas to diffuse to the right,𝐽 π‘₯ > 0,πœ•π‘›πœ•π‘₯< 0Consider 𝑑𝑉 = 𝑆𝑑π‘₯,For 𝑁 = π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’π‘ ,βˆ΄π‘ π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’π‘ π‘† π‘š2 𝑑 𝑠= 𝐽Suppose 𝐽 π‘₯β€²> 𝐽 π‘₯,∴ 𝑑𝑁 = 𝐽 π‘₯ βˆ’ 𝐽 π‘₯′𝑆𝑑𝑑𝐽 π‘₯ = βˆ’π·πœ•π‘›πœ•π‘₯𝐽 π‘₯ 𝐽 π‘₯′𝑆𝑑π‘₯Since 𝑑𝐽 π‘₯ = 𝐽 π‘₯β€²βˆ’ 𝐽 π‘₯,𝑑𝑁 = 𝐽 π‘₯ βˆ’ 𝐽 π‘₯′𝑆𝑑𝑑 = βˆ’ 𝑑𝐽 π‘₯ 𝑆𝑑𝑑𝑑𝑁𝑑𝑑= βˆ’ 𝑑𝐽 π‘₯ 𝑆𝑑𝑁𝑑𝑑= βˆ’π‘‘π½ π‘₯𝑑π‘₯𝑆𝑑π‘₯ = βˆ’π‘‘π½ π‘₯𝑑π‘₯𝑑𝑉Since𝑁𝑉= 𝑛, π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘™π‘’ 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑦,𝑑𝑛𝑑𝑑= βˆ’π‘‘π½ π‘₯𝑑π‘₯From Fick’s Law, 𝐽 π‘₯ = βˆ’π·πœ•π‘›πœ•π‘₯πœ•π‘›πœ•π‘‘= βˆ’πœ•π½ π‘₯πœ•π‘₯= βˆ’πœ• βˆ’π·πœ•π‘›πœ•π‘₯πœ•π‘₯πœ•π‘›πœ•π‘‘= π·πœ•2π‘›πœ•π‘₯2Diffusion EquationIn reality, the diffusion of gas is uneven.However, we will learn only β€˜stationarydiffusion’.Stationary diffusionπœ•π‘›πœ•π‘‘= 0Meaning that𝑛 = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘ with respect to time.πœ•π‘›πœ•π‘‘= βˆ’πœ•π½ π‘₯πœ•π‘₯πœ•π‘›πœ•π‘‘= π·πœ•2 π‘›πœ•π‘₯2
  3. 3. Since𝑑𝑛𝑑𝑑= βˆ’π‘‘π½ π‘₯𝑑π‘₯andπœ•π‘›πœ•π‘‘= 0,𝑑𝐽 π‘₯𝑑π‘₯= 0Meaning that𝐽 π‘₯ = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘ π‘€π‘–π‘‘β„Ž π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘ π‘‘π‘œ π‘₯or position on x βˆ’ axis.Consider Fick’s law 𝐽 π‘₯ = βˆ’π·πœ•π‘›πœ•π‘₯,For𝑑𝐽 π‘₯𝑑π‘₯= 0,𝐽 π‘₯ = βˆ’π·πœ•π‘›πœ•π‘₯πœ•π‘› = βˆ’π½ π‘₯π·πœ•π‘₯πœ•π‘›π‘₯π‘₯0= βˆ’π½ π‘₯π·πœ•π‘₯π‘₯π‘₯0Since 𝐽 π‘₯ = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘ π‘€π‘–π‘‘β„Ž π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘ π‘‘π‘œ π‘₯,𝑛 βˆ’ 𝑛0 = βˆ’π½ π‘₯𝐷π‘₯ βˆ’ π‘₯0Usually we take π‘₯0 = 0,𝑛 = βˆ’π½ π‘₯𝐷π‘₯ + 𝑛0Stationary diffusionπœ•π‘›πœ•π‘‘= 0𝑑𝐽 π‘₯𝑑π‘₯= 0𝑛 = βˆ’π½ π‘₯𝐷π‘₯ + 𝑛0Heat Transfer1). Heat Conduction2). Heat Convection3). Thermal RadiationHeat Conduction; occur when there is a difference intemperature, from high to lowtemperature.Fourier’s Law𝐽 𝐸 = πΈπ‘›π‘’π‘Ÿπ‘¦ π‘π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘ π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘¦π½π‘š2 𝑠𝐾 = π‘‡β„Žπ‘’π‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘™ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘¦π½π‘šπ‘ πΎπΎ > 0Consider π‘š = πœŒπ‘†π‘‘π‘₯,Suppose 𝑑𝐽 𝐸 = 𝐽 πΈβ€²βˆ’ 𝐽 𝐸,𝑄 π‘Ÿπ‘’π‘šπ‘Žπ‘–π‘›π‘’π‘‘ = π‘šπΆ 𝑑𝑇 = βˆ’ 𝑑𝐽 𝐸 π‘†π‘‘π‘‘πœŒπ‘†π‘‘π‘₯ 𝐢𝑑𝑇𝑑𝑑= βˆ’ 𝑑𝐽 𝐸 π‘†πœŒπΆπœ•π‘‡πœ•π‘‘= βˆ’πœ•π½ πΈπœ•π‘₯𝐽 𝐸 = βˆ’πΎπœ•π‘‡πœ•π‘₯𝐽 𝐸 𝐽 𝐸′𝑆𝑑π‘₯πœŒπΆπœ•π‘‡πœ•π‘‘= βˆ’πœ•π½ πΈπœ•π‘₯
  4. 4. Since πœŒπΆπœ•π‘‡πœ•π‘‘= βˆ’πœ•π½ πΈπœ•π‘₯,And 𝐽 𝐸 = βˆ’πΎπœ•π‘‡πœ•π‘₯,πœŒπΆπœ•π‘‡πœ•π‘‘= βˆ’πœ• βˆ’πΎπœ•π‘‡πœ•π‘₯πœ•π‘₯Stationary heat conductionMeaning that𝑇 = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘ with respect to time.Meaning that𝐽 𝐸 = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘ π‘€π‘–π‘‘β„Ž π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘ π‘‘π‘œ π‘₯or position on x βˆ’ axis.In the same way as stationary diffusion.Stationary heat conductionπœ•π‘‡πœ•π‘‘= 0𝑑𝐽 𝐸𝑑π‘₯= 0𝑇 = βˆ’π½ 𝐸𝐾π‘₯ + 𝑇0πœ•π½ πΈπœ•π‘₯= 0πœŒπΆπœ•π‘‡πœ•π‘‘= πΎπœ•2π‘‡πœ•π‘₯2πœ•π‘‡πœ•π‘‘= 0𝑇 = βˆ’π½ 𝐸𝐾π‘₯ + 𝑇0Viscosity; from π‘β„Žπ‘–π‘”β„Ž β†’ π‘π‘™π‘œπ‘€πΉπ‘£π‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘–π‘‘π‘¦ = βˆ’π‘‘π‘π‘‘π‘‘Law of viscous flow𝐽 𝑝 = π‘€π‘œπ‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’π‘š π‘π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘ π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘¦π‘˜π‘”π‘šπ‘ 2πœ‚ = π‘£π‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘–π‘‘π‘¦π‘π‘ π‘š2Consider 𝑑𝑉 = 𝑆𝑑π‘₯,𝑑𝐽 𝑝 = 𝐽 π‘β€²βˆ’ 𝐽 𝑝𝐽 𝑝 = βˆ’πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘₯𝐽 𝑝 𝐽 𝑝′𝑆𝑑π‘₯
  5. 5. The change in momentum,π‘π‘š 𝑑𝑣 𝑦 = βˆ’π‘‘π½ 𝑝 𝑆𝑑𝑑𝑁 = π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘ π‘π‘šπ‘‘π‘£ 𝑦𝑑𝑑= βˆ’π‘‘π½ 𝑝𝑑π‘₯𝑆𝑑π‘₯π‘π‘šπ‘‰π‘‘π‘£ 𝑦𝑑𝑑= βˆ’π‘‘π½ 𝑝𝑑π‘₯πœŒπœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘= βˆ’πœ•π½ π‘πœ•π‘₯If there is an external force, such as theforce along the banks of the river.𝜏 = π‘ β„Žπ‘’π‘Žπ‘Ÿ π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘ Since 𝐽 𝑝 = βˆ’πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘₯,πœŒπœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘=πœ•πœ•π‘₯𝜏 βˆ’ 𝐽 𝑝 =πœ•πœ•π‘₯𝜏 + πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘₯πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘=πœ‚πœŒπœ•2𝑣 π‘¦πœ•π‘₯2+1πœŒπœ•πœπœ•π‘₯(Equation of motion of viscous flow)πœŒπ‘‘π‘£ 𝑦𝑑𝑑= βˆ’π‘‘π½ 𝑝𝑑π‘₯πœŒπœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘=πœ•πœ•π‘₯𝜏 βˆ’ 𝐽 π‘πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘=πœ‚πœŒπœ•2𝑣 π‘¦πœ•π‘₯2+1πœŒπœ•πœπœ•π‘₯Stationary flowSinceπœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘= 0 π‘œπ‘Ÿ π‘Ž 𝑦 = 0,From the 1st Law of Newton.𝜏 = βˆ’πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘₯Ex; A fluid flows inside a cylinder ofπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘’π‘  = π‘Ÿ, π‘™π‘’π‘›π‘”π‘‘β„Ž = 𝑙,π‘‘β„Žπ‘’ π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’ 𝑖𝑛 π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘ π‘’π‘Ÿπ‘’ = 𝑝,π‘£π‘–π‘ π‘π‘œπ‘ π‘–π‘‘π‘¦ = πœ‚, 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑦 = 𝜌Given thatπœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘= 0,πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘= 0πœ•π½ π‘πœ•π‘₯= 0πœ•2𝑣 π‘¦πœ•π‘₯2= βˆ’1πœ‚πœ•πœπœ•π‘₯𝐽 𝑝 = πœπ‘£ π‘¦π‘Žπ‘™
  6. 6. Sinceπœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘‘= 0, π‘Ž 𝑦 = 0From the 1st Law of Newton 𝐹 = 0.∴ 𝐽 𝑝 = 𝜏𝜏 = βˆ’πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘ŸSince 𝑝 =𝐹𝐴𝐹 = 𝑝𝐴 = 𝑝 πœ‹π‘Ÿ2𝜏 =𝐹𝐴=𝑝 πœ‹π‘Ÿ22πœ‹π‘Ÿπ‘™=π‘π‘Ÿ2𝑙Since 𝜏 = βˆ’πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘Ÿ,πœ•π‘£ 𝑦 = βˆ’πœπœ‚π‘‘π‘Ÿ = βˆ’π‘2πœ‚π‘™π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπœ•π‘£ 𝑦 = βˆ’π‘2πœ‚π‘™π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπœ•π‘£ 𝑦𝑣 𝑦0= βˆ’π‘2πœ‚π‘™π‘Ÿπ‘‘π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Žπ‘£ 𝑦 =𝑝4πœ‚π‘™π‘Ž2βˆ’ π‘Ÿ2𝑣 π‘¦π‘Žπ‘™π‘ŸMass flow rate π‘„π‘‘π‘„π‘˜π‘”π‘ = 𝜌 βˆ™ 𝑣 𝑦 π‘‘π‘ π‘˜π‘”π‘š3π‘šπ‘ π‘šβˆ΄ 𝑑𝑄 = 𝜌 βˆ™ 𝑣 𝑦 𝑑𝑠Since 𝑣 𝑦 =𝑝4πœ‚π‘™π‘Ž2βˆ’ π‘Ÿ2,𝑑𝑄 = 𝜌 βˆ™π‘4πœ‚π‘™π‘Ž2βˆ’ π‘Ÿ2𝑑𝑠𝑑𝑄𝑄0= 𝜌 βˆ™π‘4πœ‚π‘™π‘Ž2βˆ’ π‘Ÿ2π‘‘π‘ π‘Ž0𝑄 =πœŒπœ‹π‘π‘Ž48πœ‚π‘™Poiselle’s lawMean free path, π’π‘Ÿ = π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘’π‘  π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘› =𝑁𝑉=π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘ π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘šπ‘’π‘„ =πœŒπœ‹π‘π‘Ž48πœ‚π‘™π‘™ =14 2πœ‹π‘Ÿ2 𝑛
  7. 7. Molecular diffusion𝑣 = π‘Žπ‘£π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘”π‘’ π‘£π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘¦π‘™ = π‘šπ‘’π‘Žπ‘› π‘“π‘Ÿπ‘’π‘’ π‘π‘Žπ‘‘β„Žπ‘Ÿ = π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘’π‘  π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘› =𝑁𝑉=π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘ π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘šπ‘’Since 𝑣 =8πœ‹π‘˜π‘‡π‘š,𝑣 ∝ 𝑇And since 𝑙 =14 2πœ‹π‘Ÿ2 𝑛,𝑙 ∝1𝑛Since 𝑃𝑉 = π‘π‘˜π‘‡π‘› =𝑁𝑉=π‘ƒπ‘˜π‘‡From 𝑙 ∝1𝑛and 𝑛 =π‘ƒπ‘˜π‘‡,𝑙 ∝ 𝑇𝐽 π‘₯ = βˆ’π·πœ•π‘›πœ•π‘₯𝐷 =13𝑣 𝑙𝑣 =8πœ‹π‘˜π‘‡π‘šπ‘™ =14 2πœ‹π‘Ÿ2 𝑛Since 𝑣 ∝ 𝑇 and 𝑙 ∝ 𝑇When 𝑃 = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘Heat conduction𝑣 = π‘Žπ‘£π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘”π‘’ π‘£π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘¦π‘™ = π‘šπ‘’π‘Žπ‘› π‘“π‘Ÿπ‘’π‘’ π‘π‘Žπ‘‘β„Žπ‘› =𝑁𝑉=π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘ π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘šπ‘’π‘˜ = π΅π‘œπ‘™π‘‘π‘§π‘šπ‘Žπ‘›π‘›β€²π‘  π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘Viscosity𝑛 =𝑁𝑉=π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘ π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘šπ‘’π‘š =𝑀𝑁=π‘šπ‘Žπ‘ π‘  π‘œπ‘“ 1 π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π‘›π‘œ. π‘œπ‘“ π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘π‘’π‘™π‘’π· ∝ 𝑇3/2𝐽 𝐸 = βˆ’πΎπœ•π‘‡πœ•π‘₯𝐾 =12𝑣 π‘›π‘˜π‘™π½ 𝑝 = βˆ’πœ‚πœ•π‘£ π‘¦πœ•π‘₯πœ‚ =13𝑣 π‘›π‘šπ‘™ =13𝑣 πœŒπ‘™

Γ—