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  • 1. www.prof2000.pt/users/pjca A história dos númerosAparecimento dos números reais Adaptado por Paulo Almeida @ 2005
  • 2. Como é que surgiu a noção de número?Alguma vez parou para pensar nisso?Certamente já imaginou que um dia alguém teve uma ideia genial e de repenteinventou o número.Mas, não foi bem assim.A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoaa responsável por essa façanha.O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos eseres.Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos,pedras, os nós de uma corda, marcas num osso... 
  • 3. Como é que surgiu a noção de número?Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número.Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números   Até ao final da história saberá em que época e porque é que o homem inventou cadaum desses números.
  • 4. Contando objectos com outros objectosHá mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas ecavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio.Veja estes caçadores.  
  • 5. Contando objectos com outros objectosPara registar os animais mortos numa caçada, eles limitavam-se a fazermarcas numa vara. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que anatureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo,apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos numpedaço de madeira ou em ossos de animais.Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cadapeixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.
  • 6. Contando objectos com outros objectosMais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e apanhar frutos e raízes, passou acultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura, graças à qualaumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor.E para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podiacontinuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de rios e cavernas edesenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia. Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, etc..  Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.
  • 7. Contando objectos com outros objectosO trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bemcedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas,guardando-as dentro de uma cerca.        Mas como controlar o rebanho? Como Ter certeza de que nenhumaovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar asovelhas com pedras. Assim:      Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastorcolocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia, à medida que asovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho.Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrassealguma pedra!      Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde,haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim querdizer contas com pedras.
  • 8. Construindo o conceito de númeroFoi contando objectos com outros objectos que a humanidadecomeçou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, estariasempre ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cincopeixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.         A ideia de contagem estava relacionada com os dedos damão.         Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras emgrupos de cinco.         Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos,traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, tambémde cinco em cinco.        Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedadecomum de infinitas colecções de objectos: representa aquantidade de elementos de um conjunto, não importando se tratade cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos desom.        É por isso que esse número, que surgiu quando o homemcontava objectos usando outros objectos, é um número concreto.
  • 9. Os egípcios criam os símbolos (?) Por volta do ano 4.000 a.C., algumascomunidades primitivas aprenderam ausar ferramentas e armas de bronze.Aldeias situadas nas margens de riostransformaram-se em cidades. A vida iaficando cada vez mais complexa. Novasactividades iam surgindo, graçassobretudo ao desenvolvimento docomércio. Os agricultores passaram a produziralimentos em quantidades superiores àssuas necessidades. Com isso algumaspessoas puderam dedicar-se a outrasactividades, tornando-se artesãos,comerciantes, sacerdotes,administradores... 
  • 10. Os egípcios criam os símbolos (?) Como consequência dessedesenvolvimento surgiu a escrita. Era o fimda Pré-História e o começo da História.        Os grandes progressos que marcaram ofim da Pré-História verificaram-se commuita intensidade e rapidez no Egipto.        Para fazer os projectos de construção daspirâmides e dos templos, o númeroconcreto não era nada prático.   Ele também não ajudava muito naresolução dos difíceis problemas criadospelo desenvolvimento da indústria e docomércio. 
  • 11. Os egípcios criam os símbolos (?) Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos num osso?Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram arepresentar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos – ossímbolos.A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento daMatemática.Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3+5=8      Muitas vezes não sabemos nem que objectos estamos a somar. Mas isso não importa:a operação pode ser feita da mesma maneira.Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
  • 12. Os egípcios criam os símbolos (?) Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egipto tinha um súbdito chamado Aahmesu,cujo nome significa “Filho da Lua”.Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a dofaraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitosfaraós e reis do Antigo Egipto. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quemescreveu o Papiro Ahmes.              O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80 problemas, todosresolvidos.  A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem degrãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eramefectuados os cálculos no Papiro Ahmes,não foi difícil aos cientistascompreenderem o sistema de numeraçãoegípcio. Além disso, a decifração doshieróglifos – inscrições sagradas dastumbas e monumentos do Egipto – noséculo XVIII também foi muito útil.
  • 13. Os egípcios criam os símbolos (?) O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:  1  10  100  1.000  10.000 100.000  1.000.000Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:           Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muitoimportante.
  • 14. Os egípcios criam os símbolos (?) Se tomarmos um número, como porexemplo: 256e trocarmos os algarismos de lugar,vamos obter outros númeroscompletamente diferentes: 265  526  562  625  652  Ao escrever os números, os egípciosnão se preocupavam com a ordemdos símbolos.Observe no desenho que apesar dea ordem dos símbolos não ser amesma, os três garotos do AntigoEgipto estão escrevendo o mesmonúmero:  45  
  • 15. A técnica de calcular dos egípciosCom a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos oscálculos que envolviam números inteiros.Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operaçõesmatemáticas eram efectuadas através de uma adição.Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado trezevezes.  13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:
  • 16. A técnica de calcular dos egípcios    Número de parcelas     Resultado  1 9 2 18 4 36 8 72Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das trêscolunas destacadas:  1 + 4 + 8 = 13O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:  9 + 36 + 72 = 117Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com númerosinteiros.Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaçode alguma coisa através de um número.E para isso os números inteiros não serviam…
  • 17. Descobrindo a fracçãoPor volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...“... repartiu o solo do Egito nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levavaqualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem edeterminarem por medida a extensão exacta da perda.”Estas palavras foram escritas pelo historiadorgrego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.O rio Nilo atravessa uma vasta planície.Uma vez por ano, na época das cheias, as águasdo Nilo sobem muitos metros acima do seu leitonormal, inundando uma vasta região ao longodas suas margens. Quando as águas baixam,deixam descoberta uma estreita faixa de terrasférteis, prontas para o cultivo. Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agriculturado Egipto. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
  • 18. Descobrindo a fracçãoSesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.        Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava asubir. Era o início da inundação, que durava até Setembro.       Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cadaagricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.       Usavam cordas para fazer a medição.       Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoasencarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquelaunidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidascomo estiradores de cordas.        No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida,dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.         Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o númerofraccionário.         Para representar os números fraccionários, usavam fracções.
  • 19. Contando com os RomanosDe todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.        O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundação, em 753 a.C., até serocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um númeroincalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataquesde povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.        Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e orestante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídaspor uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte dodia-a-dia da elite romana.        Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, quevinha sendo usado desde a época das cavernas.       Como foi que os romanos conseguiram isso?
  • 20. O sistema de numeração RomanaOs romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar osnúmeros; usaram as próprias letras do alfabeto.  I  V  X  L C  D  M        Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema denumeração?        O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores. II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30
  • 21. O sistema de numeração RomanaQuando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior,subtraíam os seus valores. IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores. VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60
  • 22. O sistema de numeração RomanaAo lermos o cartaz, ficamos a saber que o exército de Roma fez numa certa épocaMCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculosque os romanos faziam:Em primeiro lugar buscavam aletra de maior valor.M = 1.000        Como antes de M nãotinha nenhuma letra,buscavam a segunda letra demaior valor.D = 500       Depois tiravam de D o valor daletra que vem antes.D – C = 500 – 100 = 400       Somavam 400 ao valor de M,porque CD está depois e M.M + CD = 1.000 + 400 = 1.400        Sobrava apenas o V.Então:MCDV = 1.400 + 5= 1.405
  • 23. O sistema de numeração RomanaComo acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.        Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.        E os números maiores que 3.000?        Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traçohorizontal sobre as letras que representavam esses números.       Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.       Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.       O sistema de numeração romano foi adoptado por muitos povos. Mas aindaera difícil efectuar cálculos com este sistema.       Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamentesímbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.       E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveisinvenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
  • 24. Afinal nos nossos dias…No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega.Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutirexclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.         Ao participar numa conferência num destes clubes, em 662, o bisposírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o facto de as pessoaselogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:  “Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, porexemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! Eimaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”.        A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo maisimportante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – ainvenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.        A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia– um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI . Masforam necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse àEuropa.       Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeraçãotal qual o conhecemos hoje estava completo.       Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, ossímbolos criados pelos hindus mudaram bastante.       Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.       Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema denumeração, o que é que os árabes têm a ver com isso?       E por que é que os símbolos  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
  • 25. Afinal nos nossos dias…Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid sãonomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. MasSimbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmenteexistiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.        Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma série de guerras deconquista. E como prémios de guerra, livros de diversos centros científicos foramlevados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.        Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.“Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”.        Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maiorcentro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.
  • 26. Afinal nos nossos dias…Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todosos tempos: al-Khowarizmi.         Estudando os livros de Matemática vindos da Índia etraduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se aprincípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovode ganso!         Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que osmatemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistemade numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modomais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enormeimportância que essa descoberta teria para o desenvolvimentoda Matemática.        Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova.Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular,explicando com detalhes como funcionavam os dez símboloshindus.        Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todotomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.        Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos comoa notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latinoalgorismus. Daí o nome algarismo.        São estes números criados pelos matemáticos da Índia edivulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi queconstituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidoscomo algarismos indo-arábicos.
  • 27. Os números racionaisCom o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, pormaior que ele fosse. 0   13   35   98  1.024   3.645.872        Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar ascoisas da natureza, eles são chamados de números naturais.        Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fraccionários.        Não havia mais necessidade de escrever um número fraccionário por meio deuma adição de dois fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios.        O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois númerosnaturais.        A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteirose os números fraccionários podem ser expressos como uma razão de dois númerosnaturais. Por isso, são chamados de números racionais.        A descoberta dos números racionais foi um grande passo para odesenvolvimento da Matemática.
  • 28. Os números irracionais…Os pitagóricos são confrontados com os númerosirracionais.  Depois de durante milénios ter utilizado os números para contar,medir, calcular, o homem começou a especular sobre a naturezae propriedades dos próprios números. Desta curiosidade nasceu aTeoria dos Números, um dos ramos mais profundos damatemática.A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristoquando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar aspropriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiamverdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-ocomo essência das coisas. Acreditavam que tudo no universoestava relacionado com números inteiros ou razões de númerosinteiros (em linguagem actual, números racionais). Aliás, naantiguidade a designação número aplicava-se só aos inteirosmaiores do que um. Esta crença foi profundamente abaladaquando usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medidada diagonal de um quadrado unitário. Como eles apenas conheciam os números racionais (naturais efracções de naturais) foi com grande surpresa e choque quedescobriram que havia segmentos de recta cuja medida nãopode ser expressa por um número racional. Essa descoberta éatribuída a um aluno de Pitágoras que tentava descobrir a medidada diagonal de um quadrado de lado 1.
  • 29. Os números irracionais…Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 não era uma razãoentre dois inteiros (em linguagem actual, que a raíz quadrada de 2 é um númeroirracional) os Pitagóricos consideraram quebrada a harmonia do universo, já quenão podiam aceitar a raíz quadrada de dois como um número, mas não podiamnegar que esta raíz era a medida da diagonal de um quadrado unitário.Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhesparecia uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo rezaa lenda, o primeiro membro da seita Pitagórica que divulgou esta descobertamorreu afogado num naufrágio sendo a sua alma açoitada pelas ondas para todoo sempre.Assim, o número terá sido o primeiro número irracional com que a humanidade sedeparou. O número de ouro é outro irracional…
  • 30. A raiz quadrada de 2 não é um número racional: -Demonstração
  • 31. O número irracional
  • 32. A história do número irracional
  • 33. A história do número irracional
  • 34. A história do número irracional
  • 35. A história do número irracional
  • 36. A história do número irracional
  • 37. A história do número irracional
  • 38. A história do número irracional
  • 39. A história do número irracional
  • 40. A história do número irracional
  • 41. Conjuntos de números ¥ ¥ ¢ ¢ ¢ ¥ ⊂¥0 ⊂¢ ¤
  • 42. Dízimas infinitas periódicas
  • 43. Dízimas infinitas periódicas ¤
  • 44. Números Reais ¡ ¡ ¤ ¡ ¤
  • 45. Resumindo… ¥ ⊂¢ ⊂¤ ⊂¡
  • 46. Uma construção geométrica Pelo teorema de Pitágoras d 2 = 12 + 12 ⇔d= 2 2 1 0 1 2