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FORMULACIÓN DE LAGRANGE
1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de
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Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales,
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b) Para el caso particular en que la función es
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4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular
de radio a. El alambre, situado verticalm...
Para pequeños valores de ε, 1cosysen ≈≈ εεε . Teniendo en cuenta esto y el valor
obtenido de θ0, la ecuación anterior qued...
b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q EtqEq 2,2 11 ==& , son
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Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras:
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y usando a θ como la nueva variable independiente (fórmula tradicional para reducir
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El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, 2121 VVTTL −−+= , y
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c) En la órbita circular, como el radio es constante, se tiene evidentemente 0=cρ& . Por
otra parte, utilizando la expresi...
normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor que
la del péndulo inferior.
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A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V, calculem...
20. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R
y se encuentra sometida al campo gravita...
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y la ecuación para θ se escribe como:
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El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:
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Velocidad – corriente
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La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de
radio ρ , alrededor del centro de l...
La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya
frecuencia y amplitud máxima son, re...
constante del movimiento. Lo que sí queda claro es que, si existe ( ) ( )( )ttqtqF ,, & =
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T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial
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34.- Un modelo simple, y de gran...
35. La transformación entre coordenadas
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36. Considere la máquina de Atwood de la
derecha, en la que la única fuerza presente es la de
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2. Si 1 y 2λ λ son complejos con parte real negativa, también tenemos un estado
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4. Si 1 y 2λ λ son imaginarios puros de diferente signo, el estado generado es estable y
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6. Si 1 y 2λ λ son reales de distinto signo, el estado también es inestable. Tendríamos
un punto silla.
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1 ...
FORMULACIÓN DE LAGRANGE
1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de
coordenadas general...
Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales,
,{ }00 , ii qq
( ) ( )0
2
00 iiiiii q...
b) Para el caso particular en que la función es
a
x
y
3
= , la función inversa es
, de manera que( ) 3/12
ayx =
( )
( ) 3/...
4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular
de radio a. El alambre, situado verticalm...
Para pequeños valores de ε, 1cosysen ≈≈ εεε . Teniendo en cuenta esto y el valor
obtenido de θ0, la ecuación anterior qued...
b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q EtqEq 2,2 11 == , son
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Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras:
DConstxxxx
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Ejercicios Resueltos Goldstein.
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  1. 1. FORMULACIÓN DE LAGRANGE 1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas {qi} (i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, T y V, vienen dadas por ( ) ( )i N i iii N i i qVVqqfT ∑∑ == == 1 2 1 ,& Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a cuadraturas. A partir de la lagrangiana, L = T − V, calculemos las derivadas 2 ii i fq q L & & = ∂ ∂ 2 d d 2 d d 2 ii i i i i fq q f q q L t &&& & +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ d d d d 2 i i i i i i q V q q f q L −= & ∂ ∂ Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es 0= d d 2 d d 2 i i iii i i q V qfq q f ++ &&& que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de libertad 2 iiii VqfE += & se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues d d d d 2 i i i i i i i q V q q f q E += & ∂ ∂ 2 ii i i fq q E & & = ∂ ∂ resultando que =2+ d d d d d d d d d d 3 iiii i i i i ii i ii i iii qqfq q V q q f t q q E t q q E t E t E &&&&& & & +=++= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0=2+ d d d d = 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ii i i i i i i qf q V q q f q &&&& 3
  2. 2. Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales, ,{ }00 , ii qq & ( ) ( )0 2 00 iiiiii qVqqfE += & de manera que la evolución de cada grado de libertad viene dada por la integral t f VE qq t i ii ii d00 ∫ − ±=− ---------------------------------------------- 2. Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuación y = f(x) cuando está sometida a un potencial que sólo depende de y. Si v0 es la proyección de la velocidad sobre el eje 0X, se pide: a) hallar una expresión general del potencial en función de f. b) Aplique la expresión obtenida en el apartado anterior al caso de que la ecuación de la curva sea ay2 = x3 . a) Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual será ( ) ( )yVyx M L −+= 22 2 && de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −= = y V yM t xM t d d d d 0 d d & & Integrando dos veces la primera ecuación se obtiene que la proyección del movimiento sobre el eje 0X es un movimiento uniforme con velocidad 0vx =& . La integral de la segunda ecuación con respecto de y determina el potencial ∫−= yyMCV d&& donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte ( ) ( ) ( ) 2 0 0 d d vxfy vxfxx x f y ′′= ′== && && la expresión del potencial es ( ) yxfMvCV d2 0 ∫ ′′−= y, para realizar la integral, hay que sustituir .)(1 yfx − = 4
  3. 3. b) Para el caso particular en que la función es a x y 3 = , la función inversa es , de manera que( ) 3/12 ayx = ( ) ( ) 3/1 3/2 4 3 4 3 2 3 − ==′′ =′ y aax xf a x xf Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al resultado. ------------------------------------------------- 3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partícula considerada libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifique en esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y centrífuga. La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es: txtyy tytxx ϖϖ ϖϖ sincos sincos ′+′= ′−′= La energía cinética de la partícula viene dada por: )(~ 2 1 )(~)( 2 1 )( 2 1 222222222 yxmyxyxmzyxmzyxmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ωω &&&&&&&& La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de coordenadas. En nuestro caso: iqT ∂∂ / xmym x T ′+′= ′∂ ∂ 2~~ ωω & , con una expresión similar para iyT ′∂∂ / (la correspondiente parcial con respecto a z’es nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ iq T dt d & de las ecuaciones de Lagrange. ------------------------------------------ 5
  4. 4. 4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Para una velocidad angular ω mayor que un cierto valor crítico ωc, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ0 respecto de la vertical. Se pide: a) Encontrar ωc y θ0 ; b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de θ0 y encontrar su periodo. a) La energía cinética de la cuenta y el Lagrangiano son: 2222 )sen( 2 1 2 1 θωθ ammaT += & . θθωθ cossin mgamamaL −+= 22222 2 1 2 1 & donde θ es el ángulo que forma la posición de la masa con el eje vertical de giro, correspondiendo 0θ = con la partícula en la posición más baja en el alambre. La ecuación de Lagrange nos lleva a: 0sencossen 2 =−+ θθωθθ aga && En el punto de equilibrio, 0=θ&& , g = aω 2 cos θ, ó.: ω 2 = g/(a cos θ). Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la velocidad angular crítica es a g C =ω y el ángulo de equilibrio es ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 20 cosarc ω θ a g b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ0, podemos describir el movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ0. La ecuación del movimiento se transforma en 0)(sen)(cos)(sen 00 2 0 =++−++ εθεθωεθε aga && 6
  5. 5. Para pequeños valores de ε, 1cosysen ≈≈ εεε . Teniendo en cuenta esto y el valor obtenido de θ0, la ecuación anterior queda en 01 42 2 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ε ω ωε a g && La frecuencia de oscilación será: 42 2 1 ω ω a g −=Ω --------------------------------------------- 5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la forma 2 21 2 1 2 )( dqqadqds += Se pide: a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie b) Demostrar que las curvas cte.2 =q son geodésicas c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), la coordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un punto sobre la superficie en ausencia de toda fuerza). 1q a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1, ( )2 21 2 1 )( 2 1 qqaqTL && +== La coordenada es cíclica; luego2q 21 2 )( qqaC q T & & == ∂ ∂ (1) donde C es una constante. Por otra parte, la energía total: ( )2 21 2 1 )( 2 1 qqaqE && += (2) es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial entre las coordenadas y que es precisamente la ecuación de las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene: 1q 2q ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = )(1 )(2 12 1 1 2 qa C qaE dq q 7
  6. 6. b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q EtqEq 2,2 11 ==& , son soluciones de las ecuaciones (1) y (2). c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento uniforme. 1q ----------------------------------------------- 6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme de partículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerza gravitatoria total que sería br r k Fr −−= 2 Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil )( 3 rkb << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de la órbita circular). La ecuación de movimiento es: dr rdV rm ef )( −=&& Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple:0r 02 0 3 0 2 0 )( br r k mr l dr rdV rr ef −−=− = Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de ,0r L+′′−+′−+= )()( 2 1 )()()()( 0 2 0000 rVrrrVrrrVrV efefefef Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos: ),()( 2 1 2 1 0 2 0 2 rVrrrmL ef ′′−−= & donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de un oscilador armónico, de frecuencia m rVef )( 02 ′′ =ω Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular, 8
  7. 7. 1 2 3 0 k b mr m ω ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ----------------------------------------------- 7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varilla rectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremos como centro de giro y con velocidad angular constante, ω. En presencia de un campo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r, de la cuenta como función del tiempo, si las condiciones iniciales son: r R r( ) ; &( ) .0 0 v= = Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es: ( ) ( )222222 2 1 2 1 ωθ rrmrrmT +=+= &&& y la lagrangiana ( ) tmgrrrmL ωω sen 2 1 222 −+= & La ecuación del movimiento resulta: tgrr ωω sen2 −=−&& , siendo su solución ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+= tsen 2 senh 2 cosh 22 ω ω ω ωω ω g t gv tRr --------------------------------------- 8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético es, en coordenadas cartesianas, vA⋅+−= c e eTL φ a) Evaluar cuál es la dependencia en φ y A de los campos eléctrico y magnético, para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campo electromagnético. b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo la transformación (conocida como gauge) ).,( 1 ),,( t tc t r rAA Ψ−→ Ψ∇+→ ∂ ∂ φφ A partir de la lagrangiana dada se verifica que: 9
  8. 8. , , 3 1 3 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++=+= +−= ∑ ∑ = = k i k i ki i i i k i k k ii t A r A v c e m dt dA c e vm v L dt d r A v c e r e r L ∂ ∂ ∂ ∂ ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂ ∂ &&& quedando la ecuación del movimiento: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= ∑ = k i i k k k i i i r A r A v c e t A cr evm ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ 3 1 1 & . Comparando con la conocida forma, ( )iii Bv c e eEvm ×+=& , queda, ).,(),( ),,( 1 ),(),( tt t tc tt r r rArB rArrE ×∇= −−∇= ∂ ∂ φ Una vez conocidas estas expresiones para los campos, verificar que son invariantes bajo la transformación gauge anterior es un ejercicio simple. ------------------------------------ 9. Si dos lagrangianas, L y L’, son tales que: ( ) ( ) ; ),( ,,,, dt tdM tLtL q qqqq +=′ && a) demostrar que llevan a las mismas ecuaciones del movimiento. b) Comprobar que la transformación de potenciales del problema anterior pertenece a este caso, si L es la lagrangiana ahí detallada. Calculamos para L y L’ las ecuaciones de Lagrange, pudiendo observar que para que sean idénticas debe cumplirse que: .0=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − dt dM qdt d q kk &∂ ∂ ∂ ∂ El ejercicio es trivial. Por otra parte, el efecto de la transformación gauge sobre la lagrangiana del problema anterior es: ),( 2 1 t c e dt d L tc e L c e emL rvAvvv Ψ+=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ∇⋅+ Ψ +=′⋅+′−⋅=′ ∂ ∂ φ , tal como queríamos demostrar. --------------------------------------------- 10
  9. 9. 10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dos péndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud L y son rígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud tiene una masa . L′ D bm Posición de los puntos de la barra: Dxayxax ≤′≤−=′+= 0;cos;sin θθ θθθθ &&&& sin;cos ayax == Energía cinética barra 22 0 22 22 1 θθρ && a m axd D b ∫ =′= T= )( 2 1 2222 amLmmL b+′′+θ& )(cos)coscoscos( LmmLamgLmmLamgV bb ′′++−=′′++−= θθθθ Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa µ tal que: 2222 amLmmL b+′′+=µλ amLmmL b+′′+=λµ Entonces: amLmmL amLmmL b b +′′+ +′′+ = 222 λ 222 2 )( amLmmL amLmmL b b +′′+ +′′+ =µ ------------------------------------- 11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina de Atwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y .0 2m 11
  10. 10. Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras: DConstxxxx CConstxx ==−+− ==+ .)()( . 2324 21 de donde: 134 12 22 xxCDx xCx −−+= −= Además, la polea 2, de radio R gira a una velocidad angular , de modo que su energía cinética rotativa es: )( 23 1 xxR && −= − ω 2 23 )( 2 1 xxTp && −= α donde la constante α esta relacionada elementalmente con .2m Así, pues, usando y como las dos coordenadas independientes:1x 3x 2 134 2 33 2 22 2 11 2 13 2 44 2 33 2 22 2 11 )2( 2 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 xxmxmxmxmxx xmxmxmxmTT p &&&&&&& &&&& ++++++ =++++= α - energía cinética. )( 44332211 xmxmxmxmgV +++−= - energía potencial )2(( 134331211 xxmxmxmxmgV +−+−−= + Constante-irrelevante. Finalmente: ))()2(( 4334211 mmxmmmxgV −+−−−= Ambos grados de libertad y están uniformemente acelerados, mientras que la energía es una función cuadrática de las velocidades. 1x 3x --------------------------------------- 12. Consideramos la evolución de un cuerpo puntual de masa , constreñido a moverse sin rozamiento sobre un anillo fijo circular en presencia de una m 12
  11. 11. aceleración uniforme g . El anillo tiene radio , se encuentra en un plano vertical y su espesor es despreciable. R Puesto que el cuerpo se mueve sobre una curva (unidimensional),el número de grados de libertad del problema es la unidad (dos para una superficie, tres para un volumen). Claramente, la posición del móvil la fija una sola variable, el ángulo θ , por ejemplo. Habrá pues una única ecuación de Lagrange. Construyámosla. La energía cinética T para una partícula de masa m que se mueve en el plano yx − es: 2 2 ( ) 2 m T x y= +& & , de modo que, escribiendo x e en función de yy R θ , ,cos;sin θθ RyRx −== (1) y derivando respecto del tiempo, resulta para las energías cinética T y potencial V en función de θ , 2 2 2 θ& mRT = (2) .cosθmgRmgyV −== Así pues, la ecuación de Lagrange (solo una para un problema con un solo grado de libertad) correspondiente al Lagraniano L . )cos 2 ( 2 θ θ +=−= g RmgRVTL & (3) es: .0sin =+ θ θ g R && (4) Nótese que, gracias a las ligaduras, un problema plano que en principio hubiera requerido dos ecuaciones de segundo orden para x e , se ha despachado en términos de una sola para y θ .Pero caben simplificaciones mayores aún, de resultas de las simetrías (o invariancias) presentes. Obsérvese que el Lagrangiano ),( tL θ de hecho no depende del tiempo t . Ello implica automáticamente que la energía T V+ se conserva , y la ecuación (4) puede reducirse a una de primer orden. Efectivamente, introduciendo la nueva variable dependiente 13
  12. 12. θ&=p , (5) y usando a θ como la nueva variable independiente (fórmula tradicional para reducir ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la variable independiente , aquí , no aparece explícitamente) t θθ θ d d p d d dt d dt d == (6) de modo que (4), que era de segundo orden, se vuelve de primer orden: pR .0sin =+ θ θ g d dp (7) Integrando, se obtiene la ecuación de la energía teConsE g p R tancos 2 2 ==− θ (8) La solución ahora se reduce a una cuadratura, puesto que al ser conocida )(θp (ecuación 8), (5) se convierte en la ecuación separable (y por tanto integrable) REg d p d dt /)cos(2)( θ θ θ θ − == (9) ----------------------------------------- 13. Péndulo plano de masa , cuyo punto de suspensión (de masa ) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal. 2m 1m − Hay dos grados de libertad, que pueden caracterizarse por la coordenada de la primera masa, y por el ángulo 1 x θ entre la varilla del péndulo y la vertical. 2 2 1 11 x mT & = ; 01 =V )( 2 2 2 2 2 2 2 yx m T && += ; 222 mgyV = Pero θcos2 Ry −= , θsin12 Rxx += , de modo que [ ]2 1 22 2 )cos()sin( 2 θθθθ &&& RxR m T ++= .cos22 θgRmV −= 14
  13. 13. El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, 2121 VVTTL −−+= , y análogamente resultarían las ecuaciones de Lagrange (el alumno deberá escribirlas como ejercicio). Nótese que L no depende ni del tiempo (se conserva la energía total), ni det x ( x es coordenada cíclica , 0= ∂ ∂ − x L , y se conserva su cantidad de movimiento conjugada, x L p ∂ ∂ = ). El sistema de las ecuaciones de Lagrange de cuarto orden (dos de segundo orden), pueden pues reducirse a una de segundo orden. Las dos integrales primeras asociadas a las consideraciones anteriores son ConstRmmmx x L p =++= ∂ ∂ = θθ cos)( 2211 1 && & (4) .2121 ConstVVTTE =+++= (5) La ecuación (4) es fácil de interpretar como el hecho de la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección (como siempre, esta propiedad resulta de la invariancia del problema ante traslaciones en la dirección ). x x .2211 xmxmp && += (6) Para mayor simplificación, esta última ecuación también admite otra integración exacta (Problema para alumnos imaginativos: a ver quien es capaz de interpretar este hecho matemático como la invariancia de algún ente físico ante una transformación de alguna clase), igual que en el movimiento de una partícula libre(la suma de fuerzas en la dirección es nula).x .sin)( 2121 ConstRmxmmtp =+++− θ (7) Así pues, el problema queda reducido a uno de primer orden. Bastaría con resolver la ecuación de la energía total en la que la única variable desconocida sería θ , ya que y pueden expresarse en función de 1x 1x& θ y mediante las ecuaciones (6) y (7).θ& El lector deberá terminar el problema en detalle. Para ello, hacemos notar que esta única ecuación pendiente de resolución toma la forma más sencilla en el sistema de referencia que se mueve en la dirección con la velocidad constante del centro de masa de las dos partículas. Usando como coordenadas x )( )( 21 2211 mm xmxm c + + = y θ , c (la coordenada horizontal del centro de gravedad) resulta ser también cíclica, y la integral de la energía se reduce a: 22 θ&R [ ] 2 22 cos2sincos m E gRa =−+ θθθ , donde ).( 21 1 mm m a + = El problema queda pues reducido a una cuadratura, como los anteriores, 15
  14. 14. 2 22 cos2 sincos m E gR a Rddt + + = θ θθ θ . Ahora podemos pasar a completar la descripción del problema. Empezamos por : θθθθθθθ cos)cos2cossin( 2 1 2 1 21 2222 1 2222 11 gRmxRRxRxmVTL +++++=−= &&&&&& = θθθθ coscos 2 1 2 212 22 2 2 1 21 gRmxRmRmx mm +++ + &&&& Ecuaciones de Lagrange: [ ] 0cos)(0 221 11 =++⇒= ∂ ∂ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ θθ&& & Rmxmm dt d x L x L dt d 0sincos 2 2 21 =−+ + ⇒ θθθθ &&&&&x Rm mm θθθθθ θθ sinsin)cos(0;0 12212 2 2 &&&&& & xRmgRmxRm dt d Rm LL dt d +++== ∂ ∂ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 0sincos1 =++ θθθ gxR &&&& Coordenadas del centro de masas: ⇒−= + + = 21 21 2211 ; xxr mm xmxm c eliminando y en función de c y 1x 2x r : r mm m cxr mm m cx 21 1 2 21 2 1 ; + −= + += 2 22 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 ymxmxmT &&& ++= Pero =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + −=+ 22 21 2 21 22122 21 1 21 12 2 2 22 2 11 )(2 2 )( 2 2 1 22 r mm m rc mm m c m r mm m rc mm m cm xmxm &&&&&&&& && 2 )( 2 1 2 2 21 r cmm & & µ++ con 21 21 mm mm + ≡µ y =2 22 2 1 ym & { θcos2 Ry −= }= .sin 2 1 222 2 θθ &Rm Así pues, 16
  15. 15. θ θθµ θ cos )sincos( 22 )( 2 2 2 2 22 21 2 gRmV m Rmmc T −= ++ + = && c es coordenada cíclica )0( = ∂ ∂ c L de modo que .constc =& Además se conserva la energía de modo que EconstgRmmR ≡=−+ θθθµθ cos2)sincos( 2 2 2 222 & (el doble de la energía total) θθµ θ θ 2 2 2 2 sincos cos2 mR gRmE + + =& θ θθµ θ cos2 sincos 2 2 2 2 gRmE m Rddt + + =⇒ ------------------------------------- 14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertad hay? En función de los ángulos θ y φ , obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas. φθ cossin1 Rx = φθ sinsin1 Ry = 121 2;cos zzRz =−= θ φθφφθθ sinsincoscos1 RRx &&& −= φθθ sincos1 Ry && = 222222 1 2 1 2 1 sincossin φθθφφθ &&&&&& RRzyxR +=++⇒+ θθ && sin1 Rz = )sin4sin( 22222222 θθφθθ &&& RRRmT ++= θcos6)(2 21 mgRzzmgV −=+= El Lagrangiano es: θθθφθθ cos6)sin4sin( 222222 mgRmRL +++= &&& 17
  16. 16. Nuevamente hay una variable cíclica, .0: = ∂ ∂ φ φ L Evidentemente, si se varia φ en una cantidad fija (por ejemplo girando el eje x a un ángulo dado φ∆ ), el sistema no se inmuta. Es invariante ante desplazamientos constantes de la variable φ . Se conserva pues la cantidad φθ φ & & 22 2 sin2mR L p = ∂ ∂ = , fácilmente identificable con el momento angular en la dirección vertical. Nuevamente, eliminando φ& en términos de (constante) y haciendo uso de la ecuación de la energía,2p , sin4 )sin41(cos6 22 2 2222 θ θθθ mR p mRmgRVTE +++−=+= & El problema se reduce a dos cuadraturas (o meras integrales): θ θ θ θ θ ⇒ −+ + =∫ ∫ 22 2 2 22 sin4 cos6 )sin41( mR p mgRE mR ddt )(tθ= ---------------------------------- 15. Dos puntos de masa están unidos por una varilla rígida sin peso de longitud ,el punto medio de la cual está obligado a moverse sobre una circunferencia de radio . Escríbase la energía cinética en coordenadas generalizadas. Obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías existentes, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas. Toda la acción ocurre en el plano vertical; la constante gravitatoria es m b2 R g . +r =posición pto. superior = ;ji ++ + yx =−r posición pto. inferior = ji −− + yx Para simplificar el álgebra, introducimos la notación compleja (no es absolutamente imprescindible) 18
  17. 17. )1( −=+= iiyxr −−−+++ +=+= iyxriyxr ; Claramente 21 Re θθ ii ber ±= − ± 21 21 Re θθ θθ ii eibir &&& ±=± . *rr=⋅ rr , donde *r es el complejo conjugado de r ; iyxr −=* =±±= −− ± )Re)(Re( 2121 2121 2 θθθθ θθθθ iiii beber &&&&& )( )()( 21 2 2 22 1 2 1221 ϑθθθ θθθθ −− +±+= ii eeRbbR &&&& )()( 2 1 2 2 22 1 222 θθ &&&& bRmrrmT +=+= −+ 121 sin2)( θmgRyymgV =+= )sin2( 1 2 2 22 1 2 θθθ RgbRmL −+= && Nótese que 2θ es coordenada cíclica, pues .0 2 = ∂ ∂ θ L En otras palabras, al sistema no le afecta que se le dé a la variable 2θ un desplazamiento constante θ∆ . Es por tanto “invariante ante traslación (giro)” de la variable 2θ . Se conserva pues 2p teconsmb L p tan2 2 2 2 2 == ∂ ∂ = θ θ & & , t mb p 2 2 202 2 +=θθ claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial, reduciéndose al de un péndulo simple plano. ---------------------------------------- 16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se mueve sin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolución colocado verticalmente. a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento. b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y discútase el tipo de órbitas. c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea circular? 19
  18. 18. d) Calcúlese la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a esta órbita circular. a) Sea ( )22 yxkz += la ecuación del paraboloide. Utilicemos coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ) como se indica en la figura. ϕ ρ m z y x Así pues, ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 2 cos ρ ϕρ ϕρ kz seny x ⇒ ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = += −= ρρ ϕϕρϕρ ϕϕρϕρ && &&& &&& kz seny senx 2 cos cos ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ++= −+= 2222 222222 222222 4 cos2cos cos2cos ρρ ϕϕϕρρϕϕρϕρ ϕϕϕρρϕϕρϕρ && &&&&& &&&&& kz senseny sensenx De modo que la energía cinética de la partícula es ( )222222 4 2 1 2 1 ρρϕρρ &&& kmmT ++=≡ 2 v . Siendo la energía potencial 2 ρmgkmgzV =≡ . En la lagrangiana L=T−V, la coordenada ϕ es cíclica, luego el correspondiente momento generalizado se conserva l& & ≡= ∂ ∂ ϕρ ϕ 2 m L , que corresponde a la componente vertical del momento angular. Además, como la lagrangiana no depende del tiempo, la energía total se conserva. b) La energía total de la partícula, suponiendo que 0≠l , ( ) 2 2 2 222 2 41 2 1 ρ ρ ρρ mgk m kmVTE +++=+≡ l & 20
  19. 19. depende de una sola coordenada, ρ, y puede tomarse como la energía de un problema unidimensional equivalente donde ( ) 222 41 2 1 ρρ &kmTef +≡ juega el papel de energía cinética, siendo ρ cierta coordenada curvilínea (no cartesiana), y 2 2 2 2 ρ ρ mgk m Vef += l el de energía potencial. En la figura se han representado los dos términos que contribuyen a este potencial efectivo, en el caso particular .322 /2 kgm=l La expresión de la energía total permite escribir la relación ρ ρ d )(2 )41( d 22 efVE km t − + = , cuya integración proporciona la ley horaria del movimiento. Así, para cada valor de l, los valores permitidos de la energía han de ser tales que , y para cada uno de estos valores existen dos valores extremos (máximo y mínimo) de ρ, que son las raíces de la ecuación efVE ≥ 2 2 2 2 ρ ρ mgk m E += l . Cuando el valor de la energía total E coincide con el mínimo de Vef, el movimiento es circular con radio ρ= ρc, que se obtiene de la condición de mínimo, 02 d d 3 2 =−= c c mín ef m mgk V ρ ρ ρ l , es decir, gkm c 2 2 l =ρ . 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 4 8 12 Potencial Gravitatorio Potencial Centrífugo Potencial Efectivo ρ Vef /(mg/k) 21
  20. 20. c) En la órbita circular, como el radio es constante, se tiene evidentemente 0=cρ& . Por otra parte, utilizando la expresión obtenida para el radio de la órbita, ρc, en la de la componente vertical del momento angular resulta el valor de la componente azimutal de la velocidad de la partícula, gkc 2=ϕ& . Así pues para conseguir que la partícula se mueva según una trayectoria circular con determinado valor del radio, cρρ = , hay que imprimirle una velocidad de componente únicamente azimutal y de módulo cgkρ2 . d) Para escribir la ecuación del movimiento general de la partícula, calculemos las derivadas ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ += ∂ ∂ −+= ∂ ∂ ρρρ ρ ρρρϕρ ρ && & && 22 222 4 24 mkm L mgkmkm L La ecuación de Lagrange correspondiente conduce a la ecuación: ( ) 02441 3 2 2222 =+−++ ρ ρ ρρρρ mgk m mkkm l &&& . Supongamos ahora que el movimiento se aparta poco de una órbita circular, de manera que ( )ερρ += 1c , con ε « 1. Sustituyendo en la ecuación del movimiento y despreciando los términos en ε de orden superior al primero, se llega a la ecuación 0 2 4 1 8 2 = + + εε gkm k gk l && que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia gkm k gk 2 4 1 8 2 2 l + =ω . ------------------------------------------ 17. Plantee las ecuaciones del movimiento para el péndulo doble en el caso de pequeñas oscilaciones, escogiendo como coordenadas las longitudes de arco descritos por cada uno de los péndulos. Halle las frecuencias de los modos 22
  21. 21. normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor que la del péndulo inferior. La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente forma general de lagrangiano: )()( 2 1 , qUqqqML j ji iji −= ∑ && con un punto de equilibrio en . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L: 0=iq j ji ijij ji iji qqKqqTL ∑∑ −= ,, 2 1 2 1 && El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver la ecuación especial de valores propios: kkk AKAT ⋅=⋅2 ω en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energía cinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema presente. Veamos cómo podemos hacerlo. El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M, y el inferior, de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar: [ ])-cos(2 2 1 2 1 222222 θϕϕθϕθθ &&&&& LllLmMLT +++= Para pequeños valores de θ y ϕ, podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales (no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un múltiplo apropiado de θ a ϕ. De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadas ortogonales está dada por los desplazamientos ϕθθ lLyLx += =, que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas de ambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en: 2 2 12 2 1 ymxMT && += En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones del movimiento son: 23
  22. 22. ( )M m g mg mg x x y ML M l M l g g y x y l l ⎡ ⎤+ = − + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − && && Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales es relativamente trivial, sobre todo en el límite M>>m, quedando: l g L g ≈≈ 22 y ωω ----------------------------------------- 18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY, se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a la fuerza que deriva del potencial V(x,y). El potencial es analítico cerca del origen, admitiendo el desarrollo ( ) ( ) ( ) ( )222 1 , 3 2 2 22 2 22 32 rO yx V xy y Vy x Vx y V y x V xrOVVyxV +++++≡+∇⋅+∇⋅= ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ rr Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuaciones de Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuaciones suponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de la forma ( ) ( )5432 tOtttt +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de la lagrangiana. La lagrangiana de la partícula es L = T − V, siendo ( )22 2 12 2 1 yxT && +== v . Así pues, cerca del origen, se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000; 000; 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−−== −−−== yx V x y V y y V y L y y L yx V y x V x x V x L x x L ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ & & & & lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 000 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−−= −−−= yx V x y V y y V y yx V y x V x x V x ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ && && con las condiciones iniciales ( ) ( ) ( ) ( ) 00000 ==== yxyx && Por otra parte, según el enunciado, se tiene 24
  23. 23. ( )1262 32 tOtt +++= cbar&& Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias del mismo orden en t, se obtienen los vectores buscados: &&r ( )0 2 1 x V ax ∂ ∂ −= 0=xb ( ) ( ) ( ) ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += 0000 24 1 2 2 2 yx V y V x V x V cx ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔y, se obtienen las componentes y correspondientes. Para calcular la trayectoria, x = x(y), hay que eliminar el tiempo t entre las componentes x e y de la ley de movimiento r(t). Para ello invertimos la serie de una de las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la forma ( )22/32/1 xOxxxt +++= γβα de manera que ( )2 22/322 xOxxt ++= αβα ( ) M 22/333 xOxt += α Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene: ( ) ( )2 22/32 xOxxax x ++= αβα de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes del desarrollo de t, ,0=, 2/1 Kβα − = xa lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = ayt2 + ..., proporciona la trayectoria pedida ( ) / / 2 0 xOx xV yV y x +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =∂∂ ∂∂ que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes --------------------------------------- 19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por una varilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girar libremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas. Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense las coordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del 25
  24. 24. sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la única fuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes y discútase el movimiento del sistema. z y x θ ϕ α g Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro de masas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los ángulos polares esféricos (ϕ,θ) que determinan la orientación de la barra en el espacio. Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos (α,ϕ,θ). Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son: cos cos cos 1 1 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += = θα ϕθα ϕθ lRsenz senlsenRy lsenx cos cos cos 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= −= −= θα ϕθα ϕθ lRsenz senlsenRy lsenx Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientes expresiones para las energías cinéticas: ( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenll m mT coscoscos2 2 2 1 2222222 2 11 &&&&&&& ++−++= =≡ v ( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenll m mT coscoscos2 2 2 1 2222222 2 22 &&&&&&& +++++= =≡ v de modo que la energía total del sistema es ( ) ( ) ( )[ ]222 21 αθϕθ &&& RsenllmTTT ++=+= Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial total son 26
  25. 25. ( )θα cos11 lRsenmgmgzV +== ( )θα cos22 lRsenmgmgzV −== αmgRsenVVV 221 =+= A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V, calculemos las derivadas ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ θϕ ϕ θ θ α α 22 2 2 2 2 2 sin& & & & & & ml L ml L mR L ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 2 2 22 ϕ θθϕ θ α α L ml L mgR L cossin cos & La ecuación asociada al grado de libertad α, ( ) 0cos22 d d 2 =− αα mgRmR t & está desacoplada de θ y de ϕ. Esta ecuación es precisamente la ecuación del péndulo simple, cos g R α α= −&& de manera que el centro de masas de las esferas ejecuta un movimiento pendular independientemente de como estén girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto se comporta como un péndulo de masa 2m con dos grados de libertad internos que determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas. Por otra parte, la coordenada ϕ es cíclica de manera que una constante del movimiento es Csenml L == θϕ ϕ∂ ∂ 22 2 & & de donde, despejando, se obtiene 2 22 θ ϕ senml C =& La ecuación para θ es ( ) 0cos22 d d 222 =− θθϕθ senmlml t && es decir, sustituyendo el resultado anterior, 2 2 2 cot 0 2 sin C ml θ θ θ ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ && que es la ecuación que determina el movimiento relativo de las esferas. ----------------------------------------- 27
  26. 26. 20. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre. a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento. b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y discútase el tipo de órbitas. Tomemos un sistema de coordenadas cartesianas centrado en la esfera, tal como se indica en la figura ϕ θ R m Utilizando coordenadas esféricas, la posición y velocidad de la partícula vendrán dadas por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= += −= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = θθ ϕθϕϕθθ ϕθϕϕθθ θ ϕθ ϕθ sen cossensencos sensencoscos cos sensen cossen && &&& &&& Rz RRy RRx Rz Ry Rx de manera que las energías cinética y potencial de la partícula son, respectivamente, ( ) ( )sen 2 1 2 1 2 1 22222222 θϕθ &&&&& +=++== mRzyxmmT v θcos00 mgRVmgzVV +=+= A partir de la lagrangiana, L = T − V, las ecuaciones correspondientes a los ángulos de orientación son 0 d d =−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂θ ∂ θ∂ ∂ LL t & 0 d d =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ϕ ∂ ϕ∂ ∂ LL t & Como la coordenada ϕ es cíclica su momento conjugado se conserva constante, lo que traduce la conservación de la componente correspondiente del momento angular, es decir, 28
  27. 27. sen22 lmR =θϕ& y la ecuación para θ se escribe como: sen cos sen 33 2 θ θ θθ mR l mgmR +=&& Definiendo el potencial efectivo ( ) sen2 cos1 22 2 θ θ mR l mgRVef ++= la ecuación para θ queda en la forma d d1 2 θ θ efV mR −=&& Una gráfica de Vef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de órbitas. 0 1 2 3 4 5 ππ/2 θ Vef (R/g) En la figura se ha representado la función (R/g)Vef para el caso particular . La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos al término centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, las órbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores, uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al mínimo de la curva de V 2 322 gRml = ef, los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde a una circunferencia horizontal. --------------------------------------------- 21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimiento no se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea 29
  28. 28. de grado m de las coordenadas: ( ) ( ) ( nrrrVm nrrrVnrrrV ,,2,1,,2,1,,2,1 KKK αααα =′′′= ). Si se reescala simultáneamente el tiempo (por un factor: β= t t' ) y las coordenadas espaciales (por dicho factor: α=′ l l , con señalando una coordenada con dimensiones de longitud), una elección apropiada de ambos factores puede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por una constante. l a) ¿Cuál es la relación entre α y β para que así suceda? b) Una vez obtenida ésta derive a partir de ella, como función de m, las relaciones entre l l′ y cada uno de las reescalamientos siguientes: tiempos ( t t′ ), velocidades ( v v′ ), energía ( E E' ) y momento angular ( J J′ ). c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente: - la tercera ley de Kepler, - la relación cuando el potencial gravitatorio se aproxima por mgh ( ) 2constante tl ×= - la independencia del período con la amplitud en el oscilador armónico a) Si el potencial reescala como , la energía cinética lo hace comom α 2 2 β α . Para sacar factor común a ambos términos del lagrangiano ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= 22 βααm , o ( )21 m− = αβ b) las relaciones solicitadas son: 2 1 ;;2;2 1 m l l J J m l l E E m l l v v m l l t t + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ c) - En el potencial gravitatorio 1−=m . Sustituyendo en la primera relación en b), obtenemos ( ) ( )32 lltt ′=′ , que es la ley de Kepler (las distintas órbitas se transforman unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud) - En el caso del potencial mgh, 1=m , encontramos la clásica relación parabólica entre distancia y tiempo. - Aquí . El período debe ser independiente de la amplitud.2=m 22. Considérese un circuito clásico ( inductor-condensador) sin generador, estudiado en Física General. Recordando que la energía almacenada en el inductor es LC 2L 2 1 I , siendo I la corriente que circula por él, y que la almacenada en el condensador es C Q2 2 1 , establezca una analogía entre estos conceptos eléctricos y los correspondientes de un sistema mecánico simple. A continuación plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuación diferencial y la frecuencia intrínseca de este circuito resonante. CL 30
  29. 29. El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma: Posición – carga Velocidad – corriente Fuerza – diferencia de potencial Masa – inductancia L Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C La energía almacenada en el inductor 2 2 1 L I puede asociarse formalmente a un término de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de un muelle. En definitiva: ( ) 2 2 12 2 1 1QL Q C VTL −=−= & de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0 L 1 =+ Q C Q&& ,de la que sigue fácilmente la frecuencia. --------------------------------------------- 23. Una esfera uniforme de masa M y radio R se halla encastrada en un agujero practicado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de área de valor σ , de forma a que el plano de la lámina coincida con el plano ecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento a lo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por el centro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema m Z La dificultad en este problema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la partícula. Una vez obtenido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata. Consecuentemente, nos concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello, separamos las contribuciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata: simplemente, a una distancia del centro de la esfera, a lo largo del ejez z , 2 z GM − 31
  30. 30. La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de radio ρ , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que calcular la componente z del campo producido por el anillo a la misma distancia anterior z . En definitiva, ( )( ) ( ) 2222 2 ρρ ρσπρ ++ − z z z dG El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en el intervalo [ :)∞,R 22 2 Rz zG + − σπ --------------------------------------------- 24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico la frecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por el contrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo, existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máxima se invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condición inicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetro característico del sistema, independiente de la condición inicial. Un caso semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales están unidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sin rozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, bien sea el x, bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que lo aseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de la condición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma. x y A Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su posición de equilibrio, ( ) 2 22 22 22 u m xA xmA L = − = & (1) donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando de nuevo términos en la ecuación (1), llegamos a: u > 0 22 2 2222222 ux A u xuAxuxA =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⇒=+ && 32
  31. 31. La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u A y . El movimiento es el de oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a través de u ), mientras que la amplitud máxima es siempre constante. A --------------------------------------------- 25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene dado por ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 22 2 1 2 1 e kqqm t L &γ . a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? b) ¿Existe alguna constante del movimiento? c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada porS q t S ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 exp γ . d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? e) ¿Existe alguna constante del movimiento? f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles g) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones? Nota aclaratoria. En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería el cambio ( )tqS γexp= en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podido constatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos. Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen” cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha sido debidamente valorada a la hora de calificar. a) La ecuación de Lagrange lleva a: ( ) 0=++ kqqmqme t &&& γγ , o 0=++ q m k qq &&& γ , b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al depender L explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada. Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, de funciones que permanecen constantes a lo largo del movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o integrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general, englobando una posibles dependencia explícita del tiempo, de forma que: = constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este último caso de constante del movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de ( ) ( )( tqtqF &, ) ( ) ( )( )ttqtqF ,, & 33
  32. 32. constante del movimiento. Lo que sí queda claro es que, si existe ( ) ( )( )ttqtqF ,, & = constante, no es aparente. Sigamos la evolución del problema para aclarar este extremo. c) Para una solución general del tipo , obtenemos la ecuación característicat eq α ∝ 02 =++ m k αγα con soluciones m k −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ±−= 2 22 γγ α Las distintas posibilidades de movimiento nos vendrán dadas por el valor del discriminante m k −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =∆ 2 2 γ , siempre que 0>γ . Primer caso: . En este caso, la solución general queda como un movimiento oscilatorio amortiguado 0<∆ ( )tBtAeq t ∆+∆= − sencos2 γ Segundo caso: . Movimiento puramente amortiguado0=∆ 2 0 t eqq γ − = Tercer caso: . Movimiento también puramente amortiguado0>∆ ( )tt t BeeAeq ∆−∆ − += 2 γ d) Escribimos el lagrangiano en función de la nueva variable 2 2 2 1 2 1 2 1 kSSSmL −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= γ& , del que se obtiene la siguiente ecuación del movimiento 2 0 2 k S S m γ⎡ ⎤⎛ ⎞ + − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ && . e) Ahora, sí que podemos hablar de una constante del movimiento. La ecuación anterior es la del oscilador armónico, que tiene formalmente la constante 2 2 2 cte 2 k S S m γ⎡ ⎤⎛ ⎞ + − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ & Llegados a este punto, enlazamos con el apartado b). La expresión anterior, una vez desecho el cambio , nos proporciona la contestación a la pregunta que nos hacíamos ahí. Sq → f) Es fácil responder a este apartado manejando el signo de 2γ−mk , al igual que hicimos en el apartado c). Sin embargo, a la hora de hacer un análisis completo no deberá olvidarse el factor exponencial en la definición de .S 34
  33. 33. g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en la segunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido- pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era trivial en la primera descripción. --------------------------------------------- 26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio , tal como indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial m b ( ) ( )γβα γβα −−− ++= eee,, 0VV −los ángulos de separación γβα ,, son medidos en radianes. Cuando 3 2πγβα === , el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos del equilibrio (ángulos 321 ,, θθθ ilustrados en la figura de la derecha) Los ángulos α , β y γ , en términos de 21,θθ y 3θ , son: 12 3 2 θθ π α −+= , 23 3 2 θθ π β −+= , 31 3 2 θθ π γ −+= . Por su parte, el potencial queda: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− + −− + −−− = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3123123 2 0 θθθθθθ π eeeeVV Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de 21,θθ y 3θ , esta expresión del potencial puede aproximarse por ( ) ( ) ([ 312312 3 2 0 3 θθθθθθ π −−−−−−≈ − eVV ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ −+−+−+ 2 31 2 23 2 12 2 1 2 1 2 1 θθθθθθ La energía cinética va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres partículas. Como el radio b es constante, éstas serán b , paraiθ& 3,2,1=i . En definitiva, el lagrangiano quedará 35
  34. 34. ( ) 23 2 2 2 2 23 0 1 2 3 1 2 2 3 1 1 3 2 i i L mb V e π 3 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = = − + + + − − −∑ & , con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange ( ) 2 2 3 1 0 1 2 32 0mb V e π θ θ θ θ − + − − =&& ( ) 2 2 3 2 0 2 3 12 0mb V e π θ θ θ θ − + − − =&& ( ) 2 2 3 3 0 3 1 22 0mb V e π θ θ θ θ − + − − =&& Proceder en el análisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejan los detalles como ejercicio. La ecuación característica resulta ser 22 2 2 23 03 0mb V e mb π ω ω −⎛ ⎞ − + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ con soluciones ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3031 0 πω e m V b siendo la segunda degenerada. --------------------------------------------- 27.- En un sistema dinámico de 2 grados de libertad la energía cinética es 2 2 2 2 2 2 1 2 1 )(2 qq bqa q T & & + + = , y la energía potencial esta dada por 2dqcU += , con a, b, c y d constantes. Mostrar que en función del tiempo es una ecuación de la forma con h, k y constantes. 2q 2 0 2 22 )()2)(( tthkqkq −=+− 0t NOTA: bxa b bxa bxa xdx + −− = + ∫ 2 3 )2(2 Dado que la energía cinética y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la coordenada tenemos 2 constantes del movimiento:1q VTE += y 1q L &∂ ∂ , es decir: ctep bqa q q L == + = ∂ ∂ 1 2 1 1 & & cdqqqbqa p dqcqq bqa q EVT ++++=+++ + ==+ 2 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 )( 22 1 )(2 && & que podemos rescribir como: 221 2 2 2 2 CqCqq =−& con y constantes: , .1C 2C dbpC 22 11 −−= capEC 22 2 12 −−= Y de ahí integrar: 36
  35. 35. 2 2 2122 2 q qCC q + =& → 0 212 22 ttdt qCC dqq −== + ∫∫ 2122 1 212 0 3 )2(2 qCC C qCC tt + − −=− que conduce directamente a la ecuación que queremos encontrar con 1 2 C C k −= y 1 4 9 Ch = . --------------------------------------------- 28.- Una partícula de masa y carga e se mueve bajo la influencia de campos eléctrico y magnético uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejes cartesianos, estos campos son m jE rr E= y kB rr B= . Encuentre las ecuaciones de movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas. Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda ( ) ( Avvv AB A E ⋅−−⋅= ×∇= ∂ ) ∂ −−∇= φ φ emL t 2 1 Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son Ey−=φ ( )jiA xyB +−= 2 1 El correspondiente lagrangiano queda ( ) ( )xyyxeBeEyzyxmL &&&&& −++++= 2 1 2 1 222 Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan 0mx eBy− =&& & eExeBym =+ &&& 0=zm && Queda claro de la tercera ecuación y de las condiciones iniciales ( ) 00 =z y , que el movimiento está confinado al plano ( ) 00 =z& xy . Las ecuaciones para ex y son lineales, por lo que podemos considerar una solución general del tipo ( )tλexp , quedando la ecuación característica como 022242 =+ λλ Bem con autovalores 2 22 2 2,1 ,0 m Be −=λ Con estos resultados en mano, podemos escribir la solución para la trayectoria de la partícula 37
  36. 36. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= t m eB eB mE t B E x sen2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= t m eB eB mE y cos12 Es fácil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cúspides sobre el eje , separadas por una distanciax 2 2 eBmEπ . Esta distancia es la velocidad promedio en la dirección ,x BE , multiplicada por el período, eBmπ2 , de los términos sinusoidales. x y E --------------------------------------------- 29.- Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: a) Las lagrangianas y),,(1 tqqL & ttqAtqqLL ∂∂+= ),(),,(12 & son equivalentes, esto es, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento. a) La elección del Lagrangiano de un sistema nunca es única y dada una función lagrangiana, cualquier función de la forma),,(1 tqqL & dttqdFtqqLL ),(),,(12 += & , también lo es (Sección 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitución directa en las ecuaciones de Lagrange de y de2L t F q q F dt dF ∂ ∂ + ∂ ∂ = & ). Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendría que cumplirse que la función añadida solo dependiera del tiempo: .)(tA --------------------------------------------- 30. Suponga por un momento que no sabe usted qué forma tiene la energía cinética y desconoce también las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que el punto de partida para describir el movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificándole, sin más detalles, que el lagrangiano es un funcional de la forma ),,( tqqLL ii &= . Le piden que con estos datos descubra usted las leyes del movimiento de la partícula libre en coordenadas cartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzas actuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y el principio de relatividad de Galileo. 1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada una de las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo. ¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación? xv yv zv 38
  37. 37. Usted llega a la conclusión de que , donde)( 2 vL v r es la velocidad de la partícula en un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma un segundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constante infinitesimalmente pequeña ε− respecto de K . 2. Pruebe que L _(a constante). Le puede ayudar hacer una expansión en serie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad de invariancia bajo transformación 2 avL = dt dF LL +→ ' L . 3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier sistema K’ que se mueva con velocidad finita 2 '' vL = 0V r − respecto de K ; es decir, se satisface el principio de relatividad de Galileo. Los datos del problema son: A) El Lagrangiano es funcional de la forma: ),,( tqqLL ii &= . B) Ecuaciones de Lagrange: 0= ∂ ∂ − ∂ ∂ ii q L dt d q L & . C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempo ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada del espacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en todos ellos. D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se desplaza con velocidad infinitesimal ε− respecto a otro sistema inercial K nos informa que si la partícula libre se mueve con velocidad v r en el sistema K lo hará con velocidad ε rr −v en el sistema K’. 1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una dirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad, no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede depender del módulo de la velocidad, es decir: .)( 2 vLL = 2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para el sistema K’: )(2)()2()'( 2 2 2222 εεεε Ov v L vLvvLvL + ∂ ∂ −=+−= rrrr , 39
  38. 38. y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que dt dF vLvL += )()'( 22 y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que ctea v L == ∂ ∂ 2 , de modo que arF ε rr 2−= , donde r r es el vector posición de la partícula. 3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que )2()(2)(')'(' 2 00 22 00 22 0 22 tVVr dt d vLVVvvVvvvL +−+=+−=−== rrrrrr que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles. --------------------------------------------- 31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α (ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre. a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento. b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y discútase el tipo de órbitas c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea circular? d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior. Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria al vértice del cono. ¿Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistema después de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en la composición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilación alrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que esta trayectoria tiene sentido. a) Siguiendo la figura, tenemos: θ α m z y x R , ,sin ,cos zz Ry Rx = = = θ θ como la partícula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura expresada por la ecuación: 40
  39. 39. Z R zh R = − =αtan dónde definimos zhZ −= , siendo h la distancia del origen al vértice del cono. Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que sólo tendrá sentido para ) y θ y definiendo 0≥Z αβ tg≡ obtenemos , ),cossin( )sincos( Zz ZZy ZZx && &&& &&& −= +−= −−= θθθβ θθθβ con lo que el lagrangiano tiene la forma ( )( ) mgZZZmL +++= 22222 1 2 1 θββ && , en que la coordenada θ es cíclica y el correspondiente momento conjugado se conserva θβ θ θ & & 22 mZ L p = ∂ ∂ = que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana no depende del tiempo, también se conserva la energía. b) Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación del movimiento para la otra variable tenemos ( ) )(1 22 gZmZm +=+ θββ &&& Distinguimos ahora dos casos: 1) Inicialmente el momento angular es nulo, 0=θp , bien por estar situados en el vértice del cono, , o por no tener velocidad inicial en el plano xy, . En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado. La ecuación anterior se simplifica a 0=Z 0=θ& ( )12 + = β g Z&& , es decir es un movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z. El potencial efectivo es: ZgZ g Veff α β 2 2 cos 1 = + = . 2) Si podemos despejar de la ecuación del momento angular0≠θp 22 β θ θ mZ p =& , que introducimos en la ecuación para la variable Z ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = 232 2 2 1 1 ββ θ Zm p gZ&& , y si tomando como potencial efectivo la función tal que Z V Z eff ∂ ∂ −=&& , obtenemos ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = gz Zm p Veff 222 2 2 21 1 ββ θ . Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decreciente como la siguiente: 41
  40. 40. con en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de las condiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, que corresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable effV θ , que por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección del eje negativo de la variable z. c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que nunca alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría de considerarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de esto al intentar calcular el valor de Z que anula effV Z Veff ∂ ∂ , obtendremos sólo valores de Z negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas. d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbación la sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída acelerado como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas oscilaciones para potenciales sin mínimos. --------------------------------------------- 32. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquel que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar (holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es función explícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma ( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se0lk k k a dq =∑ lta 42
  41. 41. expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una forma cuadrática homogénea de las jq& ’s, un sistema conservativo es además natural. a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la conservación de la llamada función energía: j j j L q q L ∂ − ∂ ∑ & & (integral de Jacobi), que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural. b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular de radio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) con una velocidad angular constante ω . En las coordenadas polares de la figura, compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro que gira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplemente conservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta. c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahora conservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón física para ello? z O r θ m Si , entonces2 1 0L T T T V= + + − 2 0j j j L h q L T T q V ∂ = − = − + ∂ ∑ & & . Si reagrupamos términos: {2 0 V h T V T T V ′ ′ ′== + − = + Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en el Lagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares 2 2 2 2 21 2 ( se cos T m r r V mgr n )θ ω θ θ = + = & dando el lagrangiano en sistema “laboratorio” 2 2 2 2 21 2 ( sen )L m r r mgr cosθ ω θ= + −& θ (1) Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La integral de Jacobi es: 2 2 2 2 21 2 ( sen )h m r r mgr cosθ ω θ= − +& θ , que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que L T V′ ′= − con 2 21 2 2 2 2 2 0 cos sen T T mr V V T mgr r θ θ ω θ ′ = = ′ = − = − & 43
  42. 42. T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial V’ incluye el término gravitacional y el término 0T− que tiene en cuenta la fuerza centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T V′ ′= + , la energía total (¡cuidado, no en el sistema inercial!) En el caso de coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ tenemos 2 2 2 2 21 2 ( se cos T m r r V mgr n )θ φ θ θ = + = & & con la ligadura 0d dtφ ω− = . El sistema en esta representación NO ES conservativo ya que 0k t a ω= − ≠ . Además, la expresión de Jacobi (T V+ , en este caso) no es constante ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema. ---------------------------------------------- 33. Un bloque de masa M2 desliza sobre otro de masa M1 que, a su vez, desliza sobre un plano horizontal (Véase figura). Usando las coordenadas X1 y X2 de la figura, obtenga las ecuaciones diferenciales del movimiento a través de la formulación de Lagrange. Asuma ausencia de rozamientos. X2 X1 M2 M1 La coordenada 1x es el desplazamiento absoluto de , mientras que1m 2x es el desplazamiento de con respecto a Para obtener la velocidad absoluta de , usamos la ley del coseno para sumar la velocidad de y la velocidad de respecto de . Obtenemos: 2m 1m 2v 2m 1m 2m 1m 2 2 2 2 1 2 1 22 cosv x x x x α= + −& & & & siendo α el ángulo formado por el plano con la horizontal. Por lo tanto, ( )2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 cos 2 2 T m x m x x x x α= + + −& & & & & En presencia del campo gravitatorio, los cambios en energía potencial proceden de cambios en el valor de 2x : 2 senV mgx α= − De aquí ( )2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 cos sen 2 2 L m x m x x x x mgxα α= + + − +& & & & & Las ecuaciones correspondientes: ( )1 1 2 1 2 cos 0m x m x x α+ − =&& && && 44
  43. 43. 2 2 2 1 2cos sen 0m x m x m gα α− −&& && = ---------------------------------------------- 34.- Un modelo simple, y de gran utilidad, de molécula triatómica lineal es el de la figura. Vamos a examinar el caso en el que M>m. Plantee el problema en las coordenadas definidas por los desplazamientos de las tres masas de su posición de equilibrio, con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange. Intente una solución 0 i t x x ei i ω = , siendo ω una frecuencia de modo normal a) ¿Cuántas frecuencias independientes hay y cuáles son éstas? b) ¿A qué movimiento corresponde la menor de ellas? mM M kk X1 1 2 3 ( ) ( ) 2 22 2 2 1 2 3 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2L T V Mx mx Mx k x x k x x= − = + + − − − −& & & Ecuaciones : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 3 3 3 2 0 0 0 Mx k x x mx k x x k x x Mx k x x + − = + − + − = + − = && && && El determinante para las frecuencias 2 2 2 0 2 0 0 k M k k k m k k k M ω ω ω − − − − − − − = con soluciones ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=== m M M k M k 2 10 321 ωωω ,, Para 1 0ω = , los desplazamientos son 1 2 3x x x= = , dando a entender que el conjunto de las tres masas se mueve como un sólido rígido, sin oscilaciones internas. ---------------------------------------------- 45
  44. 44. 35. La transformación entre coordenadas cartesianas y polares viene dada por θsenrx = , θcosry = , siendo lo vectores unitarios en polares: jiu jiu θθ θθ θ cossen sencos +−= +=r A diferencia de i y j, y no son constantes. Puede observar, por ejemplo, que ru θu θ θ u u = d d r y r d d u u −= θ θ y x ( )θ,r ur r uθ r trayectoria θ R r 1) Sabido esto, calcule las componentes en coordenadas polares de la aceleración y acto seguido plantee las ecuaciones de Newton correspondientes. 2) Exponga la formulación lagrangiana para el problema y compare la forma anterior de obtención de las ecuaciones del movimiento con la que le ofrece ésta. θ θθ θ uu u u u u R v dt d r dt dr dt d d d r dt dr dt d r dt dr dt d r r r r r +=+=+== rr r r r r dt d r dt d r dt d dt dr dt rd d d dt d dt d r dt d r dt d dt dr dt d d d dt dr dt rd dt d dt d r dt d r dt d dt dr dt d dt dr dt rd dt d uuuu u uu u u u uu u u v a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++= ++++= ++++== θθθ θ θθθθθ θ θθθ θθ θ θθ θ θθ Con lo que encontramos 22 2 2 2 2r r r d r d dr d d r r dt dt dt dt dt F F m θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = + a u F u u θ =u 46
  45. 45. 36. Considere la máquina de Atwood de la derecha, en la que la única fuerza presente es la de la gravedad. a) ¿ Cuales son las ligaduras del sistema? b) Escriba el lagrangiano considerando las posiciones de las masas y como coordenadas generalizadas. 1m 3m c) Obtenga las ecuaciones del movimiento de estas masas y determine la aceleración de y .1m 3m m4 m3 m2 m1 a) Las cuerdas tienen una longitud fija y, por tanto, hay dos ligaduras holónomas. Tomando coordenadas xi para cada masa i, todas con origen en el punto de suspensión de la polea superior: 1 2 1 3 4 2 2, 2x x a cte x x x a ct+ = = + − = = e b) El sistema tiene dos grados de libertad, elegimos como coordenadas generalizadas 1x y 3x . El lagrangiano sin ligaduras tiene la formula 4 4 2 1 12 i i i i i m iL x m g = = = +∑ ∑& x y a partir de las restricciones, 2 1x x= −& & y 4 3 2 32 12x x x x x= − + = − −& & & & & , el lagrangiano se escribe ( ) ( ) ( ) 2 2 23 31 2 1 1 3 3 1 3 3 1 1 1 2 1 1 3 3 4 2 1 3 1 , , , ( 2 ) 2 2 2 2 2 m mm m L x x x x x x x x m gx m g a x m gx m g a a x x + = + + + + + − + + + − − & & & & & & c) Y las ecuaciones de Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 1 4 3 1 2 4 1 1 3 4 3 4 1 3 4 3 3 4 2 2 2 . d L L m m m x m x m m m g dt x x d L L m m x m x m m g dt x x ⎛ ⎞∂ ∂ = → + + + = − −⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ ∂ = → + + = −⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ && && & && && & , y de esta última ecuación obtenemos ( )3 4 4 3 3 4 2 ¨ m m g m x x m m − − = + && && 1 y a partir de ella despejamos en la otra ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 4 4 1 2 3 3 1 2 3 4 3 4 2 2 4 m m m m m m m m x g m m m m m m + − − − − = + + + && 37. Sobre un anillo uniforme de radio R y masa M desliza sin rozamiento una cuenta de masa m. El anillo rota libremente, sin rozamiento, en torno al eje horizontal x que coincide con un diametro del anillo. El momento de inercia del anillo en torno al eje es 2 2I MR= . Utilizando como coordenadas generalizadas los ángulos φ , que indica la posición de la cuenta respecto al eje de giro, y θ , que indica la posición del plano del anillo respecto al eje vertical z: (Véase la figura en la que se muestran el sistema para dos ángulos diferentes θ ). 47
  46. 46. a) Obténgase el Lagrangiano para el sistema . b) Obténganse las ecuaciones de Lagrange del sistema. c) Señale la/s cantidad/es conservada/s del sistema. g a) 21 2 anilloT Iθ= & 2 2 2 21 1 ( ) 2 2 cuentaT mR mR senφ φ θ= +& & ( )cos( )cuentaV mgRsen φ θ= − 2 2 2 2 21 1 1 ( ) ( )cos( ) 2 2 2 L I mR mR sen mgRsenθ φ φ θ φ= + + +& & & θ b) 2 2L mR φ φ ∂ = ∂ & & 2 2 ( )cos( ) cos( )cos( ) L mR sen mgRθ φ φ θ φ ∂ = + ∂ & φ =2 2 2 ( )cos( ) cos( )cos( ) 0mR mR sen mgRφ θ φ φ θ φ− −&& & 48
  47. 47. 2 2 ( ) L I mR senθ φ θ θ ∂ = + ∂ & & & 2 2 2 ( ) 2 ( )cos( ) ( ) ( ) 0I mR sen mR sen mgsen senθ φ θ φ φ θφ φ θ+ + −&& && & & = c) Calculando el hamiltoniano, será independiente del tiempo y se conservará la energía. El resto de momentos respecto a las vairables, x, y ,z, no se conservan ya que el sistema no es invariante ante traslaciones, ni tampoco ante rotaciones. No hay coordenadas cíclicas en ninguno de los sistemas de coordenadas. ------------------------------------------- 38.- El movimiento de una partícula de masa m está restringido, en el plano (x,y), a la parábola axy 2 = . La acción de la gravedad actúa en el sentido y negativo. Utilizando el formalismo lagrangiano, resuelva los siguientes apartados: a) Escriba la ecuación para pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. b) Resuelva la ecuación obtenida en el apartado a) a) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+= 2 2 2 2 2 2 222 4 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 a x xm dx dy xmx dx dy xmyxmT &&&&&& a x mgmgyV 2 == a x mg a x xmVTL 22 2 2 2 4 1 2 1 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +==−= & Y la ecuación de Lagrange queda 02 44 1 2 22 2 =++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + a x gx a x x a x &&& El punto de equilibrio corresponde a (0,0), correspondiente al mínimo de potencial. Para oscilaciones pequeñas suponemos que despreciables los términos de orden superior a uno en x, obteniendo 02 =+ a x gx&& a) La ecuación obtenida corresponde a un movimiento oscilatorio del tipo con)sin()cos()( wtBwtAtx += a g w 2 = , dependiendo A y B de las condiciones iniciales. ------------------------------------------- 39. Sea un sistema mecánico de n+m grados de libertad caracterizado por dos conjuntos de variables: n coordenadas qi y m coordenadas Qi. Con un lagrangiano de la forma ( )1 1 1, , ; , , , , ,n nL q q q q Q Q& && &K K K m , es decir, las m coordenadas Qi no aparecen explícitamente en el funcional. 49
  48. 48. a) ¿Cuántas cantidades conservadas independientes puede tener este sistema? b) Recordemos que mediante un cambio de coordenadas del lagrangiano similar al que da lugar al hamiltoniano pero únicamente sobre las coordenadas cíclicas se obtiene el routhiano. ¿Cuál es la forma genérica de este routhiano R cuando los momentos asociados a las coordenadas cíclicas tienen valor inicial Mi, es decir, ( ) i ti i M Q L tP = ∂ ∂ == =0 0 & ? c) Supongamos que se construye un nuevo lagrangiano, L’, a partir del anterior tomando ( ) ( )1 1 1 1 1 ' , , ; , , , ' , , ' , , m n n m i i i nL L q q q q Q Q q qβ ν = = −∑& && &K K K K⋅ en el que ( )1' , ,i i iQ Q q qν= +& & K n y las ( )nqq ,,K1ν son funciones generales. ¿Qué se puede decir de las cantidades conservadas de este nuevo sistema? Dar el nuevo routhiano, R’, cuando los momentos asociados a las coordenadas cíclicas tienen ese mismo valor inicial Mi, es decir, ( ) i ti i M Q L tP = ∂ ∂ == =0 0 ' ' ' & . d) ¿Cuánto han de valer las constantes iβ para que ambos routhianos R y R’ sean iguales? ¿Qué relación habrá entonces entre la dinámica, las ecuaciones del movimiento, de los sistemas L y L’? e) Supongamos una partícula de masa unidad, m=1, en un potencial ')',( ar r arW && ⋅⋅− − = 31 α , y lagrangiano en polares ( ) )',( ' ,' arW ar rarL & & & −+= 22 1 22 2 . Dar las trayectorias de este sistema por el método apuntado en los apartados anteriores en función de las soluciones de una partícula en un potencial central gravitatorio , ( ) r ar rarL 1 22 1 22 2 ++= & &, a) En principio podría haber hasta m+n cantidades conservadas en un sistema mecánico de m+n grados de libertad. Con la forma dada para el lagrangiano sabemos que tiene al menos m momentos conservados, por las m coordenadas cíclicas Qi, más la energía, ya que es independiente del tiempo. 50
  49. 49. b) Los momentos asociados a las coordenadas cíclicas se conservan por lo que i i i M Q L P = ∂ ∂ = & para todo tiempo. Por tanto .( )mnn m i ii QQqqqqLMQR &K&&K&K& ,,,,,;,, 111 1 −⋅= ∑= c) Se aplica lo comentado en el apartado a) y b) sin cambios. ( ) ∑∑ == ⋅+++−⋅= m i niimmnn m i ii qqQQqqqqLMQR 1 11111 1 ,,,,,,,;,,'' K&K&&K&K& νβνν ( ) d) Si comparamos los dos routhianos obtenemos ( )∑∑∑∑ ==== ⋅−=⋅−+⋅−−⋅=− m i iii m i ii m i ii m i ii MLMQLMQRR 1111 νβνβ'' && con lo que es evidente que si ii M=β ambos routhianos son idénticos. Por tanto, para las condiciones iniciales dadas en el enunciado se pueden relacionar las ecuaciones del movimiento de ambos sistemas. Si ( ) ( ) ( ) ( ){ }tQtQtqtq mn ,,,,, KK 11 es una solución de L, el conjunto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∫∫ ⋅−⋅− dtqqtQdtqqtQtqtq nmmnn ,,,,,,,,, KKKK 11111 νν es una solución de L’. Dado que las funciones ( )ni qq ,,K1ν son completamente arbitrarias esto permite relacionar problemas aparentemente diferentes resolviendo únicamente las ecuaciones más sencillas para L. ------------------------------------------- 40. En algunos problemas de mecánica es interesante conocer el movimiento en la vecindad de un punto de equilibrio. Tal cuestión se suele abordar con ayuda de la aproximación lineal al problema, en la forma de un sistema d X AX dt = en el cual el vector X simboliza una pequeña perturbación alrededor del punto de equilibrio 0X y A es la denominada matriz jacobiana. Suponga un sistema mecánico caracterizado por dos variables (¡cuidado! dos variables, no dos grados de libertad), que denominaremos 1 2x y x . Nuestro problema lineal se reduce a estudiar las distintas clases de movimientos alrededor del origen y que dependerán del carácter y signo de los valores propios de la matriz A . Sean estos últimos 1 2yλ λ a) Considere los distintos casos posibles de movimiento según el carácter real o complejo, positivo o negativo, de los valores de 1 y 2λ λ . Considere sólo aquellos casos en los que 1 y 2λ λ son distintos. b) Dibuje en el plano ( )1 2,x x las trayectorias correspondientes a los casos estudiados en el apartado anterior. a) y b) 51
  50. 50. d X AX dt = , es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1 y además autónoma, esto es, no depende del tiempo. Si X es la perturbación alrededor del punto de equilibrio, entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 2 2 2 x t x x t x t x x t δ δ = + = + Puesto que es un sistema lineal su solución pasa por hallar los valores propios de la matriz Jacobiana, esto es: 11 12 11 12 21 22 21 22 0 a a a a A a a a a λ λ −⎛ ⎞ = → =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ Cuya solución es: ( )( ) ( ) ( )2 11 22 12 21 11 22 11 22 12 210 ; 0a a a a a a a a a aλ λ λ λ− − − = − + + − = 11 22 11 22 12 21Si T a a y a a a a= + ∆ = − Finalmente: 2 4 2 T T λ ± − ∆ = Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones diferenciales es: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4 t t t t x t c e c e x t c e c e λ λ λ λ δ δ = + = + Donde son constantes que dependen de las condiciones iniciales y1 2 3 4, ,c c c y c 1 2yλ λ los autovalores de la matriz A , Jacobiano de la transformación. Según el enunciado no tenemos en cuenta los valores degenerados, esto es, los valores en los que 1 2λ λ= . Entonces los casos posibles de movimiento según los autovalores a la vista de las soluciones del sistema serían: 1. Si 1 y 2λ λ son autovalores reales negativos tenemos un nodo estable, el estado generado por la perturbación es asintoticamente estable. ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4 t t t t x t c e c e x t c e c e λ λ λ λ δ δ = + = + 52
  51. 51. 1xδ 2xδ 2. Si 1 y 2λ λ son complejos con parte real negativa, también tenemos un estado asintoticamente estable, con un foco muy estable. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re Im Im 1 2 t it x t e c e c eλ λ λ δ − = + it 2 1xδ 2xδ 3. Si 1 yλ λ son complejos con parte real positiva, también tenemos un estado inestable, generándose un foco muy inestable. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re Im Im 1 2 t it x t e c e c e λ λ δ − = + itλ 53
  52. 52. 1xδ 2xδ 4. Si 1 y 2λ λ son imaginarios puros de diferente signo, el estado generado es estable y tendríamos un centro. ( ) ( ) ( ) ( )Im Im 1 2 it it x t c e c e λ λ δ − = + 1xδ 2xδ 5. Si 1 y 2λ λ son reales positivos se genera un estado inestable. Aparece un nodo inestable. ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4 t t t t x t c e c e x t c e c e λ λ λ λ δ δ = + = + 54
  53. 53. 1xδ 2xδ 6. Si 1 y 2λ λ son reales de distinto signo, el estado también es inestable. Tendríamos un punto silla. ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4 t t t t x t c e c e x t c e c e λ λ λ λ δ δ = + = + 1xδ 2xδ Podemos decir que es condición necesaria y suficiente para la estabilidad que todas las partes reales de los valores propios sean negativas. Basta con que uno de los valores propios tenga parte real positiva para que tengamos una solución inestable. 55
  54. 54. FORMULACIÓN DE LAGRANGE 1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas {qi} (i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, T y V, vienen dadas por ( ) ( i N i iii N i i qVVqqfT ∑∑ == == 1 2 1 , ) Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a cuadraturas. A partir de la lagrangiana, L = T − V, calculemos las derivadas 2 ii i fq q L = ∂ ∂ 2 d d 2 d d 2 ii i i i i fq q f q q L t +=        ∂ ∂ d d d d 2 i i i i i i q V q q f q L −= ∂ ∂ Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es 0= d d 2 d d 2 i i iii i i q V qfq q f ++ que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de libertad 2 iiii VqfE += se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues d d d d 2 i i i i i i i q V q q f q E += ∂ ∂ 2 ii i i fq q E = ∂ ∂ resultando que =2+ d d d d d d d d d d 3 iiii i i i i ii i ii i iii qqfq q V q q f t q q E t q q E t E t E +=++= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0=2+ d d d d = 2       + ii i i i i i i qf q V q q f q 3
  55. 55. Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales, ,{ }00 , ii qq ( ) ( )0 2 00 iiiiii qVqqfE += de manera que la evolución de cada grado de libertad viene dada por la integral t f VE qq t i ii ii d00 ∫ − ±=− ---------------------------------------------- 2. Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuación y = f(x) cuando está sometida a un potencial que sólo depende de y. Si v0 es la proyección de la velocidad sobre el eje 0X, se pide: a) hallar una expresión general del potencial en función de f. b) Aplique la expresión obtenida en el apartado anterior al caso de que la ecuación de la curva sea ay2 = x3 . a) Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual será ( ) ( )yVyx M L −+= 22 2 de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange ( ) ( )       −= = y V yM t xM t d d d d 0 d d Integrando dos veces la primera ecuación se obtiene que la proyección del movimiento sobre el eje 0X es un movimiento uniforme con velocidad 0vx = . La integral de la segunda ecuación con respecto de y determina el potencial ∫−= yyMCV d donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte ( ) ( ) ( ) 2 0 0 d d vxfy vxfxx x f y ′′= ′== la expresión del potencial es ( ) yxfMvCV d2 0 ∫ ′′−= y, para realizar la integral, hay que sustituir .)(1 yfx − = 4
  56. 56. b) Para el caso particular en que la función es a x y 3 = , la función inversa es , de manera que( ) 3/12 ayx = ( ) ( ) 3/1 3/2 4 3 4 3 2 3 − ==′′ =′ y aax xf a x xf Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al resultado. ------------------------------------------------- 3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partícula considerada libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifique en esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y centrífuga. La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es: txtyy tytxx ϖϖ ϖϖ sincos sincos ′+′= ′−′= La energía cinética de la partícula viene dada por: )(~ 2 1 )(~)( 2 1 )( 2 1 222222222 yxmyxyxmzyxmzyxmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ωω La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de coordenadas. En nuestro caso: iqT ∂∂ / xmym x T ′+′= ′∂ ∂ 2~~ ωω , con una expresión similar para iyT ′∂∂ (la correspondiente parcial con respecto a z’es nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término /       ∂ ∂ iq T dt d de las ecuaciones de Lagrange. ------------------------------------------ 5
  57. 57. 4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Para una velocidad angular ω mayor que un cierto valor crítico ωc, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ0 respecto de la vertical. Se pide: a) Encontrar ωc y θ0 ; b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de θ0 y encontrar su periodo. a) La energía cinética de la cuenta y el Lagrangiano son: 2222 )sen( 2 1 2 1 θωθ ammaT += . 2 2 2 21 1 sin cos 2 2 L ma ma w mgaθ θ θ= + − donde θ es el ángulo que forma la posición de la masa con el eje vertical de giro, correspondiendo 0θ = con la partícula en la posición más baja en el alambre. La ecuación de Lagrange nos lleva a: 0sencossen 2 =−+ θθωθθ aga En el punto de equilibrio, 0=θ , g = aω 2 cos θ, ó.: ω 2 = g/(a cos θ). Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la velocidad angular crítica es a g C =ω y el ángulo de equilibrio es       = 20 cosarc ω θ a g b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ0, podemos describir el movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ0. La ecuación del movimiento se transforma en 0)(sen)(cos)(sen 00 2 0 =++−++ εθεθωεθε aga 6
  58. 58. Para pequeños valores de ε, 1cosysen ≈≈ εεε . Teniendo en cuenta esto y el valor obtenido de θ0, la ecuación anterior queda en 01 42 2 2 =      −+ ε ω ωε a g La frecuencia de oscilación será: 42 2 1 ω ω a g −=Ω --------------------------------------------- 5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la forma 2 21 2 1 2 )( dqqadqds += Se pide: a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie b) Demostrar que las curvas cte.2 =q son geodésicas c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), la coordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un punto sobre la superficie en ausencia de toda fuerza). 1q a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1, ( )2 21 2 1 )( 2 1 qqaqTL +== La coordenada q es cíclica; luego2 21 2 )( qqaC q T == ∂ ∂ (1) donde C es una constante. Por otra parte, la energía total: ( )2 21 2 1 )( 2 1 qqaqE += (2) es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial entre las coordenadas y q que es precisamente la ecuación de las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene: 1q 2 ∫       − = )(1 )(2 12 1 1 2 qa C qaE dq q 7
  59. 59. b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q EtqEq 2,2 11 == , son soluciones de las ecuaciones (1) y (2). c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento uniforme. 1q ----------------------------------------------- 6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme de partículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerza gravitatoria total que sería br r k Fr −−= 2 Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil )( 3 rkb << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de la órbita circular). La ecuación de movimiento es: dr rdV rm ef )( −= Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple:0r 02 0 3 0 2 0 )( br r k mr l dr rdV rr ef −−=− = Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de r ,0 +′′−+′−+= )()( 2 1 )()()()( 0 2 0000 rVrrrVrrrVrV efefefef Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos: ),()( 2 1 2 1 0 2 0 2 rVrrrmL ef ′′−−= donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de un oscilador armónico, de frecuencia m rVef )( 02 ′′ =ω Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular, 8
  60. 60. 21 3 0 4         += m b mr k ω ----------------------------------------------- 7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varilla rectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremos como centro de giro y con velocidad angular constante, ω. En presencia de un campo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r, de la cuenta como función del tiempo, si las condiciones iniciales son: r R r( ) ; ( ) .0 0 v= = Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es: ( ) ( )222222 2 1 2 1 ωθ rrmrrmT +=+= y la lagrangiana ( ) tmgrrrmL ωω sen 2 1 222 −+= La ecuación del movimiento resulta: tgrr ωω sen2 −=− , siendo su solución       +−+= tsen 2 senh 2 cosh 22 ω ω ω ωω ω g t gv tRr --------------------------------------- 8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético es, en coordenadas cartesianas, vA⋅+−= c e eTL φ a) Evaluar cuál es la dependencia en φ y A de los campos eléctrico y magnético, para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campo electromagnético. b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo la transformación (conocida como gauge) ).,( 1 ),,( t tc t r rAA Ψ−→ Ψ∇+→ ∂ ∂ φφ A partir de la lagrangiana dada se verifica que: 9
  61. 61. , , 3 1 3 1       ++=+= +−= ∑ ∑ = = k i k i ki i i i k i k k ii t A r A v c e m dt dA c e vm v L dt d r A v c e r e r L ∂ ∂ ∂ ∂ ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂ ∂ quedando la ecuación del movimiento:       −+      −−= ∑ = k i i k k k i i i r A r A v c e t A cr evm ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ 3 1 1 . Comparando con la conocida forma, ( )iii Bv c e eEvm ×+= , queda, ).,(),( ),,( 1 ),(),( tt t tc tt r r rArB rArrE ×∇= −−∇= ∂ ∂ φ Una vez conocidas estas expresiones para los campos, verificar que son invariantes bajo la transformación gauge anterior es un ejercicio simple. ------------------------------------ 9. Si dos lagrangianas, L y L’, son tales que: ( ) ( ) ; ),( ,,,, dt tdM tLtL q qqqq +=′ a) demostrar que llevan a las mismas ecuaciones del movimiento. b) Comprobar que la transformación de potenciales del problema anterior pertenece a este caso, si L es la lagrangiana ahí detallada. Calculamos para L y L’ las ecuaciones de Lagrange, pudiendo observar que para que sean idénticas debe cumplirse que: .0=      − dt dM qdt d q kk ∂ ∂ ∂ ∂ El ejercicio es trivial. Por otra parte, el efecto de la transformación gauge sobre la lagrangiana del problema anterior es: ),( 2 1 t c e dt d L tc e L c e emL rvAvvv Ψ+=      Ψ∇⋅+ Ψ +=′⋅+′−⋅=′ ∂ ∂ φ , tal como queríamos demostrar. --------------------------------------------- 10
  62. 62. 10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dos péndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud y son rígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud tiene una masa . L L′ D bm Posición de los puntos de la barra: Dxayxax ≤′≤−=′+= 0;cos;sin θθ θθθθ sin;cos ayax == Energía cinética barra 22 0 22 22 1 θθρ a m axd D b ∫ =′= T= )( 2 1 2222 amLmmL b+′′+θ )(cos)coscoscos( LmmLamgLmmLamgV bb ′′++−=′′++−= θθθθ Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa µ tal que: 2222 amLmmL b+′′+=µλ amLmmL b+′′+=λµ Entonces: amLmmL amLmmL b b +′′+ +′′+ = 222 λ 222 2 )( amLmmL amLmmL b b +′′+ +′′+ =µ ------------------------------------- 11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina de Atwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y .0 2m 11
  63. 63. Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras: DConstxxxx CConstxx ==−+− ==+ .)()( . 2324 21 de donde: 134 12 22 xxCDx xCx −−+= −= Además, la polea 2, de radio R gira a una velocidad angular , de modo que su energía cinética rotativa es: )( 23 1 xxR −= − ω 2 23 )( 2 1 xxTp −= α donde la constante α esta relacionada elementalmente con .2m Así, pues, usando y como las dos coordenadas independientes:1x 3x 2 134 2 33 2 22 2 11 2 13 2 44 2 33 2 22 2 11 )2( 2 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 xxmxmxmxmxx xmxmxmxmTT p ++++++ =++++= α - energía cinética. )( 44332211 xmxmxmxmgV +++−= - energía potencial )2(( 134331211 xxmxmxmxmgV +−+−−= + Constante-irrelevante. Finalmente: ))()2(( 4334211 mmxmmmxgV −+−−−= Ambos grados de libertad y están uniformemente acelerados, mientras que la energía es una función cuadrática de las velocidades. 1x 3x --------------------------------------- 12. Consideramos la evolución de un cuerpo puntual de masa , constreñido a moverse sin rozamiento sobre un anillo fijo circular en presencia de una m 12

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